Chương 4: Mô đun – Đại số

CHƢƠNG IV MÔĐUN VÀ ĐẠI SỐ Trog chƣơg ày chug ta sẽ xét các cấu trúc đại số có một hoặc hai phép toá hai gôi cùg với một phép hâ vô hƣớg, đó là môđu, khôg gia vectơ và đại số. Khái iệm môđu là một trog hữg khái iệm cơ bả của đại số hiệ đại. 4.1 Môđu, Môđu Co, Môđu Thƣơg 4.1.1. Địh ghĩa môđu Giả sử K là vàh có đơ vị 1. Một môđu trái trê vàh K (hoặc K-môđu trái) là một hóm Albe cộg X đƣợc trag bị phép hâ (bê trái) các phầ tử của vàh K với các phầ tử của x, tích của phầ tử α K với phầ tử x X ta ký hiệu là ax X, sao cho các điều kiệ sau đƣợc thoả mã đối với mọi x,y X, α, β K: M1. (α + β )x = αx + βy a(x + y ) = αx + αy M2. α(βx) = (αβ)x M3. 1x = x Ta có 0x = 0 vì 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x 0x = 0 Phép hâ các phầ tử của X với các phầ tử của K goi là phép hâ vô hƣớg. Khái iệm K-môđu phải (hâ bê phải) đƣợc địh ghĩa tƣơg tự. Nếu K là vàh giao hoá có đơ vị thì các khái iệm K-môđu trái và K-môđu phải trùg hau. Thật vậy ếu đặt xa = ax với a K, x X, thì mỗi K-môđu trái là K-môđu phải và gƣợc lại. Nếu K chỉ là một thể tì mỗi K-môđu trái gọi là một khôg gia vectơ trái. Sau đây chỉ xét các K-môđu trái, ê gọi tắt là K- môđu 2. Các ví dụ về môđu 1. Giả sử K là một vàh có đơ vị và X là một iđêa trái của vàh K và KX X ê X là một K-môđu By: Nguyễ Tiế Thịh Page 1

Nếu X + K thì vàh K là một K-môđu 2. X là một hóm Albe. Với mỗi phầ tử x X, Z ếu > 0 ta đặ x = x + x + + x, ếu < 0 ta đặt x = -((-)x). Vậy hóm Albe X là một Z-môđu. 3. Giả sử K là vàh có đơ vị, S là tập khác rỗg cho trƣớc. Ta đặt X = K s = {f: S K} Tập X là một hóm Albe cộg với phép toá f,g X, f + g là áh xạ từ S vào K xác địh bởi: (f + g)(s) = f(s) + g(s), s S. Phầ tử 0 là áh xạ xác địh bởi: 0(s) = 0, s S. Phép hâ vô hƣớg các phầ tử của vàh K với các phầ tử của X địh ghía hƣ sau: f X, α K, αf là áh xạ từ S vào K xác địh bởi: (α f )(s) = α f (s), s S. Dễ thấy rằg X là một K-môđu. 4. Giả sử {X i } i I là một họ các K-môđu, P là tích trực tiếp các hóm Abe cộg X i, i I P = Xi = { f : I X i : f(i) i I X i, i I }. Phép hâ các phầ tử a K với các phầ tử f P đƣợc địh ghĩa hƣ sau: Áh xạ: af : I X i xác địh bởi: (af)(j) = af(j) ( phép hâ vô hƣớg trog K-môđu X j ). Khi đó các điều kiệ M1 M3 đƣợc thoả mã và P là một K-môđu, gọi là tích trực tiếp của họ K-môđu {X i } i I. Đặc biệt ếu X i = X, i I ta luô có K- môđu X I. 5. Giả sử K là một vàh có đơ vị. Tập cá đa thức K[x] là một K-môđu đối với phép cộg đa thức và phép hâ các phầ tử của vàh K với các đa thức. 6. Giả sử K là một vàh có đơ vị, M[K] là tập các ma trậ vuôg cấp hệ số trê vàh K. Khi đó với phép cộg ma trậ: i I i I By: Nguyễ Tiế Thịh Page 2

A = (a ij ) x B = (b ij ) x : A + B = (a ij + b ij ) x và phép hâ các phầ tử của vàh K với các ma trậ: α. A = ( α α ij)x thì M [K] là một K-môđu. 3. Môđu co Giả sử X là một K-môđu. Một môđu co của K- môđu X là một hóm co A của hóm Albe X ổ địh với phép hâ vô hƣớg, tức là x A và a K ta có ax A. Dễ thấy rằg mỗi môđu co của K-môđu X cũg là một K-môđu. Từ địh ghĩa môđu co và điều kiệ cầ và đủ để một tập co là một hóm co ta có: Tập co A của K-môđu X là một môđu co khi và chỉ khi x y A và αx A x,y A, α, hoặc một cách tƣơg đƣơg: α.x + β.y A x,y A, α, β K. Ví dụ một môđu co: 1. Mỗi K-môđu X có hai môđu co hiể hiê đó là X và môđu co tầm thƣờg {0}. 2. Mỗi hóm co A của hóm Albe X là một môđu co của Z môđu X 3. Giả sử K là một vàh có đơ vị. Vàh K là một K-môđu. Khi đó mỗi iđêa trái của K là một môđu co 4. Giả sử {X i } i I là một họ K-môđu cho trƣớc.xét tổg trực tiếp của các hóm Albe X i, i I X i = { f : I X i : f (j) X i, f(j) = 0 j I, i I trừ một số hữu hạ} Khi đó Xi là một môđu co của K-môđu co của K-môđu X, và gọi là tổg trực tiếp của các K- i I môđu X i, i I. Dễ thấy rằg giao một họ tuỳ ý khác rỗg các môđu co của K-môđu X là một môđu co Giả sử S là tập co của K-môđu co của K- môđu X. Khi đó tất cả các môđu co của K-môđu X chứa S là một môđu co và là môđu co hỏ hất của By: Nguyễ Tiế Thịh Page 3

K-môđu X chứa tập S. Ta ký hiệu môđu co đó là <S> K. Môđu <S> K. gọi là môđu co sih bởi tập S. Đặc biệt ếu <S> K.= X thì S gọi là tập các phầ tử sih của K-môđu X Nếu X = <S> K. và card S < thì X gọi là K- môđu hữu hạ sih. Nếu X = <{a}> k thì X gọi là K- môđu xyclic Ví dụ: Giả sử K là vàh có đơ vị. Ta có K = <{1}> k. Vậy mỗi vàh K có đơ vị là một K-môđu xyclic. Địh lý 4.1: Giả sử S là một tập co khác rỗg của K-môđu X. Khi đó ta có : N} Chứg mih: <S> K. = { ĐẶt A = { i,x i,a i K, x i S, t 1 i,x i,a i K, x i S, m 0} Dễ thấy rằg A là một môđu co của K-môđu X. Vì mỗi x S. ta có x = 1x A vậy S A. Gải sử B là một môđu co của K chứa X tập S.Khi đó với ai K, xi S, m N ta có m t 1 t 1 ix i B. Do đó A B và A là môđu co hỏ hất của K-môđu X chứa tập S. Vậy thị <S> k = A. 4. Môđu thươg Giả sử A là một môđu co của K-môđu X. Vì A là một hóm co của hóm Albe X ê ta có hốm thƣơg X A = { x = x + A : x A} Với phép toá x + y = x y. y Bổ đề: By: Nguyễ Tiế Thịh Page 4

Nếu A là một môđu co của K-môđu X ta có: α x x, với α K, x X, trog đó α x = (α u : u x ) Chứg mih: Gải sử u x = x + A, khi đó có a A sao cho u = x + a. Vậy α u = α x + α a α x + A = x. Do đó : α x x Giả sử A là một môđu co của K-môđu X. Theo bổ đề trê ta có thể địh ghĩa phép hâ các phầ tử α K với các phầ tử x của hóm Albe X A α x = x hƣ sau: Nhóm Albe X với phép hâ vô hƣớg (*) là A một K-môđu. Thật vậy : Α ( x + y ) = α ( x y) = x y = x y = x + y = α x + α y Vậy điều kiệ M1 đƣợc thỏa mã. Các điều kiệ M2, M3 cũg đƣợc chứg mih tƣơg tự. K-môđu X gọi là môđu thƣơg của K-môđu X A theo môđu co A By: Nguyễ Tiế Thịh Page 5

2. ĐỒNG CẤU MÔĐUN Địh ghĩa: Giả sử X, Y là các K-môđu. Một áh xạ f: X Y gọi là một đồg cấu (hoặc đồg cấu của môđu X vào môđu Y) ếu các điều kiệ sau đƣợc thỏa mã đối với mọi x 1,x 2 X, α K: f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) (1) f(α x 1 ) = f(α x 2 ) (2) Dễ thấy rằg hai điều kiệ (1) và (2) tƣơg đƣơg với điều kiệ sau: f(α x 1 + β x 2 ) = α f(x 1 ) + β f(x 2 ) với x 1,x 2 X; α, β K. Các khái iệm K- đơ cấu, K- toà cấu, K- đẳg cấu đƣợc địh ghĩa tƣơg tự hƣ đồg cấu hóm. Địh lý 4.2: Nếu áh xạ f: X Y là một K- đồg cấu cảu K- môđu X vào K-môđu Y thì ta có: Ảh Im(f) = f(x) là môđu co của Y Nhâ Ker(f) = f 1 ({0}) là môđu co của X Chứg mih: Vì f là một tổg đồg cấu hóm ê Im(f) và Ker(f) là các hóm co của Y và X tƣơg ứg. Ta cầ chứg tỏ các hóm co ày ổ địh đối với phép hâ vô hƣớg Giả sử α K, y Im(f). Khi đó có x X sao cho f(x) = y Ta có α y = α f(x) = f(α x) Im(f). Với x Ker(f) ta có f(α x) = α f(x) = α 0 = 0. Vậy α x Ker(f) Giả sử A là một môđu co của K-môđu X > Khi đó phép chiếu tự hiê p: X X A là một K- toà cấu và A = Ker(p) xác địh bởi p(x) = x By: Nguyễ Tiế Thịh Page 6

