ÃÓÓÖÒØÝØÒ ÆÓÖÑÐØ ÒÖ Ú ÐØ Ö Ò ÔÙÒØ ÔÐÒØ Ñ Ñ ÖØ ¹ ÓÓÖÒØÖ (x, y)º ÁÐÒ Ö Ø Ó ÔÖØ Ø ØØ ÒÚÒ ÒÖ ÓÓÖÒØÖ Ø Ü ÔÓÐÖº ÇÑ s(x, y) t(x, y) Ö ØÚ ÙÒ¹ ØÓÒÖ ÒÖ Ô D Ò ØØ Ú¹ ØÓÒ Ý ØÑØ s(x, y) = s t(x, y) = t Ö ÒØÝ Ð ÒÒ (x, y) = (x(s, t), y(s, t)) Ö ÚÖ ÚÐ Ú s Ó t Ò Ú Ò s Ó t ØÐÐØ Ö x Ó yº ÇØ Ø ÖØÖ ÑÒ Ö Ô Ò Ð Ú ÔÐÒغ ÜÑÔÐ Á ÚÖÒØÒ x > 0 y > 0 Ò Ú ÒÚÒ s = xy Ó t = y/x ÓÑ ÒÝ ÓÓÖÒØÖº Ø ÐÐÖ st = y 2 Ó s/t = x 2 ØØ x = s/t, y = st. ½
ÃÓÓÖÒØÝØÒ È ÖÙÒ Î ÚÐÐ Ð Ò È Ñ x Ó y Ø Ü y u x x u x + u = xy. Ö ÐÑÔÐØ ÚÐ Ú ÒÝ ÓÓÖÒØÖ (s, t) ÓÑÑÖ v(s, t) := u(x(s, t), y(s, t)) ØØ ÙÔÔÝÐÐ Ò ÒÐÖ ÚØÓÒ Ñ Ö Ò Ð ÖÚصº ÆÖ Ú Ð Ø Ò Ó ¹ ØÑØ v Ö Ú u ÒÓÑ ØØ ÙØØÖÝ s Ó t ÑÐ ÓÓÖÒØÖÒ u(x, y) = v(s(x, y), t(x, y)). ¾
ÜÑÔÐ ÒÒ Ò ÐÐÑÒÒ Ð ÒÒÒ ØÐÐ yu x xu y + u = x2 + y 2 x > 0 ÒÓÑ ØØ ÚÖ ØÐÐ ÔÓÐÖ ÓÓÖÒØÖ x = rcos t y = rsin tº ÒÒ ÔÐÐØ Ò Ð ÒÒ ÓÑ ÙÔÔÝÐÐÖ u(x,0) = x 3 º Ä ÇÑ u(x, y) = v(r(x, y), t(x, y)) ÐÖ Ú ÖÐÒ ØØ u x = v r r x + v t t x u y = v r r y + v t t y. Ö x > 0 ÐÐÖ r = y arctan x º ÊÒÒ Ö x 2 + y 2 Ó t = r x = x/r r y = y/r t x = y/r 2 t y = x/r 2. ÁÒ ØØÒÒ ÚØÓÒÒ Ó ÖÒÐÒ Ö v t v = r 2 ÚÐØ Ö v(r, t) = r 2 + g(r)e t Ö g Ö Ò ÓØÝÐ C 1 ÙÒØÓÒº
ÐÐÑÒ Ð ÒÒ u(x, y) = x 2 + y 2 + g( x 2 + y 2 )e arctan y x. ÇÑ u(x,0) = x 3 Ö Ú x > 0µ x 3 = u(x,0) = x 2 +0+g( x 2 )e 0 = x 2 +g(x), ÚÐØ Ö g(x) = x 3 x 2 º ËÚÖ u(x, y) = r 2 + (r 3 r 2 )e arctan y x, Ö r = x 2 + y 2 º
ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÑÒ ÓÒº ÄØ f(x) ÚÖ Ò C 1 ÙÒØÓÒº ÌÒÒØÒ (a, f(a)) ØÐÐ ÙÒØÓÒÒ Ö Ö ÚØÓ¹ ÒÒ y = p 1 (x), Ö p 1 (x) = f(a) + f (a)(x a) Ö Ø ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ú Ö < 2 ÓÑ Ø ÔÔÖÓÜÑÖÖ f ÒÖ ÔÙÒØÒº Ç ÖÚÖ ØØ p 1 (a) = f(a) Ó p 1 (a) = f (a). Î Ò ØØÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÑ Ú ØÐй ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Öº ÇÑ f(x) Ö C k ÐÐ p k (x) = f(a)+f (a)(x a)+...+ 1 k! f(k) (a)(x a) k Ö ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑØ Ú ÓÖÒÒ k x = aº Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < k + 1 ÓÑ Ø ÔÔÖÓÜÑÖÖ f(x) ÒÖ x = aº Ø ÐÐÖ p (j) k (a) = f(j) (a) j kº
ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ ÌÚ ÑÒ ÓÒÖº ÄØ f(x, y) ÚÖ Ò C 1 ÙÒØÓÒº ÌÒÒع ÔÐÒØ (a, b, f(a, b)) ØÐÐ ÙÒØÓÒÒ Ö Ö ÚØÓÒÒ Ö z = p 1 (x, y), p 1 (x, y) = f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < 2 ÓÑ Ø Ô¹ ÔÖÓÜÑÖÖ f ÒÖ ÔÙÒØÒº Ç ÖÚÖ ØØ p 1 (a, b) = f(a, b) D x p 1 (a, b) = D x f(a, b), D y p 1 (a, b) = D y f(a, b).
