coursalgebre.dvi

Ð Ö Ô ØÖ ¾ Ê Ú ÓÒ Å ØÖ ¾º½ ¾º½º½ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ÍÒ Ñ ØÖ Ø ÐÐ n m n Ð Ò Ø m ÓÐÓÒÒ µ Ó ÒØ Ò K Ø Ð ÓÒÒ ³ÙÒ Ñ ÐÐ A = (a i,j ) 1 i n ³ Ð Ñ ÒØ Kº ij Ò Ñ Ð Ñ ØÖ Ø ÐÐ n m 1 j m ÓÒ Ø Ù ØÝÔ (n, m)µ Ó ÒØ Ò K Ø ÒÓØ M n,m (K)º Ë n = m ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ñ ØÖ Ø ÖÖ Ø ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ M n (K) г Ò Ñ Ð Ñ ØÖ ÖÖ Ø ÐÐ nº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º¾ ij Ò Ñ Ð M n,m (K) Ø ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð ÓÑÓÖÔ K nm º ¾º½º¾ ËÓÑÑ Ø ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ ÇÒ Ô ÙØ ÓÑÑ Ö ÙÜ Ñ ØÖ Ñ Ñ Ø ÐÐ Ø Ð ÙÖ ÓÑÑ Ø Ò Ô Ö Ð ÓÑÑ Ó ÒØ Ô Ö Ó ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾º½º ËÓ Ø m, n N ËÓ Ø A = (a i,j ) 1 i m A + B Ø Ð Ñ ØÖ A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i m. Ø B = (b i,j ) 1 i m Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ð³ Ø ÓÒ K ØÖ Ò Ö ÒØ ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÙÜ Ñ ØÖ M n,p (K)º ÐÓÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º Ä ÓÑÑ Ò Ò ÙÖ M m,n (K) Ø Ó Ø Ú ÓÑÑÙØ Ø Ú Ñ Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ Ð Ñ ØÖ (0) 1 i m µ Ø ØÓÙØ Ñ ØÖ Ñ Ø ÙÒ ÓÔÔÓ Ó Ø ÒÙ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð³ÓÔÔÓ Ò K ØÓÙ Ó ÒØ º x 1 Ò Ø ÓÒ ¾º½º ËÓ Ø M M n,m (K) Ø X M m,1 (K)º ÇÒ ÒÓØ X = º Ð ÓÓÖ ÓÒÒ x m X Ø M = ( C 1 C m ) Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ò ÓÐÓÒÒ M Ò ÔÓÙÖ ØÓÙØ i [1, m]

½ Ð Ö Ô ØÖ ¾º Ê Ú ÓÒ Å ØÖ C i M n,1 Ø Ð i¹ Ñ ÓÐÓÒÒ M µº ÐÓÖ M X = x 1 C 1 + + x m C m = m x i C i. Ò Ø ÓÒ ¾º½º ËÓ Ø A M m,n (K) Ø B M n,p (K)º ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø AB Ø Ð Ñ ØÖ M m,p (K) ÓÒØ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÐÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ô Ö i=1 AB = ( A B 1 A B p ), Ó B 1,..., B p ÓÒØ Ð ÓÐÓÒÒ Ð Ñ ØÖ Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º ËÓ Ø A = (a i,j ) 1 i m AB = (c i,k ) 1 i m 1 k p M m,p (K) Ð Ñ ØÖ ÔÖÓ Ù Øº ÐÓÖ M m,n (K) Ø B = (b j,k ) 1 k p M n,p (K)º ËÓ Ø n i [1, m], k [1, p], c i,k = a i,j b j,k = L i C k, j=1 Ó L i Ø Ð i¹ Ñ Ð Ò A Ø C k Ð k¹ Ñ ÓÐÓÒÒ B k º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ú Ö ÓÒ Ù Ð Ò Ø ÓÒ ¾º½º Ø ¾º½º Ò ÒÚ Ö ÒØ Ð ÖÐ Ð Ò Ø ÓÐÓÒÒ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º ½º ËÓ Ø A M 1,n (K) A = ( x 1... x n ) Ø B M n,p (K) ÓÒØ Ð Ð Ò ÓÒØ L 1,...,L n º ÐÓÖ AB Ø Ð Ñ ØÖ Ð Ò Ó Ø ÒÙ Ô Ö Ð ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ AB = x 1 L 1 + + x n L n = n x i L i. ¾º ËÓ Ø A M m,n (K) ÓÒØ Ð Ð Ò ÓÒØ A 1,..., A m Ø B M n,p (K)º ÐÓÖ AB Ø Ð Ñ ØÖ ÓÒØ Ð Ð Ò ÓÒØ A 1 B,...,A m Bº i=1 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º ÈÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Øº ËÓ Ø m, n, p, q N ½º Ó Ø Ú Ø M M m,n (K), N M n,p (K), P M p,q (K), (MN)P = M(NP). ¾º ØÖ ÙØ Ú Ø M M m,n (K), (N 1, N 2 ) M n,p (K) 2, M(N 1 + N 2 ) = MN 1 + MN 2 (M 1, M 2 ) M m,n (K) 2, N M n,p (K), (M 1 + M 2 )N = M 1 N + M 2 N 1 0 0 º 0 ºº º ºº º ºº º Æ ÙØÖ ËÓ Ø I n = Ð Ñ ØÖ ÖÖ Ø ÐÐ n ÓÒ Ø ØÙ 1 ÙÖ Ð º º ºº º ºº 0 0 0 1 ÓÒ Ð Ø 0 Ô ÖØÓÙØ ÐÐ ÙÖ º ÐÓÖ M M m,n (K), MI n = M Ø N M n,p (K), I n N = N. Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö I n Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙØÖ ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ù Ø Ö ØÖ ÒØ M n (K)º

¾º½ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ½ ¾º½º ÁÒÚ Ö ³ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ ¾º½º½¼ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ ÍÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð A Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÖÖ ÓÒ Ø ÐÐ n Ø ÐÐ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ B M n (K) Ú Ö ÒØ AB = BA = I n º Ä Ñ ØÖ B Ø ÔÔ Ð ÒÚ Ö A Ø ÒÓØ B = A 1 º Ë A Ø Ð Ñ ØÖ ³ÙÒ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ f Ò Ð ÒÓÒ ÕÙ ÐÓÖ A 1 Ø Ð Ñ ØÖ f 1 º ÆÓØ Ø ÓÒ ¾º½º½½ ij Ò Ñ Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð M n (K) Ø ÒÓØ GL n (K) Ø Ø ÔÔ Ð n¹ Ñ ÖÓÙÔ Ð Ò Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º½¾ ËÓ Ø A Ø B ÙÜ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð M n (K)º ÐÓÖ AB Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ø B 1 A 1 º Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½ ÍÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ ÓÙ ÙÔ Ö ÙÖ µ Ø ÒÚ Ö Ð ØÓÙ Ó ÒØ ÓÒ ÙÜ ÓÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ º ÐÙÐ ÔÖ Ø Õ٠г ÒÚ Ö ½º ÈÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó Ö ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ý Ø Ñ Ä³ ÕÙ Ø ÓÒ AX = Y ÕÙ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒØ Ð ÒÓÒÒÙ ÓÒØ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ X Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ A 1 Y = X ÕÙ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒØ Ð ÒÓÒÒÙ ÓÒØ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Y º Ò Ð ÔÖ Ò Ô Ù ÐÙÐ A 1 Ø Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ AX = Y ÕÙ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ð³ ÒÓÒÒÙ Y º Ä Ó ÒØ Ý Ø Ñ ÓÒØ Ð Ó ÒØ Ð Ñ ØÖ A 1 º ¾º ÙÜ Ñ Ñ Ø Ó Ô ÚÓØ Ù ÔÖ Ú Ð Ö ÔÓÙÖ ÐÙÐ ÓÒÖ Ø Ø ÐÐ Ø Ó ÒØ ÓÒÒ ÜÔÐ Ø Ñ Òص Ù ÔÓÙÖ Ñ ØÖ ÔÖ ÒØ ÒØ ÝÑ ØÖ Ô ÖØ Ù¹ Ð Ö ÔÐÙ ÜÔÐÓ Ø Ð ÙÖ ÙÒ Ý Ø Ñ º ü г ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÙÖ Ð Ð Ò Ö Ñ Ò Ö Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÕÙ ÓÙÖÒ Ø ÙÒ ÆË ³ ÒÚ Ö Ð Ø ØÓÙ Ð Ó ÒØ ÓÒ ÙÜ ÒÓÒ ÒÙÐ µ Ë Ö Ñ Ò Ö Ò Ù Ø Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø Ò Ö Ô ÖØ ÒØ Ð Ò Ø Ò Ö ÑÓÒØ Òغ ØÙ Ö Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ð Ñ Ñ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö µ ÙÖ Ð Ñ ØÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØ Ù ÓÙØ Ð Ñ ØÖ A 1 º º Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒÚ Ö Ñ ØÖ 2 2 ( a Ì ÓÖ Ñ ¾º½º½ ËÓ Ø M = c ad bc 0 Ø M 1 = ) b M 2 (K)º ÐÓÖ M Ø ÒÚ Ö Ð Ø ÙÐ Ñ ÒØ d ( 1 d ad bc c ) b. a Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ Ä ÕÙ ÒØ Ø ad bc Ø ÔÔ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ M Ø Ø ÒÓØ detm a b ÓÙ c d º

