C:/Documents and Settings/Roupoil/Mes documents/Cours/Carnot10/Devoirs/essec98cor.dvi

ÁÁ ½ ÓÖÖ ÄÝ ÖÒÓØ Ñ ¾¼½½ È ÖØ Á ½º µ ÈÖÓÙÚÓÒ ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ø P n u n [0;] Ø u n u n+ º ÈÙ ÕÙ u 0 = 0 [0;] Ø u = f(0) = e > 0 Ð ÔÖÓÔÖ Ø P 0 Ø Ú Ö º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÓÖÑ P n Ú Ö Ø ÓÒ Ø ØÓÒ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R Ò Ø ÔÙ ÕÙ > 0 f Ø Ð ÓÑÔÓ Ð³ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Ø Ð ÓÒØ ÓÒ x (x ) ÕÙ ÓÒØ ØÓÙØ ÙÜ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ Rµº ÇÒ ÙÖ ÓÒ Ò ÜÔÐÓ Ø ÒØ Ð³ ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÖÓ Ò f f(0) f(u n ) f() Ø f(u n ) f(u n+ ) ³ ع¹ Ö e u n+ Ø u n+ u n+2 º Ä ÔÖÓÔÖ Ø P n+ Ø Ò Ú Ö Ø Ð Ö ÙÖÖ Ò Ú º µ Ä Ù Ø Ø ÒØ ÖÓ ÒØ Ø Ñ ÓÖ Ô Ö ÐÐ ÓÒÚ Ö º ¾º µ ÆÓÙ Ñ Ö ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð³Á ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0;] ÙÕÙ Ð ÔÔ ÖØ ÒØ u n ³ ÔÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º ÈÓÙÖ Ð ÖÓÒ Ò Ö Ö f ÙÖ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ º Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø C ÙÖ R Ø f (x) = e (x ) = f(x)º Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÓÑÑ f Ø x [0;] f (0) f (x) f ()º ÓÑÑ f (0) = e > 0 Ø f () = ÓÒ ÓÒ 0 f (x) ÙÖ [0;]º ijÁ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ÐÓÖ ³ ÖÑ Ö ÔÙ ÕÙ u n ÕÙ 0 f() f(u n ) ( u n )º ÓÑÑ f(u n ) = u n+ Ø f() = г Ò Ö Ñ ÒØ ÓÙ Ø Ò ÓÙÐ º µ ÈÖÓÙÚÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ð ÔÖÓÔÖ Ø P n 0 u n n º ÓÑÑ u 0 = = 0 Ð ÔÖÓÔÖ Ø P 0 Ø Ú Ö º ËÙÔÔÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ P n ÚÖ ÐÓÖ ³ ÔÖ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ 0 u n+ ( u n ) Ú Ô Ö ÝÔÓØ u n n º ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ 0 u n+ n = n+ ÕÙ ÔÖÓÙÚ P n+ Ø Ú Ð Ö ÙÖÖ Ò º Ë < ÓÒ ÙÖ n + n = 0 ÓÒ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ò ÖÑ u n = º n + u n = 0 Ó Ø n + º µ ÈÓÙÖ Ð ÒØÖÓ Ù ÓÒ ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ g : ln º ØØ ÓÒØ ÓÒ g Ø ÖØ Ò ¹ Ñ ÒØ Ö Ú Ð ÙÖ [;+ [ Ø g () = ln º Ä ÓÒØ ÓÒ g Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÙÖ [;e] Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ [e;+ [º ÐÐ Ñ Ø ÔÓÙÖ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÖ [;+ [ Ð Ú Ð ÙÖ g(e) = > 0º ÔÐÙ g() = e ÖÒ Ö Ð Ñ Ø µ ÓÒ 0 < g() ÙÖ [;+ [º ÆÓÙ ÚÓÒ ÐÙÐ f Ö ÓÐÚÓÒ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ e (x ) = º Ä ÔÐÙ ÑÔÐ Ø Ô Ö Ù ÐÓ Ö Ø Ñ ØÓÙØ Ø ÔÓ Ø µ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ln + (x ) = 0 Ó Ø x = ln ln ÓÒ x = º 2 g() = ÖÓ Ò ÓÑÔ Ö ÔÓÙÖ ØØ + ÇÒ ÚÙ ÔÐÙ ÙØ ÕÙ Ð Ö Ú f Ø Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ R ÓÒ f (x) ÕÙ Ø Ð Ö Ú f(x) x Ð Ñ Òغ Ë = Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÒÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ú ÙØ Ø f (x) Ø ÓÒ Ò Ø Ú ÙÖ ] ;] Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ù Ø º Ä ÓÒØ ÓÒ x f(x) x Ø ÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ ] ;] Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ [;+ [º ÐÐ Ñ Ø ÔÓÙÖ Ñ Ò ÑÙÑ f() = 0º Ë < ³ Ø ØÖ Ñ Ð Ö x f(x) x Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ ] ; ln ] Ø ½

[ ÖÓ ÒØ ÙÖ ln [ ;+ º ÇÒ Ò Ö Ö Ô ÐÙÐ Ö ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò ÖØ Ö Ò Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ f(x) = x ÓÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ³ ÒÒÙÐ Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ú ÒØ ³ ØÙ Öº Ë = ÔÙ ÕÙ³ÓÒ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ð ÒØ 0 Ø Ð ÙÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒº È Ö ÓÒØÖ < Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ ØØ ÒØ ÓÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÒØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ø º ÓÑÑ Ô Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ø ÕÙ f(0) 0 > 0 ÐÙÐ Ò ÙØ ÔÖÓ Ð Ñ µ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ ÒÒÙÐ ÙÒ ÙÜ Ñ Ó ÒØÖ 0 Ø º ØØ Ú Ð ÙÖ ÓÖÖ ÔÓÒ r() Ð Ò Ô ÙØ Ô Ý ÚÓ Ö ³ ÙØÖ ÔÓ ÒØ ³ ÒÒÙÐ Ø ÓÒ Ù ÚÙ Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÓÒØ ÓÒµ ÕÙ Ú Ö ÓÒ 0 < r() < º µ ØØ ÓÒØ ÓÒ Ø Ú ÑÑ ÒØ Ö Ú Ð ÙÖ [0;+ [ Ö Ú ϕ (x) = e x xe x = ( x)e x º Ä ÓÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÓ ÒØ ÙÖ [0;] Ø ÖÓ ÒØ ÙÖ [;+ [º ÔÐÙ ϕ(0) = 0 Ø ϕx = 0 Ô Ö ÖÓ Ò ÓÑÔ Ö µº ÈÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ö