KomplexeZahlen.dvi

Bản ghi

1 ÃÓÑÔÐ Ü Ð Ò Ñ Ø Ó Ö ½º ÖÙÒ Ð Ò Ð Å Ø Ó Ö Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ð Ò Ð ÈÙÒ Ø (a b) Ñ ÓÑ ØÖ ¹ Ò Ø Ö Ö Ø ÐÐ Òº Û Ö ÒØÐ Ò Ö Û Ö Ø Ò Ö Ê ÐØ Ð aµ ÙÒ ÒØÐ Ò Ö Ò Ö Ø Ò Ö ÁÑ ÒÖØ Ð bµ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ù ØÖ Òº µ ÍÑ ÓÑÔÐ Ü Ð z 1 = 2+3i ÖÞÙ Ø ÐÐ Ò ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ò z 1 = 2+3i µ Å Ø Ø Ù Ò ÓÑÔÐ Ü Ð Ñ Ë¹ Ò Ø Ö Ò Ò ÒÒ ÑÙ Ø Ù Ö Ñ ÒÖ Ò Ø ËÝÑ ÓÐ í Ò Ö Ò Ù Ø Ò ÞÙ Ò Òµ Ú ÖÛ Ò Òº Ò Ö Þº º ÓÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ð z 2 = 3 2i Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Ë¹ Ð z 2 := 3 2í µ Ò Ê Ð¹ ÞÛº ÁÑ ÒÖØ Ð Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 ÒÒ Ø Ù ÓÛÓ Ð Ñ Ë¹ Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ö Ò Þ Ð Ñ Ø Ò ÓÐ Ò Ò Ð Ò ÖÑ ØØ ÐÒ Ê ÐØ Ð z 1 ÁÑ ÒÖØ Ð z 1 µ Ö Ò ØÖ z 1 Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 ÒÒ Ø Ù Ò ÓÐ Ò Ò Ð Ñ Ë¹ Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ö Ò Þ Ð Ú ÖÛ Ò Ò z 1µ ÁÒ Ö Ò Þ Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÖØ Ù ÄÒ z 1 ÈÖÓ Ö Ù Ò ÓÐ Ò Ò Ð Ù ÕÖØ Ê ÐØ Ð z 1 ˆ2 ÁÑ ÒÖØ Ð z 1 ˆ2) Ï Ð ÙØ Ø Ò Ê ÙÐØ Ø z 1 = ºººººººººººººº µ Ö ÙÑ ÒØ ϕ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 Ð Ø Ñ Ë¹ Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ö Ò ¹ Þ Ð Ñ Ø Ñ ÓÐ Ò Ò Ð ÖÑ ØØ ÐÒ Ö z 1µ ÁÒ Ö Ò Þ Ð ÒÒ Ñ Ò Ù Ò ÓÐ Ò Ò Ð Ú ÖÛ Ò Òº Ï Ò Ð z 1 Ï Ð ÙØ Ø Ò Ê ÙÐØ Ø ϕ = ºººººººººººººº µ ÓÒ Ù ÖØ ÓÑÔÐ Ü Ð z 1 Ò Ø Ù Ñ Ø Ò Ñ Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ð ÓÒ Ù Ö z 1µ ËÔ Ð z 1 Ü ½

2 Ñ Ø Ð Ø Ö ØÖ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 Ù Û ÓÐ Ø Ø ÑÑ Ò ÕÖØ z 1 ÓÒ Ù Ö z 1µµ ÐÐ Ö Ò Û Ö Ò Ð Ò Ò Þ Ð Ò Ñ ÒÖ Ð Ñ Ø Ñ ÁÑ ÒÖØ Ð ¼ Ù Ò Ö Ò Ò Ò Ë¹ Ð Ö ÐØ Ñ Ò Ò Ö ÐРкµ ¾º Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÐÐ Ò Ò Ò Ö Ò Ó Ò Ò ÖØ Ò ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò z 1 ÙÒ z 2 Ú Ö Ò Ê ÒÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ò ÙÐ Ø Û Ö Òº µ Ö z 1 ÙÒ z 2 Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ó Ö Ò Ò Ë¹ Ð z 3 = z 1+z 2 Ï Ð ÙØ Ø Ð z 3 z 3 = ºººººººººººººº µ ËÙ ØÖ Ö z 2 ÚÓÒ z 1 Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ó Ö Ò Ò Ë¹ Ð z 4 = z 2 z 1 Ï Ð ÙØ Ø Ð z 4 z 4 = ºººººººººººººº µ ÅÙÐØ ÔÐ Þ Ö z 1 ÙÒ z 2 Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ó Ö Ò Ò Ë¹ Ð z 5 = z 1 z 2 Ï Ð ÙØ Ø Ð z 5 z 5 = ºººººººººººººº Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÒÙÒ Ö Ò Ø ÑÑØ Ê ÐØ Ð z 1µ Ê ÐØ Ð z 2µ¹ÁÑ ÒÖØ Ð z 1µ ÁÑ ÒÖØ Ð z 2µ i Ê ÐØ Ð z 1µ ÁÑ ÒÖØ Ð z 2µ Ê ÐØ Ð z 2µ ÁÑ ÒÖØ Ð z 1µµ µ Ú Ö z 2 ÙÖ z 1 Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ó Ö Ò Ò Ë¹ Ð z 6 = z 2/z 1 Ï Ð ÙØ Ø Ð z 6 z 6 = ºººººººººººººº Ö Ò Ñ Ø Ö ÓÐ Ò Ò Ö ÒÙÒ Ö Ò Ø ÑÑØ z 2 ÓÒ Ù Ö z 1µ» z 1)ˆ2 º ÓÖÑ Ð ÚÓÒ ÅÓ ÚÖ Ò ÓÑÔÐ Ü Ð z = a+ib ÒÒ Ñ Ø a = rcos(ϕ) ÙÒ b = rsin(ϕ) Ò Ö ÓÖÑ z = r(cos(ϕ)+isin(ϕ)) ¾

