ĐỀ TÀI ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọ đề tài: Như chúg t đã biết, Toá học có vi trò rất qu trọg trog ghiê cứu kho học và đời sốg ã hội Việc giảg dạy và học tập để lĩh hội được kiế thức Toá ột cách vữg vàg đòi hỏi gười dạy và học phải có ột sự đầu tư côg phu và đúg phươg pháp Kiế thức Toá cầ phải trìh bày và ắ bắt ột cách có hệ thốg Về chủ đề địh lý Vi-et và ứg dụg, tôi thấy đã có hiều tác giả viết và uất bả, hưg đ phầ chỉ là ột ứg dụg riêg lẻ vào ột dạg bài tập ào đó Chư thấy tài liệu ào viết dưới dạg chủ đề riêg về địh lý Vi-et Điều đó thôi thúc tôi viết đề tài ày hằ ục đích hệ thốg lại hoà chỉh hơ Bả thâ su ột số ă giảg dạy ô Toá có rút r hậ ét là học sih thườg ắ kiế thức Toá ột cách cục bộ chứ khôg hệ thốg được kiế thức Các e thườg ít thấy được ối qu hệ giữ các vấ đề toá học với hu Chíh vì thế ê khi gặp các vấ đề toá có cùg bả chất hưg phát biểu ở dạg khác thì học sih thườg tỏ r lúg túg và bế tắc Tôi i đư r đây ví dụ Có lầ tôi cho học sih giải bài tập su: Tì để hà số y có cực trị và khoảg cách giữ hi điể cực trị bằg 5 Học sih su khi biểu diễ tọ độ cực trị theo ghiệ củ y, để tíh khoảg cách bằg 5, đ số các e đều cố gắg giải tì ghiệ ; củ y rồi dùg côg thức khoảg cách Lời giải theo hướg đó thườg rất cồg kềh khi ghiệ y chứ că thức, ê tíh toá sẽ rất khó khă và thườg là thất bại Tuy hiê ếu các e biết sử dụg địh lý Vi-et để đư về tổg và tích thì đơ giả biết ấy Như thế các e đã khôg thấy được ỨNG DỤNG củ địh lý Vi-et trog trườg hợp ày
Qu quá trìh giảg dạy và ghiê cứu, tôi thấy ứg dụg củ địh lý Vi-et là rất phog phú, ó uất hiệ trog hiều dạg toá có liê qu tới ghiệ củ phươg trìh đ thức Vì thế tôi quyết địh chọ đề tài : ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Nhằ hệ thốg lại các dạg toá có liê qu tới tíh chất ghiệ củ phươg trìh đ thức Đề tài đề cập tới hiều dạg bài tập, ỗi dạg có số lượg bài tập phog phú, đủ cho học sih có điều kiệ để hậ r bả chất củ từg dạg Qu đề tài ày, hi vọg g đế cho học sih cái hì từ hiều phí củ địh lý Vi-et, cũg hư thấy được vi trò to lớ củ ó trog bộ ô Toá Mục đích ghiê cứu đề tài: Bả thâ hằg ă có th gi bồi dưỡg học sih giỏi Toá trog hà trườg cũg hư th gi luyệ thi đại học Tôi cố gắg đúc rút, âu chuổi toà bộ kiế thức à bả thâ thu thập được thàh ột chủ đề về địh lý Vi-et Mog uố ó có thể giải quyết được ột lớp các bài tập điể hìh củ chươg trìh bồi dưỡg học sih giỏi và chươg trìh thi Đại học Các ví dụ ih họ ở đây cũg được rút r chủ yếu từ hi kỳ thi đó, ột số thí dụ do bả thâ ság tạo r Mog uố đề tài có thể đế với đôg đảo học sih, hằ giúp các e đạt kết quả co trog các kỳ thi sắp tới Qu đề tài ày có thể giúp học sih có hiều phươg pháp giải các dạg bài tập có liê qu tới ghiệ củ phươg trìh Việc ghiê cứu đề tài giúp tôi có ột tài liệu g tíh hệ thốg về địh lý Vi-et, phục vụ cho côg tác giảg dạy và bồi dưỡg củ ìh Qu ghiê cứu đề tài, giúp tôi tự ti hơ trog côg tác giảg dạy
Một ục đích ữ củ việc ghiê cứu đề tài là bả thâ og uố có hiều điều kiệ để gio lưu, học hỏi, tro đổi chuyê ô với bạ bè đồg ghiệp Nhiệ vụ củ việc ghiê cứu đề tài: Quá trìh ghiê cứu để tài để bả thâ tru dồi thê kiế thức chuyê ô và ghiệp vụ Cách thức thực hiệ ột đề tài kho học là hư thế ào Có điều kiệ để tro đổi hiều hơ với thầy cô trog tổ Toá về các vấ đề Toá Qu trọg hơ ữ là đư tới cho học sih ột số dạg bài tập có ứg dụg co trog các kỳ thi, giúp các e có kết quả tốt hơ Đề tài à tác giả thực hiệ với hiệ vụ là giúp học sih cải tiế phươg pháp học tập Biết qu tâ tới bả chất Toá học trog ỗi phát biểu Cách trìh bày củ đề tài từ ức độ dễ đế khó, hằ từg bước giúp học sih âg co và kiế thức và kỹ ăg củ ìh Đề tài khi được côg bố, ó phải giúp học sih ắ vữg hơ về các ứg dụg củ địh lý Vi-et Là tốt hơ các dạg bài tập à các thế hệ học sih trước đg cò lúg túg và bế tắc Một hiệ vụ ữ củ đề tài à tác giả thấy cầ thiết là đư đế cho học sih khá, giỏi ột tài liệu bổ ích, được chắt lọc ột cách côg phu Qu đề tài ày, các e có thể tì thấy cho ìh hiều ví dụ thú vị Phươg pháp ghiê cứu đề tài: Phươg pháp tiếp cậ vấ đề : Đề tài ày được tác giả ấp ủ từ hữg ă 007 su ột thời gi th gi giảg dạy Từ đó đế y, tác giả đã tiếp cậ với hiều khó học trò, tiếp cầ với hiều đề thi đại học và học sih giỏi, từ đó rút r được hiều ội dug hơ, có sự đáh giá gày càg toà diệ hơ Qu phâ tích và giải đề thi, giúp tác giả có được hiều ví dụ dẫ chứg cho dạg bài tập à ìh đư r Từ đó đề tài có ội dug phog phú hơ
Đề tài được trìh bày theo các vấ đề từ ức dễ đế khó hơ Từ đó dẫ dắt học sih có thể lĩh hội được dầ các ội dug khó Các kiế thức Toá, đặc biệt là các địh lý và bổ đề, tác giả đều cố gắg trìh bày phép chứg ih Xe đó là kiế thức cơ sở cho ội dug đg ét tới Với cách trìh bày đó, học sih sẽ khôg cả thấy đó hậ kiế thức ột cách gượg ép, theo kiểu côg hậ Các e có thể từ từ tiếp cậ vấ đề ột cách tự hiê Vì tư tưởg củ đề tài là là cho học sih thấy rõ cơ sở, bả chất Toá học trog ỗi vấ đề ê gười viết luô đư r các bìh luậ su ỗi ví dụ và các bài tập đề ghị su ỗi dạg Phươg pháp phâ tích, bìh luậ: Trước khi đi vào ỗi dạg, tác giả thườg đư r hữg phâ tích củ ìh về các vấ đề thườg gặp củ dạg đó Khái quát phươg pháp giải cũg hư chỉ r các việc cầ là khi giải Học sih sẽ bước đầu hìh dug được ội dug phươg pháp giải tổg quát củ vấ đề ìh đg gặp Qu các ví dụ, tác giả thườg có các bìh luậ về dạg bài tập đó, từ đó học sih có thể thấy rõ bả chất củ vấ đề ìh đg gặp phải Thấy được tíh cụ thể cũg hư tổg quát trog ỗi bài toá Qu ỗi bìh luậ tác giả uố tro đổi với gười đọc về phươg pháp giải, cách suy ghĩ ào đi tới lời giải hư thế Thấy được tíh tươg tự hó trog các bài toá khác hu Một khi ắ được bả chất, học sih có thể là được các bài tập tươg tự, cũg hư có thể ság tạo r các bài toá khác từ bài toá gốc Phươg pháp tổg hợp, hệ thốg hó: Đây có lẽ là phươg pháp chủ đạo củ đề tài Nội dug đề tài được phâ chi thàh hiều dạg Toá, đó là quá trìh tổg hợp hữg kiế thức từ hiều guồ tài liệu và từ bả thâ rút r 5
