niveau1.dvi

ÈÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ð³ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ ÒÒ ¾¼½½ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Z ¹ Å ÖÖ ¼ Ù Ò ¾¼½½ ½ Ú Ð Ø Ò Z ÓÒ ÖÙ Ò Ü Ö ½º½º Ò ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ½º ÙÜ ÒØ Ö ÓÒ ÙØ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ ¾º ÙÜ ÒØ Ö ÑÔ Ö ÓÒ ÙØ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ º Ð ÒØ Ö 3n+5 Ø 2n+3 ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ n ÒØ Öµº Ü Ö ½º¾º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙ Ð ÒØ Ö Ö Ð Ø n Ø Ð ÕÙ Ð Ö Ð 5n2 +3n+2 n+3 Ó Ø ÙÒ ÒØ Öº Ü Ö ½º º ij Ò Ñ Ð {n 2 25 : n N} ÓÒØ Òع Ð ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ü Ö ½º º ½º Ê ÓÙ Ö Ò N 2 г ÕÙ Ø ÓÒ a 2 b 2 = 12º ¾º Î Ö Ö ÕÙ 2011 Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Öº Ê ÓÙ Ö Ò N 2 г ÕÙ Ø ÓÒ a 2 b 2 = 2011º º ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ a 2 b 2 Ó Ø Ô Öº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ a 2 b 2 Ø Ú Ð Ô Ö 4º º Ê ÓÙ Ö Ò N 2 г ÕÙ Ø ÓÒ a 2 b 2 = 162º Ü Ö ½º º ½º ËÓ ÒØ p Ø q ÙÜ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÓÒ ÒÙÐ º ÑÓÒØÖ Ö Ð³ ³ÙÒ ÓÑÑ Ø ÖÑ ³ÙÒ Ù Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ µ ÕÙ 2 p 1 Ú 2 pq 1º ¾º Ò Ù Ö ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÑÔÐ ÔÓÙÖ Õ٠г ÒØ Ö M n = 2 n 1 ÒÓÑ Ö Å Ö ÒÒ µ Ó Ø ÔÖ Ñ Öº ÓÒØÖ ¹ Ü ÑÔÐ Ù Ö Ø Ö Ù ÒØ Ü Ö ½º ÙØ Ð Ø ÓÒ Ù ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ Òصº Ä ÒÓÑ Ö ϕ ÒÚ ÖÓÒ 1,618µ Ø Ð Ö Ð ÔÓ Ø Ú Ö ÒØ Ð³ Ð Ø ϕ 1 = ϕ 1º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ðº ÁÒ Ø ÓÒ Ô Ö Ð³ ÙÖ ÙØ Ð Ö Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ ÔÓ Ø Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ϕ ÓÑÑ ÙÒ Ö Ø ÓÒÒ Ðºµ Ü Ö ½º º ÐÙÐ ÑÓ ÙÐÓ 4º ½º Ö Ö Ð Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Z/4Zº ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÙÒ ÒØ Ö Ø Ð ÓÑÑ ÙÜ ÖÖ Ð Ø ÓÒ ÖÙ 0 1 ÓÙ 2 ÑÓ ÙÐÓ 4º º Ê ÓÙ Ö Ò N 2 г ÕÙ Ø ÓÒ a 2 +b 2 = 2011º º Ê ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ð³ Ü Ö 1.4 µº Ü Ö ½º º ÐÙÐ ÑÓ ÙÐÓ 5º ½º Ö Ö Ð Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Z/5Zº ¾º Ê ÓÙ Ö Ò Z г ÕÙ Ø ÓÒ x 2 +1 0 (mod 5)º º Ø ÖÑ Ò Ö ÐÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n Ð Ö Ø 13 n Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ Ô Ö 5º Ü Ö ½º º ÉÙ Ð Ø Ð Ö ÙÒ Ø Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ñ Ð µ Ù ÒÓÑ Ö 7 2011 Ø Ð Ö Þ Ò ¾ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ PGCD PPCM ÙÐ ÞÓÙØ Ù Ü Ö ¾º½º ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö ÒÓÒ ÒÙÐ Ø δ = PGCD(a;b)º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ a δ Ø b δ ÓÒØ ÙÜ ÒØ Ö ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ Ùܺ Ü Ö ¾º¾º ½º ÓÑÔÓ Ö 2600 Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö º ¾º ÓÑ Ò 2600 Ñ Ø¹ Ð Ú ÙÖ ÔÓ Ø º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÜ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ØÖÓ µ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ñ ØØ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ 35 Ú ÙÖ ÔÓ Ø º º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ ÒØ Ö ÒÓÒ ÒÙÐ Ø ÙÒ ÖÖ Ô Ö Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð Ñ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÑÔ Ö Ú ÙÖ ÔÓ Ø º

Ü Ö ¾º º ½º ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ ÙÜ ÒÓÑ Ö 1806 Ø 714º ¾º Ò Ù Ö Ð PGCD Ð PPCM Ò ÕÙ ØÓÙ Ð Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ ÔÓ Ø 1806 Ø 714º Ü Ö ¾º º ½º ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ a = 90 Ø b = 77 Ø Ø ÖÑ Ò Ö ÙÜ ÒØ Ö u Ø v Ø Ð ÕÙ au+bv = 1º ¾º Î Ö Ö ÕÙ³ Ð Ò³Ý Ô ÙÒ Ø Ù ÓÙÔÐ (u;v)º º Ê ÓÙ Ö Ò Z 2 г ÕÙ Ø ÓÒ 90x+77y = 1º º Ê ÓÙ Ö Ò Z 2 г ÕÙ Ø ÓÒ 90x+77y = 5º Ü Ö ¾º º ½º Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ ³ÙÒ ÒÓÑ Ö Ô Ö 69 Ð Ö Ø Ø 35º Ò Ð Ú ¹ ÓÒ ÙÐ ÒÒ Ô Ö 75 Ð ÕÙÓØ ÒØ Ø Ð Ñ Ñ Ø Ð Ö Ø Ø 17º ÉÙ Ð Ø ÒÓÑ Ö ¾º ÄÓÖ ÕÙ³ÓÒ ØÙ Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ 2011 Ô Ö Ð³ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð b Ð ÕÙÓØ ÒØ Ø 29º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÔÓ Ð Ù Ú ÙÖ b Ø Ù Ö Ø rº Ü Ö ¾º º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n ÓÒ ÓÒ Ö Ð ÒÓÑ Ö a = 2n 2 7n 4 Ø b = n 2 n 12º ÇÒ ÓÙ Ø Ø ÖÑ Ò Ö PGCD(a;b)º ½º ÇÒ ÔÓ α = 2n+1 Ø β = n+3 Ø ÓÒ ÒÓØ δ = PGCD(α;β)º ÂÙ Ø Ö ÕÙ PGCD(a;b) = n 4 δº ¾º ü г ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö 2β α = 5 Ø α β = n 2 ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ δ = 5 n 2 Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ 5 Ø δ = 1 ÒÓÒº º Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø ÔÖ ÒØ ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÒÓÑ Ö PGCD(a;b)º { PGCD(x;y) = 5 Ü Ö ¾º º Ê ÓÙ Ö ÙÖ N Ð Ý Ø Ñ PPCM(x;y) = 450 { x+y = 180 Ü Ö ¾º º Ê ÓÙ Ö ÙÖ N Ð Ý Ø Ñ PGCD(x;y) = 12 Ü Ö ¾º º ËÓ Ø P ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ó ÒØ ÒØ Ö ÙÒ Ø Ö Ø Ö n ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð 1º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÙÒ Ö Ò P Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ ³ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒØ Öº ÈÖ Ñ Ð Ø Ü Ö º½º Ä Ô Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ø Ð Ù Ú ÒØ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö a ÒÓÒ Ú Ð Ô Ö p ÓÒ Ð ÓÒ ÖÙ Ò a p 1 1 (mod p). ½º ÅÓÒØÖ Ö Ð³ Ù Ø ÓÖ Ñ Ù ÕÙ p Ú Ð Ó ÒØ ÒÓÑ Ð ( p) k = p! ØÓÙØ ÒØ Ö 1 k p 1º ¾º Ò Ù Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö a Ð ÓÒ ÖÙ Ò (1+a) p 1+a p (mod p). º ÑÓÒØÖ Ö Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö a º Ò Ù Ö Ð Ø ÓÖ Ñ º a p a (mod p). Ü Ö º¾º Ä Ø ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒ Ø Ð Ù Ú ÒØ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖ (p 1)! 1 (mod p). (p k)!k! ÔÓÙÖ ½º ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö 1 x p 1 Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö y Ø Ð ÕÙ xy 1 (mod p)º ¾º ÂÙ Ø Ö ÕÙ³ÙÒ Ø Ð ÒØ Ö y Ø ÙÒ ÕÙ Ò [1;p 1]º ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ y ÔÓÙÖ x Ò Z/pZ º Ê ÓÙ Ö x 2 1 (mod p)º ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Z/pZ º ÑÓÒØÖ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒº

ÈÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ð³ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ ÒÒ ¾¼½½ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Z ¹ Ê ÙÐØ Ø ¹ Å ÖÖ ¼ Ù Ò ¾¼½½ Â Ö ÒÚÓ ÙÜ Ð ÚÖ ÅÓÒ¼ Ø Ï + ¼¾ ÔÓÙÖ ÔÐÙ Ø Ð Ø ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ º ½ Ú Ð Ø Ò Z ÓÒ ÖÙ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º ½º ÍÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÒÓÒ¹Ú N ÔÓ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ Òغ ¾º ÍÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÒÓÒ¹Ú Ø Ñ ÒÓÖ Z ÔÓ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ Òغ º ÉÙ Ð ÕÙ Ó ÒØ Ð³ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð b ÒÓÒ ÒÙÐ Ø Ð³ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð a Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n Ø Ð ÕÙ a < nbº N Ø Ö Ñ Òµº ÍÒ Ð Ø Ò Ø ÓÒ»ÚÓ ÙÐ Ö ½º ÍÒ ÒØ Ö b Ú ÙÒ ÒØ Ö a ÓÒ ÒÓØ b aµ ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö k Ø Ð ÕÙ a = b kº ¾º ij Ò Ñ Ð D a Ú ÙÖ ÔÓ Ø ³ÙÒ ÒØ Ö a Ø ÒÓÒ Ú Ø Ò a Ø ÒÓÒ ÒÙеº º ij ÒØ Ö a Ø ÔÖ Ñ Ö D a ÓÒØ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÜ Ð Ñ ÒØ ÕÙ ÓÒØ ÐÓÖ 1 Ø a µº º ij Ò Ñ Ð ÑÙÐØ ÔÐ a Ø azº º Ä ÒÓØ ÓÒ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÑÑÙÒ ÙÜ ÓÙ ÔÐÙ µ ÒÓÑ Ö Ø Ò ØÙÖ ÐÐ º º ÙÜ ÒØ Ö a Ø b ÓÙ ÔÐÙ º º º µ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ D a D b = {1}º ÈÖÓÔÖ Ø ½º½º Ë c