Microsoft Word - Tu giac noi tiep.doc

huyªn Ò : Tø gi c néi tiõp inh V n nh Tr êng THPT guyôn Trung Trùc, Tri T«n, n Giang Tø gi c néi tiõp lμ mét kiõn thøc kh c b n vμ quan träng cña ch ng tr nh h nh häc THS, nã cã nhiòu øng dông trong viöc gi i c c bμi to n h nh häc ph¼ng. ét sè kõt qu h nh häc næi tiõng chø îc gi i b»ng tø gi c néi tiõp. μi viõt nμy sï tr nh bμy mét sè vên Ò liªn quan Õn tø gi c néi tiõp, gióp cho c c b¹n häc sinh THS n ng cao kü n ng gi i to n h nh häc vμ cã nòn t ng v ng ch¾c Ó häc tèt m«n h nh häc sau nμy. Trong bμi viõt, t c gi cè g¾ng tr nh bμy lêi gi i sao cho tù nhiªn, h íng i râ rμng Ó b¹n äc dô n¾m b¾t îc ý t ëng cña lêi gi i. hi hióu îc ý t ëng cña lêi gi i, c c b¹n h y tù óc kõt kinh nghiöm cho riªng m nh. Hi väng bμi viõt sï lμ tμi liöu tham kh o h u Ých cña «ng o thçy c«vμ c c b¹n häc sinh THS, Æc biöt lμ nh ng b¹n chuèn bþ thi häc sinh giái cêp tønh, thμnh phè. μi viõt khã tr nh khái nh ng sai sãt, mong nhën îc ý kiõn ãng gãp cña b¹n äc qua email : vancanh095@gmail.com. i. Tãm t¾t lý thuyõt 1. c dêu hiöu nhën biõt tø gi c néi tiõp Ta biõt, Ó chøng minh mét tø gi c néi tiõp, ta cã thó : høng minh bèn ióm ã c ch Òu mét ióm (mμ ta cã thó x c Þnh îc). høng minh tæng hai gãc èi diön bï nhau. høng minh gãc ngoμi t¹i mét Ønh b»ng gãc trong cña Ønh èi diön. høng minh hai Ønh kò nhau cïng nh n c¹nh èi diön d íi hai gãc b»ng nhau. goμi ra, chóng ta cçn biõt thªm mét dêu hiöu nhën biõt sau y : Þnh lý. ho tø gi c cã lμ giao ióm cña vμ, lμ giao ióm cña vμ. hi ã, c c iòu kiön sau y lμ t ng ng víi nhau : a) Tø gi c néi tiõp. b). =.. c). =.. ¹n äc dô dμng chøng minh Þnh lý trªn b»ng tam gi c ång d¹ng. Þnh lý trªn cho ta nhën biõt tø gi c néi tiõp dùa vμo mèi quan hö gi a c c o¹n th¼ng, iòu nμy thët sù hiöu qu khi ta kh«ng t m îc c c mèi quan hö vò gãc.. Ph ng ph p chung Ó chøng minh n m ióm cïng thuéc mét êng trßn (tr êng hîp nhiòu h n ta lμm t ng tù) Gi sö ta cçn chøng minh n m ióm,,,, cïng thuéc mét êng trßn. Ta biõt r»ng cã duy nhêt mét êng trßn i qua ba ióm kh«ng th¼ng hμng, v vëy Ó chøng minh n m ióm trªn cïng thuéc mét êng trßn, ta sï chøng minh nã cïng thuéc êng trßn qua,, (hoæc c c bé ba ióm kh c). hi ã ta quy vò viöc chøng minh c c tø gi c vμ néi tiõp (xem vý dô 1 vμ 13). Tuy nhiªn, trong mét sè tr êng hîp cô thó ta cã c ch gi i kh c. 1

ii. mét sè vý dô c bμi to n chøng minh tø gi c néi tiõp vμ nhiòu ióm cïng thuéc mét êng trßn VÝ dô 1. ho h nh b nh hμnh. êng ph n gi c cña gãc c¾t, lçn l ît ë,. Gäi I lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c. høng minh r»ng tø gi c I néi tiõp. Ta cã = = nªn tam gi c c n t¹i, suy ra = =. T ng tù chøng minh îc tam gi c c n t¹i nªn =. o ã =. Æt kh c do tam gi c c n t¹i nªn I = I = I, kõt hîp víi I = I ta cã Δ I =ΔI (c.g.c) I = I. VËy tø gi c I néi tiõp. I VÝ dô. ho h nh b nh hμnh t m. Gäi,, G theo thø tù lμ h nh chiõu cña trªn,,. høng minh r»ng n»m trªn êng ngo¹i tiõp tam gi c G. Ta xðt hai tr êng hîp : - Tr êng hîp gãc tï. G

Ta cã tam gi c vu«ng t¹i cã lμ trung ióm cña nªn tam gi c c n t¹i. Suy ra o = 180. T ng tù o G = 180. Tõ ã cã : o G = 360 = (1) o c c tø gi c, G néi tiõp nªn o = = 90 o = = o G G 90 = 90 Suy ra o G = 180 ( + G) = () Tõ (1) vμ () suy ra G = G hay tø gi c G néi tiõp ( pcm). - Tr êng hîp gãc nhän. G Ta cã c c tø gi c G vμ néi tiõp nªn G = G = vμ = = nªn G = (1) Æt kh c = vμ G = nªn G = () Tõ (1) vμ () suy ra tø gi c G néi tiõp ( pcm). VÝ dô 3. ho tam gi c c n t¹i néi tiõp êng trßn () êng kýnh I. Gäi lμ trung ióm cña vμ lμ trung ióm cña I. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. Ph n tých. o týnh èi xøng qua I nªn =. VËy Ó tø gi c néi tiõp îc ta sï chøng minh tam gi c c n t¹i. Î H ( ). Ta cã H // nªn theo Þnh lý Ta-lÐt : = = = = H. Suy ra H lμ H H trung ióm cña, do ã tam gi c c n t¹i. VËy = = hay tø gi c néi tiõp. 3 I

VÝ dô 4. ho tam gi c ngo¹i tiõp êng trßn (I). c tiõp ióm cña (I) víi, theo thø tù ë, ; c¾t I, I theo thø tù ë,. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. Ta cã o I = I + I = + = 90 (1) o tam gi c c n t¹i nªn = o = 90 () Tõ (1) vμ () suy ra tø gi c I néi tiõp, do ã = o I = 90. høng minh t ng tù, ta cã = o I = 90. Suy ra = o = 90. VËy tø gi c néi tiõp êng trßn êng kýnh. I VÝ dô 5. Gäi lμ giao ióm hai êng chðo cña h nh thang ( // ). LÊy thuéc o¹n, thuéc o¹n sao cho =. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. Gi sö êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c c¾t t¹i. Ta cã = ' (1) Ta l¹i cã ' = ' = ' nªn tø gi c néi tiõp îc. Suy ra o = ' + '= ' + '= 180 ' = ' () Tõ (1) vμ () ta cã = ' = '. VËy tø gi c néi tiõp. 4

