mod19b.dvi

Bản ghi

1 ÏÓÐ Ò Ãº Ë Ð Ö Ì Ðº 2515 ¾ º½ º ÂÙÒ ¾¼½ Modulklausur Funktionentheorie I Aufgabe 1: (½¼ ÈÙÒ Ø µ Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ò Ð Ò Ò Ò Ò Ò Ð ÙÒ Ò ÒĐÙ Ò ÙÒ Ò Ë Ö Ò Ò Ö ÓÖÑ x+iy Ò Ñ Ø x,y R µ z = (2+3i)(4i 1) µ z = 2+3i µ z+4i+2iz= 0 µ = i 99 µ z 8 = 1 4i 1 Lösung: µ z = (2+3i)(4i 1) = 2 ( 1) ii = 14+6i µ z = 2+3i 4i 1 = (2+3i)( 4i 1) = 10 11i = i µ z+4i+2iz = (2i)z+4i = ( z (1 i) ) 2 (1 i) 2 +4i = ( u (1 i) ) 2 +4 Ú Ö Û Ò Ø Ò Ù ÒÒ Û ÒÒ z (1 i) = ±2i Ø Ð Ó z = 1+i Ó Ö z = 1 3iº µ = i 99 Ø Ð ÙØ Ò Ñ Ø = i ÒÒ i 4 = 1 99 = ÙÒ i 3 = i 2 i = iº ÁÒ ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø i = e 3πi/2 Ð Ó Ø e 3πi/4 Ò Ö Ò ÉÙ Ö ØÛÙÖÞ ÐÒº Ð Ð Ø Ù Ö ÞÛ Ø Ò Ï Ò Ð Ð Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ò ØÖ Ò Ö Ø z = 2 2 ( 1+i)º Ò Ö ÄĐÓ ÙÒ Ø Ò ØĐÙÖÐ z = 2 2 (1 i)º ÐØ ÖÒ Ø Ú Û Ñ Ò ÚÓÒ µ (1 i) 2 = i Ø ÙÒ ÑÙ ÒÒ ÒÙÖ ÒÓ ÙÖ 2 Ú Ö Ò ÙÑ Ò ÄĐÓ ÙÒ ÞÙ Ö ÐØ Òºµ µ ÄĐÓ ÙÒ Ò Ö Ð ÙÒ Ò Ø Ò Ò Ø ÛÙÖÞ ÐÒº Ð Ò Ò Ö ÐÑĐ ¹ Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ò Ù Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ò ÙÒ Ò Ò Ï Ò Ð Ð Ö Ò Ò Ð Òº ËÓÑ Ø Ø 2 z 1, 1,i, 1, 2 (1+i), 2 2 ( 1 i), } (1 i), 2 (i i) º Aufgabe 2: (½¾ ÈÙÒ Ø µ µ ÒØ Ò Ë ĐÙÖ Ö Ò Ò Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ C Û Ð Ö Ò Ø Ò Ó«Ò ÐÓ Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÓÑÔ Ø Ø ÐÐ ÙÑ Ò Ø Ò ÐØ Ò Ë ØØ Ò Ó Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Øº ÐÐ Ù Ò ÑĐÙ Ò ÖĐÙÒ Ø Û Ö Ò M 1 = z C Rez > 1} M 2 = z C Rez 1} M 3 = z C z > 1} M 4 = z C 0 z < 1} M 5 = z C 0 < z < 1} M 6 = z C 0 z 1} Lösung: Ï ÒÒ Ö ØÖ Ê ÐØ Ð ÖĐÓ Ö Ð Ò Ò ÓÐÐ ÑÙ Ö Ê ÐØ Ð Ð Ø ÒØÛ Ö ÖĐÓ Ö Ð Ò Ó Ö Ð Ò Ö Ð Ñ ÒÙ Ò Òº M 1 Ø Ö Î Ö Ò ÙÒ Ö Ò Å Ò Ò M + 1 = z C Rez > 1} ÙÒ M 1 = z C Rez < 1}º Ð ÙÒ z Rez Ø Ø Ø ÙÒ ÓÛÓ Ð x R x > 1} Ð Ù x R x < 1} Ó«Ò Ì ÐÑ Ò Ò ÚÓÒ R Ò ÓÐ Ø M + 1 ÙÒ M 1 Ó«Ò Ò ÙÒ Ñ Ø Ø Ù Ö Î Ö Ò ÙÒ M 1 Ó«Òº M 1 Ø Ò Ø ÐÓ Ò ÐÐ ÈÙÒ Ø z Ñ Ø Rez = ±1 ÞÛ Ö Ê Ò ÔÙÒ Ø Ò Ø Ö Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ M 1 Ò º M 1 Ø Ó«Ò ØÐ ÙÒ ÖĐ Ò Ø ÁÑ ÒĐ ÖØ Ð ĐÓÒÒ Ò Ð ÖÓ Û Ö Òµ Ð Ó Ò Ø ÓÑÔ Øº M 1 Ø Ù Ò Ø