½ Ð Ö Ô ØÖ ¾º Ê Ú ÓÒ Å ØÖ ¾º½º ÌÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ËÓ Ø A = (a i,j ) 1 i m M m,n (K)º ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ ØÖ Ò ÔÓ A ÒÓØ t A Ø Ð Ñ ØÖ M n,m K Ò Ô Ö t A = (b j,i ), Ó i [1, m], j [1, n], b j,i = a i,j. 1 i m ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º½ ËÓ Ø A M m,n (K) Ø B M n,p (K)º ÐÓÖ t (MN) = t N t M. Ò Ø ÓÒ ¾º½º½ ËÓ Ø A M n (K)º ½º ÇÒ Ø ÕÙ A Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ A = t Aº ¾º ÇÒ Ø ÕÙ A Ø ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ A = t Aº ¾º½º ÈÖÓ Ù Ø Ô Ö ÐÓ ÇÒ Ô ÙØ Ö ÔÖÓ Ù Ø Ñ ØÖ Ð Ò Ö ÖÓÙÔ ÒØ Ð Ó ÒØ Ô Ö ÓÙ ¹Ñ ØÖ ÓÒ Ø ÓÒ M 1 0 0 ³ ÚÓ Ö ÓÑÔ Ø Ð Ø Ø ÐÐ º Ò Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö M = º 0 º º 0 Ð M i Ø ÒØ 0 0 M k Ñ ØÖ ÖÖ ÐÓÖ M1 n 0 0 M n = º 0 º º 0. 0 0 Mk n ¾º¾ ¾º¾º½ Ö ØÙÖ ³ÙÒ Ä Ò ÙÒ Ò Ø ÓÒ Ø ÒÓØ Ø ÓÒ ËÓ Ø E Ø F ÙÜ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ ¾º¾º½ ËÓ Ø C = (c 1,..., c n ) ÙÒ F Ø X F º ÐÓÖ Ð Ü Ø ³ÙÒ ÕÙ Ð Ö x 1,...,x n Ø Ð ÕÙ X = x 1 c 1 + + x n c n º Ä Ñ ØÖ ÓÐÓÒÒ X Ò Ð C Ø ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ ÓÐÓÒÒ ÓÒ Ø ØÙ Ð Ö x 1 [X] C = º ÒÓØ Ø ÓÒ Ô Ö ÓÒÒ ÐÐ µ. x n Ò Ø ÓÒ ¾º¾º¾ ËÓÙ Ð Ñ Ñ ÝÔÓØ Ó Ø (X 1,..., X m ) ÙÒ Ñ ÐÐ Ú Ø ÙÖ F º ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ ØØ Ñ ÐÐ Ò Ð C Ø [X 1,..., X m ] C = ( [X 1 ] C [X m ] C ). Ò Ð ³ Ø Ð Ñ ØÖ ÓÒØ Ð i¹ Ñ ÓÐÓÒÒ ÓÑÔÓÖØ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ò Ð C Ù Ú Ø ÙÖ X i º

¾º¾ Ö ØÙÖ ³ÙÒ Ä Ò ÙÒ ½ Ò Ø ÓÒ ¾º¾º ËÓ Ø f L(E, F) Ø Ó Ø B = (b 1,...,b m ) ÙÒ E Ø C = (c 1,..., c n ) ÙÒ F º ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ f Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÙÜ B Ø C Ø Ð Ñ ØÖ [f] B,C Ð Ñ ÐÐ (f(b 1 ),..., f(b m )) Ò Ð C [f] B,C = [f(b 1 ),..., f(b m )] C = ( [f(b 1 )] C [f(b m )] C ). Ò Ð ³ Ø Ð Ñ ØÖ ØÝÔ (n, m) ÓÒØ Ð i¹ Ñ ÓÐÓÒÒ ÓÒÒ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ Ù Ú Ø ÙÖ f(b i ) Ò Ð Cº ÇÒ ØÖÓÙÚ ÓÙÚ ÒØ Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Mat B,C (f)º Ê Ñ ÖÕÙ ¾º¾º Ë ÓÒ ÔÖ Ò E = R m F = R n Ø ÔÓÙÖ B Ø C Ð ÒÓÒ ÕÙ Ô ÓÒ ÒÓØ ÑÔÐ Ñ ÒØ [f] b.c. Ø ÓÒ Ø ÕÙ³ Ð ³ Ø Ð Ñ ØÖ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ó f º ÁÒÚ Ö Ñ ÒØ A Ø ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ Mn, m(r) Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒ ÕÙ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö f R m Ò R n ÓÒØ A Ø Ð Ñ ØÖ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ó º ÇÒ Ø ÕÙ f Ø Ð³ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÒÓÒ ÕÙ Ñ ÒØ Ó Ð Ñ ØÖ Aº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º ËÓÙ Ð ÝÔÓØ Ð Ò Ø ÓÒ X E, [f(x)] C = [f] B,C [X] B. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º Ä ÓÖÑÙÐ Ñ ÕÙ µ ËÓ Ø E F Ø G ØÖÓ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÙÒ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ B C Ø Dº ËÓ Ø f L(E, F) Ø g L(F, G)º ÐÓÖ [g f] B,D = [g] C,D [f] B,C. ¾º¾º¾ Ò Ñ ÒØ Ò Ø ÓÒ ¾º¾º ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ø B 1 Ø B 2 ÙÜ Eº ÐÓÖ Ð Ñ ØÖ Ô Ð B 1 Ð B 2 Ø Ð Ñ ØÖ [B 1 B 2 ] = Mat(B 1, B 2 ) = [id] B2,B 1. Ò Ð i¹ Ñ ÓÐÓÒÒ ØØ Ñ ØÖ Ø ÓÒ Ø ØÙ ÓÓÖ ÓÒÒ Ù i¹ Ñ Ú Ø ÙÖ Ð B 2 Ò Ð B 1 º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º ÌÓÙØ Ñ ØÖ Ô [B 1 B 2 ] Ø ÒÚ Ö Ð º ËÓÒ ÒÚ Ö Ø Ð Ñ ØÖ Ô [B 2 B 1 ] ÈÙ ÕÙ [X] B1 = [id] B2,B 1 [X] B2 ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ð³ Ø ³ÙÒ Ò Ñ ÒØ ÙÖ Ð ÓÓÖ ÓÒÒ ³ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º ËÓ Ø X Eº ÐÓÖ [X] B1 = [B 1 B 2 ] [X] B2 º Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½¼ ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ µ ËÓ Ø E ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÙÒ ÙÜ B 1 Ø B 2 Ø F ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÙÒ ÙÜ C 1 Ø C 2 º ËÓ Ø f L(E, F)º ÐÓÖ [f] B2,C 2 = [C 2 C 1 ] [f] B1,C 1 [B 1 B 2 ]

½ Ð Ö Ô ØÖ ¾º Ê Ú ÓÒ Å ØÖ ¾º¾º Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ð ³ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ f ÓÒ ÜÔÖ Ñ ÓÙÚ ÒØ Ñ ØÖ Ò Ð Ñ Ñ Ù Ô ÖØ Ø Ð³ ÖÖ Ú º ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ [f] B Ù Ð Ù [f] B,B º ÇÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ Ð ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÒØ Ù Ú ÒØ Ì ÓÖ Ñ ¾º¾º½½ ËÓ Ø f L(E) E Ø ÒØ ÙÒ Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÙÒ ÙÜ B 1 Ø B 2 º ËÓ Ø P = [B 1 B 2 ] Ð Ñ ØÖ Ô Ð B 1 Ð B 2 º ÐÓÖ [f] B2 = P 1 [f] B1 P. Ò Ø ÓÒ ¾º¾º½¾ ÇÒ Ø ÕÙ ÙÜ Ñ ØÖ A, B M n (K) ÓÒØ Ñ Ð Ð ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð P GL n (K) Ø ÐÐ ÕÙ B = P 1 AP º Ò Ð Ñ ØÖ ³ÙÒ Ò ÓÖÑÓÖÔ Ñ Ò Ö ÒØ E ÓÒØ Ñ Ð Ð º ¾º Ê Ò ³ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ ¾º º½ ËÓ Ø M M n,m (K) Ø M 1,..., M m M n,1 (K) ÓÐÓÒÒ º ÐÓÖ Ð Ö Ò Ð Ñ ØÖ M Ø Ð Ö Ò Ð Ñ ÐÐ (M 1,..., M k ) Ú Ø ÙÖ K n º ÁÐ Ø ÒÓØ rg M ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º¾ ËÓ Ø M M n,m (K)º ÐÓÖ rg M min(n, m)º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º ËÓ Ø M M n (K) Ø X 1,..., X n Ð ÓÐÓÒÒ Mº ÐÓÖ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ µ M Ø ÒÚ Ö Ð µ rg M = n µ (X 1,..., X n ) Ø ÙÒ K n º Ì ÓÖ Ñ ¾º º ËÓ Ø E Ø F Ô Ú ØÓÖ Ð Ñ Ò ÓÒ Ò B Ø C E Ø F º ÐÓÖ Ð Ö Ò f Ø Ð Ù Ö Ò Ð Ñ ØÖ f Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÙÜ B Ø C rg f = rg[f] B,C. Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÙØ Ð Ñ ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð Ñ Ñ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ó Ü Ö ÒØ ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ö Ò º ÓÖÓÐÐ Ö ¾º º ËÓ Ø M M n,m (K) Ø P GL n (K) Q GL m (K) Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð º ÐÓÖ rg(pm) = rg M = rg(mq).