Phầ I. Địh lý về hàm số khả vi. Chứg mih rằg phươg trìh + p + q = với guê dươg khôg thể có quá hi ghiệm thực ếu chẵ, khôg có quá ghiệm thực ếu lẻ.. Chứg mih bất đẳg thức si - si - b) rctg - rctg < - d) cos tgα - tgβ cos ) p p- ( - ) p - p p p- (-) với < <, p >. Cho f là một hàm số thực, khả vi trê [,b] và có đạo hàm f () trê (,b), chứg mih rằg (,b) có thể tìm được ít hất một điểm c (,b) so cho f() - f( - f (b) f ( ( - = b ( ( b) f (c). Cho f(), g() là các hàm khả vi đơ điệu tăg thoả mã f( ) = g( ), đồg thời f () g () với mọi. Chứg mih rằg f() g() với mọi. Phầ II. Khi triể hữu hạ, ứg dụg các địh lý hàm số khả vi, khảo sát hàm số. Tìm giới hạ cos b) tg l( ) c) si tg d) rctg l ) tg f) tg tg g) tg l( ) h) b i) c d j) k) si l) l ) rctg l cot g o) p) cos si q) si tg cos
r) l s) l( ) tg cot g t) l cos ( ) u). Tìm giới hạ b) [(π - rctg)l] c) (l )l. Tìm giới hạ b) cot g c) l l( ) d) l( ) l( ) ) l( ). Tìm giới hạ c) d) tg ) si f) si g) ( ) h) (tg) -π i) (si) tg j) rctg k) rctg l) ( ) m) ( cos ) tg ) rcsi o) rccos p) (rccos ) q) tg r) b l l b si s) ( rctg ) 5. Viết khi triể Mc-Luri hàm số f() ( ) ( ) ( ) 6 đế b) - đế c) tg đế d) đế 5 ) đế f) ( -) - đế
g) si đế h) lcos đế 6 i) si(si) đế si j) l đế 6 6. Tìm giới hạ cos si b) si ( ) c) 7. Tìm giới hạ b) c) si l si d) 6 ) cot g 8. Xác địh,b so cho biểu thức su có giới hạ hữu hạ khi f() = si - - - b 9. Khảo sát tíh đơ điệu củ hàm số = f() su + b) rctg - c) + si. Chứg mih bất đẳg thức rctg l( + ) R b) - l(+). Tìm cực trị củ hàm số = b) = - l( + ) c) = ( )( ) d) = ( - ) / ( + ) ) = f) = l g) = l h) = rctg i) = + rccotg
. Tìm tiệm cậ củ các hàm số su - b) lg c) d) ). Tìm cực trị và tiệm cậ củ các hàm số su = + rccotg b) = - c) = l d) = l ) = - rctg f) = ( ). Giả sử f là hàm lồi trê đoạ [,b]. Chứg mih rằg c (,b), t có f (c) f ( c f (b) f ( b f (b) f (c) b c 5. Cho, >, chứg mih các bất đẳg thức su b) c) l + l ( + )l Phầ III. Tích phâ ác địh. Tíh các đạo hàm d d t dt d b) d t dt d c) t dt d cos d d) cos t dt d si d ) d d d f) d dt t. Tìm các giới hạ (rctgt) dt b) cos t dt c) t t dt dt
d) t dt ) si tg rctgtdt f) rcsi tdt si tg t si tgtdt tdt. Tíh các tích phâ su d b) / d c) / 6 6 d tg d d) si d ) 5 ( ) 5 9 d f) d g) ( ) h) l d i) / rcsi d j) / d si d j) k) d l) d d m) d ) l l o) d p) / d / cos d d r) / si q) s) l l d t) d u) 9 d. Tíh các tích phâ su / cos d b) / si d cos / c) rcsi d l d) d d ) / f) cos d g) cos d h) 9 l ) ( d i) d j) d d k) rcsi l) d ( ) / m) cot g d ) cos(l )d o) / 6 / 9 d / p) d cos q) d r) d l 5 s) rcsi d ( )d t) ( )( ) u) d d v) ( l ) / ) d cos
5. Tíh các tích phâ 5 d b) / / d 5 / c) ( )si d d) / si l d cos d ) l f) l ( )d g) ( ) d h) / si d i) rcsi d / j) d si cos,75 k) ( ) d l) si d cos / ( ) m) d si cos ) d ( tg ) o) cos d p) / rcsi d q) / rcsi d r) / ( tg )d ( tg) / s) / cos d 9 si 5 si si t) d 9 cos / u) d si cos / / d v) ( tg )cos / ) cos d b si / ) si si si d z) ( 5) d 6. Tíh các tích phâ / / cos cos d b) / m d) si cos d ) si d c) / si cos( )d f) m ( ) d si cos si cos 7. Với giả thiết các hàm là khả tích trê miề đg ét, chứg mih rằg d b f ()d = f [ (b ]d b) f ( )d = f ()d ( > ) c) f ()d = (f là hàm lẻ) d) f ()d = f ()d (f là hàm chẵ)