3 Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº Ør = z ÙÒ ϕ = arg(z)º ÓÐÐ Ö Ù ÑÑ Ò Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÞÙ Û ÓÐ Ø ÚÓÖ µ Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ö Ð Ö Ñ Ø Ò Æ Ñ Ò r Ñ Ò ¼ Ñ Ü Ë Ö ØØÛ Ø ¼ ¼½µ ÙÒ ϕ Ñ Ò ¼ Ñ Ü ¼ Ë Ö ØØÛ Ø ¼º¼½µ µ Ò Ò Þ Ð ÓÑÔÐ Ü Ð z 1 Ò z 1 = r(cos(pi/180 ϕ)+i sin(pi/180 ϕ)) µ Ò Ò Ò ÃÖ Ñ Ø Ê Ù r ÙÒ Å ØØ ÐÔÙÒ Ø (0 0) Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð ÃÖ (0,0),r ËØ ÐÐ Ò ÃÖ ØÖ Ð ÖØ ÙÒ Ò Ð Ù Ö µ Ò Ò Ò Î ØÓÖ ÚÓÑ ÍÖ ÔÖÙÒ ÞÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 Ò Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Î ØÓÖ (0,0),z 1 ËØ ÐÐ Ò Î ØÓÖ Ò ÖÓØ Ö µ Ò Ò ÈÙÒ Ø A = (Ê ÐØ Ð z 1µ ¼µ Ò µ Ò ËØÖ 0A Ò Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð ËØÖ (0,0),A Ö ËØÖ Þº º Ú ÓÐ ØØ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÙÑ Ò ÒÒ Òµ Ñ Ø Re(z 1 ) = rcos(ϕ) µ Ò ËØÖ Az 1 Ò Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð ËØÖ A,z 1 Ð Ò Ò ÈÙÒ Ø A Ù Ö ËØÖ Az 1 Þº º ÖÓ Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÙÑ Ò ÒÒ Òµ Ñ Ø Im(z 1 ) = rsin(ϕ) µ Ò Ò Ï Ò Ð ϕ Ò Ò Ñ Ù ÓÐ Ò Ò Ò Þ Ð Ï Ò Ð z 1 µ Ï Ð ÙØ Ò Ö Ê ÐØ Ð a ÙÒ Ö ÁÑ ÒÖØ Ðb Ù ÞÛ Æ ÓÑÑ Ø ÐÐ Ò ÖÙÒ Øµ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z 1 Ñ Ø r = 2 ÙÒ ϕ = 135 a = ºººººººººººººº b = ºººººººººººººº º ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ð Ø Þ Ò e iα = cos(α)+isin(α) Ðغ Ñ Ñ Ð Ø Ò ÓÑÔÐ Ü Ð z = r(cos(α)+isin(α)) Ù Ò Ö ÓÖÑ z = re iα Ö Ø ÐÐ Òº Î ÖÛ Ò Ö ÓÑÑ Ò Ò Ù Ò Ø ÐÐÙÒ Ò ÚÓÖ Ö Ô Ð µ ÓÑÔÐ Ü Ð z 2 = r eˆ(i pi/180 ϕ) Ò Ò Þ Ð Ò ÙÒ Ú Ö Þ Ö Ð Ø Û ÓÑÔÐ Ü Ð z 1 µ Ö Ø ÐÐ Ò Ë Ö Ð Ö n Ñ Ò ½ Ñ Ü Ë Ö ØØÛ Ø ½µ µ n¹ø ÈÓØ ÒÞ ÚÓÒ z Ø Ò Ñ Ó Ò Ø Ò Ð z n = r n e inα º ÖÔÖ Ò Ñ Ù ÒÑ Ð z 3 = z 1ˆn ÙÒ ÒÒ z 4 = rˆn eˆ(i pi/180 n ϕ) Ö Ò Ø

