TOM TAT PHAN THI HANH.doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ HẠNH MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ ÁP DỤNG Chuyê gàh: Phươg pháp toá sơ cấp Mã số: 60. 46. 03 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵg Năm 04

Côg trìh được hoà thàh tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướg dẫ khoa học: GS. TSKH. Nguyễ Vă Mậu Phả biệ : TS. Cao Vă Nuôi Phả biệ : TS. Hoàg Quag Tuyế Luậ vă đã được bảo vệ trước Hội đồg chấm Luậ vă tốt ghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵg vào gày 4 thág 06 ăm 04. Có thể tìm hiểu Luậ vă tại: - Trug tâm Thôg ti - Học liệu, Đại học Đà Nẵg - Thư việ trườg Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵg

MỞ ĐẦU. Tíh cấp thiết của đề tài: Trog toá học, bất đẳg thức có vị trí đặc biệt, khôg chỉ là hữg đối tượg để ghiê cứu mà cò đóg vai trò hư một côg cụ đắc lực ứg dụg vào hiều lĩh vực khác hau. Bất đẳg thức là một trog hữg chuyê mục có tíh hấp dẫ trog giáo trìh giảg dạy và học tập bộ mô toá ở hà trườg phổ thôg. Nó là một đề tài thườg xuyê có mặt trog các đề thi toá, trog các kỳ thi tuyể sih quốc gia cũg hư các kỳ thi tuyể sih Olympic về toá ở mọi cấp. Đối với chươg trìh toá phổ thôg, bất đẳg thức là một chuyê đề khó, và khó hơ cả với học sih trog đội tuyể học sih giỏi. Các bài toá về bất đẳg thức khá đa dạg và có thể chứg mih bằg hiều phươg pháp khác hau. Vì vậy việc giải các bài toá bất đẳg thức đòi hỏi phải vậ dụg kiế thức một cách lih hoạt, có tíh ság tạo, gười học cầ khéo léo sử dụg các kỹ thuật đề đưa bài toá đế kết quả hah hất. Học sih thườg gặp khó khă trog việc địh hướg cách giải trog các bài toá bất đẳg thức. Do đó, việc phâ loại và đưa ra phươg pháp giải cụ thể cho từg dạg là vấ đề chúg ta cầ qua tâm. Với ý tưởg ày, tôi chọ cho mìh đề tài Một số lớp bất đẳg thức hàm và áp dụg. Đề tài sẽ đưa ra hệ thốg lý thuyết, bài tập và phươg pháp giải các bài toá bất đẳg thức hàm một cách rõ ràg, cụ thể.. Mục tiêu ghiê cứu: Sưu tầm, giới thiệu, hệ thốg hóa và phâ loại một số lớp bất đẳg thức hàm để áp dụg giải các bài toá sơ cấp khó, hay gặp trog các kỳ thi vào lớp chuyê, thi đại học và thi học sih giỏi quốc

gia và Olympic quốc tế hư: chứg mih bất đẳg thức, giải phươg trìh, giải bất phươg trìh... Hệ thốg các bài toá về một số lớp bất đẳg thức hàm, phâ dạg và êu áp dụg của chúg. Nắm được một số kỹ thuật sử dụg bất đẳg thức, tạo ra các bất đẳg thức mới từ bất đẳg thức đã biết. 3. Đối tượg và phạm vi ghiê cứu: Đối tượg ghiê cứu: Nghiê cứu các bất đẳg thức liê qua đế các lớp hàm hư: bất đẳg thức hàm Cauchy, hàm đơ điệu và hàm tựa đơ điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm, bất đẳg thức hàm Jese, bất đẳg thức hàm Karamata, bất đẳg thức liê qua đế tam giác và các áp dụg liê qua. Phạm vi ghiê cứu: Nghiê cứu từ các tài liệu, giáo trìh của GS. TSKH Nguyễ Vă Mậu, các tạp chí toá học, và một số chuyê đề về bất đẳg thức. 4. Phươg pháp ghiê cứu: Phươg pháp tự ghiê cứu các tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thôg trug học, các tài liệu tham khảo về bất đẳg thức, tạp chí toá học tuổi trẻ, các đề tài ghiê cứu có liê qua Phươg pháp tiếp cậ lịch sử, sưu tầm, phâ tích, tổg hợp tư liệu và tiếp cậ hệ thốg. 5. Cấu trúc luậ vă Luậ vă ày dàh để trìh bày một số lớp bất đẳg thức hàm và áp dụg. Ngoài phầ mở đầu, kết luậ, luậ vă gồm ba chươg và dah mục tài liệu tham khảo.

