ÓÙÖ ÒÓ Ä ½ ÚÖÖ ¾¼½¾ ÅØÑØÕÙ ÔÔÐÕÙ Ø ÒÙÑÖÕÙ ÄÒ ÔØ Ó Ò ÒÒ ¾¼½½¹¾¼½¾ ¾ Ñ ØÖ ÈÖ ÒØØÓÒ ÝÒØØÕÙ Ù ÓÙÖ ÂÒÚÖ ÂÙÒ ¾¼½¾ ÓÙÖ ÓÒÒ Ò 3 e ÒÒ ÄÒ ËÒ Ð ÔÐÒØ ÌÖÖ ÔÖ ÅÐ Ð Ø ÂÒ ÊÓÙÜ Ì ÔÖ ÅÓÑÓÙ ÐÐÓ ÓÐ ÒÓÖÑÐ ÙÔÖÙÖ ÈÖ
½ ÌÖÓ Ñ ÓÙÖ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ÙÜ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÖ º½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ä ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÓÖÒÖ Çµ ÔÖÑØØÒØ ÖÖ Ð ÐÒ ÒØÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ø ÖÚ Ò ÔÖØÙÐÖ Ð ÖÚ ÔÖÑÖ ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ð ØÙÜ ÒÑÒØ ÓÙ ÒÓÖ Ð ÚÐÓØ = f(), soi () = 0 f(ξ) ξ, ÕÙ Ø ÙÒ ÔÖÑØÚ f ÕÙ ³ÒÒÙÐ Ò 0 º ÉÙÐ ÕÙ ÓØ 0 Ð ÓÒØÓÒ 0 f(ξ) ξ Ø ÙÒ ÔÖÑØÚ f º ÈÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ ÓÒ Ò ÔÖ Ð ÝÑÓÐ f(ξ) ξ ÙÒ ÔÖÑØÚ ÕÙÐÓÒÕÙ f ÕÙ ³ÔÔÐÐ Ù ÙÒ ÒØÖÐ ÒÒ f º Ä ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÓÖÒÖ ÔÙÚÒØ ØÖ ÐÒÖ ÓÙ ÒÓÒ ÐÓÒ Ð ÒØÙÖ f º ÐÐ ÓÒØ ÔÖÓ ÔÔÐ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÓÖÒÖ ÐÖ Ö Ôº ÚØÓÖÐÐ µ ÔÓÙÖ ÒÕÙÖ ÕÙ Ð ÓÒ ÑÑÖ f() Ø ÚÐÙÖ Ò R Ö Ôº R n µº ijÓÖÖ Ù Ý ØÑ Ò Ð³ÓÖÖ Ð ÔÐÙ ÙØ ÖÚ Ð³ÕÙØÓÒº Á ÓÒ Ö ÙÒ ÕÙØÓÒ ³ÓÖÖ ÙÒº ÇÒ ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ ÖÑÒÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÖ ³ÓÖÖ n ÙÒ Ý ¹ ØÑ ³ÕÙØÓÒ ºº ÙÒ ÕÙØÓÒ ÚØÓÖÐе ³ÓÖÖ ÙÒ ¹ ÚÓÖ ÔÖÖÔ ºº Ä ÓÒØÓÒ f Ò³ Ø Ô ÓÖÑÒØ ÓÒÒ ÓÒ ÒÐÝØÕÙ Ò Ð ÔÔÐØÓÒ ÐÐ ÔÙØ Ò³ØÖ ÓÒÒ ÕÙ ÒÙÑÖÕÙÑÒØ Ò ÖØÒ ÔÓÒØ º º¾ ÜÑÔÐ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÓÖÒÖ ÍÒ ØÐÐ Ç Ø ÙÒ ÕÙØÓÒ ³ÚÓÐÙØÓÒ Ø ÓÒ ÒÓØ / ẋ. ÇÒ Ø ÕÙ Ð ØÑÔ Ø Ð ÚÖÐ ÒÔÒÒØ Ø Ð ÔÖÓÐÑ Ö ÓÙÖ Ø ÙÒ ÔÖÓÐÑ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÒØÐ f R n ÚÓÖ Ð ÙÖ º½ f Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÐÖµº ÙÜ ÜÑÔÐ ÑÔÐ ÓÒØ ÓÒÒ ÔÖ Ð ÕÙØÓÒ ÙÚÒØ ÑÙÒ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ (0) = 1 ẋ = () = e ẋ = a () = e a Ä ÓÐÙØÓÒ Ð ÔÖÑÖ ÕÙØÓÒ Ø ÑÓÒØÖ Ð ÙÖ º¾º
¾ 2 1.5 1 0.5 0 2 1 0 1 2 ÙÖ º½ ÈÖÓÐÑ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÒØÐ º ÙÖ º¾ ÓÒØÓÒ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÓÐÙØÓÒ ẋ = º ÓÒ ÔÐÙ ÒÖÐ ÓÒ ÑÔÓ (0) = 0 ÓÒ () = 0 e a. ØÝÔ ÔÖÓÐÑ ÚÐÙÖ ÒØÐ Ø ÔÔÐ ÔÖÓÐÑ ÙÝ Ú ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÐÖ Ö Ôº ÚØÓÖÐе Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒØÐ ÐÖ Ö Ôº ÚØÓÖÐеº ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓÐÑ ÙÝ Ð ÕÙ ØÓÒ ÕÙ ÔÓ ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ f ÒÖÐ ÓÒÖÒÒØ ØÓÙØ ³ÓÖ Ð³Ü ØÒ Ø Ð³ÙÒØ Ð ÓÐÙØÓÒº ÈÖ ÕÙ ÔÓÒØ (,) = ( 0, 0 ) Ô ¹Ø¹Ð ÙÒ Ø ÙÒ ÙÐ ÓÐÙØÓÒ ÍÒ ÙØÖ ÕÙ ØÓÒ ÒØÖ ÒØ Ø Ð ÕÙ ØÓÒ Ð ÖÙÐÖØ ÓÐÙØÓÒ Ø Ð ÔÒÒ ÓÐÙØÓÒ Ú ¹¹Ú ÔÖÑØÖ º Ò Ð ÔÖ ÒØ ¹ Ù Ð ØÑÔ Ò³ÒØÖ Ô ÓÒ ÜÔÐØ Ò Ð³ÖØÙÖ Ù ÓÒ ÑÑÖ Ð³ÕÙØÓÒº ÓÒØ Ý ØÑ Ù¹ ØÓÒÓÑ º Ë Ð ØÑÔ ÖÒØÖ ÜÔÐØÑÒØ Ò Ð³ÕÙØÓÒ ¹ Ø ÐÓÖ ÒÓÒ ÙØÓÒÓÑ ¹ Ø Õ٠гÓÒ ÙÒ ÔÖÑØÖ µ гÕÙØÓÒ ÚÒØ ẋ = f(,;µ). Ò Ð ÙØ ÓÙÖ ÓÒ Ú ÒÖÐ Ö Ò ÙÜ ÖØÓÒ Ð ÒÓÒ ÐÒÖ Ð Ý ØÑ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ R n µº º ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÓÐÙØÓÒ º º½ ËØÐØ ÇÒ ÔÖ ÒØ ÓÒ ÒØÙØÚ Ò ÓÒÒÖ ÒØÓÒ Ð ÒÓØÓÒ ØÐغ Ò Ð ÕÙØÓÒ ÔÖÒØ Ù ØÝÔ ẋ = a ÔÓÙÖ a > 0 lim () = ±, +
