mhd.dvi

ÓÙÐ Ñ ÒØ Ñ Ò ØÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ Õ٠º¹ º Ö Ù ½ Ä³Ó Ø ÔÖÓ Ø Ø ³ ØÙ Ö Ò ÑÔÐ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ³ÙÒ Ù ÓÙÑ ÓÖ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÕÙ º ½ ÅÓ Ð Ø ÓÒ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÑ Ò ÓÖÒ R 3 ÓÙÔ Ô Ö ÙÒ Ñ Ø Ð Ð ÕÙ ØÖ Ú Ö Ô Ö ÙÒ ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ò ÔÖ Ò ³ÙÒ ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ º Ä Ñ Ø Ð Ø ÙÔÔÓ ØÖ ÙÒ Ù Ò ÛØÓÒ Ò ÒÓÑÔÖ Ð Ñ ÚÓÐÙÑ ÕÙ Ð ½ Ú Ó Ø η Ø ÓÒ ÙØ Ú Ø Ð ØÖ ÕÙ σ ÓÒ Ø ÒØ º ÇÒ ÒÓØ t Ð Ø ÑÔ Ø x = (x, y, z) ÙÒ ÔÓ ÒØ Ð³ Ô u(x, t) Ð Ú Ø p(x, t) Ð ÔÖ ÓÒ Ø B(x, t) Ð ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ Ò Ð Ù º Ä ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ø Ð ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ Ö ÒØ ÙÒ ÓÖ ÕÙ ÑÓ Ð³ ÓÙÐ Ñ ÒØ Ù Ù º ÁÒÚ Ö Ñ ÒØ Ð ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ù Ù Ö ÙÒ ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ò Ù Ø ÕÙ ÑÓ Ð ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ º ÅÓÝ ÒÒ ÒØ ÕÙ ÐÕÙ ÝÔÓØ Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Å ÜÛ ÐÐ Ø Ò ÔÖ Ò ÒØ ÙÒ Ô ÖÑ Ð Ø Ñ Ò Ø ÕÙ Ð ½ ÓÒ Ô ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÓ Ð Ô Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ñ Ò ØÓ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÕÙ ÅÀ µ Ù Ú ÒØ t u + (u )u η u + p = (rotb) B, Ú u = 0, t B + rot σ rotb ½µ = rot(u B), ÚB = 0. Ä Ò Ø ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ø ÓÒÒ Ô Ö j = rotb ÓÙ Ô Ö Ð ÐÓ ³Ç Ñ j = σ(e + u B)º ÉÙ Ø ÓÒ ½º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÙÖ Ð ÓÖ Γ Ù ÓÑ Ò u = 0 B n = 0 Ø rotb n = 0 º ÅÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Æ Ú Ö¹ËØÓ Ô Ö u Ø ÒØ Ö Ö ÙÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ Ô Ö B Ø ÒØ Ö Ö ÙÖ Ò Ù Ö ÕÙ 1 d u 2 dx + 1 d B 2 dx + η u 2 1 dx + 2 dt 2 dt σ rotb 2 dx = 0 ÓÑÑ ÒØ Ö Ð Ò Ô Ý ÕÙ Ú Ö Ø ÖÑ º ÁÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ú Ö Ö ÕÙ (u )u u dx = Ú u u 2 2 dx + u 2 u n dγ ¾µ Γ 2 rot C C dx = C rotc dx + n C C dγ, µ Γ ½ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ Â Ò¹ Ö Ö º Ö Ù ÒÖ º Ö ½