3 Chươg I, dàh để trìh bày cơ sở lý thuyết (đặc biệt bất đẳg thức hàm Cauchy, hàm đơ điệu và tựa đơ điệu, hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm) sẽ dùg đế trog các chươg sau. Chươg II, trìh bày một số lớp bất đẳg thức hàm hư: bất đẳg thức hàm Jese, bất đẳg thức hàm Karamata, bất đẳg thức liê qua đế tam giác. Chươg III, trìh bày một số áp dụg vào giải bài toá liê qua (đặc biệt bất đẳg thức AG suy rộg và một số kỹ thuật vậ dụg bất đẳg thức AG). 6. Tổg qua tài liệu ghiê cứu Đề tài đưa ra hệ thốg lý thuyết, bài tập và phươg pháp giải một số lớp bất đẳg thức hàm. Giải quyết hàg loạt các bài toá chứg mih bất đẳg thức khó ở trug học phổ thôg.

4 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Ở chươg, chúg tôi giới thiệu các kiế thức cơ sở sẽ được sử dụg trog luậ vă. Chươg ày trìh bày các khái iệm, tíh chất, địh lý cơ bả về một số lớp bất đẳg thức hàm. Chươg ày tham khảo ở các tài liệu [3].. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Địh lý.. (Xem [3]). Nhậ xét rằg, bất đẳg thức Cauchy cũg có thể được suy trực tiếp từ đồg hất thức Lagrage sau đây Địh lý.. (Lagrage). Bài toá.. Hệ quả.. Hệ quả.3. (Xem [3]). Hệ quả.4. (xem [3])... HÀM ĐƠN ĐIỆU VÀ TỰA ĐƠN ĐIỆU... Hàm đơ điệu Về sau ta thườg sử dụg ký hiệu Iab (, ) à là hằm địh một trog bố tập hợp ( ab, ),[ ab, ),( ab, ] hoặc[ ab, ] với a< b. Thôg thườg, khi hàm số f( x ) xác địh trê tập Iab (, ) à và thỏa mã điều kiệ: Với mọi x, x Œ Iab (, ) ta đều có f( x ) f( x ) x x thì ta ói rằg f( x ) là một hàm đơ điệu tăg trê Iab (, ). Đặc biệt, khi ứg với mọi cặp x, xœ Iab (, ) ta đều có f( x ) < f( x ) x < x thì ta ói rằg f( x ) là một hàm đơ điệu tăg thực sự trê Iab (, ).

5 Ngược lại, khi f( x) f( x) x x, " x, xœiab (, ) thì ta ói rằg f( x ) là một hàm đơ điệu giảm trê Iab (, ). Nếu xảy ra f( x) > f( x) x < x, " x, xœiab (, ) thì ta ói rằg f( x ) là một hàm đơ điệu giảm thực sự trê Iab (, ) Nhữg hàm số đơ điệu tăg thực sự trê Iab (, ) được gọi là hàm đồg biế trê Iab (, ) và hàm số đơ điệu giảm thực sự trê Iab (, ) được gọi là hàm ghịch biế trê tập đó. Địh lý.3. Cho hàm số f( x ) có đạo hàm trê khoảg ( ab, ). (i) Nếu f '( x ) > 0 với mọi xœ( ab, ) thì hàm số f( x ) đồg biế trê khoảg đó. (j) Nếu f '( x) < 0với mọi xœ( ab, ) thì hàm số f( x ) ghịch biế trê khoảg đó. + Địh lý.4. Hàm f( x ) xác địh trê là một hàm số đợ điệu tăg khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dươg a, a,..., a và x, x,..., x, ta đều có Địh lý.5. Để bất đẳg thức af( x ) ( a ) f( x ) (.5) k k k k k= k= k= f( x ) f( x ) (.8) k k= k= được thỏa mã với mọi bộ số dươg x, x,..., x, điều kiệ đủ là hàm f ( ):= ( x gx ) đơ điệu tăg trê +. x f Hệ quả.5. Giả sử ( ) = ( x gx ) là hàm đơ điệu tăg trog x [0, + ]. Khi đó với mọi dãy số dươg và giảm x, x,..., x, ta đều có - - k - k+ k= f( x x ) f( x f( x )). k

