Ä ¾ ÒÚÖ ¾¼½¾ ÅØÑØÕÙ ÔÔÐÕÙ Ø ÒÙÑÖÕÙ ÄÒ» ÌÇ ¾¼½½¹¾¼½¾µ ÈÖ ÒØØÓÒ ÝÒØØÕÙ Ù ÓÙÖ ÂÒÚÖ ¾¼½¾ ÓÙÖ ÓÒÒ Ò 3 e ÒÒ ÄÒ ËÒ Ð ÔÐÒØ ÌÖÖ ÔÖ ÅÐ Ð Ø ÂÒ ÊÓÙÜ ÓÐ ÒÓÖÑÐ ÙÔÖÙÖ ÈÖ
½ ÈÖÑÖ ÓÙÖ Ê ÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ÒÓÒ¹ÐÒÖ ÁÐ ³Ø Ò ÔÖÑÖ ÓÙÖ ÐÙÐÖ ØÐÐ ÕÙ f() = 0º Ä ÒÓØÓÒ ÖÚ ÒÓÖÑ ÚØÓÖÐÐ Õ٠гÓÒ ÖÔÔÐе Ø ÑØÖ ÓÒØ Ò Ö º ½º½ ÈÖÖÕÙ ÆÓØÓÒ ÖÚ Ø ÑØÖº ÆÓÖÑ ÚØÓÖÐÐ ÒØÓÒ ½º½º½º ËÓØ X ÙÒ Ô ÚØÓÖÐ ÑÒ ÓÒ Ò ÙÖ Ð ÓÖÔ K ÐÖ º ÇÒ ÔÔÐÐ ÒÓÖÑ ÚØÓÖÐÐ ØÓÙØ ÔÔÐØÓÒ X ÙÖ R + ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ ½º > 0 0 Ø 0 = 0 ¾º α = α, α K º + y + y,,y X ½º¾ Ê ÓÐÙØÓÒ ÜÔÐØ ³ Ø ÖÖÑÒØ ÔÓ Ðº ÈÓÙÖ Ð ÔÓÐÝÒÑ Ù ÔÖÑÖ Ø Ù ÓÒ Ö ÒÓÙ ÚÓÒ P 1 () a + b = 0 = b/a; P 2 () a 2 + b + c = 0 = ( b ± b 2 4ac)/2a. ÈÓÙÖ Ð ØÖÓ Ñ Ö P 3 () a 3 + b 2 + c + d = 0, ÒÓÙ ÚÓÒ ÔÙ ½ µ Ð ÓÖÑÙРº ÖÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ Ù ØÝÔ z 3 + pz + q = 0 ØÓÙØ ÕÙØÓÒ ÒÖÐ Ù ØÝÔ P 3 () = 0 ÔÓÙÚÒØ ³ÖÖ ÓÙ ØØ ÓÖÑ ÔÖ Ð ÒÑÒØ ÚÖÐ = z b/3aº Ä ÕÙØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ö ÕÙØÖ ÓÒØ Ö ÓÐÙÐ ÔÖ ÖÙÜ ÔÖ Ð ÑØÓ Äº ÖÖÖ Ó٠ʺ ÖØ º ÈÖ ÓÒØÖ Ð Ø ÖÓÙÖÙ ÑÒØ ÑÓÒØÖ ÔÖ Æº Àº Ð Ò ½¾µ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ö ÒÕ Ø ÔÐÙ Ð Ò³Ü Ø ÔÐÙ ØÐÐ ÓÐÙØÓÒ ÜÔÐØ º Ò ÔÖØÕÙ ÒÙÐ Ò³ÙØÐ ÙÓÙÖ³Ù Ð ÓÐÙØÓÒ ÒÐÝØÕ٠ٹР٠ÓÒ Öº ³Ó гÜÑÒ ÑØÓ ÒÙÑÖÕÙ º ÓÑÑÒÓÒ ÓÒ ÔÖ Ð Ð ÔÐÙ ÑÔÐ ÐÙ Ð ÖÖ ÖÒ ³ÙÒ ÕÙØÓÒ ÐÖº
¾ 1 2 3 f ) ( 2 f( ) 0 1 3 2 0 f ( 3 ) f ( 1 ) ÙÖ ½º½ ÅØÓ Ð ÓØÓÑ ½º ÅØÓ ÒÙÑÖÕÙ Ö ÓÐÙØÓÒ ³ÕÙØÓÒ ÐÖ ÇÒ Ö Ö ÓÙÖ ÒÙÑÖÕÙÑÒØ f() = 0, R, f ØÒØ ÚÐÙÖ ÖÐÐ Ø ÓÒØÒÙº ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ f 0 Ø ÕÙ³Ð Ü Ø 0, 1 R ØÐ ÕÙ f( 0 ) < 0 Ø f( 1 ) > 0 ; ÐÓÖ Ð ØÓÖÑ ÚÐÙÖ ÒØÖÑÖ ÒÓÙ ÙÖ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ØÙ ÒØÖ 0 Ø 1 º ÊÑÖÕÙÓÒ ÕÙ ØÓÙØ ÔÓÐÝÒÑ ÖÐ Ö ÑÔÖ ÔÓ ØØ ÔÖÓ¹ ÔÖØ Ø ÔÓ Ö ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ ÔÓÙÚÒØ ØÖ ÐÙÐ ÔÖ Ð ÐÓÖØÑ ÕÙ ÙÚÒغ ÚÑÑÒØ Ð Ò ÚÙØ Ô Ö ÕÙ ÒÓÙ ÔÓÙÖ¹ ÖÓÒ ÐÙÐÖ Ò ØÓÙØ Ð ÖÒ Ò ÔÖØÙÐÖ ÐÐ ÕÙ ÓÒØ ÓÑÔÐÜ º ÈÖ ÜÑÔРгÕÙØÓÒ 2 + 1 = 0 ÓÒØ ÖÐ Ò³ Ô ÓÐÙØÓÒ ÖÐÐ Ð ÙÜ ÓÐÙØÓÒ ÓÑÔÐÜ +i Ø i Ò ÔÓÙÖÖÓÒØ Ô ØÖ ØÑ ÔÖ Ð ÑØÓ ÒÙÑÖÕÙ ¹ÔÖ º ½º º½ ÅØÓ Ð ÓØÓÑ ØØ ÑØÓ Ø Ù ÔÔÐ ÑØÓ Ð ØÓÒº ÈÓÙÖ Ð³ÔÔÐÕÙÖ Ð ÙØ ÔÖØÖ ÙÜ ÔÓÒØ 0 1 ØÐ ÕÙ f( 0 )f( 1 ) < 0º ÓÒ ÒÖÐ ÓÒ ÒÓØÖ f k f( k ) k ØÒØ Ð³ Ù k Ñ ÔÓÒØ ÓØÒÙ ÔÖ ÙÒ ÑØÓ ÓÒÒ ÖÖ º Ò ØØ ÑØÓ ÓÒ ÙØÐ ÓÑÑ 2 Ð ÔÓÒØ ØÙ Ù ÑÐÙ Ù ÑÒØ [ 0, 1 ] 2 = ( 0 + 1 )/2. ÈÓÙÖ ÓÒØÒÙÖ ÓÒ ÚÖ ÐÕÙÐ ÙÜ
ÔÓÒØ ÒØÙÜ Ð³Ñ Ò ÓÔÔÓ f 2 ³ ع¹Ö f 0 f 2 < 0 ÓÙ f 1 f 2 < 0 Ø ÓÒ ÖØÒØ Ðٹк Ä ÑÑ ÑØÓ Ø ØÖ Ú Ð ÙÜ ÒÓÙÚÙÜ ÔÓÒØ º ÕÙ ØÖØÓÒ Ð ÑÐÙ Ø ÙØÐ ÓÑÑ ÒÓÙÚÙ ÔÓÒØ Ò ÕÙ Ð ÔÓÒØ ÓÒØ Ð³Ñ Ø Ò ÓÔÔÓ ÐÐ Ù ÔÓÒØ ÑÐÙº Ú ØØ ÑØÓ Ð Ø ÖØÒ ÕÙ Ð ØÒ ÒØÖ ÙÜ ÔÓÒØ ÑÒÙ ÑÓØ ÕÙ ØÖØÓÒº Ø ÐÓÖØÑ ÖÚÒØ ÐØÓÒÒÖ ÕÙ ØÔ ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ÕÙ ÓÒØÒØ ØÓÙÓÙÖ Ù ÑÓÒ ÙÒ ÞÖÓ f º ÇÒ ÚÖ ÕÙ s k+1 r k+1 = (s k r k )/2 = (s 0 r 0 )/2 k+1 Ð ØÒ ÒØÖ r k Ø s k ØÒ ÖÔÑÒØ ÚÖ ÞÖÓ ³ ع¹Ö ÕÙ lim (s k r k ) = 0. n ½º º½µ ÇÒ ÑÓÒØÖ Ð ÓÒÚÖÒ ÙØ (r k ) Ø (s k ) ÚÖ ÙÒ ÑÑ ÔÓÒØ ÕÙ Ø ÙÒ ÖÒ f º Ä ÑØÓ Ø ÐÐÙ ØÖ Ð ÙÖ ½º½º ½º º¾ ÅØÓ Ð Ù ÔÓ ØÓÒ ÇÒ ÙÔÔÓ ØÓÙÓÙÖ f C 0 Ø ÓÒ ÓÒÒ 0 Ø 1 ØÐ ÕÙ 1 < 0 Ø f 1 f 0 < 0º Ä ÑØÓ Ð Ù ÔÓ ØÓÒ Ø ÑÐÐ Ð ÑØÓ Ð ØÓÒ Ù ÕÙ ÕÙ Ô ÓÒ Ò ØÖÑÒ Ô z k ÓÑÑ Ð ÔÓÒØ ÑÐ٠гÒØÖÚÐÐ [r k,s k ] Ñ ÔÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÙÚÒØ z k = r kf(s k ) s k f(r k ). ½º º¾µ f(s k ) f(r k ) ØØ ÓÖÑÙÐ Ø ÙÖ Ð³ ÑÔÐ ÙÚÒغ ËÓØ f 1 f 0 < 0 ÓÒ ØÖÑÒ Ð ÓÒØÓÒ ÐÒÖ F() ØÐÐ ÕÙ F( 0 ) = f 0 Ø F( 1 ) = f 1 º Ä ÔÓÒØ c ØÐ ÕÙ F(c) = 0 Ø ÓÒÒ ÔÖ c = 1f( 0 ) 0 f( 1 ) ; ½º º µ f( 0 ) f( 1 ) ÒÓØÓÒ ÕÙ Ð ÒÓÑÒØÙÖ Ø ÒÓÒ ÒÙÐ Ö f 1 f 0 < 0º Ò ÔÓ ÒØ r k = 1 s k = 0 Ø z k = c ÓÒ ÓØÒØ ½º º¾µº ½º º ÅØÓ Ð ÒØ Ä ÑØÓ Ð ÒØ Ø ØÖ ÔÖÓ Ð ÑØÓ Ð Ù ÔÓ ØÓÒ Ù ÕÙ³ÐÐ ³ÔÔÐÕÙ ÑÑ f 1 f 0 > 0º ÐÐ ÖØÒØ Ý ØÑØÕÙÑÒØ Ð ÙÜ ÖÒÖ ÔÓÒØ ÐÙÐ º Ò ½º º µ Ò ÔÖÒÒØ Ð ØÖ k 1 k Ø Ð ÚÐÙÖ Ó f k 1 Ø f k Ð ÓÒØÓÒ f Ò ÔÓ ÒØ k+1 = c Ð ÚÒØ ÔÓÙÖ n = 1,2, k+1 = kf k 1 k 1 f k f k 1 f k. ½º ºµ
f ) ( 2 f( ) 0 1 3 2 0 f ( 1 ) ÙÖ ½º¾ ÅØÓ Ð ÒØ ÚÑÑÒØ Ð ÑØÓ Ð ÒØ ÚÓÖØ f k = f k 1 º Ë ÔÖ ÐÐÙÖ Ð ÑØÓ ÓÒÚÖ ÐÓÖ f k Ø f k 1 ÓÒÚÖÒØ ÚÖ ÞÖÓ Ø Ð ÒÓÑÒØÙÖ ½º ºµ ØÒ ÚÖ ÞÖÓº ÈÓÙÖ ÚØÖ ØØ ÙÐØ Ø Ò ÙÔÔÓ ÒØ ÕÙ f C 0 ÙØÖÑÒØ Ø ÕÙ f C 1 ÓÒ ÖØ k+1 = k k k 1 f k f k 1 f k. Ä