VÝ dô 6. ho hai êng trßn () vμ ( ) c¾t nhau t¹i,. TiÕp tuyõn t¹i cña () c¾t ( ) t¹i, tiõp tuyõn t¹i cña ( ) c¾t () t¹i. Gäi P lμ ióm èi xøng cña qua. høng minh r»ng tø gi c P néi tiõp. Gäi lμ ióm èi xøng cña qua trung ióm cña. Ta cã tø gi c lμ h nh b nh hμnh nªn //, //. Æt kh c do,' nªn ',. VËy, chýnh lμ c c êng trung trùc cña, nªn = =. (1) Æt kh c dô chøng minh îc // mμ nªn tam gi c P c n t¹i, suy ra = P. () Tõ (1) vμ () suy ra = = = P. VËy tø gi c P néi tiõp. ' nªn. o = P ' P ch kh c. Ta cã =, = nªn Δ ~ Δ (g.g). o ã P = = ΔP ~ ΔP (c.g.c) P = P P Tõ ã suy ra o P = + P = P + P = 180 P. VËy tø gi c P néi tiõp.. ' P 5

VÝ dô 7. ho ióm thuéc cung nhá cña êng trßn (). ét êng ht¼ng d ë ngoμi () vμ vu«ng gãc víi ;, c¾t d lçn l ît ë,. høng minh r»ng,,, cïng thuéc mét êng trßn. d Î êng kýnh, c¾t d t¹i. Ta cã = o = 90 nªn tø gi c néi tiõp, suy ra =. Æt kh c =, do ã = hay =. VËy,,, cïng thuéc mét êng trßn. VÝ dô 8. Hai d y vμ cña mét êng trßn c¾t nhau t¹i I. Gäi lμ trung ióm cña I vμ lμ ióm èi xøng víi I qua. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. I 1 Ta cã I.I = I.I = I.I. Æt kh c I.I = I.I, do ã I.I = I.I. Suy ra tø gi c néi tiõp. 6

I I I ch kh c. Gäi lμ ióm èi xøng cña qua I. o ΔI ~ ΔI nªn = = I I I. Suy ra ΔI ~ ΔI I = I (1) o lμ êng trung b nh cña tam gi c I nªn I = I () Tõ (1) vμ () suy ra I = I hay =. VËy tø gi c néi tiõp. VÝ dô 9. ho tam gi c cã lμ êng ph n gi c trong. ªn trong c c gãc, lçn l ît vï hai tia, sao cho =. Gäi, 1 lμ h nh chiõu cña trªn, ;, 1 lμ h nh chiõu cña trªn,. høng minh r»ng 1,, 1, cïng thuéc mét êng trßn. Tõ gi thiõt dô dμng suy ra = 1, do ã = 1 (1) Ta cã c c tø gi c 1, 1 néi tiõp nªn = = 1 1, 1 () Tõ (1) vμ () suy ra = = 1 1 1 1 1. VËy bèn ióm 1,, 1, cïng n»m trªn mét êng trßn. 1 1 VÝ dô 10. ho tam gi c c n t¹i. Tõ mét ióm bêt k trªn c¹nh, kî P //, Q // (P thuéc, Q thuéc ). Gäi lμ ióm èi xøng cña qua PQ. høng minh r»ng,,, cïng n»m trªn mét êng trßn. Ta cã P = = P suy ra tam gi c P c n t¹i P, do ã P = P = P. VËy P lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c nªn 1 = 1 P =. høng minh t ng tù ta cã 1 = 1 Q =. Suy ra =. VËy bèn ióm,,, cïng n»m trªn mét êng trßn. hën xðt. Tõ bμi to n trªn, ta cã kõt qu : è Þnh tam gi c vμ cho ióm di éng trªn c¹nh th : 7

êng th¼ng lu«n i qua ióm mét ióm cè Þnh, ã lμ ióm chýnh gi a cña cung kh«ng chøa. Quü tých cña ióm lμ cung chøa ióm (hi trïng hoæc th còng trïng hoæc ). P Q VÝ dô 11. ho tam gi c c n t¹i, êng cao H. Trªn tia èi cña tia lêy ióm, trªn c¹nh lêy ióm sao cho =, c¾t t¹i I. êng vu«ng gãc víi t¹i I c¾t H t¹i. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. I H Î // ( thuéc ). Ô thêy tam gi c c n t¹i nªn = =. L¹i cã // nªn lμ h nh b nh hμnh, do ã I lμ trung ióm cña. Suy ra =. Æt kh c = vμ = nªn Δ =Δ (c.c.c) = hay lμ =. VËy tø gi c néi tiõp. hën xðt. μi to n sau y chýnh lμ hö qu trùc tiõp tõ bμi to n trªn : ho tam gi c c n t¹i. Gäi lμ ióm di éng trªn tia èi cña tia vμ lμ ióm di éng trªn c¹nh 8

sao cho =. Gäi lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c. høng minh r»ng lu«n thuéc mét êng cè Þnh. VÝ dô 1. ho h nh b nh hμnh cã gãc tï. Trªn tia èi cña tia, lçn l ît lêy c c ióm I, sao cho I =, =. høng minh r»ng I,,,, cïng thuéc mét êng trßn. I Tam gi c I c n t¹i nªn I = I = = hay I =. Suy ra, I,, cïng thuéc mét êng trßn. Ta cã = = vμ + o = 180 nªn + o = 180. VËy,,, cïng thuéc mét êng trßn. o ã n m ióm I,,,, cïng thuéc mét êng trßn qua,,. VÝ dô 13. ho tam gi c vu«ng t¹i, I lμ trung ióm cña, lμ ióm bêt k trªn c¹nh. Gäi, lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp cña c c tam gi c,. høng minh r»ng 5 ióm,, I,, cïng n»m trªn mét êng trßn. I o tam gi c vu«ng t¹i cã I lμ trung ióm cña nªn I = =. Suy ra tø gi c I néi tiõp hay,,, I cïng thuéc mét êng trßn. T ng tù chøng minh îc tø gi c,, I, cïng thuéc mét êng trßn. VËy n m ióm,, I,, cïng thuéc mét êng trßn qua, I,. 9

