kl03.dvi

ÏÓÐ Ò Ãº Ë Ð Ö Ì Ðº 255 ÑÑ Ö ¾¼½ Themenvorschläge für die kleinen Übungen am 4.-5. März 203 µ F R 2 R ÙÒ f,g R R Ò «Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òº Ò Ë F ( f(x),g(y) ) ( ( ) Fx f(x),g(y) f ) (x) = ( ) F y f(x),g(y) g (y) Lösung: ÙÒ Ø ÓÒ R 2 R 2 Ñ Ø (x,y) ( f(x),g(y) ) ( ) Ø «Ö ÒÞ Ö Ö Ñ Ø Â Ó ¹ f Å ØÖ Ü J(x,y) = (x) 0 0 g Â Ó ¹Å ØÖ Ü ÚÓÒ F Ø Ò ØĐÙÖÐ (y) J F (x,y) = ( F x (x,y),f y (x,y) ) º Æ Ö Ã ØØ ÒÖ Ð Ø Â Ó ¹Å ØÖ Ü Ö ÞÙ ÑÑ Ò ØÞØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ J F (x,y) J(x,y) = ( F x ( f(x),g(y) ) f (x),f y ( f(x),g(y) ) g (y) ) Ö Ö ÒØ Ð Ó Ö ÞÙ ĐÓÖ ËÔ ÐØ ÒÚ ØÓÖº µ Ï Ø F ( f(x) + g(y),f(x) g(y) ) Lösung: À Ö ÑĐÙ Ò Û Ö ÒØ ÔÖ Ò Ð ÙÒ R 2 R 2 Ñ Ø (x,y) ( f(x) + g(y),f(x) g(y) ) ( ) f ØÖ Ø Ò Ö Â Ó ¹Å ØÖ Ü Ø J(x,y) = (x) g (y) f (x) g º ËÓÑ Ø Ø (y) ( ( ) J F (x,y) J(x,y) = F x f(x) + g(y),f(x) g(y) f ( ) (x) + F y f(x) + g(y),f(x) g(y) f (x), ( ) F x f(x) + g(y),f(x) g(y) g ( ) ) (y) F y f(x) + g(y),f(x) g(y) g (y) Ð Ó F ( f(x) + g(y),f(x) g(y) ) ( ( ) ( ) Fx f(x) + g(y),f(x) g(y) f (x) + F = y f(x) + g(y),f(x) g(y) f ) ( ) ( ) (x) F x f(x) + g(y),f(x) g(y) g (y) F y f(x) + g(y),f(x) g(y) g (y) (xy) 5 µ Á Ø ÙÒ Ø ÓÒ f R 2 R Ñ Ø f(x) = ÐÐ x 2 + y 2 (x,y) (0,0) 0 ÐÐ (x,y) = (0,0) Ö Ø Ø «Ö ÒÞ Ö Ö Ø Ø «Ö ÒÞ Ö¹ Lösung: Æ ØĐÙÖÐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò ÙÒ Ð (0,0) Ø Ø ÒÒ ÓÖØ Ø Ò Ò ÉÙÓØ ÒØ ÞÛ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ö Æ ÒÒ Ö Ú Ö Û Ò Ø Ò Øº ÙÑ Æ Û Ö ËØ Ø Ø Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Ø ÑĐÙ Ò Û