ÑØÓ Ø ÐÐÙ ØÖ Ð ÙÖ ½º¾º ½º ºµ ÐÐ Ò ÓÒÒ ÐÖÑÒØ Ô Ø ØÓÒ ÕÙÒ f ( ) ÚÒØ ØÖÓÔ ÔØØ Ø Ð ÙØ ÓÒ ÙÖÚÐÐÖ Ø ÔØ Ò ØÓÙØ ÔÖÓÖÑÑØÓÒ Ð ÑØÓº Ä ÑØÓ Ð ÒØ ÓÒÚÖ Ù ÙÐÐÑÒØ ÔÐÙ ÚØ ÕÙ Ð ÑØÓ ØÓÒ ÓÙ Ð Ù ÔÓ ØÓÒ Ñ ÐÐ ÔÙØ Ò Ô ÓÒÚÖÖ ÑÑ ÖÒÖ ÓÒÚÖÒغ ½º º ÅØÓ ØÖØÚ ÈÖ ÓÙ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ù Ú ³ Ø ÙÒ ÑØÓ ØÖØÚ ØÝÔ ÔÓÒØ Üº ËÓÒØ f : R R Ø Ð ÖÒ ξ гÕÙØÓÒ f() = 0 ÙÒÕÙ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ I = [a,b]º ij Ø ÖÑÖÕÙÖ ÕÙ ØÖÓÙÚÖ ξ ÓÑÑ ÖÒ f Ø ÕÙÚÐÒØ Ð ØÖÓÙÚÖ ÓÑÑ ÓÐÙØÓÒ ξ = F(ξ) Ò Ò ÒØ F() + Mf(). ½º ºµ ÇÒ Ö ÓÙØ ½º ºµ ÔÖ Ð ÑØÓ Ù ÔÓÒØ Ü ÕÙ ÓÒ Ø Ó Ö 0
ÖØÖÖÑÒØ Ò I Ø ÐÙÐÖ k ÖÙÖ ÚÑÒØ ÔÖ k = F( k 1 ), k = 1,2, ½º ºµ ØØ ÑØÓ Ø ØÖ ÒÖк Ò Ð ÙÒÑÒ ÓÒÒÐ n = 1 ÔÖ ÐÕÙÐ ÒÓÙ ÚÓÒ ÓÑÑÒ ÙÒ ÜÑÔÐ ÓÒÚÖÒ Ð ÑØÓ Ø ÐÐÙ ØÖ Ò Ð ÙÖ ½º º ÁÐ Ø Ð ÚÖÖ ÕÙ Ò Ø ÜÑÔÐ F (ξ) < 1 Ø ÓÒÚÒÖ ÔÖ Ð ÑÑ ØÝÔ ÖÓÕÙ ÕÙ³Ð Ý ÚÖÒ Ð³ØÖØÓÒ ½º ºµ F (ξ) > 1º y y = y = F() 1 3 5 6 4 2 0 ÙÖ ½º ÁØÖ Ð³ÐÓÖØÑ Ù ÔÓÒØ Ü Ò Ø Ð Ò³ Ø Ô Ò Ö ÕÙ f Ø ÓÒ F ÓÒØ ÖÚÐ Ð ÙØ ÕÙ F ÓØ ÙÒ ÓÒØÖØÓÒ ÐÔ ØÞÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÔÓÒØ Ü Ü Ø ÓØ ÙÒÕÙ Ø ÔÙ ØÖ ÐÙÐ ÔÖ Ð³ØÖØÓÒ ÔÓÒØ Üº Ä ØÙØÓÒ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÔÖ Ð ØÓÖÑ ÙÚÒØ ÌÓÖÑ ½º º½º ËÓÒØ I = [a,b] ÙÒ ÒØÖÚÐÐ R Ø F ÙÒ ÓÒØÓÒ Ø ÒØ ÙÜ ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ µ F() I ÔÓÙÖ ØÓÙØ I µ F ÚÖ Ð ÓÒØÓÒ ÄÔ ØÞ F( 1 ) F( 2 ) L 1 2 ½º ºµ ÔÓÙÖ ØÓÙ 1, 2 I Ú ÙÒ ÓÒ ØÒØ ÄÔ ØÞ L < 1º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÜ 0 Ò I Ð ÙØ Ò ÔÖ k = F( k 1 ) k = 1,2, ÓÒÚÖ ÚÖ Ð³ÙÒÕÙ ÓÐÙØÓÒ Ð³ÕÙØÓÒ = F()º Ä ÙÜ ÓÒØÓÒ µ Ø µ ¹ Ù Ò ÒØ ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÓÒ¹ ØÖØÒØ ÙÖ Iº Ä ÙÖ ½º ÑÓÒØÖ ØÖÓ ØÖØÓÒ ÈÖ Ú ÙÜ ÔÓÒØ Ø¹ ØÖØÙÖ ÔÖ ÔÖ ÙÒ ÔÓÒØ ÖÔÙÐ º
ÙÖ ½º ÌÖÓ ØÖØÓÒ ÈÖ ½º º ÅØÓ ÆÛØÓÒ ËÓØ ØÓÙÓÙÖ Ð ÐÙÐ Ù ÞÖÓ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ Ð³Ò ØÒØ ÙÒÕÙ Ð ÓÒØÓÒ f Ò I = [a,b]º ÆÓÙ ÝÓÒ ÒÓÙ ÖÒÖ Ð ÓÒØÓÒ Þ ÓÒØÖÒÒØ Ð³Ü ØÒ ³ÙÒ ÓÒØÓÒ ÓÒØÖØÒØ ÄÔ ØÞ L < 1µº ÑÑ Ð³ÓÒ ÔÖ Ð ÓÒÚÖÒ ÐÓÐ Ð ÑØÓº ÈÓÙÚÓÒ ¹ÒÓÙ ØÖÑÒÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ h C 1 ÔÒÒØ f Ñ ÑÒØ ÐÙÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù ÔÖÒØ ÔÔÐÕÙ Ð ÓÒ¹ ØÓÒ F F() + h()f(), ÓÒÚÖ ÚÖ ξ ÕÙ ÖÚÒØ ÖÑÔÐÖ Ð ÓÒ ØÒØ M ½º ºµ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ h()º ÍÒ ÓÒ Ö Ø Ó Ö h() = 1/f ()º ÆÓÙ ÓÑÑ ÐÓÖ ÓÒÙØ Ð³ÐÓÖØÑ ØÖØ ÙÚÒØ ØÝÔ ½º ºµ k+1 = k f( k) f ( k ), k = 0,1,2, ½º ºµ ³ Ø Ð ÑØÓ ÆÛØÓÒº Ä ÓÒÚÖÒ Ø ÐÓÐ Ñ ÐÐ Ø ØÖ ÖÔº ÓÑØÖÕÙÑÒØ ØØ ÑØÓ Ø ÕÙÚÐÒØ Ù ÖÑÔÐÑÒØ ³ÙÒ ÔØØ Ö Ð ÓÙÖ y = f() ÔÖ Ð ØÒÒØ ÑÒ ÔÖ ÙÒ ÖØÒ ÔÓÒØ Ð ÓÙÖº ÎÓÖ Ð ÙÖ ½º Ó Ð³ÓÒ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ ÜÖ Ð ÕÙ f > 0 ÔÓÙÖ [a,b] Ø f(b) > 0º ½º ÅØÓ ÑÙÐØÑÒ ÓÒÒÐÐ ÇÒ ØÒ Ð ÑÒ ÓÒ n Õ٠гÓÒ ÚÙ ÙÜ ÔÖÖÔ ½º º Ø ½º º Ö ÔØÚÑÒغ ÇÒ ÓÒ Ö ÓÒ Ð³ÔÔÐØÓÒ f : R n R n ÔÓÙÖ n 2 ÕÙ ÒÖÐ Ð ÐÖ n = 1 ØÖØ Ù ÕÙ³º