10 10 5 5 0 0 5 5 10 1 0.5 0 0.5 1 1.5 10 1 0.5 0 0.5 1 1.5 ÙÖ º ÓÑÔÓÖØÑÒØ Ò ØÐ ÔÓÙÖ a > 0 ÙÖ Ùµ Ø ØÐ ÔÓÙÖ a < 0 ÙÖ ÖÓصº Ä ÓÐÙØÓÒ ÔÓÙÖ 0 > 0 ÓÒØ Ò ØÖØ ÔÐÒ ÐÐ ÔÓÙÖ 0 < 0 ÓÒØ Ò ÔÓÒØÐÐ º ÐÓÒ ÕÙ 0 > 0 ÓÙ 0 < 0º Ä ÓÑÔÓÖØÑÒØ ØØ ÓÐÙØÓÒ Ø Ò Øк ÈÓÙÖ a < 0 Õ٠гÓÒ Ø 0 > 0 ÓÙ 0 < 0 lim () = 0; + Ð ÓÑÔÓÖØÑÒØ ØØ ÓÐÙØÓÒ Ø Øк Ë 0 Ò³ Ø Ô ÓÒÒÙ ÜØÑÒØ Ñ Õ٠гÓÒ ˆ 0 = 0 + ǫ () = ˆ 0 e a () = 0 e a + ǫe a. Ë a > 0 ÐÓÖ ÑÑ Ú ǫ ÔØØ ÓÒ ÒÖ ÐÓÒ Ð ÓÐÙØÓÒ ÖÖº ÈÖ ÓÒØÖ a < 0 ÓÒ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖÓº Ò Ð ØÐØ ÓÒ ÕÙÒ ÙÖ Ð³ÜØØÙ ÓÐÙØÓÒ º ÙÜ ÓÒØ ÔÒØ Ð ÙÖ º º ÒÒ Ò Ð ÔÖ ÒØ Ù ÕÙ³ Ð ÓÐÙØÓÒ Ü ØÒØ ÓÒØ ÙÒÕÙ Ð ³ ع¹Ö ÕÙ³ÐÐ ÓÒØ Ò C µ ÔÓÙÖ ØÓÙØ º º º¾ Ç ÐÐØÓÒ ÔÙÖÑÒØ ÔÖÓÕÙ Ú ÙÒ Ý ØÑ ÙÜ ÕÙØÓÒ Ó ÐÐØÓÒ ÔÙÚÒØ ÔÔÖØÖº Ò ÑÒÕÙ ³ Ø Ð Ð³Ó ÐÐØÙÖ ÖÑÓÒÕÙº Ò ẏ = ẋ = y. Ò ÖÚÒØ ÙÒ ÓÒ Ó ẋ ÓÒ ÓØÒØ º º½µ ẍ = ẏ =, ÓØ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÐÖ Ù ÓÒ ÓÖÖ ẍ + = 0.
1 0 1 0 4 8 12 16 ÙÖ º Ä ÓÐÙØÓÒ ẍ + = 0 sin Ò ØÖØ ÔÐÒµ Ø cos Ò ÔÓÒØÐÐ µº ÍÒ ÓÐÙØÓÒ ØØ ÕÙØÓÒ Ø 1 () = cos, e alors y 1 = ẋ 1 = sin. º º¾µ ÇÒ ÓÒ ØØ ÕÙ³ÙÒ ÙØÖ ÓÐÙØÓÒ ÔÓ Ð Ø 2 () = sin, e alors y 2 = ẋ 2 = cos. º º µ Ä ÓÐÙØÓÒ ÒÖÐ Ø Ð ÓÖÑ () = C 1 1 () + C 2 2 () = C 1 cos + C 2 sin. º ºµ ÇÒ ÓÒ ØØ ÕÙ y() = ẋ() = C 1 sin C 2 cos º ºµ Ä ÓÒ ØÒØ C 1 Ø C 2 ÓÒØ ÓÒÒ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ {((0),y(0) = ẋ(0))}º Ä ÓÐÙØÓÒ () Ø ÔÖÓÕÙ ÔÖÓ 2πº ijÙÒ ÓÐÙØÓÒ Ø Ò Ô π/2 ÔÖ ÖÔÔÓÖØ Ð³ÙØÖ ÓÒ ÔÙØ Ð ÚÓÖ Ð ÙÖ ºº Ä ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÓÒØ Ò ÕÙÖØÙÖ Ô ( 1 + π ) = 2 (). 2 ÈÐÙ ÒÖÐÑÒØ ÓØ Ð Ý ØÑ Ð ÓÐÙØÓÒ ÓÒØ ẏ = ω ẋ = ωy, () = cos(ω) y() = sin(ω). Ä ÔÖÓ Ð ÓÐÙØÓÒ Ù Ý ØÑ Ø ÐÓÖ 2π/ωº