Ò Û Ö f(0,0) = 0 Þ Ò ÞÙ Ñ ε > 0 Ò δ > 0 Ò δ > 0 Ø Ó f(x,y) < ε Ø ÐÐ x ÙÒ y Ð Ò Ö δ Ò º ĐÙÖ x = 0 Ø f(0,y) = 0 ĐÙÖ ÐÐ y ÈÙÒ Ø Ò Ð Ó ÔÖÓ Ð ÑÐÓ º ĐÙÖ y 0 Ø f(x,y) = (xy) 5 x 2 + y 2 = x 3 y 5 + ( ) y 2 x 3 y 5 º x Ë ØÞ Ò Û Ö δ = 8 ε Ø Ð Ò Ö δ 8 = ε Û ÒÒ ÓÛÓ Ð x < δ Ð Ù y < δ غ

ĐÙÖ (x,y) (0,0) Ø ĐÙÖ (x,y) = (0,0) Ø f x (x,y) = 5(x2 + y 2 )x 4 y 5 2x 6 y 5 (x 2 + y 2 ) 2 = 3x6 y 5 + 5x 4 y 7 (x 2 + y 2 ) 2 f x (0,0) = Ð Ñ h 0 f(h,0) f(0,0) h 0 = Ð Ñ h 0 h = 0 º ÎĐÓÐÐ Ò ÐÓ ÞÙÑ Û Ö ËØ Ø Ø ÒÒ Ñ Ò Þ Ò Ù Ð Ñ (x,y) (0,0) f x(x,y) = 0 Ø ÙÒ Ø ÛĐÓÖØÐ Ð Ö ÙÑ ÒØ Þ Ø Ù f y (0,0) = 0 = Ð Ñ (x,y) (0,0) f y(x,y) غ ËÓÑ Ø Ø f Ø Ø «Ö ÒÞ Ö Ö Ñ Ø ( 3x 6 y 5 + 5x 4 y 7 f(x,y) = (x 2 + y 2 ) 2, 5x7 y 4 + 3x 5 y 6 ) (x 2 + y 2 ) 2 ÙÒ f(0,0) Ø Ö ÆÙÐÐÚ ØÓÖº ÐÐ (x,y) (0,0) µ ÁÒ Û Ð Ò ÈÙÒ Ø Ò ÐĐ Ø Ð ÙÒ x + Ò xy = y + Ó (x + y) Ò y Ù ÐĐÓ Ò Lösung: Æ Ñ Ë ØÞ ĐÙ Ö ÑÔÐ Þ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò Ò Ò Ò x 0 + Ò x 0 y 0 = y 0 + Ó (x 0 + y) 0 Ø ÙÒ Ù Ö Ñ Ô ÖØ ÐÐ Ð ØÙÒ Ò y Ö «Ö ÒÞ Ö Ë Ø Ò Ò Ø Ú Ö Û Ò Ø º º x 0 Ó x 0 y 0 Ò(x 0 + y 0 )º µ f R R Ò «Ö ÒÞ Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒº Ï ÒÒ ÐĐ Ø Ð ÙÒ y = f(x) Ò Ò Ö ÍÑ ÙÒ ÈÙÒ Ø (x 0,y 0 ) Ò x Ù ĐÓ Ò Ï Ð Ð ØÙÒ Ø Ö ÐØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ x = g(y) Ò y 0 Lösung: Ð ÙÒ F(x,y) = f(x) y ÐĐ Ø Ò (x 0,y 0 ) Ò x Ù ÐĐÓ Ò Û ÒÒ F(x 0,y 0 ) = 0 Ø º º y 0 = f(x 0 ) ÙÒ Û ÒÒ F x (x 0,y 0 ) = f (x 0 ) Ò Ø Ú Ö Û Ò Øº µ Ò Ò Ë ÐÓ Ð Ò ÜØÖ Ñ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x,y) = x 3 + y 3 + 9xy 36 Lösung: ÁÒ Ñ ÐÓ Ð Ò ÜØÖ ÑÙÑ Ú Ö Û