Copyright by VnCFD Research Group Bài 9: Sơ đồ sai phân một chiều dạng tường minh cho hệ phương trình Hyperbol bất kì Hệ đối xứng. Tích phân n

Bản ghi

1 Bài 9: Sơ đồ sai pân ột ciều dạng tường in co ệ pương trìn Hyperbol bất kì Hệ đối xứng. Tíc pân năng lượng. Biến đổi ệ pương trìn ề dạng cín tắc. Sơ đồ sai pân. Bất đẳng tức cơ sở - Mô ìn sai pân của tíc pân năng lượng. Điều kiện ổn địn. Tạo điều kiện biên pù ợp. Điều kiện biên pân tán đả bảo tín ổn địn co sơ đồ ới bước cia lưới đủ nỏ. Xây dựng sơ đồ co ệ pương trìn Hyperbol kông đối xứng. Tùy cỉn sơ đồ trong trường ợp các ệ số tay đổi Tuật toán xây dựng sơ đồ sai pân co pương trìn â ọc ká đơn giản à ang tín trực quan cao, ì ậy cúng ta y ọng à ong uốn rằng, trên cở sở tuật toán đã có, có tể xây dựng được sơ đồ sai pân co ệ pương trìn i pân tuyến tín bậc ột dạng yperbol bất kì. Trong pạ i của bài này, cúng ta cỉ trìn bày ấn đề trên đối ới trường ợp ệ pương trìn là ệ đối xứng. Nư đã biết, từ lý tuyết ề pương trìn dạng yperbol (xe giáo trìn [34]), tì ệ pương trìn A B C Qu t x y f (9.1) được gọi là ệ pương trìn t yperbol (teo Friedrics), nếu nư các a trận A, B, C là các a trận đối xứng, đồng tời a trận A là a trận xác địn dương. Giả sử các pần tử của các a trận uông ciều A, B, C là các à trơn tru teo các biến x y, t,. (nếu các pần tử của các a trận trên pụ tuộc tê biến u, tì ệ pương trìn được gọi là ệ pương trìn bán tuyến tín). Ma trận Q trong ệ (9.1) kông nất tiết pải là a trận đối xứng, các pần tử của nó à các tàn pần éc tơ à f có tể pụ tuộc teo các biến x, y, t. Đối ới ệ pương trìn đối xứng t yperbol, có tể đưa ra ột đẳng tức quan trọng, là nền tảng co iệc xây dựng lý tuyết đối của các ệ pương trìn trên. Nân ô ướng pương trìn (9.1) ới éc tơ u, sau ột ài pép biến đổi kông quá pức tạp, sử dụng tín cất đối xứng của các a trận A, B, C, có tể tu được đẳng tức tỏa ãn co ọi ngiệ (9.1): t Au, u Bu, u Cu, u Du, u f, u x y (9.)

2 ở đây, tíc ô ướng của ai éc tơ u à, A B C D Q Q, t x y Q a trận cuyển ị của a trận Q. Sau ki lấy tíc pân pương trìn trên teo iền bất kì, là ìn cầu oeoorpic trong kông gian ba ciều x, y, t, tuộc iền xác địn của u, à biến đổi tíc pân kối ế trái (9.) tàn tíc pân trên ặt, giới ạn iền, cúng ta sẽ tu được đẳng tức tíc pân sau A B C ud Du, u f, u, d (9.3) Với,, là éc tơ páp tuyến đơn ị của ặt, có ướng ra pía ngoài. Cúng ta sẽ kông đi xe xét cụ tể các bước để tu được công tức (9.) à (9.3) (đọc tê í dụ trong bài 9 giáo trìn [34]). Đẳng tức (9.3) tu được ở trên gọi là tíc pân năng lượng của ệ pương trìn đối xứng (9.1). Ở dạng sai pân, nó sẽ đóng ai trò quan trọng trong iệc lập luận ề tín ổn địn của sơ đồ, à cúng ta sẽ trìn bày ở pần dưới đây. Trong giới ạn của bài này cúng ta cỉ đề cập đến trường ợp ột ciều, ki pương trìn (9.1) cỉ pụ tuộc ào biến tời gian t à ột biến kông gian x. Để đơn giản, cúng ta giả sử rằng, các a trận A, B là các a trận ằng (tức các ệ số của a trận là các ằng số), còn ế pải của pương trìn bằng kông A B 0 t x Ki đó, dạng i pân của tíc pân năng lượng (9.) là: (9.4) t x Au, u Bu, u 0 còn địn luật bảo toàn năng lượng (9.3) Au, udxbu, udt 0 (9.5) (9.6) ới cu tuyến kín bất kì tuộc ặt pẳng x, t.