= π 2 = π = 0 = 3π 2 ÙÖ º ÖÑÑ Ô ÓÐÙØÓÒ º º½µº ÙÖ º ËØÐØ ÒÙØÖ Ó¹ ÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ º º½µ Ò Ð³ Ô Ô º ε Ä³Ò ÑÐ ØØ Ð ÓÐÙØÓÒ ³ÙÒ Ç Ø ÔÔÐ Ô Ô º Ò ÙÜ ÚÖÐ Ð Ø Ð ØÖÖ ÙÖ ÙÒ ÖÔÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒØÐ ÓÒÒ ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØÓÒ Ò ÓÒØÓÒ Ð³ÙØÖ Ò ÔÖØÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÒØк ØÝÔ ÖÔÕÙ Ø Ò Ð ÔÐÒ ÚÖÐ ÒÔÒÒØ ÐÑÒØ ÔÔÐ ÔÐÒ Ô º ³ Ø ÙÒ ÖÑÑ Ô ¹ ÙÖ º ¹º Ò ÒÓØÖ ³ Ø Ð³ Ô ÚÖÐ {(,y)}º ÓÒ ÖÓÒ Ð ω = 1º ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠гÓÒ ÑÔÓ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ (0) = r Ø y(0) = 0º ÇÒ Ø ÕÙ ³ÔÖ º ºµ ÕÙ Ð ÓÐÙØÓÒ ÒÖÐ Ø () = C 1 1 () + C 2 2 () = C 1 cos + C 2 sin (0) = r ÑÔÐÕÙ C 1 = rº ÓÑÑ ÚÓÖ º ºµµ y() = C 1 sin C 2 cos y(0) = 0 ÒØÖÒ C 2 = 0º Ä ÓÐÙØÓÒ Ø ÓÒ () = r cos ÓØ y() = r sin Ø ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ ÓÒ (()) 2 + (y()) 2 = r 2, r ÔÒÒØ ÓÒ Ð ÓÒØÓÒ ÒØк Ä ÙÖ Ù ÖÑÑ Ô Ø ÙÒ ÖÐ ÖÝÓÒ r Ú Ð Ð ÙÖ ºº ÇÒ ÚÓØ ÕٳР³Ø ³ÙÒ ÑÓÙÚÑÒØ ÔÖÓÕ٠гÓÖØ Ø ÖÑ Ö 2 ( + T) + y 2 ( + T) = 2 () + y 2 () Ú T = 2π ÓÙ T = 2π/ω Ò Ð ÙÜ ÔÖÒØ Ò Ð ÔÐÒ Ô º ÓÒØ Ó ÐÐØÓÒ ÔÙÖÑÒØ ÔÖÓÕÙ º ÓÒÖÒÒØ Ð ØÐØ ÓÒ ÖÑÖÕÙ ÕÙ³Ú ÙÒ ÓÒØÓÒ ÒØÐ Òܹ Ø ÓØ (0) = r + ε Ø y(0) = 0 ÓÒ ÓØÒØ ÙÒ ÖÐ ÖÝÓÒ r = r + ε ÖÒغ ÁÐ ³Ø ³ÙÒ ØÐØ ÒÙØÖ ÐÐÙ ØÖ ÔÖ Ð ÙÖ ºº º º Ç ÐÐØÓÒ ÕÙ ¹ÔÖÓÕÙ Ò ÓÒ ÔÐÙ ÙÖ ÔÖÓ ω 1 ω 2 ØÐÐ ÕÙ ω 1 /ω 2 / Qº ³ Ø Ð Ð ÑÒÕÙ Ð Ø Ø Ð ÜÔÐÕÙ Õ٠гÓÒ Ò³Ø Ñ ÜØÑÒØ Ð ÑÑ ÓÒÓÒØÙÖ ÙÒ Ø ÓÒÒÙ ÔÖ Ð ÚÐ ØÓÒ ÒÒÒ ³ Ø ³ÑÖÕÙº ÁÐ ÙØ Ù ÑÒÑÙÑ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙØÓÒÓÑ ÔÖÑÖ ÓÖÖ ÔÓÙÖ ÚÓÖ ÓÑÔÓÖØÑÒغ
