ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suấ

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI 2014

2 Mục lục Lời nói đầu Mở đầu Một số khái niệm và kết quả cơ bản Hội tụ yếu trên đường thẳng Sự hội tụ yếu trong không gian Metric Độ đo trên không gian Metric Độ đo và tích phân Tính chặt Tính chất của hội tụ yếu Định lý kết hợp Tiêu chuẩn khác Nguyên lý ánh xạ Không gian tích Sự hội tụ theo phân phối Đại lượng ngẫu nhiên S-giá trị Sự hội tụ theo phân phối Sự hội tụ theo xác suất Mối quan hệ giữa các loại hội tụ Nguyên lý địa phương và nguyên lý tích phân

3 2.3.6 Qua giới hạn tích phân Độ đo tương đối Định lý Prohorov Tính compact tương đối Tính chặt Sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng Hội tụ yếu và tính chặt trong C Tính chặt và tính compact trên C Hàm ngẫu nhiên Độ đo Wiener và định lý Donsker Độ đo Wiener Cấu trúc của độ đo Wiener Định lý Donsker và ứng dụng Hàm của các quỹ đạo chuyển động Brown Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Luật Arcsin Cầu Brown Bất đẳng thức cực đại Cực đại của các tổng riêng Bất đẳng thức tổng quát hơn Kết luận Tài liệu tham khảo

4 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết độ đo, có rất nhiều khái niệm về sự hội tụ của các độ đo xác suất mà hội tụ yếu là một khái niệm quan trọng trong đó. Hội tụ yếu (hay còn gọi là hội tụ hẹp hoặc yếu-hội tụ, đây là tên thích hợp hơn theo quan điểm giải tích hàm nhưng ít được sử dụng) là một trong các loại hội tụ liên quan đến sự hội tụ của các độ đo. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một là mở đầu. Nêu một số khái niệm và tính chất bổ trợ cho các chương sau của luận văn. Bên cạnh đó, chương một sẽ nhắc lại về sự hội tụ yếu trên đường thẳng thực (tài liệu tham khảo [7]). Chương hai đề cập tới sự hội tụ yếu trong không gian Metric. Trong chương hai chúng ta sẽ tìm hiểu lý thuyết chung về khái niệm hội tụ yếu trong không gian metric và xem xét nó khi ta hạn chế trong nhiều trường hợp khác nhau. Mở đầu bằng các khái niệm cơ bản về hội tụ yếu và các tính chất của nó. Từ đó ứng dụng vào trong việc xét sự hội tụ theo phân phối và xác suất của các độ đo. Cùng với đó là kết quả quan trọng liên quan tới một họ các độ đo xác suất. Chương ba là sự hội tụ yếu trong không gian C và ứng dụng. Chương này quan tâm đến sự hội tụ yếu trong không gian C = C[0, 1] với tôpô đều; C là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn đóng [0, 1]. Các ứng dụng sẽ được nêu ra trong chương này cho ta thấy lý do tại sao thật thú vị và hữu ích khi phát triển lý thuyết chung về sự hội tụ của các độ đo (độ đo Wiener, chuyển động Brown). 3

5 Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Đặng Hùng Thắng. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong seminar Toán xác suất về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá ấy. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Hoàng Trung Hiếu 4

6 Chương 1 Mở đầu Đầu tiên chúng ta nhắc lại một vài tính chất của không gian metric sẽ được sử dụng trong luận văn. Sau đó, ta sẽ nhắc lại về sự hội tụ của độ đo xác suất trên đường thẳng. 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Ta đề cập một kết quả hữu ích được chứng minh đơn giản sau. Định lý (M test Weierstrass). Giả sử rằng lim n x nk = x k với mỗi k và x nk M k, trong đó k M k <. Khi đó k x k và tất cả các k x nk hội tụ và lim n k x nk = k x k. Chứng minh. Do k M k < nên chuỗi k x nk hội tụ tuyệt đối. Ta có x nk x k x nk x k + 2 M k. k k k k 0 k>k 0 Với ɛ cho trước, chọn k 0 sao cho k>k 0 M k < ɛ/3 và n 0 sao cho n > n 0 thì x nk x k < ɛ/3k 0 với k k 0. Khi đó với n > n 0 thì k x nk k x k < ɛ. 5

7 Chúng ta ký hiệu không gian metric là S và metric của nó là ρ(x, y); không gian metric chính là cặp (S, ρ). Với các tập con A của S, ký hiệu A, A o và A = A A o lần lượt là bao đóng, phần trong và biên của A. Khoảng cách từ x tới A là ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y A}; từ ρ(x, A) ρ(x, y) + ρ(y, A) suy ra ρ(, A) liên tục đều. Ký hiệu B(x, r) là r-hình cầu mở {y : ρ(x, y) < r}; hình cầu sẽ có nghĩa là hình cầu mở và các hình cầu đóng ký hiệu là B(x, r). ɛ-lân cận của một tập A là tập mở A ɛ = {x : ρ(x, A) < ɛ}. So sánh các metric. Giả sử ρ và ρ là hai metric trên cùng không gian S. Để nói rằng tô pô ρ là lớn hơn tô pô ρ là để nói các lớp tương ứng O và O của các tập mở trong mối quan hệ O O. (1.1) Điều này đúng nếu và chỉ nếu với mọi x và r, có một r sao cho B (x, r ) B(x, r) và trong trường hợp này tô pô ρ cũng được nói là tốt hơn tô pô ρ. Coi ánh xạ đồng nhất i trên S như một ánh xạ từ (S, ρ ) vào (S, ρ). Khi đó i là liên tục nếu và chỉ nếu G O kéo theo G = i 1 G O nghĩa là nếu và chỉ nếu (1.1) đúng. Hơn nữa, i là liên tục theo nghĩa này nếu và chỉ nếu ρ (x n, x) 0 kéo theo ρ(x n, x) 0. Đây là cách khác để nói rằng tô pô ρ là "tốt hơn" tô pô ρ. Metric ρ là rời rạc nếu ρ(x, y) = 1 với x y; điều này đưa tới S tô pô tốt nhất có thể. Hai metric và tô pô tương ứng là tương đương nếu mỗi trong chúng là tốt hơn cái kia: (S, ρ) và (S, ρ ) là đồng phôi. Nếu ρ là tốt hơn ρ thì cả hai có thể tương đương; nói cách khác, "tốt hơn" không có nghĩa là "tốt hơn nghiêm ngặt". Tính khả ly. Không gian S là khả ly nếu nó chứa một tập con trù mật, đếm được. Một cơ sở cho S là một lớp các tập mở với tính chất: mỗi tập mở là hợp của các tập trong lớp đó. Một phủ mở của A là một lớp các tập mở mà hợp của chúng chứa A. 6

8 Định lý Ba điều kiện sau là tương đương: (i) S là khả ly. (ii) S có một cơ sở đếm được. (iii) Mỗi phủ mở của mỗi tập con của S có một phủ con đếm được. Chứng minh. 1.(i) (ii). Lấy D đếm được, trù mật và lấy V là lớp các hình cầu B(d, r) với d D và r hữu tỷ. Lấy G mở, để chứng minh V là một cơ sở, chúng ta phải chỉ ra rằng nếu G 1 là hợp của các phần tử của V mà bị chứa trong G thì G = G 1. Thật vậy, ta đã có G 1 G và để chứng minh G G 1 ta lấy x D, d D và số hữu tỷ r sao cho x B(d, r) G. (Nếu x G thì B(x, ɛ) G với ɛ nào đó.) Do D là trù mật nên có d D sao cho ρ(x, d) < ɛ/2. Lấy số hữu tỷ r thỏa mãn ρ(x, d) < r < ɛ/2 : x B(d, r) B(x, ɛ). 2.(ii) (iii). Lấy {V 1, V 2,...} là một cơ sở đếm được và giả sử rằng {G α } là một phủ mở của A (α chạy trên một tập chỉ số tùy ý). Với mỗi V k mà tồn tại một G α thỏa mãn V k G α, lấy G αk là tập nào đó trong G α chứa nó. Khi đó, A k G α k. 3.(iii) (i). Với mỗi n, {B(x, n 1 ) : x S} là một phủ mở của S. Nếu (iii) đúng thì có một phủ con {B(x nk, n 1 ) : k = 1, 2,...}. Tập đếm được {x nk : n = 1, 2,...} là trù mật trong S. Một tập con M của S là khả ly nếu có một tập đếm được D là trù mật trong M (M D ). Mặc dù D không nhất thiết là tập con của M, điều này có thể dễ dàng được sắp xếp: Giả sử rằng {d k } trù mật trong M và lấy x kn là điểm chung của B(d k, n 1 ) và M (nếu có). Lấy x trong M và ɛ dương, chọn n và d k để ρ(x, d k ) < n 1 < ɛ/2. Do B(d k, n 1 ) chứa điểm x của M, nó chứa x kn và ρ(x, x kn ) < ɛ. Do đó, x kn tạo thành một tập con trù, mật đếm được của M. Định lý Giả sử tập con M của S là khả ly. 7

