Ch ng 1 Lý thuyõt bëc Brower (h u h¹n chiòu) 1.1 X y dùng bëc cña nh x¹ liªn tôc BËc cña mét nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, trong ã Ω lµ mét tëp më, bþ chæ
|
|
- Vương Trần
- 4 năm trước
- Lượt xem:
Bản ghi
1 Ch ng 1 Lý thuyõt bëc Brower (h u h¹n chiòu) 1.1 X y dùng bëc cña nh x¹ liªn tôc BËc cña mét nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, trong ã Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n, t¹i mét ióm y (kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω) trong R n èi víi tëp Ω cã thó h nh dung nh lµ sè ( ¹i sè) c c nghiöm cña ph ng tr nh f(x) = y trong Ω. NÕu bëc b»ng 0 th ta ch a kõt luën îc nhiòu, nh ng nõu bëc lµ mét sè kh c 0 (ch¼ng h¹n lµ sè lî) th ta ch¾c ch¾n ph ng tr nh f(x) = y cã nghiöm trong Ω. Cã nhiòu c ch Ó x y dùng lý thuyõt bëc Brower, ch¼ng h¹n t«p«¹i sè hoæc gi i tých. ë y, chóng t«i sï dïng c«ng cô gi i tých, mµ cô thó lµ c c Þnh lý Hµm ng îc, Þnh lý Hµm Èn, Þnh lý Sard, Þnh lý Schwarz (vò viöc æi thø tù lêy ¹o hµm riªng). Ó x y dùng lý thuyõt bëc cho nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, t¹i mét ióm y (kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω) trong R n ta chia lµm ba b íc nh sau: ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) t¹i ióm y mµ nghþch nh cña nã kh«ng chøa ióm nµo cã Jacobien t¹i ã b»ng 0, ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n vµ f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ). Ta ký hiöu S = {x Ω Jf (x) = 0}, tëp nõp (crease) cña nh x¹ f, tëp gåm nh ng ióm x n»m trong Ω mµ Jacobien cña nh x¹ f t¹i ã b»ng 0. Khi ã, víi mçi ióm y mµ kh«ng n»m trong f(s) còng nh f( Ω) th tëp f 1 (y) chø gåm h u h¹n phçn tö. ThËt vëy, v gi sö kh«ng ph i vëy, do f 1 (y) Ω lµ tëp ãng, bþ chæn (compact) nªn nã cã mét d y {x n } n=1 (gåm
2 c c ióm ph n biöt), héi tô Õn x 0 f 1 (y). Cã Do ã, f(x 0 ) = y = f(x n ), vµ J f (x 0 ) 0 hay (f (x 0 )) 1 1. (f (x 0 )) 1 1 lim n f(x n ) f(x 0 ) f (x 0 )(x n x 0 ) x n x 0 = 0 (v«lý). Tõ ã ta cã Þnh nghüa bëc cña f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, vµ nghþch nh cña nã kh«ng chøa ióm nµo mµ Jacobien t¹i ã b»ng 0. Þnh nghüa 1. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \ (f(s) f( Ω)), f C 1 ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: { x f deg(f, Ω, y) := 1 (y) sgn J f(x), nõuf 1 (y), 0, nõu f 1 (y) =. B»ng Þnh nghüa ta cã thó týnh bëc cña mét sè nh x¹ Æc biöt (tuyõn týnh) sau. VÝ dô 1. BËc cña nh x¹ ång nhêt I : Ω R n, Ix = x, èi víi tëp Ω t¹i ióm y R n lµ { 1, nõu y Ω, deg(i, Ω, y) := 0, nõu y Ω. VÝ dô. BËc cña nh x¹ tuyõn týnh kh«ng suy biõn T : Ω R n, èi víi tëp Ω t¹i ióm y R n lµ { sgn(dett ), nõu y Ω, deg(t, Ω, y) := 0, nõu y Ω. VÝ dô sau y sï cho ta thêy deg(f, Ω, y) = 0 nh ng ph ng tr nh f(x) = y vén cã (sè ch½n) nghiöm. VÝ dô 3. Cho nh x¹ f : ( 1, 1) R, f(x) = x ɛ, (0 < ɛ < 1). Cã f (x) = x, 0 f({ 1, 1}) f({0}) vµ f 1 (0) = { ɛ, ɛ}, nh ng deg(f, ( 1, 1), 0) = 0. Ó chuyón sang b íc thø hai ta cçn Õn mét c ch x c Þnh kh c cña bëc. MÖnh Ò 1. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \ (f(s) f( Ω)), f C 1 ( Ω; R n ). Khi ã, tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 sao cho víi bêt kú ɛ, ϕ ɛ nµo mµ 0 < ɛ < ɛ 0, ϕ ɛ C0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ) vµ ϕ ɛ (x)dx = 1 R n th deg(f, Ω, y) = Ω ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx.
3 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 3 Chøng minh. NÕu f 1 (y) =, hay y f( Ω), th do Ω lµ tëp compact ( ãng, bþ chæn trong R n ) cã f( Ω) lµ tëp compact, nªn tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 < ρ(y, f( Ω)). Khi ã, víi 0 < ɛ < ɛ 0, x Ω cã ϕ ɛ (f(x) y) = 0. Do ã, ta cã ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx = 0 = deg(f, Ω, y). NÕu f 1 (y), mµ y f(s) f( Ω), nªn Ω f 1 (y) = {x 1,..., x m }, J f (x i ) 0 i = 1,..., m. Do f C 1 ( Ω : R n ), víi mçi i cã J f (x i ) 0, nªn theo Þnh lý Hµm ng îc tån t¹i l n cën më U i cña x i, l n cën më V i cña y sao cho f : U i V i lµ vi ph«i vµ J f Ui kh«ng æi dêu. Tån t¹i sè d ng ɛ 1 sao cho B(y, ɛ 1 ) m V i. Ta Æt W i = f 1 (B(y, ɛ 1 )) U i. Khi ã, Ω\( m W i ) lµ tëp compact nªn tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 < ɛ 1 mµ ɛ 0 < ρ(y, f( Ω\( m W i ))). Khi ã, víi ɛ, ϕ ɛ nµo mµ 0 < ɛ < ɛ 0, ϕ ɛ C 0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ) vµ R n ϕ ɛ (x)dx = 1 th nõu x W i ( i = 1,..., m) : ρ(y, f(x)) > ɛ 0 > ɛ, hay ϕ ɛ (f(x) y) = 0; cßn nõu x W i : sgn J f (x) = sgn J f (x i ) 0, do ã Ω ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx = = = m ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx W i m sgn J f (x i ) ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx m sgn J f (x i ). f(w i)=b(y,ɛ 1 ) 1.1. X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) Ó x y dùng kh i niöm bëc cho nh x¹ f thuéc líp C ( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω ta cçn Õn mönh Ò sau. MÖnh Ò. Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n, mét ióm y R n \ f( Ω), (ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0), vµ f C ( Ω; R n ). Khi ã, víi bêt kú y 1, y nµo ta còng cã nõu y i B(y, ρ 0 ), y i f(s), i = 1,, th deg(f, Ω, y 1 ) = deg(f, Ω, y ).
4 4 Chøng minh. LÊy 0 < δ < ρ 0 y y i, i = 1,. Theo MÖnh Ò 1, tån t¹i mét sè d ng ɛ < δ vµ mét hµm ϕ ɛ C0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ), sao cho víi i = 1, ta Òu cã Cã deg(f, Ω, y i ) = ϕ ɛ (z y 1 ) ϕ ɛ (z y ) = Ω ϕ ɛ (f(x) y i )J f (x)dx. 1 0 d dt ϕ ɛ(z y 1 + t(y 1 y ))dt trong ã, w(z) = ( 1 d ϕ 0 dt ɛ(z y 1 + t(y 1 y ))dt)(y 1 y ). Chó ý r»ng, víi z f( Ω), 0 < t < 1 cã = div(w(z)), (1.1) z (1 t)y 1 ty = (z y) + (1 t)(y y 1 ) + t(y y ) δ > ɛ nªn víi x Ω th w j (f(x)) = 0. Do ã, nõu Æt v i (x) = { n trong ã, A ij (x) = ( 1) i+j det{ l f k } l i,k j, th v i C 0 (R n ; R), supp v i Ω, vµ v i (x) x i = j,k=1 j=1 w j(f(x))a ij (x), nõu x Ω, 0, nõu x R n \ Ω, w j (f(x)) f k (x) A ij (x) + x k x i L¹i cã, nõu Æt g j = (f 1,..., f j 1, f j+1,..., f n ) t, vµ c j,i,k = j=1 w j (f(x)) A ij(x) x i. (1.) { det( 1 g j,..., i 1 g j, i+1 g j,..., k 1 g j, ik g j, k+1 g j,..., n g j ), nõu k > i, 0, nõu k = i, det( 1 g j,..., k 1 g j, ik g j, k+1 g j,..., i 1 g j, i+1 g j,..., n g j ), nõu k < i, cã A ij(x) x i = ( 1) i+j n k=1 c j,i,k, mµ f C ( Ω; R n ), theo Þnh lý Schwarz, ik g = ki g hay c j,i,k = ( 1) i+k 1 c j,k,i nªn A ij (x) x i = ( 1) i+j = c j,i,k = k=1 ( 1) k+j k=1 ( 1) i+j ( 1) i+k 1 c j,k,i k=1 c j,k,i = 0. (1.3)
5 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 5 Ngoµi ra, n div(v(x)) = = = f k (x) x i A ij (x) = δ jk J f (x) nªn tõ (1.)-(1.3) cã j,k=1 j,k=1 j,k=1 w j (f(x)) f k (x) A ij (x) + x k x i w j (f(x)) x k ( f k (x) ) A ij (x) x i + j=1 w j (f(x)) A ij(x) x i ( w j (f(x)) j=1 w j (f(x)) δ jk J f (x) = div(w(f(x)))j f (x) x k A ij (x) ) x i nªn tõ (1.1) deg(f, Ω, y 1 ) deg(f, Ω, y ) = (ϕ ɛ (f(x) y 1 ) ϕ ɛ (f(x) y ))J f (x)dx Ω = div(w(f(x)))j f (x)dx Ω = div(v(x))dx Ω = div(v(x))dx (v i C 0 (R n ; R), supp v i Ω) R m n i v i (x)) = dx i dx = 0, (v i (x) = 0, x Ω). x i R n 1 Tõ MÖnh Ò, víi mçi ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn th trong mét l n cën B(y, ρ 0 ), ρ 0 = ρ(y, f( Ω))(ρ lµ kho ng c ch Euclid trong kh«ng gian R n ), cña y trõ ra mét tëp f(s) cã é o 0 ( Þnh lý Sard), bëc cña f èi víi tëp Ω lµ nh nhau t¹i bêt kú ióm nµo. Ta cã thó Þnh nghüa bëc cho nh x¹ f C ( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y f( Ω) nh sau. Þnh nghüa. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \f( Ω), ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0, f C ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: trong ã, z B(y, ρ 0 ) \ f(s). deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z), NhËn xðt. 1. BËc deg(f, Ω, y) lµ hµm h»ng Þa ph ng èi víi y trªn tëp R n \ f( Ω).. Trªn mçi tëp liªn th«ng A R n \ f( Ω) bëc deg(f, Ω, y) lµ kh«ng thay æi X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C( Ω; R n ) ViÖc x y dùng bëc cho nh x¹ f thuéc líp C( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω còng cçn Õn mét MÖnh Ò, gièng nh MÖnh Ò, cho ta thêy týnh h»ng Þa ph ng cña bëc èi víi c c nh x¹ f thuéc líp C ( Ω; R n ).