2 ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÒÒ M + 1 ÙÒ M 1 Ò ÙÒ Ø Ò ØÐ Ö Ó«Ò Ì ÐÑ Ò Ò Ö Ò Î Ö Ò ÙÒ M 1 غ Ð ÙÒÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Å Ò Ø M 1 Ò Øº M 2 Ø Ó«Ò ØÐ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÚÓÒ M 1 Ð Ó ÐÓ Ò ÙÒ Ò Ø Ó«Òº Ó¹ Ñ ØÖ Ø Å Ò Ò ËØÖ Ò Ö Ö Ø ÞÛ ÙÑ Ñ ÒĐ Ö Ð Ó ÓÒÚ Ü ÙÒ Ñ Ø Û ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÙÒ Ö Ø Ö Ø ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò º Ï M 1 Ø Ù M 2 Ò Ø ÓÑÔ Ø ÁÑ ÒĐ ÖØ Ð Ð ÖÓ Û Ö Ò ĐÓÒÒ Òº Å Ò Ò Ø Ó«Ò Ø Ø Ò Øº M 3 Ø ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ó Ó«Ò ÙÒ Ò Ø ÐÓ Ò Ê Ò ÔÙÒ Ø Ù Ö ÃÖ Ð Ò Ò Ø Ò M 3 ÒØ ÐØ Ò Ò º Ò ÐÓ Ò Å Ò ÒØ Đ ÐØ ÐÐ Ö Ê Ò ÔÙÒ Ø ºµ Å Ò Ø ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Ó Ö Û ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÒÒ Û ÒÒ Û Ö ÞÙÖ ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Ø ÐÐÙÒ ĐÙ Ö Ò Ø Ø M 3 Ù ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò re iϕ Ñ Ø r > 1º Ë Ò re iϕ ÙÒ se iψ ÞÛ ÓÐ ÈÙÒ Ø Ó Ð Ò Ö ÓÛÓ Ð ËØÖ ÚÓÒ re iϕ Ò se iϕ Ð Ù Ö ÃÖ Ó Ò ÚÓÒ se iϕ Ò se iψ Ò M 3 ÙÒ ÞÙ ÑÑ Ò Ð Ò Ò Ò Ï ÚÓÑ Ò Ò ÈÙÒ Ø ÞÙÑ Ò Ö Òº Ç«Ò ØÐ Ø M 3 Ò Ø ÖĐ Ò Ø Ð Ó Ò Ø ÓÑÔ Øº Ð Ó«Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Å Ò Ø Ò Ø Ö Ò Ø Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÞÙÑ Ô Ð ÁÒØ Ö Ð ĐÙ Ö Ò M 3 ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ z 1/z ÒØÐ Ò Ö ÃÖ Ð Ò Ñ Ø Ê Ù ÞÛ ÙÑ ÆÙÐÐ Ò Ø Ú Ö Û Ò Øº M 4 Ø Ó«Ò Ò Ø Ö Ð Ó Ó«Ò ÙÒ Ò Ø ÐÓ Ò Ò Ö Ö Ê Ò ÔÙÒ Ø Ò M 4 Рغ Ð Ó Ø Ù Ò Ø ÓÑÔ Øº Ð ÓÒÚ Ü Å Ò Ø Ö Ò ØĐÙÖÐ ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÙÒ Ñ Ø Ò Øº Ï Ò Ö ÃÓÒÚ Ü ØĐ Ø Ø Ö Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ØÞ Ö Ø Ò Ò Ö Ö Ø Ò Î Ö ÓÒ ÒÛ Ò Ö Ñ Ø