6 f Nếu bổ sug thêm điều kiệ : ( ): = ( x gx ) là hàm đồg biế x + trê và x, x,..., x là bộ số gồm các số lớ hơ, thì ta thu được bất đẳg thức thực sự: f( x ) < f ( x ). k k= k= Tươg tự ta cũg có thể phát biểu các đặc trưg đối với các hàm đơ điệu giảm. Địh lý.6. Hàm f( x ) xác địh trê k + là một hàm số đơ điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dươg a, a,..., a và x, x,..., x, ta đều có Địh lý.7. Để bất đẳg thức af( x ) ( a ) f( x ). k k k k k= k= k= f( x ) f ( x ). k k= k= được thỏa mã với mọi bộ số dươg x, x,..., x, điều kiệ đủ là hàm f ( ):= ( x gx ) đơ điệu giảm trê +. x Địh lý.8. Địh lý.9. (Maclauri, Cauchy). Địh lý.0. Hệ quả.6. Địh lý.. Địh lý.. Hệ quả.7. Địh lý.3. (Bất đẳg thức thứ tự Chebyshev). Giả sử f( x ) và gx ( ) là hai hàm đơ điệu tăg và ( x k ) là một dãy đơ điệu tăg: x x... x k

7 Khi đó với mọi bộ trọg ( p j ): p 0, j =,,..., ; p + p +... + p = j ta đều có pf k ( xk) pgx k ( k) pf k ( xk)( gx k)... Hàm tựa đơ điệu Ta hắc lại tíh chất que biết sau đây. Giả sử hàm số f( x ) xác địh và đơ điệu tăg trê Iab (, ). Khi đó với mọi x, x Œ Iab (, ), ta đều có x < x fi f( x ) f( x ) và gược lại, ta có x < x fi f( x) f( x ), " x, xœiab (, ) khi f( x ) là một hàm đơ điệu giảm trê Iab (, ). Tuy hiê, trog ứg dụg, có hiều hàm số chỉ đòi hỏi có tíh chất yếu hơ, chẳg hạ hư: f( x ) f( x ) x x ;" x, x > 0 mà x + x, thì khôg hất thiết f( x ) phải là một hàm đơ điệu tăg trê (0,). Ví dụ, với hàm số f( x) = sip x, ta luô có khẳg địh sau đây. Bài toá.. Địh ghĩa.. Hàm số f( x ) xác địh trog (0, b ) à (0, + ) được gọi là hàm số tựa đồg biế trog khoảg đó, ếu f( x ) < f( x ) x < x ;" x, x > 0mà x + x < b (.) Tươg tự ta cũg có địh ghĩa hàm tựa ghịch biế trog một khoảg cho trước. Địh ghĩa.. Hàm số f( x) xác địh trog (0, b ) à (0, + ) được gọi là hàm số tựa ghịch biế trog khoảg đó, ếu f( x ) < f( x ) x > x ;" x, x > 0 mà x + x < b(.) Bài toá.3.

Bài toá.4. 8 Địh lý.4. Mọi hàm f( x ) xác địh trog (0, b ) à (0, + ) và thỏa mã các điều kiệ: b (i) f( x ) đồg biế trog khoảg (0, ) b (j) f( x) f( b- x), " xœ[, b ) đều là hàm tựa đồg biế trog khoảg đã cho..3. HÀM LỒI, LÕM VÀ TỰA LỒI, LÕM.3.. Các tìh chất cơ bả của hàm lồi Địh ghĩa.3. (Xem[3]). Hàm số f( x ) được gọi là hàm lồi (lồi dưới) trê tập [a,b) à ếu với mọi " x, x Œ[a,b) và với mọi cặp số dươg a, bcó tổga + b =, ta đều có f( ax + bx ) a f( x ) + b f( x ) (.4) Nếu dấu đẳg thức trog (. 4) xảy ra khi và chỉ khi x = x thì ta ói hàm số f( x ) là hàm lồi thực sự (chặt) trê [ ab, ). Hàm số f( x ) được gọi là hàm lõm (lồi trê) trê tập [a,b) à ếu " x, x Œ[a,b) và với mọi cặp số dươg ab, có tổga + b =, ta đều có f( ax + bx ) a f( x ) + b f( x ) (.5) Nếu dấu đẳg thức trog (. 5) xảy ra khi và chỉ khi x = x thì ta ói hàm số f( x ) là hàm lõm thực sự (chặt) trê [ ab, ). Tươg tự, ta cũg có địh ghĩa về hàm lồi (lõm) trê các tập ( ab, ),( ab, ] và[a,b]. Về sau, ta sử dụg kí hiệu Iab (, ) là hằm gầm địh một trog bố tập hợp ( ab, ),[a,b),( ab, ] và[a,b]. Chú ý rằg, đôi khi ta chỉ ói về tíh lồi của một hàm số mà khôg ói tới hàm đó lồi trê tập Iab (, ) một cách cụ thể hư đã êu ở trê. Nhậ xét rằg, khi x < x thì x = ax + bx vói mọi cặp số dươg a, bcó tổga + b =, đều thuộc ( x, x ) và

