ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ Ë ÊÁ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë ØÙ ÔÖ Ø ÕÙ Ö Ü Ö ½ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ö Ù Ú ÒØ 2 2 4 +3+ 2 5 + 2 + a x ÐÓÖ ÕÙ x R Ø a Ø Ð ème Ñ Ð π Ü Ö ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÐÙÐ Ö Ð ÙÖ ÓÑÑ 2 + 2 +2+3! + 4 Ü Ö ËÓ ÒØ α Ø β ÙÜ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö α l β Ö ÖØÖ Ò =2 ÌÖ Ö Ð³ Ò Ñ Ð Mx,y R 2 } x Ø ÓÒÚ Ö ÒØ. +y 0 /p Ó p Ò Ð ÒÓÑ Ö Ö Ò Ø Ò Ð³ Ö ØÙÖ Ò ½¼ г ÒØ Ö Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÖÓÙÔ Ö Ð Ø ÖÑ Ô Ö Ô ÕÙ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ö ÒÙÑ Ö ÕÙ u Ú u = e + 3/2 [ 3/2 ]+ u = a H Ú a > 0 Ø H = u = j u = cosπ 2 ++ u =! u = cos 2 π l u = Ú ω = +ω u = si π l u = arccos u = + a a Ú a > 0 u = l a + Ú a > 0 u = l a + Ú a > 0 ÇÒ ÔÓ N u = 2 + l ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u ÓÒÚ Ö ÇÒ ÒÓØ l Ð Ð Ñ Ø ¾ ÓÒÒ Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö u l ØÙ Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö u l ÇÒ ÔÓ N, u = +. ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u N Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ½
¾ ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ Ë ÊÁ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë ¾ u ËÓ Ø α > 0 ÇÒ Ò Ø Ð Ù Ø u R N Ô Ö u 0 = Ø N, u + = cosu α. ½ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÓÒØ ÓÒ α Ð Ò ØÙÖ Ð Ö u ¾ Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÓÒØ ÓÒ α Ð Ò ØÙÖ Ð Ö u Ü Ö ½¼ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N Ð Ü Ø ÙÒ ÙÐ x > 0 Ø Ð ÕÙ e x = + x. ¾ ØÙ Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö x Ü Ö ½½ ÇÒ ÔÓ N, z = + i. ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø z Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø z Ú Ö Ü Ö ½¾ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ò ØÙÖ Ö Ù Ú ÒØ e il e il l Ü Ö ½ ËÓ Ø α > 0 ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N u = + α arccos 2+ α Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ö u Ø u ËÓ Ø α > 0 Ä ÙØ Ø Ø cos α ½ ËÓ ÒØ x 0,,x Ø y 0,,y Ò C + Ë ÑÔÐ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x y y x x + y ¾ ÇÒ ÔÓ S 0 = 0 ÔÙ S = cos ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø S N Ø ÓÖÒ Ò Ù Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö cos α ÇÒ ÙÔÔÓ Ò ØØ ÕÙ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ø ÓÐÙÑ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ cos µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö ÓÐÙÑ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ cos 2 2 Ø ÒÓÖ ¹ µ Ò Ù Ö ÙÒ ÓÒØÖ Ø ÓÒ cos α si Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ö Ø si R Ô Ø Ø ÓÖ ÕÙ e iθ ÔÓÙÖ θ Ò ËÓ ÒØu N ÙÒ Ù Ø Ø ÖÑ ÔÓ Ø ÔÙ σ : N N ÙÒ Ø ÓÒ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö u Ø u σ ÓÒØ Ñ Ñ Ò ¹ ØÙÖ Ø ÕÙ³ Ò ÓÒÚ Ö Ò ÐÐ ÓÒØ Ð Ñ Ñ ÓÑÑ ËÓ Ø σ : N N ÙÒ Ø ÓÒ ËÓ Ø u N ÙÒ Ù Ø ÖÓ ÒØ ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ñ Ñ Ò ØÙÖ ¾ Ò Ù Ö ÕÙ Ð Ö Ò Ø Ñ Ñ Ð Ö u Ø σ 2 p=0 2 p u 2 p ÓÒØ u Ø Ú Ö ÒØ ÐÓÖ Ð mi u, } ËÓ ÒØ α Ø β ÙÜ ÒÓÑ Ö Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ ¹ Ø Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÆË ÙÖ α Ø β ÔÓÙÖ ÕÙ Ð Ö α l β Ó Ø ÓÒÚ Ö ÒØ =2 ÇÒ ÒÓØ p Ð ème ÒÓÑ Ö ÔÖ Ñ Ö ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö Ñ Ñ Ò ØÙÖ p Ø ¾ ËÓ Ø N ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö ÒØ Ø ÐÙÐ Ö ÓÑÑ Ò Ù Ö ÕÙ Ð Ö l ÓÒØ p p p Ø Ú Ö ÒØ Ø ÓÒÚ Ö¹
ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð Ð Ö Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÕÙ ÓÑÑ Ø ÙÒ ÒØ Ö 2 + Ü Ö ¾¼ Ø ÖÑ Ò Ö ØÓÙØ Ð Ù Ø u N Ø ÖÑ ÔÓ Ø ÓÙ ÒÙÐ Ø Ú Ö ÒØ Ð³ ÖØ ÓÒ Ù Ú ÒØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø v N Ø ÖÑ ÔÓ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö ÓÒÚ Ö ÒØ v ÓÒÚ Ö ÐÓÖ Ð Ö u v Ø ÒÓÖ Ü Ö ¾½ ÇÒ ÒÓØ E г Ò Ñ Ð ØÓÙØ Ð Ù Ø u N Ú Ð ÙÖ ÒØÖ 0 Ø ÓÒØ Ð Ö Ù Ø u Ò Ð³ Ò Ñ Ð E ÓÒ ÒÓØ Σu = u Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÈÓÙÖ ØÓÙØ u ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ u Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ò E ÐÓÖ Σu > 0 ¾ ÄÓÖ ÕÙ u Ö Ø Ð³ Ò Ñ Ð E ÕÙ ÐÐ ÓÒØ Ð Ú Ð ÙÖ Ö Ø Ô Ö Σu Ë u Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ E Ø α > 0 ÓÒ ÒÓØ u α Ð Ù Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð u α Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö α > 0 Ø Ð ÕÙ u E = u α E. Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ð Σu 2 } A = Σu t.q. u E Ø N u > 0. Ü Ö ¾¾ ½ ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ ÔÓ Ø Ú Ø ÓÒ ÔÓ v = u 2 + u 2+ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö u Ø v ÓÒØ Ñ Ñ Ò ØÙÖ ¾ ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø ÓÒÚ Ö¹ ÒØ Ú Ö 0 ÇÒ ÔÓ S = u ÔÙ v = u + S ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö u Ø v ÓÒØ Ñ Ñ Ò ¹ ØÙÖ Ü Ö ¾ ½ ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø Ö ÐÐ Ò ³ ÒÒÙÐ ÒØ Ô Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ð Ñ Ø l = lim u + + u Ü Ø Ò R ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ l < ÐÓÖ Ð Ö u Ø ÓÐÙÑ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ ¾ Ë x R 2 x ËÓ Ø Ð Ù Ø u Ò Ô Ö u 0 = 3 Ø u + = 2+u 2 u ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø Ö ÐÐ u ÓÒ ÒÓØ Eu г Ò Ñ Ð ÒØ Ö p Ø Ð ÕÙ Ð Ö Ø ÓÒÚ Ö ÒØ u p ½ ÇÒ ÙÔÔÓ u Ø ÖÑ ÔÓ Ø ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Eu Ø Ó Ø Ú Ó Ø Ð ÓÖÑ [p 0,+ [ N ¾ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ Ù Ø u Ø ÐÐ ÕÙ Eu Ó Ø Ú Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö p 0 ÓÒÒ Ö ÙÒ Ü ÑÔÐ Ù Ø u Ø ÐÐ ÕÙ Eu = [p 0,+ [ N Ø ÖÑ Ò Ö Eu Ò Ð Ù Ú ÒØ N u = l+ N u = l + + /3 ËÓ ÒØ u Ø v ÙÜ Ù Ø Ö ÐÐ ÔÙ λ R ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð Ù Ø u Ø Ú Ð ÙÖ ÔÓ Ø Ú Ð Ö v Ø Î u + u = λ +v ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø λ u N ÓÒÚ Ö ¾! e ÕÙ ÐÐ ÙØÖ ÓÒ ÙÖ Ø¹ÓÒ ÔÙ Ó Ø Ò Ö Ö ÙÐØ Ø ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø Ö ÙÖÖ ÒØ ³ Ø Ö ØÖ f Ð C 2 Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ù Ø u ÓÒÚ Ö Ú Ö l Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N u l Ò ØÓÙØ Ð Ù Ø ÓÒ ÔÓ θ = u l ½ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ m = f l Ú ÙØ Ø f l 0 µ ÐÙÐ Ö lim + θ + θ µ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ θ ¾ ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ 0 < m = f l < µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö θ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö ÓÒÚ Ö ÒØ l m θ + θ Ø µ Ò Ù Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø c > 0 Ø Ð ÕÙ θ c m