Tƣơg tự hƣ trog trƣờg hợp lý thuyết hóm ta có địh lý sau: Địh lý 4.3: (Đih lý đồg cấu) Giả sử f: X Y là một K-đồg cấu của K-môđu X vào K-môđu Y, khi đó ta có K- đẳg cấu : X Im(f) Ker f Giả sử K là một vàh giao hoá có đơ vị, X và Y là các K-môđu. Ta ký hiệu Hom k (X;Y) là tập tất cả các K- đồg cấu cảu K-môđu X vào K-môđu Y. Phép cộg trog tập Hom k (X;Y) và phép hâ các phầ tử của vàh K với các phầ tử của Hom k (X;Y) đƣợc địh ghĩa hƣ sau: Với f, g Hom k (X;Y), f + g là K- đòg cấu xác địh bởi: (f + g)(x) = f(x) + g(x), với x X Với f Hom k (X;Y), α K, α f là K- đồg cấu xác địh bởi: (α f)(x) = α f(x) Dễ dàg chứg mih rằg Hom k (X;Y) với hai phép toá trê là một K-môđu Nếu Y = K thì X * = Hom k (X;Y) gọi là môđu đối gẫu hiê của môđu X, các phầ tử của X * gọi là các dạg tuyế tíh trê X. Nếu K là một trƣờg thì X * gọi là khôg gia đối gẫu By: Nguyễ Tiế Thịh Page 7

3 MÔĐUN TỰ DO Giả sử X là một K-môđu, B là một tập co của X. Phầ tử x X gọi là một tổ hợp tuyế tíh của các phầ tử của tập B với hệ số trog K ếu phầ tử x có thể biểu diễ dƣới dạg X = ix i i 1 Trog đó x i B, i = 1. Theo địh lý 4.1 thì môđu <B> k, môđu co sih bởi tập B là tập tất cả các tổ hợp tuyế tíh của các phầ tử B Độc lập tuyế tíh, cơ sở: Giả sử B là tập co của K-môđu X. Tập B gọi là phụ thuộc tuyế tíh ếu B có một tổ hợp tuyế tíh tầm thƣờg. Tức là tồ tại các phâg tử x 1, x 2,.., x m thuộc B và các hệ tử a 1, a 2,..,,a m thuộc K, có ít hất một ai 0 sao cho: a 1 x 1 + a 2 x 2 +.+ a m x m = 0 Tập co B của K-môđu X khôg phụ thuộc tuyế tíh gọi là độclập tuyế tíh Theo địh ghĩa ta có: tập co B của một K- môđu X là độc lập tuyế tíh khi và chỉ khi đối với mọi họ các phầ tử x 1, x 2,.., x m thuộc B ếu: a 1 x 1 + a 2 x 2 +.+ a m x m = 0, a K thì a i = 0, i = 1,,m. Mỗi hệ sih của K-môđu X độc lập tuyế tíh gọi là cơ sỏ của X Mỗi K-môđu có một cơ sở gọi là K-môđu tự do Từ địh ghĩa ta có: Nếu B là một cơ sở của K- môđu tự do X thì mỗi phầ tử x X đƣợc biểu diễ một cách duy hất dƣới dạg : x = 1 x 1 + 2 x 2 +.+ x trog đó x i B, i = 1,.,. Giả sử K là một vàh có đơ vị 1. Với mỗi tập I cho trƣớc ta đặt K (1) = K i,trog đó K i = K, với i I i 1 Nếu I =, ta đặt K (1) = {0}. Vậy mỗi tập I ta có K- môđu K (1) By: Nguyễ Tiế Thịh Page 8

Bổ đề 1: Giả sử vàh K {0}.có đơ vị 1 cà I là tập khác rỗg cho trƣớc. Khi đó K (I) là một K-môđu tự do với cơ sở {e i } i I, trog đó áh xạ e i : I K đƣợc xác địh hƣ sau: Ee i (j) = ij = 0 eu i j 1 eu i j ( ij là ký hiệu Crôecke) Cơ sở {e i } i I gọi là cơ sở chíh tắc của K-môđu K (1) Chứg mih: Tập {e i } i I là một hệ sih của K (1). Thật vậy, vì mỗi phầ tử f K (1) tƣơg ứg với một họ các phầ tử {f(i)} i I cảu K, trog đó hầu hết f(i) = 0 chỉ trừ một số hữu hạ. theo địh ghĩa phép cộg trog hóm Albe K (1) và phép hâ vô hƣớg với các phầ tử của vàh K ta có : F = f( i ) e i i I Họ {e i } i I độc lập tuyế tíh. Thật vậy, gải sử i e i = 0, với mọi j I ta có: i I j = ( i e i )(j) = 0 ( j) = 0 i I Giả sử S là một tập khác rỗg. Theo bổ đề 1 ta có K-môđu tự do X = K (1) với cơ sở {e s } s S. Nếu đồg hất mỗi phầ tử s S với phầ tử e s X, ta có thể xem S là một cơ sở của K-môđu tự do X và mỗi phầ tử x X có biểu diễ duy hất tập S 1 x = k ss s S Trog đó chỉ một số hữu hạ k s 0 Khi đó ta ói rằg X là một K-môđu tự do trê Dƣới đây ta luô giả thiết vàh K {0} có đơ vị By: Nguyễ Tiế Thịh Page 9

Bổ đề 2: Giả sử X là một K-môđu và B = {b i } i I là một họ các phầ tử của X, khi đó các điều khẳg địh sau là tƣơg đƣơg: i. Tập B độc lập tuyế tíh ii. Đối với mọi K-môđu Y và mọi họ các phầ tử S = {y i } i I của Y tồ tại duy hất một K- đồg cấu f: <B> k Y sao cho f(b i ) = y i, i I. Chứg mih: (i) (ii): Mỗi phầ tử x <B>k đƣợc biểu diễ duy hất đƣới dạg x = i b i trog đó chỉ có một số hữu i I hạ 0 Áh xạ f: <B> k Y xác địh bởi: Ff(x) = f ( i b i ) = By: Nguyễ Tiế Thịh Page 10 i I i y i i I Là K- đồg cấu duy hất thỏa ma (ii) (ii) (i): Chọ Y = K (i) và y i = e i, i I, trog đó {e i } i I là cơ sở chíh tắc. Theo giả thiết của (ii) tồ tại duy hất K- đồg cấu f: <B> k Y sao cho f(b i ) = e i, i I : Giả sử kb ik = 0, b ik {b i }i I, h K. Khi đó k 1 0 = f( kb ik ) = k 1 k f (b ik ) = k 1 ke ik Vì {e i } i I độc lập tuyế tíh ê k = 0, k = 1,.,. Vậy tập {b i } i I độc lập tuyế tíh Hai địh lý qua trọg sau đây là hệ quả của bổ đề 2: Địh lý 4.4 : Giả sử X là K-môđu tự do với cơ sở S. Khi đó mọi áh xạ f từ tập S vào K-môđu Y bất kỳ đều có thể mở rộg duy hất thàh K- đồg cấu f : X Y Địh lý 4.5: Mỗi K-môđu tự do X với cơ sở S đẳg cấu với K- môđu tự do K (S). Tƣơg tự hƣ hóm Albe tự do, ta có địh lý sau: k 1

Địh lý 4.6: Mỗi K-môđu đẳg cấu với môđu thƣơg của một K-môđu tự do Chứg mih: Giả sử X là một K-môđu cho trƣớc. Ta chọ tập B = {b i } i I là cơ sở chíh tắc của K-môđu tự do K (i) Theo địh lý 4.1 có thể mở rộg thàh K- đồg cấu f :K (1) X Dễ thấy f là một K- toà cấu. Theo địh lý đồg cấu môđu ta có: (1) K Ker( f ) X Theo bổ đề 1 với mỗi tập I bất kỳ ta xây dựg đƣợc K-môđu tự do K (I), có một cơ sở là {e i } i I có lực lƣợg bằg card I. Điều ày dẫ đế hai câu hỏi sau đây: 1. Phải chăg mỗi K-môđu là tự do? (Đẳg cấu với K (I), với I ào đó ) 2. Với điều kiệ ào thì các cơ sở của K-môđu tự do X có cug lực lƣợg? - Nếu K là một trƣờg, khi đó mỗi K-môđu là một khôg gia vectơ trê K. Ta đã có câu trả lời khẳg địh cho cả hai câu trả lời trê (giáo trìh đại sô tuyế tíh). - Nếu K khôg phải là trƣờg thì câu hỏi 1) có câu trả lời phủ địh. Chẳg hạ với K là vàh các số guyê Z trog Z-môđu Z Z với mọi x Z Z ta có x = 0. Vậy trog Z-môđu Z khôg có hệ co độc lập tuyế tíh, Z do đó ó khôg phải là A-môđu tự do - Liê qua đế câu hỏi 2) ta đã có địh lý 2.29 ở chƣơg II, đối với các Z-môđu tự do. Kết quả ày cũg đúg với vàh K giao hoá có đơ vị và K- môđu tự do có một hệ sih hữu hạ. Khi tất cả các cơ sở của K-môđu tự do X có cùg lực lƣợg thì lực lƣợg đó gọi là sô chiều của môđu ký hiệu là dim K X. Vật tất cả các hóm Albe tự do hạg là Z-môđu chiều. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 11

4 ĐẠI SỐ 1. Địh ghĩa đại số Giả sử k là một vàh có đơ vị, giao hoá. Một đại số trê K hoặc một K đại số là một K môđu X đƣơc trag bị một phép toá hâ; tích của hai phầ tử x, y X ký hiệu là xy sao cho các điều kiệ sau đƣợc thỏa mã: a. Phép hâ trog X phâ phối đối với phép cộg trog X: x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx với x,y,z X b. Phép hâ trog X và phép hâ vô hƣớg các phầ tử cảu vàh K thỏa mã điều kiệ: (α x)y = α (xy), α K; x,y X Phép hâ trog K-môđu X thỏa mã các điều kiệ a) và b) gọi là phép hâ sog tuyế tíh. Các điều kiệ a) và b) tƣơg đƣơg với điều kiệ; (α s + β y)z = α (xz) + β (yz) x(α y + β z) = α (xy) + β (xz) với mọi α, β K và x, y, z X. Nếu X là K-môđu tự do thì X gọi là đại số tự do. Bằg cách ấ địh các điều kiệ: giao hoá, kết hợp, có đơ vị..cho phép hâ,ta đƣợc các kiểu đại số: giao hoá, kết hợp, có đơ vị.chẳg hạ K-đại số X có phép hâ thỏa mã điều kiệ xx = 0 với x X và đồg hất thức Jacobi: x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 với x, y, z X Ví dụ đại số: 1. Mỗi vàh K giao hoá có đơ vị là một K-đại số trê chíh ó. Mỗi idêa I K là một K- đại số 2. Tập các đa thức K[x] là một K-đại số với phép cộg và phép hâ đa thức 3. TậpM [K] các ma trậ vuôg cấp là một K-đại số kết hợp có đơ vị, khôg gioa hoá đối với phép cộg, phép hâ ma trậ và phép hâ các ma trậ với các phầ tử vô hƣớg 2. Đại số co, iđêa, đại số thươg By: Nguyễ Tiế Thịh Page 12

1) Giả sử X là một K-đại số. Một đại số co của K- đại số X là một môđu co A của K-môđu X ổ địh đối với phép hâ, tức là ếu x,y A thì xy A Ví dụ mỗi vàh K giao hoá có đơ vị là một K-đại số trê chíh ó. Khi đó mỗi iđêa I K là một đại số co Tập các ma trậ tam giác trê là một đại số co của K- đại số M [K] 2) Iđêa trái của K-đại số X là một đại số co A thoả mã XA A (tức là ếu x, a A, xa A) Tƣơg tự, môt iđêa phải của K-đại số X là một đại số co A thoả mã AX A Một đại số co A vừa là iđêa trái, vừa là iđêa phải của K-đại số X gọi là iđêa, ký hiệu là A X Tƣơg tự hƣ trog lý thuyết vàh, ếu A là một iđêa cảu K-đại số X thì trog môđu thƣơg X A = { x = x + A : x A } Ta có thể địh ghĩa phép hâ hƣ sau: x y = xy, x, y X A Khi đó X là một K-đại số, gọi là đại số thƣơg A của K-đại số X theo iđêa A 3. Đồg cấu đại số Giả sử X,Y là các K-đại số. Ta gọi là K- đồg cấu đại số cảu K-đại số X vào K-đại số Y là một K- đồg cấu f của môđu X vào môđu Y thoả mã: Ff(xy) = f(x)f(y) x,y Y Tƣơg tự hƣ trog lý thuyết vàh ta có: Giả sử f là môt K- đồg cấu đại số của K-đại số X vào K-đại số Y. Khi đó ta có : * Ảh Im(f) = f(x) là một đại số co của đại số Y * Nhâ Ker(f) = f 1 ({0}) là một iđêa của đại số X X * Ta có đẳg cấu đại số Im(f) Ker f By: Nguyễ Tiế Thịh Page 13

Nếu A là một iđêa của K-đại số X, khi đó phép chiếu p: X X, p(x) = x là một K- đồg cấu đại số và A A = Ker(p). 4. Các đại số xác địh bởi bảg hâ 1. Bảg hâ: Mệh đề sau đây có thể dùg để xây dựg hiều đại số qua trọg: Mệh đề 4.7: Giả sử K là vàh giao hoá có đơ vị, A là một K- k môđu tự do với cơ sở {e i } i I và { } ij ij, k Ilà một họ k các phầ tử của K sao cho với i,j cố địh { } ij k I là một k họ có giá trị hữu hạ, tức là = 0 với hầu hết k I, trừ ij một số hữu hạ. Khi đó ta có: i) Trog A tồ tại duy hất phép hâ sog tuyế tíh sao cho với i, j I k e i e j = e ij k (*) k I Côg thức (*) gọi là bảg hâ ii) Phép hâ xác địh bởi (*) là kết hợp ếu và chỉ ếu (e i e j )e m = e i (e j e m ) i,j,m I iii) Phép hâ xác địh bởi (*) là giao hoá ếu và chỉ ếu e i e j = e j e i i,j I Chứg mih: Giả sử x A, y A. Khi đó các phầ tử x, y có thể biểu diễ duy hất dƣới dạg: x = x i e i, y = y j e j a i I trog đó chỉ có một số hữu hạ hệ số x i, i I y i, j I khác 0. Ta địh ghĩa phép hâ trog A hƣ sau: Xxy = ( x i e i )( y j e j ) = i I j I k x i y i e ij k k I i I By: Nguyễ Tiế Thịh Page 14 j I j I

Đó là phép hâ sog sog tuyế tíh duy hất trog A thoả mã (*). Với phép hâ ày, A là một K-đại số. Dễ dàg kiểm tra lại rằg K-đại số A là kết hợp ếu điều kiệ ii) đƣợc thoả mã và là giao hoá ếu điều kiệ iii) đƣợc thoả mã. 2. Trườg hợp số phức C: Ta ký hiệu R là trƣờg số thực. Khi đó R 2 = R R là một R-môđu tự do với cơ sở e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) Ta xây dựg một phép hâ sog sog tuyế tíh trog R 2 hƣ sau: e 1 e 1 = e 1, e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 2 ; e 2 e 2 = -e 1 Ta đƣợc một R-đại số hai chiều, giao hoá, kết hợp, có đơ vị là e1 = (1,0). Đại số ày chíh là trƣờg số phức C. Đơ vị ảo i = e2 = (0,1) Áh xạ j: R C xác địh bởi j(a) = (a,0) là một R- đơ cấu đại số. Nếu đồg hất phầ tử a R với phầ tử j(a) = (a,0) C, ta có 1 = (1,0) = e 1. Khi đó z C có thể viết dƣới dạg: z = ae 1 + be 2 = a + b i, trog đó a,b R. Đó là dạg đại số của số phức.với z = a + ib 0, khi đó : a bi a b z -1 = 2 2 Áh xạ z z = a bi là một tự đẳg cấu của R- đại số C 3. Thể quateciôg H: Hamitơ đã xây dựg R-đại số khôg giao hoá sau đây có hiều ứg dụg trog cơ học và vật lý học: R 4 = R R R R là một R-môđu tự do với cơ sở e = (1,0,0,0), i = (0,1,0,0), j = (0,0,1,0), k = (0,0,0,1). Ta địh ghĩa một phép hâ sog tuyế tíh trê R-môđu tự do R 4 hƣ sau: By: Nguyễ Tiế Thịh Page 15

x e i j k e e i j k i i -e k -j j j -k -e i k k j -i -e Khôg gia vectơ R 4 đƣơc trag bị phép toá hâ sog tuyế tíh xác địh bởi bảg hâ trê đây là một K-đại số 4 chiều, khôg gia hoá, kết hợp, có phầ tử đợ vị là e. R-đại số ày ký hiệu là H. Các phầ tử cảu đại số H đó gọi là quateciôg Xét áh xạ u: R H, xác địh bởi u(x) = (x,0,0,0), với x R là một R- đơ cấu đại số. Nếu ta đồg hất x với u(x) thì R là một đại số co của R- đại số H. Khi đó mỗi quateciôg a H có thể viết dƣới dạg a = x + yi + zj + ik trog đó x, y, z, t R Ta địh ghĩa liê hợp của quateciôg a là quateciôg: a = x yi zj tk Dễ thấy rằg với a,b H, R ta có : a a b = a + b, a = a, ab = ab, a = a, 1 = 1 Vậy áh xạ a a là một tự đẳg cấu của R-đại số H. 2 2 2 2 Số thực a = aa = x y z t gọi là chuẩ quateciôg a = x + yi + zj + tk Với a H, a 0 ta có a 2 quateciôg a 0 khả ghịch và a -1 a = 2 a By: Nguyễ Tiế Thịh Page 16 a a = 1. Vậy mọi. Vậy R-đại số H là một thể Ta đã có ba thể R, C và H là các R-đại số hữu hạ chiều. Một vấ đề đƣợc đặt ra là tìm tất cả cá thể là R-đại số hữu hạ chiều. Năm 1873, Frobeiuxơ đã cho một câu trả lời gạc hiê và lý thú: Ngoài ba thể R, C và H khôg cò thể ào khác là R-đại số hữu hạ chiều.