Tíh chất.. Tíh chất.. Tíh chất.3. Tíh chất.4. Tíh chất.5. Tíh chất 6. 9 x-x x -x a =, b = x -x x -x Địh lý.5. Nếu f( x ) khả vi bậc hai trê Iab (, ) thì f( x ) lồi (lõm) trê Iab (, ) khi và chỉ khi f"( x) 0( f"( x ) 0) trê Iab (, ). Địh lý.6. Nếu f( x ) lồi trê ( ab, ) thì tồ tại đạo hàm một phía f '( - x ) và f '( ) + x với mọi x Œ( ab, ) và f '( x) f '( x ). - + Nhậ xét.. Các hàm số f '( x ) và f '( ) - + x là hữg hàm đơ điệu tăg trog ( ab, ). Địh lý.7. Nếu f( x ) lồi trê Iab (, ) thì f( x ) liê tục trê ( ab, ). Nhậ xét.. Hàm lồi trê [a,b] có thể khôg liê tục tại đầu mút của đoạ [a,b]. Địh lý.8. (Jese). Nhậ xét.3. Giả sử f( x) cost và là hàm lồi trê [a,b] với f( a) = f( b ). Khi đó f( x) f( a ) vơi mọi xœ( ab, ). Địh lý.9. Giả sử f( x ) có đạo hàm cấp hai trog khoảg ( ab, ) khi đó điều kiệ cầ và đủ để hàm số ( ab, ) lồi trê v là f"( x) 0, " xœ( ab, ) (.36).3.. Hàm tựa lồi và tựa lõm Bài toá.5. Nếu ABC,, là các góc của VABC thì cosa+ cosb+ cosc A+ B+ C cos. 3 3

Địh ghĩa.4. Hàm số 0 gọi là hàm tựa lồi trog khoảg đó, ếu f (x) xác địh trog (0,b) Œ (0, + )được x + x b x+ y f(x) + f(y) f( )," x, x > 0 mà Tươg tự ta cũg có địh ghĩa đối với hàm tựa lõm trog một khoảg cho trước. Địh ghĩa.5. Hàm số f (x) xác địh trog (0,b) Œ (0, + )được gọi là hàm tựa lõm trog khoảg đó, ếu x + x b. x+ y f(x) + f(y) f( )," x, x > 0 mà

CHƯƠNG MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM Trog chươg ày, ta sẽ đề cập đế địh lý về bất đẳg thức hàm Jese, bất đẳg thức Karamata và bất đẳg thức liê qua đế tam giác có rất hiều ứg dụg trog thực tiễ. Các bài toá ở chươg ày được tham khảo ở các tài liệu [], [3], [5]... BẤT ĐẲNG THỨC HÀM JENSEN... Cơ sở lý thuyết Địh ghĩa.. ( Xem[]). Tập D gọi là tập lồi ếu hai phầ tử ab, tùy ý thuộc D và với mọi số thực l Œ[0;] thì la+ (-l) b cũg thuộc D Địh ghĩa.. ( Xem[]). Cho D là tập lồi trog R. Hàm số f( x ) gọi là lồi (tươg ứg lõm) trê D, ếu với mọi l Œ[0;] thì tươg ứg Tíh chất.. [ ] x, x Œ D, mọi f lx + (- l) x lf( x ) + (-l) f( x ) [ ] f lx + (-l) x lf( x ) + (-l) f( x ). Địh lý.. (Xem[]). Cho D là tập lồi (tươg ứg lõm) trê D khi và chỉ khi với mọi số guyê dươg, với l 0 i và ta có Tươg ứg i= l =, i f( l x ) l f( x ). i i i i i= i= x, x,..., x Œ D, mọi

