Trao đổi trực tuyến tại:

Tro đổi trực tuyế tại: wwwmietyvcom/cht_bo_tohtml

Lêi giíi thiöu Do h h ëg cñ cuéc c ch m¹g th«g ti vµ do sù ph t trió éi t¹i cñ to häc, viöc gi g d¹y to bëc ¹i häc vµ co häc cã hiòu thy æi Xu h íg chug lµ hh chãg cho häc viª ¾m b¾t îc c c kiõ thøc c b vò to häc vµ kh g øg dôg, åg thêi sö dôg îc c c ch g tr h týh to thùc hµh mét c ch thuç thôc Ó p øg hu cçu ã, trª c së Ò tµi kho häc PhÇ mòm C së To häc cñ Trug t m Kho häc tù hiª vµ C«g ghö Quèc gi do ViÖ To häc chñ tr thùc hiö tõ m 996 Õ m 998, chóg t«i biª so¹ bé gi o tr h C së To häc Co cêp giµh cho sih viª ¹i häc vµ co häc Bé gi o tr h µy îc biª so¹ dù theo éi dug ch g tr h to co cêp cñ c c kho c b trog c c tr êg ¹i häc do Bé Gi o dôc vµ µo t¹o qui Þh, kõt hîp víi c c gi o tr h to hiö g îc gi g d¹y trog c c tr êg ¹i häc ë Hµ Néi vµ mét sè íc tiª tiõ trª thõ giíi Môc Ých cñ gi o tr h lµ: Tr h bµy h g kh i iöm, h g guyª lý c b vµ cç thiõt hêt cñ to häc, víi h g chøg mih chæt chï, l«gic; RÌ luyö kü g týh to thùc hµh trª m y týh vµ kh g p dôg c«g cô to häc trog viöc gi i quyõt c c bµi to thùc tiô; Giíi thiöu mét sè h íg ph t trió míi trog to häc hiö ¹i g îc qu t m trª thõ giíi Ó p yªu cçu thø hêt, chóg t«i chñ tr g tr h vµo gi o tr h h g phç lý thuyõt Æg Ò vµ Ýt sö dôg Õ su µy PhÇ bµi tëp îc biª so¹ víi môc Ých gióp häc viª cñg cè kiõ thøc lý thuyõt, kh«g s vµo h g kü s o týh to phøc t¹p Môc Ých thø hi îc thó hiö trog gi o tr h bëi phç bµi tëp vµ týh to thùc hµh biª so¹ rêt c«g phu cho tõg ch g Nã gióp cho häc viª tiõp cë mét c ch hñ hµg vµ tho i m i víi c«g viöc týh to cô thó, lüh vùc lu«bþ em lµ g g¹i hêt èi víi c c häc viª bëc ¹i häc ë íc t i

y Ng êi häc kh«g chø cã thó thö søc víi h g bµi to th ch è Ó rì luyö t duy, mµ cß biõt sö dôg m y týh Ó gi i mét c ch dô dµg h g bµi to hãc bó mµ hä t ëg chõg kh«g thó µo gi i æi Hi väg r»g khi r tr êg hä sï kh«g cß ph i g¹i gïg trog viöc c c c«g cô to häc vµo c«g viöc cñ m h Thùc tõ cho thêy, ë u to häc ph t huy îc t c dôg th ë ã th êg thu îc h g kõt qu bêt gê C«g cô týh to thùc hµh giíi thiöu trog gi o tr h µy lµ bé ch g tr h Mple V y lµ bé ch g tr h tæg hîp, kh å sé, h g hiö y cã thó cµi Æt trª m y týh c h víi cêu h h b h th êg bé hí tèi thióu lµ 8MB Víi kh g bióu diô vµ týh to cùc m¹h kó c trª c c ký hiöu h h thøc, ã hiö g îc em mét trog h g ch g tr h phæ biõ hêt sö dôg trog c«g t c µo t¹o ë c c tr êg ¹i häc trª thõ giíi NÕu sö dôg îc Mple mét c ch thuç thôc th häc viª còg dô dµg tiõp cë víi c c ch g tr h týh to phæ biõ kh c h : Mtemtic, Mtlb, Mthcd, B»g c c h íg dé cô thó cho tõg ch g, gi o tr h gióp g êi äc tù m h tõg b íc tiõ hµh c«g viöc týh to mét c ch hñ hµg h bêm m y týh bá tói, kh«g cç chuè bþ g Æc biöt vò kiõ thøc lëp tr h Ó ¹t îc môc Ých thø b, chóg t«i vµo gi o tr h mét sè ch g môc kh«g kih ió kh«g b¾t buéc èi víi häc viª bëc ¹i häc, gióp g êi äc lµm que víi h g ý t ëg míi trog to häc hiö ¹i, khých lö sù t m tßi ph t trió h g c i mµ l u y îc em h lµ bêt di bêt dþch trog to häc cæ ió PhÇ µy ch¾c ch¾ sï em l¹i høg thó vµ h g gîi ý vò mæt Þh h íg cho h g g êi cã guyö väg îc µo t¹o co h vò to häc, hêt lµ h g häc viª co häc Gi o tr h µy còg îc thiõt lëp d íi d¹g siªu v b, rêt thuë tiö cho viöc äc vµ tr cøu trª m y týh PhÇ týh to thùc hµh îc thùc hiö dô dµg vµ thuë tiö gy trog khu«khæ cñ gi o tr h häc Õ u thùc hµh Õ ã, h»m o hoµ rh giíi gi häc to vµ lµm to B¹ äc cã hu cçu vò gi o tr h d íi d¹g siªu v b vµ thùc hµh týh to trª Mple V i liª hö víi c c t c gi theo Þ chø cñ ViÖ To häc êg Hoµg Quèc ViÖt, QuË CÇu GiÊy, Hµ Néi ii

T rog phç µy chóg t«i giíi thiöu víi b¹ äc cuè Gi i tých I cñ c c t c gi : Ts ih ThÕ Lôc chñ biª, Ts Ph¹m Huy ió, Ts NguyÔ Xu TÊ, Pts T¹ Duy Ph îg Néi dug quyó s ch bo gåm h g kiõ thøc ßi hái häc viª ph i ¾m îc vò bé m«gi i tých trog m thø hêt bëc ¹i häc Trog Ch g chóg t«i kh«g tr h bçy chi tiõt vò y dùg tr êg sè thùc Ó kh«g lµm l¹i phç viöc cñ h g g êi biª so¹ gi o tr h Sè häc, mµ chø sö dôg l t c¾t Ó chøg mih sù tå t¹i biª cñ tëp bþ chæ, mét týh chêt qu träg îc dïg hiòu lç trog ch g tr h Gi i tých, åg thêi lµm que sih viª víi m«häc T«p«¹i c g th«g qu c c kh i iöm trª êg th¼g thùc Ngoµi viöc sö dôg trog gi o tr h µy, ã gióp häc viª hióu râ b chêt cñ h g kh i iöm trõu t îg trog lý thuyõt T«p«tæg qu t Bª c¹h h g kh i iöm kih ió h : ¹o hµm, vi ph, tých ph, chuçi hµm, chóg t«i giíi thiöu trog Ch g 7 mét sè mét kh i iöm míi cñ Gi i tých kh«g tr, mét lüh vùc g îc qu t m vµ øg dôg Ch g ph g tr h vi ph Ch g îc vµo h»m cñg cè h g kiõ thøc vò ¹o hµm, tých ph vµ phôc vô hu cçu t m hióu c c bµi to Æt r trog c häc, vët lý, hã häc, sih häc, Chóg t«i kh«g i s u vµo lüh vùc µy Ó tr h g y chåg trðo víi h g g êi biª so¹ gi o tr h ph g tr h vi ph mµ chø Æt môc Ých giíi thiöu kh i iöm lµm c së cho viöc thùc hµh týh to Ó g êi äc dô tiõp thu, chóg t«i cè g¾g tr h bµy gi o tr h mét c ch gä gµg, gi h g Çy ñ Ngo¹i trõ h g phç giµh l¹i cho bé m«kh c, c c vê Ò ªu r trog khu«khæ gi o tr h gi i tých Òu îc chøg mih chæt chï vµ khóc triõt PhÇ bµi tëp vµ týh to thùc hµh îc biª so¹ c«g phu, cã éi dug bo qu t têt c h g chñ Ò c b Chóg t«i hy väg r»g gi o tr h sï lµ mét cèm g tèt cho sih viª c c tr êg kü thuët vµ tæg hîp iii

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc Kh i iöm tëp hîp TËp hîp TËp hîp, trog To häc, îc em lµ mét kh i iöm khëi Çu kh«g Þh ghü Nã åg ghü víi c c tõ hä, hö, líp, vµ îc dïg Ó m«t mét quç thó cñ h g èi t îg ph biöt îc mµ chóg t t duy h mét thó trä vñ ThÝ dô Khi t ãi: Hä c c êg trß åg t m, hö c c ph g tr h tuyõ týh, líp c c hµm thøc, còg cã ghü lµ tëp hîp cñ c c èi t îg ãi trª TËp hîp e c giíi cñ thµh phè Hµ Néi, tëp hîp c c sih viª ViÖt Nm, tëp hîp h g êg phè uêt ph t tõ Hå G m, vv lµ h g vý dô ió h h vò kh i iöm tëp hîp kh«g chø trog To häc, mµ c trog g«g th«g th êg Nh g thµh viª cñ tëp hîp gäi lµ phç tö hy ióm Cho A lµ mét tëp, t viõt A äc: thuéc A cã ghü lµ mét phç tö cñ A, vµ viõt A äc: kh«g thuéc A cã ghü kh«g ph i lµ phç tö cñ A DiÔ t tëp hîp Ó diô t tëp hîp g êi t dïg dêu mãc {} Trog dêu mãc t cã thó liöt kª têt c c c phç tö cñ tëp hîp,, }, hoæc ªu thuéc týh chug P cñ c c phç tö tëp { hîp b»g c ch viõt { : thá m P} ThÝ dô A = {,,, 4, 5} hoæc A = {,,,5} hoæc A = { : lµ sè tù hiª so cho 5} TËp rçg T quy íc TËp rçg hy tëp trèg lµ tëp hîp kh«g cã mét phç tö µo c Ng êi t th êg ký hiöu tëp rçg lµ ThÝ dô TËp hîp c c cçu thñ bãg ViÖt Nm o¹t gi i Olympic m 996 lµ tëp rçg; tëp hîp c c sè lî chi hõt cho 4 lµ tëp rçg 5