Ø M 4 Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò º M 5 Ø Ó«Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ö Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Øº Ð ÍÖ Ð Ó«Ò Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ (0, 1) ÙÒØ Ö Ö Ø Ø Ò Ð ÙÒ z z Ø Ó«Ò Ø Ö Ò Ø ÐÓ Ò Ò Ò Ö Ö Ê Ò ÔÙÒ Ø ÒØ Đ Ðغ Ï Ò Ð Ò Ò Å ØØ ÐÔÙÒ Ø Ø M 5 ÞÛ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ü Ö Å Ò Ø ØÖÓØÞ Ñ Û ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Ë Ø Ø Ù ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò re iϕ Ñ Ø 0 < r < 1 ÙÒ Ñ Ø Þ Ø Ð Ö ÙÑ ÒØ Û M 3 Ò Ï ÞÙ ÑÑ Ò Ò º ËÓÑ Ø Ø M 5 Ò Ø Ö Ò Ø Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÒÒ Û Ö Ø z 1/z ÓÐÓÑÓÖÔ Ñ Ø Ö ÁÒØ Ö Ð ÐĐ Ò Ö ÃÖ Ð Ò Ñ Ø Ê Ù 1/2 ÙÑ Ò ÆÙÐÐÔÙÒ Ø Ú Ö Û Ò Ø Ò Øº M 6 Ø ÐÓ Ò Ò Ø Ö Ð Ó ÐÓ Ò ÙÒ ÖĐ Ò Ø ÙÒ Ñ Ø ÓÑÔ Øº Ë Ø Ò Ø Ó«Ò Ð Ó Ù Ò Ø ÒÒ Ò Ö Ö Ê Ò ÔÙÒ Ø Ø Ò Ó«Ò ÍÑ ÙÒ ÒÞ Ò M 4 Рغ Ð ÓÒÚ Ü Å Ò Ø Ò ÓÒ Ö ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò º µ ÒØÛÓÖØ Ò Ë ÒØ ÔÖ Ò Ò Ö Ò Ù ĐÙÖ M = Ĉ Lösung: ÁÒ Ĉ Ø Ĉ Ð Ø Ò ØĐÙÖÐ Ó«Ò ÒÒ Ö ÈÙÒ Ø z C Ø Ò C Ò Ó«Ò ÍÑ ÙÒ Ñ Ø Ù Ó«Ò Ò Ĉ Ø ÙÒ ĐÙÖ z = Ø Ô Ð Û Å Ò z Ĉ z > 1} Ò Ó«Ò ÍÑ ÙÒ º Ë Ø Ù ÐÓ Ò Ò Ö ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ö Å Ò Ø Ò ØĐÙÖÐ Ó«Òº Ï Ò Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Þ Ø ÛÙÖ Ø Ĉ ÓÑÔ Øº Ĉ Ø Ù ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò ÒÒ ÛĐ Ö Ĉ ÙÒ Ø Î Ö Ò ÙÒ ÞÛ Ö Ò ØÐ Ö Ö Ó«Ò Ö Ì ÐÑ Ò Ò Ó ÑĐÙ Ø Ò ÚÓÒ Ò ÈÙÒ Ø ÒØ ÐØ Òº Æ ÑÑØ Ñ Ò Ò ÈÙÒ Ø Ù Ö Å Ò Ö Ù Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ó«Ò Ò Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ Ĉ) Ò Ó«Ò Ì ÐÑ Ò ÚÓÒ C Ò Ø Ð Ö Ò ÒÒ } ÓÒ Ø Ó«Ò Ò Ĉ ÛĐ Ö º Ð Ó ÛĐ Ö Ù C Ò Ø ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Ó ÛÓ Ð Å Ò Ó Ö ÓÒÚ Ü Øº ËÓÑ Ø Ø Ĉ Ò Øº  ٠ÒÞ Ĉ ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ ĐÙÖ Ò ÓÒ Ø ÒØ ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ö Û Ò Ø