f( l x ) l f( x ). i i i i i= i=... Một số bài toá liê qua Bài toá.. Cho a, a,..., a. Chứg mih rằg + +... + + a + a + a + aa... a Bài toá.. Cho abc,, > 0 thỏa mã a+ b+ c =. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức sau theo S = ( a+ ) + ( b+ ) + ( c+ ). a b c Bài toá.3. (Xem[3]). Cho abc,, > 0. Chứg mih rằg a b c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a. b. c ( a+ b+ c ) 3 Bài toá.4. (Xem[]). Cho ai 0, i=,,..., ; Œ *. Chứg mih rằg ( ). a i i= e + ai i= e + Bài toá.5. Cho ba số thực dươg abc,, và số thực l 8. Chứg mih rằg a + b + c a + l. bc b + l. ac c + l. ab 3. + l Nhậ xét.. Đây là bài toá đóg vai trò qua trọg trog các bài toá bất đẳg thức về góc của tam giác. Rất hiều bài toá chứg mih bất đẳg thức về góc trog tam giác có sử dụg đế tíh chất của hàm lồi (lõm). Chẳg hạ, xét các bài toá sau. Bài toá.6. Chứg mih rằg trog tam giác ABC ta luô có A B C )si + si + si 3

3 A B C )ta + ta + ta 3 A B C A B C 3 3)si + si + si + ta + ta + ta + 3 4) + + 3 sia sib sic 5) + + 6 cosa cosb cosc 6) + + A B C si si si 7) + + 4 A B C cos cos cos.. BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA... Cơ sở lý thuyết Địh lý.. (Bất đẳg thức Karamata). Cho hai dãy số {, Œ (, ), =,,..., } xk yk Iab k, thỏa mã điều kiệ x x... x, y y... y và Ïx y Ô x + x y + y Ô Ì... (.) Ô x + x +... + x- y + y +... + y- Ô Ô Óx + x +... + x = y + y +... + y Khi đó, ứg với mọi hàm lồi thực sự f( x)( f"( x ) > 0) trê Iab (, ), ta đều có f( x ) + f( x ) +... f( x ) f( y ) + f( y ) +... f( y ). (.)

4 Địh lý.3. (I. Schur). Điều kiệ cầ và đủ để hai bộ dãy số đơ x, y, k =,,...,, thỏa mã các điều kiệ điệu giảm { } k k Ïx y Ô x + x y + y Ô Ì... Ô x + x +... + x y + y +... + y Ô Ô Óx + x +... + x = y + y +... + y - - là giữa chúg có một phép biế đổi tuyế tíh có dạg trog đó y = ax, i=,,...,, i ij j j= kl kj jl j= j= (.6) a 0, a =, a = ; kl, =,,...,. Địh lý.4. Cho hàm số y= f( x ) có đạo hàm cấp hai tại mọi xœ( ab, ) sao cho f '( x ) 0 với mọi xœ[ ab, ] và f ''( x ) 0 với mọi xœ( ab, ). Giả sử a, a,..., a và x, x,..., x là các số thuộc [a,b], đồg thời thỏa mã các điều kiệ a a... a và x x... x và Ïx a Ôx + x a + a Ì Ô... Ô Óx + x +... + x a + a +... + a Khi đó, ta luô có k k= k= f( x ) f( a ). Địh lý.5. Địh lý.6. Cho hàm số y= f( x ) có đạo hàm cấp hai tại mọi xœ( ab, ) sao cho f"( x ) > 0 với mọi xœ( ab, ). k

5 Giả sử a, a,..., a và x, x,..., x là các số thuộc [a,b], thỏa mã điều kiệ a a... a và Ïx a Ôx + x a + a Ì Ô... Ô Óx + x +... + x = a + a +... + a Địh lý.7. Khi đó ta luô có f( x ) f( a ) k k= k= Nhậ xét.. Có thể ói rằg địh lý (.6) cho ta một côg cụ rất mạh để thực hiệ quá trìh làm đều và thuật toá dồ biế để chứg mih hiều dạg bất đẳg thức phức tạp.... Một số bài toá liê qua Bài toá.7. Cho ba số thực dươg xyz,, sao cho max{ xyz,, } 0e, mi { xyz,, } x+ y+ z=04e. e và Tìm giá trị lớ hất của biểu thức S = lx+ ly+ l z. Bài toá.8. Cho abc,, là ba số thực dươg. Chứg mih rằg + + ( + + ). a b c a+ b b+ c c+ a Bài toá.9. Cho abc,, > 0. Chứg mih rằg với " Œ * k 4 4 4 ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca). 3 3 3 3 3 3 ( ab+ bc+ ca) + ( ab + bc + ca )