6 6 MÖnh Ò 3. Cho Ω lµ tëp bþ chæn trong R n, f, g lµ c c nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) vµ y lµ mét ióm kh«ng n»m trªn nh cña biªn Ω cña nh x¹ f. Khi ã, tån t¹i mét sè d ng ɛ (phô thuéc vµo f, g, Ω) sao cho deg(f + tg, Ω, y) = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ. Chøng minh. Khi g = sup x Ω g(x) = 0 th ta dô dµng cã iòu ph i chøng minh. Khi g > 0, Ó chøng minh MÖnh Ò nµy, ta chia thµnh ba tr êng hîp sau. TH1: y f( Ω) hay ρ = ρ(y, f( Ω)) > 0. Víi ɛ = th ρ g ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, f( Ω)) t g ρ > 0, 0 < t < ɛ nªn deg(f + tg, Ω, y) = 0 = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ. TH: y f( Ω) \ (f(s) f( Ω)) cã f 1 (y) = {x 1,..., x m }, J f (x i ) 0, i = 1,..., m. XÐt nh x¹ h(t, x) = f(x) tg(x) y cã h(0, x i ) = 0, D x h(0, x i ) = f (x i ), mµ f C ( Ω; R n ), f (x i ) kh«ng suy biõn, nªn theo Þnh lý Hµm Èn tån t¹i sè d ng ɛ i, l n cën më U i cña x i vµ nh x¹ liªn tôc ϕ i : ( ɛ i, ɛ i ) U i sao cho ϕ i (0) = x i, h(t, ϕ i (t)) = 0 t ( ɛ i, ɛ i ), i = 1,..., m, vµ (t, ϕ i (t)) lµ nghiöm duy nhêt cña ph ng tr nh h(t, x) = 0 trong ( ɛ i, ɛ i ) U i. Do f, g C ( Ω; R n ) nªn ta cã thó thu nhá ( ɛ i, ɛ i ) U i sao cho c c U i «i mét rêi nhau, sgn J f+tg (x) = sgn J f (x) = sgn J f (x i ) (t, x) ( ɛ i, ɛ i ) U i, y (f + tg)( Ω \ ( m U i )) t ( ɛ i, ɛ i ). Æt ɛ = min 1 i m ɛ i, víi 0 < t < ɛ : (f + tg) 1 (y) = {ϕ 1 (t),..., ϕ m (t)} sgn J f+tg (ϕ i (t)) = sgn J f (ϕ i (t)) = sgn J f (x i ) 0 y (f + tg)(ω) \ ((f + tg)(s) (f + tg)( Ω)). t ( ɛ, ɛ), Khi ã, deg(f +tg, Ω, y) = m sgn J f+tg ((ϕ i (t))) = m sgn J f (x i ) = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ.
7 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 7 TH3: y f(s) \ f( Ω) cã z B(y, ρ ) \ f(s) sao cho 3 deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z). (1.4) Mµ z B(y, ρ 3 ) \ f(s) hay z f( Ω) \ (f(s) f( Ω)) nªn tõ TH tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 sao cho deg(f + tg, Ω, z) = deg(f, Ω, z), 0 < t < ɛ 0. (1.5) Chän sè d ng ɛ sao cho ɛ < min{ɛ 0, ρ(y,f( Ω)) 3 g }. Víi 0 < t < ɛ cã ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, f( Ω)) t g ρ(y, z) ρ(y, f( Ω)) 3 ρ(y, f( Ω)), 3 nªn ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, z) do ã, tõ (1.4), (1.5) cã deg(f + tg, Ω, y) = deg(f + tg, Ω, z) = deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y). Víi mçi f C( Ω; R n ), y f( Ω) nõu g 0, g 1 C ( Ω; R n ), f g i ρ(y,f( Ω)), i = 0, 1 th deg(g 1, Ω, y) = deg(g, Ω, y). ThËt vëy, víi 0 t 1 cã f (g 0 + t(g 1 g 0 )) (1 t) f g 0 + t f g 1 ρ(y, f( Ω)), mµ g 0, g 0 + t(g 1 g 0 ) C ( Ω; R n ) nªn theo MÖnh Ò 3 th hµm deg(g 0 + t(g 1 g 0 ), Ω, y) lµ h»ng Þa ph ng theo t trªn tëp compact [0, 1], do ã lµ h»ng trªn [0, 1] hay deg(g 0, Ω, y) = deg(g 1, Ω, y). Do Ω lµ tëp bþ chæn nªn tëp c c nh x¹ g thuéc líp C ( Ω; R n ) mµ f g < ρ(y,f( Ω)) kh c rçng, tõ ã ta cã Þnh nghüa bëc cho nh x¹ f thuéc líp C( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω nh sau. Þnh nghüa 3. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \f( Ω), ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0, f C ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: trong ã, g C ( Ω; R n ), f g ρ 0. deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y),
8 8 Chó ý. èi víi tr êng hîp nh x¹ f inc 1 ( Ω; R n ), ióm y f(ω) \ (f( Ω) f(s)) ta cã hai c ch x c Þnh bëc nh sau deg(f, Ω, y) x c Þnh bëi b íc 1, deg(f, Ω, y) th«ng qua c ba b íc, Çu tiªn xêp xø bëi nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ), sau ã x c Þnh theo b íc. Tuy nhiªn, hai c ch nµy Òu cho ta cïng mét kõt qu. iòu nµy îc kióm tra nh c ch chøng minh ë TH cña MÖnh Ò Mét sè týnh chêt cña bëc Nh vëy ta Þnh nghüa îc kh i niöm bëc cho nh x¹ liªn tôc f tõ mét tëp bþ chæn Ω trong R n vµo R n èi víi tëp Ω t¹i mét ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω. Hay nãi c ch kh c, ta x y dùng îc mét hµm tõ tëp c c bé ba (f, Ω, y), trong ã Ω lµ mét tëp bþ chæn trong R n, f lµ nh x¹ liªn tôc tõ Ω vµo R n, y lµ mét ióm kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, vµo tëp c c sè nguyªn: deg : {(f, Ω, y) f : Ω liªn tôc R n, Ω bþ chæn R n, y R n \ f( Ω)} Z. Tõ viöc x y dùng bëc ta th ý bëc cã mét sè týnh chêt sau. Þnh lý 4. (d1) deg(id, Ω, y) = 1, nõu y Ω. (d) deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω 1, y) + deg(f, Ω, y), trong ã Ω 1 Ω =, Ω 1 Ω Ω, y f( Ω \ (Ω 1 Ω )). (d3) deg(h(t,.), Ω, y(t)) lµ hµm kh«ng phô thuéc vµo t trªn [0, 1], trong ã h : [0, 1] Ω R n, y : [0, 1] R n lµ c c nh x¹ liªn tôc, y(t) h(t, Ω), t [0, 1]. (d4) nõu deg(f, Ω, y) 0 th f 1 (y). (d5) deg(., Ω, y) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp c c nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, mµ y f( Ω). deg(f, Ω,.) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp R n \ f( Ω). Do ã, deg(f, Ω,.) lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω). (d6) deg(g, Ω, y) = deg(f, Ω, y) nõu y f( Ω), f Ω = g Ω. (d7) deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω 1, y) nõu Ω 1 lµ tëp më trong Ω, y f( Ω \ Ω 1 ). Chó ý. Ng êi ta chøng minh îc r»ng cã duy nhêt mét hµm deg : {(f, Ω, y) f : Ω mµ tho m n ba týnh chêt (d1), (d), (d3). liªn tôc R n, Ω bþ chæn R n, y R n \ f( Ω)} Z,
9 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 9 Chøng minh. C c týnh chêt (d1), (d4) dô dµng kióm tra. TÝnh chêt (d7) îc suy ra tõ týnh chêt (d) b»ng c ch lêy Ω = vµ deg(f,, y) = 0. TÝnh chêt (d6) îc suy ra tõ týnh chêt (d3) b»ng c ch chän c c nh x¹ h, y nh sau h : [0, 1] Ω R n, h(t, x) = tf(x) + (1 t)g(x) y : [0, 1] R n, y(t) = y. TÝnh chêt d(3) îc suy ra tõ týnh chêt (d6) b»ng c ch sau. Víi mçi t 0 [0, 1], do deg(., Ω, y(t 0 )) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp c c nh x¹ liªn tôc f : Ω R n mµ y(t 0 ) f( Ω), vµ h, y lµ c c nh x¹ liªn tôc, y(t 0 ) h(t 0, Ω), nªn tån t¹i mét l n cën w t0 cña t 0 trong [0, 1] mµ deg(h(t,.), Ω, y(t 0 )) = deg(h(t 0,.), Ω, y(t 0 )) t w t0. (1.6) B»ng c ch thu nhá l n cën w t0 sao cho ρ(y(t), y(t 0 )) < ρ(y(t 0 ), h(t, Ω)) ta cã Tõ (1.6), (1.7) ta cã deg(h(t,.), Ω, y(t)) = deg(h(t,.), Ω, y(t 0 )) t w t0. (1.7) deg(h(t,.), Ω, y(t)) = deg(h(t 0,.), Ω, y(t 0 )) t w t0 hay deg(h(t,.), Ω, y(t)) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp compact [0, 1], hay lµ hµm h»ng trªn ã. Nh vëy ta chø cßn ph i chøng minh hai týnh chêt (d), (d5). Ta chøng minh týnh chêt (d). Tõ gi thiõt y f( Ω \ (Ω 1 Ω )) cã ρ(y, f( Ω)) ρ 0 (= ρ(y, f( Ω \ (Ω 1 Ω )))), ρ(y, f( Ω 1 )) ρ 0, ρ(y, f( Ω )) ρ 0. Khi ã, tån t¹i g C ( Ω), f g ρ 0 4, ρ 1 = ρ(y, g( Ω \ (Ω 1 Ω )) > 0 mµ Theo Þnh nghüa, tån t¹i z B(y, ρ 1 ) \ g(s) deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y), (1.8) deg(f, Ω i, y) = deg(g, Ω i, y), i = 1,. (1.9) deg(g, Ω, y) = deg(g, Ω, z), (1.10) deg(g, Ω i, y) = deg(g, Ω i, z), i = 1,. (1.11) Do ρ 1 = ρ(y, g( Ω \ (Ω 1 Ω )) > 0 nªn z (g( Ω \ (Ω 1 Ω ) g(s)), do ã tõ Þnh nghüa cã Tõ (1.8)-(1.1) ta cã deg(g, Ω, z) = deg(g, Ω 1, z) + deg(g, Ω, z). (1.1) deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω 1, z) + deg(f, Ω, z).