Các dạg bài tập đư r cũg ở ức độ khá trở lê, ê đòi hỏi hiều quá trìh suy luậ và tổg hợp lời giải Vì ội dug đề tài uyê suốt cả ột vấ đề Toá học khá rộg, ê đòi hỏi gười viết phải có sự chuẩ bị khá lâu dài về ặt thời gi ý tưởg hìh thàh, và khi viết r cầ phải tổg hợp các kiế thức lại thàh chủ đề thốg hất Các chủ đề khác hu được hệ thốg hó theo ột bố cục chặt chẽ theo hi ảg lớ là địh lý Vi-et bậc hi và tổg quát Đọc qu đề tài t thấy các vấ đề Toá học đề cập tới ở đây đều gắ trê cái cột sốg là địh lý Vi-et Tác giả đã cố gắg tổg hợp các vấ đề Toá học có cùg bả chất đó 5 Phạ vi ghiê cứu: Đề tài chủ yếu ghiê cứu về lĩh vực Đại số à trọg tâ là ghiệ củ đ thức Các vấ đề về Dãy số, Số học, Bất đẳg thức, Lượg giác và Hệ phươg trìh cũg được đề cập trog các dạg toá liê qu Giải tích được đề cập tới về vấ đề cực trị và tiếp tuyế củ đồ thị hà số Tất cả các vấ đề trê có ột ối qu hệ chặt chẽ về ặt phươg pháp giải quyết đó là sử dụg tới địh lý Vi-et Từ đó cho thấy ối qu hệ thốg hất giữ các chủ đề toá học Phạ vi kiế thức à đề tài đề cập đế chủ yếu là các kỳ thi tuyể sih Đại học, co đẳg cũg hư là kỳ thi học sih giỏi Đây là hữg kỳ thi qu trọg diễ r hằg ă Các kiế thức đư r ở trog ày hoà toà là toá sơ cấp, điều đó phù hợp với chươg trìh Toá phổ thôg 6 Một vài tră trở khi thực hiệ đề tài Đây là đề tài à tác giả rất tâ đắc Nó được hìh thàh từ ấy ă về trước Qú trìh giảg dạy, thấy rõ địh lý Vi-et có rất hiều ứg dụg trog các bài tập Vì thế ó luô thôi thúc tác giả viết r thàh ột vấ đề cụ thể và có tíh hệ thốg về địh lý Vi-et 6
Trườg Ph Bội Châu ơi tôi đg dạy là ột trườg vùg sâu, vùg Trìh độ học sih ở đây ói chug là cò thấp, đặc biệt các e thườg học yếu Toá Phầ lớ các e lại chư thực sự có iề đ ê về Toá Do đó tôi luô tră trở liệu đề tài củ ìh viết r có được chíh học trò củ ìh đó hậ và có giúp cho các e học tốt hơ về Toá khôg? Hi vọg bằg hữg kih ghiệ củ bả thâ, sẽ góp phầ hỏ để có thể cải tiế phog trào bồi dưỡg học sih giỏi và luyệ thi Đại học, co đẳg trog hà trườg 7
NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Địh lý Vi-et học sih được học từ lớp 9, gồ có địh lý thuậ và địh lý đảo Địh lý cho t ối qu hệ giữ các ghiệ củ phươg trìh bậc hi và các hệ số củ ó Địh lý : Nếu phươg trìh bậc hi b c 0 chúg là: b 0 c có hi ghiệ ; thì tổg và tích củ ; Ngược lại ếu có hi số ; thỏ ã : +=S; =P thì ; là ghiệ củ phươg trìh t St +P =0 Điều đág ói trog địh lý ày là trog khi giải toá, t có thể khôg qu tâ tới giá trị củ và à chỉ cầ biết tổg và tích củ chúg Từ đó t có hữg biểu diễ cầ thiết II- ĐỊNH LÝ VI-ET TỔNG QUÁT: Địh lý: Cho phươg trìh bậc : +- - ++ +0 = 0 với 0 Nếu phươg trìh có ghiệ ; ; ; thì t có : 8
9 0 I Ngược lại ếu có các số ; ; thỏ ã hệ I thì chúg là ghiệ củ phươg trìh PHẦN THỨ HAI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET
I-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET BẬC HAI: DẠNG : BIỂU THỨC LÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM Phâ tích: Trog khi là các bài tập dạg ày, học sih cầ lưu ý sự tồ tại ghiệ củ phươg trìh, su đó biểu diễ các biểu thức qu và để có thể sử dụg địh lý Vi-et Các hằg đẳg thức hy dùg là: Ví dụ : b b b ; b b b b Tì để phươg trìh: 0 thỏ ã: Giải Trước hết điều kiệ để phươg trìh có ghiệ phâ biệt khác 0 là: ' 0 Giải được hoặc Theo địh lý Vi-et t có : và ; có hi ghiệ phâ biệt ; Lại có biểu thức b đầu được đư về là : Thy tổg và tích các ghiệ vào * t được: * 5 0 T được =; =-; =5 Kết hợp điều kiệ t hậ được =; =5 0 0
Ví dụ : Xét phươg trìh: 5 0 là th số Chứg ih rằg phươg trìh luô có ghiệ phâ biệt với ọi Gọi các ghiệ là,,, Hãy tíh theo giá trị củ biểu thức: M= Đặt = y y 0 Pt trở thàh: Do y y 5 0, 5 5 5, 0 ê phươg trìh luô có hi ghiệ phâ biêt Theo địh lý Vi-et t có: y, y b >0, S y y c P y y 5 >0, cùg dươg Vậy luô có hi ghiệ dươg phâ biệt ê luô có ghiệ phâ biệt Theo kết quả trê t có,,, 0 Vậy y, y, y, y M y y y y = y = y y y y y Thy kết quả S và P vào M t có:
M 5 5 Kết luậ: M 5 Ví dụ : Cho phươg trìh - + - = 0 có hi ghiệ, Khôg giải phươg trìh hãy tíh giá trị biểu thức M b Tì để tổg bìh phươg hi ghiệ đạt GTNN? T có: M Theo địh lý Vi-et t có : Vậy S ; P M ĐK : 0, b T có S P Đặt A= + = + - = -+= - + và A= khi = Vậy giá trị hỏ hất củ A là khi = Ví dụ : Đề thi HSG lớp 9 thàh phố HCM ă học 00-00 Tì để phươg trìh 0 có hi ghiệ phâ biệt b Gọi ; là hi ghiệ củ ó, tì GTLN củ biểu thức: A
T có:, Phươg trìh có hi ghiệ khi và chỉ khi: ' 0 b Theo địh lý Vi-et t có : Vậy Do đó ; A =,vì -; A 5 5 6 Vậy GTLN củ A là 5 khi và chỉ khi Ví dụ 5: Cho đ thức f có các ghiệ là i ; i, Hãy tíh tổg su: T viết lại : S i i i f 6 8 9 8 8 0 8 0 Gọi các ghiệ củ là ; ; các ghiệ củ là ; T có : S = = 8 8
8 8 8 Áp dụg địh lý Vi-et t có: Thy vào biểu thức trê t có: ; 8 80 8 S 8 8 Thực hiệ việc tíh toá tươg tự đối với phươg trìh t có : Bài tập tươg tự: 9 S S S Cho phươg trìh : 0 Tì để phươg trìh có hi ghiệ gịch đảo củ hu btì giá trị lớ hất củ biểu thức: Cho hà số y A Tì so cho đồ thị hà số cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt A,B so cho OA=OB Tì so cho phươg trìh: 0 có ghiệ thỏ ã: Tì so cho đồ thị hà số : y 8 cắt trục hoàh tại điể phâ biệt A,B,C,D so cho AB=BC=CD=DA 5 Giả sử ; là các ghiệ củ phươg trìh : 5 0 Hãy thiết lập phươg trìh bậc hi có ghiệ là : và DẠNG : GIẢI HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU
Phâ tích: - Hệ đối ứg hi ẩ kiểu là hệ gồ hi phươg trìh, hi ẩ, trog đó ếu t hoá đổi vi trò các ẩ trog từg phươg trìh thì ỗi phươg trìh đều khôg thy đổi - Để giải hệ đối ứg kiểu bằg cách sử dụg địh lý Vi-et, t thườg biểu diễ các phươg trìh qu tổg và tích củ hi ẩ đó - Các hằg đẳg thức hy dùg là: Ví dụ : b b b ; b b b b b b b Giải hệ phươg trìh: y y y y 0 5 T đặt u= 0 ; v= y 0, hệ trở thàh: u u v uv 0 v 5 Tiếp theo t đặt uv u v 0 u v uv u v 5 t được hệ: S=u+v; P=uv S P, SP 0 SP 0 S 5 S SP 5 S 5 P 6 Theo địh lí Vi-et t có u, v là ghiệ phươg trìh: t -5t+6=0 Giải được t=; t= Do đó u v hoặc u v Dẫ đế ghiệ củ hệ là;9; 9; thỏ ã 5
Ví dụ : Tì để hệ có ghiệ duy hất: Đây là hệ đối ứg kiểu y y y y Giả sử ;b là ghiệ củ hệ thì b; cũg là ghiệ củ hệ đó Để hệ có ghiệ duy hất thì =b Thy vào hệ t được Trừ vế theo vế phươg trìh trê cho phươg trìh dưới t được 0 0 Từ đó suy r =0 hoặc =- y y y y Thử lại với =0 t có hệ: Đặt u= +y; v=y u v, t có hệ : uv v u u v Theo địh lý Vi-et thì, y là ghiệ củ phươg trìh: t -t+=0, t được t= Vậy hệ có ghiệ duy hất =y= y y y y 0 Với =- t có hệ: Bằg cách đặt tươg tự t được u;v=;- và u;v=-; Do đó hệ khôg có ghiệ duy hất Vậy =0 là giá trị cầ tì Ví dụ : 6
Giải hệ phươg trìh: y y y 5 T có +y = +y - y Nê đặt u= +y ; v=y, t có hệ trở thàh u v u v 5 Giải hệ được u v I hoặc là u 9 v 6 II Với hệ I thì y y y y Theo địh lý Vi-et thì ; y là ghiệ củ phươg trìh t -t +=0, t được t=; t= Thế vào hệ t được y y 0, hoặc là y y 0 Suy r ghiệ ; y là ; - ; ; ; ;-; - ; Trườg hợp ki dẫ đế phươg trìh bậc hi vô ghiệ Ví dụ : Giải hệ phươg trìh : y y y 6 Nhâ các biểu thức ở vế trái ỗi phươg trìh, rồi đặt u=+y; v=y, t đư hệ đã cho về hệ su: u v uv u v 0 v u 5 uv 6 v u 5 Dùg phươg pháp thế t được v=5+u, thế vào phươg trìh trê t được u5+u =-6 u +5u +6 =0, giải được u =-; u=- Với u=- thì v=, theo địh lý Vi-et t có u;v là ghiệ củ phươg trìh t +t+ =0, suy r t=-; t=- Vậy hệ có ghiệ -;-;-;- Với u=- thì v== Theo địh lý Vi-et thì,y là ghiệ củ phươg trìh 7