VÝ dô 14. ho êng trßn () vμ mét ióm n»m ngoμi êng trßn. Tõ kî hai tiõp tuyõn, (, lμ c c tiõp ióm) vμ c t tuyõn ( < ). Gäi H lμ giao ióm cña víi. høng minh r»ng tø gi c H néi tiõp. Ô dμng chøng minh îc hai tam gi c vμ ång d¹ng nªn. = Ta cã H lμ êng cao cña tam gi c vu«ng nªn H. = Suy ra H. =., do ã tø gi c H néi tiõp. H VÝ dô 15. ho tam gi c c n t¹i cã êng cao H. Gäi () lμ êng trßn tiõp xóc víi t¹i, tiõp xóc víi t¹i. Gäi lμ mét d y cung i qua H cña (). høng minh r»ng lμ tø gi c néi tiõp. H Trong êng trßn (), ta cã H.H = H.H = H. Trong tam gi c vu«ng, ta cã H.H = H. Suy ra H.H = H.H nªn tø gi c néi tiõp îc. 10

Sö dông tø gi c néi tiõp Ó chøng minh mét sè kõt qu h nh häc kh c Tø gi c néi tiõp cho ta c c mèi quan hö chñ yõu vò gãc (hai gãc èi bï nhau, hai gãc cã Ønh kò nhau cïng nh n c¹nh èi diön th b»ng nhau, gãc ngoμi t¹i mét Ønh b»ng gãc trong cña Ønh èi diön). y chýnh lμ ióm khai th c chñ yõu tõ tø gi c néi tiõp. VÝ dô 16. ho tam gi c cã trùc t m H, ba êng cao,,. høng minh r»ng H lμ t m êng trßn néi tiõp tam gi c. Tõ c c tø gi c néi tiõp, H, H ta cã : H = H H = H H = H Suy ra H = H hay H lμ êng ph n gi c cña gãc. høng minh t ng tù, ta cã H lμ êng ph n gi c cña gãc. VËy H lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c H. H hën xðt. μi to n trªn kh quen thuéc, nh ng nõu kh«ng sö dông tø gi c néi tiõp, ta cã c ch gi i kh c b»ng tam gi c ång d¹ng nh sau : Î, vu«ng gãc víi (, thuéc ) ; P, Q theo thø tù lμ giao ióm cña H, Q H H víi,. Theo Þnh lý Ta-lÐt, ta cã : = = = Δ~ Δ P HQ =. o nªn H = H. T ng tù èi víi H, ta sï cã pcm. Q H P 11

VÝ dô 17. ho êng () vμ ióm ë ngoμi (). Tõ kî hai tiõp tuyõn, (, lμ c c tiõp ióm). LÊy mét ióm thuéc cung nhá vμ gäi,, theo thø tù lμ h nh chiõu cña trªn,,. Gäi P lμ giao ióm cña vμ, Q lμ giao ióm cña vμ. høng minh r»ng : a) =. b) PQ //. a) Tõ c c tø gi c néi tiõp vμ, ta cã : = = = = = = Suy ra hai tam gi c vμ ång d¹ng, tõ ã =.. b) Ta cã Q =, P = nªn o PQ = 180 PQ, suy ra tø gi c PQ néi tiõp. o ã PQ = Q =, v vëy PQ //. P Q 1

VÝ dô 18. ho h nh thang c n ( // ), ióm thuéc c¹nh. Gäi () lμ êng trßn i qua vμ tiõp xóc víi t¹i, ( ) lμ êng trßn i qua vμ tiõp xóc víi t¹i. Hai êng trßn () vμ ( ) c¾t nhau t¹i kh c. høng minh r»ng,, th¼ng hμng. Ta cã =, = nªn o = 180. Suy ra tø gi c néi tiõp. Æt kh c tø gi c còng néi tiõp nªn,,,, cïng n»m trªn mét êng trßn. Tõ ã suy ra = = = hay,, th¼ng hμng. ' VÝ dô 19. ho tø gi c néi tiõp êng trßn (). êng th¼ng vu«ng gãc víi t¹i c¾t t¹i, c¾t t¹i. høng minh r»ng. ' Ph n tých. Ta thêy Ó cã th ph i cã o = 90 + = o 90 o = 90. Æt kh c do o o = 180 = 90 nªn ta ph i cã =. Hai gãc nμy Òu nh n o¹n nh ng vμ kh c phýa so víi, v vëy nõu lêy èi xøng víi qua th bμi to n quy vò viöc chøng minh tø gi c néi tiõp. 13

Gäi lμ ióm èi xøng cña qua êng kýnh, thõ th ' (). Ta cã + o ' ' = 90 vμ + o ' = 90 nªn ' = = '. Ta l¹i cã + o ' ' = 180 nªn + o ' ' = 180, suy ra tø gi c néi tiõp. Tõ ã suy ra = ' = = 180 o = 90 o = 90 o. VËy. VÝ dô 0. ho h nh vu«ng. LÊy ióm thuéc, thuéc sao cho = o 45. vμ c¾t theo thø tù ë,. høng minh r»ng lu«n tiõp xóc víi mét êng trßn cè Þnh khi, thay æi. Ta cã = o = 45 nªn tø gi c néi tiõp, suy ra o = 90. høng minh t ng tù, ta cã o = 90. Gäi lμ h nh chiõu cña trªn. hi ã ta cã = = (do c c tø gi c, néi tiõp). Tõ ã dô dμng chøng minh îc = (kh«ng æi). VËy lu«n tiõp xóc víi êng trßn ( ; ). VÝ dô 1. ho êng trßn () vμ mét ióm ë ngoμi (). Tõ kî c c tiõp tuyõn, Õn () (, lμ c c tiõp ióm), ióm thuéc cung nhá. TiÕp tuyõn t¹i cña () c¾t, lçn l ît ë,., c¾t lçn l ît t¹i H,. høng minh r»ng, H, ång quy. Ta cã 1 1 1 = + = = =. Suy ra c c tø gi c, H néi tiõp vμ do ã = o H = 90 hay H,. Ta cã, H, lμ ba êng cao cña tam gi c nªn chóng ång quy. 14

H VÝ dô. ho êng trßn () cã hai êng kýnh vμ vu«ng gãc víi nhau, dióm di chuyón trªn cung nhá. Trªn tia èi cña tia lêy ióm sao cho =. T m quü tých c c ióm. PhÇn thuën. LÊy ióm èi xøng víi qua, ta cã tam gi c vu«ng c n t¹i vμ cè Þnh. V tam gi c vu«ng c n t¹i nªn o = 45 =. Suy ra tø gi c néi tiõp, do ã = o = 90. Suy ra ch¹y trªn êng trßn êng kýnh cè Þnh. Giíi h¹n. V di chuyón trªn cung nhá nªn khi trïng th trïng, cßn khi trïng th trïng. PhÇn o. LÊy mét ióm bêt k n»m trªn êng trßn êng kýnh ( kh«ng trïng víi vμ ), c¾t () t¹i. o tø gi c néi tiõp êng trßn êng kýnh nªn = o ' = 45. L¹i cã o ' ' = 90 nªn tam gi c vu«ng c n t¹i hay = ( pcm). Õt luën. Quü tých c c ióm lμ êng trßn êng kýnh (kó c vμ ). 15