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc 4 TËp trïg hu T ãi tëp A vµ tëp B trïg hu hy b»g hu vµ viõt A = B äc: A b»g B Õu chóg cã cïg h g phç tö, tøc lµ A khi vµ chø khi B Khi chóg kh«g trïg hu t viõt A B ThÝ dô A lµ tëp gåm sè vµ sè 4, cß B lµ tëp c c sè ch½ d g bð h 5 T cã A = B 5 TËp hîp co T ãi A lµ tëp co cñ tëp B Õu mäi phç tö cñ A lµ phç tö cñ B Khi ã t viõt A B äc: A»m trog B, hoæc B A äc: B chø A NÕu A B vµ A B t ãi A lµ tëp co thët sù cñ B Quy íc: TËp rçg lµ tëp co cñ mäi tëp Chó ý Mçi phç tö cñ A t¹o thµh tëp co {} cñ A CÇ ph biöt phç tö cñ tëp hîp A viõt lµ A víi tëp co {} cñ tëp hîp A viõt lµ {} A C c phðp to Hîp cñ hi tëp Hîp cñ hi tëp A vµ B îc ký hiöu A B äc: A hîp B lµ tëp gåm têt c c c phç tö thuéc A hoæc thuéc B NghÜ lµ, A B = { : A hoæc B } ThÝ dô A = {,,,{, b}}, B = {,,{,b}}, A B = {,,,{,b},} Chó ý {,b} lµ mét tëp h g ã l¹i lµ mét phç tö cñ A vµ cñ B Gio cñ hi tëp Gio cñ hi tëp A vµ B îc ký hiöu A B äc: A gio B lµ tëp gåm têt c c c phç tö võ thuéc A l¹i võ thuéc B VËy A B= { : A vµ B } ThÝ dô Víi A = {,b,c}, B = {{},b,d}, th A B = {b} PhÇ bï PhÇ bï cñ A trog B îc ký hiöu B \ A lµ tëp gåm têt c c c phç tö thuéc B h g kh«g thuéc A «i khi g êi t gäi B \ A lµ hiöu cñ B vµ A VËy B \ A = { : B vµ A } ThÝ dô A = {,5,,b}, B = {5,b} Khi ã Mih hä h h häc: B \ A = 6

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc 4 TÝh chêt cñ c c phðp týh Cho A, B vµ C lµ b tëp hîp bêt kú Khi ã t cã: TÝh kõt hîp A B C = A B C, A B C = A B C TÝh gio ho A B= B A, A B= B A TÝh ph phèi A B C = A B A C, A B C = A B A C, 4 A \ B C = A \ B A \ C, 4 A \ B C = A \ B A \ C Chøg mih Ó chøg mih ¼g thøc X = Y gi hi tëp X vµ Y t chø r r»g víi X th suy r Y tøc lµ X Y, vµ g îc l¹i víi y Y th suy r y X, tøc lµ Y X Tr íc hõt t chøg mih Cho lµ phç tö bêt kú cñ A B C Khi ã A hoæc B C NÕu A th A B vµ A C, cã ghü lµ A B A C NÕu B C th B vµ C Lóc ã A B vµ A C, cã ghü lµ A B A C Ng îc l¹i, cho y lµ phç tö bêt kú cñ A B A C Khi ã y A B vµ y A C VËy hoæc y A tøc lµ y A B C, hoæc y A Nh g y A th y B vµ y C, cã ghü lµ y B C Rót cuéc y A B C vµ lµ óg Nh g ¼g thøc kh c chøg mih t g tù Chó ý Dïg c ch diô t, chøg mih trª cã thó viõt g¾ gä h su: A B C = { : A hoæc B C} = { : A hoæc { B vµ C}} = { :{ A hoæc B} vµ { A hoæc C}} = { A B} { A C } 7

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc Do týh kõt hîp, víi b tëp A, B, C cho tr íc t cã thó lêy hîp hi tëp bêt kú su ã míi hîp víi tëp cß l¹i vµ kõt qu Òu cho t mét tëp, ã lµ hîp A B C T g tù h thõ èi víi phðp gio, còg h phðp hîp vµ phðp gio cñ hiòu tëp h 4 TÝch cñ c c tëp hîp Cho tëp hîp A vµ B TËp hîp têt c c c cæp ióm,b, víi A vµ b B, lëp thµh mét tëp hîp míi gäi lµ tých cñ hi tëp A vµ B, vµ îc ký hiöu lµ A B Nh vëy, mçi phç tö z cñ tëp tých A B lu«bióu diô d íi d¹g z=,b, víi A, b B, vµ g êi t gäi,b lµ c c thµh phç hy to¹ é cñ z PhÐp øg vµ lùc l îg PhÐp øg Cho A vµ B lµ hi tëp kh c rçg PhÐp øg tõ A tíi B lµ mét quy t¾c cho phðp víi mçi phç tö A chø r îc mét phç tö y B øg víi ã Th«g th êg g êi t ký hiöu f : A B cã ghü f lµ phðp øg tõ A tíi B, vµ viõt y = f cã ghü y îc øg víi, hoæc øg víi y «i lóc t viõt y TËp A îc gäi lµ miò c Þh cñ phðp øg vµ tëp B îc gäi lµ miò gi trþ cñ phðp øg Khi B lµ mét tëp hîp sè µo ã g êi t cß gäi f lµ hµm sè Chó ý Cã thó hiòu phç tö cñ B îc øg víi mét phç tö cñ A vµ cã thó mét phç tö cñ B îc øg víi hiòu phç tö cñ A øg lµ mét phðp øg cho phðp víi mçi phç tö cñ A chø r îc mét vµ chø mét phç tö cñ B øg víi ã iòu µy kh«g lo¹i trõ kh g hiòu phç tö cñ A cïg îc øg víi phç tö cñ B PhÐp øg tõ A tíi B îc gäi lµ phðp øg - hy phðp tiªm Õu phç tö kh c hu trog A th îc øg víi phç tö kh c hu trog B Toµ øg lµ mét phðp øg mµ mçi phç tö cñ tëp B Òu îc øg víi Ýt hêt mét phç tö trog A Sog øg tõ A tíi B lµ mét phðp øg mµ mçi A chø øg víi mét y B vµ mçi y B chø îc øg víi mét A Nh vëy, sog øg võ lµ toµ øg, võ lµ phðp øg - ThÝ dô A = {,b,c,d}, B = {,,} PhÐp øg, b, c v d kh«g ph i sog øg tõ A tíi B b A = {,,,,}, B = {,4,,,} PhÐp øg lµ mét sog øg tõ A tíi B Chó ý NÕu cã mét sog øg f tõ A tíi B th t cã thó y dùg mét sog øg tõ B tíi A b»g c ch víi mçi y B t cho øg víi A mµ f = y Sog øg µy cã tª gäi lµ sog øg g îc cñ f vµ th êg îc ký hiöu lµ f 8

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc T g g Hi tëp A vµ B gäi lµ t g g Õu cã thó y dùg îc mét sog øg gi A vµ B Khi ã t viõt A B ThÝ dô Víi A lµ tëp hîp c c sè thùc d g, B lµ tëp hîp c c sè thùc m, th øg lµ mét sog øg b A = {,,}, B= { ±, ±, } Khi ã A B v phðp øg vµ lµ sog øg A B v phðp Chó ý NÕu A vµ B h u h¹ th Lùc l îg A B khi vµ chø khi sè phç tö cñ A b»g sè phç tö cñ B Nh g tëp t g g th îc gäi lµ cïg lùc luîg Khi A cã h u h¹ phç tö th g êi t th êg em lùc l îg cñ A lµ sè phç tö cñ ã vµ ký hiöu lµ crda äc lµ cc- i-l cñ A ThÝ dô TËp A rçg th crda = b A = {,,{,b}} th crd A = ; Khi A cã v«h¹ phç tö th t ãi lùc l îg cñ A lµ v«h¹ hy siªu h¹, vµ viõt crd A = 4 TËp Õm îc Ký hiöu tëp sè tù hiª lµ y lµ tëp v«h¹ TËp A gäi lµ Õm îc Õu ã h u h¹ hoæc t g g víi Þh lý TËp co cñ tëp Õm îc lµ tëp Õm îc Chøg mih Dïg phðp sog øg t chø cç chøg tá tëp co cñ lµ tëp Õm îc Cho A Ký hiöu lµ phç tö Çu cñ A, lµ phç tö Çu cñ A \ { }, vv lµ phç tö Çu cñ A \ {,, } NÕu h Õ sè µo ã A \ {,, } kh«g cã phç tö µo th A h u h¹ ã chø chø - phç tö vµ, theo Þh ghü, ã lµ Õm îc NÕu víi mäi tëp A \ {,, } th t thiõt lëp îc phðp øg f = víi mäi =,, Nã lµ mét sog øg tõ tíi A ThËt vëy, víi mçi, f lµ phç tö Çu cñ A \ {,, } ª sè µy lµ duy hêt Ng îc l¹i víi mçi A, t biõt îc sè c c phç tö øg tr íc ã, thý dô lµ k, vëy f k + = Sog øg f chø r r»g A khi A kh«g h u h¹ Chó ý Kh«g ph i tëp v«h¹ µo còg Õm îc ThÝ dô Hä c c cæp sè tù hiª {m,}: m, } lµ tëp Õm îc ThËt vëy, Õp c c phç tö cñ hä trª theo hµg vµ cét h su : 9

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc,,,,4,,,,4,,,,4 4, 4, 4, 4,4 X y dùg phðp øg tíi theo quy t¾c i theo êg iª :,, ;, ;, 4 ;, 5 ;, 6 DÔ kióm tr y lµ mét sog øg Do ã hä cæp c c sè tù hiª lµ Õm îc b Hä ℵ gåm têt c c c tëp co cñ lµ tëp kh«g Õm îc Gi sö tr i l¹i ã lµ Õm îc th cã mét sog øg f tõ ℵ vµo Ký hiöu ℵ lµ phç tö øg víi, ghü lµ f = Khi Êy t y dùg îc tëp X gåm c c sè tù hiª kh«g»m trog tëp øg víi ã, ghü lµ X:={ } T sï chø r r»g ã kh«g îc øg víi sè tù hiª µo ThËt vëy, gi sö g îc l¹i r»g X îc øg víi sè tù hiª k µo ã, tøc lµ X = X k Khi Êy chø cã kh g: hoæc lµ k»m trog X k hoæc lµ k»m goµi X k Trog tr êg hîp thø hêt th k kh«g thó lµ phç tö cñ X vµ iòu µy m u thué víi viöc X = X k Trog tr êg hîp thø th k sï lµ phç tö cñ X vµ iòu µy còg l¹i dé Õ m u thué trª TÊt c c c m u thué µy chøg tá r»g gi thiõt ℵ Õm îc lµ kh«g thó y r NhË Ðt Ph g ph p chøg mih trª còg cho phðp t i Õ mét kh¼g Þh tæg qu t lµ: tëp têt c c c tëp co cñ mét tëp kh c rçg A th êg îc ký hiöu lµ A lµ kh«g cïg lùc l îg víi A 4 Sè thùc Ó tëp trug tr h bµy c c ph g ph p c b cñ Gi i tých to häc, chóg t kh«g i s u vµo viöc y dùg kh i iöm sè thùc, mét viöc ßi hái hiòu c«g phu vµ thêi gi Trog phç µy chóg t chø h¾c l¹i mét sè týh chêt qu träg cñ sè thùc cç thiõt cho viöc thiõt lëp c c guyª lý c b cñ Gi i tých vµ c c øg dôg cñ chóg 4 Sè h u tû vµ sè v«tû Nh trª, ký hiöu lµ tëp c c sè tù hiª vµ lµ tëp c c sè guyª Theo Þh ghü sè h u tû lµ sè cã d¹g m trog ã, m vµ m, = íc sè chug lí hêt cñ m vµ lµ, hy m vµ lµ hi sè guyª tè cïg hu T ký hiöu lµ tëp c c sè h u tû Nh g sè kh«g bióu diô îc d¹g trª gäi lµ sè v«tû Nh vëy, tëp c c sè thùc bo gåm têt c sè v«tû vµ h u tû, vµ sï îc ký hiöu lµ

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc ThÝ dô,5 lµ sè h u tû v,5 = m q = lµ sè v«tû v kh«g thó bióu diô d íi d¹g ªu ë trª ThËt vëy Õu m = th m = Chøg tá m lµ sè ch½, do ã m lµ sè ch½: m = m' Khi Êy = m' vµ cã ghü còg lµ sè ch½ iòu µy phi lý v m, = 4 BiÓu diô sè thùc Ó dô h h dug g êi t hy bióu diô sè thùc trª trôc sè O Mçi ióm trª trôc µy sï bióu diô mét sè thùc ióm O lµ gèc vµ lµ bióu diô cñ sè kh«g Sè îc bióu diô bëi ióm bª ph i gèc so cho o¹ [,] cã é dµi b»g vþ Khi ã sè h u tû m m q = víi m > sï lµ ióm»m phý bª ph i gèc so cho o¹ [, q] cã é dµi m m lç vþ Sè h u tû q = víi m < sï lµ ióm èi øg víi qu gèc Nh g ióm kh c trª trôc sè bióu diô h g sè v«tû ThÝ dô lµ ióm bª ph i gèc tä é vµ c ch gèc tä é mét o¹ b»g é dµi êg chðo cñ h h vu«g víi c¹h vþ T biõt r»g kho g c ch µy kh«g thó bióu diô îc d íi d¹g tû sè cñ hi sè guyª, cho ª ã bióu diô mét sè v«tû 4 C c phðp týh Trog còg h trog cã bè phðp týh sè häc c b : cég, trõ, h vµ chi C c phðp týh µy cã týh chêt su: Gio ho : + b = b + vµ b = b KÕt hîp : + b + c = + b + c vµ bc=bc Ph phèi : b + c = b + c 44 Thø tù BÊt cø hi phç tö, b thuéc hoæc Òu cã thó so s h > b lí h b, = b hoæc < b há h b Thø tù > cã týh chêt su: B¾c cçu : > b, b > c th > c, Trï mët : > b th cã c Ó > c > b Tiª Ò Archimedes: Víi mäi sè c > tå t¹i sè tù hiª > c Ngoµi r sè h u tû cß cã týh chêt trï mët m¹h h su y: Cho, b thuéc NÕu > b th cã q thuéc Ó > q > b

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc 5 Biª trª vµ biª d íi 5 TËp giíi éi vµ cë T ãi A bþ chæ trª Õu cã sè α Ó α víi mäi A ; sè α µy gäi lµ cë trª cñ A T g tù A bþ chæ d íi Õu cã sè β gäi lµ cë d íi Ó β víi mäi A Mét tëp võ bþ chæ d íi võ bþ chæ trª gäi lµ bþ chæ hy giíi éi Biª trª cñ A, ký hiöu sup A, lµ cë trª há hêt cñ A NÕu sup A A th viõt m A thy cho sup A y lµ sè lí hêt trog A Biª d íi cñ A, ký hiöu if A, lµ cë d íi lí hêt cñ A NÕu if A A th viõt mi A thy cho if A y lµ sè há hêt trog A ThÝ dô A= { : < < } th mäi α Òu lµ cë trª cñ A, cß biª trª cñ A: sup A = Trog thý dô µy m A kh«g tå t¹i 5 L t c¾t trog vµ Chi lµm hi líp kh c rçg A vµ B so cho A B = vµ < b víi mäi A, b B PhÐp chi trª gäi lµ l t c¾t vµ ký hiöu A B DÔ thêy chø cã b d¹g l t c¾t: Trog A cã sè h u tû lí hêt vµ trog B kh«g cã sè há hêt b Trog A kh«g cã sè lí hêt vµ trog B cã sè há hêt c Trog A kh«g cã sè lí hêt vµ trog B kh«g cã sè há hêt Trog tr êg hîp Çu l t c¾t A B c Þh sè h u tû, vµ trog tr êg hîp cß l¹i l t c¾t A B c Þh sè v«tû α thá m : < α < b, A, b B T g tù, t ãi A B lµ l t c¾t trog Õu A, B, A B =, < b víi mäi A, b B Bæ Ò Dedekid: Víi l t c¾t A B bêt kú trog, lu«lu«tå t¹i sè thùc α lí hêt trog A hoæc α há hêt trog B Chøg mih XÐt A Q = A, B Q = B Khi ã A Q BQ lµ l t c¾t trog Nã c Þh sè thùc α Khi ã α A hoæc α B, do A B = NÕu α A th ã lµ sè lí hêt trog A v Õu kh«g sï cã sè β A Ó α < β vµ theo týh trï mët sï t m îc sè h u tû r A Ó α < r < β VËy r AQ vµ tr i víi iòu α b, víi mäi A, b T g tù, Õu α B th ã lµ sè há hêt trog B Q B Q 5 Tå t¹i biª Þh lý Mäi tëp kh c rçg bþ chæ trª d íi Òu cã biª trª d íi

Ch g TËp hîp vµ Sè thùc Chøg mih Gi sö o víi mäi M M bþ chæ trª NÕu M cã ióm lí hêt o M tøc lµ o = sup v mäi cë trª cñ M Òu lí h hoæc b»g o, th M NÕu M kh«g cã ióm lí hêt, t y dùg l t c¾t A B h su: B = { : lµ cë trª cñ M} vµ A= \B Do M vµ bþ chæ trª, ª A, B, A B = Râ rµg < b víi mäi A, b B Nãi c ch kh c A vµ B c Þh l t c¾t cñ Theo Bæ Ò Dedekid t cã thó t m îc α lí hêt trog A hoæc bð hêt trog B, ký hiöu lµ α DÔ thêy α A vµ v thõ α B T cã α = sup M theo Þh ghü èi víi tëp bþ chæ d íi, viöc chøg mih hoµ toµ t g tù

Bµi tëp vµ TÝh to thùc hµh Ch g C u hái cñg cè lý thuyõt TËp hîp Bµi Gi sö A lµ tëp têt c c c íc sè cñ 6 C c kh¼g Þh su y óg hy si: 9 A ; b 5 A ; c A LiÖt kª têt c c c phç tö cñ A Bµi Gi sö A lµ tëp têt c c c ghiöm cñ ph g tr h 7 + = Trog c c möh Ò su, möh Ò µo óg, möh Ò µo si? A ; b 5 A ; c 4 A ; d 7 A LiÖt kª têt c c c phç tö cñ A Bµi Gi sö A lµ tëp têt c c c thøc mét biõ víi hö sè guyª, c c kõt luë su y óg hy si: d 4 + A ; b 5 A ; c + y + A ; + + A ; e + + A Bµi 4 Trog c c tëp hîp d íi y, c c phç tö, trõ mét phç tö, Òu cã chug mét týh chêt hêt Þh H y t m phç tö kh«g mg týh chêt Êy: {6, 5, 84, 67}, {, 7,, 5, 9}, {, 9, 5, 79, }; b {tm gi c, h h vu«g, h h trß, h h thg, lôc gi c Òu} Bµi 5 M«t týh chêt cñ c c tëp hîp v«h¹ su vµ viõt c«g thøc sè h¹g tæg qu t cñ c c tëp hîp: 4 5 6 4 6 8 {,,,,} ; b {,,,,} ; 4 9 6 5 5 8 4 c {,,,,,,} ; d {,,6,8,5,} 6 4 7 5 + Bµi 6 XÐt em c c sè su y:,,, sè µo thuéc tëp hîp A: A = { : =, N} 5 7 6 + 4 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi 7 Trog sè c c tëp su y, tëp µo lµ rçg: TËp hîp c c ch hët cã c c êg chðo kh«g b»g hu b TËp hîp c c tm gi c cã c c uêg trug trùc kh«g åg quy c TËp ghiöm h u tû cñ ph g tr h = d TËp ghiöm thùc cñ bêt ph g tr h + + < e TËp ghiöm guyª cñ ph g tr h 4 = f TËp ghiöm tù hiª cñ ph g tr h 9 = Bµi 8 M«t tëp hîp c c ióm M, y cñ mæt ph¼g tho m : + y b + y = c y d y PhÐp øg vµ t g g Bµi Hái c c tëp su y cã t g g hu kh«g: TËp c c sè tù hiª vµ c c tëp sè guyª b TËp c c sè tù hiª vµ c c sè h u tû c TËp c c ghiöm phøc cñ hi thøc cã cïg bëc d TËp c c ghiöm thùc cñ hi thøc cïg bëc e TËp c c ióm cñ mét c¹h h h vu«g vµ c c tëp ióm trª mét êg chðo cñ ã f TËp c Þh cñ mét hµm sè vµ å thþ cñ ã Bµi B»g c ch thiõt lëp c c phðp sog øg, h y chøg mih r»g c c tëp su y lµ t g g: TËp c c sè thùc vµ kho g, b TËp hîp c c ióm cñ hi o¹ th¼g [,b] vµ [c,d] c TËp c c ióm cñ h h trß më vµ tëp c c ióm cñ mæt ph¼g C c phðp to trª tëp hîp Bµi Cho A, B, C lµ c c tëp tïy ý H y chøg mih c c möh Ò su: A A = A = A A A B A, A A B, A B B, B A B NÕu A B th A B = A 4 NÕu A B th A B = B 5 NÕu A B th B C th A C 6 NÕu A C vµ B C th A B C 7 NÕu C A vµ C B th C A B 5