ÁÒØ Ö Ð ÐĐ Ò Ò Ö ÐÓ Ò Ò ÃÙÖÚ Û Ò Ö Ü Ø ÒÞ Ö Ð Ò Ö Òµ ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒº ËØÖ Ò ÒÓÑÑ Ò ÑĐÙ Ø Ñ Ò ÒÓ Ò Ò Ñ Ò ĐÙÖ Ò ÐÐ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Û ÙÖ Ò ÈÙÒ Ø Ø Ö Ë ØÙ Ø ÓÒ ÒÒ Ñ Ò ÑÑ Ö Û ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Òºµ Aufgabe 3: ( ÈÙÒ Ø µ ÒØ Ò Ë Ó ÓÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÛÓ ÓÐÓÑÓÖÔ Ò ÙÒ Ò Ë Ò Ò ÐÐ ÖĐÓ ØÑĐÓ Ð Ì Ð Ø G ÚÓÒ C Ò Ù Ñ Ö ÐÐ Ø ÍÒØ Ö¹

3 Ù Ò Ë Ù Ó Û Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò Ò Ò Ò Ò Ø ÓÐÓÑÓÖÔ Ø Ñ ÖÓÑÓÖÔ Ø µ f(z) = Òz e z e z µ f(z) = e 1/z2 µ f(z) = Òz µ f(z) = z z 6 Ó z 4 ÖĐÙÒ Ò Ë Ö Ù Ò Lösung: µ Đ Ð Ö ÙÒ Æ ÒÒ Ö Ò ÓÐÓÑÓÖÔ ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ð Ó ĐÓ Ø Ò Ñ Ø Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Æ ÒÒ Ö º ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ø Ø Ð ÙÒ e z = e z Đ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ e 2z = 1 º º 2z Ø Ò ÒÞÞ Ð Î Ð ÚÓÒ 2πi ÙÒ z Ð Ø Ò ÚÓÒ πiº Òkπi = eikπi e ikπi = e kπ e kπ 2i 2i ÒÙÖ ĐÙÖ k = 0 Ú Ö Û Ò Ø Ø ÈÓÐ ĐÙÖ ÐÐ ÈÙÒ Ø z = kπi Ñ Ø k Z 0}º ĐÙÖ k = 0 Ú Ö Û Ò Ò Đ Ð Ö ÙÒ Æ ÒÒ Ö Ò Ð³À ÓÔ Ø Ð Ø Ð Ñ z 0 Òz e z = Ð Ñ e z z 0 Ó z e z +e z = 1 2 C Ò Ö ËØ ÐÐ z = 0 ÐĐ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ø Ø ÓÖØ ØÞ Ò ÞÙ Ò Ö ÓÐÓÑÓÖÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒº Ë Ø ÓÑ Ø ÓÐÓÑÓÖÔ Ù C Ó Ò Ò ÈÙÒ Ø Ò z = kπi Ñ Ø k Z 0} ÙÒ Ò Ò Ù Ò Ñ ÔÙÒ Ø Ò Ø Ò Ò ÈÓÐ Ø Ð Ó Ñ ÖÓÑÓÖÔ º µ Ù C 0} Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÐÓÑÓÖÔ Ð À ÒØ Ö Ò Ò Ö Ù ĐÙ ÖÙÒ ÞÛ Ö ÓÐÓÑÓÖÔ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Òº ĐÙÖ z = 0 Ø 1/ = ÙÒ ÓÖØ Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Û ÒØÐ ¹ Ë Ò ÙÐ Ö ØĐ Øº ËÓÑ Ø Ø ÙÒ Ø ÓÒ ÓÐÓÑÓÖÔ Ù C 0} ÙÒ Ù Ò Ø Ñ ÖÓÑÓÖÔ Ù ÒÞ Cº µ Ó z Ø ÓÐÓÑÓÖÔ Ù ÒÞ C ÛĐ Ö f ÓÐÓÑÓÖÔ Ù Ò Ñ Ø G C Ó ÛĐ Ö ÓÖØ Ù ÙÒ Ø ÓÒ g(z) = f(z) Ó z = Òz ÓÐÓÑÓÖÔ º Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø ÑĐÙ Ø G Ò Ñ Ë ØÞ ÚÓÒ Ö Ø ØÖ Ù Ð Ò Ù Ò Ø Ö Ò ØĐÙÖÐ Ò R Ð Ò ÑĐÙ Ø º Ò ÓÐ Ø Ò Ø Ø Ø f Ò Ö Ò ÓÐÓÑÓÖÔ º µ Ð Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø f Ñ ÖÓÑÓÖÔ Ù ÒÞ C ÙÒ Ó Ö Ĉµº ĐÍ Ö ÐÐ ÛÓ Ö Æ ÒÒ Ö Ò Ø Ú Ö Û Ò Ø Ø Ó«Ò ØÐ ÓÐÓÑÓÖÔ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ð Ó ĐÓ Ø Ò Ò Æ ÒÒ ÖÒÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ±2º ĐÙÖ z = 2 Ø Ö Đ Ð Ö Ò Ï ÖØ = 0 ÈÓÐÝÒÓÑ Ø Ð Ó ÙÖ z Ø Ð Ö ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ĐÙÖ z 2 Ù Ö Ø ÐÐ Ö Ð Đ Ð Ö Ú ÖØ ÙÖ z 2 Ø ÐØ ÙÖ z + 2 ÙÒ Ñ Ø ÓÐÓÑÓÖÔ ÓÖØ ØÞ Ö Ò z = 2º ĐÙÖ z = Ø Ö Đ Ð Ö Ò Ï ÖØ < 0 Ö Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ó Ò Ò ÈÓк Aufgabe 4: (½ ÈÙÒ Ø µ D ÃÖ Ñ Ø Ê Ù ÞÛ ÙÑ Ò ÆÙÐÐÔÙÒ Ø ÙÒ Ö ËØÖ ÒÞÙ ÚÓÑ ÈÙÒ Ø +2i ÞÙ Ò ÈÙÒ Ø Ò i 2+2i 2i ÙÒ ÞÙÖĐÙ ÞÙ +2iº µ Á Ø Ò ÂÓÖ Ò¹ÃÙÖÚ Lösung: Ø Ò ÂÓÖ Ò¹ÃÙÖÚ ÒÒ ËØÖ ÚÓÒ i Ò 2+2i ÙÒ ÚÓÒ 2i Ò +2i Ò Ò Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ø ÞÛ Ñ Ð ÙÖ Ð Ù Ò Û Ö º µ Ö Ò Ò Ë ÓÐ Ò Ò ÁÒØ Ö Ð I 1 = Ó zdz, I 2 = Rezdz I 3 = D dz Òz I 4 = dz Ó z I 5 = dz +1 Lösung: Ö ÃÓ ÒÙ Ø Ù ÒÞ C ËØ ÑÑ ÙÒ Ø ÓÒ Òz ÙÒ Ø Ò ÐÓ ¹ Ò ÃÙÖÚ º Ð Ó Ú Ö Û Ò Ø ÁÒØ Ö Ð I 1 º ËØÖ ÚÓÒ +2i Ò i ÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÖØ Û Ö Ò ÙÖ 1 t t

4 Ö Ø 1 2 () ( i)dt = (2i) (2 () ) = 8i º Ö Ï ÚÓÒ i Ò 2+2i ÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÖØ Û Ö Ò ÙÖ 2 t (1+i)t ËÓÑ Ø Ø 2 2 t (1+i)dt = (1+i) 2 tdt = 0 º ËØÖ ÚÓÒ 2+2i Ò 2i ÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÖØ Û Ö Ò ÙÖ 3 t 2 t Ö Ø ( i)dt = (i) (2 () ) = 8i º Ö ÊĐÙ Û ÚÓÒ 2i Ò +2i ÒÒ Ô Ö Ñ ØÖ ÖØ Û Ö Ò ÙÖ 4 t (i 1)t ËÓÑ Ø Ø 4 2 t (i 1)dt = (i 1) 2 tdt = 0 º I 2 Ð ËÙÑÑ Ö Ú Ö ÁÒØ Ö Ð Ú Ö Û Ò Ø ÓÑ Øº Ö ÁÒØ Ö Ò ÚÓÒ I 3 Ø Ò D ÒÙÖ Ò Ò Ò ÈÓÐ Ò z = 0 Ò ÓÒ Ø Ò Ø Ö ÓÐÓÑÓÖÔ Ù Ò Ò Ö ÍÑ ÙÒ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Û ÞÙÑ Ô Ð Ò Ö Ó«Ò Ò ÃÖ Ñ Ø Ê Ù 3/2 ÙÑ ÆÙÐк Æ Ñ Ê Ù Ò ØÞ Ø ÁÒØ Ö Ð Ö Ð 2πi