Bài toá.0. Cho >0 6 x y z có max{ xyz} { xyz },, 3,mi,, và x+ y+ z= 6, a > là số thực cho trước. Tìm giá trị lớ hất của biểu thức a a a S = x + y + z.3. BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC.3.. Cơ sở lý thuyết Địh ghĩa.3. Cho VABC, đặt d V ABC= max {A,B,C}- mi{a,b,c}. d VABC gọi là độ gầ đều của VABC. Địh ghĩa.4. Cho VABC và VABC sao cho A B C, A B C và A A, C C.Khi đó, ta ói VABC gầ đều hơ VABC. Nhậ xét 3. Tam giác đều gầ đều hơ mọi tam giác khác. Nhậ xét. 4. Trog các tam giác khôg họ thì tam giác vuôg câ gầ đềuhơ cả. Địh lý 4. (Xem [5]). Cho VABC 0 0 0 gầ đều hơ VABC và hàm số f( x ) có f"( x) 0, " x Œ(0, p ). Khi đó f( A) + f( B) + f( C) f( A0) + f( B0) + f( C 0). Tươg tự,ếu f"( x) 0, " x Œ(0, p ) thì f( A) + f( B) + f( C) f( A ) + f( B ) + f( C ). 0 0 0.3.. Một số bài toá liê qua Bài toá.. Cho VABC khôg họ. Chứg mih rằg )sia+ sib+ sic +. A B C )ta + ta + ta -. p p Bài toá.. Cho VABC có max {A,B,C},mi{A,B,C}. 3 6 Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức M = sia+ sib+ sic.

7 Bài toá.3. Cho VABC. Tìm giá trị lớ hất và hỏ hất của biểu thức A B C B C A C A B M = si( + + ) + si( + + ) + si( + + ) 3 6 3 6 3 6 Bài toá.4. Cho VABC và ba số thực dươg abg,, thỏa mã a + b + g =. Tìm giá trị lớ hất và giá trị hỏ hất của biểu thức M = si( aa+ bb+ gc) + si( ab+ bc+ ga) + si( ac+ ba+ gb ). Bổ đề.. Cho VABC có A B Cvà ba số thực dươg a, bg, thỏa mã a + b + g =. Đặt ÏA = aa+ bb+ gc Ô ÌB = ab+ bc+ ga Ô ÓC = ac+ ba+ gb Với A B C, tức là VABC gầ đều hơ VABC. Chứg mih rằg sia+ sib+ sic sia + sib + si C. Bài toá.5. Cho abg>,, 0 và tam giác họ ABC. Tìm giá trị hỏ hất của đẳg thức M = ataa+ btab+ g ta C. Bổ đề.. Cho hàm số f() t có f '( t ) > 0 và f"( t) 0, "Œ t. Khi đó với " xyzx,,, 0, y0, z 0Œ thỏa mã x+ y+ z= x0 + y0 + z 0 thì đẳg thức f( x) f( y) f() z M = + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) 0 0 0 đạt được giá trị hỏ hất là f( x0) f( y0) f( z0) + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) khi x = x, y= y, z= z. 0 0 0 0 0 0

8 Bài toá.6. Cho abg>,, 0 và tam giác họ ABC. Tìm giá trị lớ hất, giá trị hỏ hất của đẳg thức M = asia+ bsib+ g si C. (.3) Bổ đề.3. Cho hàm số f() t có f '( t ) > 0 và f"( t) 0, "Œ t. Khi đó với " xyzx,,, 0, y0, z 0Œ thỏa mã x+ y+ z= x0 + y0 + z 0 thì đẳg thức f( x) f( y) f() z M = + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) 0 0 0 đạt được giá trị lớ hất là f( x0) f( y0) f( z0) + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) 0 0 0 khi x = x0, y= y0, z= z 0. Bài toá.7. Cho abg>,, 0 và tam giác họ ABC. Tìm giá trị lớ hất,giá trị hỏ hất của đẳg thức M = acosa+ bcosb+ gcosc. (.5) Bổ đề.4. Cho hàm số f() t có f '( t ) < 0 và f"( t) 0, "Œ t. Khi đó " xyzx,,, 0, y0, z 0Œ thỏa mã x+ y+ z= x + y + z thì đẳg thức f( x) f( y) f() z M = + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) 0 0 0 đạt được giá trị hỏ hất là f( x0) f( y0) f( z0) + + f '( x ) f '( y ) f '( z ) khi x = x, y= y, z= z. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Trog phầ ày, có êu ba bài toá phi đối xứg là bài toá. 5, bài toá. 6, bài toá. 7 và ba bổ đề liê qua để chứg mih. Từ ba bài toá ày có thể vậ dụg để giải quyết một số bài toá phi đối xứg trog tam giác.

