CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Đạo àm ại mộ điểm Đị gĩa: Đạo àm của àm f ại điểm a, ký iệu f (a) là: f ' a (ếu giới ạ à ồ ại ữu ạ). Cú ý: đặ =-a, a có: f ' a f f a lim a a f a lim f a Tìm đạo àm của àm: ại a= eo đị gĩa. Ta é giới ạ sau: Vậ: f 8 9 8 9 4 lim lim 4 f ' 4 f f lim Đạo àm pải rái Đạo àm rái của f() ại a là: Đạo àm pải của f() ại a là: f f a f a f a f ' a lim lim a a f f a f a f a f ' a lim lim a a Đị lý Đị lý: Hàm số f() có đạo àm ại điểm a ki và cỉ ki ó có đạo àm rái; đạo àm pải ại a và ai đạo àm à bằg au. f ' a L f ' a f ' a L Đị lý: Nếu àm số f() có đạo àm ại a ì àm số liê ục ại a. Ciều gược lại có ể kôg đúg. f ' a L lim f f a a Co àm số: / e, Tìm f ' ; f ' f, Ta có: f f / e u f ' lim lim lim u u e f / f e f ' lim lim Vậ kôg ồ ại đạo àm của àm số ại.
Hàm số đạo àm Với a cố đị a có: f a f a f ' a lim Ta a bằg a có: f f f ' lim Với mỗi giá rị kác au của a í được f () ếu giới ạ ồ ại ữu ạ. Nư vậ giá rị của f () pụ uộc vào biế độc lập ê có ể em f là mộ àm eo và gọi là đạo àm của àm f. Hàm số đạo àm Hàm số đạo àm của àm =f(). Ký iệu: df d d f '; '; ; ; f d d d Tập ác đị của àm f là ập các giá rị của sao co f () ồ ại. Nó có ể ỏ ơ TXĐ của àm số f(). Tìm àm số đạo àm của àm =. Ta có: f f lim lim Giới ạ à ồ ại ữu ạ với mọi uộc TXĐ. Vậ đạo àm của àm số: ' Tìm đạo àm của àm: f Ta có: f ' lim lim Vậ: f f f '. TXD : ; Cú ý: ập ác đị của àm f() là: [; ) Qui ắc í đạo àm Co u, v là ai àm eo. Ki đó đạo àm eo của các àm sau là: i. u v ' u ' v ' ii. ku ' k. u ' u u '. v u. v ' iii. u. v' u '. v u. v ' iv. v v Đạo àm dạg:u v v v u ' u u v '. l u v. u Các í: lấ logari Nêpe ai vế àm số: u v Qui ắc í đạo àm Đạo àm của àm ợp: : Hàm l cos Vậ: f g f g. g l ; cos là àm ợp của àm: f g f. g. si a g cos
Côg ức í đạo àm. C... e e 4. l 5. si cos 6. cos si 7. a cos 8. co si Đạo àm àm ợp u u u. e e. u ' 4. l. u ' u 5. si u u '. cos u 6. cos u u '. si u 7. a u. u ' cos u 8. co u. u ' si u Côg ức í đạo àm 9. a a. l a. log a. l a. arcsi. arccos. arca 4. arc co Đạo àm àm ợp u 9. a. log. arcsi. arccos. arca 4. arc co u u u u a u Tìm f () biế: f Ta có: e l cos l cos si si ' cos cos Tìm f () biế: Ta có: f 4 7. si 4 l l l 7 l si ' 4 7 cos si Vậ: 4 7 cos '. 4 7. si si Hàm số co bởi am số Hàm số =f() ỏa điều kiệ: Ki đó àm số đã co gọi là àm co bởi pươg rì am số. l : Co àm e Đặ: e a có dạg am số sau: e Côg ức đạo àm am số Co àm =f() dạg am số: Ki đó: : d d / d d d / d e l e e e e l e e
Hàm số Ki đó: Đạo àm của àm gược f có àm gược là: : Hàm =arca có àm gược =a a f Đạo àm của àm gược : Hàm =arcsi có àm gược =si cos si do : Hàm =arccos có àm gược =cos si cos do Hàm ẩ Hàm =f() với (a;b) là àm ẩ co bởi pươg rì F(,)= ếu a =f() vào a được đẳg ức đúg. Ngĩa là: F(, f())= với (a;b). : Pươg rì: ác đị ai àm ẩ: F,, ;, ; Đạo àm àm ẩ Co pươg rì: F(;)= Để í: B. Lấ đạo àm ai vế pươg rì eo. Cú ý là àm eo. B. Giải pươg rì ìm. B. Để í (a) a a =a vào pươg rì. : Co pươg rì: l e Tí đạo àm của eo. B. Lấ đạo àm eo Đạo àm àm ẩ '. e e. '. * B. Giải ìm * '. e e. ' l e e ' e. e ' e. Đạo àm àm ẩ B. Tí (). l e l Ta có:. e ' e Ta = và ()= vào a có:..... e '.. e 4