Ú a Ø b ÐÓÖ c Ú ØÓÙØ Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö αa+βb Ú α Ø β ÒØ Ö Ö Ð Ø º ÈÖÓÔÖ Ø ½º¾ ËÙÖ Ð³ Ü Ø Ò ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö µº ½º ÌÓÙØ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n 2 Ñ Ø ÔÓÙÖ Ú ÙÖ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Öº ¾º ÌÓÙØ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n 2 ÒÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ñ Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÔÖ Ñ Ö p Ú Ö ÒØ p 2 nº º ij Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø Ò Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ µº ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö Ú b 0º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÓÙÔÐ (q;r) ÕÙÓØ ÒØ Ö Ø µ ³ ÒØ Ö Ú Ö ÒØ a = bq +r Ø 0 r < b. Ò Ø ÓÒ ½º½º ÙÜ ÒØ Ö Ö Ð Ø a Ø b ÓÒØ Ø ÓÒ ÖÙ ÑÓ ÙÐÓ Ð³ ÒØ Ö n n Ú b aº ÇÒ ÒÓØ a b (mod n)º Ê Ñ ÖÕÙ ½º½º ÁÐ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö ÕÙ a Ø b ÓÒØ Ñ Ñ Ö Ø Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ Ô Ö n n 0µº ÈÖÓÔÖ Ø ½º º Ä ÓÒ ÖÙ Ò Ø ÓÑÔ Ø Ð Ú Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ù ÐÐ + ÜÔÓÒ ÒØ ¹ Ø ÓÒµº Ä ÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ ÙÐÓ n Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÙÖ Z ÓÒ Ø ØÙ n Ð n > 0µº ij Ò Ñ Ð ÕÙÓØ ÒØ Ø Ð³ ÒÒ Ùµ Z/nZ = { 0;1;...;n 1 } º

¾ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ PGCD PPCM ÙÐ ÞÓÙØ Ù Ì ÓÖ Ñ ¾º½ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÔÖÓ Ù Ø Ø ÙÖ ÔÖ Ñ Ö µº ÌÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n 2 Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÒ ÙÒ ÕÙ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø n = i=m i=1 p α i i = p α 1 1 pα 2 2...pαm m Ó p 1,p 2,...,p m ÓÒØ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ú Ö ÒØ 2 p 1 < p 2 <... < p m Ø α 1,α 2,...,α m ÓÒØ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÓÒ ÒÙÐ º Ä ÙÜ Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ò ÓÒØ Ô Ð ÔÐÙ ØÙ ÐÐ Ñ ÓÒØ Ð³ Ú ÒØ Ò Ô Ò Ø Ö ³ ÝÔÓØ ÒÓÒ¹ÒÙÐÐ Ø ÙÖ a Ø bº ÈÖÓÔÖ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ¾º½ ÈÐÙ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ú ÙÖµº ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö Ö Ð Ø º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð δ = PGCD(a;b) = PGCD(b;a) Ú Ö ÒØ δ Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ a Ø b ØÓÙØ ÙØÖ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ a Ø b Ú δº Ë a Ø b ÓÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ð