9 CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG VÀO GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN Các bài toá ở chươg ày được xem ở các tài liệu [3] 3.. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG 3... Cơ sở lý thuyết Địh lý.3. (Xem [3]). Cho hai dãy số dươg x, x,..., x ; p, p,..., p. Ta luô có bất đẳg thức p+ p+... + p p Ê + + + ˆ p p xp xp... xp x. x... x Á Ë p + p +... + p Dấu đẳg thức xảy ra khi và chỉ khi x = x =... = x 3... Một số bài toá liê qua Bài toá 3.. Cho xy, > 0. Tìm giá trị hỏ hất của hàm số x 4y f( xy, ) = xy + + 8 y x Bài toá 3.. Cho ab, 0 và p là số hữu tỉ dươg. Chứg mih rằg p+ p+ p+ p+ p p a + b + pa ( + b ) ab( p + ). Bài toá 3.3. (Bất đẳg thức Holder). Cho abpq,,, > 0 sao cho + =. Chứg mih rằg p q q a b p + a b. p q.

0 3.. MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AG 3... Địh lý về các giá trị trug bìh cộg và hâ Các đại lượg trug bìh mà chúg ta thườg gặp trog chươg trìh phổ thôg là trug bìh cộg, trug bìh hâ, trug bìh điều hòa và trug bìh toà phươg. Bất đẳg thức có liê qua đế các đại lượg trê, được sử dụg phổ biế trog các bài toá chứg mih bất đẳg thức. Địh ghĩa 3.. (Xem [3]). Cho các số dươg a, a,..., a, ký hiệu a + a +... + a a + a +... + a QM =, AM = GM = a. a... a, HM = + +... + a a a lầ lượt được gọi là trug bìh toà phươg, trug bìh cộg, trug bìh hâ, trug bìh điều hòa của các số a, a,..., a. Địh lý 3.. (Xem [3]). Giả sử a, a,..., a là các số khôg âm. Khi đó a + a +... + a aa... a. (.) Dấu đẳg thức xảy ra khi a = a =... = a. Hệ quả 3.. (Bất đẳg thức GH). Với mọi bộ số dươg a, a,..., a, ta đều có aa... a. + +... + a a a Dấu đẳg thức xảy ra khi a = a =... = a. Hệ quả 3.. Với số guyê dươg a, a,..., a.ta luô có + +... +. a a a a + a +... + a

3... Một số kỹ thuật vậ dụg bất đẳg thức AG Trog mục ày êu cách thức vậ dụg bất đẳg thức AG trog thực hàh hư là một côg cụ trug gia để giải quyết một số dạg bất đẳg thức que biết. a. Kỹ thuật tách, ghép và phâ hóm Bài toá 3.4. Cho abc,, là hữg số thực dươg. Chứg mih rằg m+ m+ m+ m m m a + b + c a b + b c + c a. Bài toá 3.5. Cho abc,, là hữg số thực dươg. Chứg mih rằg 5 5 5 a b c 3 3 3 + + a + b + c. b c a Bài toá 3.6. Cho abc,, là hữg số thực dươg. Chứg mih rằg 5 5 5 a b c + + a + b + c bc ca ab 3 3 3. Bài toá 3.7. Cho abc,, là hữg số thực dươg. Chứg mih rằg 5 5 5 3 3 3 a b c a b c + + + +. 3 3 3 b c a b c a Bài toá 3.8. Cho xyz,, là các số thực dươg. Chứg mih rằg 3 3 3 x y z + + ( x + y + z ). x+ y y+ z z+ x 3 Bài toá 3.9. Cho xyz,, là các số thực dươg. Chứg mih rằg 3 3 3 x y z + + + + ( x y z ). ( y+ z) ( z+ x) ( x+ y) 4 Bài toá 3.0. Cho xyz,, là các số thực dươg. Chứg mih rằg 3 3 3 x y z + + ( x+ y+ z ). yz ( + x) zx ( + y) xy ( + z) Bài toá 3.. Cho xyz,, là các số thực dươg. Chứg mih rằg 4 4 4 x y z + + x+ y+ z. yz zx xy Nhậ xét 3.. Khi sử dụg bất đẳg thức AG, cầ chú ý