t +t + =0 Phươg trìh ày vô ghiệ Vậy hệ đã cho có hi ghiệ hư ở trê Bài tập tươg tự: Giải hệ phươg trìh : c y y 5 y 5 y y 6 ; b y y y y Tì để hệ : y y y y 8 có ghiệ Giả sử ;y là ghiệ củ hệ : y y Xác địh để y hỏ hất Giải và biệ luậ hệ phươg trìh : y y y DẠNG : CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phâ tích: Địh lý Vi-et vẫ có thể sử dụg để chứg ih bất đẳg thức Tất hiê ở đây t hiểu là dùg ó để biế đổi trug gi Để có thể sử dụg địh lý Vi-et, thôg thườg các dữ kiệ củ bài toá thườg đư về được dưới dạg tổg và tích các ẩ Qú trìh chứg ih t có thể sử dụg địh lý về dấu củ t thức bậc hi, bất đẳg thức cổ điể, các phép biể đổi tươg đươg Ví dụ : Cho,y,z khác 0 và thỏ ã Chứg ih rằg: y z yz và yz 8
Từ giả thiết t có: y z yz Theo địh lý Vi-et thì y,z là ghiệ củ phươg trìh : t - t+ =0 Do tồ tại các số y,z ê phươg trìh trê phải có ghiệ Tức là: 0 0 0 Vì 0 0 ê Điều kiệ ở bất phươg trìh thứ khôg thể ảy r Vậy Ví dụ : Cho các số thực,y,z thỏ ã: +y+z=5 và y+yz+z= 8 Chứg ih rằg 7 ; y; z Từ giả thiết t e z là th số, t có hệ phươg trìh ẩ,y : y 5 z y 5 z y z y 8 y 8 z5 z Theo địh lý Vi-et thì,y là ghiệ phươg trìh: t -5-zt +8-z5-z=0 Do phươg trìh có ghiệ đối với, y ê : 5 z 8 z5 z 0 z Do vi trò bìh đẳg củ,y,z ê t có kết luậ tươg tự đối với và y 7 Ví dụ : Tì ghiệ guyê củ hệ phươg trìh: y yz z 8 y z 5 9
Đây là hệ có cấu trúc đặc biệt Do số ẩ hiều hơ số phươg trìh ê t cầ giải theo phươg pháp đặc biệt, đó là đáh giá Do vi trò bìh đẳg củ các ẩ, t có thể đáh giá ột ẩ ào đó, chẳg hạ là ẩ z T đáh giá z hư su Xe hệ đối ứg hi ẩ kiểu đối với,y và z là th số T viết lại hệ: y y z 8 y 5 z z 8 y 8 5 z z y 5 z y 5 z y 5 z Điều kiệ để hệ có ghiệ đối với, y t phải có: +y y 7 5 z z5 z z 0z 7 0 z Vì z guyê ê t được z=; z= với z= t được =y= với z= t được ;y=; hoặc ;y=; Vậy hệ có ghiệ guyê ;y;z là ;;; ;;; ;; Chú ý: Nếu các bài tập liê qu đế việc chứg ih các bất đẳg thức giữ các hệ số củ phươg trìh, t hh chóg biểu diễ các hệ số đó qu các ghiệ, rồi chứg ih bất đẳg thức giữ các ghiệ đó Ví dụ : Cho t thức bậc hi f = +b+c khác 0 có hi ghiệ ; thuộc [0;] Tì giá trị lớ hất củ biểu thức : b b A b c Theo địh lý Vi-et t có: b c ; Biế đổi biểu thức A t được: 0
b b A b c Lại có với b=-=-c thì A= Nê giá trị lớ hất củ A là Ví dụ 5: Cho phươg trìh +b+c=0 với >0 có hi ghiệ ; thuộc ; Chứg ih rằg : c + b b c Vì ; là hi ghiệ củ ê theo hệ thức Vi-et t có: b c ; Biế đổi bất đẳg thức bằg cách chi hi vế cho t được: b c b c Đặt u ; v t thu được bất đẳg thức que thuộc : u v uv có thể chứg ih bằg biế đổi tươg đươg
Từ đó t có điều phải chứg ih Ví dụ 6: Gỉ sử phươg trìh +b- +c--c=0, với 0 củ ột t giác Chứg ih rằg : b c b b 0 Dễ thấy có ghiệ =, hạ bậc t được: - +b+c=0 Gọi ; là các ghiệ củ phươg trìh : +b+c=0 Theo địh lý Vi-et t có: Biế đổi hư su b c ; c b b b 0 0 +++>+++ +-+ + +>0 Bất đẳg thức cuối đúg vì ; ; là độ dài b cạh củ t giác có ghiệ là độ dài cạh Bìh luậ: Từ các biểu thức đối ứg củ hi ghiệ, ếu uất phát từ ột số bất đẳg thức que thuộc, t có thể ság tạo r ột số bài toá ới Chẳg hạ từ bất đẳg thức : b b T có thể tạo r bài toá su:, với >0;b>0 Giả sử phươg trìh : b c 0 0 có các ghiệ dươg ;
Chứg ih rằg : b c b Hy chẳg hạ từ bất đẳg thức : b c b bc c, t có thể đư r bài toá su: Chứg ih rằg ếu phươg trìh : b c d 0 0 c Chứg ih rằg: 0 Xuất phát từ các bất đẳg thức: Cho các số thực dươg,b, t có: b có ghiệ ; ; b b b b b b Sử dụg các kết quả trê t có thể có các bài toá ới: Giả sử phươg trìh bậc hi: bc 0 rằg các hệ số củ phươg trìh thỏ ã: i b c ii bc b c với >0, có các ghiệ dươg Chứg ih Bài tập tươg tự: Biết rằg,b,c thỏ ã: 0 bc b c bc Chứg ih rằg: ; b>0; c>0; b c Biết rằg,b,c là b số thỏ ã: b c b bc c
Chứg ih rằg : ; b; c Cho b c d Chứg ih rằg: Cho b 9 6 S c bd cd, [; ] D=8 +6b Tì GTLN củ biểu thức: 5 Cho +b+c=0; +b +c = Đặt M, b, c; i, b, c Chứg ih rằg: M 6 Cho +y +z = Tì GTLN củ F=y +yz +z 7 Xét các số thực,b,c so cho phươg trìh bậc hi: +b +c=0 có hi ghiệ thực thuộc đoạ [0; ] Hãy tì GTLN, GTNN củ biểu thức: b c M b c toá học tuổi trẻ thág 9-0 DẠNG : ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Phâ tích: Đây là dạg bài tập phổ biế trog các đề thi Đại học, co đẳg hữg ă gầ đây Điều qu trọg ở trog dạg bài tập ày là học trò là so biểu diễ được tọ độ điể cực trị ột cách gọ gàg và hh chóg hất Để là được điều đó, học sih phải biết tọ độ các điể cực trị ghiệ đúg phươg trìh ào? Để tiệ trog việc giải các bài tập về cực trị, t cầ lưu ý các kiế thức liê qu su: Địh lý Phec-:
Cho hà s f ác đˢh, liê t c trê đoʭ ; b Nếu hà số y= f đạt cực trị tại 0 ; b Chứg ih: và có đạo hà tại 0 thì f 0=0 T giả sử 0 là điể cực đại Vì hà số có đạo hà tại 0 ê : f h f f ' 0 li h h 0 0 Do 0 là điể CĐ ê t có f 0 h f 0 0 f 0 h f 0 h f ' 0 0 và ' 0 0 f 0 h f 0 0 khi h>0 và 0 h f Do đó f ' 0 0 do tồ tại đạo hà tại 0 Trườg hợp 0 là điể CT được chứg ih tươg tự 0 Do đó: khi h<0 Chuyể qu giới hạ t có Bổ đề : Nếu hà số đ thức y=f có cực trị thì phươg trìh củ đườg đi qu các điể cực trị là y=r, trog đó r là đ thức dư củ phép chi f cho f Chứg ih: Thực hiệ phép chi f cho f t được thươg là h, đ thức dư là r vậy t có thể viết lại: f f ' h r Theo địh lý Phec- thì ếu 0 là điể cực trị f ' 0 0 Do đó thy vào biểu thức trê t được: f r 0 0 T có điều phải chứg ih Bổ đề : 5
Nếu hà số phâ thức u y v đʭt c c trˢ và có đʭo hà tʭi đi c c trˢ thì tˤ đ c c trˢ ghi đúg phɵɳg trìh u' y v' Chứg ih: Giả sử hà số đạt cực trị tại 0 và có đạo hà tại 0,vậy thì : u' 0 v 0 u 0 v' 0 y' 0 0 0 v 0 Hy : v u v' u =0 ' 0 0 0 0 u v 0 0 u' 0 v' 0 hy : u' 0 y v' 0 Ví dụ : Cho hà số y cách giữ chúg hỏ hơ Tì để hà số có cực đại cực tiểu và khoảg y T có ' Hà số có cực đại cực tiểu khi phươg trìh: =0 có hi ghiệ phâ biệt, t được </ Giả sử ; là hoàh độ cực trị Khi đó chúg là ghiệ củ ê theo địh lý Vi-et t có : 6
+ =; =- Theo bổ đề t có tug độ cực trị tươg ứg là : y=--; y=-- Tọ độ các điể cực trị củ đồ thị là A ; y ; B ;y Theo đề t có : AB 9 AB 9 5 5 60 0 9 0 Đối chiếu điều kiệ t được 5 0 Ví dụ : Cho hà số y Tì để hà số có cực đại, cực tiểu và chúg ằ về hi phí đối với đườg thẳg +y-=0 d y T có : ' Hà số có cực đại cực tiểu khi phươg trìh : =0 có hi ghiệ phâ biệt, t được < 7
