Microsoft Word - Bia.doc

¹i häc quèc gia hµ éi Trêg ¹i häc hoa häc tù hiª. I. KAZAKEVITS c së lý thuyõt hµm géu hiª vµ øg dôg trog hý tîg thñy v Ngêi dþch: Pha V T Ph¹m V HuÊ NguyÔ Thah S HiÖu Ýh: NguyÔ V Tuyª Nhµ uêt b ¹i häc quèc gia Hµ Néi

Lêi giíi thiöu Lý thuyõt c suêt vµ thèg ª to häc ãi chug vµ lý thuyõt hµm géu hiª ãi riªg lµ c«g cô to häc qua träg îc sö dôg rêt rég r i vµ hiöu qu trog c c gµh hoa häc hý tîg, thñy v vµ h i d g häc. Trog ch g tr h µo t¹o chuyª gµh hý tîg, thñy v vµ h i d g häc, viöc øg dôg c c ph g ph p thèg ª vµ lý thuyõt c c qu tr h géu hiª cã mæt trog hiòu m«häc vµ thó hiö díi h g h h thøc h c hau. Tuy hiª, cho Õ ay ë íc ta cha cã mét tµi liöu gi g d¹y dïg chuyª cho gµh hý tîg thñy v, trog ã h g c së cña lý thuyõt c suêt thèg ª to häc îc tr h bµy Çy ñ, hö thèg hg dô hióu èi víi tr h é to t g øg cña h g sih viª hãm gµh µy. Cuè C së lý thuyõt hµm géu hiª vµ øg dôg trog hý tîg thñy v cña. I. Kazaevits, gêi tõg gi g d¹y to häc cao cêp vµ lý thuyõt c suêt thèg ª hiòu m t¹i Trêg ¹i häc hý tîg thñy v Lªigrat, tá ra p øg tèt hêt h g yªu cçu trª y. Ngoµi ra, t c gi cuè s ch µy còg am hióu vµ cã c«g tæg qua mét sè c«g tr h øg dôg c«g cô lý thuyõt hµm géu hiª trog ghiª cøu hý tîg, thñy v, h i d g häc; chø ra trog h g vê Ò µo vµ hi µo th c c ph g ph p µy îc p dôg sï hîp lý vµ hiöu qu, còg h h g Æc thï hi thao t c víi c c tëp d liöu hý tîg thñy v trog hi týh to,... Nh vëy cuè s ch võa cã týh chêt gi o hoa võa lµ mét chuyª h o rêt bæ Ých h«g h g cho sih viª trog häc tëp mµ cß lµ tµi liöu tham h o cho ghiª cøu sih vµ h g gêi ghiª cøu. Héi åg hoa häc Khoa KhÝ tîg thñy v vµ h i d g häc quyõt Þh dþch guyª b cuè s ch µy lµm gi o tr h gi g d¹y m«häc Lý thuyõt c c qu tr h géu hiª cho sih viª bëc ¹i häc c c gµh hý tîg, thñy v vµ h i d g häc trog Trêg ¹i häc hoa häc tù hiª. Néi dug cña cuè s ch liª qua hiòu Õ h g iõ thøc to ë tr h é cao, do ã b dþch ch¾c ch¾ h«g tr h hái h g hiõm huyõt liª qua Õ dþch thuët vµ i Ê. Chóg t«i rêt mog hë îc h g ý iõ ãg gãp cña b¹ äc. Nh g gêi dþch

