Ä ÙÒ Ò ÞÙÖ ÃÐ Ù ÙÖ ÇÔØ Ñ ÖÙÒ Ø ÓÖ ¾½ºË ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ µ Ù ½ µ Ë v K º º Ü Ø ÖØ Ò x K Ó x + λv K Ö ÐÐ λ 0. Ö β 0 Ø Ö x + λ(βv) K Ö ÐÐ λ 0 º Ñ Ø Ø βv K. Ë Ò ÒÙÒ v, v K º º Ü Ø Ö Ò x, x K Ó x + λv K, x + λv K Ö ÐÐ λ 0 º Ö α [0, ] ÙÒ λ 0 ÐØ ÓÑ Ø α(x + λv) + ( α)(x + λv ) = (αx + ( α)x ) + λ(αv + ( α)v ) K. Ñ Ø Ø ÒÒ Ù αv + ( α)v Ò Ö Ê ØÙÒ Ö K º µ Ë y K ÙÒ v K º º Ü Ø ÖØ Ò x K Ó x + λv K Ö ÐÐ λ 0. Ö α [0, ] ÙÒ λ 0 ØÖ Ø Ò Û Ö z α := x + λv + ( α)(y x) º ÐØ z α y + λv Ö α 0 º Ö Ö Ø Û Ò Ö ÐÓ Ò Ø ÚÓÒ K ÞÙ Þ Ò z α K. ÓÐ Ø Ö Û Ò Ö ÃÓÒÚ Ü ØØ ÚÓÒ K Ù Ö Ö Ø ÐÐÙÒ z α = α (x + λα ) v + ( α)y. µ K Ò ÎÓÖ Ù ØÞÙÒ ÐÓ Ò Ø ÒÒ Ò Û Ö Ò Ö ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ò Ù ÃÓÑÔ Ø Ø ÚÓÒ K ÙÖ ÖÒ Ø Ø ÚÓÒ K Ö ØÞ Òº Ë ÒÙÒ ÞÙ Ö Ø K ÖÒ Ø º º K B(0, R) Ö Ò R > 0 º ÏÖ ÒÙÒ v 0 Ò Ö Ê ØÙÒ ÚÓÒ K Ó ÛÖ Ò µ x + λv K Ö ÐÐ x K ÙÒ λ 0 º Ñ Ø ÛÖ Ù x + 3R 3R v K, Û Ö Û Ò x + v > R Ò Ø Ö v v ÐÐ Ò ÒÒº Á Ø K Ò Ø ÖÒ Ø Ó Û Ð Ò Û Ö Ò ÓÐ x i K Ñ Ø x i ÙÒ ØÞ Ò u i := x i Ó x x i i Ö ÐÐ i µº ÓÐ u i Ò B(0, ) Ð Ø ØÞØ Ò ÓÒÚ Ö ÒØ Ì Ð ÓÐ u ik Ö Ò Ö ÒÞÛ ÖØ Û Ö Ñ Ø u Þ Ò Òº ËÓÑ Ø ÐØ Ö x K ÙÒ λ 0 x + λu = lim k ( ( λ x ik )x + λ ) x ik x i k K, λ/ x ik [0, ] Ö ÒÖ Ò ÖÓ k N ÙÒ K ÓÒÚ Ü ÙÒ ÐÓ ¹ Ò Øº Ñ Ø ÒØ ÐØ ÙÒ ÖÒ Ø Å Ò K Ò ÚÓÒ ¼ Ú Ö Ò Ö Ê ØÙÒ º µ Ë v P ÙÒ x P º ÒÒ ÐØ Ò µ x + λv P Ö ÐÐ λ 0 Ax + λav b Ö ÐÐ λ 0 Av 0.
