ÅÌÊÁË ÇØ ËÚÓÖ ØÖÒ ÔÓ Ö ÙÒ ÑØÖ ËÚÓÖ ÐÙÐÖ ÙÒ ØÖÑÒÒØ ËÚÓÖ ÐÙÐÖ Ð³ÒÚÖ ³ÙÒ ÑØÖ Ò ØÓÙØ Ð ÔØÖ ÓÒ ÒÖ ÔÖ K Ð Ò ÑÐ R ÓÙ C ½ Ä ÑØÖ ½½ ÌÖÒ ÔÓ ØÓÒ ÑØÖ ÒØÓÒ ½ ËÓØ A = (a ij ) 1in M n,p (K) ÙÒ ÑØÖ ÕÙÐÓÒÕÙ ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖÒ ÔÓ Ð ÑØÖ 1jp A Ð ÑØÖ ÒÓØ t A ÓÙ A T ÔÔÖØÒÒØ M p,n (K) Ø Ò ÔÖ t A = (a ji ) 1jp 1in Ø ÙØÖÑÒØ Ð ÐÒ t A ÓÒØ Ð ÓÐÓÒÒ A ³ Ø Ö Ò ÚÖ ÓÒ ØÒÙ a 11 a 21 a n1 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a 12 a 22 a n2 A = t A = a n1 a n2 a np a 1p a 2p a np ÜÑÔÐ ½ ØÖÑÒÖ t A Ú ÈÖÓÔÖØ ½ µ µ µ Úµ A = ( 1 2 3 4 5 6 ) M 2,3 (R) A M n,p (K), B M n,p (K), t (A+B) = t A+ t B A M n,p (K), λ K, t (λa) = λ t A A M n,p (K), t(t A ) = A A M n,p (K), B M p,q (K), t (AB) = t B t A ½
¾ Ä ÑØÖ ÖÖ ¾½ ÈÖØÙÐÖØ ÑØÖ ÖÖ ÒØÓÒ ¾ ÇÒ ÔÔÐÐ ÑØÖ ÖÖ ÙÒ ÑØÖ ÝÒØ Ð ÑÑ ÒÓÑÖ ÐÒ Ø ÓÐÓÒÒ ÇÒ ÒÓØ M n (K) Ð³Ò ÑÐ ÑØÖ ÖÖ ÓÒØ Ò K ÔÐÙØØ ÕÙ M n,n (K) ÌÓÙØ Ð ÓÔÖØÓÒ Ø ÔÖÓÔÖØ Ò ÙÖ ÑØÖ ÕÙÐÓÒÕÙ ÔÔÖØÒÒØ M n,p (K) Ö ØÒØ ÚÐÐ ÙÖ Ð ÑØÖ ÖÖ ÁÐ Ü Ø ÔÒÒØ ÙÒ ÑØÖ ÔÖØÙÐÖ ÔÔÐ ÑØÖ ÒØØ ÐÑÒØ ÒÙØÖ ÔÓÙÖ Ð ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÑØÖ ÒØÓÒ Ä ÑØÖ ÒØØ Ø ÒÓØ I n Ø ÓÒ I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ³ Ø ³ÐÐÙÖ ÙÒ ÑØÖ ÔÓÙÖ ÐÕÙÐÐ ÓÒ ÓÑÑÙØØÚØ Ù ÔÖÓÙØ ÑØÖÐ ³ Ø Ö A M n (K),AI n = I n A = A ÒØÓÒ ÇÒ ÔÙØ Ù ÒÖ Ð ÔÙ Ò Ò ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ³ Ø Ö A 0 = I n A n = AA n 1 = A n 1 A ÌÓÖÑ ½ ÒÑ ÆÛØÓÒ ÔÓÙÖ Ð ÑØÖ ËÓÒØ X Ø Y ÔÔÖØÒÒØ M n (K) ØÐÐ ÕÙ X Ø Y ÓÑÑÙØÒØ ³ Ø Ö XY = YX ÕÙ Ö Ø Þ ÖÖµ ÐÓÖ ÓÒ n N,(X +Y) n = n ( n k k=0 ) X n k Y k ØØÒØÓÒ ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ÚÑÑÒØ Ù Ð ÑØÖ Ò ÓÑÑÙØÒØ Ô ÜÑÔÐ ¾ ËÓØ A Ø B ÙÜ ÑØÖ ÕÙ ÓÑÑÙØÒØ ÚÐÓÔÔÖ (A+B) 2 ÁÐ Ü Ø ³ÙØÖ ÑØÖ ÖÖ ÔÖØÙÐÖ ÓÒØ ÓÒ ÖØ Þ ÓÙÚÒØ ÒØÓÒ Ä ÑØÖ ÓÒÐ µ ÍÒ ÑØÖ ÓÒÐ Ø ÙÒ ÑØÖ ÝÒØ ØÓÙ Ð ÐÑÒØ ÓÖ Ð ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ ½ ÒÙÐ Ø ÙÜ Ð ÓÒÐ ÓÒØ ÕÙÐÓÒÕÙ ÁÐ ÔÙÚÒØ ÓÒ ØÖ ÒÙÐ Ä ÑØÖ Ç ØÒØ Ò ÒØÒÙ ÙÒ ÑØÖ ÓÒе ½ ³ Ø Ö Ð ÓÒÐ ÔÖØÒØ Ù ÙØ Ù ÔÓÙÖ ÒÖ Ò ÖÓØ ¾
