Matrices.dvi

ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ Å ÌÊÁ Ë ÐÙÐ Ñ ØÖ Ð Ü Ö ½ 1 2 2 3 Ø B = ½º ÐÙÐ Ö A B Ø B Aº 1 3 5 1 ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A Ø B ÓÒØ ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö Ð ÙÖ ÒÚ Ö º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ AB Ø BA ÓÒØ ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö Ð ÙÖ ÒÚ Ö º º Î Ö Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÓÙÖ AB 1 = B 1 A 1 º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÐÐ I 2,A,A 2 Ø I 2,B,B 2 ÓÒØ Ð Ø Ö ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö Ø Ö ÒÚ Ö Ð Ñ ØÖ A Ø Bº º ÓÑÑ ÒØ ÐÙÐ Ö Ð Ñ ØÖ A n Ø B n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ü Ö ¾ ËÓ Ø A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 M 3 Rº ½º Ø ÖÑ Ò Ö KerA Ø ImA Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÙÔ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò M 3,1 Rº ¾º ÌÖÓÙÚ Ö ÙÒ B 1 KerA Ø ÙÒ B 2 ImAº ÇÒ ÔÓ B = B 1 B 2 ÔÙ P Ð Ñ ØÖ Ô Ð ÒÓÒ ÕÙ R 3 Ð Bº º ÐÙÐ Ö P Ø P 1 º º ÐÙÐ Ö P 1 AP ÙÜ Ñ Ò Ö Ö ÒØ º º ÈÖÓÔÓ Ö ÙÒ ÐÙÐ ÔÓÙÖ A n ÐÓÖ ÕÙ n Ö Ø Nº Ü Ö 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ½º ÐÙÐ Ö B n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ¾º Ò Ù Ö A n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÔÙ B = A 2I3 º ËÓ Ø d N º ÇÒ ÔÓ A Ð Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ò M d R Ò³ Ñ ØØ ÒØ ÕÙ 1 ÙÖ Ø Ù¹ Ù Ð ÓÒ Ð º º ½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ñ ØÖ N M d C Ø ÐÐ ÕÙ A = d N k k=0 ¾º Ò Ù Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ð Ñ ØÖ A n º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö A 1 º ÇÒ ÔÓ A = a b c 3c a 3c b 3b 3c 3b a 3c ; a,b,c C 3 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ð Ö ÓÑÑÙØ Ø Ú M 3 C Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ º ËÓ Ø A = a ij M n+1 R Ø ÐÐ ÕÙ i,j 1,n+1 2, a ij = j 1 i 1 ½º ÜÔÐ Ø Ö ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ f ÙÖ ÙÒ Ô ÔÓÐݹ ÒÑ ÓÒØ A Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ f ÐÓÒ ÙÒ º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö A 1 º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ö Ò Ñ ØÖ A n = sini+j, 1,i,j n ÐÓÖ Õ٠г ÒØ Ö n Ö Ø N º 4 3 0 5 0 1 0 1 2 M 3 Rº ½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ C[A] = VectA k ; k Nº ¾º Ä Ñ ØÖ A ع ÐÐ ÒÚ Ö Ð Ë ÓÙ ÐÙÐ Ö ÓÒ ÒÚ Ö º º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÑÔÐ Ü λ Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ØÖ A λi 3 Ò³ Ø Ô ÒÚ Ö Ð º ½

¾ ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ º Å ÌÊÁ Ë ËÓ Ø A M p R ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð Ø Ò ÓÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ 0 ÓÙ 1º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò Ñ Ð ÓÙ Ñ Ü Ñ Ð 1ÔÓ Ð Ò Ð Ñ ØÖ Aº Ü Ö ½¼ ËÓ Ø n N º ½º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ Θ Ò Ô Ö Θ : M n C LM n C,C Ø ÙÒ ÓÑÓÖ¹ A M TrAM Ô Ñ º ¾º Ò Ù Ö ÕÙ n 2 ÐÓÖ ØÓÙØ ÝÔ ÖÔÐ Ò M n C ÓÒØ ÒØ Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð º Ü Ö ½½ ½º Ü Ø ¹Ø¹ Ð Ñ ØÖ A Ø B Ò M p R Ø ÐÐ ÕÙ AB BA = I p ¾º ÉÙ Ô ¹Ø¹ РгÓÒ Ö ÑÔÐ R Ô Ö ÙÒ ÙØÖ ÓÖÔ Ü Ö ½¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ³ Ð Ü Ø A Ø B Ò M 2 R Ø x y Ò R Ø Ð ÕÙ 25 11 AB = 11 5 x 14 BA = Ø x y Ð ÙØ ÕÙ x,y = 14 y 10, 20º Ü Ö ½ ËÓ Ø H = Ma,b,c,d = a b c d b a d c c d a b d c b a ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ H Ø ÙÒ R¹ Ô Ú ØÓÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÒ¹ Ò Ö Ð Ñ Ò ÓÒº ¾º ÇÒ ÔÓ I = M0,1,0,0 J = M0,0,1,0 Ø K = M0,0,0,1º ÐÙÐ Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø XY Ú X Ø Y Ò {I,J,K}º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ H,+, Ø ÙÒ ÓÖÔ ÒÓÒ ÓÑÑÙØ Ø º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÔÓÐÝÒÑ X 2 + 1 Ñ Ø Ù ÑÓ Ò Ö Ò Ò Ð ÓÖÔ Hº min{i,j} 1 i,j n Ò M n Rº ½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ U Ú 1 ÙÖ Ð ÓÒ Ð Ø ÐÐ ÕÙ A = U T U º ¾º Ò Ù Ö ÕÙ A Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö A 1 º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ λ R A 1 λi n Ò³ Ø Ô ÒÚ Ö Ð ÐÓÖ Ð Ü Ø θ R Ø Ð ÕÙ λ = 2 2cosθº ÇÒ ÒÓØ SL 2 N г Ò Ñ Ð Ñ ØÖ Ð ÓÖÑ a b Ú a,b,c,d N c d 4 Ø ad bc = 1º ÇÒ ÔÓ D = 1 1 0 1 ÔÙ G = 1 0 1 1 º ½º ËÓ Ø A ÙÒ Ñ ØÖ Ò SL 2 Nº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A I 2 ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÐ Ñ ØÖ M {G,D} Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ñ ØÖ M 1 A ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒÓÖ SL 2 Nº ¾º Ò Ù Ö ÕÙ ØÓÙØ Ñ ØÖ SL 2 N Ô ÙØ ³ Ö Ö ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ A = M 1 M r Ú ÕÙ M k Ú Ð ÒØD ÓÙG Ø ÕÙ ÔÖÓ Ù Ø Ø ÙÒ ÕÙ º Å ØÖ Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö ËÓ Ø A M p,q Cº ½º ÔÔÐ ÕÙ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ö Ò Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Aº ¾º ØÙ Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ò Ð Ù Ú ÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ð Ð Ø E 1,,E 2 n ØÓÙØ Ð Ô ÖØ ÔÓ Ð 1,n Ø ÓÒ ÔÓ { i,j 1,2 n 1 Ei E, A i,j = j 0 ÒÓÒ ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ f : PX X 2 1P X+2XP X Ø Ò LR 3 [X]º ¾º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ f ÐÓÒ Ð ÒÓÒ ÕÙ R 3 [X]º º Ò Ù Ö Kerf Ø Imf º º È ÙعÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ R 3 [X] ÐÓÒ Ð ÕÙ ÐРг Ò ÓÑÓÖÔ Ñ f Ø Ö ÔÖ ÒØ ÐÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ ¹ ÓÒ Ð ËÓ Ø A = 5 4 2 14 10 4 16 10 3 ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ B = 1,2,1,1,2,2,0,1,2 R 3 º ¾º ÐÙÐ Ö Mat B Aº Ø ÙÒ º ÐÙÐ Ö Ð Ñ ØÖ P Ô Ð ÒÓÒ ÕÙ Ú Ö Bº º ÐÙÐ Ö P 1 ÔÙ P 1 AP º ÉÙ³ Ò Ù Ø¹ÓÒ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ô E = C 3 [X] Ø F = C 2 [X] ÔÙ f : PX P X +1+XP X +2º ½º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ A Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ¹ Ò Ö f ÐÓÒ Ð ÒÓÒ ÕÙ E Ø F º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÐÐ B = X 2 +1,X 2 +2,2X 2 + 3X 1, X 3 +X+1 Ø B = 2 X,3 X,1 X 2 ÓÖÑ ÒØ Ö Ô Ø Ú E Ø F º