Ô ÕÙ ÓÒ x + Ô ÙØ ÓÙØ Ö ÕÙ ϕ (0) = ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÔÐ Ö Ð Ø Ò ÒØ Ð ÓÙÖ Ð³ÓÖ Ò º ÎÓ Ð Ø ÓÙÖ 0 0 2 3 4 5 ÇÒ ϕ() = e Ø ϕ(r()) = r()e r() º Å Ö ÔÔ ÐÓÒ ¹ÒÓÙ ÕÙ Ô Ö Ò Ø ÓÒ f(r()) = r() ³ ع¹ Ö ÕÙ e (r() ) = r() ÓÒ ϕ(r()) = e r() e r() = e = ϕ()º Ä ÙÜ Ñ ÓÒØ ØÓÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð º Ë > ÓÒ Ô ÙØ Ò Ù Ö Ù ÚÙ Ù Ø Ð Ù Ú Ö Ø ÓÒ ϕ ÕÙ r() < ÕÙ Ú Ð ÙÖ ÙØÖ ÕÙ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ø ÔÖ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÜ Ó Ô Ö ϕ ÙÒ Ó ÙÖ ]0;[ Ø ÙÒ ÙØÖ ÙÖ ];+ [ Ø ÓÒ Ò Ô ÙØ Ò Ö ÚÓ Ö = r() ÔÙ ÕÙ r() < Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ > µº Ä ÓÒØ ÓÒ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÙÖ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÐÐ Ý Ø ÖØ Ò Ñ ÒØ ¹ Ø Ú º ÌÓÙØ Ð Ö Ø ÓÙÐ Ù Ø ÓÖ Ñ ( ) Ð Ø ÓÒ ϕ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ Ø Ú Ö ϕ (0) = 0 Ø ϕ = º e ÇÒ ÚÙ ÔÐÙ ÙØ ÕÙ ϕ(r()) = e º ÓÑÑ r() [0;] Ð ÕÙ Ú ÙØ Ö ÕÙ r() = ϕ (e ) ³Ó г Ð Ø Ñ Ò º ÓÑÑ Ð ÓÒØ ÓÒ ϕ Ø ÓÖÒ Ô Ö 0 Ø ÓÒ ÓÒ 0 r() Ø Ô Ö Ø ÓÖ Ñ Ò ÖÑ r() = 0º + µ ³ Ø Ü Ø Ñ ÒØ Ð Ñ Ñ Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ³ Ð ØÓÙØ ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ù Ø 0 u 0 r() Ø Ú ÒØ Ø Ò ÙÔÔÓ ÒØ 0 u n r() Ð Ù Ø ³ ÒÚÓÕÙ Ö Ð ÖÓ Ò f ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö e u n+ f(r())º ÓÑÑ r() Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü f Ð ÔÖÓÙÚ Ð³ Ò Ö Ñ ÒØ ÔÓÙÖ u n+ Ø Ú Ð Ö ÙÖÖ Ò º ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ù Ø ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ Ð Ñ Ø L() Ø Ð³ Ò Ö Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ Ô ÖÑ Ø ³ ÖÑ Ö ÕÙ 0 L() r()º ÇÖ Ð Ð Ñ Ø Ð Ù Ø Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü f Ø r() Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü º ÓÒÐÙ ÓÒ u n ÓÒÚ Ö Ò Ö Ñ ÒØ Ú Ö r()º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø L() = r()º ÁÐ Ý Ô Ù ÔÖ ÓÙÞ Ñ ÐÐ ÓÒ ³Ó Ø Ò Ö ÕÙ Ø Ñ Ò º ÍÒ ÓÒ ÙÒ Ô Ù ÖÙØ Ð ÙØ Ð ÒØ Ð Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ x f(x) x Ò ÔÓÙÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ò Ò r() Ø ÐÙÐ Ö ØÓÙØ Ð Ú Ð ÙÖ f(x) x Ò Ô ÖØ ÒØ x = 0 Ø Ò Ù Ñ ÒØ ÒØ ÕÙ Ø Ô x 0.0 Ù ÕÙ³ Ó Ø Ò Ö Ð Ò Ñ ÒØ Ò º ÎÓ ÙÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ ÓÒÚ Ò Ð ÈÊÇ Ê Å ÔÔÖÓÜÖ ÍË Ë Û ÒÖØ Î Ê Ü Ö Ð ¾