10 10 B y giê, ta chøng minh týnh chêt (d5). LÊy f C( Ω), y f( Ω)(ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0). Chän l n cën U(f) = {g C( Ω) f g < ρ 0 4 }. Ta sï chøng minh trong l n cën U(f) bëc deg(., Ω, y) lµ kh«ng æi. ThËt vëy, tõ Þnh nghüa cã mét nh x¹ g 0 U(f) C ( Ω; R n ) sao cho Víi g U(f) cã deg(f, Ω, y) = deg(g 0, Ω, y). (1.13) g g 0 f g + f g 0 3ρ 0 8, ρ(y, g( Ω)) ρ(y, f( Ω)) f g 3ρ 0 4, nªn g g 0 1 ρ(y, g( Ω)), do ã theo MÖnh Ò 3 cã Tõ (1.13), (1.14) cã deg(g, Ω, y) = deg(g 0, Ω, y). (1.14) deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y) hay deg(., Ω, y) lµ hµm h»ng trong l n cën U(f). Cuèi cïng, ta chøng minh deg(f, Ω,.) lµ hµm h»ng Þa ph ng theo y vµ lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω). NÕu y f( Ω) hay ρ = ρ(y, f( Ω)) > 0 ta chän l n cën Khi ã, z U(y) th f 1 (z) = hay U(y) = {z R n ρ(y, z) < ρ}. deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z), z U(y). NÕu y f(ω) \ f( Ω) th theo Þnh nghüa tån t¹i y 0 B(y, ρ 0 ) \ f(s) sao cho Víi z B(y, ρ 0 ) \ f( Ω) cã 4 deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, y 0 ). (1.15) ρ(z, f( Ω)) ρ(y, f( Ω)) ρ(y, z) 3ρ 0 4, ρ(z, y 0 ) ρ(z, y) + ρ(y, y 0 ) 3ρ 0 4, nªn ρ(z, f( Ω)) ρ(z, y 0 ) do ã theo MÖnh Ò cã Tõ (1.15), (1.16) cã deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y 0 ). (1.16) deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y), z B(y, ρ 0 4 ) \ f( Ω). ViÖc chøng minh deg(f, Ω,.) lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω) îc suy ra dô dµng tõ týnh chêt h»ng Þa ph ng cña nã.
11 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower C c øng dông cña lý thuyõt bëc Çu tiªn, ta sï dïng lý thuyõt bëc Ó chøng minh mét sè Þnh lý ch¼ng h¹n Þnh lý co rót, Þnh lý ióm bêt éng Brower, Þnh lý Miranda-Poincare, vµ Æc biöt Þnh lý Borsuk. Þnh lý Borsuk cã nhiòu p dông, nh Þnh lý vò Qu bãng tãc (Hairy ball), Þnh lý b nh Sandwich, vµ mét sè Þnh lý hêp dén kh c. Tr íc hõt, ta chøng minh Þnh lý Qu cçu tãc. Ó chøng minh Þnh lý nµy ta cçn Bæ Ò sau. Bæ Ò 5. Víi n lµ mét sè lî, kh«ng thó cã ång lu n H : [0, 1] S n 1 S n 1 mµ H(., 0) = id, H(., 1) = id. Chøng minh. Gi sö cã mét ång lu n H : [0, 1] S n 1 S n 1 mµ H(0,.) = id, H(1,.) = id. Tõ Þnh lý th c tión Tietze, ta cã thó th c trión ång lu n trªn thµnh ång lu n H : [0, 1] B n R n. Mµ H(0, x) = x, H(1, x) = x khi x S n 1 nªn theo týnh chêt (d3), (d6) trong Þnh lý 4 cã 1 = deg(id, B n, 0) = deg(h(0,.), B n, 0) = deg(h(1,.), B n, 0) = deg( id, B n, 0) = ( 1) n n lî = 1. iòu nµy lµ v«lý. Þnh lý 6. ( Þnh lý Qu cçu tãc) Víi n lµ mét sè lî. Víi mét tr êng vect bêt kú trªn mæt cçu n vþ S n 1 Òu cã thó t m îc trªn mæt cçu S n 1 mét ióm mµ t¹i ã tr êng vect cã gi trþ lµ vect 0. Chøng minh. Ta chøng minh Þnh lý nµy b»ng ph n chøng. Gi sö cã tr ng vect ϕ trªn S n 1 mµ nã kh c 0 t¹i mäi ióm trªn mæt cçu S n 1, nghüa lµ liªn tôc n 1 ϕ : S R n, (ϕ(x), x) = 0, x S n 1, ϕ(x) 0, x S n 1.
12 1 XÐt ång lu n sau th H : [0, 1] S n 1 R n, x H(t, x) = cos(πt)x + sin(πt) ϕ(x) ϕ(x), iòu nµy tr i víi Bæ Ò 5. H(t, x) = x = 1, (t, x) [0, 1] S n 1, H(0, x) = x, H(1, x) = x, x S n Þnh lý Brower vò ióm bêt éng vµ mét sè d¹ng t ng ng cña nã Þnh lý 7. ( Þnh lý co rót) H nh cçu ãng n vþ B n trong kh«ng gian R n kh«ng lµ tëp co rót îc. Nãi c ch kh c, kh«ng thó cã mét nh x¹ liªn tôc f tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Chøng minh. Gi sö ta cã thó x y dùng îc mét nh x¹ liªn tôc f tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Khi ã, ta xðt ång lu n sau h :[0, 1] B n R n h(t, x) = tx + (1 t)f(x). Cã h(0, x) = f(x), h(1, x) = x, h(t, x) = tx + (1 t)f(x) = tx + (1 t)x = x 0, x S n 1, t [0, 1], nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(f, B n, 0) = deg(id, B n, 0) = 1 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th f 1 (0). iòu nµy lµ tr i víi gi thiõt f lµ nh x¹ tõ B n vµo S n 1. Hay iòu gi sö lµ sai, nghüa lµ kh«ng cã mét nh x¹ liªn tôc f nµo tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Þnh lý 8. ( Þnh lý Brower) Cho f lµ mét nh x¹ liªn tôc tõ h nh cçu ãng B n vµo chýnh nã. Khi ã, f cã ióm bêt éng, nghüa lµ x B n : f(x) = x.
13 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 13 Chøng minh. Cã nhiòu c ch chøng minh Þnh lý nµy. ë y chóng t«i tr nh bµy hai c ch chøng minh. Thø nhêt, dïng lý thuyõt bëc Ó chøng minh. Thø hai, nã lµ HÖ qu cña Þnh lý co rót. C ch 1. NÕu cã mét ióm x S n 1 mµ f(x) = x th Þnh lý îc chøng minh. NÕu víi mäi x S n 1 mµ f(x) x hay x tf(x) 0, 0 t 1. XÐt ång lu n sau Cã h(0, x) = x, h(1, x) = x f(x), h :[0, 1] B n R n h(t, x) = x tf(x). h(t, x) = x tf(x) 0, x S n 1, t [0, 1], nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(id f, B n, 0) = deg(id, B n, 0) = 1 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th (id f) 1 (0). Hay x B n : f(x) = x. C ch. Gi sö nh x¹ liªn tôc f tõ B n vµo chýnh nã kh«ng cã ióm bêt éng, nghüa lµ f(x) x, x B n. Khi ã, ta lu«n cã thó nèi x vµ f(x) thµnh mét tia T x = {tf(x) + (1 t)x t 0} cã gèc t¹i x. Tia T x nµy sï c¾t mæt cçu S n 1 t¹i duy nhêt mét ióm ϕ(x). Nh vëy, ta x y dùng îc mét nh x¹ liªn tôc cã týnh chêt ϕ(x) = x nõu x S n 1. ϕ : B n S n 1 iòu nµy tr i víi Þnh lý co rót. Do ã, iòu gi sö sai hay mét nh x¹ liªn tôc f tõ B n vµo chýnh nã cã ióm bêt éng. NhËn xðt. TÝnh chêt ióm bêt éng lµ bêt biõn èi víi mét phðp ång ph«i, nªn mét nh x¹ liªn tôc tõ mét tëp ång ph«i víi h nh cçu ãng B n vµo chýnh nã Òu cã ióm bêt éng. Ch¼ng h¹n, nh x¹ liªn tôc f tõ mét tëp låi, compact, kh c rçng D vµo chýnh nã cã ióm bêt éng. Ta cã thó chøng minh kõt qu nµy b»ng Þnh lý th c trión Tietze, mµ kh«ng cçn x y dùng phðp ång ph«i tõ h nh cçu ãng B n lªn tëp låi, compact, kh c rçng D, nh sau. B»ng Þnh lý th c trión Tietze, tån t¹i mét nh x¹ liªn tôc f : R n R n, f D = f, f(r n ) conv(f(d)) D.
14 14 Mµ D lµ tëp compact nªn tån t¹i mét sè d ng R Ó D B(0, R). Khi ã, f B(0,R) : B(0, R) (D )B(0, R). Do ã, f B(0,R) cã ióm bêt éng hay mµ f B(0,R) (B(0, R)) D nªn Ta cã iòu ph i chøng minh. x B(0, R) : x = f B(0,R) (x) x D : x = f B(0,R) (x) = f(x). Þnh lý 9. ( Þnh lý Miranda-Poincare) Ký hiöu [a, b] = {x R n a (i) x (i) b (i), i = 1,..., n}, trong ã a = (a (1),..., a (n) ), b = (b (1),..., b (n) ), a (i) < b (i), i = 1,..., n. Cho f lµ mét nh x¹ liªn tôc tõ [a, b] vµo R n tho m n f i (x (1),..., x (i 1), a (i), x (i+1),..., x (n) ) 0, f i (x (1),..., x (i 1), b (i), x (i+1),..., x (n) ) 0. Khi ã, tån t¹i x [a, b] mµ f(x) = 0. Chó ý. y lµ më réng tù nhiªn cña Þnh lý Bonzano-Cauchy ( Þnh lý gi trþ trung b nh) lªn nhiòu chiòu. Tuy nhiªn viöc chøng minh th kh«ng ph i lµ mét më réng tçm th êng. Cã thó chøng minh trùc tiõp Þnh lý nµy b»ng ph ng ph p quy n¹p nh ng ph i sö dông thµnh th¹o c c Þnh lý Hµm ng îc, Hµm Èn, Sard vµ phðp ång lu n. ë y, chóng t«i sö dông lý thuyõt bëc Ó chøng minh. Chøng minh. LÊy x 0 = 1 (a + b). Gi sö (1 t)f(x) = t(x x 0 ), víi t [0, 1], x [a, b]. Do x [a, b] nªn cã mét chø sè i sao cho hoæc x (i) = a (i) hoæc x (i) = b (i). NÕu x (i) = a (i) th x (i) x (i) 0 < 0, f i (x) 0 nªn t = 0 do ã f(x) = 0. NÕu x (i) = b (i) th x (i) x (i) 0 > 0, f i (x) 0 nªn t = 0 do ã f(x) = 0. Nh vëy, nõu cã x [a, b] mµ f(x) = 0 th ta cã iòu ph i chøng minh. Cßn nõu kh«ng ph i vëy th (1 t)f(x) t(x x 0 ) 0, t [0, 1], x [a, b]. Khi ã, xðt ång lu n sau XÐt ång lu n sau Cã h(0, x) = f(x), h(1, x) = x 0 x, h :[0, 1] B n R n h(t, x) = (1 t)f(x) t(x x 0 ). h(t, x) = (1 t)f(x) t(x x 0 ) 0, x [a, b], t [0, 1],
15 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 15 nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(f, [a, b], 0) = deg(x 0 id, [a, b], 0) = ( 1) n 0 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th f 1 (0). Hay tån t¹i x [a, b] mµ f(x) = 0. NhËn xðt. Ng êi ta chøng minh îc r»ng Þnh lý Brower vµ Þnh lý Miranda-Poincare lµ t ng ng nhau. ë y, chóng t«i sï dïng Þnh lý Miranda-Poincare Ó chøng minh Þnh lý Brower nh sau. Gi sö f lµ nh x¹ liªn tôc tõ h nh cçu n vþ ãng B n (theo chuèn max) vµo chýnh nã. Víi mçi m > 1, xðt nh x¹ sau g m : B n R n, g m i (x) = f i (x) NÕu x = (x (1),..., x (i 1), 1, x (i+1),..., x (n) ) th g m i (x) < 1 NÕu x = (x (1),..., x (i 1), 1, x (i+1),..., x (n) ) th g m i (x) > 1 + m m 1 < 0. m m 1 > 0. m m 1 x i. Do ã theo Þnh lý Miranda-Poincare tån t¹i x m B n mµ g m (x m ) = 0. Mµ B n lµ tëp compact nªn d y {x m } m= cã d y con héi tô Õn x 0 B n. L¹i cã, g m héi tô Òu Õn nh x¹ f(x) x trªn B n khi m tiõn ra v«cïng. Do ã, f(x 0 ) = x Þnh lý Borsuk vµ c c øng dông cña nã Þnh lý 10. ( Þnh lý Borsuk) Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn, èi xøng (x Ω ( x) Ω) vµ chøa gèc to¹ é trong R n, f C( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî (f( x)) = f(x) vµ nh cña biªn f( Ω) kh«ng chøa gèc to¹ é. Khi ã, deg(f, Ω, 0) lµ sè lî. Chó ý. Tr íc khi i vµo chøng minh Þnh lý Borsuk, ta Ó ý r»ng víi mét nh x¹ liªn tôc f bêt kú trªn mét tëp èi xøng cã nhiòu c ch Ó t¹o ra mét nh x¹ lî ch¼ng h¹n (f(x) f( x)) lµ mét nh x¹ lî, liªn tôc. Ngoµi ra, nõu biõt bëc lµ mét sè lî, nghüa lµ nã kh c 0, th ph ng tr nh cã nghiöm. Chøng minh. Ta cã thó gi sö r»ng f C 1 ( Ω; R n ), 0 f( Ω) vµ J f (0) 0. V nõu kh«ng ta cã thó x y dùng mét nh x¹ lî f C 1 ( Ω; R n ), 0 f( Ω) vµ J f (0) 0 mµ deg(f, Ω, 0) = deg( f, Ω, 0) nh sau. LÊy mét nh x¹ g 1 C 1 ( Ω; R n ) sao cho f g 1 lµ mét sè ñ nhá ( iòu nµy lµm îc do Ω lµ compact ). Æt g (x) = 1 (g 1(x) g 1 ( x)).