3 Biến đổi éc tơ à u ở dạng pương trìn (9.4) trở tàn A B 0 t x u, ới a trận là a trận kả ngịc. Hệ (9.7) ở đây a trận cuyển ị của a trận. Bởi ì a trận A à B là các trận đối xứng, ngoài ra a trận A là a trận xác địn dương, nư đã biết trong pần đại số tuyến tín đại cương, luôn có tể tì được ột a trận sao co A là a trận đơn ị, còn a trận B a trận đường céo, cúng ta sẽ kí iệu các pần tử trên đường céo của nó là 1,...,. Teo địn luật quán tín của dạng toàn pương tì số các giá trị â à dương trong tập ợp các giá trị cỉ pụ tuộc ào a trận B, à kông pụ tuộc ào các biến đổi ề dạng đường céo. Trong trường ợp đang xét tì các giá trị là ngiệ của pương trìn đặc trưng det A B 0 (9.8) Để xác địn a trận cúng ta có tể tiến àn các bước nư sau. Pép biến đổi u H 1, ới H là a trận trực cuẩn có các cột là các éc tơ riêng cuẩn óa của a trận A, biến a trận A ề dạng được céo A1 H AH, ới các pần tử đường céo là các giá trị riêng của a trận A, tức là ngiệ của pương trìn đặc trưng det A I 0. Đồng tời tất cả các giá trị 0 bởi ì a trận A xác địn dương. Ma trận B lúc đó trở tàn a trận B1 H BH. Tiếp teo tay 1 D, D là a trận đường céo ới các pần tử đường céo bằng 1 /, sẽ biến a trận A 1 tàn a trận đơn ị D A1 D I, còn a trận B 1 tàn a trận B D B1 D. Cuối cùng, pép đổi biến K, ới K là a trận trực giao, được tạo tàn từ các éc tơ riêng của a trận B, sẽ giữ nguyên a trận đơn ị I, à biến a trận B tàn a trận đường céo M K BK ới các pần tử trên đường céo cín của a trận M sẽ bằng. Nói tó lại, a trận cần tì cín là tíc của tất các các a trận pía trên HDK. Dạng cín tắc của ệ pương trìn ki đó có dạng

4 M t x 0 (9.9) Nếu xét ệ kông có điều kiện biên tì có tể nó tác tàn pương trìn độc lập ới các ẩn là : t x 0 (9.10) Biến được gọi là bất biến Riann, có giá trị kông đổi dọc teo đường đặc trưng dx/ dt. Yếu tố này sẽ đơn giản óa quá trìn xây dựng sơ đồ sai pân. Giống nư ở các bài trước, cúng ta sẽ tạo lưới đều ới các nút lưới x ( x x 1 ) à kông bị cặn ở ai pía của trục x. Tập ợp các giá trị 1/ được co bởi éc tơ à u x, t ở lớp dưới t t 0, còn u 1/ - lớp trên t t 0. Cúng liên ệ ới nau teo công tức u A 1/ 1/ U B U 1 0 (9.11) U đại lượng "lớn" bổ sung. Các đại lượng này được tì ở dạng lời giải của bài toán pân rã gián đoạn co ệ pương trìn (9.4) ới điều kiện đầu: u u u 1/ 1/,, x x x x (9.1) Để tuận tiện cúng ta biểu diễn ngiệ (9.1) ở dạng éc tơ à ki đó ệ có dạng cín tắc (9.9), sơ đồ sai pân (9.11) có dạng 1/ 1/ V B V Các tàn pần của éc tơ V 1 0 được xác địn teo công tức 1 u, (9.13) 1/ 1/,, 0 V (9.14) 0

