Ð Úºº ÔÖÒÒÒØ ÚÐÙÖ Ò N гÙØÐ ØÓÒ ÓÒØÓÒ ÄÓÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÙØ ÔÖÓÐØ Ø Ð ØÒÕÙ Ó ÒÖØÖ ÓÙØÐ ÚÓÖ Ò Ð³ØÙ ØÖÙØÓÒ ÖØ º Ä ÚÒÒÒØ ÒÖØÖ ³ÙÒ Úºº X ÚÐÙÖ Ò N Ø Ò ÔÖ ÓÒØÓÒ Ö ÒØÖ Ò z ÓÒØÒØ ØÓÙØ Ð ÒÓÖÑØÓÒ ÙÖ Ð Úºº ØØ ÐÐ Ø ÔÖ ÐÐÙÖ Ð³ ÔÖÒ z X ÔÙ ÕÙ Xº Ð ÙØ ÒÓÙ ÖØÖÓÒ Ð³Ò X G Ò X ÐÓÖ ÕÙ³Ð Ò³Ý Ô (z) ÓÒÙ ÓÒº ÒÖ ÔÙØ ÓØÒÖ Ð³ ÔÖÒ Ø Ð ÚÖÒ ³ÙÒ Úºº ÓÒØÓÒ ÒÖØÖ ÔÖ ÔÖØÖ ÑÓØ ÕÙ ÔÙÚÒØ ØÖ ÓØÒÙ ÔÖ ØÖ Ø Ð Ä³Ò ÑÐ ÐÒ L ÒØÖÓÙØ ÔÖÑÑÒØ ÑÑ ÔÙØ ÑÙÒÖ Ω = L ³ÙÒ ØÖÙØÓÒ ÔÖÓÐØ Ò Ó¹ ÕÙ ÑÓØ L Ð ÔÖÓÐØ ÓÒ ØÖº ÈÖ ÜÑÔÐ ÒØ ÍÒ ÔÔÐØÓÒ Ð ØÓÖ ÐÒ µ ËÓØ ÜÑÔк A = {a, b, c, ÙÒ ÐÔØ ÐØØÖ º ÔÔÐÓÒ d} Ð³Ò ÑÐ ÑÓØ L G X (z) = k=1 3 k 1 4 k zk = z 4 3z. Ä ÓÒØÓÒ ÒÖØÖ X Ø ÓÒ ÒÖ ÔÖ Ð Ñ ÙÚÒØ ÈÖÓÔÖØ ÐÑÒØÖ L={}*d G(1) = 1. ¾ ÑÒØÒÒØ ØÖ Ù ÚÑÒØ ÙÒ ÐØØÖ Ò A ËÙÔÔÓ ÓÒ 1 ÕÙ³ÓÒ ÑÑ ÔÖÓÐØ 4 Ù ÕÙ³ ÕÙ³ÓÒ ÓØÒÒ Ð ÐØØÖ dº Ð Ú ÓÒØÓÒ ÒÖØÖ G X (z) = k 0 Pr(X = k)z k. L = {w A w ØÖÑÒ ÔÖ ÙÒ ÓÙÖÖÒ d Ò ÓÒØÒØ Ô ³ÙØÖ ÓÙÖÖÒ d} Ø = {a, b, c} d G X (z) = Pr(ω)z X(ω). ω Ω Pr(ababad) = 1 4.1 4.1 4.1 4.1 4.1 4 = 1 4 6º X Ð Úºº ÓÒØ ÕÙ ÑÓØ L ÐÓÒÙÙÖº ÁÐ Ø Ð ËÓØ ÚÓÖ ÕÙ Pr(X = k) = 3k 1 4 k º ½
ËÓÒØ X Ø Y ÙÜ Úºº ÒÔÒÒØ º Ä ÓÒØÓÒ Ð Úºº X + Y Ø Ð ÔÖÓÙØ ÓÒØÓÒ ÒÖØÖ ÒÖØÖ ÐØØÖ dº Ä Ñ ¹ ÓÙ ÒÖ Ð ÐÒ ÑÓØ ÕÙ Ð ØÖ ØÖ ÔÙÚÒØ ÔÖÓÔÖØ ÖØÖ ØÕÙ ÓÒØÓÒ ÒÖØÖ Ø Ð ÙÚÒØ ÍÒ Ø ØÖ ÙØÐ Ò ÐÙÐ ÔÖÓÐØ ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ Ö Ð ÕÙ X Ø Y G X+Y (z) = G X (z)g Y (z). ÓÒØÒÙ Ð ØÖ ÐØØÖ Ò Ð³ÐÔØ {a, b, c, Ø Ð³ÓÒ ³ÖÖØ ØØ Ó ÔÖ Ð ÓÒ ÓÙÖÖÒ d} ÜÑÔк EX = G (1) VX = G (1) + G (1) [G (1)] 2. ÚÓÒ Ò