4. Đại số đa thức K[x]: Giả sử K là vàh giao hoá có đơ vị. Tập các đa thức K[x] với phép cộg, phép hâ đa thức là một K-đại số giao hoá, kết hợp có đơ vị. Đại số đa thức K[x] là một K-đại số tự do, với cơ sở x 0 = 1, x, x 2, x, có bảg hâ xác địh hƣ sau: x i x j = x i+j, i,j = 0, 1, 2,. Xét K-môđu tự do: K (N) = K i, K i = K, i N Ta biết rằg K (N) có cơ sở chíh tắc là: e 0 = (1, 0, 0,.) e 1 = (0, 1, 0,.) e 2 = (0, 0, 1,.) E = (0, 0, 0,, 0, 1, 0,.),.. Trog K-môđu K (N) ta địh ghĩa phép hâ hƣ sau: e i e j = e i+j Khi đó K (N) là một K-đại số tự do. Dễ thấy rằg phép tƣơg ứg x i với e i, xác địh với một K- đẳg cấu đại số của K[x] tới K (N). Vậy ta có K[x] K (N) 5. Đại số ma trậ M [K] Tập M [K] các ma trậ vuôg cấp hệ số trê vàh K giao hoá, có đơ vị là một K-đại số kết hợp có đơ vị khôg giao hoá đối với phép cộg. M [K] là một K-đại số tự do với cơ sở E ij = (a re ) trog đó a re = 1 ếu (r, s) = (i, j) và a re = 0 ếu (r, s) (i, j), ta có bảg hâ: E E ir E aj = ij eu r s 0 eu r s Ta có dim M [K] = 2. 5 TÍCH TENXƠ VÀ TENXƠ i 0 1. Dạg tuyế tíh và môđu đối gẫu By: Nguyễ Tiế Thịh Page 17

Dƣới đây ta luô giả thiết vàh K 0, giao hoá có đơ vị 1. Giả sử E là một K-môđu. Môđu E* = Hom K (E;K) đƣợc gọi là môđu đối gẫu của môđu E. Mỗi phầ tử của E*. gọi là một dạg tuyế tíh trê E. Vậy mỗi dạg tuyế tíh trê E là một áh xạ u: E K thoả mã: u(x + y) = u(x) + u(y) u( x) = u(x) (1) Phép cộg các phầ tử của E* và phép hâ các phầ tử của vàh K với các phầ tử của E* đƣợc xác địh bởi côg thức sau: (u + v)(x) = u(x) + v(x), ( u)(x) = u(x) (2) Giá trị của u E* tại x E sẽ đƣợc ký hiệu là <x u> a. Môđu đối gẫu của môđu tự do: Mệh đề 4.8: Giả sử E là một K-môđu tự do với cơ sở {e 1, e 2,, e }. Khi đó E* là một K-môđu tự do với cơ sở {e 1, e 2,, e }, trog đó e i, j = 1,, là các dạg tuyế tíh đƣợc xác địh bởi: eu i j <e i e j > = ij = 1 0 eu i j Cơ sở {e 1, e 2,, e } gọi là cơ sở đối gẫu của cơ sở {e 1, e 2,, e } Chứg mih: Theo địh lý 4.4 các hệ thức <e i e j > = e j (e i ) = ij, i,j = 1,, xác địh dạg tuyế tíh e 1, e 2,, e trê E. Hệ {e 1, e 2,, e } độc lập tuyế tíh. Thật vậy, giả sử ke k = 0. Theo (2) với i = 1,, ta có: k 1 = i = 0 ( ke k )(e i ) = k 1 ke k (e i ) = k 1 k ik k 1 By: Nguyễ Tiế Thịh Page 18

Với x E, x = ke k ta có : k 1 e i (x) = ke i (e k ) = k 1 Do đó với mọi u E* ta có: u (e k )e k (x) k 1 u(x) = ku(e k ) = k 1 Từ đó ta có u = u (e k )e k. k 1 k 1 k ik = k 1 u (e k )e k (x) = Do đó {e 1, e 2,, e }là một hệ sih của E*. Vậy E* là K-môđu tự do với cơ sở {e 1, e 2,, e }. b. Tíh đối gẫu giữa E và E*: Ta ký hiệu (E*)* = E**, môđu đối gẫu của môđu E**. Ứg với mỗi x E ta xét áh xạ x : E* K xác địh bởi: x (u) = <x u> = u(x). Theo (2) x là một dạg tuyế tíh trê E*. Ta có x E**. Theo (1) với mọi x, y E, K ta có: x + y = x + y, x = x Vậy áh xạ x x là một K-đồg cấu của môđu E vào môđu E** và đƣợc gọi là áh xạ chíh tắc. Theo mệh đề 4.8, ếu E là môđu tự do với cơ sở {e 1, e 2,, e } thì E* là một môđu tự do với cơ sở {e 1, e 2,, e }, do đó áh xạ chíh tắc là một đẳg cấu chuyể cơ sở {e 1, e 2,, e } thàh cơ sở đối gẫu của cơ sở {e 1, e 2,, e }. Vậy ta có thể đồg hất E với E**. Khi đó biểu thức <x u> thể hiệ sự đối gẫu giữa E và E* với u E*: <x u> = u(x). Với x E:<x u> = x(u). Chú ý: Khi E là một K-môđu tự do với cơ sở vô hạ {e i, i I}, ta có E K (I) và E* K I và có thể chứg mih rằg áh xạ chíh tắc từ E và E** là một đơ cấu 2. Áh xạ sog tuyế tíh Giả sử E, F và G là K-môđu By: Nguyễ Tiế Thịh Page 19

một áh xạ : E F G đƣợc gọi là sog áh tuyế tíh ếu (x, y) tuyế tíh theo mỗi biế, tức là: (x + x, y) = (x,y) + (x + y) ( x, y) = (x,y) (3) (x,y + y) = (x,y) + (x+y ) (x, y) = (x,y) (4) Dễ thấy rằg tập (E 2, G) các áh xạ sog sog tuyế tíh từ E F vào G là một môđu co của K-môđu G E F Áh xạ (E 2, G) gọi là đối xứg (phả đối xứg) ếu (x,y) = (y,x) ( (x,y) = - (y,x)) đối với mọi x,y E. Tập các áh xạ sog sog tuyế tíh đối xứg (phả đối xứg) là một môđu co của K-môđu (E 2, G). Phép hâ trog một K-đại số A là một áh xạ sog tuyế tíh từ A A vào A ; Nếu áh xạ sog tuyế tíh đó đối xứg thì A là một K-đại số giáo hoá Giả sử E là một K-môđu tự do với cơ sở {e i :i I}, F là một K-môđu tự do với cơ sở {f j : j J}. Đối với mọi x = a ie i, y = i I jf j và với mỗi (E F, G), j J theo (3), (4) bằg quy ạp ta có: (x,y) = i i (e i, f i ) ( i, j) I J (5) Đẳg thức (5) chứg tỏ rằg áh xạ sog tuyế tíh đƣợc xác địh duy hất bởi tập các giá trị { (e i, f i )}. Hơ ữa tập các giá trị đó có thể chọ bất kỳ. Và ếu {z ij : (i,j) I J} là một họ tùy ý các phầ tử cảu G, khi đó côg thức: (x,y) = ( i, j) I J i j z ij Xác địh một áh xạ sog tuyế tíh từ E F vào G thảo mã (e i,f i ) = z ij. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 20

a. Dạg sog tuyế tíh Mỗi áh xạ sog tuyế tíh từ E F vào K đƣợc gọi là một dạg sog tuyế tíh trê E F Khái iệm dạg sog tuyế tíh liê qua chặt chẽ với khái iệm tích texow, có một vai trò qua trọg trog toá học và vật lý b. Tích texơ của các dạg tuyế tíh Giả sử E,F là các K-môđu. Tích texơ của các dạg tuyế tíh u E*, v F* là một áh xạ u v từ E F vào K đƣợc xác địh bởi: (u v)(x,y) = u(x)v(y) (6) Dễ thấy rằg u v là một dạg sog tuyế tíh trê E F Từ côg thức (5) trực tiếp suy ra mệh đề sau đây: Mệh đề 4.9: Gia sử E là mộe K-môđu tự do có một cơ sở hữu hạ {e i : i I}, I = {2,.,} và F là một K-môđu tự do với cơ sở hữu hạ {f j : j J}, J= {2,.,m}. Ký hiệu {e i : i I} là cơ sở đối gẫu của cơ sở {e i : i I} và {f j : j J} là cơ sở đối gẫu của cơ sở {f j : j J}. Khi đó hệ các dạg sog tuyế tíh {e i f i :(i,j) I J} là một cơ sở của K-môđu (E F,G). c. Tích texơ cảu hai môđu tự do Giả sử E là một K-môđu tự do với cơ sở hữu hạ {e i : i I} và F là một K-môđu tự do với cơ sở hữu hạ {f j : j J},. Do tíh chất đối gẫu giữa E và E *, giữa F và F * ta có thể địh ghĩa tích texơ của phầ tử s E với phầ tử y F xác địh bởi sôg thức: (x y)(u,v) = x(u)y(v) = <x u><y v> (7) Theo mệh đề 4.9 hệ {e i f i :(i,j) I J} là một cơ sở của K-môđu (E * F * ;K). Môđu ày đƣợc gọi là tích texơ cảu E và F ký hiệu E F Chú ý: Trƣờg hợp E và F là các K-môđu tự do bất kỳ, E có cơ sở {e i : i I}, F có cơ sở {f j : j J}, thì các tích By: Nguyễ Tiế Thịh Page 21