5 Trong trường ợp 0, tì giá trị V có tể nận giá trị bất kì, bởi ì trong công tức (9.13) cúng sẽ nân ới. Từ các công tức (9.13), (9.14) suy ra, ỗi ạng tử tương ứng ới cỉ số, (cúng ta sẽ kông kí iệu ào), sẽ có các đẳng tức sau 1 1/ 3/, 0 1/ 1 1/ 1/, 0 (9.15) 1/ 0 Còn bây giờ, tương tự nư trong bài 3, ki 0 1 từ đẳng tức c 1 a b tu được bất đẳng tức c bằng các pép biến đổi sơ cấp (3.11). Kết quả 1 a b cúng ta sẽ có bất pương trìn: 1/ 1/ V V 1 0 co từng ạng tử, nếu tõa ãn điều kiện 1. Cộng tất cả các bất đẳng tức cùng ciều lại ới nau sẽ được bất đẳng ec-tơ : 1/ 1/, MV, V MV, V, 1/ 1/ 1 1 ới điều kiện bước tời gian tõa ãn 0 (9.16) ax 1 (9.17) Trước ki cuyển sang pần tiếp, cúng ta sẽ là ột cú ý nư sau (tương tự nư trong bài 3 ki ngiên cứu ề pương trìn â ọc). Pép cứng in bất đẳng tức (9.16) sẽ co kết quả có cứa ạng tử ki 0, à ạng tử 3/ 1/ nếu 0. Bất đẳng tức (9.16) sẽ luôn tõa ãn ới ọi giá trị V, xác địn teo

6 công tức (9.14). Tín cất này cúng ta sẽ cần co sau này, ki xe xét đến bài toán có điều kiện biên. Nớ lại, cúng ta đã sử dụng các pép biến đổi a trận u, A I, B M. Bất đẳng tức (9.16) tu được ở trên có tể iết lại nư sau 1/ 1/ Au u Au, u BU, U BU, U, 1/ 1/ 1 0 (9.18) Bất pương trìn ở dạng sai pân này tương ứng ới tíc pân năng lượng (9.5), (9.6) xét co koảng lưới x 1 x x, trong koảng tời gian tín toán cuyển từ lớp dưới lên lớp trên. Cộng tất cả các bất đẳng tức (9.18) ới cỉ số cạy từ đến, ới giả tiết tổng u 1 /, u, ới các dữ liệu ban đầu, bị giới ạn, cúng ta sẽ có A 1/ i1/ 1/ u, u Au, u A 1/ 1/ (9.19) nếu nư tỏa ãn điều kiện (9.17). Tín ổn địn của sơ đồ sai pân kông có điều kiện biên đang xét được cín in tương tự, nếu bước tời gian tỏa ãn bất đẳng tức ax 1. Điều kiện đủ (9.19) co tín ổn địn ừa tu được cũng cín là điều kiện cần. Kẳng địn này có tể cứng ìn ột các dễ dàng bằng các áp dụng pương páp pổ Fourier co pương trìn (9.15). Bởi ì các giá trị là các ngiệ của pương trìn đặc trưng det A B 0 nên giá trị tới ạn của bước tời gian có tể biểu diễn dưới dạng:, (9.0)

7 ới 0 giá trị lớn nất có tể, à ki đó a trận A B kông â, tức là Au, u Bu, u 0 ới éc tơ u bất kì. Bây giờ cúng ta cuyển sang xe xét bài toán ỗn ợp ới điều kiện đầu u x, xi x xii, à các điều kiện biên bên trái à bên pải nư sau x,0 u 0 Iu u II xi, t gi t x, t g t II II (9.1) I, II các a trận ta giác ới số àng là I, II ; g t g t I, II các éc tơ à co trước, có ciều tương ứng ới ciều éc tơ à u tại tời điể t 0. Nư đã biết từ lý tuyết ề pương trìn yperbol (xe giáo trìn [34]), để bài toán tiết lập được cín xác, điều kiện biên (9.1) kông tể co bất kỳ. Kí iệu số pần tử ang giá trị dương trong tập các giá trị ở trên, còn số pần tử ang giá trị â (rõ ràng 0 là số pần tử bằng kông). Ki đó để điều kiện biên bên trái đã co ở trên là ợp lệ, tì cần có I điều kiện biên độc lập lẫn nau (tức bằng số đường đặc trưng xuất pát từ biên trái). Còn biên bên pải cần có II điều kiện kông pụ tuộc lẫn nau (bằng số đường đặc trưng xuất pát từ biên pải). Đồng tời điều kiện biên kông được pép co bởi các tổ ợp các biến, tương ứng các bất biến rieann trên các đường đặc trưng "tiến gần" tới biên. Ngoài ta cúng ta sẽ giả tiết rằng, điều kiện biên pân tán, giống nư bài 13 trong giáo trìn [34]: tại ỗi điể trên biên, ới ọi éc tơ à u bất kì tỏa ãn điều kiện biên, các bất đẳng tức sau đúng: Bu, u 0 tại biên bên trái x xi (9.) Bu, u 0 tại biên bên pải x x II Tiếp teo cúng ta sẽ xây dựng sơ đồ sai pân co bài toán. Nư ọi ki, ta cia đoạn x x x x, trong đó I tàn koảng, bởi các nút lưới II x0 xi, x xii. Để đơn giản, xét lưới đều: x x 1. Để tuận tiện, cúng ta sẽ trìn bày sơ đồ sai pân co éc tơ à. Đối ới các koảng lưới pía trong, sơ đồ sai pân có dạng (9.13), (9.14). Ngoài ra cần bổ sung tê các pương trìn để