16 16 Cã g C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî vµ g (0) cã óng n gi trþ riªng (kó c béi) nªn ta cã thó chän mét sè d ng λ ñ nhá mµ kh«ng ph i lµ gi trþ riªng cña g (0). Ta Æt f(x) = g (x) λx, cã f C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, J f(0) = J g λid(0) 0, f f 1 sup (g 1 (x) f(x)) (g 1 ( x) f( x)) + λx x Ω g 1 f + λ sup x x Ω mµ Ω lµ compact, nªn víi g 1 f ñ nhá, λ ñ nhá th deg( f, Ω, 0) = deg(f, Ω, 0). Chó ý r»ng, mæc dï J f (0) 0 nh ng 0 vén cã thó lµ ióm nõp cña f. Trong tr êng hîp 0 f(s f ) th do f lµ nh x¹ lî nªn nõu f(x) = 0, J f (x) 0 th f( x) = 0, J f ( x) = ( 1) n J f (x). Do ã, cã lµ sè lî. deg(f, Ω, 0) = sgn J f (0) + x f 1 (0)\{0} sgn J f (x) Ta sï x y dùng mét nh x¹ lî g C 1 ( Ω; R n ) mµ 0 (g(s g ) g( Ω)) vµ deg(f, Ω, 0) = deg(g, Ω, 0). Chän ϕ C 1 (R; R) mµ ϕ( t) = ϕ(t) t R, ϕ (0) = 0, ϕ(t) = 0 chø khi t = 0 (ch¼ng h¹n ϕ(t) = t 3 ). Æt Ω k = {x Ω i {1,..., k} : x (i) 0}, f 1 (x) = f(x) ϕ(x (1) ) ( f 1 : Ω 1 R n ). Cã f 1 C 1 (Ω 1 ; R n ) lµ nh x¹ lî. Do m( f 1 (S f1 )) = 0 nªn ta cã thó chän y 1 gçn gèc to¹ é tuy ý sao cho y 1 f 1 (S f1 ). Æt g 1 (x) = f(x) ϕ(x (1) )y 1. Do khi g 1 (x) = 0, x (1) 0 th g 1(x) = ϕ(x (1) ) f 1(x) nªn g 1 C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g 1 (S g1 Ω 1 ),
17 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 17 g 1 ñ gçn f (khi y 1 ñ nhá). Gi sö ta x y dùng îc nh x¹ lî g k g k (S gk Ω k ). Æt f k+1 (x) = g k(x) ϕ(x (k+1) ) C 1 ( Ω; R n )(1 k < n) ñ gçn f vµ 0 ( f k+1 : {x Ω k+1 x (k+1) 0} R n ). Do m( f k+1 (S fk+1 )) = 0 nªn ta cã thó chän y k+1 gçn gèc to¹ é tïy ý sao cho y k+1 f k+1 (S fk+1 ). Æt Do khi g k+1 (x) = 0, x (k+1) 0 th nªn g k+1 (x) = g k (x) ϕ(x (k+1) )y k+1. g k+1(x) = g k(x) (0,..., ϕ (x (k+1) )y k+1,..., 0) t = ϕ(x (k+1) ) f k+1(x) g k+1 C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g k+1 (S gk+1 {x Ω k+1 x (k+1) 0}), x Ω k+1, x (k+1) = 0 th g k+1 (x) = g k (x) vµ g k+1 (x) = g k (x), do ã 0 g k+1 (S gk+1 Ω k+1 ), g k+1 ñ gçn f (khi y 1,..., y k+1 ñ nhá). Nh vëy, b»ng quy n¹p ta sï x y dùng îc nh x¹ g = g n C 1 ( Ω; R n ) sao cho g n C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g n (S gn Ω n ), x Ω \ Ω n, nghüa lµ x = 0 th g n(0) = g k (0) = f (0), do ã 0 g n (S gn Ω), g n ñ gçn f (khi y 1,..., y n ñ nhá) hay deg(g n, Ω, 0) = deg(f, Ω, 0). Sau y lµ mét vµi øng dông cña Þnh lý Borsuk. Þnh lý 11. ( Þnh lý Borsuk- Ulam) Cho f : B n R n lµ mét nh x¹ liªn tôc. Khi ã, tån t¹i x B n mµ f( x) = f(x).
18 18 Chøng minh. p dông Þnh lý Borsuk cho nh x¹ sau g : B n R n, g(x) = 1 (f(x) f( x)), lµ mét hµm liªn tôc, lî trªn tëp bþ chæn, èi xøng, chøa gèc to¹ é. NÕu 0 g(s n 1 ) th deg(g, B n, 0) lµ sè lî, kh c 0, nªn tån t¹i x B n mµ g(x) = 1(f(x) f( x)) = 0 hay f(x) = f( x). NÕu 0 g(s n 1 ) nghüa lµ tån t¹i x B n mµ g(x) = 1 (f(x) f( x)) = 0 hay f(x) = f( x). Þnh lý 1. ( Þnh lý b nh Sandwich) Cho A 1,..., A n lµ c c tëp bþ chæn, o îc trong R n. Khi ã, tån t¹i mét siªu ph¼ng H = {y R n (y, a) = b}, trong ã a R n, b R lµ cè Þnh, chia Òu c c A i, i = 1,..., n theo é o, nghüa lµ m(a i H + ) = m(a i H ), i = 1,..., n, trong ã, H + = {y R n (y, a) b}, H = {y R n (y, a) b}. Chøng minh. Ta cã nhën xðt sau B n = {x R n x (n+1) 0 : (x, x (n+1) ) S n } lµ mét tëp compact, èi xøng vµ chøa gèc to¹ é. Víi mçi x B n cã duy nhêt mét x (n+1) 0 mµ (x, x (n+1) ) S n, ta Æt Ta x y dùng îc nh x¹ sau H x = {y R n (y, x) = x (n+1) }, H + x = {y R n (y, x) x (n+1) }. f : B n R n, f i (x) = m(a i H + x ). DÔ thêy f tho m n Þnh lý Borsuk- Ulam, nªn tån t¹i x 0 B n mµ f i ( x 0 ) = f i (x 0 ), i = 1,..., n hay m(a i H + x 0 ) = m(a i H x 0 ), i = 1,..., n. Trong Lý thuyõt Ph ng tr nh elliptic cã mét iòu thó vþ sau. Trong kh«ng gian cã sè chiòu lín h n, to n tö vi ph n a α D α lµ elliptic th bëc cña nã m ph i lµ sè ch½n. α m iòu nµy nghüa lµ víi n 3, nõu a thøc sau P (ξ) = a α ξ α, a α C α =m
19 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 19 kh«ng cã nghiöm ξ R n \ {0} th bëc m cña nã lµ sè ch½n. Chó ý r»ng, nõu hö sè a α lµ c c sè thùc th dô dµng chøng minh. Tuy nhiªn, ë y c c hö sè a α lµ c c sè phøc th kh«ng qu hión nhiªn. Bëi v, khi n = iòu nµy kh«ng cßn óng, ch¼ng h¹n a thøc sau Þnh lý 13. Víi n 3, nõu a thøc sau P (ξ 1, ξ ) = ξ 1 + ( 1) 1/ ξ. P (ξ) = α =m a α ξ α, a α C kh«ng cã nghiöm ξ R n \ {0} th bëc m cña nã lµ sè ch½n. Chøng minh. Ta chøng minh Þnh lý b»ng ph n chøng. Gi sö m lµ sè lî. XÐt nh x¹ Cã f : R R, f(ξ 1, ξ ) = (ReP (ξ 1, ξ, 0,..., 0), ImP (ξ 1, ξ, 0,..., 0)). f( ξ 1, ξ ) = ( 1) m f(ξ 1, ξ ) m = lî f(ξ 1, ξ ), f(ξ 1, ξ ) 0, ξ 1 + ξ 0, nªn theo Þnh lý Borsuk deg(f, B(0, 1), 0) lµ sè lî. Víi mçi h > 0 xðt nh x¹ f h : R R, f h (ξ 1, ξ ) = (ReP (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0), ImP (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0)). Víi h > 0 ñ nhá th f h ñ gçn f nªn theo týnh chêt (d5) trong Þnh lý 4 cã deg(f h, B(0, 1), 0) = deg(f, B(0, 1), 0) lµ mét sè lî, kh c 0, nªn tån t¹i (ξ 1, ξ ) B(0, 1) sao cho f h (ξ 1, ξ ) = 0 hay P (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0) = 0 víi (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0) R n \ {0}. iòu nµy tr i víi gi thiõt hay m lµ sè ch½n. Þnh lý d íi y lµ mét Þnh lý thó vþ trong gi i tých nhiòu chiòu. Khi sè chiòu b»ng 1 viöc chøng minh kh«ng khã. Nh ng khi sè chiòu lín h n 1 viöc chøng minh kh«ng cßn n gi n. Þnh lý 14. Cho f : R n R n lµ nh x¹ liªn tôc, n nh tho m n f(x) khi x. Khi ã, f lµ mét ång ph«i.