y B 0 B 1 B 2 0 a ξ 2 b = 0 A ÙÖ ½º ÁØÖ Ð³ÐÓÖØÑ ÆÛØÓÒ 1 1 ÆÓÙ ÑÒØÓÒÒÖÓÒ ÒÒ Ð ØÖ ÒØÖ ÒØ Ò ÔÖØÕÙ Ó Ð ÖÚ ØØ ÔÔÐØÓÒ f Ò³ Ø Ô ÓÒÒÙ ÒÐÝØÕÙÑÒØ ÓÙ ÕÙ³ÐÐ Ø ÔÐÙØØ ÓØÙ ÐÙÐÖ ÔÖØÖ ÓÒ ÜÔÖ ÓÒ ÒÐÝØÕÙº ØØ ÖÒÖ ØÙØÓÒ ÙÖÚÒØ ÙÖØÓÙØ ÔÓÙÖ n ØÖ ÖÒ ÓÑÑ ³ Ø Ð Ò Ð ÔÐÙÔÖØ ÔÔÐØÓÒ ÙÜ Ò Ð ÔÐÒØ Ø Ð Úº ½ºº½ ÔÔÐØÓÒ ÓÒØÖØÒØ Ø ÔÓÒØ Ü ËÙÔÔÓ ÓÒ Õ٠гÓÒ Ø f : R n R n ØÐÐ ÕÙ L < 1, telque, (,y) R 2n f() f(y) L y. ½ºº½µ ÁÐ ³Ø ÒÓÖ ³ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÓÒØÖØÒØ Ø Ð ØÓÖÑ ÙÚÒØ ³ÔÔÐÕÙ ÌÓÖÑ ½ºº½º ËÓØ f ÙÒ ÔÔÐØÓÒ ÓÒØÖØÒØ ÐÓÖ ½º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÙÒÕÙ f () =. ¾º 0 R n Ð ÙØ k+1 = f( k ) ÓÒÚÖ ÚÖ Ð ÔÓÒØ Ü º ½ºº¾ ÅØÓ ÆÛØÓÒ ÑÙÐØÑÒ ÓÒÒÐÐ Ä ÑØÓ ½º ºµ ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ò k 0 ÒÖ Ð ÑØÓ ØÖØÚ k+1 = k (f ( k )) 1 f( k ), ½ºº¾µ
Ó f ( k ) Ò Ð ÑØÖ ÓÒÒ f Ù ÔÓÒØ ØÖ k ÓØ f 1 f 1 1 n f ( k ) º º f n 1 f n n, ½ºº µ ØÓÙØ Ð ÖÚ ÔÖØÐÐ ØÒØ ØÑ Ù ÔÓÒØ k º Ä ÓÖÑÙÐ ½ºº¾µ ÙÔÔÓ ÚÑÑÒØ ÕÙ f ( k ) Ø ÒÚÖ Ð ÕÙ ÓØ ØÖ ÚÖ Ø Ù Øº ÁÐ Ø ÙÙÜ ÔÐÙØØ ÕÙ ÐÙÐÖ Ð³ÒÚÖ Ð ÑØÖ ÓÒÒ Ö ÓÙÖ Ð Ý ØÑ ÐÒÖ f ( k )( k+1 k ) = f( k ) ÕÙ ØÔº ÈÖ ÓÒØÖ ÓÑÑ ÓÒ ÔÙØ ³ØØÒÖ ÔÖ ÐÐÙÖ ÕÙ ÑÓÝÒÒÒØ ÖØÒ ÝÔÓØ Ð ÑØÖ (f ( k )) 1 ÚÖÒØ ÔÙ ÙÖØÓÙØ Ù ÚÓ ¹ Ò Ù ÞÖÓµ Ð Ø ÒØÙÖÐ ÓÒÖ ÖÑÔÐÖ ØØ ÙØ ÑØÖ ÔÖ ÙÒ ÑØÖ ÔÔÖÓÜÑÒØ ÐÙÐ ÙÒ Ó ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÔÖ ÜÑÔÐ (f ( 0 )) 1 ÓÙ ÒÓÖ ÓÒ ÔÙØ ÑÒÖ ÖÖ Ð ÑÑ ÐÑÒØ ÔÒÒØ ÙÒ ÒÓÑÖ Ü ³ØÖØÓÒ Ù Ú º ³ Ø ÔÓÙÖ ÔÖÒÖ Ò ÓÑÔØ Ð³ÚÒØÙÐØ ØÐÐ ÚÖÒØ Õ٠гÓÒ ÒØ ÒÖÐÑÒØ Ð ÑØÓ ÆÛØÓÒ ÓÙ Ð ÓÖÑ ÙÚÒغ ÓÒ Ö Ð³Ò ÑÐ ÔÔÐØÓÒ ÐÒÖ ÓÒØÒÙ R n Ò R n Ø ÓÒ ÓÒÒ ÙÒ ÙØ (A k ) ³ÐÑÒØ Ø Ò ÑÐ ÙÔÔÓ ÓÒØÒÙÑÒØ ÒÚÖ Ð º ÇÒ ÒØ ÐÓÖ Ð ÙØ ( k ) ÔÖ ÇÒ k+1 = k A 1 k f( k), k 0, ½ººµ 0 ØÒØ ÙÒ ÔÓÒØ ÖØÖÖ Ω ÖÑ ÓÖÒ R n º ÆØÙÖÐÐÑÒØ Ò Ð³ Ò ³ÝÔÓØ ÖÒ Ò ÖÒØØ ÕÙ Ð ÙØ ( k ) Ö Ø Ò Ð³ÓÙÚÖØ Ω Ø ÕÙ³ÐÐ ÓÒÚÖ ÚÖ ÖÒ f() = 0º Ä ÔÖÙÚ Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÙØ ½ººµ ÚÖ Ø ÒÓÒ ØÖÚÐ ÑÑ ÐÐ ÙØÐ Ù ÙÒ ØÒÕÙ ÔÓÒØ Üº ÓÑÑ Ò Ð n = 1 Ð ÓÒÚÖÒ Ø ÐÓÐ ³ Ø Ð ÔÖÓÔÖ ÑØÓ ÆÛØÓÒº ½ºº ÅØÓ ÕÙ ¹ÆÛØÓÒ Ä ÑØÓ ÆÛØÓÒ Ü Ð³ÚÐÙØÓÒ n 2 + n ÓÒØÓÒ ÐÖ n 2 ÔÓÙÖ f ( k ) Ø n ÔÓÙÖ f( k ) Ø Ð Ö ÓÐÙØÓÒ ³ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ Ò 0(n 3 ) ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÔÖ ØÖØÓÒº ³ Ø ÔÓÙÖ ÓÚÖ ÒÓÒÚÒÒØ ÕÙ Ð ÑØÓ ÔÔÐ ÕÙ ¹ÆÛØÓÒ ÓÒØ Ø ÓÒ ØÖÙØ º ij Ø ³ÔÔÖÓÖ Ð ÑØÖ ÓÒÒ f ( k ) ÔÖ ÓÔÖØÙÖ ÑØÖÐ B k ØÐ ÕÙ³Ð Ò ÓØ Ñ Ò Ö Ö ÓÙÖ ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ Ò 0(n 3 ) ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ Ø ÐÙÐÖ ÖÚ º ÇÒ ÐÙÐ B 1 Ò ÓÒØÓÒ B 1 ijÒØÖØ Ø ÔÐÙ ÕÙ ØØ k k 1 º ØÙÐ ØÓÒ Ð ÑØÖ ÒÚÖ Ø Ò ÙÐÑÒØ 0(n 2 ) ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÔÓÙÖ n 100 ÖÒ Ð Ò Ø ÓÒ ÖÐ