ÁÆ ¼ Ò ÐÝ Ø ÓÒ ÔØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ü Ñ Ò Ò Ð Ö ½ ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä Ô ÖØ Ñ ÒØ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÙÖ ÁÆ ¼ Ò ÐÝ Ø ÓÒ ÔØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑÒ ¾¼¼ µ Ö Ø ¹½º ¹ º µ

½ ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÅÇÆÌÊ Ä Ô ÖØ Ñ ÒØ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ ÓÙÖ ÁÆ ¼ Ò ÐÝ Ø ÓÒ ÔØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑÒ ¾¼¼ µ Ö Ø ¹½º ¹ º µ ÇÊÊÁ ij Å Æ ÁÆ Ä Á Ê Ì Â Ù Ð ¾ ÒÚ Ö ¾¼¼ À ÍÊ ½ À¼¼ ¾½À ¼ ÍÊ ¾À ¼ ÆÇÌ ÙÙÒ ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖÑ º ÙÙÒ ÐÙÐ ØÖ Ô ÖÑ º ÕÙ Ø ÓÒÒ Ö ÓÑÔÖ Ò ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ØÓØ Ð ÔÓ ÒØ º ÉÙ Ø ÓÒ ½ Ò ÐÝ ÔÓ ÒØ µ ¾ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ Ð Ú ÒØ Ø Ð ÒÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ô Ø Ò ÐÝ Ø ÓÖ ÕÙ ÑÔ Ö ÕÙ Ø Ý Ö º Ì ÓÖ ÕÙ Ò Ô Ò ÒØ Ð³ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ¹ ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÔÖ º ÑÔ Ö ÕÙ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÖ ¹ Ô Ò ÒØ Ð³ ÑÔÐ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Ø ÙÒ Ô Ø Ø ÒÓÑ Ö ³ Ü ÑÔÐ Ö Ô Ø Ø Ø ÐÐ º ÀÝ Ö Ñ ÐÐ ÙÖ ÙÜ ÑÓÒ ¹ Ò Ð ÙÜ ÖÖ ÙÖ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ Ò ÚÓ ÑÓØ Ð Ö Ò ÒØÖ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ O() Ø Ω()º O() ÜÔÖ Ñ ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÙÖ Ð ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ º Ω() ÜÔÖ Ñ ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ÙÖ Ð ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ ÕÙ ÓÒØ Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø P Ø N Pº P г Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÙ Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ð Ø ÐРг Ü ÑÔÐ Ö º N P г Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÓÒØ ÓÒ Ô ÙØ Ú Ö Ö ÙÒ Ö ÔÓÒ ÖÑ Ø Ú Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ð Ø ÐРг Ü ÑÔÐ Ö ÓÙ ÒÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ô ÙØ Ö ÓÙ Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø º

¾ ÉÙ Ø ÓÒ ¾ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÜÔÐÓÖ Ø ÓÒ Ö Ô ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ Ò Þ Ð³ Ö Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÓÙ ÐÐ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖ Ù Ö Ô ÓÖ ÒØ Ù Ú ÒØ Ò ÓÑÑ Ò ÒØ Ù ÓÑÑ Ø 1 Ø Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò ÒØ ³ÙÒ ÓÑÑ Ø Ò ÓÖ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ º 4 3 2 1 ½ ¾ µ µµ µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ Ð Ô ÖÓÙÖ Ò ÔÖ ¹ÓÖ Ö Ð³ Ö Ö Ó Ø Ò٠г Ø Ô ÔÖ ÒØ º ½ ¾ µ ½ ÔÓ ÒØ Ò Þ Ð³ Ö Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÓÙ ÐÐ Ò Ð Ö ÙÖ Ù Ö Ô Ð³ Ø Ô µ Ò ÓÑÑ Ò ÒØ Ù ÓÑÑ Ø 1 Ø Ò ÓÒ Ö ÒØ Ð Ò ÒØ ³ÙÒ ÓÑÑ Ø Ò ÓÖ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ º ½ ¾ µ µ ¾ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ ÙÒ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ö Ô ÒÓÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒÒ Ü Ò Ø ÑÔ Ð Ò Ö Ò Ð Ø ÐÐ Ù Ö Ô º ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÒ ÓÙ ÐÐ Ò Ð Ö ÙÖ ÓÙ Ò ÔÖÓ ÓÒ ÙÖµ ÙÖ Ð Ö Ô º Ë ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ ÙÐ Ö Ö Ð Ø ÓÒÒ Ü º µ ¾ ÔÓ ÒØ ü ÕÙÓ ÖØ Ð ÐÙÐ ³ÙÒ ÓÖÒ Ò ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ö Ø ÓÒ Ø ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ö Ú Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ µ ü Ö ÓÒ Ô ÙØ ³ ÖÖ Ø Ö ÙÒ ÒÓ Ù ÒØ ÖÒ Ð³ Ö Ö Ö Ö Ø Ò Ð Ñ Ò Ö ÙÒ ÓÙ ¹ Ö Ö µ Ô Ö ÕÙ ØÓÙØ ÓÐÙØ ÓÒ ØØ ÒØ Ô ÖØ Ö ÒÓ Ù Ö Ø ÑÓ Ò ÓÒÒ ÕÙ³ÙÒ ÙØÖ Ó Ø ÒÙ º 5 ÉÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ö Ò ÒØÖ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ø ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Î ÍÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ Ö ØÓÙÖÒ ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ö ÔÓÒ Ñ ÐÐ ¹ Ø Ô Ö Ó Ñ ÙÚ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Î Ò Ö ØÓÙÖÒ Ô ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ö ÔÓÒ Ñ ÐÓÖ ÕÙ³ Ð Ò Ö ØÓÙÖÒ ÙÒ ÐÐ Ø Ò Ö Ñ ÒØ ÓÒÒ º µ ½ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ ÕÙ³ Ø Ð³ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð³ Ú ÒØ ØÓ Ø ÕÙ º ³ Ø Ð Ö Ô Ø Ø ÓÒ ³ ÔÔ Ð Ò Ô Ò ÒØ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÓÙ Ú ÒØ ÔÓ Ø Ò ³ Ù Ñ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ø ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ ÓÒÒ Ö ÔÓÒ º

µ ½ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ ÕÙ³ Ø Ð³ Ø ÊÓ Ò Ó º ÇÒ ÚÓÐ Ö ÓÙÖ ÙÜ Ö ÔÓÙÖ Ò ÓÒÒ Ö ÙÜ Ô ÙÚÖ º Ò Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø Ä Î Ð Ó Ü Ð ØÓ Ö ÕÙ ÒÓÙ ÓÒ Ö Ò ÒØ Ð ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ Ö ÓÙÖ Ò Ô Ò ÒØ Ð³ Ü ÑÔÐ Ö Ø Ò Ú ÐÐ ÓÒ ØØ ÓÒ ÓÑÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ü ÑÔÐ Ö º µ ÔÓ ÒØ Ò Ö ÓÙ Ö ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÙÕÙ Ð ÓÒ Ö ÔÓÒ Ô Ö ÓÙ»ÒÓÒµ ÚÓÙ Ú Þ ÓÙ Ð Ñ Ò µ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ 1 2 ¹ÓÖÖ Ø ÔÓÙÖ Ð Ö ÔÓÒ ÓÙ µ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ 3 4 ¹ÓÖÖ Ø ÔÓÙÖ Ð Ö ÔÓÒ ÒÓÒ µ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ 3 4 ¹ÓÖÖ Ø ÒÓÒ º Ò ÙØ Ð ÒØ Ùܹ ÓÒ Ú Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Î Ý ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ø Ù Ð 3 4 Ô Ù ÑÔÓÖØ Ð³ Ü ÑÔÐ Ö º ÂÙ Ø Þ ØØ ÔÖÓ Ð Ø Ù º Ä Î Üµ ܵ Ö ØÓÙÖÒ ÓÙ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ó٠ܵ Ö ØÓÙÖÒ ÓÙ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ó٠ܵ Ö ØÓÙÖÒ ÒÓÒ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÒÓÒ ÒÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ú ÖÖ ÙÖ ÁÐ Ý ÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ü Ö ÔÓÒ Ò Ø Ú ÙÒ ÔÔ Ð Üµ Ö ØÓÙÖÒ ÓÙ ÔÖÓ Ð Ø 1 4 º ÁÐ Ý ÙÖ ÔÓÙÖ ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ü Ö ÔÓÒ ÔÓ Ø Ú ÙÜ ÔÔ Ð Ò Ô Ò¹ ÒØ Üµ Ö ØÓÙÖÒ ÒØ ÒÓÒ ÔÖÓ Ð Ø ( 1 2 )2 = 1 4 º ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ø Ù Ø Ð 3 4 º ÉÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÔÓ ÒØ µ ¾ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ ÕÙ³ÓÒ ÒØ Ò Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô Ù Ó¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Ø Þ¹ Ò ÙÒ Ü ÑÔÐ º ÍÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒØ Ð Ø ÑÔ ÐÙÐ Ø ÓÒÒ Ô Ö ÙÒ ÔÓÐÝÒÑ Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÒÓÒ Ù ÒÓÑ Ö Ø Ò Ö ÔÓÙÖ Ö ÔÖ ÒØ Ö Ô Ö Ñ ØÖ º È Ö Ü ÑÔРг Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÝÒ Ñ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ó º ÈÖÓ Ð Ñ ³ ÑÔÖ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÇÒ ÓÒ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ³ ÑÔÖ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ³ÙÒ Ô Ö Ö Ô ÙÖ ÙÒ ÑÔÖ Ñ ÒØ º Ä Ø ÜØ ³ ÒØÖ Ø ÙÒ ÕÙ Ò n ÑÓØ ÐÓÒ Ù ÙÖ l 1,l 2,...,l n Ñ ÙÖ Ò Ö Ø Ö º ÇÒ ÓÙ Ø ÑÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ö Ô ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÙÖ ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö Ð Ò ÕÙ ÓÒØ ÒÒ ÒØ ÙÒ Ñ Ü ÑÙÑ M Ö Ø Ö ÙÒ º Ë ÙÒ Ð Ò ÓÒÒ ÓÒØ ÒØ Ð ÑÓØ i j i j Ø ÕÙ³ÓÒ Ð Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ô ÒØÖ ÙÜ ÑÓØ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ø Ö ³ Ô Ñ ÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ò Ð Ð Ò ÓÖÖ ÔÓÒ s ij = M j + i j l h. h=i

Ë Ð ÑÓØ i j Ò Ø ÒÒ ÒØ Ô ÙÖ Ð Ð Ò s ij Ö Ò Ø ÓÒÚ ÒÓÒ ÔÐÙØØ ÕÙ Ò s ij = º ÇÒ ÓÙ Ø Ñ Ò Ñ Ö Ð ÓÑÑ ÙÖ ØÓÙØ Ð Ð Ò ÖÖ ÒÓÑ Ö Ö Ø Ö ³ Ô Ñ ÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ò ÕÙ Ð Ò º È Ö Ü ÑÔÐ Ð Ø ÜØ Ø ÒØ ÙÖ 3 Ð Ò Ø ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö Ø Ö ³ Ô Ñ ÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ð Ò ÓÒØ 2 4 Ø 1 Ð ÓÑÑ ÖÖ Ö 2 2 + 4 2 + 1 2 = 21º Ò ÓÒ ÙÒ Ø Ð Ù E Ñ Ò ÓÒ n n ÓÒØ ÙÒ ÒØÖ E[j,k] Ö ÔÖ ÒØ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÑÑ ÖÖ ÒÓÑ Ö Ö Ø Ö ³ Ô Ñ ÒØ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÓÙÖ ÑÔÖ Ñ Ö Ð j ÔÖ Ñ Ö ÑÓØ ÙÖ k Ð Ò º µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÔÓÙÖ ÐÙÐ Ö E[j,k] Ô ÖØ Ö ³ ÙØÖ Ù Ø Ð Ùº ÁÒ ÙØ Ð Þ s ij ºµ E[j,k] = min j i=2 {E[i 1,k 1] + s2 ij }. µ ½ ÔÓ ÒØ Ç Ö ØÖÓÙÚ ¹Ø¹ÓÒ Ð Ú Ð ÙÖ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ³ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ð ÙÖ ÕÙ Ò Ó Ø Ô Ð³ Ò Ò ÙÖ Ð ÖÒ Ö Ð Ò Ù Ø Ð Ù