XÁC ĐỊNH CẬN DƯỚI TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN TẤM VÀ VỎ MỎNG THEO ĐIỀU KIỆN DẺO ThS. Tăng Văn Lâm, KS. Ngô Xuân Hùng Khoa Xây dựng, Đại học Mỏ -

Bản ghi

1 XÁC ĐỊNH CẬN DƯỚI TẢI TRỌNG GIỚI HẠN TRONG BÀI TOÁN TẤM VÀ VỎ MỎNG THEO ĐIỀU KIỆN DẺO ThS. Tăng Văn Lâm, KS. Ngô Xuân Hùng Khoa Xây dựng, Đại học Mỏ - Địa ất 1. MỞ ĐẦU Trong xây dựng hiện đại ngày nay, các kết cấu dạng tấm và vỏ mỏng hiện đang là một xu hướng phát triển tất yếu trong công trình kiến trúc. Việc sử dụng kết cấu dạng tấm và vỏ mỏng đã tao ra nhiều lựa ọn o không gian kiến trúc hiện đại o con người. Bên cạnh đó, loại kết cấu này đòi hỏi quá trình tính toán thiết kế phức tạp, độ an toàn và tuổi thọ công trình sử dụng cao hơn so với các kết cấu thông thường khác. Bài toán xác định tải trọng giới hạn của kết cấu tấm vỏ mỏng là bài toán phức tạp. Bài toán này không có thuật toán ung mà phải tùy từng kết cấu cụ thể. Điều kiện uyển từ trạng thái đàn hồi sang trạng thái dẻo (đàn dẻo) được gọi là điều kiện dẻo. Với trạng thái ứng suất đơn: Biến dạng dẻo xuất hiện khi Đây ính là điều kiện dẻo của trạng thái ứng suất đơn. Với trạng thái ứng suất phức tạp: - Việc xuất hiện biến dạng dẻo trong một phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp phụ thuộc vào nhiều thông số. Để các thông số đạt đến giá trị cần thiết tương ứng khi xuất hiện biến dạng dẻo thì phải thỏa mãn một số điều kiện. Các điều kiện ấy được gọi là điều kiện dẻo. - Về tổng quát, điều kiện dẻo có thể viết dưới dạng các hàm phụ thuộc vào ứng suất. (1) - Tuy nhiên để có được biểu thức cụ thể của các điều kiện dẻo phù hợp với thực tế thì đó là cả một quá trình phát triển. Theo [1], hiện nay có hai điều kiện dẻo mang tính truyền thống thường được sử dụng là: Điều kiện dẻo Tres-Saint Venant (hay là điều kiện ứng suất tiếp cực đại không đổi) Điều kiện dẻo Vol-Mises (hay còn gọi là điều kiện cường độ ứng suất tiếp không đổi). CẬN DƯỚI CỦA TẢI TRỌNG GIỚI HẠN VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH CHO BÀI TOÁN TẤM VÀ VỎ MỎNG Trạng thái cân bằng giới hạn (CBGH) là trạng thái uyển tiếp từ giai đoạn kết cấu còn khả năng ịu lực sang giai đoạn kết cấu hoàn toàn hết khả năng ịu lực (hệ biến thành cơ cấu). Lực tương ứng với trạng thái này gọi là lực giới hạn (Pgh). Lúc này hệ khảo sát xuất hiện biến dạng và uyển vị lớn dẫn đến kết cấu nhanh óng uyển từ bất biến hình về biến hình mà ta thường gọi là hệ đã biến thành cơ cấu. dp( f ) Về nguyên lý điều kiện để xác định tải trọng giới hạn là: 0 () df Trong đó P(f) là hàm tải trọng phụ thuộc vào biến số uyển vị f. Như vậy thì trạng thái CBGH của kết cấu bao gồm cả trạng thái cân bằng không ổn định của nó mà ta thường gọi là hiện tượng mất ổn định loại hai. Hiện tượng này xảy ra ở cả khi vật liệu làm việc trong và ngoài giới hạn đàn hồi. Khi vật liệu làm việc trong miền đàn hồi thì lý thuyết về trạng thái CBGH coi như đã được nghiên cứu trong các bài toán về ổn định của hệ đàn hồi. Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi (bắt đầu xuất hiện biến dạng dẻo) thì lý thuyết về trạng thái CBGH được nghiên cứu trong các bài toán của lý thuyết dẻo. Do đó lý thuyết về 1

