Ü Ö ½ º ÅÓÒØÖ Þ Ò Ø ÐÐ ÒØ ØÓÙØ Ð Ø Ô ÕÙ 8n+ n+16 Θ(n) ÁÐ ÙØ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö ØÖÓ ÒÓÑ Ö c 0 > 0,c 1 > 0,n 0 Ø Ð ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n n 0 ÓÒ Ø c 0 n < 8n+ n+16 < c 1 n ÈÖ ÒÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ c 0 = 8etc 1 = 9º È ÙعÓÒ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ n 0 Ô ÖØ Ö ÙÕÙ Ð 8n < 8n+ n+16 < 9n ij Ò Ð Ø Ò Ö ÙÖ Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÚÖ Ð Ö Ø Ö Ö Ö Ð³ Ò Ð Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÇÒ ÓÒ n n > 16 n( n 1) > 16 ØØ ÓÖÑÙÐ Ø Ú Ö Ô Ö Ü ÑÔÐ ÔÓÙÖ n 0 = 25 Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ n n 0 n 1 > 4 Ø n > 4 Ø ÓÒ n( n 1) > 16 Ü Ö ¾ º ÈÓÙÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ù Ú ÒØ 1)n 2 +100n+2000 2)1000+n 3 3)ln(n)+3n 4)200n+nln(n) ÅÓÒØÖ Þ ÙÜÕÙ Ð Ò Ñ Ð ÐÐ ÔÔ ÖØ ÒØ Ö ÔÓÒ O(n 3 )(1,2,3,4) Θ(n 3 )(2) O(n)(3) Θ(n)(3) O(nlogn)(3,4) Θ(nlogn)(4) O(n 2 )(1,3,4) Θ(n 2 )(1) Ü Ö º Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÜ ÓÒØ ÓÒ f Ø g ÙÖ N ÑÓÒØÖ Þ ÕÙ max{f,g} Θ(f +g) f +g Θ(max{f,g}) sif Θ(g), alorsg Θ(f) sif O(g)etg O(h), alorsf O(h) ½º h Θ(f +g) c 1 f +c 1 g h c 2 f +c 2 g ½
¾ Ð Ö Ñ ÒØ 1f + 1 g max{f,g} f +g 2 2 ¾º max{f,g} f +g 2max{f,g} º ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ f Θ(g) ÐÓÖ g Θ(f)º È Ö Ò Ø ÓÒ c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) ÔÓÙÖ n Ù Ñ ÒØ Ö Ò º ÇÒ ÓÒ 1 c 2 f(n) g(n) 1 c 1 f(n)º º ËÓ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñº ÙÑÑÝ Ø Ð Ù n Ø Ìµ ¼ ÈÓÙÖ ½ n Ö Ë Ì ½ ÐÓÖ ÈÓÙÖ ½ i Ö ½ Ë s Ø Ô Ö Ö ÒÚÓÝ Ö Ë ÒÓÒ ÆÇ ÈÓÙÖ ÙÒ Ò Ø Ò Ø ÐÐ n ÕÙ ÐÐ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ Ø Ò Ð Ô Ö ÉÙ ÐÐ Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ô Ñ ÑÓ Ö Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ Ð ÕÙ Ò Ø Ò³ Ø ÓÑÔÓ ÕÙ Þ ÖÓ º ÐÓÖ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Θ(n)º Ò Ð Ô Ö Ð Ò³Ý ÕÙ ÙÒ º ÐÓÖ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Θ(n 2 )º È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ô Ñ ÑÓ Ö Ø Ò Ö Ø ÔÓÙÖ ØÓ Ö sµ Θ(log 2 (n 2 )) = Θ(log 2 n) º Ä ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒع ÐÐ ÚÖ ÓÙ Ù ½µ Ë ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ O(n 2 ) ع Ð ÔÓ Ð ÕÙ ÙÖ ÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ó Ø ÕÙ O(n) ÇÍÁ ¾µ Ë ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ O(n 2 ) ع Ð ÔÓ Ð ÕÙ ÙÖ ØÓÙØ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ó Ø ÕÙ O(n) ÇÍÁ Ñ Ð ÓÖÒ Ø ÓØ µ µ Ë ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ Θ(n 2 ) ع Ð ÔÓ Ð ÕÙ ÙÖ ÖØ Ò Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ó Ø ÕÙ O(n) ÇÍÁ µ Ë ÑÓÒØÖ ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ Θ(n 2 ) ع Ð ÔÓ Ð ÕÙ ÙÖ ØÓÙØ Ò Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ó Ø ÕÙ O(n) ÆÇÆ