Ñ Ð Ñ Ê ÙÙÑ ÁÒØ Ö Ò Ò Ñ ÆÙÐÐÔÙÒ Øº Ö Ë ÒÙ ÆÙÐÐ Ò Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ø Ø ÓÖØ Ù ÈÓÐÓÖ ÒÙÒ ÁÒØ ¹ Ö Ò Ò Ð Ò º º 1 Ê z=0 Òz = Ð Ñ z z 0 Òz = 1 Þº º Ò Ð³À ÓÔ Ø Ðº ËÓÑ Ø Ø I 3 = 2πiº Ö ÃÓ ÒÙ Ö Æ ÒÒ Ö ÁÒØ Ö Ò Ò ÚÓÒ I 4 Ø ÒÙÖ Ö ÐÐ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ð Ò Ò Ð ÒÞÞ Ð Ò Î Ð Ò ÚÓÒ πº Ð Ò Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ø Ð Ó π/2 1,7... ÙÒ Ñ Ø Ø Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Û ÙÑ ±π/2 ÖÙÑ ÛĐ Ö Ò Ö ØÐ Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Ò ÊÓÐÐ Ô Ð Òº ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ĐÙ Ö Ø Đ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙÖ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ĐÙ Ö Ò Ò Ý ÐÙ Ø Ò Ù Ò ÊĐ Ò ÖÒ ÞÛ Ö Ö 1 Ñ Ø Ò 0 ÙÒ ±2i ÓÛ 2 Ñ Ø Ò 0 ÙÒ 2±2iº 1 Û Ö Û ÛÓ ÒØ Ñ ÒÙ ÖÞ Ö ÒÒ ÙÖ Ð Ù Ò 2 Ö Ñ Í ÖÞ Ö¹ ÒÒº Â Ö Ö ÒØ Đ ÐØ Ò Ò Ñ ÁÒÒ ÖÒ Ò Ù Ò Ò ÈÓк ÍÑÐ Ù Þ Ð ÚÓÒ 1 ÙÑ π/2 Ø Ò ÚÓÒ 2 ÙÑ π/2 ÒØ ÔÖ Ò 1º Æ Ñ Ê Ù Ò ØÞ ĐÙÖ Ý ÐÒ Ø Ö I 4 Ð 2πi Ñ Ð Ö «Ö ÒÞ Ö Ê Ù Ò Ò Ö ËØ ÐÐ π/2 ÙÒ Ò Ö ËØ ÐÐ π/2º ÈÓÐÓÖ ÒÙÒ Ò Ò Û Ð Ò Ó Ê Ù Ò Ð Ø Ð Ö ÒÞÛ ÖØ Ö Ò Ø Û Ö Ò ĐÓÒÒ Ò Æ Ö Ê Ð ÚÓÒ Ð³À ÓÔ Ø Ð Ø 1 Ê z=±π/2 Ó z = Ð Ñ z π/2 1 = Ð Ñ z ±π/2 Ó z z ±π/2 Òz = 1 º

5 Ñ Ø Ø I 4 = 2πi (1 ( 1) ) = 4πiº Ö ÁÒØ Ö Ò ÚÓÒ I 5 Ø Ò ÈÓÐ Ø ÐÐ Ò Ò Ò ËØ ÐÐ Ò ±i Ò Ò Ñ Ö Ò Ö Ð Òº Ø Ö Ò Ò ÞÙ ÑÑ Ò Đ Ò Ò Ø Ö ÒØ Đ ÐØ ÙÒ Ò Ñ Ö ÁÒØ Ö Ò ÓÓÑÓÖÔ Øº ÁÒØ Ö Ð Ú Ö Û Ò Ø Ö Ò Ñ Ù Ý Ò ÁÒØ Ö Ð ØÞº Aufgabe 5: ( ÈÙÒ Ø µ Ò Ë ÁÒØ Ö Ð x 2 5x (x 2 +1)(x 2 +4) dx, x 2 +3x dx ÙÒ (x 2 +1)(x 2 +4) x 2 +99x (x 2 +1)(x 2 +4) dx ÐÐ Ö Ò Ð Ò Ï ÖØ Ò ÙÒ Ö Ò Ò Ë Ò Lösung: ÁÒ ÐÐ Ò Ö Đ ÐÐ Ò Ø Ö Đ Ð Ö ÁÒØ Ö Ò Ò Ö ÞÛ Ø Ð Ó ÙÑ Ñ Ò Ø Ò ÞÛ Ð Ò Ö Ð Ö Æ ÒÒ Ö Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ±i ÙÒ ±2i ÐÐ ÑØ Ò ØÖ ÐÐ Ò º ËÓÑ Ø ĐÓÒÒ Ò Ñ Ø Ñ Ò ØÞ ĐÙ Ö Ò Ê Ù Ò ØÞ Ö Ò Ø Û Ö Ò ÛÓÖ Ù Ò ÓÒ Ö ÓÐ Ø Ü Ø Ö Òº Ù Ñ Ð Ò ÖÙÒ Ü Ø Ö Ò Ù ÁÒØ Ö Ð I 1 = x 2 dx (x 2 +1)(x 2 +4) ÙÒ I 2 = xdx (x 2 +1)(x 2 +4) ÙÒ Ö