ÇÒ ÙÔÔÓ Õ٠г ÓÙÐ Ñ ÒØ Ù Ù Ð Ù Ò ÙÒ ØÙÝ Ö ¾ ÒØÖ ÙÜ ÔÐ Ò Ô Ö ÐÐ Ð µº Ä ÑÓÙÚ Ñ ÒØ Ø Ö Ô Ö ÙÒ Ö ÒØ ÔÖ ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÒØÖ Ð³ ÒØÖ Ø Ð ÓÖØ Ð ØÙÝ Ö º Ä ØÙÝ Ö Ø ÔÐÓÒ Ò ÙÒ ÑÔ B o u y x º ½ ÓÙÐ Ñ ÒØ À ÖØÑ ÒÒ ¾ Ñ Ò Ø ÕÙ ÜØ Ö ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ B 0 = (0, 1, 0) ÓÙÐ Ñ ÒØ À ÖØÑ ÒÒµº Ä ÕÙ Ø ÓÒ ÔÐ Ò ÓÒØ y = 1 Ø y = º ÉÙ Ø ÓÒ ¾º Î Ö Ö ÕÙ Ò ØØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ½µ Ø ÓÒÒ Ô Ö u = (u(y, t), 0, 0) B = (b(y, t), 1, 0) x p = f = C ste Ó u Ø b ÓÒØ ÓÐÙØ ÓÒ u t u η 2 y 2 b = f, y b t 1 2 b σ y 2 u = 0. y Ä Ù Ú ÕÙ ÙÜ Ö ÙÜ Ô ÖÓ Ð ØÙÝ Ö Ø Ð ÓÖ ÓÒØ ÙÔÔÓ ÓÐ ÒØ º ÇÒ ÓÒ u() = u(1) = 0 Ø b() = b(1) = 0 ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø H = L 2 (] 1, 1[) Ø V = {v H 1 (] 1, 1[), v() = v(1) = 0}º ÉÙ Ø ÓÒ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ö Ö ÓÙ Ð ÓÖÑ Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ØÖÓÙÚ Ö u(, t) V Ø b(, t) V Ø Ð ÕÙ v V Ø c V 1 1 1 t u v dy + η t b c dy + 1 σ 1 1 y u y v dy y b y c dy + 1 v y b dy = 1 u y c dy = 0. fv dy, ÉÙ Ø ÓÒ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ f L 2 ([0, T]; H) u 0 H Ø b 0 Hº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ (u, b) Ø ÐÐ ÕÙ u L 2 (]0, T[; V ) C([0; T]; H) Ø b L 2 (]0, T[; V ) C([0; T]; H) Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ C > 0 Ø ÐÐ ÕÙ u L2 (]0,T[,V ) + b L2 (]0,T[,V ) C( u 0 H + b 0 H + f L2 (]0,T[;H)), ¾

u C 0 ([0,T],H) + b C 0 ([0,T],H) C( u 0 H + b 0 H + f L 2 (]0,T[;H)). Ê Ñ ÖÕÙ ÓÒ Ñ ØØÖ ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ù ÓÙÖ Ò ÕÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ó Ø Ô ÝÑ ØÖ ÕÙ º ¾ Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ ¾º½ Ö Ø Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ ËÓ Ø ÙÒ Ô Ø ÑÔ δtº ÇÒ ÒÓØ u n (x) p n (x) Ø B n (x) Ð Ú Ð ÙÖ ÔÔÖÓ¹ u(x, t n ) p(x, t n ) Ø B(x, t n ) Ó t n = nδtº ÇÒ ÓÒ Ö ÙÜ Ñ Ò Ø ÑÔ º Ë Ñ ½ ÓÒÒ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ u n B n Ø p n ÓÒ Ö u n+1 B n+1 Ø p n+1 ÓÐÙØ ÓÒ u n+1 u n + (u n )u n+1 η u n+1 + p n+1 + B n rotb n+1 = 0 δt Úu n+1 = 0 B n+1 B n + rot δt σ rotbn+1 rot(u n+1 B n ) = 0 ÉÙ Ø ÓÒ º ÈÖ Ò Ö Ð Ñ Ñ ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø ÕÙ³ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½º ÅÙÐØ ÔÐ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ý ÖÓ ÝÒ Ñ ÕÙ Ô Ö u n+1 Ø ÒØ Ö Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ÕÙ Ô Ö B n+1 Ø ÒØ Ö Ö Ò Ù Ö ÕÙ ÓÑÑ ÒØ Öº ( u n+1 2 u n 2 ) 2δt dx + ( B n+1 2 B n 2 ) dx+ 2δt ( η u n+1 2 + 1 σ rotbn+1 2 dx ) 0. Ë Ñ ¾ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð Ú Ð ÙÖ u n B n Ø p n º ÇÒ ÓÑÑ Ò Ô Ö Ö Ö u n+1 Ø p n+1 ÓÐÙØ ÓÒ u n+1 u n + (u n )u n+1 η u n+1 + p n+1 = rotb n B n, δt Ú u n+1 = 0. ÔÙ ÓÒ Ö B n+1 ÓÐÙØ ÓÒ B n+1 B n + rot δt σ rotbn+1 = rot(u n+1 B n ).