2 trạng thái CBGH được hiểu là một bộ phận của lý thuyết dẻo mà trong đó: ta không cần thiết phải xác định toàn bộ trạng thái ứng suất, biến dạng, uyển vị, miền dẻo, trong cả quá trình ịu lực của kết cấu mà ỉ cần khảo sát, phân tí để xác định trạng thái uyển tiếp từ giai đoạn hệ bảo toàn sự cân bằng lực sang giai đoạn hết khả năng bảo toàn cân bằng lực Trạng thái CBGH của kết cấu. Một trong những công cụ thường dùng để khảo sát trạng thái CBGH của kết cấu là các định lý tĩnh và động đã được nhà cơ học Liên Xô A.A. Gvozdev [3] phát biểu từ năm Tuy nhiên, tính phổ cập của hai định lý này mới ỉ dừng lại o tính toán kết cấu dạng thanh. Giá trị ủ yếu của các định lý này là dựa vào định lý tĩnh để xác định cận dưới của tải trọng giới hạn (TTGH) Pgh (t), và dựa vào định lý động để xác định cận trên của TTGH Pgh (đ) tức là ta có: Pgh (t) (Pgh) Pgh (đ) (3) Trong các bài toán của kết cấu thanh không phức tạp thì việc xác định quan hệ (3) hoàn toàn thực hiện được (thậm trí là ỉ dùng thuật toán đơn giản). Với kết cấu hệ thanh phức tạp thì việc dùng định lý động hầu như không thực hiện được vì nếu không tính toán khảo sát thì không biết được hình thái biến dạng khi hết khả năng ịu lực của kết cấu (dù là giả thiết). Trong khi đó, nếu dùng định lý khả dĩ tĩnh thì hoàn toàn có thể xác định được cận dưới của TTGH. Cá dùng này có thể là phức tạp nhưng nhờ có công cụ là các phương pháp số nên kết quả nhận được đủ độ tin cậy. Mặt khác, cận dưới của TTGH luôn lớn hơn đáng kể tải trọng tính theo ứng suất o phép, đồng thời lúc này đã xuất hiện một miền ảy dẻo của vật liệu làm o hệ có uyển vị và biến dạng lớn. Với ý nghĩa này, trong bài viết này nêu lên cá xác định cận dưới của TTGH theo điều kiện dẻo dựa cào định lý khả dĩ tĩnh, vừa khả thi vừa yên tâm với kết quả nhận được, có thể dùng để tính toán khống ế khả năng sụp đổ của công trình. a). Khái niệm về mặt cong, đường cong giới hạn Về tổng quát thì định lý khả dĩ tĩnh được xây dựng o bài toán 3 iều trong lý thuyết đàn hồi dẻo. Trong tính toán kết cấu công trình với kết cấu dạng thanh, tấm, vỏ thì khái niệm được tổng quát như sau. Thay việc khảo sát toàn bộ trạng thái ứng suất của cấu kiện bằng các ứng lực. Giả sử trong hệ đang xét có các ứng lực là Q 1, Q, tương ứng với các ứng lực này là các biến dạng q1, q, Với thanh ịu kéo và uốn đồng thời thì Q1 là lực dọc N, Q là mômen uốn M. Các biến dạng tương ứng là biến dạng dọc trục và độ cong 1. Hệ đang xét đang ở trạng thái CBGH là khi hệ cùng đồng thời thỏa mãn điều kiện cân bằng và điều kiện dẻo: Q, Q,... 0 (4) Điều kiện cân bằng: i 1 Điều kiện dẻo: f Q, Q,... C i 1 (C là hằng số thực nghiệm) (5) Phương trình (4) thỏa mãn điều kiện (5) luôn o ta 1 mặt lồi bao quanh gốc của hệ tọa độ Q1, Q, i Q1, Q,..., C 0 (6) Với thanh ịu uốn cộng kéo nén đồng thời thì trạng thái CBGH được biểu thị bằng đường cong khép kín bởi mảnh parabol mà phương trình của nó là: M N M, N Q1, Q 1 0 (7) M N Trong đó: và N df df gh Fk Fn gh gh M ydf ydf gh Fk Fn

