Chapitre2: techniques en Algèbre ÌÐ ÑØÖ ½ Ê ÓÒÒÑÒØ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ¾ ½½ ÒÓÒ ÔÖÒÔ ¾ ½¾ ÜÑÔÐ ¾ ¾ ÐÙÐ ÓÑÑ ¾½ ËÓÑÑ ÖØÑØÕÙ ¾¾ ËÓÑÑ ÓÑØÖÕÙ ¾ ËÓÑÑ Ù ÒÑ ÆÛØÓÒ ¾ ½ ØÓÖÐÐ ¾ ¾ ÓÒØ ÒÓÑÙÜ ¾ ËÓÑÑ ØÐ ÓÔÕÙ ËÝ ØÑ ÐÒÖ ½ Å Ò ÔÐ ¾ ÇÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ
½ ½½ Ê ÓÒÒÑÒØ ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÒÓÒ ÔÖÒÔ ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÕÙ Ð ÐØØÖ N Ò Ð³Ò ÑÐ ÒØÖ ÒØÙÖÐ N = {0,1,2, } Ø ÕÙ Ð ÐØØÖ N Ò Ð³Ò ÑÐ N\{0} = {1,2,3, } ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÕÙ ØÓÙØ ÔÖØ ÒÓÒ Ú ÒÐÙ Ò Z Ø ÑÒÓÖ ÑØ ÙÒ ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒØ ÔÓÙÖ Ð ÖÐØÓÒ ³ÓÖÖ µ Ø ÕÙ ØÓÙØ ÔÖØ ÒÓÒ Ú ÒÐÙ Ò Z Ø ÑÓÖ ÑØ ÙÒ ÔÐÙ ÖÒ ÐÑÒØ Ò ÔÖØÙÐÖ ØÓÙØ ÔÖØ ÒÓÒ Ú N ÑØ ÙÒ ÔÐÙ ÔØØ ÐÑÒØ ÌÓÖÑ ½ ÖÙÖÖÒ ÒÓÖÑÐ ËÓØ P(n) ÙÒ ÖØÓÒ ÔÒÒØ Ð ÚÖÐ ÒØÖ ÒÓÒ ÑÙØØ n ËÓØ n 0 N ÇÒ ÙÔÔÓ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ÒØÐ ØÓÒ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n 0 ) Ø ÚÖ ÖØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ n n 0 ÓÒ P(n) = P(n+1) ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ n n 0 г ÖØÓÒ P(n) Ø ÚÖ ÌÓÖÑ ¾ ÖÙÖÖÒ ÓÖØ ËÓØ P(n) ÙÒ ÖØÓÒ ÔÒÒØ Ð ÚÖÐ ÒØÖ ÒÓÒ ÑÙØØ n ËÓØ n 0 N ÇÒ ÙÔÔÓ Ð ÙÜ ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ ÒØÐ ØÓÒ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n 0 ) Ø ÚÖ [ ] ÖØ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ n n 0 ÓÒ {n 0,,n}, P() = P(n+1) ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ n n 0 г ÖØÓÒ P(n) Ø ÚÖ ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÙÒ ÖÙÖÖÒ ÒÓÖÑÐ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n) ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÒÓÖÑÐ ÑÓÒØÖÖ P(0) ÔÖ ÜÑÔÐ ÒØÐ ØÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔÖØ Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØÒ ÒØÖ n ÝÔÓØ ÖÙÖÖÒ ÑÓÒØÖÖ ÐÓÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n+1) ÖØ ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÙÒ ÖÙÖÖÒ ÓÙÐ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n) ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÓÙÐ ÑÓÒØÖÖ P(0) Ø P(1) ÔÖ ÜÑÔÐ ÒØÐ ØÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n) Ø P(n+1) ÓÒØ ÚÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØÒ ÒØÖ n ÝÔÓØ ÖÙÖÖÒ ÓÙÐ ÑÓÒØÖÖ ÐÓÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n+2) ÖØ ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÙÒ ÖÙÖÖÒ ÓÖØ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n) ÔÖ ÖÙÖÖÒ ÓÖØ ÑÓÒØÖÖ P(0) ÔÖ ÜÑÔÐ ÒØÐ ØÓÒ ÙÔÔÓ Ö ÕÙ Ð ÔÖÓÔÖØ P() ÓÒØ ÚÖ Ù ÕÙ³ ÙÒ ÖØÒ ÒØÖ n ÝÔÓØ ÖÙÖÖÒ ÓÖØ ÑÓÒØÖÖ ÐÓÖ Ð ÔÖÓÔÖØ P(n+1) ÖØ ½¾ ÜÑÔÐ ÜÑÔÐ ½ ÅÓÒØÖÖ Ð ÓÖÑÙÐ n N, = n(n+1) 2 Ø 2 = n(n+1)(2n+1). 6 ¾
ÜÑÔÐ ¾ ÇÒ ÒØ Ð ÙØ (u n ) n N ÔÖ u 0 = 1 2, u 1 = 1 34, u 2 = 3 π Ø n N, u n+3 = 1 3 ( u n + u n+1 + u n+2 ). ÅÓÒØÖÖ ÕÙ Ð ÙØ (u n ) n N ÔÖÒ ÚÐÙÖ Ò Ð³ÒØÖÚÐÐ ]0,1[ ÜÑÔÐ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ ØÓÙØ ÒØÖ n N ³ÖØ ÓÒ ÙÒÕÙ ÓÙ Ð ÓÖÑ n = 2 p (2r +1) Ú p Ø r ÙÜ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ¾ ¾½ ÐÙÐ ÓÑÑ ËÓÑÑ ÖØÑØÕÙ ÒØÓÒ ½ ÇÒ Ø ÕÙ ÒÓÑÖ u 1,,u n ÓÒØ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÖØÑØÕÙ ³Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑÖ r ÔÔÐ Ö ÓÒ ØÐ ÕÙ {1,,n 1}, u +1 = u +r. ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÙÒ ÓÑÑ ØÖÑ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÖØÑØÕÙ Ë u 1,,u n ÓÒØ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÖØÑØÕÙ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ ÐÙÖ ÓÑÑ u ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÓÑÑ ØÖÑ ÖØÑØÕÙ = ÔÖÑÖ ØÖÑ ÖÒÖ ØÖÑ 2 ÒÓÑÖ ØÖÑ ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ÓÑÑ 1000 0 ÐÙÐÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ð ÓÑÑ u ÐÓÖ ÕÙ u = 2+5 max{i, j} i,j=1 ÜÑÔÐ ËÓÒØ n N ÔÙ α [0,+ [ Ø a 1,,a n ÒÓÑÖ ÖÐ ÅÓÒØÖÖ ÕÙ i,j=1 a i a j 0. i+j +α ¾¾ ËÓÑÑ ÓÑØÖÕÙ ÒØÓÒ ¾ ÇÒ Ø ÕÙ ÒÓÑÖ u 1,,u n ÓÒØ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÓÑØÖÕÙ ³Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑÖ q ÔÔÐ Ö ÓÒ ØÐ ÕÙ {1,,n 1}, u +1 = q u.
ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÙÒ ÓÑÑ ØÖÑ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÓÑØÖÕÙ Ë u 1,,u n ÓÒØ Ò ÔÖÓÖ ÓÒ ÓÑØÖÕÙ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ ÐÙÖ ÓÑÑ u ÐÓÖ ÕÙ Ð Ö ÓÒ Ø ÖÒØ 1 ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ 1 Ö ÓÒÒÖ ØÖÑ ÓÑÑ ØÖÑ ÓÑØÖÕÙ = ÔÖÑÖ ØÖÑ 1 Ö ÓÒ ÐÓÖ ÕÙ Ð Ö ÓÒ ÚÙØ ½ ØÓÙ Ð ØÖÑ Ð ÓÑÑ ÓÒØ ÙÜ ÔÙ ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÓÑÑ ØÖÑ ÙÜ = ÒÓÑÖ ØÖÑ Ð³ÙÒ ØÖÑ ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ Ð ÓÑÑ q ÐÓÖ ÕÙ q [0,1] ÔÙ q 1 ÐÓÖ ÕÙ q [0,1[ ËÑÔÐÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ø ØÓÙØ θ R cos(θ) Ø cos(θ) ¾ ¾ ½ ËÓÑÑ Ù ÒÑ ÆÛØÓÒ ØÓÖÐÐ ÒØÓÒ Ë n N ÓÒ ÔÔÐÐ ØÓÖÐÐ n Ð ÒÓÑÖ n n! = = 1 2 n. ÇÒ ÑØ ÔÓÙÖ Ð³Ò ØÒØ ÕÙ 0! = 1 ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ Ä ÔÖÓÔÖØ ÓÒÑÒØÐ Ø n N, (n+1)! = (n+1) n! ¾ ¾ ÓÒØ ÒÓÑÙÜ ÒØÓÒ Ë Ø n ÓÒØ ÙÜ ÒØÖ ÖÐØ ÓÒ ÔÓ Ð ÓÒØ ÒÓÑÐ ( ) n! n 0 n =! (n )!. 0 ÒÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ÎÓ Ð ÓÖÑÙÐ ÙØÐ ( ÔÓÙÖ ) Ð ÓÒØ ÒÓÑÙÜ n n (n 1) (n +1) 0 n ÓÒØ ÙÜ ÒØÖ = ( ) ( )! n n = ( ) ( n ) ( ) n n n+1 + = ØÖÒÐ È Ð +1 +1
ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÔÔÐÕÙÖ Ð ÒÑ ÆÛØÓÒ ÈÓÙÖ ØÓÙ ÒÓÑÖ ÓÑÔÐÜ a Ø b Ø ØÓÙØ ÒØÖ ÒØÙÖÐ n ÙØÐ Ö Ð ÓÖÑÙÐ ( ) n (a+b) n = a b n ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð ÓÒØ ÒÓÑÙÜ ÙØÐ Ö Ð ØÖÒÐ È Ð ÜÑÔÐ ÐÙÐÖ ÄÒÖ Ö cos 3 θ ( n ÐÙÐÖ ( ) n ) sin(θ) Ø ( n ) sin(θ) ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ Ø n ÙÜ ÒØÖ ÒØÙÖÐ ÐÓÖ Ð ÓÒØ ÒÓÑÐ ÒÓÑÖ ÔÖØ ÐÑÒØ Ò ÙÒ Ò ÑÐ n ÐÑÒØ ( n ) Ø ÜØÑÒØ Ð ¾ ËÓÑÑ ØÐ ÓÔÕÙ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÙÒ ÓÑÑ ØÐ ÓÔÕÙ ÈÓÙÖ ÐÙÐÖ ÔÖ ØÐ ÓÔ ÙÒ ÓÑÑ u ÖÖ ÕÙ ØÖÑ u ÓÙ Ð ÓÖÑ u = v +1 v ÙØÐ Ö Ð ÑÔÐØÓÒ (v +1 v ) = v n+1 v 1 ÜÑÔÐ ËÑÔÐÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N ËÑÔÐÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 2 π n = n =2 3 1 3 +1 1 ( +1) ËÝ ØÑ ÐÒÖ ½ Å Ò ÔÐ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ Ý ØÑ ÐÒÖ n ÕÙØÓÒ p ÒÓÒÒÙ x 1,,x p ØÓÙØ Ò ÑÐ ³ÕÙØÓÒ Ð ÓÖÑ a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1p x p = y 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2p x p = y 2, a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a np x p = y n