Ò Ø Ö Ö ÒØ ÚÓÒ f Ð Ó Ú Ö Û Ò Ò f x (x,y) = 3x 2 + 9y ÙÒ f y (x,y) = 3y 2 + 9x º ÁÒ ÓÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò Ø Ð Ó x 2 = 3y ÙÒ y 2 = 3xº ËÓÑ Ø Ø Ò Ñ Ö ÈÙÒ Ø x 4 = 9y 2 = 27x º º x 4 + 27x = x(x 3 + 27) Ú Ö Û Ò Øº Ô ÖØ ĐÙÖ x = 0 ÙÒ x = 3 Û Ö ÑĐÙ Ò Ð Ó Ò Đ ÐÐ ÙÒØ Ö Ù Òº Á Ø x = 0 Ó Ú Ö Û Ò Ø Ù y Û Ö Ò Ò ÙÒ Ð Ó Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Øº f(x,0) = x 3 36 Ò ÒÙÐÐ ÓÛÓ Ð ÖĐÓ Ö Ð Ù Ð Ò Ö Ï ÖØ Ð f(0,0) = 36 ÒÒ ÑÑØ Ò Û Ö Ö Û Ö Ò ÐÓ Ð Å Ü ÑÙÑ ÒÓ Ò ÐÓ Ð Å Ò ÑÙѺ ĐÙÖ x = 3 Ø Ù y = 3 ÙÒ f( 3+h, 3+k) = 9 9(h 2 hk+k 2 )+h 3 +k 3 = 9 9(h 2 hk+k 2 )+o ( Ñ Ü(h,x) ) º ( h 2 hk + k 2 = h k ) 2 + 3 2 4 k2 0 ĐÙÖ ÐÐ (h,k) Ø f Ò ( 3, 3) Ò ÐÓ Ð Å Ü ÑÙѺ µ Ñ Í Ö Ò Ö Ð Ò Ò ÙÒ Ö Ò ÐÙ ÓÐÐ Ò Ö Ø ĐÓÖÑ ÖÙÒ ØĐÙ Ò ÞĐ ÙÒØ Û Ö Òº Ï ÖÓ ÒÒ ÖÙÒ ØĐÙ ĐÓ Ø Ò Ò Û ÒÒ ÞÙ ÙÒ ÖØ Å Ø Ö ÙÒ ÞÙÖ Î Ö ĐÙ ÙÒ Ø Ò ÙÒ ÞÙÖ ÐÙ Ø Ò Ò Ø Ò ÞĐ ÙÒØ Û Ö

Lösung: Ö ÙÒ Ô Ö ÐÐ Ð ÞÙÑ ÐÙ Ò Å Ø ÖÒ Ù ÖĐÙ Ø ÄĐ Ò y ÙÒ Ò Ñ Ø Ò x ÚÓÑ ÐÙ º ÒÒ Ø ÄĐ Ò ÙÒ y+2x = 00 ÙÒ ÙÑÞĐ ÙÒØ ÐĐ Ø xy = x(00 2x) = 00x 2x 2 º Ð ØÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò x Ø 00 4x Å Ü ÑÙÑ Û Ö Ð Ó ÖÖ Ø x = 25 ÙÒ y = 50º ÙÑÞĐ ÙÒØ ÐĐ Ø 25 50 = 250 ÉÙ Ö ØÑ Ø Öº µ Ø ÑÑ Ò Ë Å Ü Ñ ÙÒ Å Ò Ñ ÚÓÒ f(x,y) = xy Ù Ö ÃÖ Ð Ò x 2 + y 2 = Lösung: ÁÒ Ò ÈÙÒ Ø Ò ÑĐÙ Ò Ö ÒØ Ò ÚÓÒ f ÙÒ g(x,y) = x 2 + y 2 Ð Ó f(x,y) = ( ) ( y x ÙÒ g(x,y) = 2x 2y) Ð Ò Ö Đ Ò Ò º º 2y 2 = 2x 2 Ó Ö y = ±xº ÈÙÒ Ø Ù Ö ÃÖ Ð Ò Ð Ò ÑĐÙ Ò Ø ÒÒ x 2 = y 2 = 2 Ð Ó x = ± 2 2 ÙÒ y = ± 2 2 ÐÐ Ð ÎÓÖÞ Ò Ò Ø f(x,y) = 2 Ú Ö Ò Ò ÎÓÖÞ Ò Ø f(x,y) = 2 º ËÓÑ Ø Ò Û Ö Å Ü Ñ Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò ( 2 2, 2 2) ÙÒ ( 2 2, 2 2) Å Ò Ñ ( 2 2, 2 2) ÙÒ ( 2 2, 2 2)º µ Ø ÑÑ Ò Ë Å Ü Ñ ÙÒ Å Ò Ñ ÚÓÒ f(x,y,z) = xyz Ù Ö ÃÙ ÐÓ Ö Đ x 2 + y 2 + z 2 = Lösung: Ö ÒØ Ò ÚÓÒ f ÙÒ g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 Ò f(x,y,z) = yz xz ÙÒ g(x,y,z) = 2x 2y º xy 2z Ö Ö ÒØ ÚÓÒ g Ú Ö Û Ò Ø ÒÙÖ Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Ø Ö Ò Ø Ù Ö ÃÙ ÐÓ Ö Đ Ð Ø Ö Ò Ò Ö ÒØ Ò Ò Ù ÒÒ Ð Ò Ö Đ Ò Û ÒÒ Ò λ R Ø Ñ Ø f(x,y,z) = λ g(x,y,z) º º yz = λx, xz = λy ÙÒ xy = λz º f Ú Ö Û Ò Ø Û ÒÒ Ò Ö Î Ö Ð Ò ÒÙÐÐ Ø Ò Ò Ò ÜØÖ Ñ ÐÐ Î Ö Ð Ò ÙÒ Ð ÒÙÐÐ Û Ö ĐÓÒÒ Ò Ð Ó Ò λ Ù ÐĐÓ Ò ÙÒ Ö ÐØ Ò λ = yz x = xz y = xy Ó Ö y 2 z 2 = x 2 z 2 = x 2 y 2 º z Ò Ö Î Ö Ð Ò Ú Ö Û Ò Ø ÓÐ Ø Ö Ù x 2 = y 2 = z 2 Ø Ò Ò ÜØÖ Ñ Ò Ð Ó ÐÐ Î Ö Ð Ò Ò Ð Ò ØÖ º ÈÙÒ Ø Ù Ö ÃÙ ÐÓ Ö Đ Ð Ò Ø Ö ØÖ 3 3 Û Ö ÓÑÑ Ò Ø ÈÙÒ Ø ( ) 3 3 3 ± 3, ± 3, ± º 3 ÐÐ ÞÛ Ó Ö Ò Å ÒÙ Þ Ò Ù ØÖ Ø Ò Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ ÔÓ Ø Ú Û Ö Ò Ð Ó Å Ü Ñ ÓÒ Ø Å Ò Ñ º µ Ø ÑÑ Ò Ë Ò Å Ü Ñ ÐÛ ÖØ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f(x,y) = Ó 2 x+ó 2 y ÙÒØ Ö Ö Æ Ò ¹ Ò ÙÒ x 2 + y 2 Lösung: ÐÐ Å Ü ÑÙÑ Ñ ÁÒÒ ÖÒ Ö ÃÖ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ú Ö Û Ò Ø ÓÖØ Ö Ö ÒØ ÚÓÒ f º º 2 Ó x Òx = 0 ÙÒ 2 Ó y Ò y = 0º ËÓÑ Ø ÑÙ x = 2 kπ ÙÒ y = 2 lπ ĐÙÖ k,l Zº x2 + y 2 < Ò ÓÐÐ ÙÒ 2π > Ø ÓÑÑ Ò ÒÙÖ k = l = 0 Ò Ö Ð Ó x = y = 0 ÙÒ f(0,0) = 2 Ø Ó«Ò ØÐ Ö ÖĐÓ Ø Ï ÖØ Ò f ÒÒ Ñ Ò ÒÒº µ Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ ÈÙÒ Ø Ò Ö Ó«Ò Ò ÃÖ x 2 +y 2 < 3/2 Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x,y) = Ò 2 (x + y) + Ó 2 (x y) Ö ÓÐÙØ Å Ü ÑÙÑ ÒÒ ÑÑØ Lösung: f(x,y) = ( ) 2 Ò(x + y) Ó (x + y) 2 Ó (x y) Ò(x y) 2 Ò(x + y) Ó (x + y) + 2 Ó (x y) Ò(x y)