4 Lêi ãi Çu Trog hai chôc m gç y gêi ta thêy r»g c c c«g cô to häc vò lý thuyõt hµm géu hiª îc sö dôg rég r i trog hý tîg häc vµ thuû v häc. C së cña iòu µy lµ ý tëg em Ðt c c gi trþ tøc thêi ghi îc cña c c qu tr h vµ c c trêg h«g gia hý tîg thuû v h h g thó hiö riªg biöt cña mét qu tr h géu hiª hay mét trêg géu hiª µo ã. C ch tiõp cë h vëy cho phðp h«g cç Ðt h g Æc ióm cña c c gi trþ tøc thêi riªg rï cña trêg hý tîg thuû v víi mèi phô thuéc vµo to¹ é h«g gia vµ biõ tr h thêi gia rêt phøc t¹p vµ h«g râ Ðt vµ chuyó sag ghiª cøu mét sè týh chêt trug b h cña tëp hîp thèg ª c c thó hiö øg víi mét tëp c c iòu iö bª goµi cô thó µo ã. Qua ióm lý thuyõt c suêt ghiª cøu c c hiö tîg trog hý tîg vµ thuû v häc cã sö dôg c«g cô lý thuyõt hµm géu hiª tá ra rêt hiöu qu trog c c lüh vùc: lý thuyõt rèi, y dùg c c ph g ph p dù b o thêi tiõt h¹ dµi, ph tých h ch qua c c trêg hý tîg, h gi týh ¹i diö cña sè liöu qua tr¾c, é chýh c cña c c dôg cô o, gi i quyõt c c vê Ò hîp lý ho sù ph bè m¹g líi tr¹m hý tîg, y dùg c c ph g ph p dù b o dßg ch y s«g vµ c c Æc trg hý tîg thuû v, còg h trog hiòu vê Ò h c. ãg gãp to lí vµo híg µy lµ c c c«g tr h Æt Ò mãg cña A.N. Kolmogorov còg h c c Õt qu ghiª cøu cña A.M. Obuhov, A.S. Moi, A.M. Iaglom, M.I. Iu i, L.S. Ga i, N.A. Bagrov, O.A. roz ov, E.P. Boriseov, N.A. Kartvelishvili, I.M. Alehi vµ c c hµ hoa häc hý tîg thuû v hµg Çu cña íc ta (Liª X«cò ND). Tõ ã dé Õ ph i më rég gi o tr h lý thuyõt c suêt trog c c trêg hý tîg thuû v vµ a ra h g ho chuyª Ò vò c së lý thuyõt c c hµm géu hiª, vµ iòu µy îc thùc hiö lç Çu tiª vµo m 96 t¹i Trêg hý tîg thuû v Leigrat. Cuè s ch µy îc viõt trª c së gi o tr h vò lý thuyõt hµm géu hiª mµ t c gi gi g d¹y trog hiòu m cho sih viª chuyª gµh dù b o thêi tiõt b»g ph g ph p sè trþ cña Trêg

hý tîg thuû v Leigrat, vµ lµ gi o tr h häc tëp cho sih viª vµ ghiª cøu sih c c trêg ¹i häc hý tîg thuû v vµ c c hoa t g øg trog c c trêg ¹i häc tæg hîp còg h cho rég r i c c chuyª gia hý tîg thuû v. Cuè s ch còg cã thó îc sö dôg h lµ tµi liöu häc tëp cho sih viª vµ ü s c c chuyª gµh h c qua t m Õ lý thuyõt hµm géu hiª vµ øg dôg cña ã. Lý do biª so¹ mét cuè s ch h vëy uêt ph t tõ chç hiö ay cha cã c c tµi liöu gi o hoa vò lý thuyõt hµm géu hiª p øg mét c ch Çy ñ hu cçu cña c c chuyª gia vµ sih viª gµh hý tîg thuû v. H a, sù th m hëp gµy cµg t g cña lý thuyõt hµm géu hiª vµo hý tîg häc vµ thuû v häc ßi hái c c chuyª gia hý tîg, thuû v ph i hah chãg vµ chñ ég chiõm lüh ã. Lý thuyõt c c hµm géu hiª, mét bé phë cña lý thuyõt c suêt, ph t trió hah chãg trog mêy thëp iª gç y vµ îc øg dôg rêt rég r i trog hiòu lüh vùc hoa häc vµ ü thuët. Tríc hõt ph i Ó Õ c c øg dôg cña lý thuyõt hµm géu hiª trog ü thuët v«tuyõ, Æc biöt trog lý thuyõt iòu hió tù ég mµ c c hu cçu cña chóg, Õ lît m h, l¹i thóc Èy sù ph t trió cña chýh lý thuyõt µy. Sù øg dôg rég r i cña lý thuyõt hµm géu hiª trog hý tîg thuû v mué h mét chót. Do ã hiö ay cã hai lo¹i gi o tr h vò lý thuyõt hµm géu hiª. Tµi liöu lo¹i thø hêt tr h bµy chæt chï lý thuyõt qu tr h c suêt dùa trª Ò to häc ë tr h é cao (thý dô h J. Dub "C c qu tr h c suêt", I. A. Rozaov "C c qu tr h géu hiª dõg"). Nh g cuè s ch µy dïg cho c c chuyª gia vò to ª rêt hã èi víi sih viª c c trêg hý tîg thuû v còg h èi víi c c ü s cha îc trag bþ to häc Çy ñ. Lo¹i thø hai lµ c c chuyª h o vµ s ch gi o hoa trog ã tr h bµy c së lý thuyõt hµm géu hiª t g øg víi hu cçu cña lý thuyõt iòu hió tù ég vµ ü thuët v«tuyõ. ViÖc sö dôg c c s ch lo¹i µy èi víi c c chuyª gia hý tîg thuû v bþ hã h v trog ã lý thuyõt hµm géu hiª vµ c c ph g ph p cña lý thuyõt iòu hió tù ég hay ü thuët v«tuyõ g¾ chæt víi hau, hã t ch biöt ra îc. Ngoµi ra, ë y cha ph h îc h g hýa c¹h hõt søc qua träg hi øg dôg lý thuyõt µy vµo hý tîg thuû v häc. Cuè s ch µy h»m híg tíi h g éc gi cã iõ thøc to îc trag bþ ë møc gi o tr h to cao cêp dµh c c trêg ¹i häc chuyª gµh hý tîg thuû v. Trog hi tr h bµy, Õu buéc ph i dïg Õ h g ph g ph p vµ h i iöm Ýt que thuéc, th chóg 5

