UntersuchungPolynomfunktionen.dvi

Bản ghi

1 ÍÒØÖ ÙÙÒ ÚÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒÒ ÑØ ÓÖ ½º ÅÓÒÓØÓÒ ÙÒ ÃÖÑÑÙÒ ÓÐÐÒ ÅÓÒÓØÓÒ¹ ÙÒ ÃÖÑÑÙÒ Ö ÒÖ ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ Þº º f(x) = x3 2 xµ ÙÒØÖ ÙØ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÙÒØÓÒ f(x) = 0.5xˆ3 x Ò µ ØÑÑ ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð ½º ÐØÙÒ ÚÓÒ f f (x)ðøùòf,x ÐÒ Ò ÖÔÒ ÚÓÒ f Ù ÖØ Ù f (x) Ò ÒÞÐ ÒÞÙÒºµ µ ØÑÑ ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð ¾º ÐØÙÒ ÚÓÒ f f (x)ðøùòf,x,2 ÐÒ Ò ÖÔÒ ÚÓÒ f Ù ÖØ Ù f (x) Ò ÒÞÐ ÒÞÙÒºµ µ Ò ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð ÜØÖÑÔÙÒØ ÚÓÒ f Ò ÜØÖÑÙÑf ÒÒÒ Ò ÀÓÔÙÒØ ÑØ H ÙÒ Ò ÌÔÙÒØ ÑØ T µ Ò ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð Ò ÏÒÔÙÒØ ÚÓÒ f Ò ÏÒÔÙÒØf ÒÒÒ Ò ÏÒÔÙÒØ ÑØ W µ Ò ÒÒ ÈÙÒØ x 0 Ù Ö x¹ Ò µ Ò ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð ËØÖ ÞÛ Ò x 0 ÙÒ Ñ ÈÙÒØ Ù Ñ ÖÔÒ ÑØ Ö ÐÒ x¹ãóóöòø Û x 0 Ò ËØÖx0,(x(x0),f(x(x0))) ÐÒ ÖØÙÒ Ö ËØÖ Ù ÙÒ ØÐÐ ØÖÐÖØ Ö µ Ö ØÐÐ ÐÒ a = f (x(x 0 )) ÙÒ b = f (x(x 0 )) µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò ÙÑ ÖØ Ö ÅÓÒÓØÓÒ ÚÓÒ f Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x 0 ÞÙ ØÑÑÒ ÏÒÒa == 0 Ò Ù Ö ÅÓÒÓØÓÒ ÚÓÒ f ÏÒÒa < 0 f Ø Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x0 ØÖÒ ÑÓÒÓØÓÒ ÐÐÒ f Ø Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x0 ØÖÒ ÑÓÒÓØÓÒ ØÒ µ Ò ÒÞÐ ÓÐÒÒ Ð Ò ÙÑ ÖØ Ö ÃÖÑÑÙÒ ÚÓÒ f Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x 0 ÞÙ ØÑÑÒ ÏÒÒb == 0 Ò Ù Ö ÃÖÑÑÙÒ ÚÓÒ f ÏÒÒb < 0 f Ø Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x0 ÖØ ÖÑÑØ f Ø Ò ÒÖ ÍÑÙÒ ÚÓÒ x0 ÐÒ ÖÑÑØ µ ÈÐØÞÖ Ò ÓÒ ÒÖÖØÒ ÌÜØ Ò ÒÖ ÒØÒ ËØÐÐ Ñ ÓÑØÖ¹ Ò ØÖ ½