texơ E F đƣợc địh ghĩa hƣ một K-môđu (E * F * ;K) sih bởi họ {e i f i :(i,j) I J} d) Tích texơ của hai môđu bất kỳ Cơ sở của địh ghĩa tích texơ E F của hai K- môđu tự do E và F trê đây là sử dụg tíh chất đơ cấu cuả áh xạ chíh tắc E E ** và F F **. Trog trƣờg hợp tổg quát, gƣời ta địh ghĩa tích texơ E F cảu hai K-môđu bất kỳ E và F hƣ môđu thƣơg của K-môđu tự do L = K (E F) theo môđu co M sih bởi các phầ tử có dạg: K (x+x,y)-(x,y)-(x,y),(ax,y)-a(x,y),x,x E,y F, a (x,y+y )-(x,y)-(x,y ),(x,ay)-a(x,y), x E,y,y F, a K (8) Ký hiệu x y = ( x, y) = (x,y) + M, x E, y F. Dễ thấy rằg toà áh chíh tắc p: E F E F = L/M, xác địh bởi p(x,y) = x y là một áh xạ sog tuyế tíh. Giả sử E, F và G là các K-môđu tùy ý cho trƣớc. Dễ dàg chứg mih đƣợc rằg: E K E, E F F E, (9) (E F) G E (F G) Do đó tích texơ của một họ hữu hạ bất kỳ các K- môđu là hoà toà xác đị. 3. Áh xạ đa tuyế tíh Giả sử E 1, E 2,.,E p và G là các K-môđu. Áh xạ f: (E 1 E= E p) G gọi là p-tuyế tíh (hoặc đa tuyế tíh, p 2) ếu f(x 1,x 2,,x p ) tuyế tíh theo từg biế, tức là đối với mỗi i, 1 i p, x i, x i E i, a Ei, a K ta có: f(x 1,.,x i + x i,.,x p ) = f(x 1,,xi,,x p ) + f(x 1,.,x i,.,x p ) f(x 1,,ax i,.,x p ) = af(x 1,,x i,,x p ) (10) By: Nguyễ Tiế Thịh Page 22

Dễ dàg thấy rằg tập (E 1 E 2 E p ;G) các áh xạ p-tuyế tíh từ E 1 E 2 E p vào G là một môđu co của K-môđu G E1 E2 Ep, mỗi áh xạ (E 1 E 2 E p ;K) đƣợc gọi là một dạg p-tuyế tíh trê E 1 E 2 E p Áh xạ (E p ;G) đƣợc goi là đối xứg ếu thỏa mã điều kiệ sau đây đối với mọi i,j =1,,p (x 1,,x i,,x j,,x p ) = (x 1,,x j,,x i,,x p ) (11) Và đƣợc gọi là phả đối xứg ếu (x 1,,x i,,x j,,x p ) = - (x 1,,x j,,x i,,x p ) (12) * Tích texơ của các dạg tuyế tíh u E 1, v * E,., w E, ký hiệu u v w là một dạg đa * 2 p tuyế tíh trê E 1 E 2 E p đƣợc xác đị bởi: ( u v w)(x,y,,z) = u(x)v(y) w(z) (13) Tƣơg tự hƣ trƣờg hợp dạg sog tuyế tíh ta có mệh đề sau đây là một tổg quát hóa của mệh đề 4.9 cho trƣờg hợp dạg đa tuyế tíh Mệh đề 4.10: Giả sử E 1 là một K-môđu tự do với cở sở hữu hạ {e i : i I},,E p là K-môđu tự do với cơ sở hữu hạ {g l : l L}. Ta ký hiệu {e i : i I} là cơ sở đối gẫu của {e i : i I},,{g l : l L} là cơ sở đối gẫu của {g l : l L}. Khi đó tập các dạg đa tuyế tíh {e i g l : (i,,l) I L}là một cơ sở của K-môđu (E 1 E 2 E p ;K) Tƣơg tự ta địh ghĩa tích texơ E 1 E p của các K-môđu E 1, E p của các K-môđu (E* 1 E* 2 E* p ;K) Môđu E 1 Ep có cơ sở là {e i g l : (i,,l) I.. L} 4. Texơ By: Nguyễ Tiế Thịh Page 23

Giả sử E là một K-môđu tự do có cơ sở hữu hạ b={ei: i I = {1,2,,}}. Ta ký hiệu p E * = (E p,k) và q E = (E *q,k). Mỗi phầ tử của p E * gọi là một texơ p-lầ hiệp biế trê E; Mỗi phầ tử của q E gọi là một texơ q-lầ phả biế trê E Mỗi phầ tử của ( p E * ) ( q E ) đƣợc gọi là một texơ kiểu (p,q) trê E. Mỗi phầ tử của ( p E * ) ( q E ) đƣợc gọi là một texơ kiểu (p,q) trê E. I p } Ví dụ: - Texơ kiểu (0,1) là một phầ tử của E - Texơ kiểu (1,0) là một dạg tuyế tíh trê E. - Texơ kiểu (2,0) là một dạg sog tuyế tíh trê E *. - Theo các mệh đề 4.8, 4.10 ta có: p b = {e ij. e ip : (i l,.i p ) I p } (a) Là một cơ sở của p E: p b * = {e ij. e ip : (i l,.i p ) (b) Là một cơ sở của p b * Tíh chất đối gẫu giữa p E và p E * có thể biểu thị bởi dạg sog tuyế tíh <..> trê p E p E * xác địh hƣ sau: <e ij. e ip e ij. e ip > = Nếu T = = < e ij e ip >.< e ip e ip >= i11 j (14) i1 ip T e i1 e ip, p i 1,..,ip I S = S p i 1,..,i p I Thì theo (5) và (13) ta có: <T S> = (15) p i 1,..,ip I. ipjp j1-jp e ij e ip i1 ip T S i1, ip By: Nguyễ Tiế Thịh Page 24

= i p 1,..,i p I Đối với T = x 1 xp S = u 1 u p, trog đó xi = ip 1 k 1 u i k e k, i = l, p thì theo (13) ta có : <x 1 x p u 1 u p > i1 x.. u u p x p 1 i1 ip <x 1 x p u 1 u p > =<x 1 u 1 > <x p u p > (16) Đẳg thức (16) chứg tỏ tíh đối gẫu giữa p L và p E * đƣợc xác địh bởi hệ thức (14) khôg phụ thuộc vào việc chọ cơ sở b của K- môđu E. 6 ĐẠI SỐ TENXƠ Giả sử E là một môđu trê vàh K giao hoá có đơ vị 1. Với mỗi số guyê 0 ta địh ghĩa một K- môđu T hƣ sau: T 0 = K, T 1 = T 0 E,, T = T -1 E, Đặt T K (E) = T 0 (1) T K (E) là một K-môđu. Với mỗi 0, T có thể đồg hất với mỗi môđu co của T K (E). Khi đó tổg trực tiếp (1) là sự phâ tích của K-môđu T K (E) thàh tổg trực tiếp các môđu co. Vì T K (E) là K-môđu sih bởi 1 K và các tích tƣ x1 x T của các phầ tử x1,,x thuộc E do đó để T K (E) trở thàh một K-đại số ta có thể địh ghĩa một phép hâ sog tuyế tíh trog T K (E) hƣ sau: 1(x 1 x ) (y 1 y p ) = x 1 x y 1 y 1 (2) By: Nguyễ Tiế Thịh Page 25

Dễ dàg kiểm tra lại rằg K-môđu T K (E) với phép hâ sog tuyế tíh xác địh bởi (2) là một K-đại số kết hợp có đơ vị 1. K-đại số T K (E) gọi là đại số texơ trê K-môđu E. Các phầ tử của K-đại số texơ T K (E) có dạg x1 x T với mọ 1 ào đó, gọi là phầ tử phâ tích đƣợc của T K (E). 7 ĐẠI SỐ NGOÀI 1. Áh xạ đa tuyế tíh thay phiê Giả sử E, G là các môđu trê vàh K giao hoá có đơ vị. Áh xạ p-tuyế tíh T từ E p vào G gọi là thay phiê ếu trog các phầ tử x1,,xp E có hai phầ tử trùg hau, tức là x 1 = x j = x, 1 i < j p thì T(x 1,.,x p ) = 0 (1) Dễ thấy rằg tâp các áh xạ p-tuyế tíh thay phiê là một môđu co của K-môđu (E p,g) By: Nguyễ Tiế Thịh Page 26

Giả sử E là K-môđu tự do có cơ sở hữu hạ {ei: i I }, I = {1,2,,}. Ta ký hiệu Λ p E là tập các dạg p- tuyế tíh thay phiê trê E *p. Khi đó Λ p E là một môđu co của môđu p E = (E p,k). Ta sẽ khảo sát các K- môđu Λ p E và Λ p E*. Để dễ phâ biệt các phầ tử của Λ p E gƣời ta gọi là p-vectơ cò các phầ tử của Λ p E* gọi là p-dạg. Mệh đề 4.11: Với p>1, mỗi p-vectơ của à là phả đối xứg. Nếu vàh K thỏa mã điều kiệ: ếu 2 = 0 thì = 0, thì mỗi texơ phả đối xứg của p E là p-vectơ. Chứg mih: Giả sử T Λ p E, (i,j) (S p, i<j và u 1,,u p E *. Ta ký hiệu: ^ T (u,v) = T(u 1,,u i-1,u,u i+1,,u j- 1,v,u j+1,,u p ) Theo tíh chất đa tuyế tíh thay phiê của T ta có : 0= ^ T (u i +u j,u i +u j )= T ^ (u i,u i )+ T ^ (u j,u j )+ T ^ (u i,u j )+ T ^ (u j,u i ) 0 = T ^ (u i,u j )+ T ^ (u j,u i ) Do đó T ^ (u i,u j ) = -T ^ (u j,u i ) Vậy T phả đối xứg. 2. Tích goài Tích goài của các phầ tử x 1,,x p E, ký hiệu x 1 Λ Λx p, đƣợc xác địh bởi x 1 Λ Λx p = sg x 1 Sp x (p) (2) Mệh đề 4.12: Áh xạ hp từ Ep vào Λ p E xác địh bởi: hp(x 1,,x p ) = x 1 Λ Λx p Là một áh xạ đa tuyế tíh thay phiê. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 27