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi Cho A vµ B lµ hi tëp co cñ X Ký hiöu CA lµ phç bï cñ A trog X, tøc lµ CA=X\A H y chøg mih c c týh chêt su y: A X = A, A = A, A =, A X = X A CA =, A CA = X CCA = A 4 C A \ B = B CA 5 NÕu A B th CB CA 6 LuËt Moorg C A B = CA CB, C A B = CA CB Bµi Chøg mih: TÝh kõt hîp cñ hîp vµ gio c c tëp hîp A B C = A B C ; b A B C = A B C TÝh gio ho cñ phðp hîp vµ gio c c tëp hîp A B = B A ; b A B = B A TÝh ph phèi cñ gio èi víi hîp hoæc cñ hîp èi víi gio c c tëp hîp A B C = A B A C ; b A B C = A B A C 4 TÝh ph phèi cñ hiöu èi víi hîp hoæc gio c c tëp hîp A \ B C = A \ B A \ C ; b A \ B C = A \ B A \ C Bµi 4 Chøg mih A \ [ { Ai, i = }] = { A \ Ai, i = } b A \ [ { A, I} = { A \ A, I}, I lµ tëp chø sè bêt kú Bµi 5 Ký hiöu A B = A \ B B \ A lµ hiöu èi øg cñ hi tëp hîp A vµ B Chøg mih r»g A B = A B \ A B PhÐp øg vµ sù t g g cñ hi tëp hîp Bµi Cho phðp øg f : X Y vµ A, B lµ hi tëp co cñ X Chøg mih: NÕu A B th f A f B ; f A B = f A f B ; f A B = f A f B 6

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi Cho phðp øg Bµi Cho f : X Y vµ A, B lµ hi tëp co cñ Y H y chøg mih: f A B = f A f B ; f A B = f A f B ; f A \ B = f A \ f B g : X Y, f : Y Z vµ h : X Z, h = fg Chøg mih r»g: h A = f [ g A] A X ; h B = g [ f B] B Z Bµi 4 Gäi lµ tëp sè thùc XÐt phðp øg f tõ vµo îc cho bëi c«g thøc su: + y = víi vµ y = Chøg mih r»g f lµ sog øg T m phðp øg g îc Bµi 5 Cho phðp øg y, y = + víi Chøg mih: f kh«g ph i lµ mét sog øg X c Þh hi kho g mµ trog mçi kho g Êy f lµ sog øg T m phðp øg g îc trog mçi tr êg hîp Bµi 6 Chøg mih Þh lý Ctor-Berstei: Cho hi tëp hîp bêt kú A vµ B NÕu tå t¹i mét sog øg f tõ A lª mét tëp co B cñ B vµ mét sog øg g tõ B lª mét tëp co A cñ A th c c tëp hîp A vµ B t g g 4 TËp hîp Õm îc Bµi Chøg mih c c týh chêt su y cñ tëp Õm îc: TÝh chêt : iòu kiö cç vµ ñ Ó mét tëp A Õm îc lµ t cã thó h sè ã, tøc lµ cã thó bióu diô ã d íi d¹g mét d y: A =,,,,} { TÝh chêt : Trog mäi tëp v«h¹ Òu cã mét tëp co Õm îc TÝh chêt : NÕu lêy mét tëp h u h¹ M r khái tëp Õm îc A th tëp cß l¹i A\M phç bï cñ M trog A lµ Õm îc TÝh chêt 4: Hîp cñ mét tëp Õm îc h g tëp Õm îc lµ Õm îc Bµi Chøg mih r»g mäi tëp v«h¹ Òu cã chø mét tëp co thùc sù t g g víi ã 5 Sè thùc Bµi Chøg mih r»g c c sè su lµ c c sè v«tû 5 ; b + ; c + 7

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi Sè µo lí h 4 + 7 4 + 7 hy? Bµi Chøg mih r»g Õu, b, c thuéc tho m ¼g thøc b còg thuéc + b = c th vµ Bµi 4 Chøg mih r»g tëp c c sè h u tû lµ Õm îc Bµi 5 Chøg mih r»g tëp c c sè v«tû cã cïg lùc l îg víi Bµi 6 Chøg mih Þh lý Ktor: TËp têt c c c sè thùc»m gi vµ lµ kh«g Õm îc 6 TËp hîp ghiöm cñ ph g tr h vµ bêt ph g tr h NhiÒu tëp hîp sè trog To häc th êg îc cho bëi mét hö ph g tr h vµ bêt ph g tr h Gi i ph g tr h còg chýh lµ t m tëp têt c c c ghiöm cñ ph g tr h cho Trog ch g tr h phæ th«g, chóg t biõt gi i thµh th¹o kh hiòu lo¹i ph g tr h vµ bêt ph g tr h Tuy hiª, ë y chóg t«i muè cug cêp mét sè bµi tëp gi i ph g tr h vµ bêt ph g tr h cã c ch gi i hy hoæc t g èi khã, h»m gióp c c b¹ thö søc, so s h vµ vë dôg kh g cñ m y týh Õu lµ bµi tëp khã, b¹ cã thó hê m y týh gi i r p sè, tõ ã b¹ cã h g gîi ý tých cùc Ó t m r lêi gi i; Õu lµ bµi dô, b¹ cã thó dïg m y Ó kióm tr p sè Ngoµi r, b¹ cã thó t m r h g c ch gi i hy h m y, do ã p sè gä h Còg cç ãi thªm r»g, cã h g bµi b¹ gi i îc hê mño Æt È phô, vv mµ m y kh«g gi i æi Cuèi cïg, viöc gi i thµh th¹o ph g tr h vµ bêt ph g tr h tù lùc vµ b»g m y ë ch g µy gióp b¹ dô dµg gi i bµi tëp tù lùc vµ b»g m y ë c c ch g tiõp theo 6 TËp hîp ghiöm cñ ph g tr h T m tëp hîp ghiöm cñ c c ph g tr h su: 4 Bµi + 5 + 6 4 6 = Bµi + 5 = 5 Bµi Bµi 4 + log log 5 + = = 4 + Bµi 5 = Bµi 6 + + + = 8

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g 6 TËp hîp ghiöm cñ bêt ph g tr h Gi i c c bêt phu g tr h su: Bµi < + Bµi 4 + 5 4 + Bµi + Bµi 4 + Bµi 5 Bµi 6 4 π t + + 4 < 4 5 5 + 5 + + 5 Bµi 7 < 6 Bµi 8 < 5 + 5 Bµi 9 < log log 6 + Bµi < + 64 6 TËp hîp ghiöm cñ hö ph g tr h Bµi T m tëp hîp ghiöm cñ c c hö ph g tr h su: + y + + y = 5 y = 5 Bµi + y = + y = 64 TËp hîp ghiöm cñ hö bêt ph g tr h T m tëp hîp ghiöm cñ c c hö bêt ph g tr h su: 4 7 < Bµi 4 < + 5 + 5 + y 7 y Bµi + y 5y 9

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g 7 Thùc hµh týh to trª m y Trog gi o tr h µy chóg t sï sö dôg m y týh Ó gi i quyõt c c bµi to khã trog chuyª gµh gi i tých HiÖ y cã hiòu bé ch g tr h îc thiõt lëp cho môc Ých µy Mçi ch g tr h cã mét thõ m¹h riªg ChØ cç sö dôg thµh th¹o mét ch g tr h lµ sï dô dµg sö dôg c c ch g tr h kh c Trog khu«khæ gi o tr h µy chóg t«i giíi thiöu bé ch g tr h Mple V, hiö g îc sö dôg rég r i trog c c tr êg häc ë íc goµi 7 S l îc vò Mple V Mple V lµ bé ch g tr h týh to g kh å sé, h g cã thó cµi îc trª c c m y c h víi cêu h h b h th êg bé hí tèi thióu lµ 8MB Cµi Æt ch g tr h trª m y lµ phç viöc cñ c c hµ cug cêp phç mòm, chóg t chø cç qu t m tíi viöc sö dôg ch g tr h Ó týh to ViÖc khëi ég ch g tr h còg dô dµg h bêt kú ch g tr h øg dôg µo kh c h Word, Ecel, C c löh cñ Mple rêt gç víi c c g«g to häc, cho ª g êi sö dôg chø cç ¾m v g c c kh i iöm to häc c b vµ h g qui íc th«g th êg vò thø tù thùc hiö c c phðp týh, mµ kh«g cç ph i biõt tr íc mét g«g lëp tr h µo ViÖc viõt tª c c kh i iöm to häc b»g tiõg Ah kh«g ph i lµ iòu phiò hµ, v c c kh i iöm µy vè kh«g hiòu, vµ t còg kh«g cç ph i biõt tr íc v sï îc giíi thiöu trog qu tr h thùc hµh týh to C c bióu thøc to häc îc viõt trùc tiõp vµo dßg löh vµ îc thùc hiö theo thñ tôc th«g th êg ChØ cç l u ý r»g phðp h îc bióu diô b»g dêu so thý dô, b îc viõt lµ *b, phðp luü thõ b»g dêu mò thý dô, îc viõt lµ ^, phðp chi bióu thþ b»g g¹ch chðo thý dô chi cho b îc viõt lµ /b, c bëc cñ sè îc viõt lµ sqrt, vv KÕt thóc dßg löh ph i lµ dêu chêm phèy ;, trõ phi t kh«g muè cho kõt qu cñ löh hiö r mµ h h Ó kh«g ph i em c c kõt qu týh to trug gi th t kõt thóc löh b»g dêu chêm : Thùc hiö löh b»g c ch hê phým Eter, khi co trá g ë trª dßg löh C c týh to èi víi tõg chuyª môc cô thó sï îc h íg dé sog sog víi c c phç lý thuyõt Ng êi häc sï thêy c«g viöc týh to còg hñ hµg vµ hêp dé, chø kh«g g g¹i h tr b sè vµ rót th íc logrit T b¾t Çu viöc týh to thùc hµh cho chuyª môc µy còg h cho bêt cø chuyª môc µo su µy víi viöc vµo mét côm ö lý b»g c ch Ê chuét vµo ót cã bióu t îg [> hoæc b»g chøc g Isert/Eecutio Group/After Cursor cã s½ trª thh löh cñ gio diö lµm viöc Mét dêu h¾c löh "[>" sï hiö r chê îi t löh vµo thùc hiö 7 C c phðp to trª tëp hîp ViÖc cho mét tëp hîp còg åg ghü víi viöc Þh ghü tëp hîp ã vµ îc thùc hiö b»g löh cã có ph p h su [> A:={ c c phç tö cñ tëp hîp}; trog ã A lµ tª cñ tëp hîp vµ := lµ dêu Þh ghü gåm dêu chêm i liò víi dêu b»g ThÝ dô, t cho tëp A gåm 4 phç tö,b,c,d b»g dßg löh su: [> A:={,b,c,d};