ÜÑÔÐ Ä ÑØÖ A Ø B ÙÚÒØ ÓÒعÐÐ ÓÒÐ λ 1 0 0 0 0 λ 1 A = 0 λ 2 0 Ø B = 0 λ 2 0 0 0 λ 3 λ 3 0 0 ÈÖÓÔÖØ ¾ λ 1 0 0 λ n 1 0 0 0 λ 2 0 D = 0 λ n Dn 2 0 = 0 0 λ n 0 0 λ n n ÊØÒÞ Ò ØØ ÔÖÓÔÖØ ÐÐ Ú ÙÓÙÔ ÒÓÙ ÖÚÖ ÒØÓÒ ÅØÖ ØÖÒÙÐÖ µ ÍÒ ÑØÖ ØÖÒÙÐÖ ÙÔÖÙÖ Ø ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÝÒØ ÓÒØ Ò ÓÙ Ð ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ ÕÙ ÓÒØ ÒÙÐ ÍÒ ÑØÖ ØÖÒÙÐÖ ÒÖÙÖ ³ Ø Ò Ö Ð ÓÒØÖÖ ³ Ø Ö ÕÙ ³ Ø ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÝÒØ ÓÒØ Ù Ù Ð ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ ÕÙ ÓÒØ ÒÙÐ ÜÑÔÐ ÖÖ ÙÒ ÑØÖ ØÖÒÙÐÖ ÒÖÙÖ Ø ÙÒ ÑØÖ ØÖÒÙÐÖ ÙÔÖÙÖ ÒØÓÒ ÌÖ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖµ ÇÒ ÔÔÐÐ ØÖ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ A M n (K) Ð ÓÑÑ ÐÑÒØ Ð ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ Ø ÓÒ Ð ÒÓØ tr(a) ³ Ø Ö ÕÙ ÜÑÔÐ 1 7 3 ËÓØ A = 3 5 2 ÐÙÐÖ tr(a) 5 3 12 i=n tr(a) = ÈÖÓÔÖØ ËÓØ A,B M n (K) ÙÜ ÑØÖ ÖÖ Ø t A Ð ØÖÒ ÔÓ A ÐÓÖ tr(a) = tr (t A ) tr(a+λb) = tra+λtrb, λ R ¾¾ i=1 ØÖÑÒÒØ ÑØÖ ÖÖ Ä ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÔÙØ ÐÙÐÖ Ð³ ÙÜ ÒØÓÒ ÙÚÒØ a ii ÒØÓÒ ÅØÖ ÑÒ ÓÒ ¾ [ ] a b ËÓØ A = Ä ØÖÑÒÒØ A Ø ÒÓØ Ø A = c d a b c d = ad bc
ÒØÓÒ ÅØÖ ÑÒ ÓÒ n Ú n 3 ËÓØ A = (a ij ) ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ³ÓÖÖ n Ø ÓØ A ij Ð ÑØÖ Ò Ð i Ñ ÐÒ Ø Ð j Ñ ÓÐÓÒÒ A i=n ÈÓÙÖ ØÓÙØ j {1;2...n} Ø A = ( 1) i+j a ij Ø A ij ÇÒ ÚÐÓÔÔ ÙÚÒØ Ð j Ñ Ó¹ i=1 ÐÓÒÒµ j=n ÈÓÙÖ ØÓÙØ i {1;2...n} Ø A = ( 1) i+j a ij Ø A ij ÇÒ ÚÐÓÔÔ ÙÚÒØ Ð i Ñ ÐÒµ j=1 ÊÑÖÕÙ ½ Ä ÒØÓÒ ÔÖÒØ Ø ÚÐÐ ÕÙÐÕÙ Ð ÑÒ ÓÒ Ð ÑØÖ Ð Ü Ø ÔÒÒØ ÙÒ ÙØÖ ÓÒ ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÑÒ ÓÒ Ð³ Ð ÖÐ Ø ËÖÖÙ ÑØÑØÒ ÖÒ ½¹½½µ ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ a d g b e h c f i ÓÒ ÖÓÔ Ð ÙÜ ÔÖÑÖ ÓÐÓÒÒ ÖÓØ a d g a d b e h b e c f i c f ÔÙ ÓÒ ÓÙ ØÖØ Ð ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ØÖÓ ÓÒÐ ÓÒÖ Ð ÓÑÑ ÔÖÓÙØ ØÖÓ ÓÒÐ ÔÖÒÔÐ Ø ÓÒ ÓØÒØ Ø A = aei+dhc+gbf (ceg +fha+ibd) ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ØÖÑÒÒØ ÙÚÒØ Ò ÚÐÓÔÔÒØ ÙÚÒØ ÙÒ ÐÒ ÔÙ ÙÚÒØ ÙÒ ÓÐÓÒÒ 1 2 3 4 2 1 1 0 1 ¾¾½ ¾ ÈÖÓÔÖØ ÑÔÓÖØÒØ n 2,detI n = 1 A,B M n (K),detAB = detadetb deta = det t A Ä ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÕÙ ÙÜ ÓÐÓÒÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÒÐÐ ÓÙ ÙÜ ÐÒ ÔÖÓ¹ ÔÓÖØÓÒÒÐÐ Ø ÒÙÐ ÁÒÚÖ ³ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÒØÓÒ ½¼ ËÓØ A M n (K) ÙÒ ÑØÖ ÖÖ ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÑØÖ A Ø ÒÚÖ Ð ³Ð Ü Ø ÙÒ ÑØÖ ÒÓØ A 1 M n (K) ØÐÐ ÕÙ AA 1 = A 1 A = I n ÇÒ ÔÔÐÐ A 1 Ð ÑØÖ ÒÚÖ Ð ÑØÖ A ÜÑÔÐ ËÓØ A M 3 (K) ØÐÐ ÕÙ A 3 +3A 2 = I 3 ÅÓÒØÖÖ ÕÙ A Ø ÙÒ ÑØÖ ÒÚÖ Ð Ø ØÖÑÒÖ ÓÒ ÒÚÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ë A Ø ÒÚÖ Ð ÐÓÖ deta 1 = 1 deta
ÜÑÔÐ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÔÖÒØ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ËÓØ A = (a ij ) ÙÒ ÑØÖ ÒÚÖ Ð ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÐÙÐÖ A 1 ÔÖ A 1 = 1 t B Ú B = (b ij ) Ð ÑØÖ Ò ÔÖ b ij = ( 1) i+j Ø A ij B Ø ÔÔÐ Ð Ø A ÑØÖ ÓØÙÖ ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ÑØÖ ÒÚÖ A = 3 1 1 1 3 1 0 2 2 ÎÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØÔÖÒØ Ò ÓÑÔÐØÒØ Ð ÑØÖ ¹ ÓÙ a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a Ø(A) = a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 +... A 1 t 1 = B Ú Ø(A) a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 23 B = a 12 a 13 a 32 a 33............ a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 13 a 21 a 23 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 13 a 32 a 33 t B = a 21 a 23............ a 21 a 22...... a 31 a 32...... a 21 a 22 a 31 a 32............ a 11 a 12 a 21 a 22 a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 13 a 21 a 23 a 11 a 12 a 21 a 22