Ú Ö Û Ò Ø Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ Ò(x + y) Ó (x + y) = Ò(x y) Ó (x y) = 0 Ø º º x ± y ÑĐÙ Ò Î Ð ÚÓÒ 2 π Ò ÙÒ Ñ Ø x ÙÒ y Î Ð ÚÓÒ 4πº ĐÙÖ ÈÙÒ Ø Ñ Ò Ø Ö ÓÑÑ Ò ÒÙÖ 0 ÙÒ ± 4π Ò Ö º ÐÐ Ò Ö Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ú Ö Û Ò Ø Ò ÑÑØ f(x,y) Ò Ï ÖØ Ò Ò Ò ØÖ ± π ÙÒ Ò Ð 4 Ö ÐØ Ò Û Ö Ò Ó«Ò ØÐ Ò Ø ĐÙ Ö Ø Ö Ò Ï ÖØ ÞÛ ÙÒ Ú Ö Ò Ñ ÎÓÖÞ Ò Ð Ð Ò Ï ÖØ ÒÙÐк ÓÐÙØ Å Ü ÑÙÑ Û Ö Ð Ó Ò Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò ±( 4 π, 4π) Ò ÒÓÑÑ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ò Ñ ÈÙÒ Ø Ò Ø ÞÛ º е Ø Ù ÈÙÒ Ø Ù Ö ÃÖ Ð Ò x 2 + y 2 = 3/2 Ò Ò Ò Ö Ï ÖØ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Lösung: Æ Ò ÒÒ Ø f(x,y) = 2 Ó ÑÙ Ó (x y) = ± Ò x ÙÒ y ÑĐÙ Ò Ð Ó ÙÑ Ò ÒÞÞ Ð Î Ð ÚÓÒ π ÙÒØ Ö Òº Ø Ñ ÃÖ Ñ Ø Ê Ù 3/2 ÒÙÖ ÑĐÓ Ð ĐÙÖ x = y ÒÒ Ø f(x,x) = Ò 2 (2x) + º Ñ Ø Ð ÞÛ Ø ÑĐÙ Ø 2x Ò Ð Þ Ð Î Ð ÚÓÒ π/4 Ò Ö ĐÙÖ ÓÐ ÈÙÒ Ø Ø 2x 2 3/2º ѵ Ö Ò Ë Å Ò M = {(x,y) R 2 x 2 } 4 + y2 9 ÓÑ ØÖ Lösung: Ø Ò ÐÐ Ô Ñ Ø À Ð Ò ÞÛ ÙÒ Ö º Òµ Ø ÑÑ Ò Ë Å Ü Ñ ÙÒ Å Ò Ñ ÚÓÒ f(x,y) = x 2 + y 2 2y Ò M Lösung: f(x,y) = ( 2x 2y 2) Ú Ö Û Ò Ø Ñ ÈÙÒ Ø (0,) ÓÖØ Ø f(0,) = º f(x,y) = x 2 + (y ) 2 Ø Ð Ø Ö ÓÐÙØ Å Ò ÑÙѺ ÆÙÒ ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ê Ò Ö ÐÐ Ô º Ö Ö ÒØ ÚÓÒ g(x,y) = x2 4 + y2 9 ( Ø 2 x ) 2 Ö Ù Ñ Ê Ò Ö ÐÐ Ô Ò Ö Ò Ú Ö Û Ò Ø ÑÙ Ò Ò Ñ ÜØÖ ÑÙÑ 9 y Ò λ R Ò Ó 2x = λ x ÙÒ 2y 2 = λ 2y 2 9 º Ï ÒÒ Û Ö ÐÐ Ñ Ø x ÞÛº y Ø Ø Ò Ì ÖÑ Ù Ò Ë Ø Ö Ò Ò Û Ö Ò Ð ¹ ÙÒ ÞÙ (4 λ)x = 0 ÙÒ (9 λ)y = 9 º ĐÙÖ x = 0 ÐØ Ö Ø Ð ÙÒ ĐÙÖ ÐÐ λº ÁÒ Ñ ÐÐ Ø y = ±3 ÞÛ Ø Ð ÙÒ Û Ö Ð Ó ÞÙ (9 λ) (±3) = 9 Û Ò ØĐÙÖÐ ÐĐÓ Ö Øº ÞÙ ĐÓÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ò f(0,3) = 3 ÙÒ f(0, 3) = 5º Á Ø x 0 ÑÙ λ = 4 Ò ÞÛ Ø Ð ÙÒ Û Ö ÒÒ ÞÙ 5y = 9 º º y = 9/5 ÙÒ Ñ Ø x = ±8/5º Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û ÖØ Ø Ò Ò Đ ÐÐ Ò /5º f Ø Ø Ø ÑÙ f Ù Ñ ÐÐ Ô Ò Ó Ò ÓÛÓ Ð Ò Å Ü ÑÙÑ Ð Ù Ò Å Ò ÑÙÑ ÒÒ Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð Ö Ò (0, ±3) Å Ü Ñ ÙÒ Ò (±8/5,9/5) Å Ò Ñ Ð Òº Óµ Ò ÉÙ Ö Ñ Ø ÒÔ Ö ÐÐ Ð Ò Ã ÒØ Ò Ð ÒÞ Ò Ö Å Ò {(x,y,z) R 3 x 2 } a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 º Ï ÖÓ ÒÒ Ò ÎÓÐÙÑ Ò ĐÓ Ø Ò Ò Lösung: Ç«Ò ØÐ ÑĐÙ Ò Ò ÉÙ Ö Ù Ñ Ê Ò Ð Ò ÓÒ Ø ĐÓÒÒØ Ñ Ò Ò Ð Ø Ú Ö ÖĐÓ ÖÒº ÒÒ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò (±x, ±y, ±z) ÐÐ Ô Ó ¹ Ð ÙÒ Ö ĐÙÐÐ Ò ÙÒ ÎÓÐÙÑ Ò ÉÙ Ö Ø f(x,y,z) = 8xyzº Ï Ö ÑĐÙ Ò Ð Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ü Ñ Ö Ò ÙÒØ Ö Ö Æ Ò Ò ÙÒ g(x,y,z) = x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 0 º

Ë Ð ØÚ Ö ØĐ Ò Ð Ú Ö Û Ò Ø Ñ Å Ü ÑÙÑ Ò Ö ÃÓÓÖ Ò Ø Ò ÓÒ Ø ÛĐ Ö ÎÓй ÙÑ Ò ÒÙÐк Ñ Ø Ú Ö Û Ò Ø Ù Ò Ö Ö Ö ÒØ Ò f(x,y,z) = 8yz 8xz 8xy ÙÒ g(x,y,z) = 2x/a2 2y/b 2 2z/c 2 ĐÙÖ Å Ü ÑÙÑ Ø Ð Ó Ò λ 0 Ó 8yz = 2λx a 2, 2λy 8xz = b 2 ÙÒ 8xy = 2λz c º 2 ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö Ò Û Ö Ö Ø Ð ÙÒ Ñ Ø x ÞÛ Ø Ñ Ø y ÙÒ Ö ØØ Ñ Ø z Ö ÐØ Ò Û Ö Ð ÙÒ Ò 8xyz = 2λ x2 a 2 = 2λy2 b 2 = 2λz2 c 2 Û Ö ÒÓ ÙÖ 2λ Ú Ö Ò ĐÓÒÒ Ò Ù ÖÙÒ Ö ÐÐ Ô Ó Ð ÙÒ ÓÐ Ø Ò ÑÙ º ËÓÑ Ø Ø x = x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = x 