VÝ dô 3. ho ióm n»m ngoμi êng trßn (). Tõ vï c c tiõp tuyõn, (, lμ c c tiõp ióm) vμ c t tuyõn ( < ). Tõ kî êng th¼ng vu«ng gãc víi c¾t, lçn l ît t¹i, H. høng minh r»ng lμ trung ióm cña cña H. Ph n tých. LÊy I lμ trung ióm cña, khi ã Ó cã H = th ph i cã I // H I = H =. VËy ta chø cçn chøng minh tø gi c I néi tiõp. Gäi I lμ trung ióm cña. Ta cã = = o I = 90 nªn n m ióm, I,,, cïng n»m trªn êng trßn êng kýnh. o // nªn I = I = I, suy ra tø gi c I néi tiõp. o ã I = = H, v vëy I // H. Trong tam gi c H, ta cã I // H vμ I lμ trung ióm cña nªn suy ra lμ trung ióm cña H. H I VÝ dô 4. ho h nh thang ( // ) cã c¹nh bªn cè Þnh vμ néi tiõp êng trßn (). Gäi I lμ giao ióm cña hai êng chðo vμ d lμ êng th¼ng qua I song song víi hai y cña h nh thang. høng minh r»ng d lu«n i qua mét ióm cè Þnh. Ta cã s + s I = = s = nªn tø gi c I néi tiõp. VÏ êng trßn ngo¹i tiõp tø gi c I, do,, cè Þnh nªn êng trßn nμy cè Þnh. Gäi lμ giao ióm cña d víi êng trßn ngo¹i tiõp tø gi c I. Ta cã I = I = I = I nªn lμ ióm chýnh gi a cña cung cè Þnh vμ do ã cè Þnh. VËy d lu«n i qua ióm cè Þnh. d I 16

iii. μi tëp Ò nghþ μi 1. ho tø gi c cã = =. Gäi lμ giao ióm cña hai êng chðo, lμ giao ióm cña hai êng ph n gi c cña c c gãc vμ. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp. μi. ho tam gi c vu«ng t¹i cã H lμ êng cao. Gäi I, theo thø tù lμ t m êng trßn néi tiõp cña c c tam gi c H vμ H. TiÕp tuyõn chung ngoμi kh c cña (I) vμ () c¾t, H, theo thø tù ë, P,. a) høng minh r»ng lμ tø gi c néi tiõp. b) høng minh r»ng 5 ióm,,, I, cïng n»m trªn mét êng trßn. μi 3. ho tam gi c cã c c êng cao,,. Tam gi c cã c c êng cao I, J. Tam gi c cã c c êng cao L,. Tam gi c cã c c êng cao,. høng minh r»ng I, J,, L,, cïng thuéc mét êng trßn. μi 4. ho êng trßn () êng kýnh. Gäi lμ ióm èi xøng víi qua. Tõ kî c t tuyõn ( < ) vμ gäi I lμ giao ióm cña vμ. høng minh r»ng tam gi c I c n. μi 5. ho h nh b nh hμnh. LÊy mét ióm n»m ngoμi h nh b nh hμnh sao cho n»m trong tam gi c vμ =. høng minh r»ng =. μi 6. ho hai êng trßn (S) vμ (T) c¾t nhau t¹i vμ. ét êng th¼ng d tiõp xóc víi êng trßn (S) t¹i vμ tiõp xóc víi êng trßn (T) t¹i (kho ng c ch tõ Õn d lín h n kho ng c ch tõ Õn d). a) Gäi lμ ióm èi xøng cña qua d. høng minh r»ng tø gi c néi tiõp mét êng trßn (V). b) Gäi R S,R T,R V theo thø tù lμ b n kýnh cña c c êng trßn (S), (T), (V). høng minh r»ng R V = R S.R T. μi 7. ho tam gi c. êng trßn qua, tiõp xóc víi vμ êng trßn qua, tiõp xóc víi c¾t nhau t¹i. Gäi lμ r m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c. høng minh r»ng o = 90. μi 8. ho tam gi c c n t¹i vμ d,d 1 lμ hai êng th¼ng bêt k i qua. c êng th¼ng qua, t ng øng vu«ng gãc víi d 1,d c¾t nhau t¹i. êng th¼ng qua vu«ng gãc víi c¾t d1 t¹i, êng th¼ng qua vu«ng gãc víi c¾t d t¹i. høng minh r»ng. μi 9. ho h nh thang vu«ng t¹i vμ, lμ trung ióm cña. c êng cao H, cña c c tam gi c vμ c¾t nhau ë. høng minh r»ng. μi 10. ho tam gi c Òu néi tiõp êng trßn (). ét êng th¼ng d thay æi lu«n i qua vμ c¾t c c tiõp tuyõn t¹i, cña () t¹i, ; c¾t t¹i, d c¾t () t¹i ióm thø hai lμ. høng minh r»ng a) Tø gi c, néi tiõp. b) lu«n i qua mét ióm cè Þnh khi d thay æi. μi 11. ho tam gi c, êng cao. Gäi, lμ hai ióm n»m trªn mét êng th¼ng qua sao cho = o = 90. Gäi, lçn l ît lμ trung ióm cña,. høng minh r»ng o = 90. 17