Chứg mih: Tíh chất đa tuyế tíh của áh xạ h p suy ra từ tíh chất đa tuyế tíh của các áh xạ: (x 1,,x p ) (x (1) x (p)), S p Nếu ứg với hai chỉ số i, j ta có xi = xj thì tổg vế phải đẳg thức (2) bằg 0, vì mỗi số hạg ứg với phép thế chẵ triệt tiêu với số hạg đồg dạg ứg với phép thế lẻ (i, j). Ví dụ: Nếu x, y E, ta có x Λ y = x y y x. Giá trị của xλ y tại (u, v) E *2 đƣợc xác địh bởi (x Λ y)(u, v) = x y (u, v) y x(u, v) = x(u) y(v) u(u)x(v) Mệh đề 4.13: Giả sử E là một môđu tự do trê vàh K có đơ vị, với cơ sở b = {eb,,e}. Khi đó đối với p > ta có Λ p E = 0. Giả sử 1 p, T Λ p E ta có : T = 1 i 1... ip ( 1 i T e i,..., e p) e ip) e i1 Λ.Λe ip (3) Và hệ Λ p b = {e i1 Λ..Λ e ip : 1 i 1 <..< i p } là một cơ sở K-môđu Λ p E Chứg mih: Vì T Λ p E p E, theo mệh đề 4.10 ta có : T = (e i1,,e ip ) e i1 e ip (a) Nếu p > thì trog dãy e i1,,e ip có hai chỉ số giốg hau; vì T là áh xạ đa tuyế tíh thay phiê ê ta có T(e i1,,e ip) = 0, do đó T = 0. Vậy ếu p > thì Λ p E = 0. Bây giờ giả sử 1 p, ta có T(e i (1),..,e i (p) ) = sg T (e i1,,e ip ) (b) Từ (a), (b) và (2) suy ra (3). Ta cò phải chứg tỏ hệ Λ p b độc lập tuyế tíh. Giả sử By: Nguyễ Tiế Thịh Page 28

a i1 ip e i1 Λ.Λ e ip = 0 1 i 1... ip Nếu 1 j 1 <.< j p thì giá trị của hai vế tại (e i1,,e ip )là a j1 jp. Vậy ta có a j1 jp = 0 Mệh đề sau đây là một áp dụg qua trọg của tích goài Mệh đề 4.14: gải sử K là vàh giao hoá có đơ vị, E là một K-môđu tự do có có sở hữu hạ {e 1, e }. Khi đó tất cả các cơ sở khác của E cũg có phầ tử, do đó dim E =. Chứg mih: Vì = Sup {p N: Λ p E 0}. Hệ quả: Dim Λ p E = 3. Sự đối gẫu giữa Λ p E và Λ p E* Tíh chất đối gẫu Λ p E và Λ p E* đƣợc thể hiệ bởi dạg sog tuyế tíh <..>^ trê Λ p E Λ p E* xác địh hƣ sau: <e i1 Λ Λ e ip e ji Λ Λ e jp >^ = <e i1 e j1 >.<e ip e jp > = i1j1. ipjp (4) Đẳg thức (4) tƣơg đƣơg với đẳg thức: <e i1 Λ Λe ip e i1 Λ Λe ip >^ = (e i1 e ip ) ( e j1,.e jp ) (5) Theo tíh chất đa tuyế tíh và đối gẫu giữa E và E* từ (5) ta có côg thức: <x 1.. x p u 1 u p >^ = (x 1 x p )(u 1,,u p ) = (u 1^ ^u p )(x 1,.,x p ) (6) Đối với mọi x1,,xp E và u1,,up E*, đẳg thức (6) chứg tỏ tíh chất đối gẫu giữa Λ p E và Λ p E* địh ghĩa ở đẳg thức (4) khôg phụ thuộc vào việc chọ cơ sở b của môđu E. 4. Phép toá goài Một p-vectơ của Λ p E gọi là phâ tích đƣợc ếu ó có dạg x1 xp trog đó x1, xp E. Theo mệh đề By: Nguyễ Tiế Thịh Page 29 p C

4.13, tập các p-vectơ phâ tích đƣợc là một hệ sih của K-môđu Λ p E. Xét áh xạ sau: Với mỗi (e i1 e ip, e j1 e jq ) Λ p b, cơ sở của Λ p E và (e j1 e jq ) Λ q b, cơ sở của Λ q E, ta đặt (e i1 e ip,e j1 e jq ) = e i1 e ip ^e j1 e jq (7) Với xi = yj = k 1 k 1 xe k i k ye k i k,i = 1,2,.p,i = 1,2,.q Ta đặt (x 1 x p ) (y 1 y q ) = x 1 x p y 1 y q (8) Do tíh chất đa tuyế tíh của ta có : (x 1 x p ) (y 1 y q ) i1 = x 1 e j1 e jq ) i1 = x 1 i p. x p i p. x p By: Nguyễ Tiế Thịh Page 30 y y j1 1 j1 1 y jq q. (e ij... e ip, y jq q e ij... e ip e j1 e jq = x 1 x p y 1 y q Vậy áh xạ sog tuyế tíh xác địh bởi (7) là áh xạ sog tuyế tíh duy hất từ Λ p E Λ q E* vào Λ p+q E thỏa mã (8) Ta đặt R S = (R,S),R Λ p E, S Λ q E (9) R S gọi là tích goài của p-vectơ R với q-vectơ S. Do tíh chất sog tuyế tíh của, ta suy ra tíh phâ phối phải của tích goài R (S + S ) = R S + R S (R + R ) S = R S + R S Và ta có (ar) S = R (as) = a(r S), với mọi a K Mệh đề 4.15: Phép toá goài xác địh bởi (9) có tíh chất kết hợp, tức là (R S) T = R (S T), đối với mọi R Λ p E, S Λ q E, T Λ p E

Chứg mih: Theo tíh chất đa tuyế tíh của tích goài, chỉ cầ xét đối với R= x 1 x p, S = y 1 y q và T = z 1 z p. Điều ày suy trực tiếp từ (8) Đại số goài: Giả sử E là một môđu tự do -chiều trê vàh K có đơ vị. Đặt E = 0 E 1 E. E (10) ( 0 E = K) Tập E là một K-môđu tự do 2 -chiều. Với mỗi p 0 ta có thể đồg hất Λ p E. Khi đó (10) là sự phâ tích K-môđu E thàh tổg trực tiếp các môđu co. K-môđu E với phép hâ sog tuyế tíh (9) là một K-đại số kết hợp có đơ vị 1 K-đại số E đƣợc gọi là đại số goài của môđu E. 8 VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE (*) 1. Địh ghĩa môđu Nơte Môđu hữu hạ sih: Mỗi K-môđu có một hệ sih hữu hạ gọi là K-môđu hữu hạ sih Nhậ xét: Môđu co của một môđu hữu hạ sih có thể khôg phải là môđu hữu hạ sih. Chẳg hạ Z là vàh các số guyê. Xét tập Z = {x = (x 1,x 2,.),x i Z} Trog Z ta địh ghĩa hai phép toá cộg và hâ hƣ sau: Với x = (x 1, x=, );y = (y 1, y 2, ) x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ) x.y = (x 1.y 1, x 2.y 2, ) By: Nguyễ Tiế Thịh Page 31

Dễ thấy rằg Z với hai phép toá trê là một vàh giao hoá có đơ vị = (1, 1, ). Tập Z là một Z -môđu xyclic với phầ tử sih là = (1, 1, ). Vậy Z là một môđu hữu hạ sih Xét tập B Z xác địh hƣ sau: B = {x=(x1, x2, ) Z : chỉ có một số hữu hạ xi 0} Dễ thấy rằg B là một môđu co của Z -môđu, Z -môđu B khôg phải là Z -môđu hữu hạ sih 1, 2,, k.giả sử là chỉ số lớ hất của các thàh phầ khác khôg của 1, 2,, k. Khi đó trog B sẽ có phầ tử có thàh phầ + 1 khác 0, phầ tử ày khôg thể là Z - tổ hợp tuyế tíh của 1, 2,, k. Từ hậ xét trê ta đi đế khái iệm môđu Nơte: Địh ghĩa: Giả sử K là một vàh có đơ vị. K-môđu M gọi là môđu Nơte ếu mọi môđu co của M đều hữu hạ sih. Sau đây là các đặc trƣg cơ bả của môđu Nơte: Địh lý 4.16: Đối với K-môđu M, các điều khẳg địh sau là tƣơg đƣơg: i) M là một môđu Nơte ii) Mỗi dãy tăg các môđu co của M M 1 M 2 M 3. Sao cho M i M i+1, đều dừg lại sau hữu hạ bƣớc iii) Mọi phầ tử hữu hạ rỗg S các môđu co của M đều có phầ tử tối đại, tức là có môđu co M o S sao cho N S ếu M o N thì M o = N Chứg mih: (i) (ii): Xét dãy bất kỳ M 1 M 2 M 3.các môđu co của K-môđu M. Theo (i) môđu co N = iu 1 M i hữu hạ sih. Giả sử x 1, x 2,.,x r là các phầ tử sih của N. Khi đó sẽ tồ tại số sao cho x 1 M, i = 1, 2,., r. Vậy với p = 1, 2,.ta có : By: Nguyễ Tiế Thịh Page 32