ÚÖØÙ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÔÖÒØ ÆÓÙ EX = G (1) = 4 VX = G (1) + G (1) [G (1)] 2 = 24 + 4 4 2 = 12 ÊÔÖÒÓÒ Ù ÐÒ L ÑÙÒ Ð ØÖÙØÓÒ ÜÑÔк Ð ØÓÙØ ÑÓØ ÐÓÒÙÙÖ k 1 ÙÒ ÔÖÓÐØ Ð ÕÙ kº Ó 4 ÚÖ ÐÑÒØ ÕÙ G(1) = 1. ÍÒ ÙØÖ ÔÖÓÔÖØ ÑÔÓÖØÒØ ÐÙРг ÔÖÒ Ø Ð ÚÖÒ Ò ÖÚÒØ Gº G (z) = d dz G(z) = 4 (4 3z) 2 Ø G (z) = 4.2.3.(4 3z) (4 3z) 4 = 24 (4 3z) 3. ÓÑÑ Úºº ÒÔÒÒØ º
ÐÐÙÖ ÓÒ w = u + v Ó X = u Ø Y = v ÓÒØ ÙÜ Úºº ÈÖ Ò ÚÖØÙ Ð ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÔÖÒØ Ð ÐÓÒÙÙÖ ÒÔÒÒØ º ÔÙØ ÓØÒÖ Ð³ ÔÖÒ Ø Ð ÚÖÒ S Ò ÖÚÒØ G S (z) Ð ÑØÓ Ð ÔÐÙ ÑÔÐ ÓÒ Ø Ö Ð ÓÑÑ Ô¹ Ñ ÒÓÑк ØÙ n ÔÖÙÚ ÒØÕÙ Ø ÒÔÒÒØ ÄÓ ÔÖÓÐØ Ù Ò ÙÒ ØÒØ ÙÔÔÓ Ð p Ø Ð ³ q = 1 pº ÈÓ ÓÒ X = Ð ÒÓÑÖ ØÓØÐ Ù ÓØÒÙ ÐÐ Ð ÔÖÙÚ º X Ø ÙÒ Úºº ÕÙ ÔÙØ ÔÖÒÖ Ð ÚÐÙÖ k Ò Ò Ø ÐÖ ÕÙ³ÓÒ ÔÙØ ÓÒ ÖÖ Ð Úºº ÒÓÑÐ X ÓÑÑ Ð ÓÑÑ ÁÐ n Úºº ÖÒÓÙÐÐ ÒØÕÙ Ø ÒÔÒÒØ ÑÑ ÔÖÑØÖ ØØ ÐÓ ÒØÖÚÒØ ÓÙÚÒØ ÓÒ ÑÔÐØ ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ÍØÐ ØÓÒº ØÖØÖ ÙÒ ÔÖÓÐØ ÓÑÑ ÙÒ ÔÖÒº Ò Ø ³ Ø Ð ÚÙØ Ð Úºº ÕÙ Ø Ð ÓÒØÓÒ ÒØÖ ³ÙÒ ÚÒÑÒØ A ÐÓ p ÔÖÓÐØ S = Ù ØÖ X Ð ÒÖØÖ + Y L2 ÑÓØ Ò ÑØ ÓÒØÓÒ [ ] z 2 z 2 G S (z) = G X (z)g Y (z) = = 4 3z (4 3z) 2. [0, Ú Ð ÔÖÓÐØ Ð³ÒØÖÚÐÐ n] p k = Pr(X = k) = ( n k ( ) n k = C k n = n! k!(n k)! ºµ ) p k q n k. ÊÔÔÐ Ø ÐÓÖ ÕÙ X ÙØ ÙÒ ÐÓ ÒÓÑÐ ÔÖÑØÖ n Ø pº Ø Ð ÓÑÑ ÚÖÒ ÖÒ ES = 4 + 4 = 8 VS = 12 + 12 = 24. pº ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ EX = np VX = npq Ø σx = npqº ½½ d d ÉÙÐÕÙ ØÖÙØÓÒ ÖØ ÖÒÓÙÐк Ä Úºº X ÔÖÒ ÙÜ ÚÐÙÖ ½ Ú Ð ÔÖÓÐØ ÄÓ ÓÙ ¼ Ú Ð ÔÖÓÐØ p ÓÒ ÙÔÔÓ ÕÙ q p, q Ø [0,1] p + q 1º = L2={}*d{}*d ÚÓÒ ÆÓÙ EX = p VX = pq σx = pq L2 = LL ÆÓÙ ÚÓÒ ØÓÙØ ÑÓØ w Ò L2 Ø Ð ÓÒØÒØÓÒ ³ÙÒ ÑÓØ u L Ø ÙÒ ÑÓØ Ø v Lº ÙÜ ÖÒÖ ÑÓØ ÓÒØ ØÖ ÒÔÒÑÑÒØ ÙÒ Ò Pr(A) = E½ A. Lº ½¼