ÉÙ Ø ÓÒ º Ê ÔÖ Ò Ö Ð ÐÙÐ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾º½ ÔÓÙÖ ÒÓÙÚ Ù Ñ º ÓÑÑ ÒØ Öº ¾º¾ Ö Ø Ø ÓÒ Ò Ô ÆÓÙ ÔÖÓÔÓ ÓÒ ³ ØÙ Ö ÙÒ Ö Ø Ø ÓÒ Ò Ô Ù Ý Ø Ñ ÅÀ ÑÔÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ÓÙÐ Ñ ÒØ À ÖØÑ ÒÒº ÇÒ ÓÒÒ N ÔÓ ÒØ x j = +(j)h ÔÓÙÖ j = 1,..., N Ú h = 2/(N ) Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ð³ Ô Ö Ø Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò È½µ V h = {v h C o ([, 1]), v h () = v h (1) = 0, v h ]xi,x i+1[ Ø Ò }. Ä Ö Ø Ø ÓÒ Ò Ô Ø Ò Ö ÑÔÐ ÒØ V Ô Ö V h Ò º ÇÒ ÒÓØ u n h (y) г ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ u h(y, t n )º ÇÒ Ô ÙØ ÐÓÖ Ö Ö ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ À ÖØÑ ÒÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ú Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ñ ½ Ø ¾º ÉÙ Ø ÓÒ º Î Ö Ö ÕÙ Ð Ë Ñ ½ ÔÔÐ ÕÙ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ø ÙÖ V h ³ Ö Ø ÓÙ ÓÖÑ Ñ ØÖ ÐÐ δt M + ηk u n+1 + C T b n+1 = 1 δt Mun + f, ( 1 Cu n+1 + δt M + 1 ) σ K b n+1 = 1 δt Mbn. Ñ Ñ Ú Ö Ö ÕÙ Ð Ë Ñ ¾ ³ Ö Ø δt M + ηk u n+1 = C T b n + 1 δt Mun + f, Ø ( 1 δt M + 1 ) σ K b n+1 = 1 δt Mbn + Cu n+1. ÐÙÐ Ö Ñ ØÖ Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ð ÙÜ Ñ Ò Ë Ð º ÉÙ Ø ÓÒ º Î Ö Ö ÕÙ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÒÒ Ö t u = t b = 0µ Ú Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø Ø ÓÒÒ Ô Ö u(y) = f ηα tanh(α) ( 1 cosh(yα) cosh(α) ), b(y) = ( ) sinh(yα) sinh(α) y f, Ó α = σ η º ÁÐ Ø ÒØ Ö ÒØ ÓÑÔ Ö Ö ØØ ÓÐÙØ ÓÒ Ú ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ò Ð³ Ò ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ ÓÙÐ Ñ ÒØ ÈÓ Ù ÐÐ µ u(y) = f 2η (1 y2 )º ÇÒ Ú ØÙ Ö ÑÙÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ø ÑÔ ÐÓÒ ÔÓÙÖ Ø ÒØ Ö Ö ØÖÓÙÚ Ö ØØ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÒÒ Ö º Ò ØÓÙØ Ð Ù Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ö f 1 ÕÙ Ò³ ÑÔÐ ÕÙ Ò Ö Ô f 1µº