º º ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÓØÕÙ ÌÓÙ Ð Ý ØÑ ÔÖÒØ ÓÒØ Ø ØÖÑÒ Ø Ð ÓÒØÓÒ Ò¹ ØÐ Ø ÓÒÒ Ð ÓÐÙØÓÒ Ø ÓÒÒÙ ÓÙ ÐÙÐÐ ÓÒ ÔÖØÐ ÔÖØÖ ØØ ÓÒØÓÒº Å Ð Ü Ø Ý ØÑ ØÖÑÒ Ø Ò Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÒØÐ ØÐ ÕÙ³ÙÒ ØÖ Ð ÖÖÙÖ ÙÖ Ð ÓÒÒ ÒØÖÒ ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÑÔÖØÐ º ³ Ø Ð Ó ØÖÑÒ Ø ¹ ÑÓÐ ÄÓÖÒÞº º º ÜÔÐÓ ÓÒ Ò ØÑÔ Ò Ä Ý ØÑ ÐÒÖ ÓÒØ ÓÒ ØÒØ ÓÒØ ÓÐÙØÓÒ ÖÙÐÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÖÐ Ò ÔÖØÙÐÖ ÐÐ ÓÒØ C º Ë ÓÒ ÖÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÒÓÒ ÐÒÖ ÑÔÐ ÓÒ ÔÙØ ÓØÒÖ ÓÑÔÓÖØÑÒØ ÔÐÙ ÔÖÓÐÑØÕÙ º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÐÙØÓÒ Ø ẋ = 2, (0) = 1, () = 1 1, Ø ÓÒ lim 1 () = + º ÇÒ ÖÚÒÖ ÙÖ ØØ ÕÙØÓÒ Ù ÓÙÖ ÒÓ ÔÖÖÔ º¾º¾º Ò ÓÒ Ø ÕÙ³Ð Ý ÜÔÐÓ ÓÒ Ò ØÑÔ Ò Ò Ø ÓÒ ÚÐÙÖ ÒÒ Ð ÓÐÙØÓÒ ÔÓÙÖ Òº Ù Ð ÔÖ Ò ØØ ÒÙÐÖØ ÓÒ Ò ÔÙØ Ô ÓÒØÒÙÖ Ð ÓÐÙØÓÒ Ù¹Ð = 1º Ä ÙÖ Ú Ð ÓÐÙØÓÒ Ò³ Ø Ô ØÓÙØ Ð³ÒØÖÚÐÐ ], [ ÙÖ ºµº Ò Ð Ý ØÑ ÐÒÖ ÓÒØ ÓÒ ØÒØ Ð ÙÖ Ú Ø ÒÒº Ä Ý ØÑ ÔÓÙÖ Ð ÕÙÐ ØØ ÙÖ Ú Ø ÒÒ ÓÒØ ÔÔÐ ÓÑÔÐØ º ÍÒ ÙØÖ ÔÖÓÐÑ ÑÐÖ Ø Ð ÔÖØ ÖÚº Ò Ð ÓÐÙØÓÒ Ò ÓÒØ Ô C Ð ÔÙØ Ý ÚÓÖ ÒÙÐÖØ ØÝÔ ÓÒØÒÙØ ÐÐÑÒغ º ÈÖ ÒØØÓÒ ÒØÙØÚ Ð ÒÓØÓÒ ÑÔ ÚØÙÖ Ø ÓÙÖ ÒØÖÐ Ä ØÖÑÒÓÐÓ ÑÔ ÚØÙÖ Ø ÐÐ ÙØÐ ÔÖ Ð ÔÐ Ø Ý ØÑ ÝÒÑÕÙ º ÓÑÑ Ð Ý ØÑ ÝÒÑÕÙ ÓÒØ ÓÑÒÔÖ ÒØ Ò Ð Ó Ò ØØ ÒÓØÓÒ ÕÙ ÔÙØ ÑÐÖ ÙÒ ÔÙ ØÖØ ÔÖÑ ÓÖ ÓØ ÚÒÖ Ù ÙÐк ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÓÒØÓÒ g Ò ÙÖ ÙÒ ÓÙÚÖØ U R n ÚÐÙÖ Ò R n Ø Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ẏ() = g(y())º Ë ϕ Ø ÙÒ ÓÐÙØÓÒ Ù ÔÓÒØ (,ϕ()) Ù ÖÔ ϕ ÓÒ ÔÙØ ÓÖ Ð ÓÑÔÓ ÒØ Ù ÚØÙÖ ÚØ ϕ() = g(ϕ())º ü ÕÙ ÔÓÒØ Ù ÖÔ ÓÒ Ó ÓÒ ÙÒ ÖØÓÒ