ÒÓÑ Ö PGCD(a;b) Ø Ð ÖÒ Ö Ö Ø ÒÓÒ ÒÙÐ Ó Ø ÒÙ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ ÙÜ ÒØ Ö a Ø bº ÈÖÓÔÖ Ø Ø Ò Ø ÓÒ ¾º¾ ÈÐÙ È Ø Ø ÓÑÑÙÒ ÅÙÐØ ÔÐ µº ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö Ö Ð Ø º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð µ = PPCM(a;b) = PPCM(b;a) Ú Ö ÒØ µ Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÑÑÙÒ a Ø b ØÓÙØ ÙØÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÑÑÙÒ a Ø b Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ µº Ê Ñ ÖÕÙ ¾º½º Ä ÒÓÑ Ö µ = PPCM(a;b) Ú Ö az bz = µzº Ì ÓÖ Ñ ¾º¾ ÞÓÙصº ËÓ ÒØ a Ø b ÙÜ ÒØ Ö Ö Ð Ø º ½º Ð Ü Ø ÒØ Ö Ö Ð Ø u Ø v Ø Ð ÕÙ au+bv = PGCD(a;b)º ¾º ÓÖÓÐÐ Ö µ Ä ÒØ Ö a Ø b ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð Ü Ø ÒØ Ö Ö Ð Ø u Ø v Ø Ð ÕÙ au+bv = 1º ÈÖÓÔÖ Ø ¾º½º ËÓ ÒØ a b c d Ø k ÒØ Ö Ö Ð Ø º ½º Ë a c Ø b d ÐÓÖ PGCD(a;b) PGCD(c;d) Ø PPCM(a;b) PPCM(c;d)º ¾º PGCD(ka;kb) = k PGCD(a;b) Ø PPCM(ka;kb) = k PPCM(a;b) º PGCD(a;b) PPCM(a;b) = ab Ì ÓÖ Ñ ¾º Ù µº ËÓ ÒØ a b Ø c ØÖÓ ÒØ Ö Ö Ð Ø º } a bc ½º a b PGCD(a;c) = 1 ¾º ÈÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ PGCD(a;c) = 1 ÐÓÖ PGCD(a;bc) = PGCD(a;b)º º ÓÖÓÐÐ Ö µ ÍÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö p Ú ab Ø ÙÐ Ñ ÒØ p Ú a ÓÙ p Ú bº Ê Ö Ò ÅÓÒ¼ Â Ò¹Å Ö ÅÓÒ Öº Ð Ö ÅÈËÁ ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ø Ü Ö ÓÖÖ Ø ÓÒº ³ Ò¹ Ø Ö º ÙÒÓ È Ö ¾¼¼ º Ï + ¼¾ Ò Ö Ï ÖÙ Ð È ÙÐ ØØ Ð Å Ð ÓÐÐ Ø Ö Ø Ò ÙØ Ö Ò Ë Ö Æ ÓÐ º Ö Ø ¹ Ñ Ø ÕÙ º Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÙÖ Ø Ü Ö Ì˺ ÎÙ ÖØ È Ö ¾¼¼¾º

ÈÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ð³ Ö Ø ÓÒ ÒØ ÖÒ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ¹ ÒÒ ¾¼½½ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Z ¹ Ð Ñ ÒØ ÓÖÖ Ø ÓÒ ½ Ú Ð Ø Ò Z ÓÒ ÖÙ Ò Ü Ö ½º½º ½º ÙÜ ÒØ Ö ÓÒ ÙØ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ö ØÓÙØ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ Ú (n+1) n = 1º ¾º ÙÜ ÒØ Ö ÑÔ Ö ÓÒ ÙØ ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ö ØÓÙØ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ Ú (2n+ 1) (2n 1) = 2 Ò ÔÓÙÚÓ Ö ØÖ Ô Öº º Ä ÒØ Ö 3n+5 Ø 2n+3 ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ö ØÓÙØ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ Ú 2(3n+ 5) 3(2n+3) = 1º Ü Ö ½º¾º 5n2 +3n+2 n+3 Ø ÙÒ ÒØ Ö Ø ÙÐ Ñ ÒØ n+3 Ú (5n 2 +3n+2) (5n 12)(n+3) = 38 ÓÒ Ø ÙÐ Ñ ÒØ n+3 {±1;±2;±19;±38}º ÇÒ ØÖÓÙÚ Ò Ð Ú Ð ÙÖ ÔÓ Ð nº Ü Ö ½º º n 2 25 = (n+5)(n 5) Ø ÔÖ Ñ Ö ÙÐ Ñ ÒØ n+5 = 1 ÓÙ n+5 = 1 ÑÔÓ Ð Ö n 0µ ÓÙ n 5 = 1 Ñ ÐÓÖ n 2 25 = 9 Ò³ Ø Ô ÔÖ Ñ Öµ ÓÙ n 5 = 1 Ø ÐÓÖ n 