ÉÙ Ø ÓÒ º Ú Ð Ë Ñ ½ ÔÖ Ò Ö δt = 1 Ø N = 21º ÐÙÐ Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ú 1/σ = η = 0.1 1/σ = η = 0.02 1/σ = η = 0.01 Ø Ð ÓÑÔ Ö Ö Ú Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÐÝØ ÕÙ ØÖ Ö Ð ÓÙÖ Ó Ø ÒÙ µº Ê Ö Ð ÐÙÐ Ú N = 51º ÓÑÑ ÒØ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø º ÉÙ Ø ÓÒ ½¼º Ú N = 51 Ø 1/σ = η = 0.1 ÓÑÔ Ö Ö Ð Ñ ½ Ø ¾ Ú δt = 0.1, 0.5, 1, 10º Ê ÔÖ Ò Ö ÓÑÔ Ö ÓÒ Ú 1/σ = η = 0.02º ÓÑÑ ÒØ Öº ÍÒ ÙØÖ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ ÅÀ Ò Ð ÓÙÐ Ñ ÒØ À ÖØÑ ÒÒ ¾ Ð ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ Ø Ð ÑÔ Ú Ø ÓÒØ Ò Ð Ñ Ñ ÔÐ Òº ÇÒ ³ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ð ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù ÔÐ Ò Ð³ ÓÙÐ Ñ Òغ ÇÒ ÓÒ u = (u(x, y), v(x, y), 0) B = (0, 0, B(x, y))º ÉÙ Ø ÓÒ ½½º Î Ö Ö ÕÙ B Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ t B + u. B Ú σ B = 0. ½¼µ ÉÙ ÐÐ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ú Ö Ô Ö (u, p) ÓÑÑ ÒØ Öº ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ÓÑ Ò = [0, 1] [0, 1]º Ä Ò Ø ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ Ø ÙÔÔÓ Ø Ò ÒØ ÙÜ Ô ÖÓ Ð Ø Ö Ð Ô ÖÓ ÓÐ ÒØ µ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÜ Ô ÖÓ ÙÔ Ö ÙÖ Ø Ò Ö ÙÖ Ô ÖÓ ÓÒ ÙØÖ µº ÇÒ ØÖ Ù Ø Ô Ö Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÙÜ Ð Ñ Ø Ù Ú ÒØ B = B 0 Ò x = 0, B = B 0 Ò x = 1, B ½½µ = 0 Ò y = 0 ÓÙ 1. y j u Be z º ¾ ÓÙÐ Ñ ÒØ ¾ º ÑÔ Ñ Ò Ø ÕÙ ½ º j ÉÙ Ø ÓÒ ½¾º ÈÓÙÖ ÑÔÐ Ö Ù Ð Ù Ö ÓÙ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Æ Ú Ö¹ ËØÓ ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ ÑÔ Ú Ø u(x, y) ÓÒ ØÖÙ Ø ÔÓÙÖ ØÖ Ú Ö Ò

ÒÙÐÐ Ø ³ ÒÒÙÐ Ö ÙÖ Ð ÓÖ Ù ÓÑ Ò º ÇÒ ÔÖÓÔÓ ÔÖ Ò Ö u = y g Ø v = x g Ú g(x, y) = 10x 2 y 2 (1 x) 2 (1 y) 2 º Ê ÓÙ Ö Ú Ö Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼µ¹ ½½µ Ø ØÖ Ö Ð Ð Ò ÓÙÖ ÒØ Ð ØÖ ÕÙ º ÇÒ ÔÖ Ò Ö ¼ Ù Ú ÓÒ Ô Ö ÓØ Ù ÓÑ Ò δt = 0.1 B 0 = 1 Ø ÔÐÙ ÙÖ Ú Ð ÙÖ ÓÒ ÙØ Ú Ø Ð ¹ ØÖ ÕÙ σ = 1, 10, 50º ØÙ Ö ½¼¼ Ø Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÑÔ º ÓÑÑ ÒØ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ô Ý ÕÙ Ñ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ Òغ