ÅÈËÁ ½ ÄÙÒ ½¼ Ñ Ö ¾¼¼ Ü Ö ½ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø Ú Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÙÒ ÔÓ ÒØ { f(x) = x Ü Ö Ø ÓÒÒ Ð ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f [0,1] Ò [0,1] Ò Ô Ö f(x) = x+ 1 E( x+ 1 ) ÒÓÒ ½µ ÁÐ Ý ØÖÓ Ø Ò Ù Ö Ò ³ Ñ Ò Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ f Ë x Ø Ö Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ f(x) = x Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ë x Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ø x ]0, 1 [ ÓÒ E( x+ 1 ) = 0 Ø ÓÒ f(x) = x+ 1 Ë x Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ø x ] 1,1[ ÓÒ E( x+ 1 ) = 1 Ø ÓÒ f(x) = x 1 Ë Ñ Ù ÙÔÔÓÖØ Ð ÓÒØ ÓÒ ¾µ ÅÓÒØÖÓÒ ÕÙ f Ò³ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÙÒ ÔÓ ÒØ [0,1] ËÓ Ø Ð Ù Ø ( ) n N Ò Ô Ö = a+ π 8n Ú a Q [0, 1 [º ØØ Ù Ø Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ ÐÐ ÔÙ ÕÙ π г Ø Ø ÔÐÙ ÔÓÙÖ n Ù ÑÑ ÒØ Ö Ò π 8n < 1 aº ½
Ò Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò n 0 ÇÖ ÓÒ lim n + = a ³Ó n n 0 ] 0, 1 [ ÓÒ f( ) = + 1 lim f() = a+ 1 n + a ÇÒ Ò ÓÒÐÙØ ÕÙ f Ò³ Ø Ô ÓÒØ ÒÙ ÙÖ ]0, 1 [ Ö ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò ÐÓ Ù ÔÓÙÖ b Q [1,1]µº Ë Ñ ÒØ Ò ÒØ c R\Q Ð Ü Ø ÙÒ Ù Ø (v n ) n N Ö Ø ÓÒÒ Ð ÕÙ ÓÒÚ Ö Ú Ö c Ø ÓÒØ Ð Ð Ñ Ø f(v n ) Ø Ö ÒØ f(c)º Ò f Ò³ Ø ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÙÒ ÔÓ ÒØ [0,1]º µ µ Ø ÖÑ ÒÓÒ Ð ÓÑÔÓ f Ú ÐÐ ¹Ñ Ñ Ë x Ø Ö Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ f(x) = x f f(x) = f(x) = x Ë x Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ f f(x) = (x+ 1 ( E x+ 1 ))+ 1 [(x+ E 1 ( E x+ 1 )) Ò ÙÜ Ñ ÓÒ f f(x) = x+ Ø ÔÙ ÕÙ N Ø ÙÒ ÒØ Ö Ð Ú ÒØ [ ( 1 E x+ 1 )] E (x+ x+1 E 1 ) }{{} N x [0,1[,f f(x) = x E(x) = x Ö x [0,1[,E(x) = 0 + 1 ] Ò ØÓÙ Ð ÓÒ ÓÒ f f(x) = Id [0,1] ij ÔÔÐ Ø ÓÒ f : [0,1] [0,1] Ø ÙÒ ÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ú º Ü Ö ¾ ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ ÇÒ ÔÖÓÔÓ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ f : [0,1] [0,1] ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ú Ú Ö ÒØ x [0,1],f(x f(x)) = x Ä ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÕÙ Ù Ø ÑÓÒØÖ Õ٠г ÝÔÓØ ÓÒØ ÒÙ Ø Ò³ Ø Ô Ò Ö º ÌÓÙØ ³ ÓÖ Ð Ø Ð Ö Õ٠г ÒØ Ø ÓÒÚ ÒØ ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ ³ Ø Ð ÙÐ º ¾
Ò Ø f Ø Ò [0,1] Ò ÐÙ Ñ Ñ ÓÒ ÓÒ ÒÓØ ÕÙ x [0,1],0 x f(x) 1 ÇÒ Ò Ø ÐÓÖ ÙÒ ÒÓÙÚ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ g : [0,1] [0,1] Ø ÐÐ ÕÙ g(x) = x f(x)º È Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ x [0,1],f g(x) = x ÑÓÒØÖÓÒ ÐÓÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ x [0,1], n N,g n (x) = n(g(x) x)+x ( ) ÇÒ g(g(x)) = g(x) f(g(x)) = g(x) x = (g(x) x)+x Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ ÔÓÙÖ n = º ËÙÔÔÓ ÓÒ Ð ÚÖ Ù Ö Ò n Ø ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ ÐÐ Ð Ö Ø Ù Ö Ò Ù Ú ÒØ g n+1 (x) = g n (g(x)) = n[g(g(x)) g(x)] = n[g(x) x g(x)]+g(x) = (n+1)(g(x) x)+x Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ Ù Ö Ò ½ ¾ Ø Ø Ö Ø Ö ÓÒ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ nº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ Ð Ü Ø a [0,1] Ø Ð ÕÙ g(a) aº ÇÒ ÐÓÖ g(a) a > 0 Ö Ôº g(a) a < 0µº Å ÐÓÖ ³ ÔÖ ( ) ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ lim n + gn (x) = + (Ö Ôº ) ØØ ÖÒ Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø ÙÖ ÔÙ ÕÙ x [0,1],g(x) [0,1]º Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ x [0,1],g(x) = x x [0,1],f(x) = x Ü Ö ØÙ ³ÙÒ Ù Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ³ÓÖ Ö ¾ ËÓ Ø ( ) n N Ð Ù Ø Ò Ô Ö > 0 u 1 0 Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ö ÙÖÖ Ò n N,+ = +1 ½µ ÕÙ Ø ÖÑ Ð Ù Ø Ø Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ð Ö Ò ÙÜ Ø ÖÑ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ð ÓÒØ ÔÓ Ø Ú Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö > 0 u 1 0º Ê ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ ³ÙÒ ÒÓÑ Ö a Ø Ò Ô Ö a = Å Ü(a, a) ÓÒ + = Å Ü( +1,+1 ) Å Ü(,+1 ) Ö (+1, ) R + ÁÐ Ø ÐÓÖ Ð Ö ÕÙ (,+1 ) R + R + г Ò Ð Ø Ø ØÖ Ø º ¾µ ÇÒ ÙÔÔÓ u 1 = p q Ú (p,q) N N Ø ÓÒ ÔÓ n N,v n = qun µ ÈÖÓ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò ³ÓÖ Ö ¾ Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ Ù Ö Ò ¼ Ø ½ ÔÙ ÕÙ v 0 = q = q Ø v 1 = qu 1 = p
ËÙÔÔÓ ÓÒ Ð ÚÖ Ù Ö Ò n Ø n+1 Ø ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ ÐÐ Ð Ö Ø Ù Ö Ò n+ v n+1 v n = q(+1 ) v n+1 v n = q +1 = v n+ Ä Ø ÖÑ Ù Ò Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ø ÙÒ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÒ Ð Ò Ú Ñ Ñ ÔÓÙÖ v n+ º Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ Ù Ö Ò ¼ Ø ½ Ø Ö Ø Ö ÓÒ ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ nº µ ÇÒ Ú ÙØ ÑÓÒØÖ Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ n 0 N,v n0 = 0 v k 0 k < n 0 Ê ÓÒÒÓÒ Ô Ö Ð³ ÙÖ Ø ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ (v n ) n N Ò ³ ÒÒÙÐ Ô ÓÒ ÐÓÖ Ð³ Ò Ð Ø ØÖ Ø + < Å Ü(,+1 ) È Ö ÐÐ ÙÖ ÓÒ ÓÒ +1 < Å Ü( 1, ) Ø Å Ü( 1, ) Å Ü(,+1 ) Å Ü( 1, ) È Ö Ù Ø Ø ÔÙ ÕÙ +1 < Å Ü( 1, ) ÐÓÖ + < Å Ü( 1, ) Å Ü(+,+1 ) < Å Ü(, 1 ) Ò Ð Ù Ø ÜØÖ Ø Å Ü(v n,v n+1 ) Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ º ÇÖ (v n ) n N Ø ÒØ Ú Ð ÙÖ Ò N Ð Ñ Ø Ó Ð ÒØ Ò Ò Ø ÔÙÐ ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø Ô Ù Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ³ ÒØ Ö ÔÓ Ø ³Ó Ð ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÁÐ Ò ÓÙÐ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÒØ Ö n 0 Ø Ð ÕÙ v n0 = 0 Ø ÐÓÖ k < n 0,v k 0º µ ÇÒ Ü ÙÒ n 0 Ø Ð ÕÙ v n0 = 0 ÓÒ 0 = 0 Ò 0 +1 = 0 0 1 = 0 1 0 + = 0 +1 0 = 0 1 0 +3 = 0 + 0 +1 = 0 Ø Ò Ù Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ n n 0 ÓÒ Ð Ð Ñ Ø ( ) n N Ò³ Ü Ø Ô ÔÙ ÕÙ³ Ô ÖØ Ö Ù Ö Ò ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÐÐ ³ ÒÒÙÐ Ð Ù Ø Ò ÔÖ Ò ÐÓÖ ÔÐÙ ÕÙ ÙÜ Ú Ð ÙÖ Ø ÒØ ÚÓ Ö ¼ Ø 0 1º µ ÇÒ ÙÔÔÓ Ñ ÒØ Ò ÒØ u 1 ÖÖ Ø ÓÒÒ Ðº µ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ Ð Ü Ø n 1 Ø Ð ÕÙ 1 = 0, u k 0 k < n 1 º
ÐÓÖ ÓÒ ÙÖ Ø 1 1 = 1 = α Ø 1 3 = α ÓÒ 3 = 1 Qº ÅÓÒØÖÓÒ ÐÓÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÕÙ ØÓÙØ ÕÙÓØ ÒØ 1 Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ò Ø Ù Ö Ò ½ u 1 Ø ÖÖ Ø ÓÒÒ Ð Ô Ö ÝÔÓØ ÙÔÔÓ ÓÒ ÐÓÖ 1 ÖÖ Ø ÓÒÒ Ðº ÁÐ ³ Ò Ù Ø +1 = 1 = 1 1 R\Q ÓÒ Ð Ù Ø ( ) n N Ò ³ ÒÒÙÐ Ñ º  ҳ Ô Ù Ð Ø ÑÔ ØÖ Ø Ö Ð ÖÒ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÐÓÙ Ö ÔÓÙÖ Ð µ ÕÙ³ Ð ÙØ ÜØÖ Ö ÙÒ ÓÙ Ù Ø ÖÓ ÒØ Ø ÙØ Ð Ö Ð Ø ÕÙ ÐÐ ¹ Ø Ñ ÒÓÖ ÓÒ ÓÒÚ Ö¹ ÒØ Ú Ö ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÓÙ Ò Ö ÙÒ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ó Ò Ö ÙÒ Ò Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐ ³ ÜØÖ Ñ Ø Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ º ÈÙ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÐÐ ¹ Ø ÒÙÐÐ ÔÓÙÖ Ò ÓÒÐÙÖ ÕÙ Ð Ð Ñ Ø Ð Ù Ø Ø٠г Ø Ð Ñ Òغ ÎÓ ÙÒ ÔÖÓ ÙÖ Å ÔÐ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÐÙÐ Ö Ð Ò¹ Ñ Ø ÖÑ Ð Ù Ø ( ) n N Ë ÔÖÓ Ò µ ÐÓ Ð Ü Ý Ø ÑÔ Ü Ý Ø ÑÔ ¹ µ Ò ÓÖ ÖÓÑ ½ ØÓ Ò Ó Ó Ø ÑÔ Ü¹Ýµ Ü Ý Ý Ø ÑÔ ÔÖ ÒØ Ø ÑÔ Ú Ð Ø ÑÔµµ