M +p = iu M 1 = N =<x 1, x 2,.,x > k 1 M Do đó ta có M = M +1 =.,(ii) đƣợc thỏa mã (ii) (iii): Giả sử S là một họ khác rỗg các môđu co của K-môđu M ta lấy N 1 S, ếu N 1 chƣa phải là phầ tử tối đại của S, sẽ có N 2 S sao cho N 2 N 3. Nếu N 2 chƣa tối đại sẽ có Ns S sao cho N 2 N 3, Ta đƣợc dãy các môđu co N i S: N 1 N 2 N 3. Theo (ii) sao cho N = N +1 = =N +p =.Vậy N S là phầ tử tối đại cầ tìm. (iii) (i): Giả sử N là một môđu co bất kỳ của K-môđu M thỏa mã điều kệ (iii). Gọi S là cả các môđu co hữu hạ sih của K-môđu M bị chứa trog môđu co N. S={A = a 1, a 2,,a r > K, a i N, i=1,2,.r}> Rõ ràg rằg S. Theo (iii) họ S có ít hất một phầ tử tối đại, chẳg hạ A =<{a1, a2,,a}>k. Giả sử A N, khi đó tồ tại a +1 A. Xét môđu co A = <{ a 1, a 2,,a +1 }> K. Khi đó ta có A S, A A. Điều ày trái với giả thiết A là phầ tử tối đại của họ S. Vậy ta có : N = A <{a 1, a 2,...,a }> k Vậy M là K-môđu Nơte 2. Tíh chất Mệh đề 4.17: Giả sử M là K-môđu Nơte, khi đó mọi môđu co, môđu thƣơg của M đều là K-môđu Nơte Chứg mih: Vì mỗi môđu co của N là một môđu co của M, do đó mỗi môđu co N của M là K-môđu Nơte Xét môđu thƣơg M/N. Giả sử p: M M/N là đồg cấu chíh tắc, khi đó ếu A là một môđu co của K-môđu M/N thì p -1 ( A ) = A là một môđu co của K- môđu M By: Nguyễ Tiế Thịh Page 33

Giả sử M = M 2 M 3 là một dãy tăg các môđu co của môđu thƣơg M.N. Đặt Mi = p -1 ( M i ), ta đƣợc dãy tăg các môđu co của K-môđu Nơte M M 1 M 2 M 3. Theo địh lý 4.16. dãy ày sẽ dừg sau r bƣớc M r = M r+1 = Do đó sau r bƣớc ta có M = p(m r r) = p(m r+1 ) = M =... r 1 Vậy M/N là K-môđu Nơte Mệh đề 4.18: Giả sử N là môđu co của K-môđu M. Khi đó ếu N và M/N là các môđu ơte thì M cũg là môđu Nơte Chứg mih: với mõi môđu co L của môđu M ta cho tƣơg ứg với một cặp môđu : L N và L + N/N Ta sẽ chứg tỏ rằg ếu E F là các môđu co của M sao cho các cặp tƣơg ứg với điều kiệ chúg trùg hau, tức là E N = F N, E N = F N thì E = F. Thật vậy, giả sử x F, vì, E N N N = F N N By: Nguyễ Tiế Thịh Page 34 N ê ó sẽ tồ tại các phầ tử: y E, u, v N sao cho : y + u = x + v. Ta có : x - y = u - v F N = E N Vậy x = y + u v E, ta có E = F Giả sử E 1 E 2 E 3. (1) Là một dãy tăg các môđu co của K-môđu M. Tƣơg ứg với dãy (1) ta có hai dãy tăg các môđu co của các K-môđu Nơte N và M/N. E 1 N E 2 N E 3 N. (2) E 1 + N/N E 2 + N/N E 3 + N/N. (3) Theo địh lý 4.16, các dãy (2) và (3) sẽ dừg sau một số hữu hạ bƣớc. Theo chứg mih trê dãy

(1) cũg phải dừg sau một số hữu hạ bƣớc. Vậy M là K-môđu Nơte Hệ quả: Nếu M 1 và M 2 là hia K-môđu Nơte, khi đó tích trực tiếp M 1 M 2 là K-môđu Nơte Chứg mih: Vì K-môđu M 1 M 2 chứa môđu co Nơte: M 1 = {(x, 0):x M 1 } = M 1 {0} M 1 Và môđu thƣơg M 1 M 1 M 1 M 2 Là K-môđu Nơte Bằg quy ạp ta có: ếu Mi, i =1, 2,, là các K- môđu Nơte, khi đó m M i cũg là một K-môđu Nơte i 1 3. Vàh Nơte Vàh K có đơ vị gọi là vàh Nơte ếu K là một K-môđu Nơte, tức là mọi iđêa trái (môđu co) của K đều hữu hạ sih. Địh lý 4.19: Nếu K là một vàh Nơte và M là một K-môđu hữu hạ sih thì M là một K-môđu Nơte Chứg mih: Giả sử {x=, x 2,,x } là một hê sih của K-môđu. Theo hệ quả của mệh đề 4.18 thì K = K K. K là một K-môđu Nơte Xét K-đồg cấu: f: K M xác địh bởi f(a 1, a 2,,a ) = a 1 x 1 + +a x Dễ thấy rằg f là một K-toà cấu. Ta có : K Ker(f) M Theo mệh đề 4.17, K Ker(f) là một K-môđu Nơte. Vậy M là K-môđu Nơte. Địh lý 4.20: By: Nguyễ Tiế Thịh Page 35

Giả sử A là một vàh Nơte và : A B là một toà cấu vàh, khi đó B cũg là vàh Nơte. Chứg mih: Giả sử B 1 B 2 B 3. (1) Là một dãy tăg các iđêa trái của vàh B. Đặt Ai = -1 (B i ), i = 1, 2, ta đƣợc một dãy tăg các iđêa trái của vàh A A 1 A 2 A 3. (2) Do A là vàh Nơte ê dãy (2) dừg sau một số hữu hạ bƣớc. Vì là một toà áh ê Bi = (A i ),. Do đó dãy (1) sẽ dừg sau một số hữu hạ bƣớc. Vậy B là một vàh Nơte. Địh lý 4.21 (Địh lý Hibe): Nếu K là một vàh Nơte giao hoá thì vàh đa thức K[x] cũg là vàh Nơte Chứg mih: Giả sử K là một vàh Nơte giao hoá, J là một iđêa của vàh đa thức K[x]. Ta sẽ chứg tỏ J hữu hạ sih. Với mỗi i N, N={0, 1,.} ta ký hiệu Ai là tập co của K gồm phầ tử 0 và các phầ tử của K là hệ số cao hất của các đa thức bậc i thuộc J. A i là một iđêa của K, vì ếu a,b A i thì dễ thấy rằg a b A i ta Ai, r K Giả sử a A i, khi đó tồ tại đa thức bậc i: f(x) = a i x i + +a 1 x + a 0 thuộc iđêa J sao cho a i =a. Khi đó a cũg là hệ số cao hất của đa thức bậc i + 1, xf(x) J. Vậy a A i+1. Do đó A i A i+1. Ta có một dãy tăg các iđêa của vàh K A 0 A 1 A 2. A i. Vì vàh K Nơte ê tồ tại r sao cho A r = A r+1 = Ta có A 0 A 1. A r = A r+1 = Giả sử By: Nguyễ Tiế Thịh Page 36

a 01 a 02 a 00 là hệ sih của A 0 a 01 a 02 a 01 là hệ sih của A 1. a r1 a r2.a rr là hệ sih của A r Ta chọ các đa thức f ij thuộc iđêa J có hệ tử cao hất là a ij, i = 0, 1,, r; j = 1,, i. Ta sẽ chứg tỏ họ { là một hệ sih của J } j i i 0,... r f ij 1,..., Vì A0 là các đa thức bậc 0 ê f 0j = a 0j, j = 1,., 0. Do đó ta có A 0 ( { f ij 1,..., ) J } j i i 0,... r Giả sử f(x) J và deg f =d. Bằg cách quy ạp theo d ta chứg mih f(x) iđêa ( { f ij 1,..., ) } j i i 0,... r Nếu d=0 thì f A0, điều khẳmg địh đúg Giả sử d > 0 và điều khẳg địh đúg đối với mọi đa thức thuộc J có bậc hỏ hơ d. Có một trog hai trƣờg hợp xảy ra: Hoặc d r. giả sử f = b 0 + b 1 x + =b d x d Khi đó b d A d = A r. Vậy có các phầ tử c 1,,c r K sao cho bd = c 1 a r1 + +c r a rr Đặt g = f c 1 x d-r f r1 + +c r x dr f rr (a) Ta có g J và deg g < d Hoặc d < r thì b d A d A r Khi đó các phầ tử c1,,c d K sao cho : b d = c 1 a d1 + +c d a dd Đặt g=f (c1ad1+ +cd f dd ) (b) Ta cũg có g J và deg g < d. Cả hai trƣờg hợp, thie giả thiết quy ạp đa thức g } j i i 0,... r thuộc iđêa ( { f ij 1,..., ). từ các hệ thức (a), (b) suy ra rằg cả hai trƣờg hợp f đều thuộc iđêa ( { f ij 1,..., ). Vậy { f ij 1,..., là một hệ sih của J } j i i 0,... r } j i i 0,... r Bằg cách quy ạp ta có : Hệ quả: By: Nguyễ Tiế Thịh Page 37

