MI32 GIẢI TÍCH III. Tê học phầ: Giải tích III (Calculus III) 2. Mã học phầ: MI32 3. Khối lượg: 3(2-2-0-6) a. Lý thuyết: 30 tiết b. Bài tập: 30 tiết 4. Đối tượg tham dự: Sih viê đại học thuộc hóm học 2, từ học kì 2. Điều kiệ học phầ: Học phầ tiê quyết: Giải tích I, Học phầ học trước: Đại số, Giải tích I Học phầ sog hàh: Giải tích II 6. Mục tiêu học phầ và kết quả mog đợi Cug cấp các kiế thức về chuỗi số, chuỗi hàm, các phươg trìh vi phâ cơ bả cấp, cấp 2, biế đổi Laplace một phía, hìh thàh kiế thức toá học ề tảg cho sih viê các gàh côg ghệ, cug cấp các côg cụ toá học cho sih viê sử dụg trog các bài toá kỹ thuật. Sau khi hoà thàh học phầ ày, yêu cầu sih viê có khả ăg: Sih viê có thể kiểm tra tíh hội tụ của chuỗi số, chuối hàm, giải được các phươg trìh vi phâ cơ bả cấp, 2, tíh được biế đổi Laplace của hàm bị chặ mũ, áp dụg được vào một số bài toá thực tế. Tiêu chí..2.3 2. 2.2 2.4 2. 2.6 2.7 3. 3.2 3.3 4. 4.2 4.3 Mức độ GT GT SD GT GT SD SD SD 7. Nội dug vắ tắt học phầ: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi Fourier, phươg trìh vi phâ cấp I, phươg trìh vi phâ tuyế tíh cấp II, hệ phươg trìh vi phâ cấp I, Biế đổi Laplace, một số mô hìh bài toá kỹ thuật. 8. Tài liệu học tập: Sách giáo trìh: [] Nguyễ Đìh Trí (chủ biê): Toá học cao cấp tập II. [2] Nguyễ Đìh Trí (chủ biê): Toá học cao cấp tập III. Tài liệu tham khảo: [] Nguyễ Đìh Trí, Tạ Vă Đĩh, Nguyễ Hồ Quỳh. Bài tập Toá học cao cấp tập II NXBGD, 2000. [2] Nguyễ Đìh Trí, Tạ Vă Đĩh, Nguyễ Hồ Quỳh. Bài tập Toá học cao cấp tập III NXBGD, 999. [3] Nguyễ Xuâ Thảo. Bài giảg Phươg pháp Toá tử Laplace, 200 [4] Nguyễ Thiệu Huy: INFINITE SERIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONS- dowload: http://sami.hust.edu.v/tai-lieu/ 9. Phươg pháp học tập và hiệm vụ của sih viê: Dự lớp: đầy đủ theo quy chế Bài tập: hoà thàh các bài tập của học phầ Dự kiểm tra giữa kỳ : Tự luậ, 60 phút, sau khi học tám tuầ, Việ tổ chức, ội dug từ chuỗi số đế hết phươg trìh vi phâ cấp một.
0. Đáh giá kết quả: QT(0,3) T(0,7) - Điểm quá trìh: trọg số 0,3 - Điểm thi cuối kỳ (trắc ghiệm hoặc tự luậ): trọg số 0,7. Nội dug và kế hoạch học tập cụ thể Tuầ Nội dug Giáo trìh BT, TN, Chươg. Chuỗi. Đại cươg về chuỗi số - Các khái iệm: Chuỗi số, số hạg tổg quát, tổg riêg, phầ dư, chuỗi hội tụ, phâ kỳ, tổg của chuỗi hội tụ. Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi hìh. aq học 0 - Các tíh chất cơ bả của chuỗi số hội tụ: +) Điều kiệ cầ để chuỗi hội tụ (chứg mih). Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi điều hòa +) Các tíh chất tổg và hiệu hai chuỗi hội tụ, hâ với hằg số (học sih tự đọc chứg mih) 2.2 Chuỗi số với số hạg dươg - Địh ghĩa - Các địh lý so sáh và 2 (chứg mih địh lý, học sih tự đọc chứg mih địh lý 2) - Các tiêu chuẩ hội tụ (tiêu chuẩ D Alambert, Cauchy, tích phâ) (Chứg mih tiêu chuẩ D Alambert, học sih tự đọc chứg mih 2 tiêu chuẩ cò lại). Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi Riema s.2 3.3 Chuỗi số với các số hạg có dấu bất kỳ - Chuỗi có dấu bất kỳ: các khái iệm hội tụ tuyệt đối, bá hội tụ. Qua hệ giữa sự hội tụ tuyệt đối và hội tụ (học sih tự đọc chứg mih). Chú ý hấ mạh tiêu chuẩ D Alambert, Cauchy dùg để kiểm tra sự hội tụ tuyệt đối và phâ kỳ của chuỗi có dấu bất kỳ. - Chuỗi số đa dấu: địh ghĩa, địh lý Leibiz (có chứg mih) - Các tíh chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối. Tíh chất đổi thứ tự, hóm các số hạg và tích hai chuỗi (học sih tự đọc chứg mih).3 4.4 Chuỗi hàm số.4