ÁÒØ Ö Ð Ò Ö Û Ò Ö Ä Ò Ö ØĐ Ø Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ I 1 5I 2 I 1 +3I 2 ÙÒ I 1 +99I 2 º ÍÑ ÞÙ Þ Ò Ð Ò ÑÙ Ö Ò Û Ò Û Ö Ò I 2 Ú Ö Û Ò Øº Ø Ö Ð Ö ÁÒØ Ö Ð Ü Ø ÖØ ÙÒ Ö ÁÒØ Ö Ò ÙÒ Ö Øº Ö Ï ÖØ ÐÐ Ö Ö ÁÒØ Ö Ð Ø ÓÑ Ø Ð Ñ ÚÓÒ I 1 ÙÒ Ö Û ÖÙÑ Ø 2πi Ñ Ð Ö ËÙÑÑ Ö Ê Ù Ò i ÙÒ 2iº ÐÐ ÈÓÐ Ò Ò Ð Ò Ð Ä Ñ Ø Ö Ò Ò Ê i ( +1)( +4) = Ð Ñ z i ÙÒ Ê 2i ( +1)( +4) = Ð Ñ z 2i (z i) ( +1)( +4) = Ð Ñ z i = 4 12i = 1 3i (zi) ( +1)( +4) = Ð Ñ z 2i (z+i)( +4) = 1 2i ( 1+4) = 1 6i ( +1)(z+2i) = 4 ( 4+1) 4i ËÓÑ Ø Ø I 1 = 2πi( 1 3i 1 6i ) = 1 3π Ö Ñ Ò Ñ Ï ÖØ Ö Ö ÁÒØ Ö Ð º Aufgabe 6: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ï Ø Ö À ÙÔØÛ ÖØ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ÚÓÒ i Lösung: ÁÒ ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò Ö Ø ÐÐÙÒ Ø i = 1 e πi/2 Ö À ÙÔØÛ ÖØ ÄÓ Ö Ø ÑÙ ÚÓÒ i Ø Ö πi/2º µ Ï Ð Ï ÖØ ÒÒ ÐÓ i ÒÒ Ñ Ò Û ÒÒ Ë Ò Ò Ò Ö Ò Û ÄÓ Ö Ø ÑÙ Ú Ö¹ Û Ò Ò Lösung: Ò Ö Ò Ï ÖØ ÙÒØ Ö Ò ÚÓÑ À ÙÔØÛ ÖØ ÙÑ ÒÞÞ Ð Î Ð ÚÓÒ 2πi Ò Ð Ó πi/2+2kπi Ñ Ø k Zº µ ÙÒ Ø ÓÒ z i z ĐÙ Ö Ö Ò Ò Ò Û ÄÓ Ö Ø ÑÙ Ò Öغ Ï Ð Ï ÖØ ÒÒ i i ÒÒ Ñ Ò Lösung: i z = e z ÐÓ i ĐÙÖ Ö Ò Ò Ò Û ÄÓ Ö Ø ÑÙ ÑĐÓ Ð Ò Ï ÖØ ÚÓÒ i i Ò Ö e i (πi/2+2kπi) = e π/2kπ Ñ Øk Zº Ö À ÙÔØÛ ÖØ Ø e π/2 0, º

6 Aufgabe 7: ( ÈÙÒ Ø µ µ Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ Ñ ÖÓÑÓÖÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò f C Ĉ Ñ Ø f(1/n) = 0 ĐÙÖ ÐÐ n N Lösung: Ò ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ g C C Ñ Ø g(1/n) = 0 ĐÙÖ ÐÐ n N ÑÙ ÒØ Ú Ö Û Ò Ò ÒÒ Å Ò Ö Ð Ò 1/n Ø Ò Ò ÀĐ Ù ÙÒ ÔÙÒ Ø ÙÒ ÞÛ ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ù Ò Ö Å Ò Ñ Ø ÀĐ Ù ÙÒ ÔÙÒ Ø ĐÙ Ö Ò Ø ÑÑ Ò Ø ÑÑ Ò Ù Ö Ñ ÑØ Ò Ò Ø ÓÒ Ö ĐÙ Ö Ò Ó g Ð Ö ÆÙÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÑÙ º ÆÙÒ f C Ĉ Ò Ñ ÖÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø f(1/n) = 0 ĐÙÖ ÐÐ n Nº Å Ò Ö ÈÓÐ ÚÓÒ f Ø Ò Ò Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ÖÓÑÓÖÔ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò ÀĐ Ù ÙÒ ÔÙÒ Ø Ö Ø Ò Ñ Ï Ö ØÖ Ò ÈÖÓ Ù Ø ØÞ Ò ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ h C C Ò Ñ ÈÙÒ Ø z Ò Ñ f Ò Ò n¹ Ò ÈÓÐ Ø ÚÓÒ Ö ÇÖ ÒÙÒ n Ú Ö Û Ò Ø ÙÒ Ò ÓÒ Ø Ò Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Øº ÙÒ Ø ÓÒ g = hf Ø ÓÑ Ø ÓÐÓÑÓÖÔ Ù ÒÞ C ÙÒ Ò ØĐÙÖÐ Ø Ù g(1/n) = 0 ĐÙÖ ÐÐ n Nº ËÓÑ Ø Ú Ö Û Ò Ø g ÒØ º ÁÒ ÐÐ Ò ÈÙÒ Ø Ò z C Ò Ò Ò f Ò Ò ÈÓÐ Ø Ø h(z) 0 Ó ÓÖØ Ù f(z) Ú Ö Û Ò Ò ÑÙ º f Ð Ñ ÖÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ò ÑÙ ÓÐ Ø f Ù ÒÞ C Ú Ö Û Ò Øº µ Ò Ò Ë Ñ ÖÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f,g C Ĉ Ñ Ø Ö Ò Ø f(2n) = (2k) ĐÙÖ ÐÐ n N ÙÒ g(2n+1) = (2k+1) ĐÙÖ ÐÐ n N 0 Lösung: ĐÙÖ ÐÐ n N Ø f(2n) = (2k) = ËÓÑ Ø Ø 2 k=0 k = 2 n n! = e n ÐÓ 2 Γ(n+1) º f(z) = e z/2 ÐÓ 2 Γ(z/2+1) Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö ÛĐÙÒ Ø Ò Ò Øº 2n+1 l=1 g(2n+1) = (2k+1) = l (2n+1)! = (2m) f(2n) k=0 n m=1 = Γ(2n+2) f(2n) ĐÙÖ n N ÙÒ Ù ĐÙÖ n = 0 ÐØ Ð ÙÒ ÒÒ ĐÙÖ Ó Ò Ò ÖØ ÙÒ Ø ÓÒ Ø f(0) = 1º ËÓÑ Ø ĐÓÒÒ Ò Û Ö g(z) = Γ(z+1) f(z 1) ØÞ Òº µ Ë Ò f ÙÒ g ÙÖ Ò ÙÒ Ò Ò µ Ò ÙØ Ø ÑÑØ Lösung: Æ ØĐÙÖÐ Ò Ø Û Ö ĐÓÒÒ Ò Ô Ð Û Ò Ò Đ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ¹ Ö Ò Ù N 0 Ú Ö Û Ò Ø Û Òπzµ Ó Ö Ñ Ø Ò Ö Ò Ö Ò Ú Ö Û Ò Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Þ Ö Òº Ò ÓÐ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑÑ Ò Û Ö Û ÒÒ Û Ö Ò Ð ÓÐÓÑÓÖÔ ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÒº µ Á Ø Γ(z) ÖĐ Ò Ø Ñ ËØÖ Ò 0 Rez 1 Lösung: Æ ØĐÙÖÐ Ò Ø ÒÒ Γ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ò ÈÓÐ z = 0º µ Á Ø Γ(z) ÖĐ Ò Ø Ñ ËØÖ Ò 5 Rez 7 Lösung: ÓÐ Ø Ò Ù Ó Û ÖĐ Ò Ø Ø Ñ ËØÖ Ò 1 Rez 2 ĐÙ Ö Ù Ò Ø ÓÒ Ë z = x+iy Ñ Ø 5 x 7º ÒÒ Ø z x Ð Ó n!n z z(z+1) (z+n) n!n x x(x+1) (x+n) ÙÒ Ñ Ø Γ(z) Γ(x)º Γ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ĐÙÖ Rez > 0 ÓÐÓÑÓÖÔ Ø Ø ÖÐ Ñ ÓÑÔ Ø Ò ÁÒØ ÖÚ ÐÐ [5,7] ÖĐ Ò Ø Ð Ó Ù Ñ ÑØ Ò ËØÖ Òº