9 (i) Có một lớp A đếm được của các tập mở với tính chất: nếu x G M và G mở thì x A A G với A nào đó trong A. (ii) Mỗi phủ mở của M có một phủ con đếm được (tính chất Lindelöf ). Chứng minh. 1.(i). Lấy D là tập con trù mật, đếm được của M và lấy A bao gồm các hình cầu B(d, r) với d D và r hữu tỷ. Nếu x G M và G mở, chọn ɛ để B(x, ɛ) G, sau đó chọn d trong D sao cho ρ(x, d) < ɛ/2 và cuối cùng chọn số hữu tỷ r: ρ(x, d) < r < ɛ/2. Suy ra rằng x B(d, r) B(d, r) B(x, ɛ) G. 2.(ii). Lấy A = {A 1, A 2,...} là lớp của phần (i). Cho một phủ mở {G α } của M, với mỗi A k chọn một G αk chứa nó (nếu có). Thì M k G α k. Tính khả ly là một tính chất tô pô: Nếu ρ và ρ là hai metric tương đương thì M là ρ-khả ly nếu và chỉ nếu nó là ρ -khả ly. Tính đầy đủ. Một dãy {x n } là cơ bản hoặc có tính chất Cauchy nếu sup ρ(x i, x j ) n 0. i,j n Một tập M là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong M có giới hạn nằm trong nó. Tập đầy đủ hiển nhiên là đóng. Một dãy cơ bản là hội tụ nếu nó chứa một dãy con hội tụ. (Điều này cung cấp cho ta một cách thuận tiện để kiểm tra tính đầy đủ của một dãy.) Tính đầy đủ không là một tính chất tô pô: S = [1, ) là đầy đủ theo metric thông thường (ρ (x, y) = x y ) nhưng không đầy đủ theo metric tương đương ρ(x, y) = x 1 y 1. Một không gian metric (S, ρ) là không gian đủ tô pô nếu như trong ví dụ này có một metric tương đương để ρ theo đó là đầy đủ. Cho một metric ρ trên S, xác định b(x, y) = 1 ρ(x, y). (1.2) 8

10 Do φ(t) = 1 t là không giảm và thỏa mãn φ(s + t) φ(s) + φ(t) với s, t 0 nên b là một metric (tương đương với ρ). Hơn nữa, do φ(t) t với t 0 và φ(t) = t với 0 t 1 thì một dãy là b-cơ bản nếu và chỉ nếu nó là ρ-cơ bản; điều này cũng có nghĩa S là ρ-đầy đủ nếu và chỉ nếu nó là b-đầy đủ. Tính compact. Một tập A theo định nghĩa compact là nếu mỗi phủ mở của A có một phủ con hữu hạn. Một ɛ-lưới cho A là một tập của các điểm {x k } với tính chất là với mỗi x trong A có một x k sao cho ρ(x, x k ) < ɛ; A là hoàn toàn bị chặn nếu với mỗi ɛ dương, nó có một ɛ-lưới (các điểm của nó có thể không nằm trong A). Định lý Ba điều kiện sau là tương đương: (i) A là compact. (ii) Mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ (giới hạn nằm trong A ). (iii) A là hoàn toàn bị chặn và A là đầy đủ. Chứng minh. Hiển nhiên (ii) đúng nếu và chỉ nếu mỗi dãy trong A có một dãy con hội tụ tới một điểm trong A và A là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu A cũng là hoàn toàn bị chặn. Do đó, chúng ta có thể thừa nhận chứng minh A = A là đóng. Chứng minh là hiển nhiên nếu ta đặt thêm ba tính chất giữa (i) và (ii): (i 1 ) Mỗi phủ mở đếm được của A có một phủ con hữu hạn. (i 2 ) Nếu A n G n, ở đó G n mở và G 1 G 2 thì A G n với n nào đó. (i 3 ) Nếu A F 1 F 2, ở đó F n là đóng và khác trống thì n F n là khác trống. Đầu tiên chúng ra chứng minh tất cả (i 1 ), (i 2 ), (i 3 ), (ii), (iii) là tương đương. (i 1 ) (i 2 ). Hiển nhiên, (i 1 ) kéo theo (i 2 ). 9

11 Ngược lại, nếu {G n } phủ A, chỉ cần thay thế đơn giản G n bởi k n G k. (i 2 ) (i 3 ). Đầu tiên,(i 2 ) nói rằng A D n A kéo theo A G n = A với n nào đó. Và (i 3 ) nói rằng A F n kéo theo A F n = với n nào đó (ở đây F n không nhất thiết chứa trong A). Nếu F n = G c n thì hai phát biểu là như nhau. (i 3 ) (ii). Giả sử (i 3 ) đúng. Nếu {x n } là một dãy trong A, lấy B n = {x n, x n+1,...} và F n = B n. Mỗi F n là không trống, do đó nếu (i 3 ) đúng thì n F n chứa x nào đó. Do x là nằm trong bao đóng của B n nên có i n sao cho i n n và ρ(x, x in ) < n 1 ; chọn i n quy nạp sao cho i 1 < i 2 < Khi đó, lim n ρ(x, x in ) = 0: (ii) đúng. Mặt khác, nếu F n là các tập đóng giảm, khác trống và (ii) đúng thì lấy x n F n và x là giới hạn của dãy con nào đó; rõ ràng x n F n: (i 3 ) đúng. (ii) (iii). Nếu A không hoàn toàn bị chặn thì tồn tại ɛ và dãy {x n } vô hạn trong A sao cho ρ(x m, x n ) ɛ với m n. Nhưng khi đó {x n } không chứa dãy con hội tụ và vì thế (ii) kéo theo A hoàn toàn bị chặn. Và A đầy đủ bởi vì nếu {x n } là cơ bản và có một dãy con hội tụ tới x thì toàn bộ dãy hội tụ tới x. (iii) (ii). Sử dụng phương pháp đường chéo. Nếu A hoàn toàn bị chặn thì với mỗi n có phủ bởi những hình cầu mở hữu hạn B n1,..., B nkn kính n 1. Cho một dãy {x m } trong A, đầu tiên chọn một dãy tăng của các số nguyên m 11, m 12,... theo cách mà tất cả x m11, x m12,... nằm trong cùng B 1k (điều đó có thể vì chỉ có hữu hạn hình cầu). Sau đó chọn một dãy m 21, m 22,..., một dãy của m 11, m 12,... theo cách mà tất cả x m21, x m22,... nằm trong cùng B 2k. Tiếp tục như thế nếu r i = m ii thì tất cả x rn, x rn+1,... nằm trong cùng B nk. Nó kéo theo rằng x r1, x r2,... là cơ bản và do đó hội tụ đầy đủ tới điểm nào đó của A. bán Do vậy (i 1 ) đến (iii) là tương đương. Do (i) kéo theo (i 1 ) nên ta có thể hoàn thành chứng minh bởi (i 1 ) và (iii) cùng kéo theo (i). 10

12 Nhưng nếu A là hoàn toàn bị chặn thì nó rõ ràng là khả ly và nó suy ra bởi tính chất Lindelöf rằng một phủ mở bất kỳ của A có một phủ con đếm được. Và do đó theo (i 1 ), nó có một phủ con hữu hạn. Tính compact là một tính chất tô pô (theo điều kiện (ii) của định lý). Một tập A là bị chặn nếu đường kính sup{ρ(x, y) : x, y A} của nó hữu hạn. Theo nghĩa này, bao đóng của một tập hoàn toàn bị chặn rõ ràng là bị chặn; điều ngược lại là sai, như ví dụ các hình cầu đóng trong C (Ví dụ 2.1.3) là không compact. Mặt khác, một tập trong k-không gian Euclid là hoàn toàn bị chặn nếu và chỉ nếu nó là bị chặn. Một tập A là compact tương đối nếu A là compact. Điều này tương đương với điều kiện mọi dãy trong A đều chứa một dãy con hội tụ (giới hạn của chúng có thể không nằm trong A). Một kết quả hữu ích: Ảnh liên tục của một tập compact là compact. Giả sử rằng f : S S là liên tục và A là tập compact trong S. Nếu {f(x n )} là một dãy trong f(a), chọn {n i } sao cho {x ni } hội tụ tới một điểm x của A. Bằng tính liên tục, {f(x ni )} hội tụ điểm tới f(x) của f(a). Tích các không gian metric. Giả sử (S i, ρ i ), i = 1, 2,... là các không gian metric và xét tích Descartes S = S 1 S 2. Khi đó rõ ràng ρ(x, y) = 2 i (1 ρ i (x i, y i )) (1.3) i=1 là một metric. Nếu mỗi S i là khả ly thì S là khả ly. Giả sử D i là tập trù mật đếm được trong S i và xét tập đếm được D trong S chứa các điểm có dạng x = (x 1,..., x k, x o k+1, x o k+2,...), (1.4) trong đó k 1, x i là một điểm biến đổi của D i với i k và x o i là điểm cố định của S i với i > k. Với ɛ cho trước và y S, chọn k sao cho i>k 2 i < ɛ, sau đó chọn các điểm x i của D i sao cho ρ i (y i, x i ) < ɛ. 11