ÍÁÄÄ ³ Ê Á Ë Æ ½ Ë ÊÁ Ë ÆÇÅ Ê Ë Ê ÄË ÇÍ ÇÅÈÄ Ë Ì Ñ Ú Ö ½ ËÓ ÒØ 0 < a < b ÙÜ Ö Ð Ë ÑÔÐ Ö ta arctab arctaa ¾ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ö arcta 2 Ø ÓÒÚ Ö ÒØ 2 ÐÙÐ Ö Ð ÓÑÑ Ð Ö ÔÖ ÒØ ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ØÓÙØ N H =. ½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ H l Ù ÚÓ Ò + ¾ ÇÒ ÔÓ N u = H l Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ u + u ÐÓÖ ÕÙ Ø Ò Ú Ö + Ò Ù Ö Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ γ Ø ÐÐ ÕÙ ËÓ Ø α > 0 ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð Ü Ö ¼ H = l+γ +. S Ó S = α ½ ËÓ ÒØ p Ø q ÙÜ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø Ð ÕÙ p + q = µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x Ø y ÓÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÐÓÖ x /p y /q x p + y q. µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒÓÑ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ ¹ Ø u,,u Ø ØÓÙ ÒÓÑ Ö Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø v,,v ÐÓÖ /p /q u v u p v q. Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ñ Ò Ö Ù Ó u p = v q = µ Ò Ù Ö ÕÙ ω N Ø ÙÒ Ù Ø ÒÓÑ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö ω ÓÒÚ Ö ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ α > 0 Ð Ö α ω Ø ÒÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ Ü Ö ½ ½ ËÓ Ø u 0 [0,π] ÔÙ u + = cosu Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ u ¾ ØÙ Ö Ð Ù Ø v Ú v 0 > 0 Ø v + = +v ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø v ÓÒÚ Ö ÇÒ ÒÓØ l Ð Ð Ñ Ø v l ÇÒ ÔÓ w 0 = π 2 Ø w + = siw µ Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ w Ò Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö α > 0 Ø Ð ÕÙ Ð ÕÙ ÒØ Ø w+ α w α ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ Ö Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ w a Ú a > 0 ÇÒ ÔÖ Ò a 0 > 0 ÔÙ a + = e a µ ØÙ Ö Ð Ù Ø a µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ a α Ú α > 0 Ü Ö ¾ ËÓ ÒØ p Ø q ÙÜ ÒØ Ö ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø ½ ÇÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø H = Ø ÓÒ ÓÖÑ Ð N Ù Ø u N Ò ÔÖ Ò ÒØ ³ ÓÖ Ð pôö Ñ Ö Ø ÖÑ H ÔÙ Ð ÓÔÔÓ q Ø ÖÑ Ù Ú ÒØ H ÔÙ Ð pø ÖÑ Ù Ú ÒØ H ÔÙ Ð ÓÔÔÓ q Ø ÖÑ Ù Ú ÒØ H Ø ØÙ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò Ð Ö u Ø Ð ÒØ ÐÙÐ Ö Ð ÓÑÑ ÓÙ ÓÖÑ ³ÙÒ ÒØ Ö Ð ¾ Ê ÔÖ Ò Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ú Ð Ù Ø H = N Ü Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ö ta π7 + 4 3 Ø si π5+ 7 ÁÒØ Ö Ð Ï ÐÐ Ø ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò ½ ÈÓÙÖ ØÓÙØ N ÓÒ ÔÓ W = π/2 0 si tdt µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø W Ø ÖÓ ÒØ Ø ÕÙ W > 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ N µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ W = W 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ 2 Ò Ù Ö ÕÙ W W = π ÔÓÙÖ ØÓÙØ 2 µ Ù Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÕÙ W π ÔÙ ÕÙ 2 lim p2p! 2 p + 2 4p p! 4 = π ¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ N ÓÒ ÔÓ u = l! 2 e µ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u ÓÒÚ Ö Ò Ù Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð λ > 0 Ø Ð ÕÙ! λ e
µ ÅÓÒØÖ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ËØ ÖÐ Ò ÍÒ Ô Ù ÔÐÙ Ð ËÓ Ø u N ÙÒ Ù Ø ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÐ ÕÙ Ð Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ N ÓÒ u Ø ÓÐÙÑ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒØ u = 0. ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð Ù Ø u N Ø Ð Ù Ø ÒÙÐÐ ËÓ ØuÙÒ Ù Ø Ò Ø Ú N Ú Ö N Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö ppcmu,u 2,,u ËÓ Ø u ÙÒ Ù Ø ÒÓÑ Ö Ö Ð ÅÓÒØÖ Ö Õ٠г Ò Ñ Ð + } u σ σ : N N Ø Ú Ø Ð Ö u σ ÓÒÚ Ö ÒØ Ø Ó Ø Ú Ó Ø ÙÒ Ò Ð ØÓÒ Ó Ø R ØÓÙØ ÒØ Ö siπ! e Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ö 2 exp