8 tín các đại lượng "lớn" V, V 0 trên biên. Đối ới nút biên bên trái x0 xi ệ pương trìn tương ứng để tín éc tơ V 0 bao gồ: điều kiện biên tương ứng ới các giá trị 0. Đối ới tì tu được từ pương trìn (9.14) tại =0: pương trìn được co bởi giá trị, tương 0, Tương tự ới 0 bên pải V 0 1/ giá trị V 0 tương ứng 0. Các giá trị của éc tơ V x x cũng được xác địn oàn toàn tương tự. co biên Hệ pương trìn sai pân đối ới từng ạng tử éc tơ à nư ậy là oàn toàn được xác địn. Để biểu diễn nó tông qua các ạng tử của éc tơ à u sử dụng pép biến đổi ngịc 1 u (lưu ý rằng, trong pần lớn các trường ợp, 1/ có tể tì các giá trị ở lớp trên, cỉ ki đó cúng ta ới đi xác địn các giá 1/ trị u, tuy niên iệc này cũng kông bắt buộc co từng bước tín toán, nếu nư kông cần tiết). Nư ậy các yếu tố cần tiết để kảo sát tín ổn địn co sơ đồ sai pân tu được đã sẵn sàng. Sau ki cộng tất cả các bất đẳng tức trong (9.16) teo cỉ số, ới bước tời gian tõa ãn điều kiện (9.17) oặc (9.0), cúng ta có 1 1/ 1/, MV, V MV, V,, 1/ 1/ Ki tu được bất pương trìn này, teo điể cú ý sau ki dẫn ra bất pương trìn (9.16) ở pía trên, đối ới các giá trị tại = 1 à = sử dụng các giá trị "cận biên" co trường ợp các đường đặc trưng, "xuất pát" từ biên ùng tín, đang "tự do". Các ệ tức dọc các đường đặc trưng này được tay tế bởi điều kiện biên tán xạ, à ki đó MV0 V0 MV V, 0,, 0. Đối ới éc tơ u cũng cộng tất cả các bất đẳng tức (9.18) lại ới nau, cúng ta sẽ tu được bất đẳng tức

9 1 Au 1/ 1/ u Au, u BU, U BU, U. (9.3), 1/ 1/ Do điều kiện biên pân tán, nên từ điều kiện (9.) cúng ta luôn có các bất đẳng tức Từ đó suy ra BU U 0, BU, U 0 1 0, 0 1/, 1/ Au u Au, u, 1 1/ 1/ (9.4) nếu bước tời gian tõa ãn điều kiện (9.17) oặc (9.0). Điều này có ngĩa là sơ đồ sai pân co bài toán ỗn ợp ổn địn trong cuẩn à lưới tương ứng. Nấn ạn tê ột lưu ý rất quan trọng đó là co đến bây giờ cúng ta ới cỉ xe xét co ệ pương trìn dạng A B 0 t x ới A, B là các a trận đối xứng, đồng tời a trân A là a trận xác địn dương. Từ tuật toán xây dựng sơ đồ sai pân ở trên, cúng ta sẽ ở rộng co ệ pương trìn yperbol dạng sau C 0 t x (9.5) ới C là a trận bất kì (kông bắt buộc là a trận đối xứng à để đơn giản giả sử các pần tử của C là các ằng số). Để là iệc này cúng ta cỉ cần tì các ngiệ của pương trìn đặc trưng tương ứng co ệ (9.5). Giả tiết rằng ngiệ của pương trìn đặc trưng det C I 0 ay cũng cín là ngiệ của pương trìn det C I 0