4 Ï Ð ÙØ Ø z 5 Ñ Ø z = re iπϕ 180 Ö r = 1 ÙÒ ϕ = 45 z 5 = ºººººººººººººº µ Å Ø Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ð Ò Ù n¹ø Ò ÏÙÖ¹ n Þ ÐÒ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ð Ø Ù Ö Ò z = z 1 n = r 1 n e (α+k2π) i n Ñ Ø k {0,1,...,n 1}º Ò Ö ÞÙ Ò Ë Ö Ð Ö n Ñ Ò ½ Ñ Ü ¾¼ Ë Ö ØØÛ Ø ½µ ÙÒ ÓÐ Ò Ò Ð Ò Ò Þ Ð Ò Folge[rˆ(1/n)eˆ((pi/180 ϕ+k 2 pi) i/n),k,0,n 1,1] Ï Ð ÙØ Ò Ù ÞÛ Æ ÓÑÑ Ø ÐÐ Ò ÖÙÒ Øµ ¹Ø Ò ÏÙÖÞ ÐÒ w i i {1,2,3,4}µ Ö ÓÑÔÐ Ü Ò Ð z = re iπϕ 180 Ñ Ø r = 1,8 ÙÒ ϕ = 30 w 1 = ºººººººººººººº w 2 = ºººººººººººººº w 3 = ºººººººººººººº w 4 = ºººººººººººººº µ ÈÖÓ Ù Ø ÞÛ Ö ÓÑÔÐ Ü Ö Ð Òz 1 = r 1 e iα 1 ÙÒ z 2 = r 2 e iα 2 Ð Ø Ò Ö ÜÔÓ¹ Ò ÒØ Ð Ö Ø ÐÐÙÒ Ð Ø Ð Ò Ö ØÖ ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(α 1+α 2 ) º ÍÑ ÞÙ Ú Ö Ò ÙÐ Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ö Ë Ö Ð Ö r 1 Ñ Ò ¼ Ñ Ü Ë Ö Øع Û Ø ¼ ¼½µ r 2 Ñ Ò ¼ Ñ Ü Ë Ö ØØÛ Ø ¼ ¼½µ ϕ 1 Ñ Ò ¼ Ñ Ü ¼ Ë Ö ØØÛ ¹ Ø ¼ ¼½µ ϕ 2 Ñ Ò ¼ Ñ Ü ¼ Ë Ö ØØÛ Ø ¼ ¼½µ ÓÛ ÓÐ Ò Ò Î ØÓÖ Ò z 1 = Vektor[(0,0),r 1 eˆ(i pi/180 ϕ 1)] z 2 = Vektor[(0,0),r 2 eˆ(i pi/180 ϕ 2)] z 3 = Vektor[(0,0),r 1 r 2 eˆ(i pi/180 (ϕ 1+ϕ 2))] Ö Ö Î ØÓÖ Ò ÙÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÙÑ Ò ÒÒ Òµ Ò Î ¹ ØÓÖ z 3 Ñ Ø z 1 z 2 Ï Ð ÙØ Ø ÈÖÓ Ù Ø Ù ÞÛ Æ ÓÑÑ Ø ÐÐ Ò ÖÙÒ Øµ z 1 z 2 Ö r 1 = 2 ϕ 1 = 25 r 2 = 1,7 ϕ 2 = 109 z 1 z 2 = ºººººººººººººº º ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ò Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ñ Ô Ð ÖÑ ØØ ÐØ Û Ö¹ Òº Ð Ä ÙÒ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò Ð Ä ÙÒ Ò Ð ÖÒ Ø Ò Ð ÃÓÑÔÐ Ü ÆÙÐÐ Ø ÐÐ f ÛÓ f Ò ÈÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Øº ÖÑ ØØÐ ÓÑÔÐ Ü Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ù ÞÛ Æ ÓÑÑ Ø ÐÐ Ò ÖÙÒ Øµ Ö ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò ¹µ f(x) = x 2 2 ¹µ f(x) = x 2 ¹µ f(x) = x 2 +2 ¹µ f(x) = x 5 x 3 1 ÞÙ Û ÓÐ Ø ÚÓÖ µ Û Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ò Ò Þ Ð Ò µ Ò Ð KomplexeNullstelle[f] Ò Ò Þ Ð Ó Ö Ò Ò Ë¹ Ð Ò Ù ÒÒ Ø Ö Ù Ò Ð ÃÄ Üµ ¼ Ñ Ë¹ Ò Ø Ö Ú ÖÛ Ò Òº Ø Ø f(x) Ö Ò Ò Ö Ó Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÖÑ º ËØ ÐÐ Î ÖÑÙØÙÒ Ò ÞÙ Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ò Ù ÈÖÓ Ö Ù Û Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù µ

5 ¹µ Ï ÒÒ z ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ø Ø ÒÒ Ù z ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ¹µ Ï Ú Ð ÓÑÔÐ Ü ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ò Û Ð Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Ð Ò Ñ Ø Ñ Ö ÈÓÐÝÒÓÑ Ø Ò ¹µ À Ø Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ö ØØ Ò Ò Ø Ò ººº Ö Ø Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ö ÐÐ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