Nếu K là một vàh Nơte giao hoá, đặc biệt ếu K là một trƣờg thì vàh đa thức ẩ K[x 1,,x ] cũg là vàh Nơte. Ý ghĩa hìh học của địh lý Hibe: Giả sử P là một trƣờg, f i (x 1,,x ) P[x 1,,x ], i I là một họ đa thức cho trƣớc Tập M={(a 1,,a ) P : f i (a 1,,a ) = 0, i I} đƣợc gọi là đa tập đại số của khôg gia P xác địh bởi hệ phƣơg trìh : f i (x 1,,x ) = 0, i I (c) Ví dụ: Mỗi mặt phẳg là một đa tạp đại số của khôg gia R 3 xác địh bởi phƣơg trìh: ax + by + cz + d = 0 Mỗi đƣờg thẳg là một đa tạp đại số của khôg gia R 3 xác địh bởi hệ phƣơg trìh: ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Mỗi điểm N(a, b) R 2 là một đa tạp của khôg gia R 2 xác địh bởi phƣơg trìh: x a = 0 y b = 0 Nếu M là một đa tạp xác địh bởi hệ phƣơg trìh. Điểm (a 1,,a ) thỏa mã hệ (1) khi và chỉ khi (a 1,,a ) thỏa mã phƣơg trìh: g(x 1, x )= 0, đối với mọi đa thức g(x 1, x ) thuộc iđêa A = ( { f i} i I ). của vàh P[x 1, x ]. Vì vàh P[x 1, x ] là vàh Nơte ê iđêa A hữu hạ sih A = ({g 1, g 2,,g m }) Vậy (a 1,.,a ) thỏa mã hệ phƣơg trìh (c) khi và chỉ khi (a 1,.,a ) thỏa mã hệ phƣơg trìh; Gk (x 1, x ) = 0,k = 1, 2,,m Do đó mỗi đa tập đại số có thể xác địh bởi hệ hữu hạ các phƣơg trìh. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 38

BÀI TẬP CHƢƠNG IV Bài 1) Giả sử J là môt iđêa của vàh K có đơ vị 1 và x là một phầ tử của K-môđu X. Chứg mih rằg tập co A = J.x = { x: J} Là một môđu co của X By: Nguyễ Tiế Thịh Page 39

Bài 2) Chứg mih rằg tập X = R 1 tất cả các hàm số thực xác địh trê đoạ I = [0, 1] là một R-đại số đối với các phép toá thôg thƣờg. Chứg mih rằg tập co A cảu X gồm tất cả các hàm số liê tục là một đại số co của X. Bài 3) Một môđu co A của môđu X trê vàh K có đơ vị gọi là hạg tử trực tiếp của X ếu và chỉ ếu tồ tại một môđu co B của X sao cho hóm Abe X là tổg trực tiếp của hai hóm co A và B. Trog trƣờg hợp ày, B gọi là một môđu co bù của A ; ói chug B khôg duy hất. Một môđu X gọi là ửa đơ ếu và chỉ ếu mọi môđu co của X đều là một hạg tử trực tiếp. Môđu X gọi là đơ ếu và chỉ ếu các môđu co duy hất cảu x là {0} và X. Chứg mih rằg đối với 1 K- môđu X các điều khẳg địh sau là tƣơg đƣơg: i) X là ửa đơ ii) X là tổg trực tiếp của một họ hữg môđu co đơ của X iii) X là tổg cảu một họ hữg môđu co của X Bài 4) Giả sử S là một tập co của K-đại số X ổ địh đối với phép hâ của X. Chứg mih răg môđu co A của X sih bở S là một đại số co của X cà do đó A là một đại số co của X sih bởi S Bài 5) Giả sử S là một tập co của K-đại số X sao cho các phầ tử của S giao hoá đƣợc với hau trog X. Chứg mih rằg đại số co A của X sih bởi S là giao hoá. Bài 6) Với một đồg cấu S tùy ý của K-môđu X vào K-môđu Y. Chứg mih rằg ảh f(a) của mọi môđu co bất kỳ A của X là một môđu co của Y và ảh gƣợc f 1 (B) cảu một môđu co B bất kỳ của Y là một môđu co của X. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 40

Bài 7) Giả sử f là một đồg cấu cảu K-môđu đơ X vào K-môđu Y. Chứg mih rằg ếu Im f 0 thì Im f là một môđu co đơ của Y và f là một đơ cấu Bài 8) Với một đồg cấu bất kỳ h: X Y của K- môđu X vào K-môđu Y, K là một vàh giao hoá có đơ vị, chứg mih răg áh xạ: h * Y * X * xác địh bởi h * (f) = f o h đối với mọi f thuộc môđu đối gẫu Y* của Y là một K-đồg cấu, h * gọi là đối gẫu cảu h. Chứg mih rằg áh xạ: D: Hom K (X,Y) Hom K (X *,Y * ) xác địh bởi D(h) = h * là một K-đồg cấu. Bài 9) Giả sử f, g là các đồg cấu của K-đại số X vào K-đại số Y sao cho f(s) = g(s) đối với mọi phầ tử s cảu tập co S X. Chứg mih rằg f(x) = g(x) đối với mọi phầ tử x của đại số co A của X sih bởi tập S Bài 10) Giả sử q là một quateciôg bất kỳ cho trƣớc. Xét áh xạ q : H H xác địh bởi (a) = qa, với mọi a H. Chứg tỏ rằg q là một tự đồg cấu của R- khôg gia vectơ H, Giả sử M q là ma trậ của q đối với cơ sở {1, i, j, k}. Chứg mih áh xạ D: q M q là một R-đồg cấu của đại số H vào M 4 [R]. Xác địh một cơ sở của R-khôg gia vectơ D(H) Bài 11) Một K-môđu X gọi là xạ ảh ếu và chỉ ếu với mọi đồg cấu f: X A của K-môđu X vào K- môđu A và mọi toà cấu g: B A của một K-môđu B lê K-môđu A, tồ tại một đồg cấu h: X B của môđu X vào môđu B sao cho qua hệ giao hoá g o h = f xảy ra trog tam giác sau: X h f B g A By: Nguyễ Tiế Thịh Page 41

Chứg mih rằg mọi K-môđu tự do đều là xạ ảh. Cho một ví dụ chứg tỏ rằg một K-môđu xạ ảh khôg hất thiết là tự do Bài 12) Với mọi tập co tùy ý S cho trƣớc của một khôg gia vectơ X trê trƣờg P, chứg mih rằg: i)nếu S là một tập co độc lập tuyế tíh thì tồ tại một cơ sở B của X với B S ii)nếu S là một tập sih của X thì tồ tại một cơ sở B của X với B S Bài 13) Giả sử A, B, C là các môđu trê vàh K giao hoá có đơ vị. Chứg mih rằg: A K A A B B A A (B C) (A B) C Bài 14) Giả sử E F là tích texơ của hia môđu E, F trê vàh K giao hoá có đơ vị. Chứg mih rằg i)áh xạ ((x, y)) = x y là một áh xạ sog tuyế tíh từ E F vào E F ii) Đối với mỗi áh xạ sog tuyế tíh : E F G, tồ tại duy hất một áh xạ sog tuyế tíh f: E F G sao cho f. = iii) Giả sử ': E x F H là một áh xạ sog tuyế tíh. Nếu đối với mọi K-môđu G, với mọi áh xạ sog tuyế tíh : E x F G tồ tại duy hất áh xạ sog tuyế tíh f: H G sao cho f o ' = thì tồ tại duy hất đẳg cấu g: E F H sao cho ' = g o và f = f.g Bài 15) Giả sử K là vàh giao hoá có đơ vị, X, Y là các K-môđu tự do có cơ sở hữu hạ. Chứg mih rằg mọi đồg cấu môđu f: X Y đều có thể mở rộg thàh đồg cấu đại số duy hất f*: X Y thỏa mã f*(1) = 1. Đồg cấu f* gọi là cái kéo dài của f. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 42

Bài 16) Giả sử X là một môđu tự do có cơ sở hữu hạ trê vàh K giao hoá có đơ vị. Chứg mih rằg ếu u 1 u m = 0 Bài 17) Giả sử E là một K-khôg gia vectơ với cơ sở {e 1,,e } và f là một đẳg cấu từ E vào K đƣợc xác địh bởi: f( e 1 e ) = i) Chứg mih rằg áh xạ u từ -p E p E vào K xác địh bởi u(s, T) = f(s T) là dạg sog tuyế tíh ii) Giả sử S -p E và v(s): p E K xác địh bởi v(s)(t) = f(s T). Chứg mih rằg áh xạ v: S v(s) là một đẳg cấu từ -p E lê ( p E) * Bài 18) Giả sử E là khôg gia vectơ với số chiều hữu hạ trê trƣờg K. Giả sử T p E, S q E Chứg mih rằg T S = (-1) pq S T, ếu p lẻ ta có T T = 0. Tíh T T đối với T = e= e 2 +e 3 e 4 trog đó e 1, e 2, e 3, e 4 độc lập tuyế tíh. By: Nguyễ Tiế Thịh Page 43