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Su khi Ê phým Eter Ó thùc hiö löh, m y sï cho hiö kõt qu lµ {, b, c d} A :=, vµ mét dêu h¾c löh [> tù ég uêt hiö cho t löh kh c vµo thùc hiö ThÝ dô, t cã thó Þh ghü tiõp mét tëp hîp B gåm cã 6 phç tö c,d,e,f,g,h h su [> B:={c,d,e,f,g,h}; { c, d, e, f, g h} B :=, B y giê t cã thó tiõ hµh c c phðp to trª tëp hîp h häc trog phç lý thuyõt, chø i l u ý mêy tõ tiõg h: hîp lµ uio, gio lµ itersect, phç bï trõ lµ mius ThÝ dô [> A uio B ; {, b, c, d, e, f, g, h} [> A itersect B ; [> B mius A ; { c, d} { e f, g, h}, Muè biõt phç tö µy cã thuéc tëp hîp ki hy kh«g t dïg löh member NÕu cã th m y cho tr lêi true óg, cß Õu kh«g th ã cho tr lêi flse si ThÝ dô [> member,a; true [> memberc,a; [> member,b; true flse 7 TÝh to trª tëp sè thùc Mäi bióu thøc sè häc Òu cã thó thùc hiö îc trª Mple mét c ch gi ChØ viöc viõt bióu thøc cç týh vµo su dêu h¾c löh theo qui t¾c ãi ë trª õg quª dêu chêm phèy ë cuèi dßg löh vµ hê phým Eter ThÝ dô [>^64+9!/!-^5+456789; 9849458759988 449788964886784945594 Mple cã kh g týh to chýh c trª mäi sè thùc, vµ v vëy kh«g cç ph i d kiö v«tû d íi d¹g c c sè thëp ph Êp Ø ThÝ dô, c c sè v«tû h π,, π +, îc vµo týh to trùc tiõp mµ kh«g cç qu c«g o¹ Êp

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Ø b»g c c sè thëp ph gç óg T cã thó em Êp Ø thëp ph cñ bêt kú sè v«tû µo víi é chýh c tuú thých tíi hµg gµ ch sè thëp ph Ó thùc hiö iòu µy t dïg löh h gi d íi d¹g thëp ph cã có ph p h su: [> evlf,; Trog ã lµ sè v«tû, cß lµ sè ch sè thëp ph tøc é chýh c cñ phðp Êp Ø ThÝ dô [> evlfpi,5; 459655897984664879588497699975 NÕu kh«g cho gi trþ th m y tù ég lêy é chýh c lµ ch sè thëp ph Trog thùc tõ, cã h g sè v«tû îc bióu diô b»g h g c«g thøc cåg kòh vµ phøc t¹p, khiõ t rêt khã h h dug gi trþ cñ ã ThÝ dô h : π + π + π + 5 Khi Êy viöc biõt îc gi trþ thëp ph Êp Ø cñ ã lµ rêt cã ý ghü ThÝ dô [> evlfsqrtsqrtpi+*sqrtpi+-sqrtpi+5; 44698 Râ rµg, y lµ mét c«g cô h u hiöu Ó so s h c c sè v«tû phøc t¹p chø cç h gi hiöu cñ chóg lµ t biõt îc sè µo lí h Trog qu tr h týh to, hêt lµ khi gi i ph g tr h, lêy giíi h¹, týh vi ph vµ tých ph, t cã thó gæp ph i h g sè v«tû ch tõg îc biõt Õ bo giê ª còg ch tõg Æt tª hoæc cã ký hiöu bióu diô cho ã Khi Êy m y còg kh«g cã c ch µo bióu thþ cho t em îc Víi h g sè h vëy th chø cß c ch lµ em Êp Ø thëp ph cñ ã 7 T m tëp ghiöm cñ ph g tr h vµ bêt ph g tr h T m tëp ghiöm cñ ph g tr h f= T biõt r»g ph g tr h bëc cã thó gi i dô dµg b»g c thøc, vµ do ã cã thó kh«g cç hê tíi m y Ph g tr h bëc vµ bëc 4 còg gi i îc b»g c thøc, h g kh«g mêy i hí îc c«g thøc gi i chóg v qu cåg kòh phøc t¹p Víi ph g tr h bëc 5 trë lª vµ c c ph g tr h v«tû th ch¼g cã c«g thøc µo Ó hí, dï muè Nãi chug, víi c c ph g tr h tõ bëc trë lª t th êg chø que gi i b»g mño hoæc mß ghiöm, vµ chø cã thó gi i îc vµi ph g tr h Æc biöt do co g êi tù thiõt kõ r Tr íc c c ph g tr h y sih tõ c c bµi to thùc tiô kh«g îc t¹o r theo ý muè th t th êg ph i bã ty Víi Mple, t h tr¹g µy sï kh«g cß Nã sï gióp t v ît qu h g bµi to khã thùc sù chø ph i lµ khã gi t¹o do i ã dùg lª Ó tiõ hµh gi i ph g tr h, t vµo côm ö lý víi dêu h¾c löh "[>" råi tiõ hµh khi b o ph g tr h cç gi i f = vµ Æt tª cho ã lµ eq víi dßg löh cã có ph p h su:

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g [> eq:=f=; Su khi Ê phým "Eter" sï uêt hiö r c«g thøc bióu diô ph g tr h Su dêu h¾c "[>" tù ég sih r su löh tr íc t h tiõp löh gi i ph g tr h võ hëp, cã có ph p h su: [> solveeq,{}; Su khi Ê phým "Eter" m y sï thùc hiö viöc týh to vµ cho t tëp ghiöm cñ ph g tr h cç gi i Víi h g ph g tr h g¾ gä kh«g sî hçm lé, t cã thó gãi gä c b íc trª trog c u löh [> solvef=,{}; ThÝ dô Gi i ph g tr h NhËp ph g tr h 4 + 5 + 6 4 6 = [> eq:= ^4+5*^+6*^-4*-6 = ; Su dêu ; t Ê phým "Eter" m y hiö ph g tr h cç gi i, tøc lµ Gi i ph g tr h [> solveeq,{}; 4 eq : = + 5 + 6 4 6 = ; Su dêu ; t Ê phým "Eter" m y sï hiö tëp ghiöm cñ ph g tr h gåm hi ghiöm thùc vµ hi ghiöm phøc h su { = 5 }, { = 5}, { = + I 7}, { = I 7}, trog ã I lµ ký kiöu vþ o chø kh«g ph i lµ i h t vé que dïg L u ý Khi ph g tr h cã hiòu ghiöm víi bióu diô cåg kòh th m y cã thó chø cho t mét trog sè c c ghiöm NÕu muè biõt têt c, t dïg löh em têt c c c gi trþ tëp ghiöm víi có ph p [> llvlues ; vµ khi ghiöm lµ mét sè v«tû ch tõg thêy bo giê th m y r ghiöm t îg tr g d íi d¹g RootOf{} T cã thó biõt gi trþ Êp Ø thëp ph cñ ã víi é chýh c tuú ý b»g löh h gi Êp Ø thëp ph giíi thiöu ë trª 4 6 = ThÝ dô T gi i ph g tr h + + b»g löh

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g [> solve^4-^+6*^-+=,{}; RootOf { Z 4 Z + 6Z Z + } vµ Ó biõt ã lµ g t dïg tiõp löh em Êp Ø thëp ph cñ têt c c c thµh phç trog tëp hîp trª [> evlfllvlues"; { = 454959-69448485*I}, { = 454958+69448485*I}, { = 4586468e-+7469659*I}, { = 45864594e--74696584*I} NhË Ðt Râ rµg trª y lµ h g ph g tr h mµ kh«g thó gi i îc b»g mño hy b»g mß ghiöm, mµ chø cã thó gi i b»g c c ph g ph p c b víi sù hç trî cñ m y týh Thùc hµh KiÓm tr c c löh gi i ph g tr h + 5 = 5 d íi y råi thùc hiö [> eq:=sqrt+sqrt-5=sqrt5; [> solveeq,{}; hoæc dïg löh su [>solvesqrt+sqrt-5=sqrt5,{}; KiÓm tr c c löh gi i ph g tr h + = 6 d íi y råi thùc hiö [> eq:=*+sqrt-=6; [> solveeq,{}; hoæc dïg löh su [>solve*+sqrt-=6,{}; b Bµi tëp rì luyö kü g H y gi i c c ph g tr h su b»g c c ch dïg m y vµ kh«g dïg m y + = 4 + ; + = 5 ; + + + = ; 4 4 + = + + ; 5 + + + = + 6 = T m tëp hîp ghiöm cñ bêt ph g tr h f< Su vµo dêu h¾c " [> " th hëp dßg löh khi b o vµ Æt tª cho bêt ph g tr h f < cç gi i 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g [> ieq:=f<; Su khi Ê phým "Eter" sï uêt hiö bêt ph g tr h cç gi i vµ dêu h¾c míi T vµo tiõp löh gi i [> solveieq, {}; Su khi Ê phým "Eter" m y sï hiö tëp ghiöm cñ bêt ph g tr h cç gi i L u ý r»g dêu îc bióu thþ trog c u löh b»g dêu < vµ = i liò hu ThÝ dô T gi i bêt ph g tr h 4 + 5 4 + h su [> ieq:=*sqrt^-4*+5 <= ^-4*+; ieq : = 4 + 5 4 + [> solveieq,{}; { }, { + } Thùc hµh Gi i bêt ph g tr h < + b»g c c löh su: [> ieq:=sqrt+/-sqrt-/>-/; [> solveieq,{}; Gi i bêt ph g tr h + b»g c c löh [> ieq:=sqrt+-sqrt- <= ; [> solveieq,{}; 4 Gi i bêt ph g tr h + b»g c c löh [> ieq:= - <= sqrt^4-*^+; [> solveieq,{}; 4 b Bµi tëp rì luyö kü g Gi i c c bêt ph g tr h su b»g c c ch dïg m y vµ kh«g dïg m y < ; + < ; < + ; 4 5 + 4 < + 9 ; 5 5 5 + < + + 4 T m tëp hîp ghiöm cñ hö ph g tr h vµ bêt ph g tr h Tr íc hõt cç tõg hëp ph g tr h cñ hö, thý dô: [> eq:=f[],y=; 5