Giả sử các điể cực trị là A;y; B;y Khi đó ; là ghiệ củ ê theo địh lý Vi-et t có +=-; =- Theo bổ đề t có: y=+; y=+ Để A, B ằ về khác phí đối với d thì : +y- +y-<0 Tíh toá t được thỏ ã Ví dụ : Chứg ih rằg hà số y = -6 ++6 có điể cực trị tạo thàh t giác có trọg tâ là gốc tọ độ T có: y = -+ T sẽ chứg ih phươg trìh: -+=0 có ghiệ phâ biệt Đặt f= -+ T có f-=-; f-=; f=-; f= Theo tíh chất củ hà số liê tục thì f cắt trục hoàh tại ít hất điể Mặt khác vì f là hà số bậc b ê có tối đ ghiệ Vậy y =0 có ghiệ phâ biệt Do đó hà số đã cho có điể cực trị T gọi điể đó là: A; -6 ++6; B; -6 ++6; C; -6 ++6 8
Theo địh lý Vi-et vì ;; là ghiệ củ ê t có: ++=0 Tươg ứg t có: y+y+y = -6 ++6 + -6 ++6+ -6 ++6 = + + -6 + + + +++8 Cũg vì ;; là các ghiệ củ ê t có -+=0 Suy r - + =0 Tươg tự đối với ; Vậy ê: Theo hệ thức Lại theo địh lý Vi-et t có: + + = + + ++ + + = ++ ++ ++ =0; ++=- Thy vào t tíh được y+y+y=0 Vậy gốc tọ độ là trọg tâ củ t giác ABC Ví dụ : Cho hà số : y Tì để hà số có cực trị và y T có : ' y yi Hà số có cực trị khi phươg trìh : =0 9
có hi ghiệ phâ biệt khác - Tì được >- * Gọi ; là các ghiệ củ, cũg là các hoàh độ cực trị Theo địh lý Vi-et t có: Khi đó tọ độ cực trị là Theo giả thiết t có : + = -; = - A ; ++ ; B ; ++ y y i ++ +++ > Thy vào t được : 8 8 8[6 ] 7 0 7 do điều kiệ * Ví dụ 5: Cho hà số y Tì để hà số có cực đại cực tiểu và khoảg cách giữ chúg tới đườg thẳg +y+=0 là bằg hu y T có ' 0
Để hà số có CĐ, CT thì phươg trìh =0 phải có hi ghiệ phâ biệt khác - 0 0 Tươg tự bài t có tọ độ các điể cực trị là A; +; A; + Theo đề r t có: da;d = db;d * Bìh phươg vế rồi chuyể vế, đặt hâ tử chug t có: 0 =0 Theo địh lý Vi-et thì + = - Thy vào biểu thức cuối t được Ví dụ 6: Cho hà số y Tì để hà số có CĐ, CT và y T có : ' y CĐ 8 y CT Để hà số có CĐ, CT thì phươg trìh : 8 =0 có hi ghiệ phâ biệt khác 0 0 Gọi ; là các hoàh độ cực trị, thì ; cũg là ghiệ củ ê + =8; =+ Theo đề y CĐ CT y
Thy hệ thức Vi-et vào t có = thỏ ã Vậy = Bài tập tươg tự: Cho hà số thỏ ã y Tì để hà số có CĐ, CT tại ; Tì để hà số y Đề 75 có CĐ, CT thỏ ã y y 8 i Tì để đồ thị hà số y có điể CĐ, CT ằ về hi phí đối với trục O 5 DẠNG 5 : ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Phâ tích: Bài tập về tiếp tuyế thườg liê qu tới các điều kiệ tiếp úc củ đườg cog và đườg thẳg Cầ là cho học sih thấy rõ tọ độ điể tiếp úc thườg là ghiệ củ ột phươg trìh ào đó à t có thể đư về bậc hi để sử dụg địh lý Vi-et Các kỹ thuật về hẩ ghiệ cầ được sử dụg tốt ở dạg bài tập ày Ví dụ : Cho hà số y C Chứg ih rằg với ọi đườg thẳg y= + luô cắt đồ thị C tại hi điể phâ biệt A, B Gọi k, k lầ lượt là hệ số góc củ tiếp tuyế tại A, B
Tì để tổg k+k lớ hất Đề thi đại học khối A ă 0 Phươg trìh hoàh độ gio điể củ d và C là : do = khôg là ghiệ 0 T có : 0, Nê d luô cắt C tại hi điể phâ biệt A và B T gọi, lầ lượt là hoàh độ củ A,B Khi đó, là ghiệ củ ê theo địh lý Vi-et t có: Tổg k+k= +=- và = 8 8 6 Suy r k+k lớ hất bằg - khi = - Bìh luậ: Nếu khôg sử dụg địh lý Vi-et, t có thể dùg bất đẳg thức Cô-si để đáh giá biểu thức
Dấu đẳg thức ảy r khi Thy vào phươg trìh t tì được =- Ví dụ : Cho hà số y= - + C Tì trê đườg thảg y=- các điể à từ đó có thể kẻ được hi tiếp tuyê vuôg góc đế C T gọi M;- là điể thuộc đườg thẳg y=- Đườg thẳg qu M với hệ số góc k có phươg trìh: y=k-- d Điều kiệ để d tiếp úc với C là t có hệ: - k 6 k - Thế k từ lê t được : - - 6-0 0 Với =, t suy r k=0 đườg thẳg vuôg góc với d có dạg = Dễ thấy đườg = khôg thể là tiếp tuyế củ C
Nê khôg có tiếp tuyế ào củ C vuôg góc với tiếp tuyế trê Do dó đễ có cặp tuyế tuyế vuôg góc thì các ghiệ phải là ghiệ củ Trước hết phải có ghiệ phâ biết khác 8 0 và Khi đó gọi ; là hi ghiệ củ thì theo địh lý Vi-et t có: Gọi k; k vuôg góc ê: += ; là hệ số góc củ các tiếp tuyế T có k=f ; k=f Vì hi tiếp tuyế kk=- 6 6 55 Thy số vào t được = Thử lại t thấy giá trị ày thỏ ã 7 55 Vậy điể cầ tì là M ;- 7 Ví dụ 8 Cho hà số y C Tì để C cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt A và B so cho tiếp tuyế tươg ứg tại A và B vuôg góc Giải : Để C cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt thì phươg trìh : f= +-8 =0 có hi ghiệ phâ biệt T có : f khác 0 với ọi 0 R 5
6 Như vậy với ọi, đồ thị hà số luô cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt Gọi ; là hi ghiệ củ, thì ; cũg là hoàh độ củ A và B 8 8 ' y Tiếp tuyế tại A ; B lầ lượt có hệ số góc là k= 8 ; k= 8 Để hi tiếp tuyế vuôg góc thì kk =- 8 8 8 8 Theo địh lý Vi-et t có : +=- ; =-8 Từ đó + = + -= +6 Và --=-++ =-8+ Thy vào kk =- t được 0 Ví dụ : Cho hà số y C Chứg ih rằg qu A ;- luô vẽ được hi tiếp tuyế đế đồ thị và hi tiếp tuyế đó vuôg góc Giải : Gọi k là hệ số góc củ đườg thẳg d đi qu A Khi đó d có phươg trìh : k y d
Vì d tiếp úc với C ê t có hệ phươg trìh su có ghiệ : k k k Thế k từ lê và biế đổi, thu gọ, cuối cùg t được : 0 * Vì * có hi ghiệ phâ biệt ê từ A t luô kẻ được hi tiếp tuyế đế C Gọi ; là các ghiệ củ * Theo địh lý Vi-et t có : + =- ; = Gọi k ; k là hệ số góc củ các tiếp tuyế tươg ứg với hoàh độ tiếp điể ; T có : k k [ ] 6 = [ ] Vậy hi tiếp tuyế vuôg góc Bài tập tươg tự : Tì quỹ tích tất cả các điể từ đó kẻ được hi tiếp tuyế vuôg góc đế đồ thị hà số y Tì để đồ thị hà số y cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt và các tiếp tuyế tại đó vuôg góc Tì các điể trê trục tug à từ đó kẻ được hi tiếp tuyế vuôg góc đế đồ thị hà số y 7 6 ĐHTH Hà Nội 89 7
Tì trê đươgg thẳg y đồ thị hà số y các điể à từ đó kẻ được hi tiếp tuyế vuôg góc đế 6DẠNG 6: TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ TẬP HỢP ĐIỂM Phâ tích: Đây cũg là dạg bài tập hy gặp trog các kỳ thi tuyể sih Côg việc đầu tiê học sih cầ là là viết phươg trìh hoàh độ gio điể Từ phươg trìh đó, sử dụg địh lý Viet để biểu diễ các biểu thức đề bài yêu cầu qu hệ số củ phươg trìh Cuối cùg là đáh giá biểu thức đó thôg qu các hệ số vừ thy vào Ví dụ : Cho hà số y Tì để đồ thị hà số cắt đườg thẳg d: y= tại hi điể phâ biệt A,B so cho AB= Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị hà số là: f 0 0 T gọi ; là các ghiệ củ Theo địh lý Vi-et t có: +=-; =- Tọ độ các gio điể A;; B; Theo đề r t có AB = - = + -= Thy vào t có: - 5 5 --= Giải được = 0 8 0 7 8
Ví dụ : Cho hà số y Chứg ih rằg với ọi thì đườg thẳg y= luô cắt đồ thị trê tại hi điể phâ biệt A;B Tì để AB gắ hất Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị hà số là Đặt f= 0 T có f=- 0 Lại có 5 0, 0 Nê d luô cắt C tại hi điể phâ biệt Gọi ; là các ghiệ củ Tọ độ các gio điể A; B là A;; B; Do đó : AB =- = + = - ++ = ++5=+ + Vậy AB gắ hất bằg khi =- Ví dụ : Cho hà số y= - +- + Tì để đồ thị hà số cắt trục hoàh tại điể phâ biệt ; ; + + < Phươg trìh hoàh độ gio điể củ đồ thị hà số và trục O là: 0 0 so cho 0 g 0 Gọi là ghiệ pt và, là ghiệ pt áp dụg địh lý Vi-et t có += ; =- 9