20 15 10 5 0 5 10 15 20 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ÙÖ º ÜÔÐÓ ÓÒ Ò ØÑÔ Ò ÔÓÙÖ = 1 ÔÓÙÖ Ð ÓÐÙØÓÒ ẋ = 2 Ø ÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÒØÐ (0) = 1º ÙÖ º ÑÔ ÚØÙÖ ÙÖ ÙÒ ÓÑÒ R 2 º ÓÒÒ ÔÖ Ð ÓÑÔÓ ÒØ g(ϕ()) ÕÙ ÔÔÖØ ÓÑÑ ÙÒ ÚØÙÖº Ä ÓÒ ÑÑÖ g гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ø ÓÒ ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ ÔÒÒØ º ÈÖ ÜÑÔÐ ÓØ Ð Ý ØÑ Ò ÑÒ ÓÒ ÙÜ { y1 () = g 1 (y 1 (),y 2 ()) y 2 () = g 2 (y 1 (),y 2 ()) ºº½µ Ð ÑÔ ÚØÙÖ ÙÖ ºµ Ó Ø Ð ÑÔ ÚØÙÖ g = (g 1,g 2 ) T ÒÖÐÑÒØ ÒÓØ Xº Ä ÒØÓÒ ³ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ Ò ÙÒ Ò ÑÓÒ ÐÑÒØÖ Ò Ø ÙÒ ÓÙØÐÐ ÑØÑØÕÙ ÓÖ ÔÖÓÖÑѺ ÒÓØÓÒ ÓÒØ ÚÐÓÔÔ Ò Ð ÓÑÔÐÑÒØ Ò ÐÒ Ù ÐÚÖº ÇÒ ÔÙØ ÑÒØÒÒØ ÒÖ Ð ÓÙÖ ÒØÖÐ ³ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ º
ÒØÓÒ ºº½º ËÓØ ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ ÚÐÙÖ Ò ÙÒ ÓÙÚÖØ U R n Ð ÓÐÙØÓÒ ϕ() гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ẋ = X() dϕ () = X(ϕ()) d ºº¾µ Ø ÙÒ ÓÙÖ ÖÒØÐ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÙÚÖØ I R ÚÐÙÖ Ò U º ³ Ø Ð ÓÙÖ ÒØÖÐ Ù ÑÔ ÚØÙÖ Ó٠гÕÙØÓÒ ÖÒØÐеº º ÓÖÑÙÐØÓÒ ÒÖÐ Ù ÔÖÓÐÑ ÓÒØÒÙ ÊÔÔÐÓÒ ÕÙ³ÙÒ ÓÒØÓÒ f Ø Ø Ð C k ÐÐ ÑØ ÖÚ ÔÖØÐÐ ÓÒØÒÙ Ù ÕÙ³ гÓÖÖ kº ÓÒ ÖÓÒ ÙÒ ÓÙÚÖØ U R 1+pl+m = R R p R p R m Ø ÙÒ ÔÔÐØÓÒ F Ð C k U ÚÐÙÖ Ò R p. ÇÒ ÔÙØ ÓÖ ØØ ÔÔÐØÓÒ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ϕ (l) = F(,ϕ(),,ϕ (l 1) (),µ), ºº½µ Ó ϕ(), ÔÔÐ ÓÐÙØÓÒ ºº½µ Ø ÙÒ ÓÒØÓÒ ÚØÓÖÐÐ Ò ÙÖ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÓÙÚÖØ I, ÚÐÙÖ Ò R p Ø l Ó ÖÒØÐ ϕ (s) = d s ϕ/d s ÔÓÙÖ 1 s l Ø µ Ø ÙÒ ÔÖÑØÖ Ò R m º Ò ÒØÖÓÙ ÒØ Ð Óѹ ÔÓ ÒØ ÙÖ R p, гÕÙØÓÒ ÚØÓÖÐе ºº½µ Ø ÕÙÚÐÒØ ÙÒ Ý ØÑ ÖÒØÐ p ÕÙØÓÒ Ò ÑÒ ÓÒ 1 ³ Ø ÙÒ ØÖÑÒÓÐÓ ÒÒÒ ÒÓÙ ÔÖÐÖÓÒ ÔÐÙØØ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ò ÑÒ ÓÒ p ÓÑØØÒØ Ð ÕÙÐØ ÚØÓÖÐеº ÒØÓÒ ºº½º Ä ÒÓÑÖ p Ø Ð ÑÒ ÓÒ Ð³ÕÙØÓÒº ÇÒ Ø ÕÙ³ÐÐ Ø ³ÓÖÖ l ÔÓÙÖ ÒÕÙÖ Ð³ÓÖÖ ÑÜÑÙÑ ÖÒØÐØ Ò ÔÖع ÙÐÖ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ³ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ Ø ³ÓÖÖ 1 ÔÖ ¹ ÒØÓÒµº Ë F Ò ÔÒ Ô Ù ØÑÔ ÔÒÒ ØÖÚÐ µ ÓÒ Ø Õ٠гÕÙØÓÒ Ø ÙØÓÒÓѺ ÍÒ ÕÙØÓÒ ÒÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ø ÓÒ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÔÒÒØ ÒÓÒ ØÖÚÐÑÒØ Ù ØÑÔ º ÒÒ µ Ò ÙÒ Ý ØÑ m ÔÖÑØÖ Ð ÒÓÑÖ m ÔÒ Ù ÑÓÐ Ð ÔÙØ ÑÑ ÕÙ m = 0µº ÈÓÙÖ ÕÙ ÚÐÙÖ µ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ø ÐÓÖ Õ٠гÕÙØÓÒ ÔÒ ÒÓÒ ØÖÚÐÑÒØ ³ÙÒ ÔÖÑØÖ ÓÒ Ø ÓÙÚÒØ Õ٠гÓÒ Ö ÙÒ ÑÐÐ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ º ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³ÙÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÒÖÐ Ù ØÝÔ ºº½µ ÖÑÒ ØÓÙÓÙÖ ÓÖÑÐÐÑÒØ Ð³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ³ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ X ³ ع¹Ö ÙÒ Ý ØÑ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ³ÓÖÖ 1º ÑÔ X Ø ÒÖÐÑÒØ ÒÓÒ ÐÒÖ Ñ Ð ÔÙØ ØÖ ÓÒ ØÖÙØ Ù¹ ØÓÒÓÑ Ø Ò ÔÖÑØÖ º ÁÐ ÙØ ÔÓÙÖ Ð ÖÓÙØÖ ÚÖÐ ÙÔÔÐÑÒØÖ Ò Ð³ Ô ³ÖÖÚ Ð ÓÒØÓÒ ÒÓÒÒÙ Ò ÕÙ ÐÒ ÙÔÔÐÑÒØÖ ³ÕÙØÓÒº ÈÖ ÑÒØ ÓÒ ÒØÖÓÙØ ÙÒ Ý ØÑ