13 Khi đó, (1.4) thỏa mãn ρ(y, x) < 2ɛ. Nếu mỗi S i đầy đủ thì S là đầy đủ. Thật vậy, giả sử rằng x n = (x n 1, x n 2,...) là các điểm của S tạo thành một dãy cơ bản. Khi đó, mỗi dãy x 1 i, x2 i,... là dãy cơ bản trong S i và do đó ρ i (x n i, x i) n 0 với các x i nào đó thuộc S i. Theo M-test thì ρ(x n, x) 0. Nếu A i compact trong S i thì A 1 A 2 compact trong S. Do với dãy các điểm x n = (x n 1, x n 2,...) thuộc A cho trước, với mỗi i ta xét dãy x 1 i, x2 i,... trong A i. Vì A i compact thì tồn tại dãy các số nguyên n 1, n 2,... sao cho x n k i k x i với x i nào đó thuộc A i. Nhưng theo phương pháp đường chéo, chuỗi {n k } có thể được chọn để x n k i khi đó x n k k (x 1, x 2,...). k x i với mỗi i tại cùng thời điểm. Và Phạm trù Baire. Một tập A trù mật trong B nếu B A. Và A trù mật khắp nơi nếu S = A, điều này đúng nếu và chỉ nếu A trù mật trong mọi hình cầu mở B. Và A được xác định để là không đâu trù mật nếu không tồn tại hình cầu mở B mà nó trù mật trong đó. Ví dụ, tập Cantor là một tập không đâu trù mật trong khoảng đơn vị nhưng một tập không đâu trù mật có thể hoàn toàn tầm thường: Một đường thẳng là không đâu trù mật trong mặt phẳng. Nói A không đâu trù mật là để nói rằng với mỗi hình cầu mở B, A không trù mật trong B, tức là B chứa x nào đó sao cho với ɛ nào đó, hình cầu B(x, ɛ) A c. Nhưng vì B mở nên B(x, ɛ) B với ɛ đủ nhỏ: B(x, ɛ) B A c. (1.5) Vì vậy, A là tập không đâu trù mật nếu và chỉ nếu mỗi hình cầu mở B đều chứa một hình cầu mở B(x, ɛ) thỏa mãn (1.5). Bằng cách lấy ɛ đủ nhỏ, ta có thể nâng (1.5) thành B(x, ɛ ) B A c. Định lý (Trù mật Baire). Nếu S đầy đủ thì nó không thể được biểu diễn như là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật. 12

14 Chứng minh. Giả sử rằng A 1, A 2... là các tập không đâu trù mật. Khi đó, tồn tại x 1 S sao cho B(x 1, ɛ 1 ) S A c 1 với ɛ 1 nào đó. Và B(x 1, ɛ 1 ) chứa x 2 sao cho B(x 2, ɛ 2 ) B(x 1, ɛ 1 ) A c 2 với ɛ 2 nào đó. Tiếp tục quá trình đó ta có thể chọn ɛ n sao cho ɛ n < 2 n. Do ρ(x n, x n+1 ) < 2 n nên dãy {x n } là dãy cơ bản và do đó nó hội tụ tới x nào đó. Với mỗi k, x nằm trong B(x k, ɛ k ) nên nó nằm ngoài A k. Vậy S = k A k là không thể. Nửa liên tục trên. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nltt) tại x 0 nếu với mỗi ɛ, tồn tại δ sao cho ρ(x 0, y) < δ thì f(y) < f(x 0 ) + ɛ. Dễ thấy f là nửa liên tục trên (nltt tại mọi điểm) nếu và chỉ nếu với mỗi số thực α thì {x : f(x) < α} là tập mở. Định lý (Định lý Dini). Nếu f n (x) 0 với mỗi x và nếu mỗi f n là nửa liên tục trên thì sự hội tụ này là đều trên mỗi tập compact. Chứng minh. Với mỗi ɛ, các tập mở G n = {x : f n (x) < ɛ} phủ S. Nếu K compact thì K G n với n nào đó và do đó f n hội tụ đều đến 0. Hàm Lipschitz. Một hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên một tập con A của S có thể được mở rộng cho toàn bộ không gian. Định lý Giả sử hàm f trên S thỏa mãn: f(x) f(y) Kρ(x, y) với x, y A. Tồn tại một mở rộng g của f thỏa mãn điều kiện tương tự g(x) g(y) Kρ(x, y) với x và y thuộc S. Nếu f thỏa mãn f a trên A thì có thể lấy g để thỏa mãn g a trên S. Chứng minh. Cố định z thuộc A. Nếu y A thì với mọi x S f(y) + Kρ(x, y) = f(z) + Kρ(x, y) + (f(y) f(z)) f(z) + Kρ(x, y) Kρ(y, z) f(z) Kρ(x, z). Do đó, hàm g(x) = inf y A (f(y) + Kρ(x, y)) được định nghĩa tốt trên S. Nếu x, y nằm trong A thì f(y) + Kρ(x, y) f(x), dấu bằng xảy ra tại 13

15 y = x : g(x) = f(x) với x A. Cho x, x là các điểm của S. Với ɛ > 0 cho trước, chọn y A sao cho g(x) f(y) + Kρ(x, y) ɛ. Khi đó g(x ) g(x) f(y) + Kρ(x, y) [f(y) + Kρ(x, y) ɛ] = K[ρ(x, y) ρ(x, y)] + ɛ Kρ(x, x) + ɛ, nên g(x ) g(x) Kρ(x, x). Đổi chỗ x và x để có điều kiện Lipschitz cho g. Nếu f a thì g a. Tô pô và tính đo được. Một σ-trường Borel S đối với (S, ρ) là σ-trường được sinh bởi các tập mở. Lấy (S, ρ ) là không gian metric thứ hai với σ- trường S. Nếu h : S S liên tục thì nó là S/S đo được (tức là A S thì A S). Lấy (Ω, F) là một không gian đo được và h n, h là các ánh xạ từ Ω vào S. Nếu mỗi h n là F/S đo được và nếu lim n h n x = hx với mỗi x thì h cũng là F/S đo được. Thực tế, h 1 F lim inf n h 1 n F ɛ h 1 F 2ɛ. Nếu F đóng thì h 1 F = ɛ lim inf n h 1 n F ɛ và nằm trong F. D h là tập các điểm nằm trong S mà h không liên tục. Điều này đúng cho dù là h không là S/S đo được. Để chứng minh, lấy A ɛδ là tập các x trong S mà có các điểm y và z trong S thỏa mãn ρ(x, y) < δ, ρ(x, z) < δ và ρ (hy, hz) ɛ. Khi đó A ɛδ mở và D h S vì D h = ɛ δ A ɛδ. Không gian con. Tập con S 0 của S là không gian metric. Nếu O và O 0 là lớp các tập mở trong S và S 0 thì O 0 = O S 0 (= {G S 0 : G O}), từ đó σ-trường trong S 0 là Nếu S 0 nằm trong S thì S 0 = S S 0. (1.6) S 0 = {A : A S 0, A S}. (1.7) Không gian tích. Lấy S và S là các không gian metric ρ và ρ và các σ-trường S và S. Xét không gian tích T = S S. Tô pô tích trong T có 14