2 a 2 = y2 b 2 = z2 c 2 = 3 3 3 3 3 a, y = 3 b, z = 8 3 c ÙÒ 8xyz = 3 9 abc º Ôµ Ò ÈÖÓ Ù Ø Û Ö Ù Ö Ê ÓÙÖ Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ð ¼ ÙÖÓ ½¾ ÙÖÓ ÞÛº ½¼ ÙÖÓ Ó Ø Òº Ù x Ò Ø Ò Ö Ö Ø Ò y Ö ÞÛ Ø Ò ÙÒ z Ö Ö ØØ Ò Ð Ò 50x 2/5 y / /5 Ò Ø Ò ÈÖÓ Ù Ø ÖØ Òº Ï Ú Ð Ò Ø Ò Ð Ò ĐÙÖ Ñ Ü¹ Ñ Ð 24000 ÙÖÓ ÖØ Ò Lösung: Ç«Ò ØÐ Ò ÒÙÖ ÔÓ Ø Ú Ï ÖØ ÚÓÒ x,y,z ÒÒÚÓÐк ËÓÛÓ Ð f(x,y,z) = 50x 2/5 y / /5 Ð Ù g(x) = 80x + 2y + 0z Ò Û ÒÒ Ñ Ò ÞÛ Î Ö Ð Ò Ø Đ ÐØ ÑÓÒÓØÓÒ Û Ò Ò Ö Ö ØØ Ò Ö Ø Ñ ÇÔØ ÑÙÑ g(x,y,z) = 24000º Ö ÒØ Ò ÚÓÒ f ÙÒ g 24000 Ò f = 20x 3 5 y 5 0x 2 5 y 4 5 ÙÒ g = 80 2 0x 2 5y 5z 4 5 0 Ò Ø Ú Ö Û Ò Ò ÑÙ Ñ Å Ü ÑÙÑ Ò λ Ò Ñ Ø Ó Ö ĐÙÖÞØ Ù Ö Ø Ë Ø Ò 2λ 20x 3 5 y 5 = 80λ 0x 2 5 y 4 5 = 2λ 0x 2 5 y 4 5 = 0λ º 3x 3 5 y 5 = 2λ 0x 2 5 y 4 5 = 2λ 2x 2 5 y 4 5 = 2λ º ËÓÑ Ø Ø 3x 3 5 y 5z 5 = 0x 2 5y 4 5 = 2x 2 5 y 5z 4 5 º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ø x 5y 3 4 4 5 Ñ Ø Ö Ù Ð ÙÒ 3yz = 0xz = 2xy, º º 3y = 0x, 0z = 2y ÙÒ 3z = 2x º ÖĐÙ Ò Û Ö ÐÐ Ö Î Ö Ð Ò ÙÖ x Ù Ø Ð Ó z = 4x ÙÒ y = 0x/3 Ð Ó g(x,y,z) = 80x + 40x + 40x = 60x

Û ĐÙÖ x = 50 Ð 24000 Û Ö º ÁÑ Å Ü ÑÙÑ Ø Ð Ó Å Ø Ò Ï ÖØ Ò Ø x = 50, y = 500 ÙÒ z = 600 º f(x,y,z) = 50 50 2/5 500 /5 600 /5 = 50 5 50 2 500 600 4622,0087 º ËÓÑ Ø Ð Ò Ñ Ü Ñ Ð ¾¾ Ò Ø Ò Ö Ø ÐÐ Òº Õµ Û Ð Ò ÈÖ Ö ĐÙÖ Ò ÔÖÓ ÙÞ ÖØ Ò Ø ÖÞ ÐØ Û Ö Ò ÒÒ ÐÓ ÒØ Ò Ö ĐÓ ÙÒ Ã Ô Ø Ð Ò ØÞ Lösung: ÞÙ ÑĐÙ Ò Û Ö λ Ö Ò Ò Þº º Ù Ö Ð ÙÒ 2λ = 3x 3 5 y 5 = 3 50 3 5 500 5 600 5,8488 º º λ 0,54º Ò Ñ ÙÑ h Ö ĐÓ Ø Ò Ã Ô Ø Ð Ò ØÞ Ð Ò ØÛ λh ÞÙ Đ ØÞÐ Ò Ø Ò ÖØ Ò ÐÓ ÒØ Ó Ð Ö ÖÞ Ð Ö ÈÖ ĐÓ Ö Ø Ð /λ 6,49 ÙÖÓº