ÔØÖ ¾ Ùص ÔØ ÐÓÖØÑÕÙ Ð ÑØÓ ÐÑÒØ Ò ÖÒ ØÔ ³ÙÒ Ö ÓÐÙØÓÒ ÒÙÑÖÕÙ ÔÖ ÐÑÒØ Ò ÅÒØÒÒØ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÖØ Ð ÔÖÒÔ ÒÖÐ Ð ÑØÓ ÐÑÒØ Ò P 1 ¹ ÄÖÒ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÖÒØÖÖ ÙÒ ÔÙ ÔÐÙ Ò Ð ØÐ Ø ÖÖ ÔÐÙ ÔÖ ÑÒØ Ð ÐÓÖØÑ Ò Ö Ð³ÑÔÐÑÒØØÓÒ ÚÒØ Ð ÓÑÑÒÓÒ ÔÖ ÓÒÒÖ Ð Ñ ÒÖÐ ³ÙÒ ÑÙÐØÓÒ ÔÖ ÐÑÒØ Ò ØÔ ½ ÖÔØÓÒ Ð ÓÑØÖ ÇÒ ÔÖÐ ÓÒÔØÓÒ Ø ÔÖ ÇÖÒØÙÖ Çµ ÓÙ Ò ÒÐ ÓÑÔÙØÖ Ò µ ØÔ ¾ ÒÖØÓÒ Ù ÑÐÐ ØØ ØÔ ÔÙØ ØÖ ÔÐÙ ÓÙÖÑÒ Ò ÐÙÐ ÓÙ Ò Ö ÓÙÖ ÙÑÒ ÕÙ Ð Ö ÓÐÙØÓÒ Ù Ý ØÑ ÐÒÖ ÔÖÓÔÖÑÒØ Ø ØÔ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ð ÓÒÒØÕÙ ÖÑÒØ Ù ÑÐÐ Ø ÒÙÑÖÓØØÓÒ ÒÓÒÒÙ ØÔ ÑÐ Ð ÑØÖ Ù ÔÖÓÐÑ ÐÙÐ ÒØÖÐ a(ϕ k,ϕ j ) ØÔ ÑÐ Ù ÓÒ ÑÑÖ ÐÙÐ ÒØÖÐ l(ϕ j ) ØÔ ÈÖ Ò ÓÑÔØ ÓÒØÓÒ ÓÖ ÔÔÐØÓÒ ³ÙÒ ÔÓ Ø¹ØÖØÑÒØ Ò Ö ÓÑÑ Ò Ð ÓÒØÓÒ ÖÐØ ØÔ Ê ÓÐÙØÓÒ Ù Ý ØÑ ÐÒÖ ØÔ ÈÓ Ø¹ØÖØÑÒØ»Ú ÙÐ ØÓÒ Ö ÙÐØØ ÖØ ÑÔ ÐÙÐ ³ÖÖÙÖ Ø µ
ÊÑÖÕÙ Ä ØÔ ½ ¾ Ø ¹ Ù ÔÙÚÒØ ØÖ ÓÙ ¹ØÖØ ÔÖ ÐÓлÐÓØÕÙ ÜØÖÒ Ä ØÔ Ð ÔÐÙ ÓØÙ Ò ØÑÔ ÐÙÐ ÓÒØ Ò ÓÙÚÒØ Ð ØÔ ¾ Ø ÅÒØÓÒÒÓÒ ÒÒ ÕÙ Ð ÝÐ Ö ÓÐÙØÓÒ ÖØ ¹ ÓÙ Ø ÔÖÓ ÑÖÕÙ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ù ØÖØ ÔÐÙ ÙØ ÒÚÙ ÓÔØÑ ØÓÒ ØÖØ ÔØØÚ ÓÒ ÑÑÖ ÑÙÐØÔÐ Ø ËØÖÙØÙÖ ØÝÔ ³ÙÒ Ö ÑÐÐ Ä ÒÖØÓÒ ÑÐÐ ØÒØ ÙÒ ØÔ ÕÙ ÔÖ ÖØÑÒØ Ð Ö ÓÐÙØÓÒ ÔÖ ÐÑÒØ Ò Ð ³Ø ³ÙÒ ÓÒÒ ³ÒØÖ ³ÙÒ Ó ÐÑÒØ Ò ÑÓÒ ÕÙ³ÙÒ ØÐ Ó ÒØÖ Ð ÒÖØÓÒ ÑÐÐ ÜÑÔÐ ÖÅ µ г Ù ÒÖØÓÒ Ð ÓÒÒ ÖÚÒØ Ð ÑÐÐ ÓÒØ ØÓ Ò ÙÒ Ö ÐÓÒ ÙÒ ÖØÒ ÓÖÑØ ÁÐ Ü Ø ÙØÒØ ÓÖÑØ Ö ÑÐÐ ÕÙ ÐÓÐ ÒÖØÓÒ ÑÐÐ Ä ÖÒØ ÓÖÑØ Ö ÑÐÐ ÙÚÒØ ÔÒÒØ Ò ÓÙÚÒØ Ð ÑÑ ÔÖÒÔ ÐÑÒØÖ ÈÓÙÖ ³Ò Ö ÙÒ ÒÓÙ ÓÒÒÓÒ ÙÒ ÓÖÑØ ØÝÔ Ö ÑÐÐ ÆÓÑÖ ÒÓÙ Ns ÓÓÖÓÒÒ ÒÓÙ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x Ns y Ns z Ns ÆÓÑÖ ØÖÒÐ Nt ÆÙÑÖÓ ÓÑÑØ ÕÙ ØÖÒÐ I 1,1 I 1,2 I 1,3 I 2,1 I 2,2 I 2,3 I Nt,1 I Nt,2 I Nt,3 ÑÐ ÑØÖ Ò ØÓÙØ Ð ÙØ ÓÒ Ú ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÒÓÙ ÓÒØ ÒÙÑÖÓØ 1...Ns ÓÖØ ÕÙ S h = {s j } j=1...ns Ò ÙÒ ÓÙ ÓÒ ÓÒ ÓÒ ÒÓØÖ ϕ j Ù ÐÙ ϕ sj Ä ÑØÖ A = (A j,k ) j,k=1...ns Ù Ý ØÑ µ ÓÑÔÓ Ò ÙÒ ÓÑÑ ÑØÖ ÖÒ ½ Ë e j R Ns,j = 1...Ns ÒÒØ Ð ÚØÙÖ Ð ÒÓÒÕÙ ÓÒ Ò Ø A = a(ϕ k,ϕ j )e j e T k
ÁÐ Ú Ò ÚÑÑÒØ ÐÐÓÖ ÑÐÖ ØØ ÑØÖ ÐÙÐÖ ÓÒØ Ø ØÓÖ ÖÒÖ Ò ÙÒ ØÖÙØÙÖ ÓÒÒ ÕÙ ÖÔÖ ÒØ Ò Ð ÔÖÓÖÑѵ Ð ÑØÖ ÈÓÙÖ Ö ÓÒ ÔÖ ÒØ ÙÒ ÔÖÑÖ ÐÓÖØÑ ÕÙ ÑÐ ÒØÙÖÐ Ò ÔÖÑÖ ÔÔÖÓ Å Ò ÔÖØÕÙ Ø ÐÓÖØÑ Ò ÑÖ Ô ÐÓÖØÑ ³ ÑÐ ÕÙ Ò ÑÖ Ô A = 0 ÓÖ j = 1...Ns ÓÖ k = 1...Ns A j,k = A j,k +a(ϕ k,ϕ j ) ÒÓÖ ÒÓÖ µ Ø ÐÓÖØÑ Ò ÑÖ Ô Ò ÔÖØÕÙ Ö Ð Ø ÓÑÔÐÜØ O(Ns 2 ) Ò³ Ø Ô Ö ÓÒÒÐ Ø ØÓÙØ ÓÒ ÒÓÙ ÐÐÓÒ ÚÓÖ ÓÑÑÒØ ÓØÒÖ Ð ÑÑ Ö ÙÐØØ Ñ Ú ÙÒ ÐÓÖØÑ ÙÓÙÔ ÔÐÙ ÖÔ ÓÑÔÐÜØ ÐÒÖ ÆÓÙ ÐÐÓÒ ÜÔÐÓØÖ Ð ÖØÖ ÖÙÜ Ð ÑØÖ ÐÑÒØ Ò ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ ÑØÖ Ø ÖÙ ÐÓÖ ÕÙ³ÐÐ ÓÒØÒØ ÑÓÒ ÕÙ O(Ns) ÒØÖ ÒÓÒ¹ÒÙÐÐ Ç ÖÚÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ j,k ÓÒÒ ÙÙÒ ØÖÒÐ Ò³ÑØ Ð Ó s j Ø s k ÓÑÑ ÓÑÑØ ÐÓÖ a(ϕ k,ϕ j ) = 0 Ä ÓÖÑ a(, ) ÔÙØ ÓÒ ÓÑÔÓ Ö Ò ÓÑÑ ÓÒØÖÙØÓÒ ÐÓÐ a(u,v) = τ T h a τ (u,v) Ó a τ (, ) ÖÒÚÓ Ð ÓÒØÖÙØÓÒ a(, ) ÐÓÐ ÙÖ Ð³ÐÑÒØ τ ÍÒ ØÐÐ ÓÑÔÓ ØÓÒ Ø ÔÓ Ð Ö Ð³ÜÔÖ ÓÒ a(, ) ÔÖÒ Ð ÓÖÑ ³ÙÒ ÒÓÑÖ Ò ³ÒØÖÐ ÚÓÐÙÑÕÙ ÈÖ ÜÑÔÐ ÔÓÙÖ Ð³ÕÙØÓÒ µ ÓÒ a(u,v) = u v +uvdx Ω Ø ÐÓÖ a τ (u,v) := u v +uvdx τ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ð ÐÑÒØ Ð ØÖÒÙÐØÓÒ ÓÒØ ÒÙÑÖÓØ ÓÒÓÖÑÑÒØ Ù Ö ÑÐÐ ÖØ Ð ØÓÒ ÓÖØ ÕÙ T h = {τ q } q=1...nt Ä ÑØÖ Ù ÔÖÓÐÑ ÓÑÔÓ ÐÓÖ ÓÑÑ A = a(ϕ k,ϕ j )e j e T k Ns Ns Nt = a τq (ϕ k,ϕ j )e j e T k q=1 Nt Ns Ns = a τq (ϕ k,ϕ j )e j e T k q=1 µ
ÆÓØÓÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ τ q Ü ÓÒ a τq (ϕ k,ϕ j ) = 0 Ù τ q supp(ϕ j ) Ø τ q supp(ϕ k ) ÕÙ Ò³ÖÖÚÖ ÕÙ j,k {I q,1,i q,2,i q,3 } Ò q Ü Ð ÓÙÐ ÓÑÑ ÙÖ ¹ Ù Ns Ns ÖÙØ ÙÒ ÓÙÐ ÓÑÑ ÙÖ Ð³Ò ÑÐ {I q,1,i q,2,i q,3 } Ns 3 a τq (ϕ k,ϕ j )e j e T k = l=1 m=1 3 a τq (ϕ Iq,m,ϕ Iq,l )e Iq,l e T I q,m. ÇÒ ÑØ Ò ÚÒ Ð ÖØÖ ÖÙÜ Ð ÑØÖ Ù ÔÖÓÐÑ ØØ ÑØÖ ÑØ Ò Ò Ð ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÙÚÒØ A = Nt 3 q=1 l=1 m=1 3 a τq (ϕ Iq,m,ϕ Iq,l )e Iq,l e T I q,m Ä ÓÑÑ ¹ Ù ÓÒØÒØ 9 Nt ØÖÑ ³ ع¹Ö ÙÓÙÔ ÑÓÒ ÕÙ Ð Ns Ns гÐÓÖØÑ µ ÒÓÙ ÑÒ ÓÒ Ð³ÐÓÖØÑ ÙÚÒØ ÁÐ ³Ø гÐÓÖØÑ ØÒÖ ³ ÑÐ ÑØÖ ÐÑÒØ Ò ÐÓÖØÑ ³ ÑÐ ÕÙ ÑÖ A = 0 ÓÖ q = 1...Nt ÓÖ l = 1...3 ÓÖ m = 1...3 ÒÓÖ ÒÓÖ ÒÓÖ A Iq,l,I q,m = A Iq,l,I q,m +a τq (ϕ Iq,m,ϕ Iq,l ) µ ÑÐ ØÖÑ ÙÖÕÙ Ò ÖØÒ Ð ÓÖÑ ÕÙÐÒÖ a(, ) ÓÒØÒØ ØÖÑ ÓÖ ÈÓÙÖ ÜÖ Ð ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ ÔÖØ Ù ÓÖ Γ Ω Ñ ÙÖ ÙÖ ÒÓÒ¹ÒÙÐÐ Ø λ > 0 ÓÒ ÖÓÒ Ò ØØ ØÓÒ Ð ÔÖÓÐÑ ÙÚÒØ u+u = f Ò Ω n u = 0 ÙÖ Σ = Ω\Γ n u+λu = 0 ÙÖ Γ ÔÖÓÐÑ Ò Ö µ ÕÙ ÔÖ Ð ÓÒØÓÒ ÙÜ ÐÑØ Ò ÖÖÒØ ÙÒ ÓÖÑÙй ØÓÒ ÚÖØÓÒÒÐÐ Ò ÙÚÒØ Ð ÑØÓÓÐÓ ÜÔÓ Ù ÔØÖ ÔÖÒØ ÓÒ ÓÙØØ Ð ÓÖÑ ÕÙÐÒÖ ÙÚÒØ a(u,v) = u v +uvdx+b(u,v) Ω Ú b(u,v) := λ uvdσ. Γ ½¼ ½¼µ
ÆÓÙ ÖÓÒ ÙÜ ÝÔÓØ ÔÖØÕÙ ÆÓÙ ÚÖÖÓÒ ÔÐÙ ØÖ ÙÖÒØ ÓÙÖ ÓÑÑÒØ ³Ò ÖÒÖ ÇÒ ÙÔÔÓ ÓÒ ÔÖÑÖÑÒØ ÕÙ Ð ÑÐÐ Ø Ø ÒÖ ØÐÐ ÓÖØ ÕÙ ÕÙ Γ ÓØ ÙÒ ÖÙÒÓÒ ³ÖØ Ù ÑÐÐ Γ = γ 1 γ 2 γ Ú γ j γ k = ÔÓÙÖ j k. ½½µ ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÖ ÐÐÙÖ ÕÙ Ð ÒÖØÙÖ ÑÐÐ ÒÓÙ ÓÙÖÒØ Ð ÒÙÑÖÓ ÒÓÙ ÕÙ γ j Ò ÒÓÖÔÓÖÒØ ÙÒ ØÓÒ ÙÔÔÐÑÒØÖ Ò Ð Ö ÑÐÐ ÕٳРÔÖÓÙØ ØØ ØÓÒ ÔÖÒÒØ Ð ÓÖÑ ÙÚÒØ ÆÓÑÖ ÖØ ÓÒØÓÒ ÊÓÒ ÆÙÑÖÓ ÓÑÑØ ÕÙ ÖØ J 1,1 J 1,2 J 2,1 J 2,2 J,1 J,2 ÆÓÙ ÚÓÒ ÒÓØ b(, ) Ð ÓÒØÖÙØÓÒ ÙÖÕÙ Ò Ð ÓÖÑ ÕÙÐÒÖ a(, ) ÓÖÑ ÔÙØ ÓÑÔÓ Ö Ò ÓÒØÖÙØÓÒ ÐÑÒØÖ Ó ÕÙ γ j ØØ b(u,v) = b γj (u,v) j=1 ËÓØ B = (B j,k ) C Ns Ns Ð ÑØÖ Ó ØØ ÓÖÑ ÕÙÐÒÖ B j,k = b(ϕ k,ϕ j ) ÁÐ ÙØ Ò ÒÓØÖ ÕÙ b(ϕ k,ϕ j ) = 0 ÕÙ s j ÓÙ s k Ò³ÔÔÖØÒØ Ô Γ ÕÙ Ø Ð Ð ÔÐÙÔÖØ ÒÓÙ Ù ÑÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ð ÑØÖ B ÓÒØÒØ ÙÓÙÔ ØÖÑ ÒÙÐÐ ÒÓÖ ÔÐÙ ÕÙ A ÈÖ ÐÐÙÖ ÓÒ Ù b(ϕ k,ϕ j ) = 0 ÕÙ s j Ø s k Ò ÓÒØ Ô ÓÑÑØ ³ÙÒ ÑÑ ÖØ Γ ÇÒ ÔÙØ ÐÓÖ ÖÓÙÐÖ ÙÒ ÐÙÐ ÑÐÐ µ ÚÓÖ B = b(ϕ k,ϕ j )e j e T k = b γq (ϕ k,ϕ j )e j e T k Ns = b γq (ϕ k,ϕ j )e j e T k q=1 = q=1 l=1,2m=1,2 q=1 b γq (ϕ Jq,l,ϕ Jq,m )e Jq,m e T J q,l Á ÒÓÖ ÓÒ ÓØÒÙ ÙÒ ÓÑÑ ÕÙ Ò ÓÑÔØ ÕÙ 2 ØÖÑ Ä ÓÙØ ³ ÑÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ø ÓÒ ÐÒÖ Ä³ÐÓÖØÑ ³ ÑÐ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ ³ÖØ ÐÓÖ ½½
ÐÓÖØÑ ³ ÑÐ ØÖÑ ÓÖ B = 0 ÓÖ q = 1... ÓÖ l = 1...2 ÓÖ m = 1...2 ÒÓÖ ÒÓÖ ÒÓÖ B Jq,l,J q,m = B Jq,l,J q,m +b γq (ϕ Jq,m,ϕ Jq,l ) ½¾µ ÑÐ Ù ÓÒ ÑÑÖ Ò Ð Ý ØÑ µ Õ٠гÓÒ ÓØÒØ Ð³ Ù ³ÙÒ ÖØ ØÓÒ ÐÖÒ ÓÙØÖ Ð ÑØÖ A Ð ÓÒÚÒØ ÐÑÒØ ³ ÑÐÖ Ð ÑØÖ F ij ÑÐ ØÖÑ ÙØ Ð ÑÑ ÔÖÒÔ ÕÙ ÔÓÙÖ A ÓÒ ØÒØ ÜÔÐÓØÒØ Ð ÐÓÐØ ÓÒØÓÒ ÓÖÑ ÒÓØÖ Ù ÕÙ ÑÑ ÕÙ a(, ) Ð ÓÒ ÑÑÖ l( ) ÔÙØ ÐÙ¹ÑÑ ÑØØÖ Ð Ó ØÖÑ ÚÓÐÙÑÕÙ Ø ÙÖÕÙ ÈÐÓÒ ¹ÒÓÙ ÔÓÙÖ ÑÔÐÖ Ò Ð Ó l( ) Ò ÓÒØÒØ ÕÙ ØÖÑ ÚÓÐÙÑÕÙ Ø ÔÙØ ÓÑÔÓ Ö Ò ØÖÑ ÐÓÐ Ò ÕÙ ØÖÒÐ Ù ÑÐÐ ÓÑÑ Nt l(v) = l τq (v) q=1 Ä ÑØÖ ÓÐÓÒÒ F = (F j ) C Ns Ó Ù ÓÒ ÑÑÖ ÔÖ Ð ÖÐØÓÒ F j = l(ϕ j ) ÓÑÔÓ ÐÓÖ Ð ÑÒÖ ÙÚÒØ Nt F = l(ϕ j )e j = l τq (ϕ j )e j j=1 Nt ÇÒ Ò ØÖ Ð³ÐÓÖØÑ ÙÚÒØ j=1 q=1 Nt F = l τq (ϕ j )e j = q=1 j=1 ÐÓÖØÑ ³ ÑÐ Ù ÓÒ ÑÑÖ q=1 l=1 3 l τq (ϕ Iq,l )e Iq,l F = 0 ÓÖ q = 1...Nt ÓÖ l = 1...3 F Iq,l = F Iq,l +l τq (ϕ Iq,l ) ÒÓÖ ÒÓÖ ½ µ ½¾