16 thể được xác định bởi nhiều tô pô như t((x, x ), (y, y )) = [ρ (x, y )] 2 + [ρ (x, y )] 2 (1.8) và t((x, x ), (y, y )) = ρ (x, y ) ρ (x, y ). (1.9) Đối với cả hai metric này đều tồn tại sự hội tụ (x n, x n) (x, x ) trong T nếu và chỉ nếu x n x trong S và x n x trong S. Đối với metric (1.9) ta có B t ((x, x ), r) = B ρ (x, r) B ρ (x, r). (1.10) Xét phép chiếu π : T S và π : T S xác định bởi π (x, x ) = x và π (x, x ) = x đều là các ánh xạ liên tục. Nếu T 0 đếm được và trù mật trong T thì π T 0 và π T 0 là đếm được và trù mật trong S và S. Mặt khác, nếu S 0 và S 0 đếm được và trù mật trong S và S thì S 0 S 0 đếm được và trù mật trong T. Do đó: T khả ly khi và chỉ khi S và S đều khả ly. Lấy T là σ-trường Borel trong T. Ta cũng xét tích σ-trường S S được sinh bởi hình chữ nhật đo được, các tập A A với A S và A S. Hình chữ nhật này là (π ) 1 A (π ) 1 A ; vì hai ánh xạ chiếu là liên tục nên chúng tương ứng là T /S và T /S đo được và suy ra rằng hình chữ nhật nằm trong T. Do đó, S S T. Mặt khác, nếu T khả ly thì mỗi tập mở trong T là hợp đếm được các tập trong (1.10) và do đó nằm trong S S. Suy ra nếu T là khả ly. S S = T (1.11) Định lý Scheffé s. Giả sử rằng y n m là không âm và m yn m = m y m (hữu hạn) với mọi n và y n m n y m với mọi m. Khi đó chuỗi ym n y m n 0. m 15

17 Nếu f là hàm thực liên tục và bị chặn thì ymf(y n m) n n y m f(y m ). Nếu f bị chặn bởi M thì m m m y n mf(y n m) m y m f(y m ) m y n m y m f(y n m) + m y m f(y n m) f(y m ) M m y n m y m + m y m f(y n m) f(y m ). Bất đẳng thức Etemadi. Nếu S 1,..., S n là các tổng của biến ngẫu nhiên độc lập thì { } P max S k 3α 3 max P{ S k α }. k n k n Để chứng minh điều này, xét các tập B k ở đó S k 3α mà S j < 3α với j < k. Do B k là rời nhau nên { } P max S k 3α P { S n α } + P ( B k { S n < α }) k n k n P { S n α } + P ( B k { }) S n S k > 2α k n = P { S n α } + PB k P { S n S k > 2α } k n P { S n α } + max P{ S n S k 2α } k n P { S N α } + max k n 3 max k n P{ S k α }. ( P { Sn α } + P { S k α } 16

18 1.2 Hội tụ yếu trên đường thẳng Trong lý thuyết độ đo, các khái niệm khác nhau về hội tụ của độ đo đã được biết. Tuy nhiên, trong lý thuyết xác suất, hội tụ yếu của độ đo xác suất thường được nhắc tới. Hội tụ yếu của độ đo xác suất được tổng quát hóa từ hội tụ yếu của các hàm phân phối trên đường thẳng thực. Cho F n, n N và F là các hàm phân phối. Ta nhắc lại rằng F n hội tụ yếu tới F khi n nếu lim F n(x) = F (x), n với mọi điểm liên tục x của F. Nếu hàm giới hạn F là liên tục thì hội tụ bên trên kéo theo với mọi x. Hội tụ yếu của hàm phân phối có thể được viết lại dưới độ đo xác suất. Cho P n và P là các độ đo xác suất sinh bởi các hàm phân phối F n và F, được xác định bởi P n (, x] = F n (x), P (, x] = F (x). Hàm F (x) liên tục tại x nếu và chỉ nếu P ({x}) = 0. Do đó, F n hội tụ yếu tới F nếu và chỉ nếu lim P n(, x] = P (, x], (1.12) n với P ({x}) = 0. Lấy A = (, x] thì khi đó (1.12) tương đương với quan hệ lim P n(a) = P (A) (1.13) n nếu P ( A) = 0. Do đó, hội tụ yếu của F n tới F là tương đương với (1.13) với mọi tập Borel A mà P (A) = 0. Quan hệ (1.13) được gọi là hội tụ yếu của P n tới P khi n. Vậy, với độ đo xác suất trên (R, R) (R được ký hiệu là lớp các tập Borel của R), hội tụ yếu của độ đo xác suất trùng với hội tụ yếu của các hàm phân phối. 17

19 Do trên không gian metric tổng quát ta không định nghĩa hàm phân phối nên hội tụ yếu của các độ đo xác suất vẫn là phương pháp tiệm cận chủ yếu của các định lý giới hạn. Trong chương 2 sẽ nghiên cứu về hội tụ yếu của độ đo xác suất trong không gian metric. Trình bày các tính chất của hội tụ yếu, xem xét sự hội tụ trong phân phối và xác suất, hội tụ yếu với các ánh xạ, đặc biệt là định lý Prohorov. Bên cạnh đó là một số ứng dụng sẽ được đưa ra. 18

20 Chương 2 Sự hội tụ yếu trong không gian Metric 2.1 Độ đo trên không gian Metric Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu độ đo xác suất trên không gian metric S tổng quát. Và ký hiệu S là một σ-trường Borel sinh bởi các tập mở, với các phần tử là các tập Borel. Một độ đo xác suất trên không gian S là một hàm tập P cộng tính đếm được, không âm và thỏa mãn P S = 1. Định nghĩa (Hội tụ yếu). Ta nói rằng độ đo xác suất P n là hội tụ yếu tới độ đo xác suất P (ký hiệu P n P ) nếu: P n f = S fdp n fdp = P f với mọi hàm thực f liên tục, bị chặn trên S. S Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về các định lý và tính chất cơ bản của sự hội tụ yếu, cùng với đó là các khái niệm liên quan tới sự hội tụ theo phân phối. Đầu tiên chúng ta sẽ đưa ra môt vài tính chất đặc biệt của độ đo trên (S, S). Mặc dù đôi khi ta cũng giả thiết S là không gian khả ly 19

21 hoặc đầy đủ. Hầu hết các định lý trong chương này đều được phát biểu trong không gian metric Độ đo và tích phân Định lý Mọi độ đo xác suất P trên (S, S) là chính quy, tức là: Với mỗi S-tập A và với mọi ɛ tồn tại một tập đóng F và một tập mở G sao cho F A G và P (G F ) < ɛ. Từ đó suy ra: Với mỗi tập Borel A, ta có P A = sup P F = inf P G. F A G A Chứng minh. Ta ký hiệu metric trên S bởi ρ(x, y) và khoảng cách từ x tới A bởi ρ(x, A). Nếu A là tập đóng, ta có thể lấy F = A và G = A δ = {x : ρ(x, A) < δ} với δ nào đó. Do A δ giảm tới A khi δ 0 nên ta cần chỉ ra rằng lớp G của các S-tập với các tính chất đã được khẳng định là một σ-trường. Lấy các tập A n trong G, chọn các tập đóng F n và các tập mở G n sao cho F n A n G n và P (G n F n ) < ɛ/2 n+1. Nếu G = n G n và nếu F = n n 0 F n, với n 0 được chọn sao cho P ( n F n F ) < ɛ/2 thì F n A n G và P (G F ) < ɛ. Do đó G là đóng đối với phép hợp đếm được. Vì nó hiển nhiền đóng đối với phép lấy phần bù nên G là σ-trường. Định lý chỉ ra rằng P là hoàn toàn xác định bởi giá trị của P F với các tập đóng F. Định lý tiếp theo chỉ ra rằng P cũng được xác định bởi giá trị của P f với hàm f liên tục bị chặn. Việc chứng minh định lý dựa trên sự xấp xỉ chỉ số I F bởi một hàm f. Xét hàm f(x) = (1 ρ(x, F )/ɛ) + bị chặn và liên tục (thậm chí là liên tục đều, vì f(x) f(y) ρ(x, y)/ɛ). Và với x F thì f(x) = 1, trong khi đó với x / F ɛ thì ρ(x, F ) ɛ và do đó f(x) = 0. Vậy I F (x) f(x) = (1 ρ(x, F )/ɛ) + I F ɛ(x) (2.1) 20

22 Định lý Độ đo xác suất P và Q trên S trùng nhau nếu P f = Qf với mọi hàm thực f liên tục đều và bị chặn. Chứng minh. Với hàm f liên tục đều, bị chặn được xác định trong (2.1), P F P f = Qf QF ɛ. Cho ɛ 0 ta được P F QF, với F là tập đóng. Do tính đối xứng và áp dụng Định lý 2.1.1, ta có P = Q. Bởi vậy, ta có thể làm việc với độ đo P A hoặc với tích phân P f (bất cứ cái nào cũng đơn giản hơn hay tự nhiên hơn). Ta định nghĩa hội tụ yếu theo quan điểm sự hội tụ của tích phân của hàm số. Trong phần tới, ta sẽ mô tả đặc điểm của nó theo quan điểm sự hội tụ của độ đo trên tập hợp Tính chặt Khái niệm dưới đây về tính chặt đóng một vai trò cơ bản trong lý thuyết về sự hội tụ yếu và ứng dụng của nó. Định nghĩa (Tính chặt). Một độ đo xác suất P trên (S, S) được gọi là chặt nếu với mỗi ɛ, tồn tại một tập compact K sao cho P K > 1 ɛ. Từ Định lý 2.1.1, ta thấy P là chặt nếu và chỉ nếu P A là cận trên đúng của P K, với mọi tập con compact K của A S. Định lý Nếu S là không gian khả ly và đầy đủ thì mỗi độ đo xác suất trên (S, S) đều chặt. Chứng minh. Gọi P là độ đo xác suất bất kì trên (S, S). Từ giả thiết S là khả ly nên với mỗi k, tồn tại một dãy A k1, A k2,... của 1/khình cầu mở phủ S. Chọn n k đủ lớn để P ( i n k A ki ) > 1 ɛ/2 k. Theo giả thiết về tính đủ của không gian S, ta sẽ được tập bị chặn k 1 i n k A ki 21

23 có bao đóng compact K. Do đó P K > 1 ɛ hay P là chặt. Trước khi xét một vài ví dụ, ta sẽ nhắc tới một số khái niệm. Định nghĩa (Lớp khả ly). Một lớp con A của S được gọi là lớp khả ly nếu hai độ đo xác suất mà đồng nhất trên A thì cũng đồng nhất trên S, tức là với A A thì các giá trị P A là đủ để khả ly P từ tất cả các độ đo xác suất trên S. Dễ thấy, từ Định lý thì các tập đóng tạo thành một lớp khả ly. Định nghĩa (π-hệ thống). Một lớp A được gọi là một π-hệ thống nếu nó là đóng đối với phép giao hữu hạn. Từ định nghĩa về π-hệ thống thì A là lớp khả ly nếu nó là một π-hệ thống sinh ra σ-trường S. Ví dụ Xét không gian Euclide k-chiều R k với metric thông thường x y = k i=1 (x i y i ) 2. Và ký hiệu R k là lớp các tập Borel k-chiều. Hàm phân phối tương ứng của một độ đo xác suất P trên R k là F (x 1, x 2,..., x k ) = P {y : y i x i, i k}. (2.2) Vì tập hợp ở vế phải của (2.2) lập thành một π-hệ thống sinh ra R k nên chúng tạo thành một lớp khả ly. Do đó, F hoàn toàn xác định P. Theo Định lý 2.1.3, mỗi độ đo xác suất trên (R k, R k ) là chặt. Nhưng tính chặt trong trường hợp này là hiển nhiên vì không gian là σ-compact là một hợp đếm được của các tập compact. Ví dụ Giả sử R là không gian của dãy các số thực x = (x 1, x 2,...) tích của đếm được các bản sao của R 1. Nếu b(α, β) = 1 α β thì b là một metric trên R 1 tương đương với 22

24 metric thông thường và hiển nhiên R 1 là hoàn toàn khả ly. Metric hóa R bởi ρ(x, y) = i b(x i, y i )/2 i. Hiển nhiên, nếu ρ(x n, x) n 0 thì b(x n i, x i) n 0 với mỗi i. Do đó, R có tôpô của hội tụ điểm: x n n x nếu và chỉ nếu x n i n x i với mỗi i. Xét phép chiếu tự nhiên π k : R R k π k (x) = (x 1,..., x k ) Từ sự hội tụ trong R, suy ra π k liên tục và do đó các tập N k,ɛ (x) = {y : y i x i < ɛ, i = 1,..., k} (2.3) là mở. Hơn nữa, nếu y N k,ɛ (x) thì ρ(x, y) < ɛ + 2 k. Cho số dương r, chọn ɛ và k sao cho ɛ + 2 k < r thì N k,ɛ (x) B(x, r). Nghĩa là, các tập trong (2.3) tạo thành một cơ số đối với tôpô của R hay R khả ly: một tập con trù mật, đếm được bao gồm các điểm chỉ có hữu hạn các tọa độ khác không, mỗi tọa độ đó đều là các số hữu tỷ. Nếu {x n } là cơ bản thì mỗi {x n i } là cơ bản và do đó hội tụ tới x i nào đó và dĩ nhiên x n hội tụ điểm với các tọa độ x i. Do đó, R cũng là không gian đủ. Vì R là không gian khả ly và đủ nên theo Định lý thì mỗi độ đo xác suất trên R là chặt. Giả sử R f là lớp các tập hữu hạn chiều hay các tập dạng π 1 k H với k 1 và H R k. Vì π k liên tục nên nó là R /R k đo được và R f R. Hơn nữa, do π 1 k H = π 1 k+1 (H R1 ) nên tập các chỉ số khi liệt kê một R f -tập luôn có thể được mở rộng và nó kéo theo hai tập A và A trong R f có thể biểu diễn A = π 1 k H và A = π 1 k H với cùng giá trị k. Có A A = π 1 k (H H ) làm cho ta thấy rõ là R f là một π-hệ thống (thậm chí là một trường). Hơn nữa, vì tập hợp (2.3) hình thành một cơ sở và đều 23

25 nằm trong R f, nó xảy ra bởi tính khả ly, tức là mỗi tập mở là hợp của các tập đếm được trong R f, do đó tạo ra σ-trường R : R f là một lớp khả ly. Nếu P là một độ đo xác suất trên (R, R ) thì các phân phối hữu hạn chiều của nó là các độ đo P π 1 k trên (R k, R k ), k 1 và vì R f là một lớp khả ly nên các độ đo này hoàn toàn xác định P. Ví dụ Giả sử C = C[0, 1] là không gian các hàm liên tục x = x( ) trên [0, 1]. Ta xác định chuẩn của x như sau x = sup t x(t) và đưa vào C một metric đều ρ(x, y) = x y = sup x(t) y(t). (2.4) t Do ρ(x n, x) 0 nghĩa là x n hội tụ đều đến x nên nó kéo theo hội tụ điểm. Nhưng dĩ nhiên điều ngược lại là không đúng: xét hàm z n tuyến tính tăng từ 0 đến 1 trên [0, n 1 ], tuyến tính giảm từ 1 về 0 trên [n 1, 2n 1 ] và vẫn bằng 0 ở bên phải của 2n 1 ; tức là z n (t) = nti [0,n 1 ](t) + (2 nt)i (n 1,2n 1 ](t). (2.5) Khi đó, z n hội tụ điểm tới hàm 0, trong khi ρ(z n, 0) = 1. Không gian C là khả ly. Cho D k là tập các hàm đa giác các hàm tuyến tính trên mỗi đoạn con I ki = [(i 1)/k, i/k] và có các giá trị hữu tỷ tại các điểm cuối. Khi đó k D k là đếm được và hơn nữa nó là trù mật. Thật vậy, với mỗi x và ɛ bất kì, chọn k để x(t) x(i/k) < ɛ với t I ki, 1 i k thì bởi tính liên tục đều ta chọn được một y thuộc D k sao cho y(i/k) x(i/k) < ɛ với mỗi i. Ta có y(i/k) x(t) < 2ɛ và y((i 1)/k) x(t) < 2ɛ. Vì y(t) là một tổ hợp lồi của y((i 1)/k) và y(i/k) nên ta cũng có y(t) x(t) < 2ɛ hay ρ(x, y) 2ɛ. C là một không gian đầy đủ do: Nếu x n là cơ bản có nghĩa là ɛ n = sup m>n ρ(x n, x m ) n 0 thì với mỗi t, {x n (t)} là cơ bản trên đường thẳng và 24