10 z éc tơ riêng của a trận C ( C là a trận cuyển ị của a trận C ), tương ứng ới giá trị riêng, tức là C z z. Ki đó z C z, ới z éc tơ-àng được gọi là éc tơ riêng trái của a trận C. Từ pương trìn (9.5) dễ dàng tu được t x z, u z, u 0, tức là, dọc teo đường đặc trưng, z u const dx / dt, luôn tõa ãn ệ tức Hệ (9.5) yperbolic nếu nư a trận C có ột ệ oàn cỉn gồ ec-tơ riêng tuyến tín độc lập. Tực tế, cúng ta đã trìn bày tuật toán cuyển ệ pương trìn (9.5) ề dạng cín tắc M 0 t x trong đó M là a trận đường céo. Hệ pương trìn trên tu được bằng các biến đổi éc tơ Lu, ới L là a trận có các àng là các éc tơ riêng của a trận C. Sau bước này sơ đồ sai pân đang xét có tể được iện tực óa đối ới ệ (9.5), í dụ ở dạng các pương trìn u 1/ 1/ U C U 1 0, (9.6) các đại lượng "lớn" ki đó sẽ được xác địn dựa trên dạng cín tắc của ệ, giống nư đã nói ở các pần trước. Một điể đặc biệt quan trọng đó là iệc cứng in tín ội tụ của sơ đồ trên à tảo luận các ấn đề ề tín pân tán của điều kiện biên cỉ có tể ki ệ (9.5) ới a trận C kông đối xứng có tể trở tàn ệ đối xứng, tức là bằng các nân ới ột a trận đối xứng xác địn dương nào đó, oặc bằng các biến đổi ec-tơ à cần tì, ệ (9.5) được đưa ề dạng đối xứng (9.4). Trong trường ợp riêng, pép đối xứng óa trên cín là pép biến đổi đưa ệ (9.5) ề dạng cín tắc ới a trận đường céo M.

11 Ở dạng tầ tường các câu ỏi ề pép đối xứng óa nảy sin ngay cả ới các pương trìn â ọc (1.1), được iết ở dạng p 1 p 0, 0 t x c t x oạc iết ở dạng a trận t p 0 1 c x p Cúng ta sẽ tấy rằng, trong ột số trường ợp, í dụ nư đối ới ệ bán tuyến tín các pương trìn kí động lực ọc (xe bài ), tì trên tực tế quá trìn đối xứng óa ká pức tạp. Và để đơn giản óa, nư cúng ta ừa trìn bày ở trên, có tể xây dựng sơ đồ sai pân à kông cần đối xứng óa. Để kết túc bài, cúng ta sẽ xe xét ột số tay đổi của tuật toán này ki a trận trong pương trìn (9.4) có các pần tử là các à pụ tuộc biến xt., Một các tổng quan ệ được co ở dạng pân kỳ A x, t Bx, t Q x, t f t x. (9.7) Yêu cầu ề tín yperbolic giả tiết rằng, iệc đưa pương trìn ề dạng cín tắc bằng pép biến đổi u có tể được đối ới ọi điể xt,. Tất niên ki đó a trận cuyển từ à u sang "bất biến Rieann" ẫn được giữ nguyên tại ỗi điể xt,, cũng nư đối ới ngiệ của pương trìn đặc trưng,. Suy xt ra, các giá trị,, 0, xác địn cấu trúc các pương trìn của các đại lượng "lớn", lúc này sẽ pụ tuộc ào các điể xt,. Ki đó sẽ xuất iện ế pải trong pương trìn cín tắc (9.9) ngay cả ki pương trìn gốc (9.7) tuần nất: M x t H x t g x t t x,,, (9.8) H x, t a trận ới các pần tử là các à pụ tuộc ào biến xt., Sự có ặt của ế pải trong pương trìn gốc (9.7) tất yếu sẽ ang ột " lượng bổ sung" ào ế pải pương trìn (9.8).

12 Sự ắng ặt của ế pải pương trìn (9.7) tất niên pải xe xét trong các địn luật bảo toàn dạng sai pân (9.11). Ki ô tả cúng trong ỗi koảng lưới, pương trìn (9.11) sẽ có dạng 1/ 1/ A u A 1/u 1/ BU B 1U 1 Q1/u 1/ f 1/ x x 1 (9.9) Ki xác địn các giá trị "lớn" U, độ cín xác bậc ột của sơ đồ sai pân được bảo toàn kể cả trong trường ợp, nếu nư sử dụng đẳng tức (9.14) co trường ợp đồng nất, ki à cần biến đổi ecto-à u. Để cín xác ơn cần pải dẫn ra các pương trìn sai pân tương ứng, xuất pát từ ệ (9.8). Xấp xỉ bậc ột được bảo toàn cín tức ki tín ế pải trong các pương trìn (9.9) sử dụng các đại lượng u 1/ ở lớp "dưới". Tuy niên trong ột ài trường ợp ẫn dùng các 1/ đại lượng u 1/ ở lớp "trên" oặc giá trị trung bìn 1/ u 1 để tín ế pải.