μi 1. ho ngò gi c néi tiõp êng trßn () sao cho tia vμ tia c¾t nhau t¹i, tia vμ c¾t nhau t¹i. Gäi lμ giao ióm cña vμ tiõp tuyõn cña () t¹i, P lμ giao ióm cña c c êng trßn ngo¹i tiõp c c tam gi c vμ. høng minh r»ng : a), P, th¼ng hμng. b) Tø gi c P néi tiõp. c) èn ióm, P,, th¼ng hμng. μi 13. ho tam gi c cã trùc t m H, c c êng cao,,. êng trßn () bêt k qua, H c¾t, t¹i P, Q. Gäi R lμ giao ióm cña H víi. høng minh r»ng hai tam gi c PQR vμ ång d¹ng. μi 14. ho tam gi c cã c c êng c o,, ång quy t¹i H. Gäi lμ giao ióm cña vμ H, lμ trung ióm H. høng minh r»ng lμ trùc t m cña tam gi c. μi 15. ho êng trßn () cã lμ d y cè Þnh vμ di éng trªn o¹n. êng trßn () qua tiõp xóc víi () t¹i vμ êng trßn () qua tiõp xóc víi () t¹i c¾t nhau t¹i ióm thø hai lμ. høng minh r»ng lu«n i qua mét ióm cè Þnh khi di éng. μi 16. ho tam gi c nhän cã H lμ trùc t m vμ lμ trung ióm cña. H¹ HP vu«ng gãc víi. høng minh r»ng.p =. μi 17. ho tam gi c cã lμ ph n gi c trong. Gäi () vμ ( ) lçn l ît lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp cña c c tam gi c vμ ; c¾t hai tiõp tuyõn chung cña () vμ ( ) t¹i P, Q. Gäi L giao ióm cña víi trung trùc cña. a) høng min r»ng, tiõp tuyõn chung vμ êng nèi t m ång quy t¹i S. b) Gäi tiõp ióm cña c c tiõp tuyõn chung víi () lμ, H ; víi ( ) lμ, (,, S th¼ng hμng). høng minh r»ng H,, ång quy ;, ång quy. c) S lμ tiõp tuyõn cña êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c. d) L lμ tiõp tuyõn cña (), L lμ tiõp tiõp tuyõn cña ( ). e) PQ =. μi 18. ho lμ d y cè Þnh cña êng trßn (), di éng trªn () sao cho n»m trong tam gi c. VÏ d y vu«ng gãc víi ;, lçn l ît thuéc c¹nh, sao cho =., =.. Gäi I lμ giao ióm cña vμ. høng minh r»ng a) c tø gi c I vμ I néi tiõp. b) I vμ èi xøng víi nhau qua. c) lu«n tiõp xóc víi mét êng trßn cè Þnh. μi 19. ho tam gi c c n t¹i. êng trßn () cã t m n»m trong tam gi c tiõp xóc víi, lçn l ît ë X, Y vμ c¾t t¹i hai ióm Z, T. Gäi H lμ h nh chiõu cña trªn Z. høng minh r»ng H, H theo thø tù i qua trung ióm cña XZ, YZ. μi 0. ho êng trßn (I) néi tiõp tam gi c vμ tiõp xóc víi,, theo thø tù ë,,. ét êng th¼ng qua song song víi c¾t t¹i. Gäi lμ trung ióm cña, L lμ giao ióm cña I vμ. a) høng minh r»ng, L, th¼ng hμng. b) høng minh r»ng vu«ng gãc víi I. μi 1. ho êng trßn () vμ ióm n»m ngoμi (). Î tiõp tuyõn vμ c t tuyõn, lμ êng kýnh cña êng trßn ()., c¾t t¹i S, S. høng min hr»ng S = S. 18

μi. ho tø gi c néi tiõp êng trßn (). Gäi,, G, H theo thø tù lμ t m êng trßn néi tiõp c c tam gi c,,,. høng min r»ng GH lμ h nh ch nhët. μi 3. ( Þnh lý Simson) ho tam gi c néi tiõp êng trßn (), lμ ióm bêt k n»m trªn (). Gäi P, Q, R lçn l ît lμ h nh chiõu cña trªn c c c¹nh,,. høng minh r»ng P, Q, R th¼ng hμng ( êng th¼ng qua P, Q, R îc gäi lμ êng th¼ng Simson øng víi ióm cña tam gi c ). μi 4. ho tam gi c néi tiõp (), lμ ióm bêt k trªn (). Î, lçn l ît vu«ng gãc víi,. LÊy lμ trung ióm cña, I lμ trung ióm cña. høng minh r»ng o I = 90. μi 5. ho tam gi c néi tiõp êng trßn (), lμ êng kýnh bêt k cña (). høng minh r»ng c c êng th¼ng Simson øng víi c c ióm, vu«ng gãc víi nhau. μi 6. ho tam gi c néi tiõp êng trßn () vμ mét ióm tïy ý n»m trªn êng trßn. Gäi,, L theo thø tù lμ h nh chiõu cña trªn,,. Î tiõp tuyõn d cña êng trßn () t¹i vμ lμ h nh chiõu cña trªn d. høng minh r»ng.l =.. μi 7. ho tam gi c cã c c êng cao,, ång quy t¹i H. Gäi,, P theo thø tù lμ trung ióm cña c c c¹nh,,. ; I, J, theo thø tù lμ trung ióm cña H, H, H. høng minh r»ng chýn ióm,,,,, P, I, J, cïng n»m trªn mét êng trßn (gäi lμ êng trßn uler). μi 8. ( Þnh lý Lyness) ho tam gi c néi tiõp. Gäi ( ) lμ êng trßn tiõp xóc trong víi () t¹i vμ tiõp xóc víi, theo thø tù t¹i,. høng minh r»ng i qua t m êng trßn néi tiõp tam gi c. μi 9. ho tø gi c néi tiõp êng trßn (). a) høng minh r»ng êng th¼ng Simson øng víi c c ióm,,, cña c c tam gi c,,, ång quy t¹i S. b) høng minh r»ng êng trßn uler cña c c tam gi c,,, còng ång quy t¹i S. 19

iv. - h íng dén μi 1. Ta cã + = 180 o = 180 o (1) Ta l¹i cã (chó ý r»ng = = ) o = = 180 o o o = 180 (90 ) (90 ) + + o = = 180 () Tõ (1) vμ () suy ra = hay tø gi c néi tiõp. μi. S P T I H a) høng minh tø gi c néi tiõp Ðo dμi HI, H c¾t, lçn l ît t¹i T, S. Ta cã tø gi c SHT néi tiõp nªn = = o TS ST 45. Suy ra S = T. Tõ ã theo týnh chêt êng ph n gi c, ta cã H H H HI = = =, suy ra I // TS. S S T TI 0

Æt kh c do tø gi c IH néi tiõp (do = o PI HI = 90 ) nªn HPI = HI = HST = H. o ã PI //. Tõ ã suy ra = IP = HPI = H = (do PI lμ êng ph n gi c cña gãc HP ). VËy tø gi c néi tiõp. b) høng minh r»ng n m ióm,,, I, cïng n»m trªn mét êng trßn Ta chøng minh îc P // t ng tù nh chøng minh PI // ë c u a), nªn P = = P, suy ra P = P. T ng tù P = PI. o tø gi c néi tiõp nªn P = = P, do ã P = P. T ng tù ta còng cã P = P. Suy ra P = P = P = PI = P. VËy n m ióm,,, I, cïng n»m trªn mét êng trßn cã t m P. μi 3. Ô thêy = = (do c c tø gi c vμ néi tiõp). L¹i cã I. = =. nªn tø gi c I néi tiõp, suy ra I =. Tõ ã cã I + = + I =. μ = = JI (do c c tø gi c vμ JI néi tiõp) nªn I = JI, do ã tø gi c IJ néi tiõp. Ta cã L. = =. nªn tø gi c L néi tiõp, do ã JL = = = IJ. Tõ ã cã tø gi c IJL néi tiõp. Suy ra n m ióm I, J,,, L cïng n»m trªn mét êng trßn. Ta chøng minh îc tø gi c IJL néi tiõp t ng tù nh chøng minh tø gi c IJ néi tiõp, do ã thuéc êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c IJL. μ êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c IJL còng chýnh lμ êng trßn i qua n m ióm I, J,,, L nªn ta cã I, J,,, L, cïng nçm trªn mét êng trßn. I J L 1