T T ) f ()d = f ()d (f là hàm tuầ hoà chu kỳ T) 8. Chứg mih rằg ếu f() liê tục trê [,] thì / f (si )d = / Áp dụg tíh các tích phâ su f (cos )d b) f (si )d = f (si )d si d c) cos / d) si cos d cos / ) si d si cos / f) d (tg) / g) si (si )d cos / h) ( cos )d si cos 9. Cho hàm f() khả tích và ghịch biế trê [,], chứg mih rằg α (,), t có: f ()d α f ()d
. Tíh các tích phâ Phầ IV. Tích phâ su rộg d d b) c) d d) d ) d l d f) ( ) g) d h) d i) d j) l d d d rctgd k) l) m) ( ) ) / ( ) d 5. Tíh các tích phâ d b) l d c) 5 d d) d ) l l d f) d g) / cot gd h) / l(si )d i) l(si)d j) d k) l( ) d l) b d (b > > ) l. Xét sự hội tụ các tích phâ d ch b) d ()() c) d. Xét sự hội tụ các tích phâ su d b) tg cos d c) d f) d g) d h) si si d i) d j) d k) d l) rctgd m) d ) l( ) d
o) d ( )( ) p) cos d q) rcsi d 5. Xét sự hội tụ các tích phâ su si d b) cos d c) cos d d) / cos d ) si d f) cos d g) cos d h) si d i) cos l d j) si d k) cos d l) si d 6. Xét sự hội tụ các tích phâ su d b) tg si d c) d d) d d ) f) d g) ( ) d h) d i) l( ) d j) rcsi d ( ) d k) l) k si p q l d m) / cos m d ) d 5 ( ) o) d p) cos d q) si tg d ( ) r) / l si d 7. Xét sự hội tụ củ các tích phâ su m d b) rctg l( ) d c) d d) d d ) f) / d g) p q si cos m rctg d
8. Nếu f()d hội tụ thì có su r được f() khi + khôg? Xét ví dụ si( )d 9. Cho hàm f() liê tục trê [,+ ) và khôg? f () = A, hỏi f()d có hội tụ. Tìm các giới hạ Phầ V. Ứg dụg củ tích phâ ác địh... b)... c)... d)... ) si si... si f) p p p... p (p > ) g) ( )... h)... i)! j)... 6 ( ) k)... (. Tíh diệ tích các hìh phẳg giới hạ bởi = +, - + = b) =, =, = c) + =, = d) + =, = ) =, + = f) + =, = - g) =, =, = h) = ( - ) i) g) = p, 7p = 8( - p) h) =, = + si ( π)
i) = ( + ), = siπ, j) = lg ; = ; =,; = Phầ VI. Hàm hiều biế. Tìm miề ác địh củ các hàm số su: z = b) z = ( )( ) c) z = rcsi d) z = si ) z = si f) z = rctg g) z = l h) z = rcsi + i) z = si ( ). Tìm các giới hạ (ếu có) củ các hàm số su (,) (,) b) si (, ) (,) c) (,) (,) d) (,) (, ) ) (,) (, f) ( ) (,) (,) g) (,) (,) si h) (,) (,) ( ) i) cos( ) (,) (,) ( ) j) (,) (, ) ( () ) k) (,) (,) ( ). Khảo sát tíh liê tục củ hàm số f(,) = : (, ) : (, ) (,) (,) Phầ VII. Đạo hàm và vi phâ hàm hiều biế. Tìm các đạo hàm riêg củ các hàm số su z = ( + ) si b) z = c) z = si d) z = ) z =