a a 22 a 23 11 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 +a 13 a 21 a 22 a 31 a 32...... A t B =......... a a 22 a 23 31 a 32 a 33 a 32 a 21 a 23 +a 33 a 21 a 22 a 31 a 32...... Ò 1 Ø(A) At B =........................... ÈÖÓÔÖØ ËÓØ ÙÒ ÑØÖ A M n (K) Ø ÙÒ ÑØÖ B M n (K) ÙÔÔÓ ØÓÙØ ÙÜ ÒÚÖ Ð ÐÓÖ (AB) 1 = B 1 A 1 ÜÑÔÐ ½¼ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÔÖÒØ ÈÖÓÔÖØ ÍÒ ÑØÖ A Ø ÒÚÖ Ð Ø ÙÐÑÒØ Ø A 0 ÜÖ Ì ½¹¾ ÜÖ( ½ ) 1 2 0 ËÓØ A = ÜÔÖÑÖ t A 3 1 4 ( ) a a ÜÖ ¾ ÇÒ ÔÖÓÔÓ ³ØÙÖ Ð ÔÙ Ò ÒÑ M = Ó a Ø b ÓÒØ b b ÙÜ ÖÐ ( ) ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ M n ÔÙØ ³ÖÖ ÓÙ Ð ÓÖÑ M n un u = n v n v n ½ ÜÔÖÑÖ u n+1 Ò ÓÒØÓÒ u n a Ø b ÔÙ v n+1 Ò ÓÒØÓÒ v n a Ø b ¾ Ò ÙÖ Ð³ÜÔÖ ÓÒ M n Ò ÓÒØÓÒ n a Ø b ( ) 3 3 ÔÔÐØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ M = 1 1 ÜÖ ËÓÒØ (a n µ (b n ) Ø (c n ) ØÖÓ ÙØ ÖÐÐ ØÐÐ ÕÙ a 0 = 1 b 0 = 2 c 0 = 7 Ø ÚÖÒØ Ð a n+1 = 3a n +b n ÖÐØÓÒ ÖÙÖÖÒ b n+1 = 3b n +c n c n+1 = 3c n ÇÒ ÓÙØ ÜÔÖÑÖ a n b n Ø c n ÙÒÕÙÑÒØ Ò ÓÒØÓÒ n
½ ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÚØÙÖ ÓÐÓÒÒ X n = ÌÖÓÙÚÖ ÙÒ ÑØÖ A ØÐÐ ÕÙ X n+1 = AX n Ò ÙÖ ÕÙ X n = A n X 0 0 1 0 ¾ ËÓØ N = 0 0 1 ÐÙÐÖ N 2 N 3 ÔÙ N p ÔÓÙÖ p 3 0 0 0 a n b n c n ÅÓÒØÖÖ ÕÙ A n = 3 n I +3 n 1 nn +3 n 2n(n 1) N 2 2 Ò ÙÖ a n b n Ø c n Ò ÓÒØÓÒ n ÜÖ ½ ÎÖÖ ÙÖ Ð ÑØÖ ÖÖ ³ÓÖÖ ¾ ÕÙ ÌÖ ÌÖ ÇÒ ÔÙØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ Ö ÙÐØØ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ð ÑØÖ A Ø B ØÐÐ AB Ø BA Ü ØÒص ¾ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ð ØÖ Ø ÙÒ ÓÖÑ ÐÒÖ ÙÖ Ð³Ò ÑÐ ÑØÖ ÖÖ ¹ ÑÒ ÓÒ n ÜÖ ÐÙÐÖ ÔÓ Ð Ð ÑØÖ ÒÚÖ ÙÒ ÑØÖ ÙÚÒØ ( ) 2 12 ½ A = 0,5 3 3 2 2 ¾ B = 2 5 4 1 5 4 1 2 5 0 C = 0 1 2 1 0 0 1 0 1 4 0 1 ÜÖ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ Ù ÓÙÖ Ä ØÖÑÒÒØ ³ÙÒ ÑØÖ ÕÙ ÙÜ ÓÐÓÒÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÒÐÐ ÓÙ ÙÜ ÐÒ ÔÖÓÔÓÖ¹ ØÓÒÒÐÐ Ø ÒÙÐ ÜÖ ÐÙÐÖÐ ØÖÑÒÒØ ÑØÖ ÙÚÒØ 1 2 1 0 1 λ 2 4 2 1 1 1 1 1 A = 3 6 1 0 1 4 8 0 1 1 B = 0 λ 2 1 5 10 0 0 1 0 0 λ n ÜÖ ËÓØ Ð ÑØÖ M = 3 2 2 2 5 4 1 5 4 ÇÒ ÑØ ÕÙ M 3 +2M 2 M 2I 3 = O ÅÓÒØÖÖ ÐÓÖ ÕÙ Å Ø ÒÚÖ Ð Ø ÐÙÐÖ ÓÒ ÒÚÖ
ÜÖ ÇÒ Ø ÕÙ ÙÜ ÑØÖ A Ø B ÓÒØ ÑÐÐ Ð Ü Ø ÙÒ ÑØÖ P ÒÚÖ Ð ØÐÐ ÕÙ A = P 1 BP ½ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ÙÜ ÑØÖ ÑÐÐ ÓÒØ Ð ÑÑ ØÖÑÒÒØ ¾ ÅÓÒØÖÖ ÙÜ ÓÒ ÖÒØ ÕÙ A Ø ÒÚÖ Ð ÐÓÖ B Ø Ù ÒÚÖ Ð