μi 4. Gäi lμ trung ióm cña o¹n. Ta sï chøng minh tø gi c I néi tiõp. 1 Ta cã = = nªn dô cã Δ ~ Δ(c.g.c), suy ra = (1) Ta l¹i cã s = + = + = + s = I () Tõ (1) vμ () suy ra I = hay tø gi c I néi tiõp. Tõ ã o I = 90. Tam gi c I cã I võa lμ êng cao, võa lμ êng trung tuyõn nªn lμ tam gi c c n. I μi 5. ùng h nh b nh hμnh th còng lμ h nh b nh hμnh. Ta cã // vμ // nªn =. Ta l¹i cã = vμ =, do ã =. Suy ra tø gi c néi tiõp nªn =. L¹i v // vμ // nªn =, do ã =

μi 6. a) høng minh tø gi c néi tiõp mét êng trßn (V) Ta cã =, = nªn + =. Tõ ã cã : o o = + = o 180 ( ) 180 = 180 (do vμ èi xøng víi nhau qua d). Suy ra tø gi c néi tiõp îc trong mét êng trßn (V). V S T b) høng minh R = R.R Tõ kõt qu cña c u a), ta cã S SV = = = = = VT (1) T TV = = = = = VS () Tõ (1) vμ () suy ra Δ S V SV ~ Δ VT (g.g) R V R S.R T V = T =. V d S T 3

μi 7. Gäi, lçn l ît lμ trung ióm cña,. Ta cã =, = nªn Δ ~ Δ(g.g), mμ vμ lμ trung tuyõn t ng øng cña hai tam gi c ång d¹ng trªn, do ã Δ ~ Δ. Suy ra = hay tø gi c néi tiõp (1) L¹i cã tø gi c néi tiõp (v = o = 90 ) () Tõ (1) vμ () suy ra n m ióm,,,, cïng n»m trªn mét êng trßn, tõ ã dô cã = o 90. μi 8. I d 1 d Gäi, theo thø tù lμ h nh chiõu cña, lªn d,d 1, I lμ giao ióm cña víi. Ta cã. = = =. nªn tø gi c néi tiõp, suy ra = I. L¹i cã tø gi c néi tiõp nªn =. VËy = I, do ã tø gaýc I néi tiõp, tõ ã dô dμng suy ra o I = 90 hay. 4

μi 9. H Gäi lμ giao ióm cña víi. Ta cã = o H = 90 nªn tø gi c H néi tiõp, suy ra H = (1) L¹i cã. = = = H. nªn tø gi c H néi tiõp, do ã H = () Tõ (1) vμ () suy ra tø gi c néi tiõp, tõ ã cã = 90 hay. μi 10. o a) høng minh c c tø gi c, néi tiõp Ta thêy = o = 60 nªn Ó chøng minh tø gi c néi tiõp, ta sï chøng tá = o 60. o = o = 60 nªn //, suy ra =. Æt kh c = = o 60 nªn Δ ~ Δ (g.g) = =. 5

L¹i cã = o = 10 nªn Δ ~ Δ (c.g.c) = hay =. Suy ra Δ ~ Δ (g.g), do ã = = o 10. VËy ta cã o = 60 = nªn tø gi c néi tiõp. Ta còng cã o = 60 = nªn tø gi c còng néi tiõp. b) høng minh lu«n i qua mét ióm cè Þnh Gäi lμ giao ióm cña víi. Tõ kõt qu cña c u a), ta cã = =, suy ra hai tam gi c vμ ång d¹ng víi nhau. o ã =.. høng minh t ng tù, ta cã =., suy ra = hay lμ trung ióm cña o¹n cè Þnh ( pcm). μi 11. Tõ c c tø gi c néi tiõp vμ, ta cã =, = nªn suy ra Δ ~ Δ (g.g) ; vμ lμ hai êng trung tuyõn t ng øng cña hai tam gi c ång d¹ng trªn nªn Δ ~ Δ = tø gi c néi tiõp = = o 90. μi 1. a) høng minh, P, th¼ng hμng. Tõ c c tø gi c néi tiõp P vμ, ta cã : P = =. L¹i cã tø gi c P néi tiõp nªn + o P = 180, do ã + o P P = 180 hay, P, th¼ng hμng. b) høng minh tø gi c P néi tiõp Ta cã P = P + P = +, mæt kh c : = =, nªn o P = ( + ) ( + ) = (180 ) = (1) L¹i cã = = () Tõ (1) vμ () suy ra P =, do ã tø gi c P néi tiõp. 6

c) høng minh r»ng, P,, th¼ng hμng Ta cã = = P, tõ ã kõt hîp víi tø gi c P néi tiõp ta dô dμng chøng minh îc, P, th¼ng hμng. Theo c u a) ta cã, P, th¼ng hμng nªn suy ra, P,, th¼ng hμng. P 7

μi 13. Tõ c c tø gi c néi tiõp PHQ, H ta cã : HQP = HP = H (1) HPQ = HQ = H () Ta thêy o o PH = QH = 90 H = 90 HR = HR, do ã tø gi c PHR néi tiõp. Suy ra HPR = HR = H (3) høng minh t ng tù HQR = HR = H (4) Tõ (1) vμ (4) ta cã PQR = ; tõ () vμ (3) ta cã QPR =. o ã ΔPQR ~ Δ (g.g) P Q H R μi 14. R H S LÊy ióm S èi xøng víi H qua, R lμ giao ióm cña víi. Ta cã S = H = H = nªn tø gi c S néi tiõp. Suy ra 8

R = S (1) L¹i cã S = H = H = nªn tø gi c S còng néi tiõp, do ã S = R () Tõ (1) vμ () suy ra R = R nªn tø gi c R néi tiõp. Tõ ã suy ra = = o R 90. Trong tam gi c, ta cã vμ nªn lμ trùc t m cña tam gi c. μi 15. c tiõp tuyõn t¹i vμ cña êng trßn () c¾t nhau t¹i, ta cã cè Þnh. Ta cã = vμ = nªn o = 180 =, suy ra tø gi c néi tiõp. Æt kh c tø gi c còng néi tiõp nªn 5 ióm,,,, cïng thuéc mét êng trßn. L¹i cã = nªn lu«n i qua ióm chýnh gi a cña cung ( pcm). 9