Yêu cầu bài toá : 0 0 g 0 0 Bìh luậ : 0 0 0 Ở đây phươg trìh hoàh độ gio điể là bậc b, hưg do t hẩ được ghiệ ê đư về phươg trìh bậc hi Từ đó t chuyể về áp dụg địh lý Vi-et trog phươg trìh bậc hi Do phạ vi chươg trìh phổ thôg, ê trog các đề thi tuyể sih thườg chỉ áp dụg địh lý Vi-et đối với phươg trìh bậc hi Vì thế khi là bài, học sih cầ ghĩ tới việc hẩ ghiệ để hạ bậc Tiêu chí đầu tiê củ ghiệ là khi thy vào phải triệt tiêu th số Điều đó giúp t hì r ghiệ hh chóg Ví dụ : Chứg ih rằg đườg cog phâ biệt đối ứg hu qu đườg thẳg y= y và đườg thẳg y cắt hu tại hi điể Giải : Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị : ; 6 0 Phươg trìh luô có hi ghiệ phâ biệt vì ' 0 Gọi M ; - - ; M ; - - là hi gio điể củ d và C Rõ ràg MM vuôg góc với đườg thẳg y= Gọi I0 ;y0 là trug điể củ MM T có 0
y 0 0 y y - - - - Vậy M0 thuộc đườg thẳg y= Ví dụ 5: Cho hà số y so cho OA vuôg góc với OB, với O là gốc tọ độ Đề số 8, bộ đề 95 Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị là: Tì để đồ thị hà số cắt đườg thẳg y= tại hi điể A, B 0 Đặt f= +- Để phươg trìh có hi ghiệ phâ biệt thì phải có: f 0 0 0 Gọi ; là các ghiệ củ Khi đó tọ độ gio điể là A;;B; * Theo đề r OA vuôg góc với OB ê OB 0 0 Theo địh lý Vi-et thì =- Do đó t có phươg trìh: OA +-=0 5 thỏ ã điều kiệ * Ví dụ 6:
Cho hà số C y và đườg thẳg d: y=- Tì để d cắt C tại hi điể phâ biệt A;B thuộc hi háh củ ó Tì tập hợp trug điể I củ đoạ AB khi biế thiê Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị là : 0 Để d cắt C tại hi điể thuộc hi háh củ đồ thị thì phải có hi ghiệ thỏ ã <-< T đư về so sáh ghiệ với số 0 hư su: Đặt t=-, t được phươg trìh là: -t --t-=0 Phươg trìh phải có hi ghiệ trái dấu Tì được > * Gọi ; là các ghiệ củ Tọ độ các gio điể là A; -; B;- Tọ độ trug điể I là: y y y I I y I I Từ phươg trìh trê rút r được I I >, suy r I >-/, thế vào phươg trìh dưới t được y I = I I I Vậy tập hợp các điể M là đồ thị hà số: y= với >-/ Ví dụ 7:
Cho hà số y với là th số Tì để đườg thẳg y tại b điể phâ biệt A,B,C so cho AB=BC Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị : 0 Gọi ; ; lầ lượt là hoàh độ gio điể củ A;B;C cắt đồ thị Từ giả thiết AB=BC t suy r : + = Mặt khác áp dụg địh lý Vi-et t được : Giải hệ gồ các điều kiệ trê t được 0; Ví dụ 8: Cho hà số y Tì để đồ thị hà số cắt trục hoàh tại hi điể phâ biệt A, B b Gọi C là gio điể củ đồ thị với trục tug Tì quỹ tích trọg tâ t giác ABC khi thy đổi Phươg trìh hoàh độ gio điể củ đồ thị với trục hoàh là: 0 Để đồ thị cắt trục hoàh tại điể phâ biệt A,B thì phải có hi ghiệ phâ biệt ' 0 b Gọi ; là các ghiệ củ T có ;0 A ; B ;0
T cũg tì được 0; C Tọ độ trọg tâ G củ t giác ABC là y G G Khử từ hệ cuối cùg t được y G G Từ đó suy r tọ độ điể G thỏ ã phươg trìh : Giới hạ quỹ tích: Vì G G y G 0 Vậy tập hợp các điể G là đườg thẳg, bỏ đi điể ; Ví dụ 9: Cho hà số y C Chứg ih rằg với ọi, đườg thẳg y d luô cắt đồ thị tại ột điể I cố địh Xác địh để đườg thẳg đó cắt đồ thị hà số tại điể phâ biệt I,M,N Trog trườg hợp đó tì quỹ tích trug điể củ đoạ thẳg MN Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị là: 0 Phươg trìh luô có ghiệ = Vậy d luô cắt C tại điể I; cố địh với ọi Đặt f Để d cắt C tại điể phâ biệt thì f phải có hi ghiệ phâ biệt khác Tì được >
Khi đó gọi ; là các ghiệ củ f T có ; cũg là hoàh độ các gio điể M, N T để ý rằg tug độ các điể M, N thỏ ã phươg trìh củ d Gọi A là trug điể củ M, N T có: y A A T có điể A; Vậy tập hợp các trug điể A củ đoạ thẳg MN chíh là điể cố địh I; tì được ở trê Bài tập tươg tự: Tì quỹ tích các điể cực đại và cực tiểu củ đồ thị hà số : y b y 6 Gọi P là Prbol có phươg trìh y b c luô tiếp úc với đườg thẳg y tại điể A; Cho đồ thị hà số y C và đườg thẳg d có hệ số góc k và d luô cắt C tại điể phâ biệt A,M,N Tì quỹ tích trug điể I củ MN Cho đồ thị hà số y Chứg ih rằg đườg thẳg d cùg phươg với đườg thẳg y=- luô cắt đồ thị hà số tại hi điể phâ biệt M, N Tì quỹ tích trug điể I củ MN Xác đih vị trí củ I để MN gắ hất 5 Tì quỹ tích các điể M;b so cho phươg trìh b 0 có hi ghiệ phâ biệt thỏ ã 0 6 Chứg ih rằg tiệ cậ iê củ đồ thị hà số 5
cos y si cos si cos luô tiếp úc với Prbol cố địh Tì quỹ tích tiếp điể 5 Cho hà số 8 y Chứg ih rằg với ọi k, Prbol y k 8 luô cắt đồ thị hà số tại điể phâ biệt, trog đó có ột điể ằ trê trục tug Gọi các gio điể cò lại là B, C Tì quỹ tích trug điể củ BC khi k thy đổi 7 DẠNG 7 : ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ THỨC TRUY HỒI Phâ tích : Xét phươg trìh bậc hi : b c 0, 0 Giả sử ; là các ghiệ củ ó Đặt S, N Lúc đó t có hệ thức truy hồi tuyế tíh su : S+ +bs+ +cs =0 Chứg ih : t có : S+= + + + = + + + +- + b = S+ - c S S+ +bs+ +cs = 0 đpc Việc ứg dụg hệ thức truy hồi trê giúp t giải quyết được hiều dạg bài tập thú vị T hãy theo dõi qu các ví dụ su Ví dụ : Cho ; là các ghiệ củ phươg trìh : --=0 Tíh 7 + 7 Giải : T cầ tíh S7 T có S0 =, S = Từ hệ thức truy hồi trê t lầ lượt tíh được : S = 8 ; S = 0, S = 56, S5 =5, S6 = 6, S7 = 6 6
Ví dụ : Tíh giá trị củ biểu thức : A= 6 6 T đặt = ; = thì ; là hi ghiệ củ phươg trìh - - =0 Theo đề r t cầ tíh S 6 T có hệ thức truy hồi : T có : S+ -S+ -S =0 N S0 = ; S = ; S =, S =,S = 5, S5 =9, S6 = 59 Ví dụ : Cho dãy số u được ác địh hư su : u0= ; u=6 ;u+=6 u+ u- Tì số hạg tổg quát củ dãy số u b Chứg ih rằg với ọi k N thì uk chi hết cho k+ c Chứg ih rằg với ọi k thì uk- chi hết cho k và khôg chi hết cho k+ Giải : T ét phươg trìh đặc trưg củ dãy số đó : -6-=0 Phươg trìh có hi ghiệ là : =- ; =+ Sử dụg hệ thức truy hồi t có S+ = 6S+S- T có S0= ; S=6 Từ đó vì S Mà dãy S và dãy u về bả chất là ột ê từ đó t có số hạg tổg quát là u b T có : k k 0 6 0 6 k k u k k k k = 0 0 ê uk chi hết cho k Bây giờ t cầ chứg ih : k k Pk= 0 0 là ột số chẵ Vì 0 và 0 là hi ghiệ củ phươg trìh : 7
-0+=0 ê t có côg thức P+ = 0P+-S- Tíh được P0= ; P=0 ê từ côg thúc truy hồi t suy r P k luô là ột số chẵ c T chứg ih bằg quy ạp : Với k= t thấy kết luậ đúg Giả sử khẳg địh đúg khi k=, ghĩ là u-= b với b là ột số lẻ Khi đó t phải chứg ih khẳg địh đúg khi k=+ Thật vậy : u+=6 u+ u- Mà theo chứg ih trê t có u= + Do đó u+= + 6+b Mà 6+b là số lẻ u+ chi hết cho + và khôg chi hết cho + Vậy khẳg địh được chứg ih Ví dụ : Tì số guyê lớ hất khôg vượt quá 7 5 T đặt: = 5 ; = 5 Khi đó ; là ghiệ củ phươg trìh: -8+=0 Đặt S T tíh được :, t có hệ thức : S+ -8S++S =0 S=8 ; S=6 : S=88 ; S=8 ; S5=08 ; S6=8 ; S7=87888 Như vậy : 7 = 87888-7 Mà 0< 7 < ê 87887 < 7 <87888 7 Vậy số guyê lớ hất khôg vượt quá 5 là 87887 Ví dụ 5: 8
Giả sử ; là hi ghiệ củ phươg trìh : -6+=0 Chứg ih rằg S= + số guyê khôg chi hết cho 5 với ọi là Chứg ih S luô là số guyê Với =0 t có S0 = là số guyê ; = t có S = 6 là số guyê Giả sử Sk ;Sk+ guyê, vì Sk+ = 6Sk+ Sk ê Sk+ cũg guyê chứg ih S k khôg chi hết cho 5:từ hệ thức truy hồi t có: Sk+ = 6Sk+ Sk =66Sk-S-- Sk = 5Sk 5Sk- Sk- Từ đó t suy r Sk+ và Sk- có cùg số dư khi chi cho 5 Nhưg vì S0=; S=6; S= đều khôg chi hết cho 5 ê S khôg chi hết cho 5 với ọi Ví dụ 6: 5 Tì đ thức bậc 5 có hệ số guyê hậ số thực 5 5 5 là ghiệ T đặt 5 Vậy thì : 5 ; 5 5 5 5 5 5 ; Nê theo địh lý Vi-et t có ; 0 Theo hệ thức truy hồi t có: Với S 0 ; S Từ đó t tíh được : S là ghiệ củ phươg trìh: S S * S ; S ; 5 S ; S 5 5 Nhưg ặt khác t lại có: 5 9 S 5 5 0 5 9
Từ đó t có được : 9 5 5 5 5 0 50 50 9 0 0 Điều đó chứg tỏ là ghiệ phươg trìh: 0 5-50 +50-9 =0 Đây chíh là phươg trìh cầ tì Bìh luậ: Với cách giải quyết tươg tự, t có thể tạo r hiều bài toá khác hu ug quh hệ thức truy hồi cho trước Chẳg hạ: 56 Tì đ thức bậc 6 có hệ số guyê hậ số 6 6 là ghiệ Tì đ thức bậc tối thiểu có hệ số guyê hậ là ghiệ Ví dụ 7: 0 Tì chữ số tậ cùg củ phầ guyê củ số 5 T đặt 5 ; 5 Khi đó ; là ghiệ củ phươg trìh: Đặt S -0 - = 0 Theo hệ thức truy hồi t có: S 0S S T có S =0 ê từ hệ thức trê t suy r S luô chi hết cho 0 khi là số lẻ Để ý rằg -< <0, ê suy r S S Vậy ê S S Vì 0 là số lẻ ê S0 chi hết cho 0 0 Vậy chữ số tậ cùg củ phầ guyê củ số 5 là số 0 Bìh luậ: 50
Từ lập luậ trê, t thấy rằg chỉ cầ thy đổi bộ số ; t có thể tạo r hiều bài toá khác hu 0 Ví dụ:tì phầ guyê củ các số: 5 999 ; 5 999 Ví dụ 8: Chứg ih rằg trog biểu diễ thập phâ củ số gy su dấu phẩy Đặt 7 ; 7 7 có ít hất chữ số 9 đứg Theo địh lý Vi-et t có ; là ghiệ củ phươg trìh : Đặt S -+ =0 T có hệ thức truy hồi : S S S Vì S0 =; S= ê t suy r S là số tự hiê với ọi T để ý 0 7 7 0 0 Nê 7 Cho ê S 7 S 7 S 0 Vì 0,000 00 0 có - chữ số 0 Từ đó suy r khi biểu diễ thập phâ thì số Bài tập tươg tự: Chứg ih rằg phầ thập phâ củ số 5 6 giốg hu 7 có ít hất số 9 gy su dấu phẩy, N * bắt đầu bằg chữ số 9 8 Tì chữ số đơ vị trog biểu diễ thập phâ củ số 5 0 5 0 5
8 DẠNG 8: TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI CẤP HAI TUYẾN TÍNH A- Cơ sở lý thuyết củ phươg pháp Địh ghĩ: Dãy số u được gọi là dãy truy hồi cấp hi tuyế tíh ếu được cho hư su : u =; u =b; u =Au- +Bu- Trog đó A, B khôg đồg thời bằg 0 b Với dãy truy hồi hư trê thì phươg trìh A-B=0 được gọi là phươg trìh đặc trưg củ dãy Do phạ vi ứg dụg củ địh lý Vi-et ê t chỉ ét các dạg dãy số có phươg trìh đặc trưg có ghiệ Địh lý: -Nếu phươg trìh đặc trưg có ghiệ phâ biệt ; thì dãy số có số hạg tổg quát là u = p - +q -, trog đó p; q là các ghiệ củ hệ khi t thy giá trị u;u -Nếu phươg trìh đặc trưg có ghiệ kép 0 thì dãy số có số hạg tổg quát là u=0 - p+-p, trog đó số p được tì bằg cách thy u vào côg thức ác địh ó Chứg ih địh lý: Đặt v = u+, dãy u trở thàh v0=;v=b; v+ =Av+ +Bv Trườg hợp 0 5
T gọi ; > là hi ghiệ củ Theo địh lý Vi-et t có Vậy thì : +=A; = -B Av+ +Bv = +p + +q + -p +q = p + +q + = v+ Lại có : Từ đó t tì được : Như vậy dãy số v tổg quát củ dãy u Xét trườg hợp 0 Đặt : v0 = =p+q; v =p+q =b b p= b ; q= có số hạg tổg quát hư trê thỏ ã đề bài Từ đó suy r số hạg là: u = v- = p - +q - v =u+ =0 p+ Dãy u trở thàh dãy v với : v0 =; v =b; v+ =Av+ +Bv T cầ kiể tr số hạg tổg quát tì được ở trê thỏ ã dãy ày Thật vậy: Theo địh lý Vi-et về ghiệ kép củ phươg trìh t có 0= A ; suy r A=0; B=-0 Av+ +Bv = 0 0 + p+p++-0 0 p+ =0 + [ p++] = v+ Bằg quy ạp t dễ dàg chứg ih được: v =u+ =0 p+, với ọi T cũg có : v0 =; v = 0p+=b Do đó: 5
Từ đó tì được là : p b 0 Từ đó t có côg thức tì số hạg tổg quát củ dãy u 0 u =v- = 0 - p+-p Như vậy bằg việc sử dụg địh lý Vi-et t đã ây dựg được côg thức tì số hạg tổg quát đối với dãy truy hồi cấp hi tuyế tíh trog trườg hợp phươg trìh đặc trưg có ghiệ Trườg hợp vô ghiệ t sẽ ét ở chủ đề khác LƯU Ý: i Dãy cấp số hâ và dãy Fi-bo--ci là hữg trườg hợp đặc biệt củ dãy truy hồi cấp hi tuyế tíh B- Các ví dụ ih họ Ví dụ : Cho dãy số u thỏ ã : 0 Hãy ác địh u u ; u 7 ; u u u 0 Thi HSG lớp TPHCM 00 Phươg trìh đặc trưg củ dãy là: 7 0 Phươg trìh có hi ghiệ là =; = 7 Từ đó suy r số hạg tổg quát củ dãy là u = +, với là số guyê dươg Bìh luậ: Nếu dãy cho hệ thức truy hồi dạg : u bu cu d 0 0 Khi đó t sẽ ét dãy v bằg cách đặt: v =u +t Thế vào t thu được : v t b v t c v t d 0 d 5
v bv cv d b c t 0 T chỉ việc chọ t thích hợp để lượg d b c t 0 tíh cấp hi ở trê T theo dõi qu ví dụ su: từ đó đư về ét dãy truy hồi tuyế Ví dụ : Tì số hạg tổg quát củ dãy: Đặt u v t u ; 0 u ; u u u ; Thế vào * trở thàh: v t v t v t v v v t * Chọ t=- t thu được dãy v là truy hồi cấp hi tuyế tíh hư su: v ; 0 v ; v v v 0 Dãy v có phươg trìh đặc trưg là: 0 Phươg trìh có hi ghiệ là ; Từ đó suy r số hạg tổg quát củ dãy v là v Cho 0 v ; v Từ đó suy r : Do đó số hạg tổg quát củ dãy v là : Vì u v ê suy r : v u Ví dụ : 55
Cho dãy u được ác địh bởi u0=; u=7; u = 6u-- u-; =; Chứg ih rằg u - chi hết cho và thươg luô là ột số chíh phươg với ọi =0;; Xét phươg trìh đặc trưg củ dãy: -6+=0 Phươg trìh có hi ghiệ là =+ 8 ; =- 8 Vì thế số hạg tổg quát củ dãy là: u=p+ 8 +q- 8 Với cách cho =0 và = t có hệ : p q p 8 q 8 7, 8 tì được p= 8 ; q= Do vậy t có số hạg tổg quát là: 8 u= + 8 8 + Sử dụg hằg đẳg thức +y =-y +y t có: [ Nê: u 8 8 ] [ 8 8 ] 8 8 [ ] - 8 = [ 8 8 ] = [ 8 Áp dụg khi triể hị thức Niu-to t chứg ih được 8 có dạg M N, với 8 ] u M,N guyê dươg ê t suy r N là ột số chíh phươg Ví dụ : thi Olypic 0- Cho dãy ác địh hư su: 56
0=; =; + =+, với là số tự hiê Tì tất cả các giá trị củ để - là số chíh phươg Xét phươg trìh đặc trưg : +=0 Phươg trìh có hi ghiệ là = ; =- Số hạg tổg quát có dạg: =p +q, với p, q là ghiệ củ hệ phươg trìh p q p q p q, giải được p=q= Số hạg tổg quát là = Để ý rằg Nê t suy r: - = [ ] = [ ] = [ ] = [ ] Để - là số chíh phươg thì M = phải là số guyê i Nếu =0 thì M=0, thỏ ã - Nếu = thì M=, cũg thỏ ã - Nếu =k kn T ét dãy bk = k k k = k k Tại vì là ghiệ củ phươg trìh đặc trưg ê các số b k thỏ ã hệ thức: 57
bk+ = bk+ bk Do b0 =0; b = 6 ê bk khôg guyê với ọi k ii Nếu =k+ thì t có: k M= k k k k = [ ] = k k = [ k k Tiếp theo t lại đặt ck = [, thì dãy ckk thỏ ã hệ thức ck+=ck+ ck Có c0=0; c=5, ê ck luô là số guyê với ọi kn Tó lại để - là số chíh phươg thì =0; =; là số guyê dươg lẻ Ví dụ 5: Tíh chất củ dãy Fi-bo--ci Cho dãy Fi-bo--ci được ác địh hư su: F=F=; F=F-+F- rằg : Chứg ih 5 5 Số hạg tổg quát F = [ ] 5 côg thức Biet b F k F k c F k F k d F k F k e F+ =FF- +F- f F+F- F =- ; g F+ = FF-+F+F; ; h Chứg ih rằg ếu chi hết cho thì F chi hết cho F i F + F - = F- j F + -F - = F k F + + F F -= F 58