20 0 Chøng minh. Çu tiªn, ta chøng minh f lµ toµn nh. Khi ã, tõ gi thiõt, f cã nh x¹ ng îc. Ó chøng minh f lµ toµn nh, Ó ý r»ng R n lµ tëp liªn th«ng, ta sï chøng minh f(r n ) võa ãng, võa më. LÊy y R n sao cho cã d y {x n } n=1 trong Rn mµ f(x n ) y khi n. D y {x n } n=1 lµ d y bþ chæn v nõu kh«ng nã cã mét d y con x n k, theo gi thiõt th f(x nk ) khi n k. iòu nµy m u thuén víi viöc f(x n ) y khi n. Khi ã, {x n } n=1 cã mét d y con x n k x R n, mµ f liªn tôc, f(x nk ) f(x) khi n k. Do ã, y = f(x) hay y f(r n ). Do ã, f(r n ) ãng. Ta chøng minh f(r n ) më, nghüa lµ víi mçi x 0 R n ta ph i chø ra c c sè d ng r, R sao cho B(f(x 0 ), R) f(b(x 0, r)). Ta chø cçn chøng minh iòu nµy èi víi ióm x 0 = 0 vµ hµm f mµ f(0) = 0. V nõu kh«ng ta xðt hµm th f(x) = f(x + x 0 ) f(x 0 ) f : R n lt,1 1 R n, f(x) khi x, f(0) = 0, B(0, r) + x 0 = B(x 0, r), B(0, R) = B(f(x 0 ), R) f(x 0 ). Chän r = 1, ký hiöu B n = {x R n x 1}. Do f lµ n nh nªn f Bn : B n f( B n ) lµ song nh. XÐt ång lu n Cã H : [0, 1] B n R n, 1 t H(t, x) = f Bn( x) f B n( 1 + t 1 + t x). 1)H(0, x) = f Bn(x), H(1, x) = f Bn( x x ) f B n( ), ) nõu H(t, x) = 0, (t, x) [0, 1] S n 1 th f Bn( 1 t 1 x) = 1+t f B n( x) do ã x = t x 1+t 1+t 1+t hay x = 0 (v«lý v x S n 1 ), nªn H(t, x) 0, (t, x) [0, 1] S n 1, 3) H(1, x) lµ nh x¹ lî nªn theo Þnh lý Borsuk deg(h(1,.), B n, 0) lµ sè lî. Khi ã, theo týnh chêt (d3), (d5) trong Þnh lý 4 cã mét sè d ng R sao cho deg(f B n, B n, y) = deg(f B n, B n, 0) = deg(h(1,.), B n, 0), y B(0, R), lµ sè lî hay B(0, R) f(b n ). ViÖc chøng minh f 1 liªn tôc kh«ng khã.
Mét c¸ch míi trong ®µo t¹o, båi dìng c¸n bé c¬ së ë Hµ Giang
Mét c ch míi trong µo t¹o, båi d ìng c n bé c së ë Hµ Giang Vµng XÝn D Phã tr ëng Ban Tæ chøc TØnh ñy Hµ Giang lµ tønh miòn nói, biªn giíi, cã tæng diön tých tù nhiªn 7.884 km2, víi trªn 274 km êng biªn
Chi tiết hơnGiá trị nguyên tố của đa thức bất khả quy
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ LINH GIÁ TRỊ NGUYÊN TỐ CỦA ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ
Chi tiết hơn§µo t¹o, båi dìng c¸n bé c¬ së ë B¾c Ninh
µo t¹o, båi d ìng c n bé c së ë B¾c Ninh ç V n Thiªm Phã tr ëng ban Th êng trùc Ban Tæ chøc TØnh uû îc t i lëp n m 1997, hiön nay B¾c Ninh cã 125 x, ph êng, thþ trên (sau y gäi chung lµ c së), gåm 637
Chi tiết hơnCHƯƠNG 6 ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ IMC
CHƯƠNG 6 ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ IMC NỘI DUNG CHƯƠNG: 6.1 Các quan điểm, quy trình đánh giá hiệu quả IMC 6.2 Các phương pháp đánh giá hiệu quả IMC MỤC TIÊU CHƯƠNG 6 1. Chỉ ra sự cần thiết, quan điểm, bản chất,
Chi tiết hơnTiªu chuÈn Quèc tÕ
50(436) IEC 1990 1 Uy ban kü thuët iön Quèc tõ (IEC) Ên phèm 50 (436) - 1985 Tõ ng kü thuët iön Quèc tõ Ch ng 436: tô iön c«ng suêt IEC50436_9B74A5.doc 1 / 16 50(436) IEC 1990 2 Môc lôc lêi nãi Çu... VI
Chi tiết hơn50(601)IEC Uy ban kü thuët iön Quèc tõ (IEC) Ên phèm 50 (601) Tõ ng kü thuët iön Quèc tõ Ch ng 601 : Ph t, TruyÒn t i vµ Ph n phèi iön n
1 Uy ban kü thuët iön Quèc tõ (IEC) Ên phèm 50 (601) - 1985 Tõ ng kü thuët iön Quèc tõ Ch ng 601 : Ph t, TruyÒn t i vµ Ph n phèi iön n ng PhÇn tæng qu t Néi dung Trang Lêi nãi Çu 2 PhÇn 601-01 - C c thuët
Chi tiết hơnMicrosoft Word - So
NÒn kinh tõ tri thøc vμ c c chø tiªu thèng kª ph n nh NguyÔn BÝch L m ViÖn Khoa häc Thèng kª Trong mét thëp kû trë l¹i y, c c nhµ kinh tõ vµ qu n lý t¹i nhiòu quèc gia trªn thõ giíi Ò cëp Õn kh i niöm
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Phan II. Chuong 6 Thanh chiu luc phuc tap.doc
Ch ng 6. thanh chþu lùc phøc t¹p I. Kh i niöm Khi trªn CN cña thanh uêt hiön tõ hai thμnh phçn néi lùc trë lªn th gäi lμ thanh chþu lùc phøc t¹p. VÝ dô, mét trôc truòn võa chþu o¾n võa chþu uèn, Tæng qu
Chi tiết hơnGPRCMP001
C NG TY TNHH MANULIFE (VIÖT NAM) ("C«ng Ty") Þa chø: Manulife Plaza, 75 Hoµng V n Th i, Ph êng T n Phó, QuËn 7, Tp. HCM LÜnh vùc kinh doanh: B o hióm nh n thä vµ Çu t tµi chýnh iön tho¹i: 8 5416 6888 Fax:
Chi tiết hơn32 TCVN pdf
B n vï nhµ vµ c«ng tr nh x y dùng -B n vï l¾p ghðp c c kõt cêu chõ s½n 1. Ph¹m vi vµ lünh vùc p dông Tiªu chuèn nµy quy Þnh c c nguyªn t¾c chung Ó lëp c c b n vï thi c«ng dµnh cho lünh vùc l¾p ghðp kõt
Chi tiết hơn76 TCVN pdf
KiÓm tra kh«ng ph huû Ph n lo¹i vµ nh gi khuyõt tët mèi hµn b»ng ph ng ph p phim r nghen Non- destructive Classification and evaluation of seam defects by mean of radiogrammes Tiªu chuèn nµy p dông cho
Chi tiết hơn§iÒu khon kÕt hîp vÒ bo hiÓm con ngêi (KHCN- BV 98)
iòu kho n kõt hîp vò b o hióm con ng êi (KHCN- BV 98) (Ban hµnh kìm theo QuyÕt Þnh sè 2962/PHH2-97 ngµy 23/12/1997 cña Tæng Gi m èc Tæng C«ng ty B o hióm ViÖt Nam - Lµ mét bé phën cêu thµnh vµ Ýnh kìm
Chi tiết hơnICIC.LMT
Thö nghiöm chþu löa - c c bé phën kõt cêu cña toµ nhµ PhÇn 4 - c c yªu cçu riªng èi víi bé phën ng n c ch øng chþu t i. Fire - resistance tests - Elements of building construction - Part 4 - Specific requirements
Chi tiết hơnTiÕp cËn bíc ®Çu nh©n khÈu vµ lao ®éng cña n«ng hé ngêi kinh t¹i vïng ch©u thæ th¸i b×nh vµ vïng nói ®iÖn biªn lai ch©u
X héi häc sè 3 (79), 2002 49 MÊy nhën xðt vò nh n khèu vµ lao éng cña n«ng hé ng êi Kinh t¹i vïng ch u thæ Th i B nh vµ vïng nói iön Biªn, Lai Ch u Ng«ThÞ ChÝnh C cêu nh n khèu, lao éng lµ mét trong nh
Chi tiết hơnMicrosoft Word - SFDP Song Da - VDP1 - guidelines vn, updated.rtf
Uû ban nh n d n tønh S n La thùc hµnh ph ng ph p lëp kõ ho¹ch ph t trión kinh tõ - x héi cã sù tham gia cña ng êi d n (VDP) cho cêp x vµ th«n b n (Tµi liöu chønh söa lçn thø n m) SFDP Tµi liöu VDP 1 S
Chi tiết hơnñy ban Kü thuËt ®iÖn Quèc tÕ
50(371) IEC 1984 1/ 26 Uy ban kü thuët iön Quèc tõ (IEC) Ên phèm 50 (371) - 1985 Tõ ng kü thuët iön Quèc tõ Ch ng 371 iòu khión tõ xa IEC50371_3CFFB.doc 1 / 26 50(371) IEC 1984 2/ 26 Môc lôc Lêi nãi Çu
Chi tiết hơnPhô n÷ lµm c«ng t¸c nghiªn cøu khoa häc x· héi - Nh÷ng thuËn lîi vµ khã kh¨n
X héi häc sè 3 (79), 2002 57 Phô n lµm c«ng t c nghiªn cøu khoa häc x héi - nh ng thuën lîi vµ khã kh n L u Ph ng Th o 1. Vµi nðt vò t nh h nh n c n bé nghiªn cøu ViÖn Khoa häc x héi t¹i thµnh phè Hå ChÝ
Chi tiết hơnS yÕu lý lÞch
6 X héi häc sè (6 ) 000 Bïi Quang Dòng Cho Õn thëp kû chýn m i, ViÖt Nam vén lµ n íc n«ng nghiöp víi d n sè n«ng th«n chiõm kho ng 80% tæng sè d n sè c n íc vµ kho ng 7% d n sè lao éng. NÕu nh chóng ta
Chi tiết hơnuntitled
Khoa häc ViÖt nam ang ë u? Ph¹m Duy HiÓn Theo s ch KHCN ViÖt nam 2003, c n íc hiön cã 50 ngh n ng êi lµm R&D, n m 2003 nhµ n íc chi ra 1380 tû ång thuéc ng n s ch trung ng (kho ng 90 triöu USD) Ó thùc
Chi tiết hơnChng 6
Ch ng 6 Hecni (Hernia) (tho t vþ) I. Kh i niöm vò hecni 1. Þnh nghüa Hecni lµ chø mét phçn néi t¹ng tõ trong xoang bông tho t ra n»m ë vþ trý kh c, phçn néi t¹ng Êy lu«n îc phóc m¹c che phñ, da vïng bông
Chi tiết hơnMicrosoft Word - NTP - Bien ban Dai hoi CD thuong nien 2011.doc
c«ng ty cp nhùa tntp c: Sè 2 An µ, L¹ch Tray, NQ, H i Phßng céng hoµ x héi chñ nghüa viöt nam éc lëp - Tù do - H¹nh phóc =============================== Biªn b n ¹i héi ång cæ «ng th êng niªn n m 2011