3 Đường cong được mô tả bởi phương trình (7) là một đường cong kín lồi và được gọi là đường cong giới hạn. b). Cá xác định cận dưới của TTGH o bài toán tấm, vỏ Theo [1], [], nguyên lý ung của định lý tĩnh ta có: Trạng thái ứng suất khả dĩ tĩnh luôn thỏa mãn điều kiện cân bằng và nằm trong hoặc trên mặt (đường) giới hạn (ảy dẻo). Do đó, để xác định TTGH, ta dùng ngay điều kiện cân bằng, điều kiện dẻo dạng (4) và (5). Để minh hoạ o ý tưởng nêu trên, xét bài toán vỏ tròn xoay có iều dày h không đổi ịu tải trọng đối xứng trục. Hình 1. Mô hình vỏ tròn xoay có iều dày không đổi ịu tải trọng đối xứng trục Xét cân bằng của một phân tố được tá ra khỏi vỏ bởi hai mặt phẳng kinh tuyến và hai mặt phẳng vĩ tuyến gần sát nhau (Hình ), ta nhận được 3 phương trình cân bằng là: d ( N R) N R Cos RQ R RY d d (8) N R N R Sin ( Q R) R RZ d d ( M R ) M R 0 1 Cos Q R 1 R d Trong đó: Y, Z là cường độ của tải trọng ngoài tác dụng trong mặt phẳng kinh tuyến song song với các trục tọa độ. R1, R là các bán kính cong của các đường cong ính. Từ điều kiện dẻo Mises ta có: 1 1 ( N ) ( ) N N N M M M M 4 (9) h h Khi các thành phần ứng lực trong vỏ nêu trên thỏa mãn điều kiện (9) thì xuất hiện một miền dọc theo đường vĩ tuyến mà ở đó vật liệu bị ảy dẻo hoàn toàn. Điều kiện (9) o phép ta dùng để xác định cận dưới của TTGH. Thực tế thì lúc này, kết cấu hầu như hết khả năng ịu lực. Do đó, với kết cấu phức tạp dạng tấm vỏ thì việc xác định cận dưới của TTGH cũng được coi như việc xác định tải trọng ứng với trường hợp kết cấu hoàn toàn hết khả năng ịu lực. Điều này hoàn toàn phù hợp với thực tế. 3. BÀI TOÁN TẤM, VỎ THEO ĐIỀU KIỆN DẺO Tấm ữ nhật ịu uốn bởi tải trọng phân bố đều q. Liên kết và kí thước như hình vẽ. Xác định tải trọng thỏa mãn điều kiện Vol-Mises trong hai trường hợp: 3

4 - Điều kiện dẻo viết theo ứng suất. - Điều kiện dẻo viết theo ứng lực. + Chọn tấm có các thông số hình học như sau: - Tấm kí thước: a = 1.50m, b = 3.0m - Chiều dày tấm: h = 0.0 (m); + Vật liệu (thép) và tải trọng như sau: - Môđun đàn hồi: E =.0*10 8 (kn/m ); - Hệ số Poission: 3 - Ứng suất ảy vật liệu: σ = 3.5*10 5 (kn/m ) - Tải trọng phân bố đều ban đầu 10 kn/m Hình. Mô hình tình toán + Phần mềm tính toán: Ở đây sử dụng ương trình SAP000 để tính toán. Xét điều kiện dẻo viết theo ứng suất Điều kiện dẻo Vol-Mises viết theo ứng suất: x y y z z x 6 xy yz zx (10) Áp dụng o bài toán tấm: bỏ qua σz, τyz, τzx 3 (11) x y x y xy Đặt: VT = 3 và VP = x y x y xy Xét tỷ số VT/VP, khi ứng suất trong tấm tương ứng với tải trọng phân bố đều q thỏa mãn: tỷ số VT/VP xấp xỉ bằng 1 thì q ính là cận dưới của TTGH cần tìm. Hình 3: Vị trí các nút trong SAP000 4

5 Ứng suất S11, S, S1 trong mô hình SAP000 lần lượt tương ứng là ứng suất σx, σy, τxy trong công thức (11). Ta có các biểu đồ ứng suất S11, S, S1 (mặt trên của tấm Top Face, đối với mặt dưới của tấm Bottom Face: ứng suất giống mặt trên về độ lớn nhưng ngược dấu) trong trường hợp tải trọng phân bố ban đầu q = 10KN/m như sau: Nút 86 σ x = Hình 4: Biểu đồ ứng suất σx (S11) Top Face Nút 4 τ xy = Nút 1 τ xy = Hình 5: Biểu đồ ứng suất τxy (S1) Top Face 5