. Lựa chọ thừa số để đảm bảo dấu đẳg thức của bất đẳg thức xảy ra. Bổ sug thêm một số số hạg để sau khi sử dụg bất đẳg thức AG ta khử được mẫu số của biểu thức phâ thức. b. Kỹ thuật sử dụg hằg số phụ trog bất đẳg thức AG Kỹ thuật sử dụg hằg số phụ trog bất đẳg thức AG rất qua trọg trog việc tách ghép các số, hằm đảm bảo dấu đẳg thức trog bất đẳg thức AG xảy ra. Kỹ thuật ày khôg khó lắm, ó phục vụ cho tất cả các đối tượg học sih. Từ hữg học sih rất giỏi, đế các em trug bìh đều có thể hiểu và vậ dụg được. Miễ là giáo viê cầ tạo ra một số bài toá phù hợp với từg đối tượg học sih. Từ mục đích đó, xi giới thiệu một số bài toá theo từg cấp độ khác hau, phù hợp với trìh độ của từg học sih. Ví dụ 3.. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức sau S = x+ x với x a và a >. Ví dụ 3.. Tìm giá trị lớ hất của biểu thức sau S = x+ y + y+ z + z+ x với xyz,, > 0, x+ y+ z= 3a và a > 0. Bài toá 3.. Cho abcd,,, > 0. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức a b c d S = ( + )( + )( + )( + ). 5b 5c 5d 5a Bài toá 3.3. Cho abcd,,, > 0 thỏa mã a+ b+ c+ d 8. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức 3 3 3 3 S = ( a+ + )( b+ + )( c+ + )( d+ + ). b c c d d a a b

3 Bài toá 3.4. Cho abc,, > 0 thỏa mã a+ b+ c 3. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức S = a + + + + + + + + b c. b c c a a b Bài toá 3.5. Cho 3 số thực dươg abc,, sao cho abc =. Chứg mih rằg a b c + +. a + b + c + Bài toá 3.6. (Frace Pre-MO 005). Cho các số thực dươg xyz,, thỏa mã x + y + z = 3. Chứg mih xy yz zx + + 3. z x y Bài toá 3.7. Cho ab, > 0 sao cho a+ b. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức 007 S = + + 406ab a + b 4ab Bài toá 3.8. Cho các số thực dươg abc,, sao cho a+ b+ c. Tìm giá trị hỏ hất của biểu thức S = + + +. a + b + c ab bc ca

4 KẾT LUẬN Luậ vă đã giới thiệu, phâ loại và hệ thốg hóa về một số bất đẳg thức hàm hư: bất đẳg thức hàm Jese, bất đẳg thức hàm Karamata, bất đẳg thức liê qua đế tam giác và một số áp dụg vào giải bài toá liê qua. Trê cở sở các bất đẳg thức hàm đó đã ứg dụg vào giải quyết một số bài toá về chứg mih bất đẳg thức, tìm cực trị của hàm số. Đây là hữg dạg toá thườg được gặp trog các kỳ thi học sih giỏi toá cấp quốc gia và Olympic toá quốc tế. Qua đây tác giả hậ thấy hậ thức của mìh về bất đẳg thức hàm được âg lê rõ rệt. Việc tìm hiểu các bất đẳg thức ày là cơ sở giúp tác giả có thể ság tạo thêm hiều bài toá về bất đẳg thức phục vụ rất hiều cho việc học tập và giảg dạy của bả thâ. Do thời gia thực hiệ luậ vă có hạ, trìh độ của gười viết cũg có hiều hạ chế dù bả thâ đã cố gắg hưg sai sót vẫ là điều khó tráh khỏi. Vì thế, rất mog hậ được của quý thầy cô, bạ bè, đồg ghiệp để luậ vă được hoà thiệ hơ ữa.