ÈÊÇ Ä ÅË ËÓÐÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ù ÓÙÐ ÖÖ Ú ÒÓ Ð Ø Ö Ø Ò ½ Å Ö ¾¼½¼º Ò Ø Ö ) Ø Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û ÔÖÓÔÓ Û Ø ÓÙØ ÓÐÙØ ÓÒº ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ø ÓÆ Ð Ð Ò Ù Ó Ò º ÁÒ Ù ½ Ò Ò Ð Û ÐÐ ÔÖ Ö Ò Ò Ò Ù ¾ Ò Ö Ò Û ÐÐ ÔÖ Ò Ð º ÁÒ Ø ÓÐÙØ ÓÒ ³ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û ÐÐ Ø Ø Ò Ø Ð Ò Ù Ó Ø ÔÖ Ñ ÖÝ ØÙÖ ÓÐÙØ ÓÒº ÈÖÓ Ð Ñ ½ ¾ Ò ÐÓÛ Ö Ø Ý Ø ÔÖÓÔÓ Ö ØÓ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ó Â Ñ ÌÓØØ Òº Ì ØÓÖ Ø Ò Â Ò¹Å Ö Ì ÖÖ Ö Ó Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÅÓÒØÖ Ð ÓÖ ØÖ Ò Ð ¹ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ º ÈÖÓÔÓ Ý ÂÓ ÄÙ Þ¹ ÖÖ ÖÓ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÈÓÐ Ø Ò Ø ÐÙÒÝ Ö ÐÓÒ ËÔ Òº Ä Ø X, <, >) Ö Ð ÓÖ ÓÑÔÐ Ü ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ô Ò Ð Ø x y Ò z ÒÓÒÞ ÖÓ Ú ØÓÖ Ò Xº ÈÖÓÚ Ø Ø ¾º < z, x > < x, y > x 1/2 x y z ) 1/2 < y, z > º ÈÖÓÔÓ Ý ºÂº ËÑ Ò ÐØ ÓÑÑ Ð Ø Æ Ø ÖÐ Ò º ÈÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ò Ö Ð Þ Ø Ö ÙÐØ º µ tan 2 36 + tan 2 72 = 10 µ tan 4 36 + tan 4 72 = 90 µ tan 6 36 + tan 6 72 = 850 µ tan 8 36 + tan 8 72 = 8050º º ÍË º ÈÖÓÔÓ Ý ËÓØØ ÖÓÛÒ Ù ÙÖÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÅÓÒØ ÓÑ ÖÝ Ä ÌÖ Ò Ð ABC Ð Ò Ø a = BC b = AC c = AB Ò ÐØ ØÙ h a h b h c ÖÓÑ Ø Ú ÖØ A B C Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÈÖÓÚ Ø Ø 8 h 2 a h b + h c ) + 16h a h b h c 3 3 a 2 b + c) + 6 3abc º
Çƺ ÈÖÓÔÓ Ý Ê Ö ÀÓ ÒÓ ÓÚ ÖÒÑ ÒØ Ó Ò ÇØØ Û Ä Ø a b c Ò d ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø a+b+c+d = 1º ÈÖÓÚ Ø Ø a 3 b + c + b3 c + d + c3 d + a + d3 a + b 1 8 º Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ú ÐÙ Ó x 2 +y 2 +z 2 ÓÚ Ö ÐÐ ØÖ ÔÐ x, y, z) Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø 13x 2 + 40y 2 + 45z 2 36xy + 12yz + 24xz 2009 Ò Ö Ø Ö Þ ÐÐ Ø ØÖ ÔÐ Ø Û Ø Ñ Ò ÑÙÑ ØØ Ò º Ú Ò ØÖ Ò Ð ABC Û Ø ÖÙÑ ÖÐ Γ Ð Ø ÖÐ Γ ÒØÖ ÓÒ Ø Ð Ò BC ÒØ Ö Ø Γ Ø D Ò D º ÒÓØ Ý Q Ò Q Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó D Ò D ÓÒ Ø Ð Ò AB Ò Ý R Ò R Ø Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ AC ÙÑ Ø Ø ÒÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ò Û Ø Ú ÖØ Ü Ó Ø ØÖ Ò Ð º Ë ÓÛ Ø Ø Γ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ØÓ Γ Ø Ò BQ = CR º Ó Ø ÓÒÚ Ö BQ CR ÓÐ ) n/2 3) Ä Ø A n = j j=0 2j + 1 a j Û Ö a j = n k k + 1 2j Ò n ÔÓ ¹ k=2j 2 k Ø Ú ÒØ Öº ÈÖÓÚ Ø Ø A 1 + A 2 + + A n n Û Ø ÕÙ Ð ØÝ ÓÖ Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ nº ÈÖÓÔÓ Ý ÖÙ Ë ÛÝ Ö Å ÑÓÖ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÙÒ ¹ Ð Ò Ëغ ÂÓ Ò³ Æĺ Ø ÖÑ Ò Ø ÒØÖ Ð Ò Ð Ó ØÓÖ Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ö Ö ÛÒ Û Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü ÓÒ Ö Ù Ó Ø ØÓÖ Ò ØÛÓ Ú ÖØ ÓÒ Ø ÖÙÑ Ö Ò Ö ÕÙ Ð ØÓ Ø ÕÙ Ö Ó Ø Ö Ù Ó Ø ØÓÖº ÈÖÓÔÓ Ý Ö Ñ Ê ÅÙÑ ÁÒ º Ä Ø a b c Ò p q r ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö º ÈÖÓÚ Ø Ø q 2 pr Ò r 2 pq Ø Ò a pa + qb + rc + Ï Ò Ó ÕÙ Ð ØÝ ÓÐ b pb + qc + ra + c pc + qa + rb 3 p + q + r º
¼º ÈÖÓÔÓ Ý ÌÖ Ò ÉÙ Ò ÀÙÒ ØÙ ÒØ À ÒÓ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö¹ ØÝ Î ØÒ Ñº Ì ØÖ Ò Ð ABC ÖÙÑ ÒØÖ O ÓÖØ Ó ÒØÖ H Ò ÖÙÑÖ ¹ Ù Rº ÈÖÓÚ Ø Ø 3R 2 OH HA + HB + HC 3R + OH ÈÖÓÔÓ Ý ÌÖ Ò ÉÙ Ò ÀÙÒ ØÙ ÒØ À ÒÓ Æ Ø ÓÒ Ð ÍÒ Ú Ö¹ ØÝ Î ØÒ Ñº Ä Ø I Ø Ò ÒØÖ Ó ØÖ Ò Ð ABC Ò Ð Ø A B Ò C Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ý AI BI Ò CI Û Ø Ø Ö Ô Ø Ú Ó Ø ØÖ Ò Ð º ÈÖÓÚ Ø Ø ¾º IA + IB + IC 2IA + IB + IC ) º ÈÖÓÔÓ Ý ËÓØ Ö ÄÓÙÖ Ð Ó Ö º Ä Ø x y Ò z ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø x 3 + z 3 y 3) y 3 + x 3 z 3) z 3 + y 3 x 3) > 0 º ÈÖÓÚ Ø Ø x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ) x 3 + y 3 z 3 + xyz ) 3 3 x 4 x 2 + yz) 4 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ÂÓ ÄÙ Þ¹ ÖÖ ÖÓ ÍÒ Ú Ö Ø ÈÓÐÝØ Ò ÕÙ Ø ÐÓ Ò Ö ÐÓÒ Ô Ò º ËÓ Ø X, <, >) ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ö Ð ÓÙ ÓÑÔÐ Ü ÑÙÒ ³ÙÒ ÔÖÓ¹ Ù Ø Ð Ö Ø Ó Ø x y Ø z Ú Ø ÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ Xº ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ 1/2 < z, x > < x, y > x ) x 1/2 < y, z > º y z ÕÙ ÕÙ ¾º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ºÂº ËÑ Ò ÐØ ÓÑÑ Ð È Ý ¹ º ÅÓÒØÖ Ö Ð Ð Ø Ù Ú ÒØ Ø Ò Ö Ð Ö Ö ÙÐØ Ø º µ tan 2 36 + tan 2 72 = 10 µ tan 4 36 + tan 4 72 = 90 µ tan 6 36 + tan 6 72 = 850 µ tan 8 36 + tan 8 72 = 8050º
º ÍË º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ËÓØØ ÖÓÛÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ù ÙÖÒ ÅÓÒØ ÓÑ ÖÝ Ä ËÓ Ø a = BC b = AC c = AB Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ÓØ Ù ØÖ Ò Ð ABC ÙØ ÙÖ Ö Ô Ø Ú h a h b h c Ù ÓÑÑ Ø A B Cº ÅÓÒ¹ ØÖ Ö ÕÙ 8 h 2 a h b + h c ) + 16h a h b h c 3 3 a 2 b + c) + 6 3abc º ÕÙ ÕÙ ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ê Ö ÀÓ ÒÓ ÓÙÚ ÖÒ Ñ ÒØ Ù Ò ÇØØ Û Çƺ ËÓ Ø a b c Ø d ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÒ Ò Ø Ú a + b + c + d = 1º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ a 3 b + c + b3 c + d + c3 d + a + d3 a + b 1 8 º ÈÖÓÔÓ Ý Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò º ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ñ Ò Ñ Ð x 2 +y 2 +z 2 ÔÓÙÖ ØÓÙ Ð ØÖ ÔÐ Ø x, y, z) ÒÓÑ Ö Ö Ð Ø Ð ÕÙ 13x 2 + 40y 2 + 45z 2 36xy + 12yz + 24xz 2009 Ø Ö Ø Ö Ö ØÓÙ Ð ØÖ ÔÐ Ø ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ø ØØ Òغ ÈÖÓÔÓ Ô Ö Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò º Ø ÒØ ÓÒÒ ÙÒ ØÖ Ò Ð ABC Ø Γ ÓÒ ÖÐ ÖÓÒ Ö Ø Ó Ø Γ ÙÒ ÖÐ ÒØÖ ÙÖ Ð ÖÓ Ø BC Ø ÓÙÔ ÒØ Γ Ò D Ø D º ÒÓÒ Ô Ö Q Ø Q Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ D Ø D ÙÖ Ð ÖÓ Ø AB Ø Ó Ø R Ø R Ð ÙÖ ÔÖÓ Ø ÓÒ ÙÖ AC ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ³ ÙÙÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ò Ó Ò Ú ÙÒ ÓÑÑ Ø Ù ØÖ Ò Ð º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Γ Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Γ ÐÓÖ BQ = CR º Ä Ö ÔÖÓÕÙ BQ CR ع ÐÐ Ú Ð ÈÖÓÔÓ Ô Ö Å Ð Ø ÐÐ ÊÓÙ Ò Ö Ò º ) n/2 3) ËÓ Ø A n = j j=0 2j + 1 a j Ó Ù a j = n k k + 1 2j Ø n Ø ÙÒ ÒØ Ö k=2j 2 k ÔÓ Ø º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ A 1 + A 2 + + A n n Ó Ù Ð³ÓÒ Ð Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ò Ò Ø nº
ÈÖÓÔÓ Ý ÖÙ Ë ÛÝ Ö ÍÒ Ú Ö Ø Å ÑÓÖ Ð Ì ÖÖ ¹Æ ÙÚ Ëغ ÂÓ Ò³ Æĺ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ò Ð Ù ÒØÖ ³ÙÒ Ø ÙÖ Ø Ð ÕÙ Ð ÖÖ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÙÒ ÓÑÑ Ø ÙÖ ÕÙ Ö ÝÓÒ Ù Ø ÙÖ Ø ÙÜ ÓÑÑ Ø ÙÖ Ð ÖÓÒ Ö Ò ÔÓ ÙÒ Ö Ð Ù ÖÖ Ù Ö ÝÓÒ Ù Ø ÙÖº ÈÖÓÔÓ Ô Ö Ö Ñ Ê ÅÙÑ ÁÒ º ËÓ Ø a b c Ø p q r ÒÓÑ Ö Ö Ð ÔÓ Ø º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ q 2 pr Ø r 2 pq ÐÓÖ a pa + qb + rc + ÉÙ Ò Ý ¹Ø¹ Ð Ð Ø b pb + qc + ra + c pc + qa + rb 3 p + q + r º ¼º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ÌÖ Ò ÉÙ Ò ÀÙÒ ØÙ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Æ Ø ÓÒ Ð À ÒÓ Î ØÒ Ñº ËÓ Ø O Ð ÒØÖ Ù ÖÐ ÖÓÒ Ö Ø Ù ØÖ Ò Ð ABC Ö ÝÓÒ R Ø H ÓÒ ÓÖØ Ó ÒØÖ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ 3R 2 OH HA + HB + HC 3R + OH ÈÖÓÔÓ Ý ÌÖ Ò ÉÙ Ò ÀÙÒ ØÙ ÒØ ÍÒ Ú Ö Ø Æ Ø ÓÒ Ð À ÒÓ Î ØÒ Ñº ËÓ Ø I Ð ÒØÖ Ù ÖÐ ÖÓÒ Ö Ø Ù ØÖ Ò Ð ABC Ø Ó Ø A B Ø C Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö ÝÓÒ AI BI Ø CI Ú Ð ÓØ Ö Ô Ø Ù ØÖ Ò Ð º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ IA + IB + IC 2IA + IB + IC ) º ¾º ÈÖÓÔÓ Ô Ö ËÓØ Ö ÄÓÙÖ Ð Ó Ö º ËÓ Ø x y Ø z ØÖÓ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÔÓ Ø Ø Ð ÕÙ x 3 + z 3 y 3) y 3 + x 3 z 3) z 3 + y 3 x 3) > 0 º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ x 3 + y 3 + z 3 + 3xyz ) x 3 + y 3 z 3 + xyz ) ÕÙ 3 3 x 4 x 2 + yz) 4 º ÕÙ