26 do đó có giới hạn x(t). Cho m trong bất đẳng thức x n (t) x m (t) ɛ n ta được x n (t) x(t) ɛ n ; do đó x n (t) hội tụ đều tới x(t), x liên tục và ρ(x n, x) 0. Vậy C là một không gian khả lý và đầy đủ, do đó theo Định lý thì mỗi độ đo xác suất trên σ-trường Borel C là chặt. Với 0 t 1 < t 2 <... < t k 1, ta xác định một phép chiếu tự nhiên: π t1...t k : C R k π t1...t k (x) = (x(t 1 ),..., x(t k )). Trong C, các tập hữu hạn chiều có dạng π 1 t 1,...,t k H, H R k và chúng nằm trong C vì các phép chiếu là liên tục. Tương tự như trong ví dụ đã xét, tập chỉ số xác định một tập hữu hạn chiều có thể luôn được mở rộng. Giả sử, chúng ta muốn mở rộng t 1, t 2 thành t 1, s, t 2 (trong đó t 1 < s < t 2 ) Xét ánh xạ chiếu ψ : R 3 R 2 xác định bởi ψ(u, v, w) = (u, w). Ta có π t1 t 2 = ψπ t1 st 2 và do đó π 1 t 1 t 2 H = π 1 t 1 st 2 ψ 1 H và dĩ nhiên ψ 1 H R 3 nếu H R 2. Với ý tưởng tương tự ta sẽ chứng minh được lớp C f của các tập hữu hạn chiều là một π-hệ thống. Hơn nữa, ta có B(x, ɛ) = r {y : y(r) x(r) ɛ}, trong đó r là tất cả các số hữu tỷ nằm trong [0, 1]. Do đó, σ-trường σ(c f ) sinh bởi C f chứa trong các hình cầu đóng nên chứa trong hình cầu mở hay tập mở. Từ C f là một π-hệ thống và σ(c f ) = C nên C f là một lớp khả ly. 2.2 Tính chất của hội tụ yếu Chúng ta có định nghĩa P n P nghĩa là P n f P f với mỗi hàm thực f liên tục bị chặn trên S. Lưu ý rằng, tích phân P f hoàn toàn xác định P (Định lý 2.1.2), một dãy đơn {P n } không thể hội tụ yếu tới hai giới hạn khác nhau. Mặc dù điều đó là không quan trọng tới chủ đề này, nó dễ dàng 25

27 tô pô hóa độ đo xác suất trên không gian (S, S) như một cách mà hội tụ yếu là hội tụ trong không gian tô pô này: Lấy lân cận của tập có dạng {Q : Qf i P f i < ɛ, i k}, ở đó f i là liên tục, bị chặn. Nếu S là không gian đủ và khả ly thì tô pô này có thể xác định một metric (metric Prohorov). Hội tụ yếu là chủ đề của toàn bộ luận văn. Chúng ta bắt đầu với hai ví dụ đơn giản để minh họa cho ý tưởng nằm phía sau định nghĩa này. Ví dụ Trên không gian S tùy ý, ký hiệu δ x là độ đo xác suất trên S tập trung tại x xác định bởi δ x (A) = I A (x). Nếu x n x 0 và f liên tục thì Do đó δ xn δ xn f = f(x n ) f(x 0 ) = δ x0 f. (2.6) δ x0. Mặt khác, nếu x n x 0 thì tồn tại ɛ sao cho ρ(x 0, x n ) > ɛ với n đủ lớn. Nếu f là hàm thỏa mãn (2.1) với F = {x 0 } thì f(x 0 ) = 1 và f(x n ) = 0 với n đủ lớn và như vậy (2.6) là sai: δ xn δ x0. Do đó, δ xn δ x0 nếu và chỉ nếu x n x 0. Ví dụ Cho S = [0, 1] với metric thông thường và với mỗi n giả sử rằng x nk (0 k < r n ) là r n điểm của [0,1]. Giả sử những điểm này có phân phối tiệm cận đều, tức là với mỗi khoảng con J, 1 r n #{k : x nk J} J, (2.7) ở đó J ký hiệu độ dài: Khi n, tỉ lệ của những điểm x nk nằm trong một khoảng là tiệm cận bằng với độ dài của nó. Lấy P n để có một điểm-khối của 1/r n tại mỗi điểm x nk (nếu có vài điểm x nk trùng nhau thì lấy khối lượng tổng) và cho P là độ đo Lebesgue bị chặn trên [0,1]. Nếu (2.7) đúng thì P n P. Giả sử f liên tục trên [0,1]. Khi đó, nó là khả tích Riemann và với mỗi ɛ cho trước, có một phân hoạch hữu hạn của [0,1] vào trong khoảng con J i sao cho nếu v i và u i là cận trên đúng và cận dưới đúng của f trên J i thì tổng Darboux trên v i J i và tổng Darboux dưới u i J i nằm trong phạm vi ɛ 26

28 của tích phân Riemann P f = 1 f(x)dx. Kết hợp (2.7), ta có 0 P n f = k 1 r n f(x nk ) i v i 1 r n #{k : x nk J i } i v i J i P f + ɛ. Suy ra P n f P f. Do đó P n P. Trường hợp đặc biệt, lấy r n = 10 n và x nk = k10 n với 0 k < r n. Nếu J = (a, b] thì (2.7) đúng vì tồn tại k thỏa mãn a10 n < k b10 n. Trong trường hợp này P n P. Trường hợp thứ hai, lấy x nk là phần thập phân của kθ, 0 k < r n = n. Nếu θ là số vô tỷ thì (2.7) cũng đúng Định lý kết hợp Định lý sau đây cung cấp các điều kiện tương đương hữu ích với hội tụ yếu, bất cứ điều kiện nào trong số chúng cũng có thể dùng như định nghĩa cho sự hội tụ yếu. Một tập A trong S mà có biên A thỏa mãn P ( A) = 0 được gọi là một P -tập liên tục (chú ý rằng A là đóng và do đó nằm trong S). Lấy P n, P là các độ đo xác suất trên (S, S) Định lý Năm điều kiện sau là tương đương (i) P n P. (ii) P n f P f với mọi hàm f bị chặn, liên tục đều. (iii) lim sup n P n F P F với mọi F đóng. (iv) lim inf n P n G P G với mọi G mở. (v) P n A P A với mọi A là P -tập liên tục. Trở lại Ví dụ để xem ý nghĩa của các điều kiện này. Giả sử rằng x n x 0 vì thế δ xn δ x0 và giả sử thêm rằng tất cả x n khác x 0 (ví dụ lấy x 0 = 0 và x n = 1/n). Khi đó bất đẳng thức trong phần (iii) xảy 27

29 ra dấu bằng nếu F = {x 0 } và bất đẳng thức trong (iv) đúng nếu G = {x 0 } c. Nếu A = {x 0 } sự hôi tụ trong (v) không xảy ra; nhưng điều này mâu thuẫn với định lý, vì giới hạn độ đo của {x 0 } = {x 0 } là 1, không phải 0. Và giả sử trong Ví dụ 2.2.2, (2.7) đúng, khi đó P n P. Nếu A là tập tất cả các x nk, với mỗi n và k thì A đếm được và với mỗi P n sao cho P n A = 1 P A = 0; Nhưng trong trường hợp này A = S. Bằng tính chính quy (Định lý 2.1.1), có một tập mở G sao cho A G và P G < 1 2. Với G mở, bất đẳng thức trong phần (iv) là đúng. Chú ý rằng: Nếu (2.7) là đúng cho khoảng J thì theo phần (v) của định lý trên nó cũng đúng cho lớp các tập mở rộng hơn có biên là có độ Lebesgue 0. Chứng minh. 1. (i) (ii): Hiển nhiên. 2. (ii) (iii). f trong (2.1) là bị chặn và liên tục đều. Hai bất đẳng thức trong (2.1) và điều kiện (ii) kéo theo lim sup n P n f lim sup n P n f = P f P F ɛ. Nếu F đóng, cho ɛ 0 được bất đẳng thức trong (iii). 3. (iii)&(iv) tương đương do phần bù của tập đóng (mở) là tập mở (đóng). 4. (iii)&(iv) (v). Nếu A o và A là phần trong và bao đóng của A thì điều kiện (iii)&(iv) cùng suy ra P A lim sup n lim inf n P n A lim sup P n A n P n A lim inf n P n A o P A o. (2.8) Nếu A là một P -tập liên tục thì các P A = P A o = P A, suy ra (v). 5. (v) (i). Do tính tuyến tính chúng ta có thể giả sử rằng f bị chặn thỏa mãn 0 < f < 1. Khi đó P f = 0 P {f > t}dt = 1 0 P {f > t}dt và tương tự cho P nf. Nếu f liên tục thì {f > t} {f = t} và do đó {f>t} là một P -tập liên tục trừ một số đếm được t. Theo điều kiện (v) và định lý hội tụ bị chặn P n f = 1 0 P n {f > t}dt P {f > t}dt = P f.