2 25 = 11 Ø ÔÖ Ñ Öµº ÓÒ 11 Ø Ð ÙÐ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ð Ð Ø º Ü Ö ½º º ½º a 2 b 2 = 12 (a+b)(a b) = 12º ÇÒ Ð Ø Ð Ú ÙÖ ÔÓ Ø a,b Nµ ½¾ Ø ÓÒ Ø Ø º Ë ÙÐ (4;2) Ø ÓÐÙØ ÓÒº { a+b = 2011 ¾º a 2 b 2 = 2011 (a;b) = (1006;1005)º a b = 1 º Ë a 2 b 2 = (a+b)(a b) Ø Ô Ö ÐÓÖ Ð³ÙÒ ÙÜ Ø ÙÖ Ð³ Ø ÓÒ Ð³ ÙØÖ Ð Ñ ÒØ Ö a+b = (a b)+2bº º ij ÒØ Ö 162 Ø Ô Ö Ñ Ò³ Ø Ô Ú Ð Ô Ö ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ò³ Ñ Ø Ô ÓÐÙØ ÓÒ ÒØ Ö º Ü Ö ½º º ½º 2pq q 1 1 2 p 1 = (2 p ) k N k=0 ¾º Ë n = pq Ø ÓÑÔÓ p,q 1µ ÐÓÖ M n = 2 pq 1 Ø Ú Ð Ô Ö M p = 2 p 1 > 1 ÓÒ Ò³ Ø Ô ÔÖ Ñ Öº ÁÐ ÙØ ÓÒ ÕÙ n Ó Ø ÔÖ Ñ Öº Å M 11 = 2047 = 23 89º Ü Ö ½º º ËÙÔÔÓ ÓÒ ϕ = p q Ú 0 < q < p ÒØ Ö Ø p Ñ Ò Ñ Ð Ú Ö ÒØ ØØ Ð Ø º ÐÓÖ ϕ = 1 ϕ 1 = q p q º ÓÒ q Ø ÙÒ ÒÙÑ Ö Ø ÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ pº ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ü Ö ½º º ÐÙÐ ÑÓ ÙÐÓ 4º ½º Ä Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Z/4Zº ¾º ËÙÖ Ð ÓÒ Ð Ð ÖÖ µ ÓÒ Ò Ð Ø ÕÙ 0 ÓÙ 1 ³Ó Ð Ú Ð ÙÖ ÔÓ Ð ÔÓÙÖ Ð ÓÑÑ º º ÈÙ ÕÙ 2011 3 (mod 4) г ÕÙ Ø ÓÒ a 2 + b 2 = 2011 Ò³ ¹ Ñ Ø Ô ÓÐÙØ ÓÒ ÒØ Ö º ØØ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒ ÖÙ Ò 0 1 ÓÙ 2 Ò³ Ø Ô Ù ÒØ ÔÓÙÖ Ð³ Ü Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ º ÎÓ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÙÜ ÖÖ ºµ 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 º ÈÙ ÕÙ x 2 0 ÓÙ 1 (mod 4) ÐÓÖ a 2 b 2 0 ÓÙ 1 ÓÙ 3 (mod 4) Ò Ô ÙØ ØÖ ÓÒ ÖÙ 2 ÑÓ ÙÐÓ 4º

Ü Ö ½º º ÐÙÐ ÑÓ ÙÐÓ 5º ½º Ä Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Z/5Zº ¾º ³ ÔÖ Ð ÓÒ Ð Ð ÖÖ µ г ÕÙ Ø ÓÒ x 2 +1 0 (mod 5) Ñ Ø ÔÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓÙ Ð ÒØ Ö Ð ÓÖÑ 2+5k ÓÙ 3+5k k ÒØ Öº º ÈÙ ÕÙ 13 3 (mod 5) Ø 3 0 1 (mod 5) 3 1 3 (mod 5) 3 2 4 (mod 5) 3 3 2 (mod 5) Ø 3 4 1 (mod 5) ÚÓ Ö Ü Ö¹ º½µ ÓÒ ÒÓØ r Ð Ö Ø n ÑÓ ÙÐÓ 4 Ø ÓÒ 13 n 3 n 3 4q+r ( 3 4) q 3 r 3 r (mod 5) 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 ÓÒ Ð Ö Ø 13 n Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐ ÒÒ Ô Ö 5 Ø 1,3,4,2 ÐÓÒ ÕÙ r Ø Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ð 0,1,2,3º Ü Ö ½º º ÇÒ 7 4 1 (mod 10) ÓÒ 7 2011 7 4 502+3 7 3 3 (mod 10) ÓÒ Ð Ö ÙÒ Ø 7 2011 Ø ÙÒ 3º Ø Ð Ö Þ Ò Ø ÙÒ 4 Ö 7 4 1 (mod 100) Ñ Ñ ÔÖ Ò Ô µº ¾ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ PGCD PPCM ÙÐ ÞÓÙØ Ù Ü Ö ¾º½º Ä Ö Ð a δ Ø b δ ÓÒØ ÙÜ ÒØ Ö Ö δ Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ a Ø bº Ë d Ø ÙÒ Ú ÙÖ ÔÓ Ø ÓÑÑÙÒ a δ Ø b δ ÐÓÖ a = dδα Ø b = dδβ α,β ÒØ Ö µº ÓÒ a Ø b ÓÒØ Ú Ð Ô Ö dδ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ dδ δ ³Ó d = 1º Ü Ö ¾º¾º ½º 2600 = 2 3 5 2 13 ¾º Ä Ú ÙÖ ÔÓ Ø 2600 = 2 3 5 2 13 ÓÒØ Ð ÒØ Ö Ð ÓÖÑ 2 α 2 5 α 5 13 α 13 Ú 0 α 2 3 0 α 5 2 Ø 0 α 13 1º ÁÐ Ý Ò ÓÒ (3+1)(2+1)(1+1) = 24º º ³ ÔÖ Ð Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ñ Ø Ü Ø Ñ ÒØ 35 = 34+1 = 5 7 = (4+1)(6+1) Ú ÙÖ ÔÓ Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÖÑ p 34 ÓÙ p 4 q 6 Ú p Ø q ÙÜ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ º Ä ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÒØ 2 6.3 4 = 5184 2 4.3 6 = 11664 2 6.5 4 = 40000º º ÍÒ ÒØ Ö ÒÓÒ ÒÙÐ Ñ Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÑÔ Ö Ú ÙÖ ÔÓ Ø Ø ÙÐ Ñ ÒØ ØÓÙ Ð ÜÔÓ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒØ Ô Ö º Ü Ö ¾º º ½º Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ ÔÔÐ ÕÙ ÙÜ ÒÓÑ Ö 1806 Ø 714 1806 = 2 714 + 378 714 = 1 378 + 336 378 = 1 336 + 42 336 = 8 42 + 0 ¾º ÇÒ PGCD(1806;714) = 42 PPCM(1806;714) = 1806 714 42 = 30702º Ä Ú ÙÖ Óѹ ÑÙÒ 1806 Ø 714 ÓÒØ Ð Ú ÙÖ PGCD(1806;714) = 42 D 1806 D 714 = D 42 = {1;2;3;6;7;14;21;42}º Ü Ö ¾º º ½º Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ ÔÔÐ ÕÙ ÙÜ ÒÓÑ Ö 90 Ø 77 90 = 1 77 + 13 77 = 5 13 + 12 13 = 1 12 + 1 12 = 12 1 + 0 ÓÒ PGCD(90;77) = 1 = 13 1 12 = 13 1 (77 5 13) = 6 13 1 77 = 6(90 77) 77 = 6 90 7 77º Ä ÓÙÔÐ (6; 7) ÓÒÚ Òغ ¾º Ä ÓÙÔÐ (6+77; 7 90) Ø Ù ÓÐÙØ ÓÒº º ËÓ Ø (x;y) ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ 77x+13y = 1 ÓÒ ÐÓÖ 90x+77y = 1 90x+77y = 6 90 7 77 90(x 6) = 77(y +7)

Ä ÒÓÑ Ö x Ø y ÓÒØ ÒØ Ö ÓÒ 77 Ú 90(x 6)º ÈÙ ÕÙ 77 Ø 90 ÓÒØ ÔÖ Ñ Ö ÒØÖ ÙÜ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ÖÑ ÕÙ 77 Ú x 6 Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k Ø Ð ÕÙ x = 6+77kº ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ y = 7+90kº Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö k Ð ÓÙÔÐ (6+77k; 790k) Ø ÓÐÙØ ÓÒº ÓÒ Ð³ Ò Ñ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ø S = {(6+77k; 7 90k) : k Z} º Å Ñ Ñ Ø Ó S = {(30+77k; 35 90k) : k Z}º Ü Ö ¾º º ½º Ë a Ø Ð ÒÓÑ Ö Ö Ö ÐÓÖ a = 69q+35 Ø a = 75q+17º ÇÒ Ò Ù Ø Ð Ú Ð ÙÖ q = 35 17 75 69 = 3 ÔÙ Ð Ú Ð ÙÖ a = 69 3+35 = 242º ¾º ÇÒ Ô ÙØ Ö Ö 2009 = b 29+r Ú 0 r < bº ÇÒ Ò Ù Ø Ð³ Ò Ö Ñ ÒØ 29b+0 2009 < 29b+b ÕÙ Ô ÖÑ Ø ³Ó Ø Ò Ö 29b 2009 < 30bº Ä Ú ÙÖ b Ø ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ð 67 68 ÓÙ 69º Ä Ö Ø Ø ÐÓÖ Ð Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ 66 37 ÓÙ 8º Ü Ö ¾º º ½º ÇÒ a = α(n 4) Ø b = β(n 4) ÓÒ δ = PGCD(a;b) = n 4 PGCD(α;β)º ¾º ij ÒØ Ö δ Ø Ð È α Ø β ÓÒ Ð Ú 2β α = 5 Ø α β = n 2º Ë 5 Ò Ú Ô n 2 ÐÓÖ δ = 1º Ë 5 Ú n 2 ÐÓÖ 5 Ú 2(n 2)+5 = α Ø (n 2)+5 = βº ÓÒ δ = 5º { 5 n 4 n 2 (mod 5) º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÓÒ PGCD(2n 2 7n 4;n 2 n 12) = n 4 ÒÓÒ Ü Ö ¾º º ÇÒ PPCM(x;y) = 2 1 3 2 5 2 Ø PGCD(x;y) = 2 0 3 0 5 1 ÓÒ x = 2 0 3 0 5 1 = 5 Ø y = 450 ÓÙ x = 2 1 3 0 5 1 = 10 Ø y = 225 ÓÙ x = 2 0 3 2 5 1 = 45 Ø y = 50 ÓÙ x = 2 1 3 2 5 1 = 90 Ø y = 25 ÓÙ º º º { x Ü Ö ¾º º Ò ÔÓ ÒØ x = x/12 Ø y = y/12 ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð Ý Ø Ñ +y = 15 PGCD(x ;y ) = 1 ÓÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ ÔÓÙÖ x µ 1,2,4,7,8,11,13,14º ÇÒ Ó Ø ÒØ Ò Ù Ø (x;y)º Ü Ö ¾º º ÆÓØÓÒ P(X) = X n + a n 1 X n 1 +... + a 0 Ð ÔÓÐÝÒÑ º Ë p q Õ٠гÓÒ ÙÔÔÓ Ö Ö Ø ÓÙ ÓÖÑ ÖÖ ÙØ Ð PGCD(p;q) = 1µ Ø ÙÒ Ö Ò Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ P ÐÓÖ ( ) p n +a n 1 q ( p q ) n 1 ( ) p +...+a 1 +a 0 = 0 q p n +a n 1 p n 1 q +...+a 1 pq n 1 +a 0 q n = 0 q ( a n 1 p n 1 +...+a 1 pq n 2 +a 0 q n 1) = p n ÓÒ p n Ø Ú Ð Ô Ö qº ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Ù Ø Ö ÙÖÖ Ò µ ÕÙ q = 1º ÓÒ α = p Ø ÒØ Öº º ÈÖ Ñ Ð Ø Ü Ö º½º ½º Ä ÒÓÑ Ö p Ú (p k)!k! ( p k) = p! Ø Ø ÔÖ Ñ Ö Ú (p k)!k! 1 k p 1º ÓÒ Ù µ p Ú ( p k) º ¾º ÓÖÑÙÐ Ù ÒÑ k=p (1+a) p k=0 ( ) p a k 1+ k k=p 1 ( ) p a k k k=1 }{{} 0 (mod p) +a p 1+a p (mod p). º Ë a = 0 ÐÓÖ 0 p 0 (mod p)º Ë a p a (mod p) ÐÓÖ (a+1) p a p +1 a+1 (mod p)º º Ä ÓÒ ÖÙ Ò a ( a p 1 a ) a p a 0 (mod p) ÑÓÒØÖ ÕÙ p Ú a ( a p 1 a ) º Ë p Ò Ú Ô a p Ø ÔÖ Ñ Ö Ú a ÓÒ Ú a p 1 aº

Ü Ö º¾º Ä Ø ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒ Ø Ð Ù Ú ÒØ p Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ÐÓÖ (p 1)! 1 (mod p). ½º Ë 1 x p 1 ÐÓÖ x Ø ÔÖ Ñ Ö Ú p ÓÒ ÞÓÙص Ð Ü Ø y Ø z ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ xy +zp = 1 ÕÙ ³ Ö Ø Ù xy 1 (mod p)º ¾º ÉÙ ØØ Ö ÑÔÐ Ö y Ô Ö ÓÒ Ö Ù ÑÓ ÙÐÓ p ÓÒ Ô ÙØ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ 1 y p 1º ÈÓÙÖ Ð³ÙÒ Ø y 1 Ø y 2 ÓÒØ ÙÜ Ò Ø ÐÓÖ x(y 1 y 2 ) 1 1 0 (mod p) ÓÒ p Ú y 1 y 2 Ù µº Å p+2 y 1 y 2 p 2 ÓÒ y 1 = y 2 º ij ÒØ Ö y ÓÙ ÔÐÙØØ Ð µ Ø Ð³ ÒÚ Ö Ð Ð µ x Ò Ð ÓÖÔ Z/pZº º x 2 1 (mod p) (x+1)(x 1) 0 (mod p) x 1 (mod p) ÓÙ x 1 (mod p)º Ä ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒØ Ð Ð Ñ ÒØ Z/pZ ÙÜ Ð ÙÖ ÒÚ Ö Ð Ð Ñ ÒØ ³ÓÖ Ö ¾µº º Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø (p 1)! Ø Ò ÙÓÒ 1 Ø p 1 ÕÙ ÓÒØ Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÒÚ Ö ÑÓ ÙÐÓ pµ Ø Ð ÙØÖ Ø ÙÖ 2,...,p 2º ÈÓÙÖ ÙÒ ÒÓÑ Ö ØØ ÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ø Ð Ñ ÒØ ÔÖ Òغ ÓÒ (p 1)! 1 ( p 2 x=2 x ) (p 1) 1 1 p 1 2 (p 1) p 1 1 (mod p).