³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ù ÔÖÑÖ ÓÖÖ Ó Ð ØÑÔ Ø Ò ÔÖ τ ÔÓÖØÒØ ÙÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ τ ((τ),µ(τ),ϕ 0 (τ),,ϕ l 1 (τ)) T : d dτ = 1 dµ dτ = 0 dϕ 0 dτ = ϕ 1 dϕ 1 dτ = ϕ ºº¾µ 2 º dϕ l 1 dτ = F(,ϕ 0,ϕ 1,,ϕ l 1,µ) Ó ϕ 0 ÓÙ Ð ÖРгÒÓÒÒÙ ÒØÐ ϕ Ò ºº½µº ØØ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ºº¾µ Ø ÐÐ ³ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ X = (1,0,ϕ 1,ϕ 2,,ϕ l 1,F) T ÙÖ Ð³ÓÙÚÖØ U Ø Ð³ÕÙØÓÒ ºº½µ ³ÖØ dψ (τ) = X(ψ(τ)), dτ ºº µ ÁÐ Ý ÙÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÙÒÚÓÕÙ ÒØÖ Ð ÓÙÖ ÒØÖÐ ºº¾µ Ø Ð ÓÐÙØÓÒ ºº½µº Ò Ø ϕ() Ø ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ºº½µ Ð Ø ÑÑØ ÚÓÖ ÕÙ ψ(τ) = (τ,µ(τ),ϕ(τ),ϕ (1) (τ),,ϕ (l 1) (τ)) T Ø ÙÒ ÓÙÖ ÒØÖÐ ºº¾µº ÁÒÚÖ ÑÒØ ψ(τ) Ø ÙÒ ÓÙÖ ÒØÖÐ ºº¾µ = τ ÙÒ ÓÒ ØÒØ ØÚ ÔÖ µ(τ) Ø ÓÒ ØÒØ Ø Ð Óѹ ÔÓ ÒØ ϕ 0 () Ø ÓÐÙØÓÒ ºº½µ Ö Ð ÓÑÔÓ ÒØ ϕ i ÓÒØ Ð ÖÚ Ù Ú ϕ 0 Ò Ö ÓÒ ÖÒÖ ÐÒ ºº¾µ гÜÔØÓÒ Ð ØÓÙØ ÖÒÖ ÒÒ Ð Ù ØØÙØÓÒ ÓÒØÓÒ Ò Ð ÖÒÖ ÐÒ ÓÒÒ ÔÖ ÑÒØ Ð³ÕÙØÓÒ ºº½µº Ò Ø Ð ÙØ ÓÒ ÓÒ ÖÖ ÙÐÑÒØ Ð ÙØÓÒÓÑ Ø ÙÒ Ý ¹ ØÑ Ù ÔÖÑÖ ÓÖÖ Ö ÓÒ ÔÙØ ØÓÙÓÙÖ ³Ý ÖÑÒÖº Ò ÖÔÖÒÒØ Ð ÒÓØØÓÒ Ù ÙÐÐ Ð ÙØ ÓÒ ÓÒ ÖÖ Ù ÐÙ ºº½µ гÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ÙØÓÒÓÑ d d = X(), ººµ Ó X Ø ÙÒ ÑÔ ÚØÙÖ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò R n ÚÐÙÖ Ò R n Ú n = 1 + pl + mº ³ Ø Ð ÒÓØØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÙØÐ Ò Ð ØÓÖ Ý ØÑ ÝÒÑÕÙ º ÇÒ ÙØÐ ÒÖÑÑÒØ Ò ÕÙ ÙØ Ð ÒÓØØÓÒ X ÑÔ ÚØÙÖ ÓÙ Ð ÒÓØØÓÒ Ð ÕÙ f ÔÓÙÖ ÒÖ ÙÒ Ý ØÑ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ ³ÓÖÖ ÙÒº Ò Ð Ö R n Ò ÐÕÙÐ ÒÓÙ ÒÓÙ ÔÐÓÒ ÒÓØØÓÒ ÓÒØ ÕÙÚÐÒØ º