μi 16. H P Gäi, lμ c c giao ióm cña H, H víi,. Ta cã c c tø gi c HP, H néi tiõp nªn P = HP =, suy ra tø gi c P néi tiõp. o ã = = P, tõ ã chøng minh îc hai tam gi c vμ P ång d¹ng víi nhau, suy ra.p =. μi 17. a) høng minh, vμ hai tiõp tuyõn chung ngoμi ång quy t¹i S Gäi S lμ giao dióm cña hai tiõp tuyõn chung ngoμi, S lμ giao ióm cña vμ. Ta cã = = = ', tõ ã víi chó ý c c tam gi c vμ Òu lμ S' H S c c tam gi c c n, ta suy ra //. Suy ra = = = S'' ' ' S'. VËy S trïng S ( pcm). P R Z X Y ' S H Q T L 30

b) høng minh r»ng H,, S ång quy ;,, S ång quy Gäi X, Y theo thø tù lμ giao ióm cña víi H,. Theo kõt qu cña V14, ta cã c c tø gi c X vμ Y néi tiõp, kõt hîp víi //, ta cã X = X = Y' = Y. Suy ra X // Y (1) Æt kh c, do //, ta cã XY = ' = = = XY nªn tam gi c XY c n t¹i. Suy ra X = Y, l¹i cã X = X, Y = Y ( lμ êng trung trùc cña ) nªn X = Y = X = Y. o ã XY lμ h nh thoi, vëy X // Y () Tõ (1) vμ () suy ra, Y, th¼ng hμng. høng minh t ng tù, ta cã pcm. c) høng minh r»ng S lμ tiõp tuyõn cña êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c Gäi Z lμ giao ióm cña S víi êng trßn (). Ô thêy tø gi c XZ néi tiõp nªn Z = X = X =, tõ ã chøng minh îc hai tam gi c vμ Z b»ng nhau. Suy ra X = = Z = ZX hay Z, X, th¼ng hμng. VËy ta cã S = Z = X = Y' = hay S lμ tiõp tuyõn cña êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c. d) høng minh L lμ tiõp tuyõn cña (), L lμ tiõp tuyõn cña ( ) Gäi R lμ giao ióm cña vμ.ta cã tam gi c R c n t¹i R nªn o o R = 180 R = 180 XY = XY =. Suy ra tø gi c R néi tiõp. Æt kh c ta cã L vμ RL lμ c c êng ph n gi c cña c c gãc vμ R nªn dô dμng cã 5 ióm,, R, L, cïng n»m trªn mét êng trßn. Suy ra = o RL RL = 90 hay L lμ tiõp tuyõn cña êng trßn () vμ L lμ tiõp tuyõn cña êng trßn ( ). e) høng minh r»ng PQ =. Gäi T lμ giao ióm H vμ. Ta cã H // vμ // nªn H = ' H = hay H //. T ng tù // H. Tõ ã cã ngay HT lμ h nh b nh hμnh. Æt kh c QH = Q.Q = Q nªn Q lμ trung ióm cña H vμ do ã Q còng lμ trung ióm cña T. Suy ra PQ = + Q = + T = T. Ta cã T = T = T (do HT // ) vμ T = T nªn ΔT ~ ΔT (g.g) T = PQ = T =. ( pcm). T μi 18. a) høng minh c c tø gi c I vμ I néi tiõp Ta cã kõt qu quen thuéc = vμ kõt hîp víi gi thiõt, ta cã. =.. Suy ra tø gi c néi tiõp, tõ ã I = = I nªn tø gi c I néi tiõp. T ng tù ta còng cã tø gi c I néi tiõp. b) høng minh I vμ èi xøng víi nhau qua Tõ gi thiõt dô dμng cã Δ ~ Δ (c.g.c), Δ ~ Δ(c.g.c) nªn suy ra = = I vμ = = I. o ã I vμ èi xøng víi nhau qua. c) høng minh lu«n tiõp xóc víi mét êng trßn cè Þnh Gäi ( ) lμ êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c I th ( ) èi xøng víi () qua nªn ( ) cè Þnh. L¹i cã I = = = = I, suy ra lμ tiõp tuyõn cña êng trßn ( ). VËy lu«n tiõp xóc víi êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c I cè Þnh. 31

I μi 19. Gäi L lμ giao ióm cña Z víi (). Ô thêy thuéc êng cao cña tam gi c c n. Ta cã = = o H X Y = 90 nªn n m ióm, X, H,, Y cïng thuéc mét êng trßn. Suy ra X = HX. Tø gi c X còng néi tiõp nªn X = X, do ã HX = XZ. VËy tø gi c ZHX néi tiõp îc nªn XH = XZH = XL. Suy ra XL // H. Trong tam gi c XZL, ta cã H lμ trung ióm cña ZL vμ H // XL nªn H i qua trung ióm cña XZ. T ng tù ta chøng minh îc H i qua trung ióm cña YZ. L X Y H Z T 3

μi 0. a) høng minh, L, th¼ng hμng Qua L kî êng th¼ng song song víi c¾t, lçn l ît t¹i P, Q. Ta cã c c tø gi c LPI vμ LQI néi tiõp nªn IPL = IL, IQL = IL, mμ IL = IL nªn IPL = IQL. Suy ra L lμ trung ióm cña PQ, tõ ã suy ra, L, th¼ng hμng. b) høng minh vu«ng gãc víi I Ô thêy L I, IL nªn L lμ trùc t m cña tam gi c I, do ã I. Gäi, H theo thø tù lμ giao ióm cña L, L víi I, I. Ô thêy IH.I = I.I = I = I ΔIH ~ ΔI (c.g.c) I H = I. L¹i cã tø gi c IH néi tiõp nªn IH = IH suy ra IH = I. Gäi J lμ giao ióm cña I víi. Theo trªn ta cã HJ = HJ nªn tø gi c HJ néi tiõp, suy ra = = o J H 90 hay I. P I L H Q J μi 1. Q S L P S' Qua vï êng th¼ng song song víi SS, êng th¼ng nμy c¾t, lçn l ît ë P, Q. Gäi L lμ trung ióm cña. 33

Ta cã = o L = 90 nªn tø gi c L néi tiõp, suy ra L = L. o Q // S nªn L = PL, do ã L = PL hay PL = PL. Tõ ã cã tø gi c PL néi tiõp, v vëy LP = P = Q, suy ra LP // Q. Trong tam gi c Q, ta cã L = L vμ LP // Q nªn PQ = P. Tõ ã theo Þnh lý TalÐt, ta suy ra îc S = S. μi. G H 1 Ta nh¾c l¹i kõt qu quen thuéc sau : Õu I lμ t m êng trßn néi tiõp cña tam gi c th o I = 90 +. Sö dông kõt qu trªn vμo c c tam gi c vμ, ta cã : o = 90 + = + o H 90 μ = nªn = H, suy ra tø gi c H néi tiõp. o ã = = H. høng minh t ng tù, ta cã 1 = =. Suy ra + o H = 1+ = = 90. Hoμn toμn t ng tù, ta cã = o G HG = 90. Suy ra GH lμ h nh ch nhët. 34