ÓÑØÖÕÙº ËÓØ p > 0 Ð ÔÖÓÐØ Ù Ò ÙÒ ÔÖÙÚº ÄÓ q = 1 pº ÆÓÙ ÖÔØÓÒ Ð ÑÑ ÔÖÙÚ ÒÔÒÑÑÒØ ÈÓ ÓÒ Ð³ÓØÒØÓÒ ³ÙÒ ÔÖÑÖ Ù º ËÓØ X Ð Úºº ÒÒØ Ð Ù ÕÙ³ ³ÔÖÙÚ ØÙ º ³ Ø ÙÒ Úºº ÕÙ ÔÙØ ÔÖÒÖ Ð ÚÐÙÖ ÒÓÑÖ Ø ÐÓÖ ÕÙ X ÙØ ÙÒ ÐÓ ÓÑØÖÕÙ ÔÖÑØÖ pº ÓÒ ÔÖÒ Ø ÚÖÒ ÓØ ÔÖ ÙÒ ÑØÓ ÖØ ÓØ ÐÙÐ ÈÓ ÓÒº ØØ ØÖÙØÓÒ ÒØÖÚÒØ Ò Ð³ØÙ Ù ÒÓÑÖ ÄÓ ÒØÖÚÒÒØ Ò ÙÒ ÒØÖÚÐÐ ØÑÔ Ð ³Ø¹ ³ÚÒÑÒØ ÐÐ ÔÖÓÔÓ Ù ÑÓÐ ØØ ØÕÙ ÔÓÙÖ ÚÒ¹ ØÒصº Ø ÖÖ ÐÓÖ ÕÙ³ÙÒ ÖÒ ÒÓÑÖ Ø ØÙº Ä ÑÒØ ÐØÓÖ X ÙØ ÙÒ ÐÓ ÈÓ ÓÒ ÔÖÑÖ λ X ÔÙØ ÚÖÐ Ð ÚÐÙÖ k N Ú Ð ÔÖÓÐØ ÔÖÒÖ Ø Ð ÚÖÒ ³ÙÒ ØÖÙØÓÒ ÈÓ ÓÒ ÐÙÐÒØ Ä³ ÔÖÒ Ø ÓÒ ÑÒØ ØÖÙØÓÒ ÈÓ ÓÒ ÔÓÙÖ ÖÒØ ÚÐÙÖ λ ØÖÙØÓÒ ÓÑØÖÕÙ ØÖÙØÓÒ ÒÓÑÐ ½ ½ k N Ú Ð ÔÖÓÐØ p k = Pr(X = k) = q k 1 p. p k = Pr(X = k) = λk k! e λ. ÑÓÒØÖ ÐÑÒØ ÕÙ Ð ÓÑÑ ÔÖÓÐØ ÚÙØ ½º ÖÚÒØ ÓÒØÓÒ Ò ÒÖØÖ EX = 1 p VX = q p 2 q σx = p EX = λ VX = λ σx = λ ½¾ ½
ÔÖÓÔÖØ ÑÔÓÖØÒØ Ð ÐÓ ÈÓ ÓÒ ÔÓÖØ ÙÖ Ð ÓÑÑ ÍÒ Ä ÓÑÑ ÙÜ Úºº ÈÓ ÓÒ ÒÔÒÒØ Ô¹ ÑÓÐ ØÓÒ ÔÖ Ð ÐÓ ÈÓ ÓÒ Ø Ù Ø ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ ØÙ Ð ÍÒ ³ÙÒ ÚÒÑÒØ Ð ÔÖÓÐØ Ò ÙÒ ÔÓÔÙÐØÓÒ ÓÙÖÖÒ ÖÑØÖ λ Ø µ Ø ÙÒ Úºº ÈÓ ÓÒ Ø ÔÖÑØÖ λ + µº ÖÒ ØÐÐ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ð ÐÓ ÒÓÑÐ ÔÖ Ð ÐÓ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ X ÈÓ ÓÒºµ n ÙØ Úºº ÐÓ ÒÓÑÐ ÔÖÑØÖ p ÙÒ n Ø nº ÙÔÔÓ ÕÙ lim n np n = λ > 0º ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ k N lim n Pr(X n = k) = e λλk k!. ½