Î Ò ØØÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÑ Ú ØÐй ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Öº ÇÑ f(x, y) Ö C 2 ÐÐ p 2 (x, y) = f(p) + f x (P)h + f y (P)k + 1 ( f xx(p)h 2 + 2f xy(p)hk + f yy(p)k 2), 2 Ö P : (a, b) h = x a Ó k = y b Ö ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑØ Ú ÓÖÒÒ 2 Pº Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < 3 ÓÑ Ø ÔÔÖÓܹ ÑÖÖ f(x, y) ÒÖ Pº ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑØ ØÑ ÒØÝØ Ú ØØ p 2 Ó f Ö ÑÑ ÔÖØÐÐ ÖÚØÓÖ ÙÔÔ ØÐÐ ÓÖÒÒ ¾ ÔÙÒØÒ (a, b)º
È ÑÑ ÐÒÒ ØØ Ò ÑÒ ÒÖ ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö ÓÖÒÒº Å ÅÔÐ ÒØ ØØ ÙÒØÓÒÒ f(x, y) Ö ÒÖ Ó ØØ a Ó b Ö ÚÒ Øк Ö ØØ ÔÐÓ¹ ÖÑ ÌÝÐÓÖÔÓÐÝÒÓÑØ p k (x, y) ÔÙÒ¹ ØÒ (a, b) ÖÚÖ Ú ÑØÝÐÓÖ Ü Ýµ Ü Ý ½µ ÇÑ Ú ÖÚÖ ÑØÝÐÓÖ Ü Ýµ Ü Ý µ ØØ Ó ½ ØÐÐ Ò ØÒÖÚÖÒ ÒÑÐÒ ¼ Ö ÔØÚ º
ÁÒØÖÐÖÔÔØ Ò ÒØÖÐ Ö ØØ ÖÒ ÚÖ Ú Ò Ð Ú ÙÑÑÓÖº ÒØÐØ ØÖÑÖ Ö ÑØØ ÓÑ Ö ØÓÖÐ 0º ÅÒ ØÐÐÑÔÒÒÖº Á Ò ÑÒ ÓÒ b a f(t) dt = lim n n k=1 f ( a + k n (b a) ) 1 n, Ò ØÓÐ ÓÑ µ ÖÒ Ñ ØÒµ ÓÑ ÖÒ ÙÖÚÒ y = f(x) x¹üðò ÑØ ÐÒÖÒ x = a Ó x = b µ ØÓØÐ ¹ ØØ ÒÒÒ Ö Ò Ð ÓÑ ÐÖÖÖ Ñ f(t) ÙÒÖ Ø ÒØÖÚÐÐØ [a, b]º ÒеÒØÖÐÖ Ò Óص ÖÒ Ñ ÑÚÒ ÖÚØÓÒ Ú ÔÖÑØÚ ÙÒØÓ¹ ÒÖº
ÙÐÒØÖÐÖ ÈÖÓÐÑØÝÔÖ ½µ ÚØ Ò ÙÒØÓÒ Ö z = f(x, y) ÚÖ ØØ ÓÑÖ D xy¹ôðòøº Î Ö ÚÓÐÝÑÒ Ú ÓÑÖØ ÓÑ ÖÒ Ú ÖÒ xy¹ôðòø ÑØ ÐÒÖ ÔÖÐÐÐÐ Ñ z¹üðòº ¾µ ÃÚÚÚÒÒ ÖÒ Ò ÑÑ ÓÑ ¹ ÖÚ Ú ÓÑÖØ D ØØ xy¹óóöòø Ý ØÑ ÚÖÖÖ ÚÖ ÑÑÒ Ýغ Ò Ö f(x, y) Ñ ÔÖ m 2 /sº Î ÐÖ Ò ØÓØÐ ÚÒÒ ÔÖ ÙÒº Ä ÒÒÒ ÖÚ ÐÐÒ D ÙÐÒØÖÐÒ Ú f ÚÖ Dº Ä ÓÑ Ö ÒÐÒØÖÐÖ Ö ÒØÓÒÒ ÐØ ÖÒÐ ÑÒ ÖÒÒ ÓÑÑÖ ØØ Ö ÒÓÑ ØÚ ÒÐÒØÖØÓÒÖº f(x, y) dxdy ½¼