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g [> eq:=f[],y; Su ã t r löh gi i cã có ph p h su: [> solve{eq,eq},{,y}; Su khi Ê phým "Eter" m y sï hiö tëp ghiöm cñ hö ph g tr h cç gi i Víi hö cã hiòu ph g tr h vµ hiòu È t còg lµm t g tù ThÝ dô Gi i hö ph g tr h + y + y = 5 + y = 5 b»g c c löh h su y: [> eq := sqrt+sqrty+sqrt*y=5; [> eq:=+y=5; [> solve{eq,eq},{,y}; eql : = + y + y = 5 eq:= + y = 5 {y = 4, = }, { = 4, y = } ThÝ dô Gi i hö bêt ph g tr h 4 7 < 4 < + 5 + 5 b»g c c löh su: [> ieq:=sqrt4*-7<; ieq : = 4 7 < [> ieq:=sqrt+5+sqrt5->4; ieq : = 4 < + 5 + 5 [> solve{ieq,ieq},{}; {-4 <, < 4}, {4 < } Thùc hµh Gi i hö ph g tr h b»g c c löh: + + y = y = [> eq:=sqrt+sqrt-y=sqrt; [> eq:=sqrt-+sqrty=sqrt; [> solve{eq,eq},{,y}; 6

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Gi i hö ph g tr h + y + + y = 4 y = 8 b»g c c löh: [> q:=sqrt^+y^+sqrt**y=8*sqrt; [> eq:=sqrt+sqrty=4; [> solve{eq,eq},{,y}; 7

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Giíi h¹ cñ d y sè D y sè D y sè lµ mét tëp v«h¹ c c sè thùc îc h sè vµ Õp thø tù h sè t g dç D y sè th êg îc ký hiöu lµ {,,,,} hy { } hoæc gi h { } Còg cã thó em d y sè lµ tëp gi trþ cñ hµm víi biõ sè tù hiª, îc Õp theo thø tù biõ t g dç: = f T gäi lµ sè h¹g tæg qu t cò d y sè, lµ chø sè ThÝ dô Víi hµm f =, t cã =, tøc lµ cã d y {,,,,} Víi = khi ch½ vµ = khi lî t cã d y {,,,,,} Giíi h¹ Sè îc gäi lµ giíi h¹ cñ d y sè { } Õu víi mçi sè d g ε bêt kú t cã thó t m îc chø sè o phô thuéc ε so cho ε, + ε tøc lµ < ε víi mäi o Khi ã t viõt = lim vµ ãi r»g d y sè { } lµ héi tô tíi ThÝ dô Víi = t cã lim = v víi ε > bêt kú, lêy o ñ lí Ó = < ε khi o DÔ dµg kióm chøg r»g víi = th { } kh«g héi tô o > th ε MÖh Ò NÕu { } héi tô th giíi h¹ cñ ã duy hêt 7

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Chøg mih Gi sö vµ b lµ hi giíi h¹ cñ { } víi > b Khi ã víi ε = b > t sï t m îc o so cho ε, + ε vµ víi mäi o 4 iòu µy v«lý v ε, + ε ε, b + ε = TÝh chêt cñ c c d y héi tô TÝh giíi éi D y sè { } gäi lµ bþ chæ trª bþ chæ d íi Õu tå t¹i sè c so cho < c < víi mäi Khi d y sè võ bþ chæ trª võ bþ chæ d íi t ãi ã giíi éi MÖh Ò Mäi d y héi tô Òu giíi éi Chøg mih Gi sö = LÊy ε = lim, theo Þh ghü cñ giíi h¹, tå t¹i o so cho < víi mäi o Æt c = m{,,, + } t cã < c víi mäi =,, VËy { } giíi éi Chó ý Kh«g ph i d y giíi éi µo còg héi tô, h d y { } ch¼g h¹ TÝh b o toµ thø tù MÖh Ò Gi sö = lim, b = lim b vµ b víi mäi o µo ã Khi Êy b b Chøg mih Gi sö g îc l¹i lµ < b LÊy ε = Theo Þh ghü, tå t¹i > o ñ lí Ó ε, + ε vµ b b ε, b + ε víi mäi DÜ hiª + ε < b ε Do vëy < b víi, m u thué víi gi thiõt, h vëy b D y há v«cïg vµ d y lí v«cïg D y há v«cïg T ãi { } lµ d y há v«cïg Õu ã héi tô tíi Gi sö { } vµ { b } lµ hi d y bêt kú Khi ã c c d y { + b }, { b }, { b }, { / b } khi b gäi lµ d y tæg, hiöu, tých vµ th g cñ hi d y trª NhË Ðt { } héi tô tíi khi vµ chø khi d y { } há v«cïg MÖh Ò Gi sö { } lµ d y há v«cïg Khi ã: i NÕu { b } lµ d y há v«cïg th { + b } còg lµ há v«cïg; ii NÕu { b } giíi éi th { b } lµ d y há v«cïg o c 8

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Chøg mih Gi sö { } vµ { b } há v«cïg, khi ã víi mäi ε >, t t m îc ε ε ε ε N Ó [, ] khi N vµ t m îc N Ó b [, ] khi N Do ã + b [ ε,ε ] khi m N, N, chøg tá lim + b =, tøc lµ { + b } há v«cïg B y giê gi sö { } há v«cïg, cß { b } giíi éi, tøc lµ cã sè c Ó b c víi mäi ε ε Cho ε > bêt kú t t m îc N Ó [, ] khi N VËy b [ ε,ε ] c c, chøg tá lim b = vµ { b } lµ há v«cïg khi N HÖ qu NÕu { } há v«cïg vµ { b } héi tô th tých { b } há v«cïg Chøg mih T cã { } há v«cïg vµ { b } giíi éi Theo möh Ò trª { b } há v«cïg D y lí v«cïg T gäi { } lµ d y lí v«cïg Õu víi mäi sè d g α t cã thó t m îc N Ó > α víi mäi N D y d g d y m lí v«cïg Õu ã lµ d y lí v«cïg vµ víi ñ lí < Khi ã t viõt lim + lim = > = NhË Ðt { } lµ d y lí v«cïg khi vµ chø khi { } lµ d y há v«cïg { } vµ { b } lµ h g d y lí v«cïg åg dêu d g hoæc m, th { + b } lµ d y lí v«cïg { } lµ d y lí v«cïg, { b } héi tô víi giíi h¹ kh c kh«g th { b } lí v«cïg 4 Mét sè quy t¾c týh giíi h¹ 4 C c phðp týh MÖh Ò Cho lim =, lim b = b Khi ã: lim + b = + b, lim b = b ; lim b b, lim / b = b khi b = Chøg mih T cã { } vµ { b b / } lµ h g d y há v«cïg Cho ª { + b b }, { b b }, + { b b }, { b b }, { b b } 9

Ch g D y sè vµ Chuçi sè lµ h g d y há v«cïg Do ã: lim + b = + b, lim b = b, lim b b = Khi b t t m îc α > Ó b > α víi mäi ñ lí Do ã b = b b = b b b b b b b b vµ lµ d y há v«cïg, v bþ chæ bëi b b bb { b b } lµ há v«cïg Chøg tá lim = b b 4 Hi guyª lý c b vò giíi h¹ bα vµ c c d y { }, T gäi { } lµ d y kh«g gi m kh«g t g Õu + + NÕu bêt ¼g thøc lu«lu«chæt t sï cã d y iöu t g iöu gi m Þh lý Weierstrss: Mäi d y kh«g gi m vµ bþ chæ trª kh«g t g vµ bþ chæ d íi Òu héi tô Chøg mih T chø cç chøg mih cho tr êg hîp d y kh«g gi m vµ bþ chæ trª tr êg hîp cß l¹i chøg mih t g tù Khi tëp A = { : =,, } bþ chæ trª th α = supa tå t¹i h u h¹ T cã α víi mäi, vµ víi bêt kú ε >, t m îc N Ó N [ α ε, α] Nh g { } kh«g gi m ª N tøc lµ [ α ε, α] víi mäi N iòu µy chøg tá lim = α Þh lý îc chøg mih og Chó ý NÕu { } kh«g gi m kh«g t g vµ kh«g bþ chæ trª d íi th lim = + lim = Þh lý Gi sö lim = limb = vµ tå t¹i chø sè o Ó so cho khi > o th c bþ kñp gi vµ b tøc lµ c b Khi ã { c } héi tô vµ lim c = Chøg mih Víi mäi ε >, tå t¹i N, N so cho ε, + ε khi N vµ b ε, + ε khi N LÊy N = m N, N t cã, b ε, + ε víi mäi N ThÕ h g c b khi, ª c ε, + ε, víi mäi m N, Chøg tá lµ giíi h¹ cñ { c } Þh lý îc chøg mih og L u ý Hi guyª lý trª tuy gi h g cã ý ghü v«cïg qu träg Nã chýh lµ ch kho cho t týh giíi h¹ cñ hçu hõt c c d y vµ su µy lµ c c hµm kh«g tçm th êg mµ chóg t sï gæp trog suèt gi o tr h gi i tých

Ch g D y sè vµ Chuçi sè 4 Mét sè vý dô vò týh giíi h¹ cñ d y sè ThÝ dô c lim + =, c, ThËt vëy, bêt ¼g thøc Beroulli dô dµg chøg mih b»g quy ¹p ãi r»g + +, [,], N Cho ª khi ñ lí t cã c c, vµ c + c + c + c c = = + c, = c + c c + c Tõ týh chêt cñ d y sè bþ kñp gi d y sè cã cïg giíi h¹ t suy r iòu cç chøg mih ThÝ dô XÐt d y sè u = + B»g c ch khi trió theo hþ thøc Newto u! k k k = = k! k! k! k= k= u < u + vµ vµ so s h trùc tiõp t thêy gy u = < + = + = <, k= k! k= k k + k= k k + víi mäi sè Nh vëy d y sè t g vµ bþ chæ trª, cho ª giíi h¹ lim + tå t¹i Ng êi t ký hiöu giíi h¹ µy lµ e y lµ mét sè kh Æc biöt mµ chóg t sï gæp th êg uyª trog ch g tr h gi i tých ThÝ dô Víi mçi sè d g t Ðt d y sè v = + T g tù h trª, t thêy gy d y lµ iöu t g MÆt kh c, ã còg bþ chæ trª Thùc vëy, lêy sè guyª d g N>, t cã N v N N N = + < + = +, vµ sï cã v < víi mäi ñ lí, Õu h víi mäi sè h u tû q ñ lí bêt ¼g thøc su lu«y r N

Ch g D y sè vµ Chuçi sè q + < q iòu µy îc suy r tõ hë Ðt r»g lu«t m îc sè tù hiª so cho q +vµ khi ñ lí q q + + < + < + q = + + < e + = e + Nh vëy d y v lµ t g vµ bþ chæ trª, cho ª ã cã giíi h¹ ThÝ dô 4 Víi sè d g t Ðt d y sè Chó ý r»g MÖh Ò Giíi h¹ b = = + e <, cho ª tõ sù tå t¹i cñ c c giíi h¹ trog c c ThÝ dô, vµ c«g thøc týh giíi h¹ cñ th g t suy r tå t¹i giíi h¹ lim lim = + lim + tå t¹i víi mäi sè thùc Chøg mih MÖh Ò trª lµ sù tæg hîp c c kõt qu cñ c c ThÝ dô,4 MÖh Ò Víi mäi sè thùc,b t cã ¼g thøc su b lim + + = lim + Chøg mih Chó ý r»g ph g ph p chøg mih trog ThÝ dô cho thêy kõt qu vé óg víi c kh«g ph i lµ h»g sè mµ lµ mét ¹i l îg bþ chæ khi tiõ r v«b cïg, cho ª víi c= t cã + b + + lim b = lim + + + Tõ y t cã gy iòu cç chøg mih =

Ch g D y sè vµ Chuçi sè HÖ qu + y lim + = + lim y lim + Chøg mih Sö dôg möh Ò trª víi =+y, b=y t sï cã + y + y y lim + = lim + + = + lim y lim + y = lim + + 5 C c kh i iöm liª qu vµ tiªu chuè Cuchy 5 D y co Gi sö { } lµ d y sè vµ < < lµ h g sè tù hiª Khi ã { } îc gäi lµ d y co cñ { } i = MÖh Ò lim = khi vµ chø khi mäi d y co { } Òu héi tô tíi i Chøg mih Gi sö { } héi tô tíi vµ { } lµ mét d y co Cho ε > bêt kú, t t m îc Ó i [ ε, + ε] khi i > HiÓ hiª lµ i i, do vëy [ ε, + ε], víi mäi i Chøg tá lim = i Tr i l¹i, gi sö mäi d y co héi tô tíi, v { } còg lµ d y co cñ chýh ã ª lim = 5 ióm tô T ãi lµ ióm tô cñ d y sè { } Õu víi mäi ε > vµ mäi k > t t m îc > k Ó ε, + ε Chó ý NÕu lµ giíi h¹ cñ { } th lµ ióm tô cñ d y µy h g tr i l¹i kh«g óg, thý dô víi = th c ióm vµ Òu lµ h g ióm tô cñ { } h g râ rµg d y µy kh«g cã giíi h¹ MÖh Ò ióm lµ ióm tô cñ { } khi vµ chø khi cã d y co cñ { } héi tô tíi Chøg mih Gi sö lµ ióm tô cñ { } LÊy ε = t t m îc, k k + DÔ thêy { } k k k héi tô tíi Ng îc l¹i Õu cã d y co } héi tô tíi th víi mäi ε >, t t m îc Ó ε, + ε { i i i i

Ch g D y sè vµ Chuçi sè khi i Víi ε > vµ k cho tr íc chø cç lêy i m, k lµ t cã ε, + ε Chøg tá lµ ióm tô i Þh lý Bolzo-Weierstrss: Mäi d y giíi éi Òu cã ióm tô Chøg mih Gi sö [ α, β ] víi mäi Æt α = α, β = β Chi «i [ α, β] Ký hiöu [ α, β ] lµ ö chø v«sè L¹i chi «i [ α, β ] vµ ký hiöu [ α, β ] lµ ö chø v«sè phç tö cñ { }, T cã β α = α β ;{ α } lµ d y sè kh«g gi m, { β } lµ d y sè kh«g t g Chóg bþ chæ ª tå t¹i giíi h¹ = lim α, b = lim β Do lim β α = t cã = b Râ rµg lµ ióm tô 5 Tiªu chuè héi tô Cuchy Þh ghü D y { } gäi lµ d y c b d y Cuchy Õu víi mçi ε > tå t¹i so cho < ε víi mäi, m m Þh lý D y { } héi tô khi vµ chø khi ã lµ d y c b Chøg mih Gi sö lim = Khi ã víi mäi ε > t cã thó t m îc sè Ó ε ε ε ε <, m < víi mäi m, > Do vëy + m < + = ε Tr i l¹i, khi { } lµ d y c b th ã giíi éi ThËt vëy, lêy ε = t t m îc sè N so cho < víi mäi > N Æt t cã N c = m{,,, + }, N N c víi mäi Theo Þh lý Bolzo-Weierstrss sï tå t¹i mét d y co cñ d y { } lµ { i } héi tô tíi ch¼g h¹ T sï chøg mih r»g chýh d y { }còg ε ε héi tô tíi ThËt vëy, víi mäi ε > t t m îc sè i o Ó i, + khi i i Còg víi ε > trª, do { } lµ d y c b, t l¹i t m îc M Ó m ε <, víi mäi, m M LÊy = m M, i, víi t cã VËy lim = i + i ε ε < + = ε 4

Ch g D y sè vµ Chuçi sè 54 Giíi h¹ trª vµ giíi h¹ d íi ióm gäi lµ giíi h¹ trª giíi h¹ d íi cñ { } Õu víi mäi ε > vµ mäi k t t m îc > vµ k > k Ó + ε, ε, víi mäi vµ ε, + ε k Ký hiöu giíi h¹ trª lµ limsup Þh lý D y sè { } lµ héi tô khi vµ chø khi hy lim, giíi h¹ d íi lµ limif hy limsup = lim if lim Chøg mih Gi sö { } héi tô tíi Víi ε > bêt kú, t t m îc N Ó [ ε, + ε] víi mäi > N Do vëy = lim sup vµ = lim if Tr i l¹i, Õu = lim sup = limif, th cho ε > bêt kú t sï t m îc c c sè, N + ε víi mäi N vµ ε víi mäi N N so cho LÊy N lµ sè lí h c hi sè N, N, t thêy [ ε, + ε] mçi khi > N iòu µy chøg tá = lim ThÝ dô Sö dôg Þh lý trª t thêy r»g d y { + } kh«g héi tô, v lim sup + = vµ lim if + = 6 Chuçi sè 6 Kh i iöm ThÝ dô Cho { } lµ mét d y T gäi S = + + + lµ tæg riªg NÕu d y { S } héi tô tíi S h u h¹ th t ãi chuçi sè +, lµ héi tô vµ gäi S lµ tæg cñ chuçi sè Ký hiöu + S = i i = NÕu d y { S } kh«g héi tô, t ãi chuçi ph kú =, S = + 4 DÔ dµg chøg mih r»g + + = = lim S = lim =, 5

Ch g D y sè vµ Chuçi sè cho ª chuçi héi tô vµ S = = = b =, S = tiõ tíi VËy, chuçi lµ ph kú = 6 Mét sè týh chêt MÖh Ò NÕu = NÕu = vµ = b héi tô th chuçi tæg + b lµ héi tô vµ = th víi mäi sè α, chuçi = = + b = + b = α còg héi tô vµ α = α = = Chøg mih Gäi b S, S, S + b, S α lµ tæg riªg cñ c c chuçi ªu trog Þh lý Khi Êy: + b S = S + S S α b = α S Dïg c c týh chêt cñ d y héi tô t sï cã + b, b lim S = lim S + lim S vµ Tõ y rót r kõt luë cñ möh Ò lim S α = α lim S MÖh Ò NÕu = héi tô th lim = Chøg mih NÕu chuçi trª héi tô th c c d y tæg riªg { S } vµ { S + } Òu héi tô tíi mét giíi h¹ S = = Do vëy: lim = lim S S = lims lims + + = = Chó ý Tõ lim = ch thó suy r chuçi héi tô ThÝ dô chuçi ph kú, mæc dï = = = lµ héi tô Õ ThËt vëy: e > + suy r + > l + hy > l = l + l S S 6

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Tõ y t cã S = > l + i i= Do ã lim S =, ghü lµ chuçi ph kú = 7 So s h chuçi 7 So s h trùc tiõp MÖh Ò NÕu = héi tô vµ b víi mäi, th chuçi = b héi tô b i i= Chøg mih T chøg mih d y tæg riªg { V = + m i= bi i= bi = m i= b + i } héi tô ThËt vëy, víi vµ m bêt kú: héi tô, tõ tiªu chuè Cuchy t suy r gy iòu cç chøg mih ThÝ dô Chøg mih chuçi héi tô = T biõt chuçi héi tô tíi So s h hi chuçi t cã: = Theo Þh lý = 7 So s h tû sè MÖh Ò Cho hi chuçi bêt kú = i NÕu = ii NÕu = héi tô vµ = = b víi b > m i= b héi tô vµ lim < b th héi tô; = b ph kú vµ lim > th ph kú b = + i 7