30 Vậy định lý đã được chứng minh Tiêu chuẩn khác Hội tụ yếu thường được chứng minh bằng cách chỉ ra P n A P A đúng cho các tập A của lớp con phù hợp nào đó của S. Định lý Giả sử rằng (i) A P là một π-hệ thống (ii) Mỗi tập mở là hợp đếm được của các A P -tập. Nếu P n A P A với mọi A trong A P thì P n P. Chứng minh. Nếu A 1,..., A r nằm trong A P thì do A P là một π-hệ thống nên ta có thể lấy giao của chúng, do đó theo công thức bao hàm và loại trừ r P n ( A i ) = P n A i P n A i A j + P n A i A j A k... i=1 i ij ijk P A i P A i A j + r P A i A j A k... = P ( A i ) i ij ijk i=1 Nếu G mở thì G = i A i với dãy các tập {A i } nào đó trong A P. Với ɛ cho trước, chọn r sao cho P ( i r A i) > P G ɛ. Theo quan hệ vừa chứng minh thì P G ɛ P ( i r A i ) = lim n P n ( i r A i ) lim inf n P ng. Vì ɛ bất kì nên điều kiện (iv) của định lý trước đó là đúng. Do đó ta có điều phải chứng minh. Định lý Giả sử rằng (i) A P là một π-hệ thống 29

31 (ii) S là khả ly và với mỗi x trong S và ɛ > 0, có trong A P một A sao cho x A o A B(x, ɛ). Nếu P n A P A với mọi A trong A P thì P n P. Chứng minh. Giả thiết có nghĩa là, với mỗi điểm x của một tập mở G cho trước, x A o x A x G đúng với một vài A x trong A P. Do S khả ly nên tồn tại một dãy các tập con đếm được {A o x i } của {A o x : x G} mà phủ G và G = i Ao x i. Do đó các giả thiết của Định lý là thỏa mãn. Định nghĩa (Lớp hội tụ xác định). Cho A là một lớp con của S. A được gọi là một lớp hội tụ xác định nếu với mỗi P và dãy {P n }, hội tụ P n A P A với mọi P -tập liên tục trong A thì kéo theo P n P. Một lớp hội tụ xác định hiển nhiên là lớp khả ly theo phần 2.1. Để chắc chắn rằng A đã cho là một lớp hội tụ xác định, ta cần có điều kiện, với P bất kỳ, lớp A P của P -tập liên tục trong A thỏa mãn giả thiết của Định lý Với A cho trước, gọi A x,ɛ là lớp của các A-tập thỏa mãn x A o A B(x, ɛ) và A x,ɛ là lớp gồm biên của chúng. Nếu A x,ɛ chứa vô số các tập rời nhau thì ít nhất có một tập phải có P -độ đo 0. Điều kiện của ta được phát biểu như sau: Định lý Giả sử rằng A là lớp con của S và (i) A là một π-hệ thống (ii) S là lớp khả ly và với mỗi x thì A x,ɛ hoặc chứa hoặc chứa vô số tập rời nhau. Khi đó A là một lớp hội tụ xác định. Vì B(x, r) {y : ρ(x, y) = r} nên giao hữu hạn các hình cầu mở thỏa mãn giả thiết. 30

32 Chứng minh. Cố định P tùy ý, lấy A P là lớp của các P -tập liên tục trong A. Vì (A B) ( A) ( B), (2.9) nên A P là một π- hệ thống. Giả sử rằng P n A P A với mọi A trong A thỏa mãn P ( A) = 0, tức là với mỗi A nằm trong A P. Nếu A x,ɛ không chứa thì nó phải chứa vô số những tập phân biệt rời nhau từng đôi một. Suy ra A x,ɛ chứa một tập có P -độ đo 0. Điều này có nghĩa là mỗi A x,ɛ chứa một phần tử của A P, cho nên thỏa mãn giả thiết của Định lý Do P n A P A với mỗi A trong A P nên P n P. Ví dụ Xét R k như trong Ví dụ và lấy A là lớp các hình chữ nhật {y; a i < y i b i, i k}. Vì nó thỏa mãn giả thiết của Định lý nên A là một lớp hội tụ xác định. Lớp các tập Q x = {y : y i x i, i k} là một lớp hội tụ xác định. Giả sử P n Q x P Q x với mọi x mà P ( Q x ) = 0. E i là tập gồm các t thỏa mãn P {y : y i = t} > 0 là hầu hết đếm được và tập D = ( i E i) c trù mật. Lấy A P là lớp các hình chữ nhật sao cho mỗi tọa độ của mỗi đỉnh đều nằm trong D. Nếu A A P thì do Q x i {y : y i = x i } nên Q x là một P -tập liên tục với mỗi đỉnh x của A và theo phép bao hàm-phép loại trừ thì P n A P A. Mà D trù mật suy ra A P thỏa mãn giả thiết của Định lý Vậy những tập Q x này hình thành một lớp hội tụ xác định. Lấy F (x) = P (Q x ) và F n (x) = P n (Q x ) là hàm phân phối của P và P n. Do F liên tục tại x nếu và chỉ nếu Q x là một P -tập liên tục nên P n P nếu và chỉ nếu F n (x) F (x) tại tất cả điểm liên tục x của F. Ví dụ Trong Ví dụ chúng ta chỉ ra rằng lớp R f các tập hữu hạn chiều là một lớp khả ly. Nó cũng là một lớp hội tụ xác định. Thật vậy, với x và ɛ cho trước, ta chọn k sao cho 2 k < ɛ/2 và xét tập 31

33 hữu hạn chiều A η = {y : y i x i < η, i k} với 0 < η < ɛ 2. Khi đó x A o η = A η B(x, ɛ). Do A η bao gồm những điểm y thỏa mãn y i x i η với i k (dấu bằng xảy ra tại một số điểm i nào đó với biên của chúng rời nhau). Và do R là khả ly nên theo Định lý suy ra: R f là một lớp hội tụ xác định và P n P khi và chỉ khi P n A P A với mọi A là P -tập liên tục hữu hạn chiều. Ví dụ Trong Ví dụ 2.1.3, dãy các hàm z n xác định bởi (2.5) chỉ ra rằng không gian C không là σ-compact nhưng nó cũng chỉ ra nhiều vấn đề quan trọng hơn: Mặc dù lớp C f của các tâp hữu hạn chiều trong C là lớp khả ly nhưng nó không là một lớp hội tụ xác định. Thật vậy, lấy P n = δ zn bởi vì z n 0. và lấy P = δ 0 tập trung tại hàm 0. Khi đó P n P Mặt khác, nếu 2n 1 nhỏ hơn giá trị t i nhỏ nhất khác không thì π t1...t k (z n ) = π t1...t k (0) = (0,..., 0). Do đó P n π 1 t 1...t k H = P π 1 t 1...t k H với mọi H. Trong ví dụ này, P n A P A với tất cả các tập A trong C f (bao gồm cả những tập không là P - tập liên tục) ngay cả khi P n P. Nhắc lại rằng A là một nửa vành nếu nó là một π- hệ thống chứa và nếu A, B A và A B cùng suy ra rằng tồn tại hữu hạn A-tập C i rời nhau sao cho B A = m i=1 C i. Định lý Giả sử rằng (i) A là một nửa vành. (ii) Và mỗi tập mở là một hợp đếm được của những A-tập. 32

34 Nếu P A lim inf n P n A với A trong A thì P n P. Chứng minh. Nếu A 1,..., A r nằm trong A thì do A là nửa vành nên r i=1 A i có thể được biểu diễn như một hợp rời nhau s j=1 B j của những tập khác trong A và nó chỉ ra rằng r s P ( A i = P ( B j ) = i=1 j=1 s P B j lim n j=1 Do đó ta có điều phải chứng minh. inf s r P n B j = lim inf P n ( A i ). n j=1 Dưới đây là một điều kiện đơn giản hơn cho hội tụ yếu: Định lý Điều kiện cần và đủ để P n P là với mỗi dãy con {P ni } đều chứa một dãy con {P nik } hội tụ yếu đến P khi k. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Điều kiện đủ: Nếu P n P thì P n f P f với f liên tục bị chặn nào đó. Khi đó tồn tại ɛ > 0 và dãy con {P ni } nào đó: P ni f P f > ɛ với mọi i. Nhưng theo giả thiết {P ni } trích ra được dãy con {P nik }: P nik P. Suy ra lim k P nik f = P f (mâu thuẫn). i= Nguyên lý ánh xạ Giả sử rằng ánh xạ h từ không gian metric S vào không gian metric S khác, với metric ρ và σ-trường Borel S. Nếu h là S/S đo được thì mỗi xác suất P trên (S/S) cảm sinh trên (S /S ) một xác suất P h 1 được xác định bởi P h 1 (A) = P (h 1 A). Chúng ta cần điều kiện P n P kéo theo P n h 1 P h 1. Một điều kiện như vậy là h liên tục: Nếu f bị chặn và liên tục trên S thì fh bị chặn và liên tục trên S và bằng cách đổi biến thì P n P kéo theo f(y)p n h 1 (dy) = S S S f(h(x))p n (dx) f(h(x))p (dx) = f(y)p h 1 (dy). S 33 (2.10)