Chi tiết hơnchieu sang nhan tao.pdf
Nhãm T ChiÕu nh n t¹o c c nhµ c«ng nghiöp vµ c«ng tr nh c«ng nghiöp Artificial lighting in industrial buildings and industrial works Tiªu chuèn nµy îc sö dông Ó thiõt kõ chiõu nh n t¹o bªn trong, bªn ngoµi
Chi tiết hơnSë Gi o Dôc vµ µo T¹o kú thi häc sinh giái cêp tønh THANH ho N m häc: Ò chýnh thøc M«n thi: Þa Lý Sè b o danh Líp 12 - thpt... Ngµy thi 24/0
Së Gi o Dôc vµ µo T¹o kú thi häc sinh giái cêp tønh THANH ho N m häc: 2010-2011 Ò chýnh thøc M«n thi: Þa Lý Sè b o danh Líp 12 - thpt... Ngµy thi 24/03/2011 Thêi gian 180 phót (Kh«ng kó thêi gian giao
Chi tiết hơnBiÓu sè 11
4 n vþ: C«ng ty cæ phçn C ng o¹n X Þa chø: Sè 15 êng Ng«QuyÒn - H i Phßng MÉu sè B 9 - DN Ban hµnh theo Q sè: 15/26/Q -BTC ngµy 2/3/26 cña Bé tr ëng BTC B n thuyõt minh b o c o tµi chýnh Quý 1 n m 212
Chi tiết hơnMicrosoft Word - 1-CFEW-Session-Material_V.doc
Héi th o ph n nh rót kinh nghiöm cho c n bé khuyõn l m x Tµi liöu kho häc B n th o lçn 1 S n La, th ng 7, 2002 Chia sî trong x cña b¹n (1) Môc tiªu Vµo cuèi phçn nµy häc viªn cã thó... cã ñ tù tin Ó chia
Chi tiết hơnMicrosoft Word - DLVN
v n b n kü thuët o l êng viöt nam LVN 140 : 004 Èm kõ Assman - Quy tr nh kióm Þnh Assman aspirated hygrometers - Methods and means of verification 1 Ph¹m vi p dông V n b n kü thuët nμy quy Þnh quy tr nh
Chi tiết hơnNâng cao chất lượng đảng viên ở đảng bộ tỉnh phú thọ
Nâng cao chất lượng đảng viên ở đảng bộ tỉnh phú thọ Bïi Trung Thµnh UVBTV, Tr ëng Ban Tæ chøc TØnh ñy Tù hµo îc sèng trªn m nh Êt céi nguån cña d n téc, n i c c Vua Hïng më Êt, lëp n íc cho mu«n êi con
Chi tiết hơnBai 2-Tong quan ve cac Thiet ke NC thuong dung trong LS ppt
Bài 2 Tổng quan về các loại thiết kế NC thường áp dụng trong bệnh viện PGS.TS. L u Ngäc Ho¹t Viện YHP và YTCC Trường ĐHY Hà Nội Câu hỏi Theo Anh/Chị các bác sỹ bệnh viện thường sử dụng các loại thiết kế
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Phan II. Chuong 1 Nhung khai niem co ban.doc
PhÇn II. C häc vët r¾n biõn d¹ng Môc Ých cña phçn nμ nh»m trang bþ cho sinh viªn nh ng kiõn thøc c b n vò viöc týnh to n, thiõt kõ c c chi tiõt m, kõt cêu c«ng tr nh. Ch ng 1. h ng kh i niöm c b I. hiöm
Chi tiết hơnfile://D:MRC964MI-docsSingleFile - PendingA17223BB696745B4
Page 1 of 8 B o c o Kh o s t t nh h nh vën dông chýnh s ch giao rõng tù nhiªn vµ hëng lîi ë tønh S n La Ph¹m Xu n Ph ng Vô ChÝnh S ch N«ng nghiöp vµ PTNT 1. Tãm t¾t Bµi viõt nµy kh i qu t t nh h nh trión
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Huong dan ke khai ho so va nop ho so 2018.DOC
ghi hå s tuyón sinh ¹i häc vlvh n m 2018 --------- Ó khai hå s tuyón sinh ¹i häc VLVH thý sinh cçn thùc hiön c c b íc sau : 1. äc kü th«ng b o tuyón sinh t¹i chøc cã cña Tr êng; downloa th«ng b o sè 08/TB-
Chi tiết hơnBệnh học ngoại - phụ khoa y học cổ truyền
Bµi 6 ¹i c ng vò g y x ng (Cñ tiõt) môc tiªu 1. Nªu îc Þnh nghüa vµ nguyªn nh n cña g y x ng. 2. M«t îc triöu chøng l m sµng vµ biõn chøng cña g y x ng. 3. N¾m îc tiõn trión cña g y x ng. 1. Þnh nghüa
Chi tiết hơnMicrosoft Word - noi qui lao dong
Tæng c«ng ty XDCTGT 1 C«ng ty CP CÇu 14 cienco1 Céng hoµ x héi chñ nghüa viöt nam éc LËp - Tù Do - H¹nh Phóc Hµ Néi, ngµy 10 th ng 06 n m 2010 Néi qui lao éng Ch ng I: èi t îng vµ ph¹m vi p dông iòu 1:
Chi tiết hơnBé gi¸o dôc ®µo t¹p - Bé Y tÕ
Bé Gi o Dôc & µo t¹o ch ng tr nh µo t¹o Cö nh n kü thuët xðt nghiöm (chuyªn ngµnh xðt nghiöm) (Ban hµnh theo QuyÕt Þnh sè:12/2001/q -BGD& T ngµy 26 th ng 4 n m 2001 cña Bé Gi o dôc & µo t¹o) Hµ Néi, th
Chi tiết hơnCHƯƠNG 5 KẾ HOẠCH PHƯƠNG TIỆN TRUYỀN THÔNG
CHƯƠNG 5 KẾ HOẠCH PHƯƠNG TIỆN TRUYỀN THÔNG NỘI DUNG CHƯƠNG 5.1 Tổng quan về lập kế hoạch PTTT 5.2 Các chỉ tiêu đánh giá và lựa chọn PTTT 5.3 Các bước lập kế hoạch sử dụng PTTT 7.4 Lập thời gian biểu PTTT
Chi tiết hơnfile://D:MRC964MI-docsA253E C7C47256D9C000B7F6BA253E
Page 1 of 5 c«ng t c giao Êt kho n rõng vµ qu n lý rõng céng ång th«n b n ë tønh hoµ b nh Bïi V n Chóc Chi côc trëng Chi côc PTLN Hoµ B nh Hoµ B nh lµ mét TØnh miòn nói, cã 11 HuyÖn, ThÞ, 214 Phêng, X,
Chi tiết hơnBO XUNG BC TC Q4 - MHC.xls
C«ng ty Cæ PhÇn hμng h i hμ néi P703, Ocean Park Building, Sè 1 µo Duy Anh, èng a, Hµ Néi MÉu sè B 09 - DN (Ban hµnh theo Q sè 15/2006/Q -BTC Ngµy 20/03/2006 cña Bé tr ëng BTC) B n thuyõt minh b o c o
Chi tiết hơnStatement of Community ofConcerned Partners VIE.PDF
HIV/AIDS: Gi m nguy c nh h ëng tíi t ng tr ëng kinh tõ vµ xo ãi gi m nghìo ë ViÖt Nam Tuyªn bè cña Céng ång c c èi t c quan t m Õn HIV/AIDS ë ViÖt Nam * * * t¹i Héi nghþ nh gi gi a kú cña Nhãm t vên, Sa
Chi tiết hơnChÊt l îng th«ng tin Thèng kª ë Þa ph ng Thùc tr¹ng vµ nh ng vên Ò Æt ra Hoµng TÊt Th¾ng (*) I - Thùc tr¹ng th«ng tin thèng kª ë Þa ph ng - cêp tønh -
ChÊt l îng th«ng tin Thèng kª ë Þa ph ng Thùc tr¹ng vµ nh ng vên Ò Æt ra Hoµng TÊt Th¾ng (*) I - Thùc tr¹ng th«ng tin thèng kª ë Þa ph ng - cêp tønh - huyön - x 1 - èi víi cêp tønh. a - Nh ng kõt qu ¹t
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Phan II. Chuong 3 Trang thai ung suat - Cac thuyet ben.doc
Ch ng 3. Tr¹ng th i øng sêt - c c thõt bòn I. Kh i niö vò tr¹ng th i øng sêt Tr¹ng th i øng sêt t¹i ét ió cña vët thó μn håi chþ lùc lμ tëp hîp têt c c c øng sêt t c dông trªn têt c c c Æt v«cïng bð i
Chi tiết hơnSlide 1
X c Þnh v a x éng m¹ch c nh b»ng siªu m doppler ë bönh nh n t ng huyõt p vµ c c yõu tè liªn quan PGS.TS. T«v n h I TS. Bïi Xu n TuyÕt 1 Æt VÊn Ò VX M lµ mét trong nh ng bönh phæ biõn G y tæn th ng m¹ch
Chi tiết hơnBé X©y dùng Céng hoµ x• héi chñ nghÜa ViÖt nam
Bé x y dùng Sè: 788/Q -BXD Céng hoμ x héi chñ nghüa ViÖt Nam éc lëp - Tù do - H¹nh phóc Hµ Néi, ngµy 26 th ng 8 n m 2010 QuyÕt Þnh VÒ viöc c«ng bè H íng dén o bãc khèi l îng x y dùng c«ng tr nh Bé tr ëng
Chi tiết hơnLêi nãi ®Çu
- ĐẶT VẤN ĐỀ I -Lêi nãi Çu M«n To n lµ mét trong nh ng m«n häc cã vþ trý quan träng ë bëc TiÓu häc. Trong nh ng n m gçn y, xu thõ chung cña thõ giíi lµ æi míi ph ng ph p d¹y häc nh»m ph t huy týnh tých
Chi tiết hơnch13-bai tiet
Ch ng 13 Sinh lý bµi tiõt Th i c c sp cuèi cïng T C, c c chêt k 0 tham gia T C (muèi, chêt éc, thuèc ) gäi lµ chêt bµi tiõt. T/d: + Duy tr æn Þnh ph, Ptt, c n b»ng néi m«i (m u) + Th i c c chêt éc (urª,
Chi tiết hơnDự thảo 24 tháng 8 năm 2004
Quèc héi LuËt sè: 29/2004/QH11 Céng hoµ x héi chñ nghüa ViÖt Nam éc lëp - Tù do - H¹nh phóc Quèc héi n íc céng hoµ x héi chñ nghüa ViÖt Nam Kho XI, kú häp thø 6 (Tõ ngµy 25 th ng 10 Õn ngµy 03 th ng 12
Chi tiết hơnMicrosoft Word - BC SXKD 2011 & KH DHCDTN 2012 _chuyen Web_.doc
B o c o T nh h nh sxkd n m 2011 & KÕ HO¹CH SXKD n m 2012 KÝnh th a: Toµn thó c c Quý vþ cæ «ng Thay mæt Ban iòu hµnh C«ng ty CP Nhùa ThiÕu Niªn TiÒn Phong t«i xin b o c o víi c c Quý vþ cæ «ng vò t nh
Chi tiết hơnS¸ch híng dÉn cho n«ng d©n miÒn nói
S ch h íng dén cho n«ng d n miòn nói c ch trång c i b¾p Môc lôc C c lo¹i rau hä thëp tù... 4 Lµm Êt v ên m... 7 Ch m sãc c y gièng... 10 Lu n canh c y trång... 13 Lµm Êt trång c i b¾p... 14 Bãn thóc...