μi 3. R Q P Ta cã tø gi c RQ vμ néi tiõp nªn QR = R = P (1) L¹i cã tø gi c PQ néi tiõp nªn + o P QP = 180 () Tõ (1) vμ () suy ra + o QR QP = 180 hay o PQR = 180 VËy P, Q, R th¼ng hμng. μi 4. Gäi lμ h nh chiõu cña trªn. Theo Þnh lý Simson, ta cã,, th¼ng hμng. Ta cã c c tø gi c, néi tiõp nªn : = = = = Tõ ã suy ra Δ ~ Δ(g.g) mμ, I lμ hai trung tuyõn t ng øng cña hai tam gi c, nªn Δ ~ ΔI = I tø gi c I néi tiõp o I = 90 (v o I = 90 ) I 35

hën xðt. Õu kh«ng sö dông Þnh lý Simson, ta cã c ch kh c nh sau : Tõ hai tam gi c ång d¹ng vμ I ta suy ra = I (1) I = () Tõ (1) ta cã I =, kõt hîp víi () ta suy ra hai tam gi c I vμ ång d¹ng. Tõ ã = o I = 90. i 5. Gäi, lçn l ît lμ h nh chiõu cña trªn, ;, G lçn l ît lμ h nh chiõu cña trªn,. Ta cã tø gi c G néi tiõp nªn o G = G = = = 90 (chó o ý r»ng = 90 ). Tõ ã dô dμng suy ra pcm. G 36

μi 6. L Tr íc hõt ta cã,, L th¼ng hμng. hó ý tø gi c néi tiõp, ta cã : = = = L o = o 180 = 180 L = L Tõ ã suy ra Δ ~ ΔL (g.g) =.L =. L μi 7. I P H J Sö dông kõt qu cña V16, ta cã = H = = (chó ý r»ng lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp cña tø gi c néi tiõp ). Suy ta tø gi c néi tiõp. høng minh t ng tù, ta cã c c tø gi c vμ P còng néi tiõp. Suy ra,,,,, P cïng n»m trªn mét êng trßn qua,,. (1) 37

Æt kh c do tam gi c H vu«ng t¹i cã lμ trung ióm cña H nªn = H = H =. Suy ra tø gi c néi tiõp. T ng tù, c c tø gi c I vμ J còng néi tiõp, do ã,,, I, J, cïng n»m trªn êng trßn qua,, () Tõ (1) vμ () suy ra,,,,, P, I, J, cïng n»m trªn mét êng trßn. ch kh c. Ta cã PJ lμ êng trung b nh cña tam gi c H nªn PJ // H vμ PJ = 1 H. T ng tù, ta cã // H vμ = 1 H. Suy ra PJ // vμ PJ =, do ã PJ lμ h nh b nh hμnh. Æt kh c ta cã PJ J (do PJ // H, H, // J) nªn PJ lμ h nh ch nhët. Gäi S lμ giao ióm cña P vμ J th SP = S = S = SJ. T ng tù SI = S = SP = S. Suy ra SI = S = SP = S = S = SJ L¹i do tam gi c J vu«ng t¹i cã SJ = S nªn SJ = S = S. T ng tù, ta cã S = SP= S, SI = S = S. Tõ ã suy ra r»ng : S = S = S = S = S = SP = SI = SJ = S VËy 9 ióm,,,,, P, I, J, cïng n»m trªn êng trßn t m S. I P H J S 38

μi 8. I ' x Gäi lμ giao ióm cña víi êng trßn ( ). Ta cã ' = ' = nªn //. μ ' nªn. Suy ra lμ ióm chýnh gi a cña cung. Gäi I lμ giao ióm cña víi th I lμ êng ph n gi c cña gãc. VÏ x lμ tiõp tuyõn chung cña () vμ ( ) t¹i. Trong êng trßn () ta cã I = x vμ trong êng trßn ( ) ta cã I = x. o ã I = I hay tø gi c I néi tiõp, suy ra o 180 I = I = = (do tam gi c c n t¹i vμ tø gi c néi tiõp). Tõ ã ta cã o 180 I = = = I hay tø gi c I néi tiõp. iòu ã kðo theo I = I. Ta l¹i cã o 180 I = I = =. VËy ta cã I =, iòu nμy chøng tá I lμ êng ph n gi c cña gãc. Suy ra I lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c ( pcm). 39

μi 9. 1 1 S 1 1 a) høng minh c c êng th¼ng Simson øng víi c c ióm,,, cña c c tam gi c,,, ång quy t¹i S Gäi, 1 lμ h nh chiõu cña trªn, ;, 1 lμ h nh chiõu cña trªn, ;, 1 lμ h nh chiõu cña trªn, ;, 1 lμ h nh chiõu cña trªn, ; S lμ giao ióm cña 1 víi 1. Ta sï chøng minh,s, 1 vμ 1,S, th¼ng hμng. Ta cã 5 ióm,,1, 1, cïng n»m trªn êng trßn êng kýnh (v = = o 1 1 = 90 ) nªn = = 1 1 1, do ã 1 1//. høng minh t ng tù, ta cã 1 1//, 1 1//, 1 1//. Tõ ã chøng minh îc tø gi c 111 1 néi tiõp. Ta l¹i cã : o S = + = + = 180 = = S (do 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1// vμ c c tø gi c 1, 1 1 néi tiõp). o ã tam gi c 1 1 S c n t¹i S, tõ ã : o o = = = = 1S1 180 S11 180 1 1 111 (do tam gi c 1 vu«ng t¹i 1 vμ tø gi c 11 néi tiõp). Suy ra S lμ t m êng trßn ngo¹i tiõp tø gi c 111 1. V vëy, ta cã : o S 1 1 o = = o S = = 11 90 90 111 90 1 1 (1) 40

L¹i do 5 ióm,1, 1,, cïng n»m trªn êng trßn êng kýnh nªn suy ra + = o 1 11 180 hay + o 1 11 = 180 () Tõ (1) vμ () suy ra 1,S, th¼ng hμng. (3) Ta cã : o S 1 1 o S = = 11 90 90 111, mμ = 1 1 1 (v 1 1// vμ 1 1// ) nªn o S = = = 11 90 1 (do tø gi c 1 néi tiõp) hay = 1S. Suy ra 1,S, th¼ng hμng. (4) Tõ (3) vμ (4) suy ra pcm. b) høng minh êng trßn uler cña c c tam gi c,,, còng ång quy t¹i S Tõ kõt qu cña c u a) vμ vý dô 16, ta cã o = = = = 1 1 1 S 1 1 180 S 1. Suy ra tø gi c S1 néi tiõp. Theo kõt qu cña bμi tëp 7, êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c 1 chýnh lμ êng trßn uler cña tam gi c. VËy êng trßn -le cña tam gi c i qua S. høng minh t ng tù cho c c tam gi c cßn l¹i, ta sï cã pcm. v. nguån tham kh o [1] - Ó häc tèt To n 9 - H nh häc, Hoμng hóng (chñ biªn), XG. [] - ng cao vμ ph t triôn to n 9, Vò H u nh, XG. [3] - orum mathscope.org 41