Đạo àm cấp cao Co f là àm kả vi. Đạo àm (ếu có) của f gọi là đạo àm cấp của àm số f(). Ký iệu: d df d f f f d d d Đạo àm cấp của àm f là đạo àm của đạo àm cấp. f f d d d d d f d f Đạo àm cấp cao Đạo àm cấp của àm f là đạo àm của đạo àm cấp (-). d d f d f f f d d d : Co àm: f. e Tìm đạo àm cấp của àm số. Giải: f e e e e e... Ta có: Tươg ự: Tổg quá: Đạo àm cấp cao f e e e e 4 f e ; f 4 e f e Đạo àm cấp cao ườg gặp i) a... a ii)! a a ) a a iii e a. e! iv) l ) si v a a. si a ) cos vi a a. cos a Cú ý i) a b... a b. a! a a b iv) l a b. v) si a b a. si a b ) cos vi a b a. cos a b Tí đạo àm cấp của: a) f b) g 5
Ta vào: Đạo àm cấp cao àm ẩ 4 4 48 Biế: 6. CM: 7 Đạo àm vế eo : 4 4. ' ' Do đó:. ' ' 6 4 4 4 48 4 7 7 Đạo àm cấp cao am số Ta đã biế: ' ' Teo côg ức đạo àm àm ợp:.. Do đó:.. si Tìm biế: Ta có: cos ; si ; Vậ: ; cos. cos si. cos si cos cos Dễ ấ: Mở rộg: Côg ức Leibiz f. g f. g g. f f. g f. g g. f f. g f g f. g k k k f. g C. f g k Gầ giốg kai riể ị ức Newo Tí đạo àm: f. g f g f. g f. g g f 4 4. 4. 6. 4. f g f g f g f g f g g f f si f??? VI PHÂN Vi pâ ại mộ điểm Vi pâ rê mộ koảg Ứg dụg vi pâ í gầ đúg 6
Vi pâ ại mộ điểm Đị gĩa. Hàm số f() gọi là kả vi ại ếu: f f A. A: aèg soá öõu aï : VCBù baäc cao ô. lim Ngöôøi a coø kù ieäu laø. Đị gĩa. Hàm số f() gọi là kả vi ại ếu: f f A. Vi pâ ại mộ điểm Co àm f kả vi ại. Ki đó A. gọi là vi pâ của àm số f() ại. Ký iệu: df A. Đị lý: Hàm = f() kả vi ại ki và cỉ ki ồ ại f ( ). Ta cứg mi được: a df A. A f ' Vi pâ ại mộ điểm Vi pâ của àm số f() ại. df f '. a df f '. Tí cấ: i) d C ii) d f df iii) d f g df dg iv) d fg gdf fdg f gdf fdg v) d g g Co àm ợp: Vi pâ: Vi pâ của àm ợp f u a f u df f. d f u. u ' d f ' u. du Hai côg ức à có dạg giốg au Vậ vi pâ cấp có í bấ biế. f f Ứg dụg vi pâ f f f f '. Ứg dụg vi pâ í gầ đúg Co àm f() kả vi rog lâ cậ của. Ta có: Ha côg ức: f f f '. '. f f f f f '. ki 7
Co àm số: f a) Tí vi pâ cấp của àm số ại = b) Tí gầ đúg: 4, Giải: f df d df d 4 d 4 Co àm số: f a) Tí vi pâ cấp của àm số ại = b) Tí gầ đúg: 4, Giải: f f 4, 4, f, f,, 75 4 4 Nếu í bằg má í: 4,, 748599.. Vi pâ cấp cao Vi pâ cấp : df f d Là mộ àm eo. Nếu àm số à có vi pâ ì vi pâ à gọi là vi pâ cấp của àm f(). Vậ: d f d df d f ' d d. d f ' d. f d f. d Tươg ự vi pâ cấp là vi pâ của vi pâ cấp (- ). d f d d f f. d Vi pâ cấp cao của àm ợp Co àm ợp: f(g()). Vi pâ cấp : ' '. '. d f d df d f u du d f u du f u d d u f u du f u d u d f f d CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI Đị lý về giá rị rug bì (am kảo) Côg ức Talor Qui ắc L Hospiale Đị lý Ferma Co àm số =f() ác đị rog lâ cậ. Nếu f() đạ cực đại ại và có đạo àm ại ì: f ' 8
Đị lý Rolle Nếu àm f() liê ục rê [a,b], kả vi rê (a,b) và f(a)=f(b) ị ồ ại điểm c uộc (a,b) sao co f (c)= Đặc biệ ếu f(a)=f(b)= ì đị lý Rolle có gĩa giữa ai giệm của àm số có í ấ mộ giệm của đạo àm. Đị lý Lagrage Nếu f() liê ục rê [a,b], kả vi rog (a,b) ì ồ ại c uộc (a,b) sao co: f b f a b a f ' c Đị lý Cauc Nếu f(), g() liê ục rê [a,b], kả vi rog (a,b) và g() kác rê (a,b) ì ồ ại c uộc (a,b) sao co: f b f a f ' c g b g a g ' c Côg ức Talor Kai riể mộ àm số pức ạp à dạg đơ giả Kai riể àm pức ạp à àm đa ức. : kai riể Talor ại = 5 arca... 5 e...!!! Côg ức Talor Co àm số f(): Liê ục rê [a,b] Có đạo àm đế cấp + rê (a,b) Xé (a,b). Ki đó rê [a,b] a có: f ' f "!!!! f f f f c... Pầ dư rog côg ức Talor Dạg Lagrage: f c R! Dạg Peao: (ườg dùg ơ) lim R R 9