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Chøg mih GØ thiõt = b héi tô vµ lim = α Khi Êy tå t¹i sè β > α Ó b βb víi mäi Chuçi b héi tô, vµ theo Þh lý so s h trùc tiõp còg héi = = tô Trog tr êg hîp su, do lim > t t m îc sè vµ ε > Ó b víi b ε mäi NÕu = b héi tô, vµ do ã = = kú héi tô, th = còg héi tô Theo Þh lý so s h trùc tiõp, b héi tô, tr i víi gi thiõt b ph kú VËy ph = = ThÝ dô XÐt týh héi tô cñ chuçi = T biõt r»g chuçi / héi tô H lim = Do vëy = / = héi tô 7 Chuçi dêu Chuçi gäi lµ chuçi dêu Õu <, + > hoæc >, + < víi mäi = Ó tiö lîi hiòu khi g êi t viõt chuçi dêu d íi d¹g + víi > MÖh Ò Gi sö chuçi dêu + víi > thá m c c týh chêt su: i D y { } lµ d y gi m; ii lim = Khi ã chuçi héi tô Chøg mih XÐt c c tæg riªg S vµ S t cã: S + 4 = + + +, S + = S + + NhË Ðt r»g { S } lµ mét d y t g, bþ chæ trª bëi Do ã H lim + =, ª S lims = tå t¹i lim S lims + lim = S + = + 8

Ch g D y sè vµ Chuçi sè Do d y { S } vµ d y { S + } vðt hõt d y { S }, chóg l¹i cïg cã giíi h¹ S, ª t kõt luë lim = S vµ chøg tá chuçi cho tr íc héi tô S ThÝ dô XÐt héi tô cñ chuçi = y lµ chuçi dêu, thá m mäi yªu cçu cñ Þh lý, ª chuçi héi tô 74 Chuçi héi tô tuyöt èi Chuçi = Chuçi = èi gäi lµ héi tô tuyöt èi Õu chuçi = héi tô mµ chuçi = héi tô ph kú th t ãi chuçi = héi tô kh«g tuyöt ThÝ dô Chuçi = Chuçi = héi tô tuyöt èi v chuçi = héi tô héi tô kh«g tuyöt èi v chuçi ph kú = MÖh Ò Mäi chuçi héi tô tuyöt èi Òu héi tô Chøg mih XÐt d y tæg riªg { S } cñ chuçi héi tô tuyöt èi vµ d y tæg = riªg { S } cñ chuçi T cã S+ m S = + + + + m S + m S V = d y { S } héi tô, ª ã lµ d y c b Do vëy { S } còg lµ d y c b vµ suy r d y S } héi tô Chøg tá chuçi héi tô = { 9

Bµi tëp vµ TÝh to thùc hµh Ch g D y sè C u hái cñg cè lý thuyõt Bµi ViÕt bè sè h¹g Çu cñ d y cã sè h¹g tæg qu t su: + ; + si π ; e ; 4 Bµi Trog h g möh Ò su, möh Ò µo óg, möh Ò µo si, gi i thých:! Mét d y héi tô th giíi éi Mét d y giíi éi th héi tô Mét d y dç r v«cïg th kh«g bþ chæ 4 Mét d y kh«g bþ chæ th dç r v«cïg 5 iòu kiö cç vµ ñ Ó lim = lµ lim u = víi k lµ mét sè tù hiª cè Þh u + k µo ã 6 iòu kiö cç vµ ñ Ó lim = lµ = u u k k lim víi { } sè tù hiª 7 iòu kiö cç vµ ñ Ó lim = h u h¹ hoæc v«h¹ lµ u u { lim = vµ lim = u + Bµi Gi sö d y { } héi tô, d y } víi: u = + y ; u = y u Bµi 4 Gi sö lim u =, H y chøg mih lim + = u lµ mét d y co cñ d y y ph kú Cã thó ãi g vò sù héi tô cñ c c d y { u } 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g u Víi = h y chøg mih r»g Õu lim + u+ tå t¹i th lim víi mçi u u u+ u q h y t m vý dô chø r lim = q Tuy hiª, h y lêy vý dô chøg tá lim + u u cã thó kh«g tå t¹i Bµi 5 Tå t¹i hy kh«g giíi h¹ lim si Bµi 6 Chøg mih c c d y su y lµ há v«cïg: u = ; u = ; u = ; + π 4 u = si ; 5 u = q víi q < Bµi 7 Chøg mih c c d y su lµ lí v«cïg: u = ; α 4 u = víi α > ; 5 u = ; = l l ; u = q víi q > u Bµi 8 Gäi u lµ sè h¹g tæg qu t cñ cêp sè cég Chøg mih r»g lim u = iòu ã cß óg víi cêp sè h kh«g? Bµi 9 Chøg mih r»g Õu lim = th lim = u u Ng îc l¹i cã óg kh«g? TÝh giíi h¹ cñ d y Bµi TÝh c c giíi h¹ su: + lim 5 + 7 ; lim 7 ; + 6 5 π 4 lim ; 5 lim cos ; + 5 + 6 7 lim + + + ; + 8 9 lim ; + + + + + lim ; 9 4 + si! lim ; + Bµi T m c c sè thùc b,c,d so cho d y sè { } c Þh bëi c«g thøc tho m iòu kiö: + b = =,, c + d = vµ 8 lim = 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi Chøg mih lim = lim =! lim = 4 lim! = D y iöu vµ d y bþ chæ k > + Bµi Chøg mih d y u = lµ d y iöu t g T m lim u + Bµi Cho vµ b lµ hi sè d g < b Hi d y sè { u } vµ { v } îc c Þh h su: Chøg mih r»g Bµi T m giíi h¹ cñ c c d y su:,;,;,; ; ; ; ; u v, v = b, u = uv, v = + u = + + + b lim u = lim v = Bµi 4 T m têt c h g thuéc so cho d y { } c Þh bëi c«g thøc lµ d y sè t g + =, lµ sè tù hiª, Bµi 5 Chøg mih r»g d y = +, =,, iöu t g vµ bþ chæ trª, cß + d y = +, =,, iöu gi m vµ bþ chæ d íi Suy r lim = lim y = e Bµi 6 Chøg mih r»g mét d y iöu sï héi tô Õu ã cã mét d y co héi tô 4 Tiªu chuè Cuchy Bµi Chøg mih sù héi tô cñ c c d y su b»g tiªu chuè Cuchy: si si si = + + + ; = + + + + cos! cos! cos! = + + + ; + Bµi Dïg tiªu chuè Cuchy, h y chøg mih sù ph kú cñ c c d y su: = + + + + ; = + + + l l l 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g 5 Giíi h¹ trª, giíi h¹ d íi Bµi Chøg mih r»g lim + lim y lim + y lim + lim y lim + y lim + lim y H y chø r c c vý dô chøg tá cã c c dêu bêt ¼g thøc thët sù Bµi Chøg mih r»g Õu lim tå t¹i th víi mäi d y { y } t lu«cã lim + y = lim + lim y ; lim y = lim lim y Ng îc l¹i, cho tr íc d y { }, Õu víi mçi d y { } thøc su îc tho m ' ' lim + y = lim + lim y ; lim y = lim lim y th d y { } héi tô Bµi Chøg mih r»g Õu > vµ lim lim = y th d y { } Bµi 4 T m giíi h¹ trª vµ giíi h¹ d íi cñ c c d y su: = ; = + ; 6 Bµi tëp g co Ýt hêt mét trog hi bêt ¼g héi tô Bµi Chøg mih r»g víi mçi sè guyª d g cho tr íc ph g tr h cã óg mét ghiöm thùc T m Bµi Cho d y sè îc c Þh bëi + = + lim π = + cos + i =, + = víi mäi > T m 997 i= i+ + lim Bµi D y sè bþ chæ tho m iòu kiö: + + + víi mäi > cã hêt thiõt héi tô kh«g? Bµi 4 Trog d y sè d g, hoæc b»g h¹ thuéc kho g, kh«g? hoæc b»g D y sè µy cã thó cã giíi 4

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi 5 Cho f = + + + vµ i= = i= f i Chøg mih r»g f i Bµi 6 Cho sè tù hiª c D y sè tù hiª } îc y dùg h su: { lim = = c, = +, =, [] lµ ký hiöu sè guyª lí hêt kh«g v ît qu Chøg mih lim = Bµi 7 Cho sè thùc thuéc kho g, D y sè { } îc c Þh bëi c«g thøc π 4 rccos + + rcsi =, =, =,, π Chøg mih r»g d y { } cã giíi h¹ h u h¹ H y t m giíi h¹ ã Bµi 8 Cho sè thùc D y { } îc c Þh bëi c«g thøc: =, = + víi mäi =,, Chøg mih r»g d y { } cã giíi h¹ h u h¹ vµ h y t m giíi h¹ Êy π Bµi 9 Cho d y = cos, + = T m lim 9 Bµi Cho d y sè { } tho m < < vµ + = + = víi mäi Chøg mih r»g d y { } héi tô TÝh giíi h¹ cñ d y Bµi Cho d y sè { } îc c Þh h su: =, = + Chøg mih r»g tå t¹i lim H y t m giíi h¹ ã Chuçi vµ tæg cñ chuçi Chøg mih trùc tiõp sù héi tô cñ c c chuçi su vµ týh tæg Bµi = + Bµi + + = + 44

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g = Bµi + + + Chøg mih sù héi tô hy ph kú cñ chuçi b»g dêu hiöu so s h vµ týh tæg c c chuçi héi tô Bµi = + Bµi + = + Bµi + = + Bµi 4 = Bµi 5 = + Bµi 6 = Bµi 7 = si + Chøg mih sù héi tô hy ph kú cñ chuçi b»g tiªu chuè Cuchy Bµi Cho chuçi sè d g = u, gi sö lim = C NÕu C < th chuçi héi tô; NÕu C > th chuçi ph kú; NÕu C = th ch cã kõt luë vò sù héi tô cñ chuçi H y chøg mih sù héi tô cñ c c chuçi su theo tiªu chuè Cuchy: = + Bµi = + + 45

Bµi tëp vµ týh to thùc hµh Ch g Bµi = l 4 Chøg mih sù héi tô hy ph kú cñ chuçi b»g tiªu chuè D Alembert Cho chuçi sè d g u+ u, gi sö lim = D = u NÕu D < th chuçi héi tô; NÕu D > th chuçi ph kú; NÕu D = th ch cã kõt luë vò sù héi tô cñ chuçi Dïg tiªu chuè D Alembert h y Ðt sù héi tô cñ c c chuçi su: Bµi! = Bµi = i= 4i Bµi = k= 5 Bµi tëp g co TÝh c c tæg su: i + si k + + cos k Bµi = + Bµi =! e + p Bµi = i=! + i Bµi 4 Bµi 5 = i= = i= p + i p i i i= p 46