Ù ¾ µ Ù Ö Ø Ö Ò Ò Û Ö Èµ Ò ËØ Ò Ö ÓÖÑ f(x) = c, x = max Ax b x 0. (P ) º ÞÙ Ù Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Ð ÙØ Ø g(u) = b, u = min A u c u 0. (DP ) º ÒØ ÔÖ Ø Ö Û Ò A = A ÙÒ b = c Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ g(u) = c, u = min Au b u 0. (DP) Û Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ Þ٠ȵ غ µ Á Ø M Ó Ø Ö ÞÙÐ Ö M ÚÓÒ È³µ Ò ØÐ Öº Ï Ø Ö Ò ÐØ Û Ò µ Ù N := {u R n : Au b, u 0}, µ ÓÖØ Þ Ø ÛÙÖ M = M = N. Ñ Ø Ò Ð Ò Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ È³µ ÙÒ Ù Ð ÈÖÓ Ö ÑÑ Èµ ÞÙÐ ÈÙÒ Ø ÙÒ Ù Ñ Ù Ð ØØ ØÞ ÓÐ Ø Ä Ö Ø ÚÓÒ Èµº Ö Ù Ð ØØ ØÞ Ø ÞÙ Ñ max f(x) = min g(u). x M u N Ï Ò M = N ÙÒ f(x) = g(x) ÙØ Ø Ö Ö max x M Ñ Ø Ø max f(x) = 0 = min g(u). x M u N f(x) = min f(x) = max f(x). x M x M (PP) f(x) = x 2 = max x x 2 0 x + x 2 x, x 2 0 (DP) g(u) = u 2 = min u u 2 0 u + u 2 u, u 2 0 Ò ÞÙÐ Ò Ö Ò Ð Öº
Ù À ÒÛ Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ Ì Ð µ Û Ö ÙÒÚÓÐÐ ØÒ º Ê Ø ÖÛ ØØ Ñ Ò Å Ò Ò M = {x R n : Ax = b, x 0} ÙÒ M = {y R m+n : Ãy = b, y 0} ØÖ Ø Ò Ñ Òº Ì Ð Ù ÛÙÖ Ö Ù Ö Ï ÖØÙÒ ÒÓÑÑ Ò º º Ö Ì Ð µ ÐÐ Ò ÓÒÒØ Ñ Ò ½¼ ÈÙÒ Ø ÓÑÑ Òº Å Ø Ñ Ø Ö Ø ÙÒ ÐØÚÓÐÐ Ù ÖÙÒ ÞÙ Ì Ð µ ÛÙÖ Ò ÞÙ ØÞÐ ÞÙ Ñ Ø ÞÙ Ù ØÞÔÙÒ Ø Ò Øº µ Ï Ö Ö Ò ÓÖÑ Ð Ë ÐÙÔ Ú Ö Ð Ò y, y 2, y 3 Ò ÙÒ Ø ÖØ Ò Ñ Ø Ö (y, x) = (, 4, 2, 0, 0, 0, 0) 0 0 0 4 4 0 0 0 2 2 2 7 0 0 3 3 2 2 0 0 0 0 2 5 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Ì Ð Ù Ð ÖØ ËØ ÖØ x = (, 0,, 2) Ö È ¾º Û Ø È x x 2 x 3 x 4 b 0 0 0 2 0 0 0 2 0 3 0 0 6 x x 2 x 3 x 4 b 0 0 2 0 0 3 0 0 3 0 0 0 3 Ñ Ø Ø x 0 = (0,, 3, ) Ä ÙÒ ÙÒ f(x 0 ) = 3 º
Ù µ Î Ö Ð Ò x ij Ñ Ø i 4, 5 j 8 ÒØ ÔÖ Ò Ò ÔÓØ ÒÞ ÐÐ Ò Ã ÒØ Ò ÚÓÒ G º Ñ Ø Ø Ù Ø ÙÓÖ ÒÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Ò Ø ÐØ f(x) = x 5 + x 6 + x 7 + x 26 + x 36 + x 38 + x 45 + x 48 = max 8 x ij, i =,...,4, j=5 4 x ij, j = 5,...,8, i= x ij 0. Ñ Ò Û Ö ÚÓÒ Ö Ñ Ö ÙÒ Ù Ö ÎÓÖÐ ÙÒ Ö Ù Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ø ÐØ Ù Ð ÙÓÖ ÒÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ø Û Ö Ò ÒÒ Ñ Ò ÙÖ Ò Ö Ò ÚÓÒ ÞÙ ØÞÐ Ò ³ Û Ö ÖÒ³ ÙÒ ³ÈÓ Ø Ò³ Ù ËØ Ò Ö ÓÖÑ Ö Ò Ò ÒÒº µ ÞÙ Ö Æ ØÞÛ Ö Ø ÓÐ Ò Ø ÐØ A 2 3 5 6 7 E 4 8 Å Ö ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ËØ ÖØ Ù A 5 E, º º x Q = x 5 = x 5S =, ÓÒ Ø ÐÐ Ð ¼º A 2 3 4 5 6 7 8 E E A A A 4 2 3 6 x A2 = x 26 = x 6E = A 2 3 4 5 6 7 8 E E A A 4 3 8 x A3 = x 38 = x 8E = A 2 3 4 5 6 7 8 E E 5 A 4 7 x A4 = x 45 = x 7 = x 7E = x 5 = 0 Å Ö ÖÙÒ Ú Ö Ö Ò Ò Øº Ö Ñ Ü Ñ Ð ÐÙ ØÖ Ø º Ñ Ø Ð Ø Å Ò E = {(, 7), (2, 6), (3, 8), (4, 5)} ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñº
Ù Ù Ö Ø ÓÖÑÙÐ Ö Ò Û Ö ÇÔØ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÙÑ ËØ Ò Ö ÓÖÑ Ø f(x, y) = (x 9 4 )2 + (y 2) 2 = min x 2 y 0 x + y 6 0 x, y 0. Û Ø Ö Ò g (x, y) := x 2 y ÙÒ g 2 (x, y) := x + y 6. µ À Ñ ØÖ Þ Ò ÚÓÒ f, g, g 2 Ð ÙØ Ò ( ) ( ) 2 0 2 0, 0 2 0 0, ( ) 0 0 0 0 ÙÒ Ò Ñ Ø ÐÐ Ó Ò ØÐ ÔÓ Ø Ú Ñ Ò Ø Û Ð Ñ ÇÔØ ¹ Ñ ÖÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ Ò ÓÒÚ Ü ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ðغ ËÐ Ø Ö¹ Ò ÙÒ Ö Ãȵ Ø x, y 0 Ñ Ø x 2 y < 0 ÙÒ x + y < 6 Ü Ø Ö Ò Ñ Òº Ï Ð Ò Û Ö ØÛ x = ÙÒ y = 2 Ó Ø Ö Ðк µ ÐÓ Ð Ò ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö Ò ÙÒ Ò Ö Ãȵ Ð ÙØ Ò Ü Ø ÖØ (x 0, y 0, u 0, v 0 ) 0 Ó () w := f(x 0, y 0 )+u 0 g (x 0, y 0 )+v 0 g 2 (x 0, y 0 ) 0, (x 0, y 0 ), w = 0, ÜÔÐ Þ Ø ( ) (2) (g (x 0, y 0 ), g 2 (x 0, y 0 )) 0, u 0 g (x 0, y 0 ) + v 0 g 2 (x 0, y 0 ) = 0. 2x 0 (u 0 + ) 9 + v 2 0 0 (i), 2y 0 4 u 0 + v 0 0 (ii), x 0 (2x 0 (u 0 + ) 9 + v 2 0) = 0 (iii), y 0 (2y 0 4 u 0 + v 0 ) = 0 (iv), (2 ) x 2 0 y 0 0 (i), x 0 + y 0 6 0 (ii), u 0 (x 2 0 y 0) = 0 (iii), v 0 (x 0 + y 0 6) = 0 (iv). Ï Ö ÓÐÐ Ò Þ Ò ÐÓ Ð Ò ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö¹ Ò ÙÒ Ò Ñ ÈÙÒ Ø (x 0, y 0 ) = ( 3, 9 ) Ö ÐÐØ Ò º º Û Ö Ù Ò u 2 4 0, v 0 0 Ó ( 3, 9, u 2 4 0, v 0 ) Ò ÙÒ¹ Ò ½³µ ÙÒ ¾³µ Ö ÐÐ Òº Ù Ö Ø Ø ÐÐ Ò Û Ö Ø ¾³µ µ ÙÒ µ Ö (x 0, y 0 ) = ( 3, 9 ) Ö ÐÐØ Ò º ¹ 2 4 Ñ Ø ¾³µ Úµ Ö ÐÐØ Ø ÑÙ v 0 = 0 º Ö u 0 0 Ö ÐÐØ Ð Ó ( 3, 9, u 2 4 0, 0) Ò ÙÒ Ò ¾³µ µ¹ Úµº Å Ø Ò Ï ÖØ Ò Ú Ö Ò Ø ½³µ ÞÙ ( ) 3(u 0 + ) 9 2 = 0 (i), 9 2 4 u 0 = 0 (ii). Ï Ö Ò u 0 = Ò Ò ÙÒ Ò Ò Øº 2 Ñ Ø Ò ÐÓ Ð Ò ÃÙ Ò¹ÌÙ Ö¹ Ò ÙÒ Ò Ñ ÈÙÒ Ø (x 0, y 0 ) = ( 3, 9 ) Ö¹ 2 4 ÐÐغ ËÐ Ø Ö Ò ÙÒ Ö ÐÐØ Ø ÓÐ Ø Ãȵ Ð Ö Ø ÙÒ Ò Ò Å Ò ¹ Ñ ÐÛ ÖØ 5 Ò Ö ËØ ÐÐ (x 8 0, y 0 ) = ( 3, 9) ÒÒ ÑÑغ 2 4