Côg ức Maclauri Co àm số f(): Liê ục rê [a,b] Có đạo àm đế cấp + rê (a,b) Xé = (a,b). Ki đó rê [a,b] a có: f f ' f " f f...!!! Côg ức L Hospial Áp dùg ìm giới ạ dạg: ; f Ñò lù: Co giôùi aï: lim coù daïg ; a g f f Neáu lim L ì lim L a g a g f f lim lim a g a g L Ứg dụg àm liê ục Ứg dụg àm liê ục Đị lý Weiersrass Nếu àm số f() liê ục rê đoạ [a;b] ì ó đạ giá rị lớ ấ, giá rị ỏ ấ rê [a;b], ức là ồ ại, ; sao co: f ( ) ma f ( ) f ( ) mi f ( ) [ a, b ] [ a, b ] Đị lý giá rị rug gia Giả sử àm số f() liê ục rê đoạ [a;b] và f(a) f(b). Ki đó lấ mộ giá rị c bấ kỳ ằm giữa f(a) và f(b) ì ồ ại ( ; )sao f c Ứg dụg àm liê ục Ứg dụg àm liê ục Hệ quả Đị lý giá rị rug gia Nếu àm số f() liê ục rê đoạ [a;b] và f(a).f(b)< ì ồ ại ( ; ) sao co f( )=. Tức là pươg rì f()= có í ấ mộ giệm uộc (a;b) Co mô ì câ bằg ị rườg Q S =Q D. Trog đó: 5 QS,P 5P ; QD. P Cứg mi rằg mô ì rê có giá câ bằg uộc koảg (;5)
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM. Ý gĩa của đạo àm. Giá rị cậ biê. Hệ số co dã 4. Lựa cọ ối ưu rog ki ế. Ý gĩa của đạo àm Co àm số =f() Tại ki a đổi mộ lượg Δ Tì a đổi: Δ = f( + Δ)-f( ) f f f ' lim Tốc độ a đổi của eo ại điểm cí là đạo àm f ( ) f ' ki ra o. Ý gĩa của đạo àm. Hàm cầu của mộ loại àg óa là p=5-q Tìm ốc độ a đổi giá ki lượg cầu a đổi Giá sẽ a đổi ế ào ki Q=. Ý gĩa của đạo àm. Hàm cầu của mộ loại àg óa là = 45 Tìm ốc độ a đổi giá ki lượg cầu a đổi Giá sẽ a đổi ế ào ki Q=4. Giá rị cậ biê Đo ốc độ a đổi của eo, ký iệu M() ' M f Ta ườg cọ ấp ỉ ( ) ức là M() gầ bằg lượg a đổi của ki a đổi mộ đơ vị = Giá rị cậ biê của ci pí Co àm ci pí C=C(Q) Hàm cậ biê của ci pí: MC(Q)=C (Q) Lượg a đổi của ci pí ki Q ăg lê đơ vị
Giả sử ci pí rug bì để sả uấ mộ sả pẩm là: 5 C, Q, Q 5 Q A) Xác đị àm ổg ci pí để sả uấ ra Q sả pẩm. B) Tìm giá rị cậ biê của àm ci pí. Nêu ý gĩa ki Q=5. Giá rị cậ biê của doa u Co àm doa u R=R(Q) Hàm cậ biê của doa u: MR(Q)=R (Q) Lượg a đổi của doa u ki Q ăg lê đơ vị Số vé bá được Q và giá vé p của mộ ãg e bus được co bởi côg ức: Q 5p A) Xác đị àm ổg doa u B) Xác đị doa u cậ biê ki p= và p= Độ a đổi uệ đối và ươg đối Đị gĩa: ki đại lượg a đổi mộ lượg Δ ì a ói: Δ là độ a đổi uệ đối của Tỷ số. % gọi là độ a đổi ươg đối của Hệ số co dã Hệ số co dã của eo là ỷ số giữa độ a đổi ươg đối của và của a đổi mộ lượg Δ. Ký iệu: ' / f.. / f Co àm cầu Q=-4p-p. Tìm ệ số co dã ki p= Tể iệ % a đổi của ki a đổi %.
Lựa cọ ối ưu rog ki ế Trog ki ế a qua âm các bài oá sau: + Tìm p để sả lượg Q đạ ối đa + Tìm p oặc Q để doa u R đạ ối đa + Tìm Q để ci pí C đạ ối iểu (cực iểu) Co àm cầu Q=-p, àm ci pí C=Q - 9Q +Q+ Tìm Q để lợi uậ lớ ấ. Ta đưa các bài oá rê về dạg ìm cực rị của àm mộ biế số đã ọc. Co àm cầu Q=-p, àm ci pí C=Q - 5Q +84Q+5 Tìm Q để lợi uậ lớ ấ.