Ó Ð ÒÓÑÖ a ij ÓÒØ ØÓÙ ÓÒÒÙ ÐÓÖ ÕÙ (i,j) ÚÖ Ò {1,,n} {1,,p} Ò ÕÙ Ð ÔÖÑØÖ y 1,,y n Ò ÙÒ ØÐ Ý ØÑ ÐÒÖ Ð ème ÕÙØÓÒ Ø ÒÓÑÑ ÐÒ L ¾ ÇÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÙÖ ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ ÓÑÔÓÖØÒØ Ð ÐÒ L 1,,L n ØÓÙØ ÓÔÖØÓÒ Ð³ÙÒ ØÖÓ ÓÖÑ ÙÚÒØ L i L j ÕÙ ÓÒ Ø ÒÖ ÙÜ ÐÒ L i Ø L j L i λ L i ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑÔÐÖ ÙÒ ÐÒ L i ÔÖ ØØ ÐÒ ÑÙÐØÔÐ ÔÖ ÙÒ ÓÒ ØÒØ λ ÒÓÒ ÒÙÐÐ L i L i +µ L j ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑÔÐÖ ÙÒ ÐÒ L i ÔÖ ØØ ÑÑ ÐÒ L i ÐÕÙÐÐ ÓÒ ÓÙØ ÙÒ ÙØÖ ÐÒ L j ÑÙÐØÔÐ ÔÖ ÙÒ ÓÒ ØÒØ µ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ë S Ø ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ ØÓÙØ ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÙÖ S ØÖÒ ÓÖÑ S Ò ÙÒ ÙØÖ Ý ØÑ S ÕÙ ÐÙ Ø ÕÙÚÐÒØ ÙØÖÑÒØ Ø Ð Ý ØÑ S Ø S ÓÒØ ÜØÑÒØ Ð ÑÑ ÓÐÙØÓÒ
ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ ÔÖ Ð ÔÚÓØ Ù L 1 ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ý ØÑ ÐÒÖ S : Ó L Ø a 1 x 1 + +a p x p = y Ð ÔÖÒÔ Ø L n ³ÙØÐ Ö Ð ÓÔÖØÓÒ ÐÑÒØÖ ÔÓÙÖ ÓÙØÖ Ö ÓÐÙØÓÒ ÎÓ Ð³ÓÖÖ Ò ÐÕÙÐ ³Ø٠гÐÓÖØÑ Ù ÔÚÓØ ÔÖØÖ Ù Ý ØÑ S ØÔ ØÖÒÙÐÖ ØÓÒ Ð³ ³ÙÒ ÓÔÖØÓÒ L 1 L i ÑÒÖ Ò ÔÖÑÖ ÐÒ ÙÒ ÓÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ ÚÒØ x 1 Ò ÙØ Ð³ ÓÔÖØÓÒ L i L i a i1 L 1 ÔÓÙÖ i 2 ÐÑÒÖ Ð³ÒÓÒÒÙ x 1 ÔÖØÖ a 11 Ð ÙÜÑ ÐÒ ÖÓÑÑÒÖ Ð ÔÖÓ Ù ÔÓÙÖx 2 ÔÓÙÖ Ð ÓÙ ¹ Ý ØÑ ÐÒ L 2,,L n Ý ØÑ ÑØØÒØ ÙÒ ÐÒ Ø ÙÒ ÒÓÒÒÙ ÑÓÒ ÕÙ Ð Ý ØÑ ÒØÐ ÓÙØÖ Ð Ò ÔÖÓ Ù ÙÒ Ý ØÑ ØÖÒÙÐÖ Ð ÓÖÑ α 1 x 1 + = α 2 x 2 + = α p x p + = 0 = 0 = ØÔ Ö ÓÐÙØÓÒ Ð³ÙÒ ÕÙØÓÒ Ù ØÝÔ 0 = ÓÒÙØ ÙÒ ÒÓÑÔØÐØ ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ý ØÑ Ø ÒÓÑÔØÐ Ð Ò³ÑØ ÙÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÒÓÒ ÓÒ ÔÙØ ÙÔÔÖÑÖ Ð ÐÒ L p+1,,l n ÐÓÖ ÕÙ n pµ Ò ØÓÙØ ÓÙ ÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒÙÜ α 1,,α p Ò Ð Ý ØÑ ØÖÒÙÐÖ ÓØÒÙ ØÓÙ Ð ÓÒØ ÓÒÙÜ α ÓÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ð Ý ØÑ ÑØ ÙÒ ÙÐ ÓÐÙØÓÒ Ð Ý ØÑ Ø ÔÔÐ Ý ØÑ ÖÑÖ ÈÓÙÖ ÓØÒÖ ØØ ÙÐ ÓÐÙØÓÒ ÓÒ ÐÙÐ x p Ò L p ÔÙ x p 1 Ò ÖÑÓÒØÒØ Ù ÕÙ³ x 1 гÙÒ Ù ÑÓÒ ÓÒØ α Ø ÒÙÐ Ð Ý ØÑ ÑØ ÙÒ ÒÒØ ÓÐÙØÓÒ ÈÓÙÖ Ð¹ ÙÐÖ ÓÐÙØÓÒ ÓÒ ÓØÒØ ÜÔÐØÑÒØ Ð x ÚÒØ Ð α ÒÓÒ ÒÙÐ Ø Ð x j ÒÓÒ ÔÖ ÒØ ÚÒÒÒØ ÔÖÑØÖ Ð ÒÓÒÒÙ ØÒØ ÜÔÖÑ Ò ÓÒØÓÒ ÔÖÑØÖ mx+z +t = 2 y z +2t = 1 ÜÑÔÐ Ê ÓÙÖ Ð Ý ØÑ ÐÒÖ x y z 2t = 0 2x+y z = 1 Ø { x+2y 3z = 3 3x+4y+4z = 1 ÌÖÓÙÚÖ Ð ÔÓÒØ ³ÒØÖ ØÓÒ Ð ÖÓØ Ô ÒØ ÔÖ Ω(1,1,0) Ø Ö Ö u( 1,1,1) Ø Ð ÔÐÒ ³ÕÙØÓÒ x+y z = 3