35 Ví dụ Do phép chiếu tự nhiên π k từ R vào R k là liên tục nên nếu P n P trên R thì P n π 1 k P π 1 k chỉ ra chiều ngược lại là kết quả của việc lớp các tập R f R là lớp hội tụ xác định (Ví dụ 2.2.4). Từ tính liên tục của π k dễ dàng thấy π 1 k trên R k với mỗi k. Lập luận dưới đây hữu hạn chiều trong H π 1 k H với H Rk. Sử dụng tính chất đặc biệt của phép chiếu ta có thể chứng minh phép bao hàm theo hướng khác. Nếu x π 1 k H thì π kx H, do đó tồn tại các điểm α (u) trong H và điểm β (u) trong H c sao cho α (u) π k x và β (u) π k x (u ). Do những điểm (α (u) 1,..., α(u) k, x k+1,...) nằm trong π 1 k H và hội tụ tới x và do những điểm (β (u) 1,..., β (u) k, x k+1,...) nằm trong (π 1 k H)c và cũng hội tụ tới x nên x (π 1 k H). Do đó, π 1 k H = π 1 k H. Nếu A = π 1 k H là một P -tập liên tục hữu hạn chiều thì ta có P π 1 k nên H là một P π 1 k ( H) = P (π 1 H) = P ( π 1H) = P ( A) = 0, k -tập liên tục. Điều này có nghĩa là, nếu P π 1 với mọi k thì P n A P A với mỗi P -tập liên tục A trong R f R f là một lớp hội tụ xác định) P n P. Vậy k k P π 1 k và do đó (vì P n P nếu và chỉ nếu P n π 1 k P π 1 k với mọi k. Đây là một trình bày cơ bản về các tập hữu hạn chiều tạo thành một lớp hội tụ xác định. Lý thuyết hội tụ yếu trong R được ứng dụng nhiều trong việc nghiên cứu một số vấn đề về lý thuyết số và phân tích tổ hợp. Ví dụ Do tính liên tục của phép chiếu tự nhiên π t1...t k từ C vào R k, nếu P n P theo xác suất trên C thì P n π 1 t 1...t k P π 1 t 1...t k với mọi k và k-bộ t 1,..., t k. Nhưng điều ngược lại không đúng, bởi vì như Ví dụ chỉ ra rằng C f không là một lớp hội tụ xác định. Thật vậy, cho P n và P như trong ví dụ đó, P n P thậm chí với 2n 1 nhỏ hơn số t i nhỏ nhất khác không ta 34

36 có P n π 1 t 1...t k = P π 1 t 1...t k. Lý thuyết hội tụ yếu trong C vượt quá trường hợp hữu hạn chiều theo hướng này. Không gian C sẽ được nghiên cứu chi tiết trong Chương 3. Theo (2.10) P n P kéo theo P n h 1 P h 1 nếu h là một ánh xạ liên tục từ S vào S, nhưng giả thiết liên tục có thể làm yếu đi. Ta chỉ giả thiết rằng h là S/S đo được và D h là tập các điểm gián đoạn của nó. D h nằm trong S. Định lý (Nguyên lý ánh xạ). Nếu P n P và P D h = 0 thì P n h 1 P h 1. Chứng minh. Nếu x (h 1 F ) thì x n x với dãy {x n } nào đó mà hx n F ; nhưng khi đó nếu x D c h thì hx nằm trong F. Do đó D c h (h 1 F ) h 1 (F ). Nếu F là một tập đóng trong S thì từ P D c h = 1 ta có lim sup n P n (h 1 F ) lim sup P n (h 1 F ) P (h 1 F ) n = P (D c h (h 1 F ) ) P (h 1 (F )) = P (h 1 F ). (2.11) Do đó điều kiện (iii) của Định lý đúng. Ví dụ Cho F là hàm phân phối trên đường thẳng và ϕ là hàm điểm phân vị tương ứng sao cho ϕ(u) = inf{x : u F (x)} với 0 < u < 1, trong đó ϕ(0) = ϕ(1) = 0. Nếu P là độ đo Lebesgue hạn chế trên [0, 1] như trong Ví dụ thì P ϕ 1 là độ đo xác suất có hàm phân phối F vì P ϕ 1 (, x] = P {u : ϕ(u) x} = P {u : u F (x)} = F (x). Do ϕ có đếm được các điểm gián đoạn nên P D ϕ = 0. Nếu P n cũng được xác định như trong Ví dụ thì P n P. 35

37 Và do đó P n ϕ 1 P ϕ 1. Xét trường hợp x nk = k10 n. Nếu ϕ được tính với mỗi quan sát xấp xỉ phân bố đều, điều này cho ta một dãy các quan sát xấp xỉ phân bố theo F. Ví dụ Nếu S 0 S thì σ-trường Borel đối với S 0 trong tôpô tương đối bao gồm các S-tập chứa trong S 0. Giả sử rằng P n và P là các độ đo xác suất trên S và P n S 0 P S 0 = 1. Lấy Q n và Q là hạn chế của P n và P trên S 0. Ánh xạ đồng nhất h từ S 0 vào S là liên tục và P n = Q n h 1, P = Qh 1. Do đó theo nguyên lý ánh xạ thì Q n Q kéo theo P n P. Điều ngược lại cũng đúng. Xét tập mở tổng quát trong S 0 là G S 0, trong đó G là mở trong S. Nhưng Q n (G S 0 ) = P n (G S 0 ) = P n G và tương tự với Q. Nếu P n P thì lim inf n Q n (G S 0 ) = lim inf n P n G P G = Q(G S 0 ). Do đó: Nếu P n S 0 P S 0 = 1 thì P n P (trên S) nếu và chỉ nếu Q n Q (trên S 0 ). Ví dụ Ta lại giả sử S 0 S và P n S 0 P S 0 = 1. Và giả sử ánh xạ đo được h : S S liên tục khi hạn chế trên S 0, tức là nếu x n S 0 hội tụ tới x S 0 thì hx n hx. Nếu P n P thì Q n và Q trong ví dụ trước thỏa mãn Q n Q. Hạn chế h 0 của h từ S vào S 0 là ánh xạ liên tục từ S 0 vào S và áp dụng nguyên lý ánh xạ ta được (S 0 h 1 A = h 1 0 A ) P n h 1 = Q n h 1 0 Qh 1 0 = P h 1. Do đó: Nếu P n S 0 P S 0 = 1 và hạn chế trên S 0 của h liên tục thì P n P kéo theo P n h 1 P h Không gian tích Giả sử tích T = S S là khả ly, tức là S và S khả ly và giả sử rằng ba σ-trường Borel được liên hệ bởi T = S S. Ký hiệu phân phối biên duyên của độ đo xác suất P trên T bởi P và P : P (A ) = P (A S ) và 36

38 P (A ) = P (S A ). Vì các phép chiếu π (x, x ) = x và π (x, x ) = x liên tục và P = P (π ) 1 và P = P (π ) 1 nên theo nguyên lý ánh xạ thì P n P kéo theo P n P và P n P. Điều ngược lại là sai. Nhưng xét π-hệ thống A của hình chữ nhật đo được A A (A S và A S ). Nếu ta lấy khoảng cách giữa (x, x ) và (y, y ) là ρ(x, y ) ρ(x, y ), khi đó hình cầu ở trog T có dạng B t ((x, x ), r) = B ρ (x, r) B ρ (x, r). (2.12) Các hình cầu này nằm trong A và do B t ((x, x ), r) rời nhau với các giá trị r khác nhau nên A thỏa mãn giả thiết của Định lý và do đó là một lớp hội tụ xác định. Ta có một kết quả liên quan hữu ích hơn. Cho A P là lớp của A A trong A mà P ( A ) = P ( A ) = 0. Áp dụng (2.9) trong S và S thì A P là một π-hệ thống. Và vì nên mỗi tập trong A P (A A ) (( A ) S ) (S ( A )), (2.13) là P -tập liên tục. Do B ρ (x, r) và B ρ (x, r) trong (2.12) có biên rời nhau với các giá trị r khác nhau nên tồn tại số r đủ nhỏ để (2.12) nằm trong A P. Áp dụng Định lý cho A P thì P n P nếu và chỉ nếu P n A P A với mọi A thuộc A P. Do đó ta có định lý sau trong đó (ii) là một hệ quả tất yếu của (i). Định lý (i) Nếu T = S S khả ly thì P n P khi và chỉ khi P n (A A ) P (A A ) với mỗi A là P -tập liên tục và A là P -tập liên tục. (ii) Nếu T khả ly thì P n P n P P khi và chỉ khi P n P và P n P. 37