3 - Địh ghĩa chuỗi hàm, miề hội tụ của chuỗi hàm (hội tụ điểm), cách tìm miề hội tụ, tổg của chuỗi hàm - Sự hội tụ đều của chuỗi hàm: địh ghĩa, tiêu chuẩ Weierstrass (khôg chứg mih) - Các tíh chất của chuỗi hàm hội tụ đều: tổg là hàm liê tục, tích phâ, đạo hàm dưới tổg (học sih tự đọc chứg mih) 6 7 8 9. Chuỗi luỹ thừa - Địh ghĩa chuỗi luỹ thừa: địh lý Abel (có chứg mih), bá kíh hội tụ, khoảg và miề hội tụ - Các tíh chất của chuỗi luỹ thừa: hội tụ đều, liê tục, tích phâ, đạo hàm dưới tổg, tíh khả vi vô hạ trê khoảg hội tụ (học sih tự đọc chứg mih). Phầ áp dụg để tíh tổg một số chuỗi (chỉ êu một ví dụ, cò lại học sih tự đọc) - Khai triể hàm thàh chuỗi luỹ thừa (Chuỗi Taylor, Maclauri). Địh lý để hàm khai triể được (khôg chứg mih) - Các khai triể của một số hàm số sơ cấp cơ bả..6 Chuỗi Fourier - Chuỗi lượg giác, hệ số Fourier và chuỗi Fourier của hàm tuầ hoà chu kỳ 2 và liê tục từg khúc trê, (tổg quát chu kì cho hàm tuầ hoà chu kì 2L) - Địh lý Dirichlet (khôg chứg mih) về sự hội tụ và tổg của chuỗi Fourier - Khai triể hàm chẵ, hàm lẻ a,b - Khai triể hàm bất kỳ trê đoạ hữu hạ (lấy ví dụ trê ửa chu kỳ (0, L) rồi thác triể lê toà (-L, L) ) Chươg 2. Phươg trìh vi phâ 2. Gợi độg cơ và các khái iệm mở đầu: - Giới thiệu một số bài toá kỹ thuật (mạch điệ, bài toá vật rơi, vv..) dẫ đế phươg trìh vi phâ - Địh ghĩa phươg trìh vi phâ (PTVP), cấp của phươg trìh, ghiệm của PTVP. 2.2 Phươg trìh vi phâ cấp - Đại cươg về PTVP cấp : dạg tổg quát của PT, địh lý về sự tồ tại và duy hất ghiệm (khôg chứg mih), bài toá Cauchy, ghiệm tổg quát, ghiệm riêg - PT biế số phâ ly, PT thuầ hất (đẳg cấp) - PT tuyế tíh, PT Beroulli - PTVP toà phầ, thừa số tích phâ, côg thức thừa số tích phâ chỉ phụ thuộc x hoặc y...6.6 2. 2.2 2.2
0 Phươg trìh vi phâ tuyế tíh cấp 2 - Đại cươg về PTVP tuyế tíh cấp 2: Dạg tổg quát, địh lý về sự tồ tại và duy hất ghiệm, bài toá Cauchy, ghiệm tổg quát, ghiệm riêg - PT tuyế tíh thuầ hất y + p(x)y + q(x)y = 0 : +) Nghiệm độc lập (phụ thuộc tuyế tíh), Wroskia, Cấu trúc ghiệm y C y x) C y ( ). ( 2 2 x +) Trườg hợp hệ số hằg y + ay + by = 0 : PT đặc trưg, côg thức ghiệm tổg quát. +) Mô hìh dao độg tự do của lò xo gắ khối lượg : Tuầ hoà và tắt dầ - Phươg trìh khôg thuầ hất y + p(x)y + q(x)y = f(x) +) Địh lý về ghiệm tổg quát (học sih tự đọc chứg mih). Phươg pháp biế thiê hằg số Lagrage. Nguyê lý chồg chất ghiệm 2 f ( x) e f ( x) e x x +) PTVP có hệ số khôg đổi y + ay + by = f(x) : Phươg pháp hệ số bất địh với hàm vế phải f(x) có dạg: P ( x) [ P ( x) cos x Q m ( x)si x] +) Mô hìh dao độg cưỡg bức của lò xo gắ với khối lượg: Tác độg của goại lực, goại lực tuầ hoà, sự cộg hưởg 3 4 2.4 Hệ phươg trìh vi phâ cấp - Địh ghĩa dạg tổg quát, ghiệm, đưa PTVP cấp cao về hệ chuẩ tắc và gược lại. Địh lý về sự tồ tại duy hất ghiệm. Phươg pháp khử (thể hiệ qua một ví dụ giải hệ gồm 2 phươg trìh có hệ số khôg đổi dạg đơ giả) (giáo viê hướg dẫ học sih tự đọc và làm bài tập) Chươg 3. Phép biế đổi Laplace 3. Phép biế đổi Laplace, miề xác địh, phép biế đổi Laplace gược - Phép biế đổi (PBĐ) Laplace, hàm liê tục từg khúc (trê mỗi đoạ hữu hạ) và bị chặ mũ, miề xác địh của PBĐ Laplace - PBĐ Laplace gược, sự duy hất của PBĐ Laplace gược 3.2 Tíh chất của PBĐ Laplace - Tíh tuyế tíh, PBĐ Laplace của đạo hàm của f(t), và của F(s), giới thiệu bảg PBĐ Laplace của một số hàm (bảg sẽ được bổ sug dầ khi có thêm tíh chất của PBĐ). - PBĐ của tích phâ của f(t), F(s). 2.4 3. 3.2 - Tíh chất tịh tiế: Tịh tiế theo biế s 3.3 Áp dụg PBĐ Laplace để giải các phươg trìh vi 3.2 3.3
phâ - Lược đồ áp dụg Laplace để giải phươg trìh vi phâ và hệ hai phươg vi phâ cấp 2 - Các ví dụ 2. Nội dug các bài thí ghiệm (thực hàh, tiểu luậ, bài tập lớ) NHÓM BIÊN SOẠN ĐỀ CƯƠNG PGS.TSKH. Nguyễ Thiệu Huy TS. Vũ Thị Ngọc Hà Ngày thág ăm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG KH&ĐT KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG (Họ tê và chữ ký)