ÁÆ ÏÖ Ø ÄÒ ³ Ó Þ Ð Ú Ð ÙÖ ³µ Ê ÄÒ µ Ü ¼ Ê È Ì Ü Ü ¼º¼½ ÍÆÌÁÄ ÜÔ Ü¹½µµ¹Ü ¼ ÏÖ Ø ÄÒ Üµ Æ º º ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ L Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð ÙÖ [0;] ÔÙ ÕÙ³ÓÒ L() = µº ÇÒ Ð Ñ ÒØ ÚÙ ÕÙ L() = 0º ÇÒ Ò Ö ØÓÙ ÓÙÖ 0 L() ÔÙ ÕÙ L() = r()º + ÇÒ Ø Ð Ñ ÒØ ÕÙ r() ÓÒ L() = r() º ÇÒ Ñ Ö Ø Ò ÚÓ Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ L ÔÓÙÖ ÓÒ Ñ Ö Ð³ ÝÔÓØ Ö ÓÒÒ Ð ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ Ö ÖÓ ÒØ º ÈÓÙÖ Ð ÓÒ Ô ÙØ ØØÖ Ú Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø ÒÙ Ð Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ b ÓÙ Ò ØÖ Ñ Ð Ò ÓÒ ÔÖ Ò ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ù Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ³ÓÒ ÒÓØ Ø 2 Ø ÐÐ ÕÙ 2 ÐÓÖ ÓÒ ÙÖ x [0;] e (x ) e 2(x ) ÔÙ ÕÙ x Ø ÐÓÖ Ò Ø µº Ò ÒÓØ ÒØ (v n ) Ð Ù Ø Ö ÙÖÖ ÒØ Ó Ð Ú Ð ÙÖ Ø (w n ) ÐÐ Ó 2 ÓÒ ÔÖÓÙÚ ÐÓÖ Ô Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò Ð ÕÙ n N v n w n Ò Ø v n w n ÐÓÖ v n+ = e (v n ) e (w n ) e 2(w n ) = w n+ µº È Ö Ô Ð Ð Ñ Ø ÓÒ ÙÖ L( ) L( 2 ) ÕÙ ÔÖÓÙÚ Ð ÖÓ Ò Ð ÓÒØ ÓÒ Lº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ñ Ò Ö ÙÒ ÐÐÙÖ Ö Ñ Ð ÒØ ÓÒ Ô ÙØ ÐÙÐ Ö Ð Ô ÒØ Ð Ñ ¹Ø Ò ÒØ Ð ÓÙÖ ÖÓ Ø Ñ Ð Ô Ð Ö Ñ ÒØ ÒÓ Ô Ø ØÙ ÐÐ µ 0 0 2 3 4 5 È ÖØ ÁÁ ½º Ä ÓÒ Ø ÓÒ D = n ÑÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ÒØ Ô n Ò Ø ÒØ ØÖ ÖÚ Ù Ù Øº ü ÙÒ n Ò Ø ÒØ Ð Ý ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø p ÕÙ³ÙÒ ÒÓÙÚ Ù Ð ÒØ ÖÖ Ú Ø N ÓÑÔØ Ð ÒÓÑ Ö ØÓØ Ð ÒÓÙÚ ÙÜ Ð ÒØ º ÇÒ Ö ÓÒÒ Ø Ð ÙÒ ØÝÔ ÕÙ ÐÓ ÒÓÑ Ð Ô Ö Ñ ØÖ (n,p)º ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ k {0;;... ;n} P D=n (N = k) = ( n k ) p k ( p) n k Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ k > n Ð ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ø ÒÙÐÐ µº Ä Ú Ò Ñ ÒØ D = n ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ý Ø Ñ ÓÑÔÐ Ø ³ Ú Ò Ñ ÒØ ÔÓÙÖ n N ÔÙ ÕÙ D Ù Ø ÙÒ ÐÓ ÈÓ ÓÒ Ð Ø Ò Ø ÙØÓÖ ÕÙ Ð Ð ÒØ Ò Ô Ñ Ñ Ô ÙÒ Ò Ø ÒØ Ù Ù Øµ ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö P(N = k) = P D=n (N = k) P(D = n)º ÇÒ Ô ÙØ Ò Ø ÓÑÑ Ò Ö Ð ÓÑÑ n = k Ú ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÓÒØ ÒÙÐÐ µ Ø Ö ÑÔÐ Ö Ô Ö Ð ÐÓ ÒÓÑ Ð Ø ÈÓ ¹ ( n ÓÒ P(N = k) = )p + k ( p) n k e λλn = e λ p k n! k n! (n k)! ( p)n k λn = n! e λ p k ( p) n k λ n (n k)! = e λ p k ( p) n λ n+k n! = e λ p k λ k Ò Ø ÙÒ Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö P(N = k) = e λ () k (λ( p)) n k º ÇÒ Ö ÓÒ¹ (n k)! e λ( p) = e () k º ÇÒ

Ú ÒØ ÔÖÓÙÚ Ö ÕÙ N P()º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ÙÖ E(N ) = º ¾º µ ij Ú Ò Ñ ÒØ N k = 0 Ò ÕÙ³ ÙÙÒ ÒÓÙÚ Ù Ð ÒØ Ò³ Ø ÔÔ ÖÙ ÐÓÖ Ð k¹ Ñ Ú Ù ÙØÖ Ñ ÒØ Ø ÕÙ Ð Ð ³ ØØ ÒØ ³ Ø Ú ÔÖ Ð Ô Ð Ú Ù ÔÖ ÒØ º Ö Ð³ÙÒ ÓÒ Ú Ò Ñ ÒØ Ö Ú ÒØ ÓÒ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ð Ö Ú Ð³ Ù Ð k¹ Ñ Ú Ù ÕÙ Ø Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ÚÓ Ö Ð Ð Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ò º Ä Ù Ø Ø Ð Ö Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÙ ÕÙ N k = 0 Ð k¹ Ñ Ö Ø Ö ÙÒ Ø ÑÔ ÒÙÐ Ù Ù Ø ÕÙ Ò Ð Ô Ð ÔÓ Ð Ø ÔÓÙÖ ÒÓÙÚ ÙÜ Ð ÒØ ³ ÖÖ Ú Ö ÐÓÖ Ð (k + )¹ Ñ Ú Ù Ø ÑÔÐ ÕÙ ÓÒ N k+ = 0º È Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ð Ð Ñ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÓÒ ÓÒ L = n + P(N k = 0)º µ Ë N = ÓÒ Ö ØÖÓÙÚ Ú ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ú Ù ÓÒ Ø ØÙ ³ÙÒ ÙÒ ÕÙ Ð ÒØ ØÓÙØ ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ú Ù ÒÙÑ ÖÓØ 0º Ä ÐÓ N 2 Ö ÓÒ Ð Ñ Ñ ÕÙ ÐÐ N Ò Ð³ Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ ÐÐ N 3 Ð Ñ Ñ ÕÙ ÐÐ N 2 Ò Ð³ Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Øº ÇÒ ÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö P N =(N k+ = 0) = P(N k = 0)º Þ Ñ Ð Ö Ñ ÒØ N = j N 2 Ö ÓÒ Ø ØÙ Ð Ö ÙÒ ÓÒ Ð ÒØ ÔÔ ÖÙ Ô Ò ÒØ Ð ÖÚ Ù ÔÖ Ñ Ö Ð ÒØ Ð Ú Ù ÙÒ ÓÖØ ÔÖ Ñ Ö ÓÙ ¹Ú Ù µ ÙÜ ÔÔ ÖÙ Ô Ò ÒØ Ð ÖÚ Ù ÙÜ Ñ Ð ÒØ ÙÜ Ñ ÓÙ ¹Ú Ù µ Ø Ù ÕÙ³ Ù j¹ Ñ Ð ÒØ j¹ Ñ ÓÙ ¹Ú Ù µ Ø ÓÒ Ô ÙØ Ò ÓÙÔ Ö ØÓÙØ Ð Ú Ù ÙÐØ Ö ÙÖ Ò j ÑÓÖ Ùܺ Ä k¹ Ñ Ú Ù Ö Ú ÙÒ j ÓÙ ¹Ú Ù Ø Ú ÕÙ ÔÖÓ Ù Ø Ú ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø P(N k = 0) ³ ÔÖ Ð Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ ÓÒ ³ Ø Ö Ñ Ò Ù Ó Ð Ò³Ý ÕÙ³ÙÒ Ð ÒØ Ò N µº ÌÓÙØ Ð ÓÙ ¹Ú Ù Ø ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÔÙ ÕÙ Ð Ú Ö Ð