2 е Û Ò ÈÙÒØ x 0 ÒØÐÒ Ö x¹ ÙÒ ÓØ Û Ù Ò ÞÙÖ ÅÓÒÓØÓÒ ÙÒ ÃÖÑÑÙÒ ÒÖÒ Ò ÖÒ ÓÐÐØ Ö ÓÐÒÒ ÐÙÒ ÒÐÒº ѵ ÏÐ ÅÓÒÓØÓÒ¹ ÙÒ ÃÖÑÑÙÒ Ö ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÖÑ ÚÓÒ ÁÒØÖÚÐÐÒ Ò ÅÓÒÓØÓÒÖ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÃÖÑÑÙÒ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº Òµ ÈÖÓÖ ÔÔÐØ Ù ÑØ Ö ÙÒØÓÒ f(x) = x4 2 x2 Ù ÏÐ ÅÓÒÓØÓÒ¹ ÙÒ ÃÖÑÑÙÒ Ö ÖÒ Ò Ñ ÐÐ Ò ÓÖÑ ÚÓÒ ÁÒØÖÚÐÐÒ Ò ÅÓÒÓØÓÒÖ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÃÖÑÑÙÒ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¾º ÅÜÑÐ Ð Ò ÆÙÐй ÜØÖѹ ÙÒ ÏÒ ØÐÐÒ ÙÖ ÈÖÓÖÒ ÓÐÐ ÑÜÑÐ Ð Ò ÆÙÐй ÜØÖѹ ÙÒ ÏÒ ØÐÐÒ Ò ÈÓÐÝÒÓÑ ÚÓÒ ÒÑ Ö Ò ÒÒ ÖÑØØÐØ ÙÒ ÖÒ Ò ÙÒØÒ ØÒ ÌÐÐ ÒØÖÒ ÛÖÒº ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ ÀÒÛ ÅØ Ò ÐÒ ÜØÖÑÙѺºº ÙÒ ÏÒÔÙÒØ ÒÒ Ø Ù Ö ÜØÖѹ ÙÒ ÏÒÔÙÒØ ÒÞÒ Ð Òºµ µ Ö ØÐÐ ËÖÐÖ a ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØØÛؼº¼½µ b ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØØ µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ ÚÓÑ Ö ½ p1(x) = a x+b ÎÖÖ ÈÖÑØÖ ÙÒ ØÖ Ò ÖÒÒØÒ Ò ÙÒØÒ ØÒ ÌÐÐ Ò µ ÐÒ ÙÒØÓÒp 1 (x) Ù ÙÒ Ö ØÐÐ Ò ËÖÐÖc ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØع µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ ÚÓÑ Ö ¾ p2(x) = p1(x) x + c µ ÐÒ ÙÒØÓÒp 2 (x) Ù ÙÒ Ö ØÐÐ Ò ËÖÐÖd ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØع ¾

3 µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ ÚÓÑ Ö p3(x) = p2(x) x + d µ ÐÒ ÙÒØÓÒp 3 (x) Ù ÙÒ Ö ØÐÐ Ò ËÖÐÖe ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØع µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ ÚÓÑ Ö p4(x) = p3(x) x + e µ ÐÒ ÙÒØÓÒp 4 (x) Ù ÙÒ Ö ØÐÐ Ò ËÖÐÖf ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØع µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ ÚÓÑ Ö p5(x) = p4(x) x + f Ö ÆË max Ë max ÏË max ½ ¾ n Ö ººº Ö ÈÓÐÝÒÓÑ ÆË max ººº ÑÜÑÐ Ð Ö ÆÙÐÐ ØÐÐÒ Ë max ººº ÑÜÑÐ Ð Ö ÜØÖÑ ØÐÐÒ ÏË max ººº ÑÜÑÐ Ð Ö ÏÒ ØÐÐÒµ º ÝÑÔØÓØ ÎÖÐØÒ ÓÐÐ ÑÓÒ ØÖÖØ ÛÖÒ Ö x ± Ò ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ p ÚÓÑ Ö n 5 ÝÑÔØÓØ Û ÈÓØÒÞÙÒØÓÒ Ñ ÌÖÑ Ö ØÒ ÈÓØÒÞ ÚÓÒ p ÒØ ÔÖØ ÚÖÐغ ÎÖÐ ÑØ Ö ÓÐÒÒ ÐÙÒµ ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ

4 µ Ö ØÐÐ ËÖÐÖa b c d e f ÛÐ ÑØ ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØØÛؼ ¼½µ µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÙÒØÓÒ p(x) = a xˆ5+b xˆ4+c xˆ3+d xˆ2+e x+f Ò ÐÙ Ò µ Ö ØÐÐ ÝÑÔØÓØ ÙÒØÓÒ p as ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð p{as}(x)ïòòa == 0 ÏÒÒb == 0 ÏÒÒc == 0 ÏÒÒd == 0 ÏÒÒe == 0 f e x d xˆ2 c xˆ3 b xˆ4 a xˆ5 ËØÐÐ Ò ÖÔ ÚÓÒ p as ØÖÐÖØ Ò ÖÓØ Ö µ ÑØ Ö ÐÒÒ ÅÙ Ø Ø ÙÒØÓÒÒ p(x) ÙÒ p as (x) Ù Ñ ÐÖ¹Ò ØÖ Ò ÒØ ËØÐÐÒ Ò ÓÑØÖ¹Ò ØÖ Ö ÌÜØ Ò Ò ÒØ ÔÖÒÒ Ö¹ Ò Ö ÞÙÖÒ ÖÔÒ Ò µ ÎÖÖ ÈÖÑØÖ a b c d e f ÙÒ ÖÞÙ ÙÖ ÀÖÙ ÞÓÓÑÒ Ù Ñ ÓÑØÖ¹Ò ØÖ ØØ Ö ÖÔ Ö ÈÓÐÝÒÓÑÙÒØÓÒ p Ñ ÖÔÒ ÚÓÒ p as Ö x ± Ò Ñغ º Ä ÚÓÒ ÜØÖÑÙÑ ÈÖÐ ÓÐÐ ÞØ ÛÖÒ x¹ãóóöòø ËØÐ S ÒÖ ÈÖÐ p x¹ Ò ÞÛ ÈÙÒØÒ ÒØ Ð Ñ ÖØÑØ Ò ÅØØÐÛÖØ Ö ÆÙÐÐ ØÐÐÒ ÚÓÒ p غ ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ö ØÐÐ ËÖÐÖ a ÑÒ¼ ÑÜ ËÖØØÛؼ ¼½µ b ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØØÛؼ ¼½µ c ÑÒ¹ Ñܼ ËÖØØÛؼ ¼½µ µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÙÒØÓÒ p(x) = a(x b)ˆ2+c µ ÖÑØØÐ ÆÙÐÐ ØÐÐÒ ÚÓÒ p ÑØ Ñ Ð ÆÙÐÐ ØÐÐp ÆÒÒ ÆÙÐÐ ØÐÐÒ A ÞÛº B Å ÒÒÐÐ c ÒÖÒ ÐÒºµ µ Ö ØÐÐ Ò ËØÐÔÙÒØ S ÑØ Ñ Ð S = ((x(a)+x(b))/2,p((x(a)+x(b))/2)) µ ÎÖÞÖ ÑØ Ñ ÓÐÒÒ Ð S ØØ Ð Ö ËØÐ Ø ÜØÖÑÙÑp Ö ÓÒ ÖÞÙØ ÈÙÒØ ÓÐÐØ ÖÔ ÑØ S ÞÙ ÑÑÒÐÐÒ ÙÒ Ò ÒÒ ÃÓÓÖ¹ ÒØÒ ÑØ S ÖÒ ØÑÑÒº µ ÎÖÖ ËÖÐÖa b c Ó p ØØ ÞÛ ÖÐÐ ÆÙÐÐ ØÐÐÒ Ø ÙÒ ÖÞÙ S ØØ Ö ËØÐ Ö ÈÖÐ Ø º Ö ÙÒ ÍÒÖ ÙÒØÓÒ ÓÐÐ ÒÒ Ò ÈÓÐÝÒÓÑ f(x) = ax 4 +b 3 +cx 2 +dx+e ÚÓÑ Ö n 4 ÞØ ÛÖÒ ÒÖ Ø f ÒÙ ÒÒ Ò Ö ÙÒØÓÒ f(x) = f( x)µ Ø ÛÒÒ b = d = 0 ÐØ ÙÒ ÒÖÖ Ø f ÒÙ ÒÒ Ò ÙÒÖ ÙÒØÓÒ (f(x) = f( x)) Ø ÛÒÒ a = c = e = 0 Ðغ ÞÙ Û ÓÐØ ÚÓÖ µ Ö ØÐÐ ËÖÐÖ a b c d e ÛÐ ÑØ ÑÒ¹ ÑÜ ËÖØØÛؼ ¼½µ µ Ò Ò ÖÔÒ Ö ÙÒØÓÒ f(x) = a xˆ4+b xˆ3+c xˆ2+d x+e

5 µ Ò ÙÒØÓÒ g ÙÖ ËÔÐÙÒ ÚÓÒ f Ò Ö y¹ ÒØ ØØ ÑØ ÀÐ ÓÐÒÒ Ð g(x) = f( x) µ ÎÖÖ ÈÖÑØÖ a b c d e Ù ÓÐÐØ Ø Ø ØÐÐÒ ÒÙÖ ÒÒ ÖÔÒ ÚÓÒ f ÙÒ g ÖÒÒÖ ÐÒ Ð Ó f(x) = f( x) ÐØ ÛÒÒ b = d = 0 غ µ ÐÒ Ò ÖÔÒ ÚÓÒ g Ù ÙÒ ÞÒ ÙÒØÓÒ h ÙÖ ËÔÐÙÒ ÚÓÒ f Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ ÒØ ØØ ÑØ ÀÐ ÓÐÒÒ Ð h(x) = f( x) µ ÎÖÖ ÈÖÑØÖ a b c d e Ù ÓÐÐØ Ø Ø ØÐÐÒ ÒÙÖ ÒÒ ÖÔÒ ÚÓÒ f ÙÒ h ÖÒÒÖ ÐÒ Ð Óf(x) = f( x) ÐØ ÛÒÒ a = c = e = 0 غ