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Tu giac noi tiep.doc
huyªn Ò : Tø gi c néi tiõp inh V n nh Tr êng THPT guyôn Trung Trùc, Tri T«n, n Giang Tø gi c néi tiõp lμ mét kiõn thøc kh c b n vμ quan träng cña ch ng tr nh h nh häc THS, nã cã nhiòu øng dông trong viöc
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Business Park. Chuong 7. tr89-tr105.doc
7. Mét sè c c Business Park trªn thõ giíi Thung lòng Silicon Chñ Çu t, së h u: Khëi Çu tõ Tr êng ¹i häc Standford. VÞ trý: San Francisco, California, Hoa Kú. DiÖn tých: Khëi Çu 3.240ha vµ ang tiõp tôc
Chi tiết hơnMATHVN.COM Dành cho học sinh THPT ióm A(- 3; 4), B(6; - 5), C(5; 7). a = ; b = ; c = Bµi 9. TÝnh gçn óng gi tr
ióm A(- 3; ), B(6; - 5), C(5; 7) a = - 61 11 ; b = - 17 11 ; c = - 390 11 Bµi 9 TÝnh gçn óng gi trþ ln nhêt vµ gi trþ nhá nhêt cña hµm sè f() = sin - cos - 5 sin cos ma f() 3,965; min f() -,015 Bµi 10
Chi tiết hơnPhÇn 9 - MÆt cÇu vµ hÖ mÆt cÇu
Tiªu chuèn thiõt kõ cçu 390 PhÇn 9 - MÆt cçu vµ hö mæt cçu 9.1. Ph¹m vi PhÇn nµy bao gåm c c quy Þnh Ó ph n tých vµ thiõt kõ mæt cçu vµ hö mæt cçu b»ng bª t«ng vµ kim lo¹i vµ c c tæ hîp cña chóng chþu
Chi tiết hơnTCXDVN
Ch ng 12 TiÖn nghi vµ an toµn Môc tiªu C c quy Þnh trong ch ng nµy nh»m: 1) B o m iòu kiön, m«i tr êng sèng hîp vö sinh, tiön nghi vµ an toµn cho ng êi sö dông bªn trong c«ng tr nh. 2) B o vö c«ng tr nh
Chi tiết hơnBỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC -----:----- ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC THÁNG 5/2012 MÔN THI:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC INH TẾ QUỐC DÂN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SU ĐẠI HỌC -----:----- ĐỀ THI TUYỂN SINH SU ĐẠI HỌC THÁNG 5/ MÔN THI: TOÁN INH TẾ (Thời gian làm bài: 8 phút) BYDecisin s Blg:
Chi tiết hơnLêi nãi ®Çu
Môc lôc Môc lôc...1 Lêi nãi Çu...3 Tæng quan vò ch ng tr nh San NÒn...4 Mét sè quy Þnh chung cña ch ng tr nh San NÒn...6 I. n vþ sö dông...6 II. HÖ to¹ é...6 III. Biªn giíi h¹n...6 IV. êng ång møc...6
Chi tiết hơnCÔNG TY CỔ PHẦN DỊCH VỤ XUẤT BẢN GIÁO DỤC HÀ NỘI 187B Giảng Võ Quận Đống Đa Thành phố Hà Nội Điện thoại : (04) (04) ; Fax : (04)
CÔNG TY CỔ PHẦN DỊCH VỤ XUẤT BẢN GIÁO DỤC HÀ NỘI 187B Giảng Võ Quận Đống Đa Thành phố Hà Nội Điện thoại : (04) 3.5121974 (04) 3. 6210196 ; Fax : (04) 3.6210201 ; Email : phathanh@xbgdhn.vn hoặc các cửa
Chi tiết hơnMicrosoft Word - mau dang ky xet tuyen VLVH_2017.doc
Bé Gi o dôc vµ µo t¹o Tr êng H KTQD M ng ký :... PhiÕu ng ký xðt tuyón sinh ¹i häc h nh thøc VLVH Kú xðt tuyón: Ngµy 8, 9 th ng 8 n m 2017 t¹i... Hä vµ tªn (viõt b»ng ch in hoa cã dêu)...nam(0), n (1)...
Chi tiết hơnMicrosoft Word - TCVN doc
tcvn T i ª u c h u È n q u è c g i a ISO 10333 5 : 2001 XuÊt b n lçn 1 HÖ thèng chèng r i ng c nh n PhÇn 5: C c bé phën nèi cã cæng tù ãng vµ tù kho Personal fall-arrest systems - Part 5 : Connectors with
Chi tiết hơnMicrosoft Word - D.4.1 Huong dan PAEM.doc
ñy ban nh n d n tønh S n La Tµi liöu h íng dén ph ng ph p khuyõn n«ng cã sù tham gia cña ng êi d n PAEM SFDP Tµi liöu PAEM 1 Th ng 5 n m 2003 Tµi liöu h íng dén Ph ng ph p khuyõn n«ng cã sù tham gia cña
Chi tiết hơn7.mdi
TIÕP THÞ TH VIÖN QUA M¹NG INTERNET NguyÔn H u NghÜa T rong ho¹t éng th viön vµ th«ng tin, kh i niöm marketing kh«ng cßn xa l¹. C c c u hái îc a ra th o luën rêt nhiòu xung quanh chñ Ò cã ph i tr tiòn hay
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Quy dinh phong chong ma tuy _ban chinh_.doc
Bé GI O DôC Vμ μo T¹O Sè: 31 /2009/TT-BGD T CéNG HOμ X HéI CHñ NGHÜA VIÖT NAM éc lëp - Tù do - H¹nh phóc Hμ Néi, ngμy 23 th ng 10 n m 2009 TH NG T Ban hμnh Quy Þnh vò c«ng t c phßng, chèng tö n¹n ma tuý
Chi tiết hơnLuËt
LuËt Gi o dôc cña Quèc héi n íc Céng hßa x héi chñ nghüa ViÖt nam sè 38/2005/QH11 ngµy 14 th ng 6 n m 2005 C n cø vµo HiÕn ph p n íc Céng hßa x héi chñ nghüa ViÖt Nam n m 1992 îc söa æi, bæ sung theo NghÞ
Chi tiết hơnPDFTiger
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðào TẠO TRƯỜNG ðh KINH TẾ QUỐC DÂN Số: 277/TB-ðHKTQD CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ðộc lập - Tự do - Hạnh phúc Hà Nội, ngày 06 tháng 04 năm 2011 THÔNG BÁO HỆ LIÊN THÔNG TỪ CAO ðẳng
Chi tiết hơnvncold.vn
ph t trión b m va, b m thuû lu n, thuû iön nhá phôc vô c«ng nghiöp ho, hiön ¹i ho n«ng th«n miòn nói TS. Hoµng V n Th¾ng 1 Tãm t¾t: N íc ta cã nguån thñy n ng phong phó, nõu îc khai th c sï gãp phçn ph
Chi tiết hơnfile://D:MRC964MI-docsA875B278D A9A0026D969A875B
Page 1 of 9 Giíi thiöu néi dung ho¹t éng qu n lý Êt ai cña ch ng tr nh ph t trión n«ng th«n miòn nói ViÖt nam - thôy ión (1996-2000) 1. giíi thiöu vò néi dung ho¹t éng qu n lý Êt ai cña ch ng tr nh Trong
Chi tiết hơnfile://Z:ProjectActive ProjectsMRC964DataMI-docsDoneECA
Page 1 of 7 Ch ng tr nh hç trî l m nghiöp x héi B n tin chuyªn Ò L m nghiöp x héi Sè 3, th ng 6/2001 Ph t trión ch ng tr nh gi ng d¹y: Mét vµi kinh nghiöm sau 5 n m tham gia SFSP Ts. Peter Taylor Cè vên
Chi tiết hơnMicrosoft Word - D.4.3 Tai lieu giang vien.doc
vò Tµi liöu tham kh o Dµnh cho gi ng viªn tham gia ToT SFDP Tµi liöu PAEM 3 B n ph c th o 28.05.03 Dù n Ph t trión l m nghiöp x héi (SFDP) S«ng µ Th ng 5 n m 2003 Tµi liöu ToT trong PAEM Néi dung 1 Giíi
Chi tiết hơnCh¬ng tr×nh khung gi¸o dôc ®¹i häc
Ch tr nh khung gi o dôc ¹i häc Tªn ch tr nh: Tin häc Tr nh é Cao ¼ng Ngµnh Tin häc Lo¹i h nh ChÝnh quy Khung Ch tr nh µo t¹o chuyªn ngµnh nh tin häc: TT 7.1. KiÕn thøc gi o dôc ¹i c : Khèi kiõn thøc/h
Chi tiết hơnPhần 1 CƠ SỞ VỀ SOLIDWORKS
Ví dụ 1 : Sử dụng lệnh Extruded Boss/Base và Extruded Cut để vẽ hình sau: Các bước tiến hành: - Trên Front Plane mở 1 sketch, vẽ đường tròn tâm (0,0), bán kính 20mm. - Dùng lệnh Extruded Boss/Base, lựa
Chi tiết hơnNo tile
v n hãa lµ nòn t ng tinh thçn cña x héi ph¹m quang nghþ Uû viªn Ban ChÊp hµnh Trung ng ng Bé tr ëng Bé V n hãa Th«ng tin NghÞ quyõt Trung ng n m (kho VIII) vò "X y dùng vµ ph t trión nòn v n ho ViÖt Nam
Chi tiết hơnBé gi o dôc vμ μo t¹o Æng thþ lanh (Chñ biªn) hoμng cao c ng - lª thþ tuyõt mai - trçn thþ minh ph ng TiÕng ViÖt 1 tëp mét s ch gi o viªn (T i b n lçn
Bé gi o dôc vμ μo t¹o Æng thþ lanh (Chñ biªn) hoμng cao c ng - lª thþ tuyõt mai - trçn thþ minh ph ng TiÕng ViÖt 1 tëp mét s ch gi o viªn (T i b n lçn thø m êi mét) NHμ XUÊT B N GI O DôC viöt nam B n quyòn
Chi tiết hơnThèng kª tµi kho n quèc gia 60 n m x y dùng vµ ph t trión N gµy 06 th ng 5 n m 1946 Chñ tþch Hå ChÝ Minh ký s¾c lönh 61/SL thµnh lëp Bé Quèc d n Kinh
Thèng kª tµi kho n quèc gia 60 n m x y dùng vµ ph t trión N gµy 06 th ng 5 n m 1946 Chñ tþch Hå ChÝ Minh ký s¾c lönh 61/SL thµnh lëp Bé Quèc d n Kinh tõ bao gåm c c phßng, ban vµ nha trùc thuéc trong ã
Chi tiết hơnMicrosoft Word - 5 de on tuyen sinh lop 10 _co dap an_
TẬP ĐỀ ÔN THI TUYỂN VÀO LỚP 0 Ò Bµi Cho bióu thøc P ) a,rót gän P b,t m nguªn Ó P cã gi trþ nguªn. Bµi Cho ph ng tr nh - m ) m m - 6 0 *) a.t m m Ó ph ng tr nh *) cã nghiöm m. b.t m m Ó ph ng tr nh *)
Chi tiết hơnBé Gi o dôc vμ μo t o NguyÔn Quang Vinh (Tæng Chñ biªn) hoμng th s n (Chñ biªn) - nguyôn ph ng nga - tr nh th b ch ngäc (T i b n lçn thø m êi mét) Nhμ
Bé Gi o dôc vμ μo t o NguyÔn Quang Vinh (Tæng Chñ biªn) hoμng th s n (Chñ biªn) - nguyôn ph ng nga - tr nh th b ch ngäc (T i b n lçn thø m êi mét) Nhμ xuêt b n gi o dôc viöt nam {[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
Chi tiết hơnMicrosoft PowerPoint - Cay keo.ppt
Ch n nu«i tr u bß Cμy kðo NỘI DUNG C së khoa häc cña sù co c nh gi kh n ng lao t c cña tr u bß Nh ng nh n tè nh h ëng søc lao t c Nu«i d ìng tr u bß cµy kðo Ch m sãc tr u bß cµy kðo Chän läc vµ sö dông
Chi tiết hơnv n b n kü thuët o l êng viöt nam lvn 112 : 2002 ThiÕt bþ chuyón æi p suêt - Quy tr nh hiöu chuèn Pressure Transducer and Transmitter - Methods and me
v n b n kü thuët o l êng vöt nam ThÕt bþ chuón æ p suêt - Qu tr nh höu chuèn Pressure Transducer and Transmtter - Methods and means of calbraton 1 Ph¹m v p dông V n b n kü thuët nμ qu Þnh ph ng ph p vμ
Chi tiết hơnBµi ging cÇu thÐp
6.5. c c tr¹ng th i giíi h¹n Bµi gi ng cçu thðp (trých dén trong tiªu chuèn 22tcn-272-05 ) 6.5.1. Tæng qu t Æc týnh kõt cêu cña c c bé phën îc lµm tõ thðp hoæc thðp phèi hîp víi c c vët liöu kh c, ph i
Chi tiết hơnMicrosoft Word - SKKN- Nguyen Thi Oanh - MN Ho Tung Mau.doc
s ng kiõn kinh nghiöm Mét sè biön ph p n ng cao chêt l îng éi ngò gi o viªn trong tr êng mçm non. I. Lý do chän Ò tµi. Gi o dôc MÇm non lµ cêp häc Çu tiªn cña hö thèng gi o dôc quèc d n cã vþ trý Æc biöt
Chi tiết hơnMicrosoft Word - CVDB_HaGiang_Vn.doc
Ch ng tr nh ph t trión n«ng th«n miòn nói ViÖt Nam-Thuþ ión Dù n Ph t trión n«ng th«n miòn nói Hµ giang 1996-2001 ====================== Tµi liöu ho c c kinh nghiöm tõ viöc p dông Ng n s ch Ph t trión
Chi tiết hơnTæng môc lôc t¹p chÝ luËt häc n¨m 2004
Tæng môc lôc n m 2012 LÝ luën, lþch sö nhµ n íc vµ ph p luët 1 TS. Hoµng xu n ch u C c h íng tiõp cën trong nghiªn cøu khoa häc ph p lý ë ViÖt Nam 7 16 2 Sù l nh ¹o cña ng céng s n ViÖt Nam èi víi Nhµ
Chi tiết hơnBenh hoc lao
Bµi 8 Lao x ng khíp Môc tiªu 1. Tr nh bµy îc c c triöu chøng l m sµng cña lao cét sèng. 2. Tr nh bµy îc c c triöu chøng cën l m sµng cña lao cét sèng. 3. Nªu îc c c yõu tè chèn o n x c Þnh lao cét sèng.