B i Ð ÓÒص ÓÒ Ò P N =j(n k+ = 0) = P(N k = 0) j º ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ³ ÐÐ ÙÖ Ú Ð Ð Ð Ñ ÒØ ÔÓÙÖ j = Ø Ñ Ñ j = 0 N = 0 г Ú Ò Ñ ÒØ N k+ = 0 Ø ÖØ Òµº µ ÔÔÐ ÕÙÓÒ ÓÒ ÔÓÙÖ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ú Ò Ñ ÒØ N = j p k+ = P(N k+ = 0) = j) = p j k e ()j j! P N =j(n k+ = 0) P(N = + = e (p k ) j = e e p k = e (pk ) º È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ Ò j! Ö p 0 = 0 ÔÙ ÕÙ Ð Ú Ù ÒÙÑ ÖÓØ 0 Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÓÒ Ø ØÙ ³ÙÒ Ð Òغ ÇÒ Ö ÓÒÒ Ø Ò Ð Ù Ø (p k ) ÙÒ Ù Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ÒØ ÕÙ ÐÐ ØÙ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ ÔÓÙÖ = º Ò Ö ÔÖ Ò ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø ÑÓÒØÖ Ò ØØ Ô ÖØ ÓÒ ÚÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ð ³ ØØ ÒØ Ú ÔÖ ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ò Ø ÑÔ Ò ÐÓÖ ÕÙ º Ë > ÓÒ ÙÖ Ô Ö ÓÒØÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÕÙ Ð Ð Ò ³ ÖÖ Ø Ñ Ø ØØ ÔÖÓ Ð Ø Ø Ò Ö Ñ Ñ Ú Ö 0 ÕÙ Ò Ø Ò Ú Ö + º µ ÄÓÖ ÕÙ p = 2 Ð Ð ³ ØØ ÒØ ³ Ú Ö ÔÖ ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ò Ø ÑÔ Ò Ð ÙÖ ÖÚ ÑÓÝ ÒÒ Ø ÓÒ ÐÓÖ = µ ÓÙ 2 Ò Ø ÒØ = µ Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ø 2 ØÓÑ 0.20 Ð Ø ÑÔ ÖÚ Ø ÕÙ ØÖ Ò Ø ÒØ Ø 0.02 ÔÓÙÖ 8 Ò Ø ÒØ º Ë p = 4 ÓÒ ÙÖ ÙÒ Ò ÔÖ ÕÙ Ö Ú ÙÒ Ø ÑÔ ÖÚ 2 ÓÙ 4 Ò Ø ÒØ Ñ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø 0,20 ÕÙ Ð Ð ³ Ú ÙÒ ÓÙÖ Ø ÑÔ ÖÚ Ø 8 Ò Ø ÒØ º º µ Ë i = 0 Ð Ú Ö Ð N k Ö ÒØ ÕÙ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ º Ë i Ò ÓÙÔ ÒØ N k Ò ÓÙ ¹ Ú Ù ÓÑÑ Ð ÕÙ Ø ÓÒ 2.b N k Ö Ð ÓÑÑ i Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ù Ú ÒØ ÙÒ ÙÒ ÐÓ ÈÓ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ ÓÒÒ N k P(i)º Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö E Nk =i(n k+ ) = iº µ È Ö Ò Ø ÓÒ E(N k ) = ip(n k = j) = ip(n k = j)º ÁÐ Ò Ö Ø ÔÐÙ ÕÙ³ Ö ÑÔÐ Ö i Ô Ö E Nk =i(n k+ ) ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÓÙ Ø º