F l k k F F k F k Fk F F F F k k k o Chứg ih rằg hi số hạg liê tiếp củ dãy Fi-bo--ci khôg có ước chug d> p Với t có F+F--F+F = - - q F-FF+F+ +9 là ột số chíh phươg r Fk+ + chi hết cho Fk- và Fk- + chi hết cho Fk+ Trê đây là ột số các tíh chất cơ bả củ dãy Fi-bo--ci Cò hiều tíh chất khác à t có thể bắt gặp ở trog các đề thi Olypic hoặc thi học sih giỏi T sẽ chứg ih ột số tíh chất, cò ột số tíh chất t e hư là bài tập T ét phươg trìh đặc trưg củ dãy là: --=0 Phươg trìh ày có hi ghiệ là = 5 dạg F 5 ; = Theo lý thuyết tổg quát đã chứg ih trê, số hạg tổg quát có = p +q T thy =; = vào t có p; q thỏ ã hệ phươg trìh 5 5 p q 5 5 p q p p q 5 p q 5 p q 5 p q 5 q 5 5 Vậy số hạg tổg quát là F = [ ] 5 b T chứg ih bằg quy ạp Đặt P là ệh đề chứ biế ở trê 59
Với = thì đẳg thức đúg Giả sử P là ệh đề đúg,, t cầ chứg ih P+ đúg Thật vậy F F F F F k k F k Vậy P đúg với ọi k Tươg tự t chứg ih được c và d Bây giờ t chứg ih g g T cố địh ột biế, chẳg hạ là, chứg ih quy ạp theo Ký hiệu ệh đề cầ chứg ih là P với =, t có P đúg vì F =F = Gỉ sử P đúg, t cầ chứg tỏ P+ đúg Thật vậy F++ = F++F+- Theo giả thiết quy ạp t có: Vậy ê F+ = FF-+F+F và F+- = FF- +F+F- lưu ý rằg t đã cố địh biế F++ = FF-+F+F + FF- +F+F- =FF- + F-+ F+F+ F- =FF +F+F+ Vậy P+ đúg Khẳg địh được chứg ih h * * Giả sử =k, với k N, t phải chứg ih: với k; N địh và chứg ih quy ạp theo k Ký hiệu êh đề trê là Pk Với k= thì P đúg Giả sử Pk đúg, t cầ chứg tỏ Pk+ cũg đúg Thật vậy, theo g t có: thì Fk chi hết cho F T cố 60
Fk+ = F+k = FFk-+F+Fk Vì Fk chi hết cho F ê từ đó t có F k+ cũg chi hết cho F Bài tập tươg tự: Xét dãy số với các dãy số guyê dươg ; ; 6 ; ; 7 y so cho, y y Chứg ih rằg tồ tại Cho phươg trìh log 0 Gọi, với < là hi ghiệ củ phươg trìh 00 ày Coi dãy số Fiboci F với F F và F F F N ; * Chứg ih rằg F 5 Xét dãy số với 5 hết cho ; ; ; Chứg ih rằg 007 u chi Cho dãy số u ; u và u u u, Tì li 9 DẠNG 9: SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI MỘT SỐ Phâ tích: Từ ă học 006-007 trở đi, bài toá địh lý đảo về dấu củ t thức bậc hi và bài toá so sáh ghiệ củ t thức bậc hi với ột số thực bất kỳ khôg cò được trìh bày trog chươg trìh chíh khó Đây là ý tưởg giả tải củ Bộ giáo dục và đạo tạo Tuy hiê qu quá trìh giảg dạy và cho học sih là bài tập, tôi thấy hiều bài toá ếu biết sử dụg địh lý đảo và bài toá so sáh ghiệ thì lời giải sẽ gắ gọ hơ hiều Vì thế trog chuyê ục ày, tôi đư r ột vài hướg giải quyết có thể sử dụg bài toá so sáh ghiệ để là bài tập u Trước hết tôi i đư r ột ví dụ dẫ đế bài toá so sáh ghiệ: Ví dụ: Tì để hà số y 5 có cực trị Gọi ; là hoàh độ củ cực trị Tì để <-<< u 6
Đây là ột ví dụ thôg thườg trog bài toá hà số Tuy hiê để giải được, t cầ so sáh ghiệ củ y đối với các số - và Nếu khôg dùg phươg pháp so sáh ghiệ thì lời giải cồg kềh và rắc rối hơ Địh lý đảo về dấu được phát biểu hư su: Địh lý: Cho t thức bậc hi: b c 0 f 0 Nếu có số thực so cho f 0 thì t thức bậc hi có hi ghiệ ; và Chứg ih: Từ địh lý thuậ về dấu củ t thức bậc hi, t thấy chỉ có duy hất ột trườg hợp f trái dấu với đó là trườg hợp 0 Trog trườg hợp ày t thức có hi ghiệ ; và T thấy giả thiết củ địh lý đảo rơi vào trườg hợp ày Do đó t thức có hi ghiệ ; < và Từ địh lý đảo, t rút r các hệ quả su: Hệ quả : Điều kiệ cầ và đủ để t thức: b c 0 f 0 có hi ghiệ ; < là có số thực so cho 0 Hệ quả : f Cho t thức bậc hi : b c 0 f 0 và hi số thực, so cho < Điều kiệ cầ và đủ để f có hi ghiệ, trog đó có ột ghiệ thuộc khoảg ; và ột ghiệ ằ goài đoạ [ ; ] là f 0 f Chứg ih : Hệ quả : Được suy r từ địh lý thuậ và địh lý đảo 6
Hệ quả : Giả sử t có f 0 Suy r + Nếu + Nếu f f f 0 f <0 hoặc f <0 f <0 thì f <0 thì f f >0 *, suy r phươg trìh có hi ghiệ < < < >0 **, suy r phươg trìh có hi ghiệ << < Ngược lại ếu ảy r ột trog hi khả ăg * hoặc ** thì t có f 0 Hệ quả được chứg ih f Su đây là ột vài hướg đề uất khi cho học sih sử dụg kiế thức về so sáh ghiệ vào giải bài tập HƯỚNG ĐỀ XUẤT : ĐEM VỀ SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 Phâ tích: Ở lớp 9, học sih đã biết so sáh ghiệ củ phươg trìh bậc hi với số 0 bằg cách ét dấu tổg và tích củ hi ghiệ Bây giờ t sẽ tì cách đư về so sáh ghiệ với số 0 T thốg hất các đi lượg ; S; P là củ gt i T thức b c 0 Đặt f 0 t, dẫ đế t f t có hi ghiệ 0 g có hi ghiệ t 0 t ii T thức b c 0 Bằg phép đặt f 0 t, dẫ đế t f t có hi ghiệ g có hi ghiệ t t 0 iii Tươg tự cách ử lý đối với trườg hợp b c 0 thỏ ã 0 Su đây t ét ột số ví dụ ih họ f 0 0 S 0 P 0 có hi ghiệ 6
Ví dụ : Cho hà số y C Tì các giá trị củ để đườg thẳg d: y=- cắt đồ thị tại hi điể thuộc về hi háh củ đồ thị C Phươg trìh hoàh độ gio điể củ hi đồ thị d và C là: 0 Để d cắt C tại hi điể thuộc hi háh khi và chỉ khi có hi ghiệ ; thỏ ã : <-< Đặt t=+ t đư về phươg trìh ẩ t: t t 0 Phươg trìh phải có hi ghiệ trái dấu Tì được > Ví dụ : Tì để hà số y đồg biế trê khoảg ; y T có ' Đặt f Để hà số đồg biế trê ; thì phải ảy r ột trog hi khả ăg: KN: f có <0 0 KN: f có hi ghiệ ; thỏ ã Đặt t=- t đư về ét điều kiệ gt= t có hi ghiệ t 0 t 6
Điều đó tươg đươg: 0 S 0 0 P 0 Kết hợp khả ăg được 0 0 Ví dụ : Tì để hà số : y 6 ghịch biế trê khoảg -;0 T có y' f 6 T cầ có : ' 0 TH: Với = thì y, ;0 y ' 0 TH: Với, khi đó - > 0 Để y ' 0, ;0, thỏ ã thì f phải có hi ghiệ ; thỏ ã 0 * T tách yêu cầu * r là hi trườg hợp đồg thời ảy r: 0 b Dùg kỹ thuật ử lý ở trê đối với t được 5 Đối với b t được Kết hợp tất cả các trườg hợp t được 5 Ví dụ : Tì để phươg trìh : 5 0 65
Có các ghiệ thỏ ã : 0 * Đây là phươg trìh trùg phươg Đặt t= T đư về phươg trìh : t t 5 0 Để có ghiệ phâ biệt thì phải có hi ghiệ dươg phâ biệt T giả sử hi ghiệ củ là : 0 t t Khi đó t ; t ; t ; t Do đó từ giả thiết t có : t 0 t t t 0 t ** t T tách điều kiệ ** r là hi điều kiệ đồg thời: 0 t t t t Xử lý tươg tự ở trê t có kết quả khôg có ào thỏ ã Ví dụ 5: Tì để hệ phươg trìh su có ghiệ: y y y T đặt u 0 Thi ĐH khối D-00 ; y v 0 Hệ đã cho trở thàh : u v u v u v u v Theo địh lý Vi-et thì u,v là ghiệ phươg trìh: t t 0 Để hệ có ghiệ thì phải có cả hi ghiệ khôg â 66
0 S 0 P 0 0 Bài tập tươg tự: Tì để hà số: y đồg biế trê khoảg ; Tì so cho hà số y tăg trog khoảg 0; Tì để hà số Dự bị khối A 00 y giả trê khoảg -;0 HƯỚNG ĐỀ XUẤT : TRÌNH BÀY TRỰC TIẾP ĐỊNH LÝ ĐẢO Phâ tích: Hướg đề uất đe về so sáh ghiệ với số 0 thực r chỉ thuậ tiệ khi việc so sáh diễ r khôg phải với hiều số Khi việc so sáh diễ r ột lúc với hiều số thì việc chuyể qu hà gt hư ở trê sẽ ất hiều thời gi Vì thế địh lý đảo có hữg ặt tích cực hất địh trog hữg bài tập hư thế Thực r củ quá trìh so sáh ghiệ thườg được đư về qu các bài toá cơ bả su T cầ trg bị ột số bài toá so sáh ghiệ cơ bả: i f có duy hất ghiệ thỏ ã Xảy r ột trog các trườg hợp su: TH: f có ghiệ f 0 TH: f có ghiệ 0 S 67