º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ B Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð ¹ Ò Ö f ÐÓÒ Ð B E Ø B F º º ÐÙÐ Ö Ð Ñ ØÖ P Ô Ð ÒÓÒ ÕÙ E B ÔÙ Q Ð ÒÓÒ ÕÙ F B º º ÐÙÐ Ö P 1 Ø Q 1 º º Î Ö Ö ÕÙ Q 1 AP = Bº Ü Ö ¾¼ ËÓ ÒØ a C ÔÙ n Nº ÇÒ ÔÓ f : PX PX+aº ½º ÐÙÐ Ö Ð Ñ ØÖ A Ö ÔÖ ÒØ ÒØ f ÐÓÒ Ð ¹ ÒÓÒ ÕÙ C n [X]º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÐÙÐ Ö A 1 º º ÐÙÐ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ k Z Ð Ñ ØÖ A k º Ü Ö ¾½ ËÓ Ø f LE Ú dim E = n 1º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ f n = 0 Ø f n 1 0º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ x 0 E Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ÐÐ x 0,fx 0,,f n 1 x 0 Ó Ø ÙÒ Eº ¾º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ f ÐÓÒ ØØ º º ÐÙÐ Ö Rgf º Ü Ö ¾¾ ½º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Vect 1,1,2 ÙÖ Ð ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ x 2y +z = 0º ¾º ËÓ ØX = x 1 º x n M n,1 Rº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ X X T Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ø ÙÐ Ñ ÒØ X T X = 1º Ü Ö ¾ ËÓ Ø A M p,q C ÙÒ Ñ ØÖ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ RgA 1 Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ ¹Ð Ò L M 1,q C Ø ÙÒ Ñ ØÖ ¹ ÓÐÓÒÒ C M p,1 C Ø ÐÐ ÕÙ A = C Lº ËÓ Ø E ÙÒ C¹ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò º ËÓ ÒØ B Ø C ÙÜ E ÔÙ u LEº ½º ÇÒ ÔÓ P Ð Ñ ØÖ Ô Ð B Ú Ö Ð C º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ñ ØÖ Ô Ð Ù Ð B Ú Ö Ð Ù Ð C ¾º Ò Ù Ö ÕÙ ØÓÙØ LE,C Ø ÙÒ Ù Ð ³ÙÒ Eº º Mat B u ÔÙ Φ : ϕ ϕ uº ÐÙÐ Ö Mat B Φº ËÓ ÒØ A M 3,2 R Ø B M 2,3 R Ø ÐÐ ÕÙ AB = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ BA = I 2 ½º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ A ÐÓÒ Ð ÒÓÒ ÕÙ R 3 Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÔÐ Ò x+y+z = 0 Ô Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ð ÖÓ Ø 6x = 3y = 2zº ¾º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙØ Ð Ñ ØÖ B Ú Ö ÒØ B 2 = B Ø AB = BAº º Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙ Ð ÓÙ ¹ Ô Ø Ð Ô Ö Ð³ ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Aº ËÓ Ø p N º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A M p C Ø ÙÒ ÔÖÓ Ø ÙÖ ÐÓÖ RgA = TrAº ËÓ ÒØA 1,,A n Ñ ØÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ º ÇÒ ÔÓ Q = A 1 + +A n º ¾º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒØ Ö i Ø j ÒØÖ 1 Ø n ÓÒ A i A j = δ i,j A i º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Q Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÔÖÓ Ø ÓÒº º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Q Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÔÖÓ Ø ÓÒº ÇÒ ÒÓØ F = ImQ G = KerQ ÔÙ F k = ImA k Ø G k = KerA k ÔÓÙÖ ØÓÙØ k 1,n º n µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ F F k º k=1 µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ F = k = 1 n F k º n µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ G = G k º k=1 µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒØ Ö i Ø j ÒØÖ 1 Ø n A i A j = δ i,j A i º ËÓ Ø A M n Cº ÅÓÒØÖ Ö Ð³ ÕÙ Ú Ð Ò ÙÜ ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð Ñ ØÖ A Ò³ Ø Ô ÒÚ Ö Ð Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ B ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ AB = BA = 0º Ê ÙØ ÓÒ Ñ ØÖ ËÓ ÒØ A Ø B Ò M n K Ø ÐÐ ÕÙ X M n K, AXB = 0 ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A = 0 ÓÙ B = 0º Ü Ö ¼ 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ½º Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ B 1 KerA 4I Ø B 2 KerA Iº

ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ º Å ÌÊÁ Ë ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÙÜ Ô ÓÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò R 3 º º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ B = B 1 B 2 Ø ÙÒ R 3 º º ÐÙÐ Ö Mat B Aº Ü Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ A = Ð Ñ ØÖ D = 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1 1 1 0 1 2 0 1 2 Ø Ñ Ð Ð Ü Ö ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ A = 1 1 1 3 3 3 Ø Ñ¹ 2 2 2 Ð Ð Ò M 3 R Ð Ñ ØÖ E 2,1 º Ü Ö ËÓ Ø A M p Rº Ò ÙØ Ð ÒØ r = RgA ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð P Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ñ ØÖ PA Ó Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÒÓÒ ÕÙ M p Kº ½º ÜÔÐ Ø Ö Ð ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ð ÙÜ Ú Ø ÙÖ ØØ º ¾º ÙÜ Ñ ØÖ ØØ ÓÒع ÐÐ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ë ÓÙ ÜÔÐ Ø Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ñ ÒØ º º ÙÜ Ñ ØÖ ØØ ÓÒع ÐÐ Ñ Ð Ð Ë ÓÙ ÜÔÐ Ø Ö Ð Ñ ØÖ Ò Ñ ÒØ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ Ò ÐÔÓØ ÒØ M p C ÓÒØ Ü ¹ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ñ Ð Ð ÙÜ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÓÒ Ð ÒÙÐÐ º ËÓ ÒØ n N Ø A M n C ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ ÒÙÐÐ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A Ø Ñ Ð Ð ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÒÙÐÐ º ÇÒ ÔÓÙÖÖ ØÙ Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð³ ÒØ Ö n Ø Ø Ò Ù Ö ÙÜ ÐÓÒ ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÒ ÓÑÓ¹ Ø Ø ÓÙ ÒÓÒº 1 4 3 2 2 2 6 6 4 2 3 12 12 6 3 0 2 3 0 1 ÜÔÐ Ø Ö ÙÒ Ñ ØÖ ØÝÔ J r Ø Ð Ñ ØÖ Ô Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ó Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ñ ØÖ J r º ËÓ Ø A ÙÒ Ñ ØÖ Ò M n R Ø ÐÐ ÕÙ A 2 = I n º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ B R n Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ñ ØÖ Mat B A Ó Ø ÓÒ Ð Ô Ö ÐÓ Ú ÐÓ 0 1 1 0 ËÓ Ø n N K ÙÒ ÓÖÔ Ø A M 3n K Ø ÐÐ ÕÙ RgA = 2n Ø A 3 = 0º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ñ Ð Ð Ð Ñ ØÖ Ô Ö ÐÓ 0 I n 0 0 0 I n 0 0 0 ¼ ËÓ ÒØ n 1 ÙÒ ÒØ Ö ϕ ÙÒ ÓÖÑ Ð Ò Ö ÙÖ M n Rº ÇÒ ÒÓØ M N ÕÙ M Ø N ÓÒØ Ñ Ð Ð º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ A B ÐÓÖ ϕa = ϕbº ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ i Ø j ÒØÖ 1 Ø n E i,i E j,j Ø ÔÓÙÖ ØÓÙ i j Ø k l ÒØÖ 1 Ø n E i,j E k,l º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ S = 1 1 1 n º º Ø Ñ Ð Ð 1 1 E 1,1 º ÓÒÐÙÖ ÕÙ³ Ð Ü Ø λ R Ø Ð ÕÙ ϕ = λ Trº ½ ËÓ Ø n N º ÇÒ ÔÓ Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ f : C n[x] C n [X] P nx +1 PX X 2 +1 P X º ½º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г ÔÔÐ Ø ÓÒ f Ø ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ C n [X]º { ¾º ËÓ Ø λ Cº ÇÒ ÔÓ E λ = P C n [X] fp = } λ P º µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ E λ Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ô C n [X]º ÇÒ ÙÔÔÓ ØÖÓÙÚ λ = ζ + iξ Ó ζ,ξ R 2 Ø Ð ÕÙ E λ Ò³ Ø Ô Ö Ù Ø {0}º ËÓ Ø PX E λ \{0}º µ ØÙ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ ÑÔÐ Ò CX Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ P X PX Ø nx +1 λ X 2 º +1 µ Ò Ù Ö ÕÙ ζ = 1 Ø ξ = n 2k ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØ Ò ÒØ Ö k {0,,n}º µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k {0,,n} Ò ÔÓ ÒØ λ k = 1 + in 2k ÐÓÖ E λk = Vect X i k X +i n k º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÐÐ X i k X +i n k ÓÖÑ ÙÒ C n [X]º 0 k n º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ñ ØÖ A Ö ÔÖ ÒØ ÒØ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ð³ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ f º º ÓÒ Ð Ö Ð Ñ ØÖ Aº ¾ ËÓ ÒØ A Ø B Ò M 3 C ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ø ÐÐ ÕÙ A 2 = B 2 = 0º ½º ÐÙÐ Ö RgAº ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A Ø B ÓÒØ Ñ Ð Ð º

Ì Ñ Ú Ö ½º ËÓ Ø m Rº Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð m Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ØÖ 2+m 2 3 A m = 1 1+m 4 1 2 1+m Ò Ó Ø Ô ÒÚ Ö Ð º ¾º ËÓ Ø A M n Cº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÓÑÔÐ Ü λ Ø Ð ÕÙ Ð Ñ ØÖ A λ I n Ò Ó Ø Ô ÒÚ Ö Ð º cosθ sinθ ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ϕ : θ Ø ÙÒ ÑÓÖ¹ sinθ cosθ Ô Ñ ÖÓÙÔ ÒØÖ R,+ Ø GL 2 R, º cosθ sinθ ¾º ÐÙÐ Ö n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº sinθ cosθ º ËÓ Ø θ R\πZº µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ ϕθ Ò³ Ø Ô Ñ Ð Ð ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ò M n Rº µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ ϕθ Ø Ñ Ð Ð ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ð Ò M n C Ø ÜÔÐ Ø Ö Ð Ñ ¹ ØÖ Ô Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ö Ð Ñ ¹ ØÖ º ËÓ Ø A M n Cº { PX C[X] PA = ½º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð I A = } 0 Ø ÙÒ Ð C[X] ÒÓÒ Ö Ù Ø {0}º ¾º Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÔÓÐÝÒÑ Ñ Ò Ñ Ð µ A X Ð Ñ ØÖ A ³ ع¹ Ö Ð Ò Ö Ø ÙÖ ÙÒ Ø Ö Ð³ Ð I A Ò Ð Ù Ú ÒØ Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÓÑÔ ÒÓÒ A = 0 0 0 a 0 º 1 0 ºº º ºº a1 º 0 ºº º ºº º ºº º ºº º º ºº 1 0 an 2 0 0 1 a n 1 Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÒ Ñ ØÖ E i,j Ð ÒÓ¹ Ò ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ð Ñ ØÖ Ö ÑÔÐ 1 Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒ Ð º º Ë Ð Ñ ØÖ A Ø Ñ Ð Ð ÙÒ Ñ ØÖ B M n C ¹Ø¹ÓÒ µ A X = µ B X ½º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð S Ñ ØÖ ÝÑ ¹ ØÖ ÕÙ Ø Ð³ Ò Ñ Ð A Ñ ØÖ ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ ÓÖÑ ÒØ ÙÜ ÓÙ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö M p Kº ¾º ÐÙÐ Ö dim S Ø dim A º ËÓ Ø N M d C ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ¹ ÓÒ Ð ÒÙÐÐ º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ N d = 0º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ñ ØÖ N d 1 Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ð Ñ ØÖ N Ø Ö Ò d 1 d N k 1,k Ø ÒÓÒ ÒÙÐ k=2 Ð Ñ ØÖ N Ø Ñ Ð Ð Ð Ñ ØÖ Ð Ñ ÐÐ N k 0 k d 1 Ø Ð Ö º d k=2 E k 1,k ½º ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð T Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ù¹ Ô Ö ÙÖ ÓÖÑ ÙÒ ÓÙ ¹ Ð Ö M n Kº ØØ Ð¹ Ö Ø¹ ÐÐ ÓÑÑÙØ Ø Ú ÒØ Ö Ñ Ò ÓÒ ¹ Ò ¾º ËÓ ÒØ T