ÇÒ Ô ÙØ ÓÖÑ Ö ÑÔÐ Ö Ð³ Ô Ö Ò ÓÒ Ø ÓÒÒ ÐÐ Ô Ö Ò Ø ÓÒ ÓÙ Ö ÖÚ ³ Ü Ø Ò µ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö E(N k ) = = P(N k = i) jp Nk =i(n k+ = j) jp(n k = i)p Nk =i(n k+ = j) Ò ÒÚ Ö ÒØ Ð ÓÑÑ ÓÑÑ Ù Ö º ÇÒ Ö ÓÒÒ Ø ÓÖÑ Ù Ø ÙÖ ÓÒ Ø ÒØ j ÔÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÓØ Ð Ò Ð ÙÜ Ñ ÓÑÑ ÓÒ E(N k ) = jp(n k+ = j) = E(X n+) º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø E(N k+ ) = E(N k ) ÕÙ ÔÖÓÙÚ Ù Ô ÕÙ E(N k+ ) Ü Ø Ð Ñ Òصº µ ÇÒ Ú ÒØ ÚÓ Ö ÕÙ N k Ñ ØØ Ø ÙÒ Ô Ö Ò ÐÓÖ N k+ Ð Ñ Òغ ÓÑÑ N 0 ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ð µ Ñ Ø ÖØ Ò Ñ ÒØ ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ö ÙÖÖ Ò ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ³ ÖÑ Ö ÕÙ N k Ò Ñ ØØÖ ÙÒ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö kº ÔÐÙ Ð Ù Ø (E(N k )) Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ö ÓÒ Ø ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ ÓÒ E(N k ) = () k º µ ÒÓÑ Ö ØÓØ Ð Ð ÒØ Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒÒ Ô Ö Ð ÓÑÑ Ú Ö Ð N 0 N º º º Ù ÕÙ³ N n º È Ö Ð Ò Ö Ø Ð³ Ô Ö Ò Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÝ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ù ÕÙ³ Ð k=n n¹ Ñ Ú Ù Ú ÙØ ÓÒ () k = ()n+ º Ë = Ð Ú ÙØ ÑÔÐ Ñ ÒØ k=0 n + º µ ÄÓÖ ÕÙ > Ð Ð Ñ Ø Ø Ò Ò ÕÙ Ø Ó Ö ÒØ ÔÙ ÕÙ³ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÕÙ Ð Ð ³ ØØ ÒØ Ò ³ ÖÖ Ø Ñ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ø ÙÒ Ò Ò Ø Ð ÒØ ÖÚ Öº Ë = Ð Ð ³ ÖÖ Ø ÔÖ ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ñ Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÝ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ø ØÓÙØ Ñ Ñ Ò Ò ÙÒ ÓÖØ ÒØ Ö Òغ Ò Ò < Ò ÙÖÔÖ Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÝ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ù ØÓØ Ð ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ð Ñ Ø µ Ø Ò Ð º Ò = 2 Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ ÔÖÓ ³ ÔÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓÙÚ Ù Ð ÒØ ÕÙ Ò Ø ÒØ 2 Ø ÙÒ Ø ÑÔ ÑÓÝ Ò ÖÚ ³ÙÒ Ò Ø Òص Ð ÒÓÑ Ö ÑÓÝ Ò Ð ÒØ ÖÚ Ú ÙØ 2 Ô ÒÓÖÑ µº Ë p = Ú ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ø ÑÔ ÖÚ ³ÙÒ Ò Ø Òص ÓÒ Ò 4 4 Ð ÒØ ÖÚ Ò ÑÓÝ ÒÒ º ÁÐ ÙØ ÚÖ Ñ ÒØ ÕÙ Ó Ø ÔÖÓ ÔÓÙÖ ÚÓ Ö 3 Ö ÙÐØ Ø ÔÐÙ ÒØ Ö ÒØ º È Ö Ü ÑÔÐ Ú p = ÙÒ Ò ÙÖ 0 ÕÙ³ÙÒ ÒÓÙÚ Ù 0 Ð ÒØ ÔÔ Ö ÕÙ Ò Ø Òص Ø ÙÒ ÙÖ ÖÚ ÑÓÝ ÒÒ 9 Ò Ø ÒØ ÓÒ Ö ÚÖ Ò ÑÓÝ ÒÒ 0 Ð ÒØ Ú ÒØ ÕÙ Ð Ð Ò Ú º