6 Ứng suất Bảng tổng hợp ứng suất lớn nhất tại các vị trí ở mặt trên tấm với q=10kn/m như sau: Vị trí lớn nhất Bảng 1: Vị trí các nút có ứng suất σx, σy, τxy lớn nhất Giá trị (kn/m ) σx σy τxy σx Nút σy Nút τxy Nút 4 (Nút1) ± Từ bảng trên o thấy tại nút 86 khả năng tấm bị ịu ảy dẻo khi tải trọng vượt quá TTGH là cao nhất. Vì vậy, ta kiểm tra ứng suất tấm tại vị trí nút 86 trong các trường hợp thử tải khác. Bảng tổng hợp ứng suất tấm trong các trường hợp thử tải tại vị trí nút 86 như sau: Bảng : Ứng suất tấm tại vị trí nút 86 trong các trường hợp thử tải VT STT q KN/m σx KN/m σy KN/m τxy KN/m σ KN/m VT VP VT/VP E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+05 1.E E E+05 1.E E Ta thấy với q = KN/m thì VT/VP xấp xỉ 1, đây ính là cận dưới TTGH bài toán tấm, vỏ với điều kiện dẻo viết theo ứng suất. Xét điều kiện dẻo viết theo ứng lực Điều kiện dẻo Vol-Mies viết theo ứng lực o bài toán tấm: Trong đó: M M M M 3 M (1) x y x y xy M h 4 Đặt: VT = M M M M 3 và VP = M x y x y xy h 4 Xét tỷ số VT/VP, khi ứng lực trong tấm tương ứng với tải trọng phân bố đều q thỏa mãn: tỷ số VT/VP xấp xỉ bằng 1 thì q ính là cận dưới của TTGH cần tìm. Mômen M11, M, M1 trong mô hình SAP000 lần lượt tương ứng là mômen M x, M y, M xy trong công thức (1). Ta có các biểu đồ mômen M11, M1 (mặt trên của tấm Top Face, đối với mặt dưới của tấm Bottom Face: mômen giống mặt trên về độ lớn nhưng ngược dấu) trong trường hợp tải trọng phân bố ban đầu q = 10kN/m như sau: 6

7 Hình 6: Biểu đồ mômen Mx (M11) Nút 4 M xy = Nút 1 M xy = Hình 7: Biểu đồ mômen Mxy (M1) 7

8 Bảng tổng hợp mômen lớn nhất tại các vị trí ở mặt trên tấm với q=10kn/m như sau: Bảng 3: Vị trí các nút có mômen Mx, My, Mxy lớn nhất Ứng Giá trị (knm/m) Vị trí lớn nhất suất Mx My Mxy VT Mx Nút My Nút Mxy Nút 4 (Nút1) ± Từ bảng trên o thấy tại nút 86 khả năng tấm bị ịu ảy dẻo khi tải trọng vượt quá TTGH là cao nhất. Vì vậy, ta kiểm tra mômen tấm tại vị trí nút 86 trong các trường hợp thử tải khác. STT Bảng tổng hợp mômen tấm trong các trường hợp thử tải tại vị trí nút 86 như sau: Bảng 4: Mômen tấm tại vị trí nút 86 trong các trường hợp thử tải q Mx My Mxy σ KN/m KNm/m KNm/m KNm/m kn/m VT VP VT/VP E E E E E E E Ta thấy với q = 55. kn/m thì VT/VP xấp xỉ 1, đây ính là cận dưới TTGH bài toán tấm, vỏ với điều kiện dẻo viết theo ứng lực. 3. KẾT LUẬN - Cận dưới của TTGH khi điều kiện dẻo viết theo ứng lực lớn hơn điều kiện dẻo viết theo ứng suất; hai kết quả trên là hoàn toàn phù hợp với sự làm việc của vật liệu. Tải trọng khi vật liệu biến dạng dẻo hoàn toàn (điều kiện dẻo viết theo ứng lực) lớn hơn nhiều so với tải trọng khi tấm mới bắt đầu xuất hiện biến dạng dẻo ở mép trên và dưới (điều kiện dẻo viết theo ứng suất). - Khi tăng tải tác dụng thì đến một thời điểm sẽ xuất hiện biến dạng dẻo đầu tiên ở mép trên và mép dưới tại một hoặc một số điểm của tấm, tiếp tục tăng tải thì biến dạng dẻo tiếp tục phát triển vào phía trong của tiết diện và o đến khi vật liệu bị ảy dẻo hoàn toàn tại điểm đó. Khi đó tải trọng tương ứng sẽ là cận dưới của TTGH. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. PGS.TS. Lê Ngọc Thạ; Bài giảng o học viên cao học Phân tí kết cấu ngoài giới hạn đàn hồi. []. PGS.TS. Lê Ngọc Thạ, ThS. Mai Châu Anh; Định lý khả dĩ tĩnh, khả dĩ động trong lý thuyết cân bằng giới hạn và khả năng ứng dụng để phân tí trạng thái giới hạn của kết cấu dạng tấm, vỏ. [3]. PGS.TS. Lê Ngọc Hồng; Giáo trình Sức bền vật liệu, NXB Khoa học và Kỹ thuật. 8