T Ø PX K[X]º ÉÙ Ô ÙعÓÒ Ö Ó ÒØ ÓÒ ÙÜ Ð Ñ ØÖ PT º ËÓ ØT T ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð º ÅÓÒØÖ Ö Ô Ö ÙÒ ÐÙÐ Ñ ØÖ Ð ÓÙ Ô Ö Ð Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÕÙ T 1 Tº ËÓ ÒØ n N Ø G ÙÒ ÖÓÙÔ Ò Ñ ØÖ GL n C, º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ØÖ B = ÔÖÓ Ø ÙÖº 1 CardG ¾º Ò Ù Ö ÕÙ CardG Ú Ð ÒÓÑ Ö A Ø ÙÒ A G TrAº A G ¼ ËÓ ÒØA ØB Ò M n Rº Ê ÓÙ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒX+TrX A = B ³ ÒÓÒÒÙ X M n Rº ½ ËÓ Ø A M 3 R Ø ÐÐ ÕÙ A 0 Ø A 2 = 0º ÇÒ ÔÓ F = {M M 3 R AM +MA = 0}º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ F Ø ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ðº ¾º Ø Ð Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ Ñ ØÖ P GL 3 C Ø ÐÐ ÕÙ 0 0 1 P 1 AP = 0 0 0 = A º 0 0 0 º Ò Ù Ö dim F º ¾ ËÓ Ø A = a ij 1 i,j n Ò M n K Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ i a ii > j i ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ KerA = {0}º a ij ¾º Ò Ù Ö ÕÙ A Ø ÒÚ Ö Ð º

ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ º Å ÌÊÁ Ë ÍÒ Ô Ù ÔÐÙ Ð ½º ÇÒ ÓÒÒ ÙÜ Ù Ø u n n N Ø v n n N Ø ÐÐ ÕÙ { { u0 = 1 un+1 = u Ø n N, n +2v n v 0 = 1 v n+1 = 2u n +v n Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÜÔÖ Ñ ÒØ u n Ø v n Ò ÓÒØ ÓÒ nº ¾º ÇÒ ÓÒÒ d Ù Ø w n,k n N ÔÓÙÖ k 1,d Ò Ô Ö w 0,1 = 1 Ø k 2,d, w 0,k = 0 n N, k 1,d, w n+1,k = 1 d w n,j d 1 j=1,j k ØÙ Ö Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ Ù Ø w n,k n N º ËÓ ÒØ A 1,,A n n Ñ ØÖ Ò ÐÔÓØ ÒØ Ò M n C Óѹ ÑÙØ ÒØ ÙÜ Ùܺ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A 1 A n = 0º ËÓ Ø A GL n Cº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÜ Ñ ØÖ ØÖ Ò¹ ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ T 1 Ø T 2 ÔÙ P ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÕÙ A = T 1 PT 2 ¼ Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙ Ð ÓÙ ¹ Ô M n,1 R Ø Ð Ô Ö ØÓÙØ Ð Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒº ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ÝÔ ÖÔÐ Ò M n K ÓÒØ ÒØ Ù ÑÓ Ò ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð º ¾º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÙÐ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ð³ Ð Ö M n C ÓÒØ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ M P 1 MP Ú P ÒÚ Ö Ð º ËÓ ÒØ a 1,,a 13 ØÖ Þ ÒØ Ö ÒØÖ 1 Ø 40º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ 13¹ÙÔÐ Ø ³ ÒØ Ö α 1,,α 13 ÒÓÒ ØÓÙ ÒÙÐ Ø Ð ÕÙ 13 k=1 a α k k = 1 ½º ËÓ Ø n 3º ÇÒ ÔÔ ÐÐ Ñ ØÖ ÖÑÓÒ ÕÙ Ò M n R ØÓÙØ Ñ ØÖ ÓÒØ ÕÙ Ó ÒØ ÒØ Ö ÙÖ Ð Ñ ØÖ Ø Ð ÑÓÝ ÒÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÕÙ ØÖ Ó ÒØ ÕÙ ÐÙ ÓÒØ ÒØ º µ ij Ò Ñ Ð Ñ ØÖ ÖÑÓÒ ÕÙ ÓÖÑ ¹Ø¹ Ð ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð µ Ü Ø ¹Ø¹ Ð ÙÜ Ñ ØÖ ÖÑÓÒ ÕÙ Ö ÒØ Ý ÒØ Ð Ñ Ñ ÓÖ ¾º ËÓ Ø a ÙÒ Ù Ø Ò R Z2 Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ i,j Ò Z a i,j = a i 1,j +a i+1,j +a i,j 1 +a i,j+1 4 a ij 0º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø a Ø ÓÒ Ø ÒØ º ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ò ³ÙÒ Ñ ØÖ Ø Ð Ø ÐÐ Ñ Ü Ñ Ð ÓÙ ¹Ñ ØÖ ÖÖ ÒÚ Ö Ð º ¾º ËÓ Ø V ÙÒ ÓÙ ¹ Ô Ú ØÓÖ Ð M n C Ø Ð ÕÙ M V RgM pº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ dimv npº