f) z = (, > g) z = l( + ) h) z = rctg i) u = z (,,z > ) j) u = z k) z = (si) l) z = ( ) m) u = z. Khảo sát sự liê tục, sự tồ tại, liê tục củ các đạo hàm riêg củ hàm số f(,) su: f(,) = rctg khi khi b) f(,) = si si khi khi (, ) (, ) (,) (,) c) f(,) = khi (, ) (,) d) f(,) = khi (, ) (,) khi khi (, ) (, ) (,) (,). Giả sử z = f( - ), trog đó f là hàm số khả vi. Chứg mih rằg đối với hàm z' số z, hệ thức su luô thoả mã: z' z + =. Tìm đạo hàm các hàm số hợp su đâ z = u v, u = cos, v = b) z = l(u + v ), u =, v = / c) z = u siv, u = +, v = d) z = ( + uv) v, u = -, v = + u ) z = l v u v f) z = rcsi( - ), = t, = t g) z = si ( + ), = cos t, = si t h) z = rctg, = cost, = sit i) z = -, = sit, = t j) z = rcsi( - ), = sit, = t
5. Tìm vi phâ toà phầ củ các hàm số z = ltg b) z = c) z = d) z = + ) z = si g) z = rcsi h) z = si( + ) i) z = rctg j) u = z k) u = z l) u = z m) u = () z ) u = si z 6. Tíh gầ đúg A = (,) (,5) b) B = l(, +, 98 - ) c) C = (,97), 7. Tìm đạo hàm củ các hàm số ẩ ác địh bởi các phươg trìh su - = b) rctg = c) + tg( + ) = d) = rctg( + ) ) = f) + cos( + ) = g) rctg() + - = Phầ VIII. Đạo hàm và vi phâ cấp co, cực trị hàm hiều biế. Tíh các đạo hàm riêg cấp hi củ hàm số su z = ( ) b) z = l(+) c) z = rctg d) z = ) z = sicos f) z = g) z = si + cos. Tìm đạo hàm các hàm ẩ su si( + ) - =, tíh, b) + =, tíh,, c) l = rctg, tíh. Lấ vi phâ cấp hi củ các hàm số su z = - b) z = ( ) c) z = si d) z = ) z = l( - ) g) z = ( + ) + h) z = rctg() i) z = sisi
j) z = cos( + ). Tìm cực trị củ các hàm số su z = + + + - + b) z = + - c) z = + - d) z = + - ( ) ) z = + - - f) z = + - 9 + 7 g) z = i) z = ( - - ) j) z = ( - ) + k) z = + - - 6 l) z = + 6 - - - m) z = + + - - Phầ IX. Giá trị lớ hất và hỏ hất, cực trị có điều kiệ. Tìm cực trị có điều kiệ z = + với + = b) z = với + = c) z = + với + b + c = d) z = với + - = ) z = 6 - - với + = f) z = + với + = 5. Tíh giá trị lớ hất và bé hất củ các hàm số z = ( - -) trog hìh tm giác giới hạ bởi =, = 6, + = 6 b) z = si + si + si( + ) trog hìh chữ hật giới hạ bởi =, = π/, =, = π/ c) z = 8 + + - ( + + ) trog miề + d) z = + - + + trog miề,, + - ) z = + + ( - ) + ( - ) trog tm giác O(;), A(;), B(;) f) z = + - - trog miề,, + g) z = trog miề + h) z = - trog miề + i) z = ( - - ) trog miề,, + 6 j) z = + trog miề +
k) z = - - trog miề, - l) z = + - + 6 trog miề + 5 Phầ X. Phươg trìh vi phâ. Giải các phươg trìh su (+)d + (-)d = b) ( - ) + + = c) cos - si = d) + si(+) = si(-) ) = + - + f) = + g) cos = /l h) = i) = + - j) = ( - ) k) = - l) ld - d = m) - =. Tìm ghiệm riêg củ phươg trìh thoả các điều kiệ b đầu = + -, () = b) d + d =, () = c) ( + ) d = d, () = d) ( - ) + =, () =. Giải các phươg trìh su: d - d = d b) + - = c) = ( - ) d) - = ( + )l ) - = si(/) ) ( + ) + ( - ) = f) cos (d + d) = si (d - d) g) = / - / h) = +. Giải các phươg trìh vi phâ - si = sicos b) ( + ) = + c) + ( + ) = - d) ( + ) + = rctg ) - = ( + ) f) + cos = sicos g) - 5. Giải các phươg trìh vi phâ = ( + )cos
+ = b) - / = 5 5 6. Giải các phươg trìh vi phâ ( + + )d + ( - + )d = b) ( + )d + ( + )d = d ( )d c) ( ) = d) ( + l)d - ( - /)d = ) ( + )d + ( + )d = f) ( - / )d + (/)d = 7. Tìm hằg số,b để biểu thức ( + + si())d + ( + b + si())d là vi phâ toà phầ củ một hàm số u(,) ào đó. Hã tìm hàm số u(,) đó.