Chi tiết hơntcvn t I ª u c h u È n v I Ö t n a m TCVN 6770 : 2001 Ph ng tiön giao th«ng êng bé - G ng chiõu hëu m«t«vµ xe m y - yªu cçu vµ ph ng ph p thö trong c«
tcvn t I ª u c h u È n v I Ö t n a m TCVN 6770 : 2001 Ph ng tiön giao th«ng êng bé - G ng chiõu hëu m«t«vµ xe m y - yªu cçu vµ ph ng ph p thö trong c«ng nhën kióu Road vehicles - Rear view mirrors of motorcycles
Chi tiết hơnMicrosoft Word - bai giang phytoplasma.doc
GS. TS. Vò TriÖu M n 0912176623 Phytoplasma (DÞch khuèn bµo h¹i thùc vët) 1. Æc ióm vµ ph n lo¹i Bµi gi ng tãm t¾t cña GS. TS. Vò TriÖu M n N m 1967 Doi vµ ctv NhËt B n ph t hiön bönh do mét nhãm t c nh
Chi tiết hơnDanh sách khoá luận năm 2008 ngành QTKD.xls
¹i häc quèc gia hµ néi Tr êng ¹i häc kinh tõ th viön DANH S CH KHO LUËN TèT NGHIÖp ngµnh qu n trþ kinh doanh n m 2008 TT KÝ hiöu Hä vµ tªn 1 K 538 L u Hoµng Anh Tªn Ò tµi Hoµn thiön c«ng t c x y dùng v
Chi tiết hơnBé Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Bé gi o dôc vμ μo t¹o Hái p vò ph n ban Trung häc phæ th«ng (T i b n lçn thø nhêt, cã söa ch a, bæ sung) Nhμ xuêt b n gi o dôc 1 Lêi nãi Çu Tõ n m häc 2006-2007, c c Þa ph ng trªn toµn quèc b¾t Çu thùc
Chi tiết hơnNHỮNG CÂU HỎI CÓ KHẢ NĂNG RA KHI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC LỚP KỸ SƯ TƯ VẤN GIÁM SÁT Học viên phải trả lời bằng cách đánh dấu chọn ( x ) vào các dòng. T
NHỮNG CÂU HỎI CÓ KHẢ NĂNG RA KHI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC LỚP KỸ SƯ TƯ VẤN GIÁM SÁT Học viên phải trả lời bằng cách đánh dấu chọn ( x ) vào các dòng. Trong một bảng phải chọn ít nhất 1 dòng nhưng không
Chi tiết hơnG.NTH 1. C c kiõn thøc cçn n¾m 1.1. C c hö thøc c b n π + cos α + sin α = tg 2 α = ( α + kπ) 2 cos α 2 + tgα. cotgα = 1 (
. C c kiõn thøc cçn n¾m.. C c hö thøc c b n π sin tg ( kπ tg. cotg ( cotg sin ( kπ.. C«ng thøc céng gãc ( ± β β sin sinβ sin( ± β sin β ± sinβ tg ± tgβ π tg ( ± β ( ; β tg tgβ kπ cot g.cot gβ cotg( ± β
Chi tiết hơnPhÇn 1: Giíi thiÖu
X héi häc sè 4 (84), 2003 47 Mét nh gi nhanh vò ch ng tr nh truyòn th«ng thö nghiöm Meena ë ViÖt Nam Bïi Quang Dòng 1. Giíi thiöu Ch ng tr nh truyòn th«ng nhiòu mæt Meena lµ s ng kiõn truyòn th«ng theo
Chi tiết hơnMicrosoft Word - SKKN Ung dung Toan cho bai toán cuc tri Vat Li.doc
PhÇn I - më Çu i c së khoa häc cña Ò tµi Trong ch ng tr nh THPT, ë bêt k khèi líp nµo, ch ng phçn nµo còng Òu cã lo¹i bµi tëp: t m gi trþ cùc ¹i hay cùc tióu cña ¹i l îng khi ¹i l îng thay æi (bµi to n
Chi tiết hơnC«ng ty Cæ phçn TËp oµn th I hßa B o c o Tµi chýnh hîp nhêt Quý I (ch a îc kióm to n)
C«ng ty Cæ phçn TËp oµn th I hßa B o c o Tµi chýnh hîp nhêt Quý I - 2011 (ch a îc kióm to n) C«ng ty cæ phçn tëp oµn Th i HßaviÖt nam Sè 352 êng Gi i phãng - Thanh Xu n - Hµ Néi B o c o tµi chýnh hîp nhêt
Chi tiết hơnThS
1. giíi thiöu chung 1.1. Më Çu Khu c«ng nghiöp (KCN) ãng mét vai trß v«cïng quan träng thóc Èy qu tr nh c«ng nghiöp hãa ë hçu hõt c c quèc gia trªn thõ giíi, Æc biöt lμ c c n íc ang ph t trión ë ch u.
Chi tiết hơnMicrosoft Word - SKKN VAN.doc
` A. Më Çu I. Lý do chän Ò tµi: Tôc ng cã c u Tre giµ m ng mäc nã thó hiön îc niòm hy väng, niòm tin t ëng chñ nh n t ng lai cña Êt n íc. Lµ sù kõt tinh bòn v ng cho nòn t ng x héi. X héi cµng v n minh
Chi tiết hơn. Tr êng ¹i häc n«ng L m TP.hcm Phßng µo T¹o Danh S ch Tèt NghiÖp Häc Kú3 - N m Häc Ch ng tr nh µo t¹o ngµnh C khý n«ng l m (DH08CK) KÌm Theo Qu
. Tr êng ¹i häc n«ng L m TP.hcm Phßng µo T¹o Danh S ch Tèt NghiÖp Häc Kú3 - N m Häc 12-13 Ch ng tr nh µo t¹o ngµnh C khý n«ng l m (DH08CK) KÌm Theo QuyÕt Þnh Kýngµy SèTÝn ChØTÝch Lòy Chung 138 ióm Trung
Chi tiết hơn§Ò «n tËp m«n to¸n líp 3
Ò «n tëp m«n to n líp 3 lên 4 Ò 1 Bµi 1 : Khoanh vµo p n óng a) Sè liòn sau cña sè 39759 A. 39758 B. 39760 C.39768 D. 39760 b) T m sè trßn ngh n ë gi a sè 9068 vµ 11982 lµ A. 10000 vµ 12000 B. 10000vµ
Chi tiết hơnMicrosoft Word - Lessons from Van Chan and Mu Cang Chai VN
Ph n tých vµ ph t trión thþ tr êng: Nh ng bµi häc thu îc tõ kinh nghiöm thùc Þa ë hai x thý ióm t¹i c c huyön Mï C ng Ch i vµ V n ChÊn tønh Yªn B i Isabelle Lecup Th ng 6/1999 Bé N«ng NghiÖp vµ Ph t trión
Chi tiết hơnNÂNG CAO VAI TRÒ THÔNG TIN ĐỐI NGOẠI CỦA TỜ NEWSLETTER - BẢN TIN TIẾNG ANH CỦA TRUNG TÂM TIN HỌC BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN ĐỐI VỚI ĐỘC GI
X héi häc sè 4 (92), 2005 71 nh gi hiöu qu truyòn th«ng cña tê Newsletter - B n tin èi ngo¹i thuéc Bé N«ng nghiöp vµ Ph t trión n«ng th«n Hå kim uyªn I. DÉn nhëp Trong nh ng n m gçn y, cïng víi sù hîp
Chi tiết hơnGia Sư Tài Năng Việt ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG VIỆT LỚP 1 ĐỀ 1: Phần I: TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Học sinh làm bài bằng cách đ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TIẾNG VIỆT LỚP 1 ĐỀ 1: Phần I: TRẮC NGHIỆM (6 điểm) Học sinh làm bài bằng cách điền chữ cái A, B, C tương ứng với đáp án đúng nhất vào bảng trả lời câu hỏi ở bài làm giao lưu học sinh
Chi tiết hơnĐánh giá tài nguyên du lịch nhằm phát triển du lịch bền vững tỉnh Tiền Giang Hồ Đoàn Thùy Mỹ Châu Trường Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Luận văn
Đánh giá tài nguyên du lịch nhằm phát triển du lịch bền vững tỉnh Tiền Giang Hồ Đoàn Thùy Mỹ Châu Trường Đại học Khoa học Xã hội và Nhân văn Luận văn ThS Chuyên ngành: Du lịch Người hướng dẫn: PGS.TS.
Chi tiết hơnCuéc ®êi vµ t duy x· héi häc cña Auguste Comte
Trao æi nghiöp vô X héi häc sè 1 (77), 2002 67 Vò Hµo Quang 1. Nh ng yõu tè x héi nh h ëng tíi t duy x héi häc cña A. Comte A. Comte îc coi lµ ng êi s ng lëp ra ngµnh x héi häc. ng còng lµ nhµ thùc chøng
Chi tiết hơnKiÕn thøc c b n vò iön Bè côc cña ch ng Ch ng nµy gi i thých c c kiõn thøc c b n vò iön M«t Kh i niöm c b n M¾c song song & M¾c nèi tiõp M¹ch iön Chøc
KiÕn thøc c b n vò iön Bè côc cña ch ng Ch ng nµy gi i thých c c kiõn thøc c b n vò iön M«t Kh i niöm c b n M¾c song song & M¾c nèi tiõp M¹ch iön Chøc n ng cña tô iön ång hå o iön Toyota C c h háng cña
Chi tiết hơn