TH: f có ghiệ f 0 S ii f có ít hất ột ghiệ thỏ ã : TH: f có ghiệ 0 f TH: f có ghiệ 0 S TH : f có ghiệ ; Bìh luậ: 0 f 0 S Đối với trườg hợp ày t có thể là giá tiếp T tì để f khôg có ghiệ thỏ ã Lúc đó t có hi trườg hợp su: TH: f vô ghiệ 0 TH: f có ghiệ ; 0 f 0 S Su đó t loại đi các giá trị th số trog trườg hợp giá tiếp, t được các giá trị th số trực tiếp iii f có ít hất ột ghiệ thuộc đoạ [ ; ]: TH: f có ghiệ là hoặc là f f 0 68
TH: f có ột ghiệ thuộc khoảg ; và ghiệ ki ằ goài đoạ [ ; ] f f 0 TH: f có cả hi ghiệ thuộc ; : 0 f 0 f 0 S iv f có ít hất ột ghiệ thuộc khoảg ; TH: f có ghiệ là, ghiệ ki thuộc ; : f 0 S TH: f có ghiệ là, ghiệ ki thuộc ; : f 0 S TH: f có ột ghiệ thuộc khoảg ; và ghiệ ki ằ goài đoạ [ ; ] f f 0 TH: f có cả hi ghiệ thuộc ; : 0 f 0 f 0 S v f có ít hất ột ghiệ ằ goài khoảg ; tức là hoặc Đối với trườg hợp ày t là giá tiếp Tức là tì điều kiệ để f khôg có ghiệ ằ goài khoảg ; 69
TH: f vô ghiệ 0 TH: f có cả hi ghiệ thuộc khoảg ; 0 f 0 f 0 S Su đó t loại đi các giá trị th số vừ tì, t được các giá trị th số cầ tì Trê đây là 5 bài toá cơ bả về so sáh ghiệ củ t thức bậc hi với ột số Trog khi là bài t có thể gặp dưới ột dạg khác, lúc đó chỉ cầ ử lý lih độg là t có thể giải được Bây giờ t có ột số ví dụ ih họ Ví dụ : Tì để phươg trìh su có ghiệ thực: Thi ĐH khối A ă 007 Đây là phươg trìh đẳg cấp bậc hi đối với và Kiể tr thấy =- khôg là ghiệ Chi hi vế cho t được : T đặt : t 0 hơ ữ vì li ê t suy r 0 t 70
Đư về phươg trìh bậc hi: f t t t 0 Để có ghiệ thực thì cầ có ít hất ột ghiệ 0 t TH: ft có ghiệ t=0 f t 0 0 TH: ft có ột ghiệ thuộc 0;, ghiệ ki goài đoạ [0;] f 0 f 0 0 0 TH: ft có ột ghiệ là, ghiệ ki thuộc khoảg 0;: f 0 0 S S TH: ft có cả hi ghiệ thuộc khoảg 0; khôg ảy r ' 0 f 0 0 f 0 S 0 0 0 0 0 0 0 Kết hợp lại t được : Bìh luậ: + T thấy việc tì để phươg trìh có ít hất ột ghiệ thuộc [0; khôg rơi vào 5 bài toá đã ét Tuy hiê để giải bài ày, t tổg hợp các trườg hợp ở 5 bài toá trê Do đó 5 bài toá trê vẫ là cơ bả + T có thể dùg hà số để giải bài toá trê hư su: Số ghiệ củ là số gio điể củ hi đồ thị hà số y= và y=-t +t Lập bảg biế thiê củ hà số y=-t +t trê ữ khoảg [0; t được : 7
t -t +t Từ bảg biế thiê t thấy 0 0 - + Một điều chú ý ở đây là t có thể tì thiếu điều kiệ củ biế số t T có thể chỉ để ý là 0 t Ví dụ : Cho phươg trìh : f 5 0 Tì so cho: Phươg trìh chỉ có ột ghiệ thỏ ã > b Phươg trìh có ít hất ột ghiệ thỏ ã c Phươg trìh có ghiệ thuộc -; d Phươg trìh có ít hất ột ghiệ thỏ ã < có trườg hợp ảy r: TH: f 0 0 TH: f 0 0 S 0 vô ghiệ 0 6 0 S 0 TH: 6 7
7 b T giải giá tiếp Tì để phươg trìh khôg có ghiệ thỏ ã TH: f vô ghiệ 0 6 0 0 6 TH: f có cả hi ghiệ thuộc khoảg [-;] 0 9 5 6 0 9 9 5 0 6 0 9 0 5 9 0 6 0 0 0 S f f Như vậy f khôg có ghiệ thỏ ã khi 6 9 5 Vậy f có ít hất ột ghiệ thỏ ã khi 6 5 9 c Có trườg hợp ảy r: TH: 0 S f khôg có ào TH: 0 0 0 S f khôg có ào TH: f có ột ghiệ thuộc -;, ghiệ ki ằ goài đoạ [-;] 0 0 f f TH: f có cả hi ghiệ thuộc khoảg -; 0 0 0 6 0 0 6 0 6 0 0 0 S f f khôg có ào
Tó lại : 0 d Có trườg hợp: TH: f 0 0 TH: f 0 0 S 0 6 0 S TH: f 0 0 0 Kết hợp các trườg hợp t được 0 Bìh luậ: T có thể giải câu d bằg phươg pháp giá tiếp hư su: T tì để f khôg có ghiệ > Ví dụ : TH: f vô ghiệ TH: f có cả hi ghiệ Tì để phươg trìh Đư về vô ghiệ ; 5 7 8 7 8 5 Đặt t 8 7, để tồ tại thì 9 t Phươg trìh trở thàh: tt+8= t +8t- =0 Để vô ghiệ thì phải khôg có ghiệ thỏ ã t 9 TH: vô ghiệ 0 6 TH: có cả hi ghiệ hỏ hơ -9 7
' 0 6 0 f 9 0 9 0 S 9 9 Tó lại : Để vô ghiệ thì <-6 khôg có ào thỏ ã Ví dụ : Tì để phươg trìh : 0 Có khôg ít hơ hi ghiệ â khác hu Đây là phươg trìh hệ số đối ứg Nhậ thấy =0 khôg là ghiệ Chi hi vế cho t được: Đặt t 0 Để ý là và cùg dấu ê : Áp dụg bất đẳg thức Cô-si t có: t * Phươg trìh trở thàh : t t 0 T lưu ý rằg trog điều kiệ * thì t khi và chỉ khi <0 và t=- khi chỉ khi =- Do đó để có khôg ít hơ hi ghiệ â thì phải có ít hất ột ghiệ t<- Để ý thê luô có hi ghiệ trái dấu Do đó t chỉ cầ ét Vậy t có : Ví dụ 5: 5 Tì để phươg trìh : 5 t t f 0 75
0 có ghiệ Đặt 0 t, thì t Phươg trìh trở thàh: t t 0 Để có ghiệ thì phải có ít hất ột ghiệ t 0 TH: có ghiệ t=0 0 0 0 TH: có hi ghiệ trái dấu f 0 0 0 TH: có cả hi ghiệ dươg 0 S 0 0 0 P 0 0 Kết hợp lại t được : Ví dụ 6: f Tì để hệ phươg trìh su có ghiệ thực: Đặt u ; y 5 y y 5 0 y Thi ĐH khối D-007 v y y Dùg bất đẳg thức Cô-si và bất đẳg thức trị tuyệt đối t được: u ; v vì và cùg dấu Hệ đã cho trở thàh: u v 5 u v 5 u v u v 5 0 uv 8 76
Theo địh lý Vi-et thì u; v là ghiệ phươg trìh: ft = t -5t +8- = 0 Hệ đã cho có ghiệ khi và chỉ khi có cả hi ghiệ thỏ ã ; t T giải bằg phươg pháp giá tiếp hư su Tì để khôg có ghiệ ằ goài khoảg -; TH: vô ghiệ 7 7 0 TH: có ít hất ột ghiệ thuộc khoảg -; ở TH ày có khả ăg: + KN: ft có ghiệ là -, ghiệ ki thuộc khoảg -; f 0 0 S 7 khôg ảy r + KN: ft có ghiệ là, ghiệ ki thuộc khoảg -; f 0 0 S khôg ảy r +KN: ft có ột ghiệ thuộc khoảg -;, ghiệ ki ằ goài đoạ [-;] f f 0 0 +KN: ft có cả hi ghiệ thuộc -; t 0 7 0 f 0 0 f 0 0 S 5 khôg ảy r Như vậy để khôg có ghiệ ằ goài khoảg -; thì Vậy hữg giá trị thỏ ã đề bài là : 7 7 77
Bìh luậ: T có thể tì để có cả hi ghiệ thỏ ã t ; t bằg phươg pháp hà số hư su:t lập bảg biế thiê củ ft goài khoảg -; : t - 5 f t - - 0 + ft 7 Từ bảg biế thiê t có : 7 Ví dụ 7: Cho phươg trìh : cos cos cos 0 Tì để phươg trìh có đúg 7 ghiệ khác hu thuộc khoảg ; T biế đổi đư phươg trìh về : cos cos cos 0 cos 0 cos cos 0 Trog khoảg ;, phươg trìh cos=0 có hi ghiệ là 78
; Do đó để có đúg 7 ghiệ phâ biệt thì phươg trìh : cos cos 0 * phải có 5 ghiệ phâ biệt và khác hi ghiệ ở trê Đặt t = cos, phươg trìh * trở thàh: f t t t 0 Nếu t 0; thì cho giá trị tươg ứg khác ghiệ ; Nếu t ;0 thì cho giá trị tươg ứg khác ghiệ ; Nếu t= thì chỉ cho =0 Nếu t=- thì chỉ cho Do đó để * có 5 ghiệ hư yêu cầu thì ft phải có hi ghiệ phâ biệt t; t thỏ ã : 0 t Theo địh đảo t cầ có: t f 0 0 f 0 f 0 0 0 0 Vậy hữg giá trị cầ tì : Bìh luậ : Từ lập luậ về ối tươg qu giữ t và ở trê t thấy ếu yêu cầu về số ghiệ thy đổi, sẽ dẫ tới tíh chất ghiệ củ cũg thy đổi Chẳg hạ: i Nếu đề yêu cầu có đúg 6 ghiệ khác hu thì ghiệ củ phươg trìh phải là: t t 0, hoặc là t 0 t, hoặc là t 0 t ii Nếu đề yêu cầu có đúg 8 ghiệ thì ghiệ củ phải là: 0 t t Bài tập tươg tự: 79