Ò Ô ÖØ ÒØ Ð Ù º ÇÙ ÒÓÖ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ú Ð ÙÖ Ð ÖÒ Ö Ð Ò ºµ µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ Ð Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ ÚÓØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ º Θ(n 3 ) µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Þ Ð Ø Ð Ù ÔÓÙÖ Ð Ô Ø Ø Ø ÜØ Ù Ú ÒØ Ú M = 10 ÍÒ ÓÒ ÓÐ Ö Þ Ù Ð Ò ½ ¾ ÑÓØ ½ ¾ ½ ½½ ¼ ¾ ½ Ð Ò ½ ¾ ÑÓØ ½ ¾ ½ ½½ ¼ ½ ¾ ¾ ½¾ ¾¾ ½ ½ ½ ¾ ½¼ ¾¼ ¼¼

ÉÙ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÖ Ø ÕÙ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÔÓ ÒØ µ ½ ÔÓ ÒØ ÜÔÐ ÕÙ Þ Ð³ Ú ÒØ ³ÙÒ ÙÖ Ø ÕÙ Ö Ö Ú Ø ÓÙ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÒ ÙÖ Ø ÕÙ ³ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÐÓ Ð º ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÒ Ö Ô Ô Ö ÙÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÐÓ Ð Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖÑ Ø ³ ÔØ Ö ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÚÓ Ò ÕÙ Ø Ö ÓÖ Ð ÕÙ Ð Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙÖ ÒØ Ò ÙØ ÒØ ÕÙ³ ÐÐ Ò Ó Ø Ô Ø ÓÙ Ò ³ ÔÔ Ö ÙÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÐÓ Ðº ÍÒ Ð Ø Ø ÓÙ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÙ Ö Ø Ö Ø ÕÙ µ Ø Ñ ÒØ ÒÙ Ò ³ Ú Ø Ö Ö ØÓÑ Ö ØÓÙØ Ù Ø ÙÖ ÙÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÐÓ Ðº µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒÒ Þ Ð Ö ÒØ ÙÖ Ð Ú Ð ÙÖ V ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ô Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø c¹ ÓÐÙ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ü Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ ÓÒÒ ÕÙ Ð Ú Ð ÙÖ ³ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð Ø V º V c V V µ ½ ÔÓ ÒØ ÈÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù ÚÓÝ ÙÖ ÓÑÑ Ö Ñ ØÖ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÚÙ Ò Ð ÙÜ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ 1¹Ö Ð Ø Ø Ð ÓÒ 1 2 ¹Ö Ð Ø º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ö Ò ÒØ ÐÐ ÒØÖ Ð ÙÜ ÕÙ Ô ÖÑ ³ Ñ Ð ÓÖ Ö Ò Ð Ö ÒØ ÕÙ Ð Ø Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÈÐÙØØ ÕÙ ÓÙ Ð Ö ÕÙ Ö Ø Ð³ Ö Ö ÓÙ ¹Ø Ò ÒØ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ö Ò Ö Ð Ö Ô ÙÐ Ö Ò ÓÒ ÓÙØ Ð Ö Ø ³ÙÒ ÓÙÔÐ ÐÓÒ Ù ÙÖ Ñ Ò ÑÙÑ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÑ Ø Ö ÑÔ Öº ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ó Ø ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ Ò Ñ Ð n Ó Ø Ó Ð Ø ÐÐ t i Ù i Ñ Ó Ø Ø Ø 0 < t i < 1º ÇÒ ÓÙ Ø Ö Ò Ö ØÓÙ Ð Ó Ø Ò ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ø ÐÐ ÙÒ Ø Ö º ÕÙ Ó Ø Ô ÙØ ÓÒØ Ò Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ³Ó Ø ÓÒØ Ð Ø ÐÐ ØÓØ Ð Ò³ Ü Ô 1º ËÓ Ø T = n i=1 t i Ð Ø Ð Ö Ð Ö ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ò Ö N Ø Ù ÑÓ Ò T º ij Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø¹ Ø ÔÖ Ò ÕÙ Ó Ø Ð³ÙÒ ÔÖ Ð³ ÙØÖ Ø Ð ÔÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ó Ø ÕÙ Ô ÙØ Ð³ Ù ÐÐ Ö Ó Ø N Ð ÒÓÑ Ö Ó Ø ÙØ Ð Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º µ ½ ÔÓ ÒØ ÓÒ ØÖÙ Þ ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ù ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ö Ø¹ Ø ÙØ Ð Ù ÑÓ Ò ÙÜ Ó Ø ØÖÓÔº È Ö Ü ÑÔÐ Ð Ø ÐÐ Ò Ð³ÓÖ Ö º º º º º º º º º ÍØ Ð Ü Ó Ø ÔÐÙØØ ÕÙ ÕÙ ØÖ º µ ¾ ÔÓ ÒØ ÅÓÒØÖ Þ ÕÙ³ Ð ³ Ø ØÓÙØ Ñ Ñ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ 1¹Ö Ð Ø º ÁÒ¹ Ö ÙÑ ÒØ Þ ³ ÓÖ ÕÙ Ö Ø¹ Ø Ð Ù ÔÐÙ ÙÒ Ó Ø Ö ÑÔÐ ÑÓ Ø ÓÙ ÑÓ Ò º ÑÓÒØÖ Þ Ò Ù Ø ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ó Ø ÙØ Ð Ô Ö Ö Ø¹ Ø Ò³ Ø Ñ ÙÔ Ö ÙÖ 2T ºµ È Ö ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÙÜ Ó Ø ÓÒØ Ö ÑÔÐ ÑÓ Ø ÓÙ ÑÓ Ò Ð Ó Ø Ð ÓÒ ÙÖ ÒØ Ö ØÖÓÙÚ Ö Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÙ ÙÒ ÙØÖ µº ÓÒ ÕÙ Ó Ø Ù ÔÓ Ð Ñ ÒØ

ÙÒ ÓÒØ ÒØ ÙÒ Ø ÐÐ ÐÓ Ð ³ Ù ÑÓ Ò 1 2 º Ò Ð Ò Ô ÙØ Ý ÚÓ Ö ÔÐÙ T/1 2 = 2T Ó Ø º Ò Ð Ñ ÒØ N 2T 2 T 2N = (1 + 1)N º ÉÙ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ð³ Ð Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ø Ö ÔÓ ÒØ ËÓ Ø T ÙÒ Ø Ð Ù n ÒØ Ö º ÍÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ø Ñ ÓÖ Ø Ö Ò T ³ Ð Ý ÔÔ Ö Ø ÔÐÙ n 2 Ó º È Ö Ü ÑÔÐ 2 Ø Ñ ÓÖ Ø Ö Ò T : [2,8,5,2,2]º µ ¾ ÔÓ ÒØ Ö Ú Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓÙÖ Ö T ÓÒØ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ñ Ó¹ Ö Ø Ö Ø Ð Ö ØÓÙÖÒ ÒØ Ð Òغ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø ÔÖ Ò Ö ÙÒ Ø ÑÔ Ò Θ(n)º ½º ÐÙÐ Ö Ð Ñ Ò Ð Ñ ÒØ T Ò Ø ÑÔ Ð Ò Ö º ¾º ÓÑÔØ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ó ÕÙ ØØ Ñ Ò ÔÔ Ö Ø Ò T Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ Ð Ø Ð Ùº º Ä Ö ØÓÙÖÒ Ö ÐÐ Ø Ñ ÓÖ Ø Ö Ö ÔÓÒ Ö ÙÙÒ ÒÓÒº µ ¾ ÔÓ ÒØ Ö Ú Þ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓÙÖ Ö T ÓÒØ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ¹ ÓÖ Ø Ö Ø Ð Ö ØÓÙÖÒ ÒØ Ð Òغ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ø ÔÖ Ò Ö ÙÒ Ø ÑÔ Ò Θ(n)º ÓÒÒ Þ Ø Ù Ø Þ ÔÖÓ Ð Ø Ù º ½º Ó Ö i Ô ÖÑ {1,2,...,n} ÐÓÒ ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ º ¾º ÓÑÔØ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ó ÕÙ T[i] ÔÔ Ö Ø Ò T Ò Ô ÖÓÙÖ ÒØ Ð Ø Ð Ùº º Ê ØÓÙÖÒ Ö T[i] ³ Ð Ø Ñ ÓÖ Ø Ö Ö ÔÓÒ Ö ÙÙÒ ÒÓÒº ÁÐ ³ Ø ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÓÒØ ÖÐÓ 1/2¹ÓÖÖ Ø ÔÓÙÖ Ð Ö ÔÓÒ Ñ ÓÖ Ø Ö º ˳ Ð Ü Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ø Ö ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÐÙ ³ÙÒ Ò ÙÖ ÙÜ Ð Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ö ØÓÙÖÒ Ö Ô Ö Ò Ø ÓÒº ˳ Ð Ò³ Ò Ü Ø Ô ÒÓÙ Ö ØÓÙÖÒÓÒ ØÓÙ ÓÙÖ ÙÙÒ º Ä ÈÖÓ ÙÖ ÐÐ È ÒØ Å ½¼ Ø Ðº ¼¹ ½½ Üغ ½ ¾µ