µ ÌÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ TIME(n 3 ) ÔÔ ÖØ ÒØ Ù TIME(2 n ) ÇÍÁ µ ÌÓÙØ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ TIME(n) ÔÔ ÖØ ÒØ Ù SPACE(n 2 ) ÇÍÁ µ ÁÐ Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÑÔ Ø Ò Ö ÙÖ Θ(2 n ) Ñ ÕÙ Ò ÓÒØ Ô Ò PTIME ÇÙ º È Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Θ(n log 2 n ). ÆÓØÓÒ ÕÙ 2 (log 2 n)2 = n log 2 n º ÇÒ ÚÓ Ø Ò ÕÙ n log 2 n ÖÓ Ø ÔÐÙ Ú Ø ÕÙ Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð n k Ñ ÕÙ 2 (log 2 n)2 ÖÓ Ø ÑÓ Ò Ú Ø ÕÙ 2 n º º ËÓ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð n ÒØ Ö E {1,,m} ݹ ¹Ø¹ Ð Ô ÖÑ Ø Ò Ñ Ð ÙÒ ÒÓÑ Ö Ð Ð ÓÑÑ ØÓÙ Ð ÙØÖ ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ x E, x = y E\{x} yµº ½µ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ë Ø ÙÒ Ò Ø Ò ÆÇ ÔÖÓ Ð Ñ º ¾µ ÈÖÓÔÓ Þ ÙÜ Ó ÔÓÙÖ ÔÖÓ Ð Ñ º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ø Ò Ò Ø µ Ò ÓÒØ ÓÒ m Ø»ÓÙ Ò ÓÒØ ÓÒ E ÉÙ Ð Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÖ Ó µ ÈÖÓÔÓ Þ Ò Ð Ø Ð µ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÑÓÒØÖ Þ¹ Ò Ð Óѹ ÔÐ Ü Ø ÔÓÙÖ Ð³ÙÒ Ó Ù Ó Üµ µ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ó µ ع Ð Ò PTIME ½º ß½ Ð Ø ß½ ½ ½ ½Ð ¾º Ó ½ Ì ÐÐ Ò ÒÓÑ Ö Ø µ n log 2 m Ó ¾ ÙÒ Ø Ð Ù Ø T m Ø Ø Ð ÕÙ T[i] = 1 i E ÓÒ Ð ÕÙ Ò Ø Ö Ø ½¼¼½½ ÔÓÙÖ {1,4,5} º Ì ÐÐ m º Ð Ó½ Ó ¾µ ÈÓÙÖ i = 1..m ÈÓÙÖ j = 1..m i j Ì E[j] == 1 ÐÓÖ s = s+j Ë s == i ÐÓÖ Ö ÒÚÓÝ Ö Ë Ê ÒÚÓÝ Ö ÆÓ Ð Ó¾ Ó ¾µ ÈÓÙÖ i = 1..m E[i] == 1 ÐÓÖ s = s+i
ÈÓÙÖ i = 1..m Ë E[i] == 1 Ì s i = i ÐÓÖ Ö ÒÚÓÝ Ö Ë Ð Ó Ó ½µ ÈÓÙÖ i = 1.. E s = s+e[i] ÈÓÙÖ i = 1.. E Ë s E[i] == E[i] ÐÓÖ Ö ÒÚÓÝ Ö Ë ÓÑÔÐ Ü Ø Ú Ó ¾ Ð Ó½ Θ(m 2 ln(m)º Ð Ó¾ Θ(m) = Θ(mln(m)) Ú Ó ½ Ð Ó Θ( E ln(m)) ÓÒÐÙ ÓÒ ³ Ø Ò ÈÌÁÅ º ÓÒ ÖÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÒ Ö Ô Ø¹ Ð ÔÐ Ò Ö º ËÓ Ø n Ð ÒÓÑ Ö ÓÑÑ Ø Ù Ö Ô º ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò O(n k ) ÕÙ Ö ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñ º ½µ Ä ÔÖÓ Ð Ñ Ø¹ Ð Ò ÈÌÁÅ ¾µ È ÙعÓÒ Ò Ù Ö ÙÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ö Ð ÔÓÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ ÓÒÒ Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò O(m k ) m Ø ÒØ Ð Ø ÐÐ Ð³Ó Ø ØÖ Ø ½º Ô Ò Ù Ó ÙØ Ð º ijÙÒ Ó ÑÓÒØÖ Ò ÓÙÖ Ñ ØÖ ³ Ò Ò µ ÒÓ Ø ÙÒ Ö Ô n ÓÑÑ Ø ÙÖ n = m 2 Ø º ÓÒ m = nº ij Ð Ó ÓÒØ ÓÒÒ ÓÒ Ò O(n k 2)º ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÈÌÁÅ º ¾º ÇÙ Ð Ó Ð³Ó Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð O(m k ) = PTIMEº º ÓÒ Ö Þ Ð ÔÖÓ Ö ÑÑ Ù Ú ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñº ÈÊÁÅ ÒØ Ö mµ ÈÓÙÖ i = 1...m 1 Ö Ë m ÑÓ ÙÐÓ i = 0 ÐÓÖ Ê ÒÚÓÝ Ö YES
½µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ö ÓÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÔÖ ¹ Ñ Ð Ø ¾µ ÉÙ ÐÐ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ m Ð Ø Ò O(m) µ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ø Ò ³ Ø ÒÚ ÖÓÒ log 2 m µ ÉÙ ÐÐ Ø Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ø ÐРг Ò Ø Ò ³ Ø ÓÒ O(2 m ) µ ÉÙ Ô ÙعÓÒ ÓÒÐÙÖ ÕÙ ÒØ Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÔÔ ÖØ Òع Ð ÈÌÁÅ ÓÙ ÈÌÁÅ Ø Ð Ó Ò³ Ø Ô ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ ÓÒ Ò Ô ÙØ Ô ÓÒÐÙÖ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò³ Ø Ô Ò ÈÌÁÅ ÔÙ ÕÙ³ Ð Ô ÙØ Ü Ø Ö Ð Ó ÔÐÙ Ô Ö ÓÖÑ ÒØ º ËÓ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð ³ ÒØ Ö Ö Ð Ø E Z ݹ ¹Ø¹ Ð Ô ÖÑ Ø Ò Ñ Ð ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÒÓÒ¹Ú ÓÒØ Ð ÓÑÑ Ø ÒÙÐÐ ÓÖÑ ÐÐ Ñ ÒØ X E, X, x X x = 0µº ½µ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ò Ø Ò Ë Ø ÙÒ Ò Ø Ò ÆÇ ÔÖÓ Ð Ñ º ¾µ ÈÖÓÔÓ Þ Ò Ð Ø Ð µ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÑÓÒØÖ Þ¹ Ò Ð Óѹ ÔÐ Ü Ø µ ÔÖÓ Ð Ñ Ø¹ Ð Ò PTIME ع Ð Ò PSPACE