sï îc diô gi i mét c ch g¾ gä (vý dô, mét sè dé liöu tõ lý thuyõt c c ph g tr h tých ph, mét vµi h i iöm cña ¹i sè tuyõ týh, hµm delta v.v...). V mét sè chuyª gia hý tîg thuû v cha cã ñ iõ thøc vò lý thuyõt c suêt, trog ch g sï h i qu t h g iõ thøc c b cña lý thuyõt c suêt mµ sau µy dïg Õ hi tr h bµy lý thuyõt hµm géu hiª. ViÖc tr h bµy chi tiõt c c vê Ò µy cã trog c c s ch gi o hoa vò lý thuyõt c suêt, ch¼g h¹ trog cuè gi o tr h æi tiõg cña E.S. Vetel [4]. éc gi µo que víi lý thuyõt c suêt cã thó bá qua ch g µy. Néi dug tr h bµy trog s ch h«g h»m bao qu t Çy ñ lý thuyõt hµm géu hiª, mµ chñ yõu chø Ðt h g hýa c¹h µo cña lý thuyõt cã øg dôg rég r i trog hý tîg thuû v häc. Ngoµi ra, t c gi chñ yõu tëp trug tr h bµy sao cho gi vµ dô hióu, h«g bþ gß bã bëi yªu cçu vò sù chæt chï toµ diö vò mæt to häc. Cuè s ch gåm hai phç. PhÇ thø hêt tr h bµy c së lý thuyõt hµm géu hiª, trog ã bª c¹h viöc Ðt c c qu tr h géu hiª mét chiòu, chó ý hiòu Õ c c trêg géu hiª h«g gia. PhÇ thø hai Ðt mét sè bµi to hý tîg, thuû v îc gi i b»g c c ph g ph p cña lý thuyõt hµm géu hiª. Tuy hiª hoµ toµ h«g Æt ra môc tiªu tæg qua hö thèg têt c h g c«g tr h ghiª cøu gi i quyõt c c bµi to hý tîg thuû v b»g ph g ph p lý thuyõt hµm géu hiª. Nh g tæg qua h vëy vò øg dôg lý thuyõt hµm géu hiª trog hý tîg thuû v cã thó t m thêy trog hiòu c«g tr h cña c c t c gi trog vµ goµi íc [5, 8,, 4, 45, 9, 57...]. Trog cuè s ch µy chø lùa chä mét sè bµi to hý tîg vµ thuû v tiªu bióu cho phðp mih ho¹ sù øg dôg c c ph g ph p c b cña lý thuyõt hµm géu hiª tr h bµy trog phç Çu cña cuè s ch. Vµ ë y tëp trug chñ yõu vµo c c vê Ò ph g ph p luë. T c gi hy väg cuè s ch sï gióp «g o c c hµ hý tîg thuû v lüh héi h g ý tëg vµ ph g ph p c b cña lý thuyõt c c hµm géu hiª vµ øg dôg chóg vµo thùc tiô cña hý tîg thñy v häc. T c gi i bµy tá lßg biõt tíi N.A. Bagrov, O.A. roz ov vµ M.I. Iu i, h g gêi cã h g gãp ý quý gi vò éi dug vµ cêu tróc cuè s ch. T c gi Æc biöt c m L.S. Ga i äc toµ v b th o vµ ªu ra hiòu hë Ðt gióp t c gi lu ý hi chuè bþ uêt b. 6

PhÇ - C së lý thuyõt hµm géu hiª Ch g Mét sè h i iöm c b cña lý thuyõt c suêt. ¹i lîg géu hiª vµ luët ph bè ¹i lîg géu hiª lµ ¹i lîg mµ hi tiõ hµh mét lo¹t phðp thö trog cïg mét iòu iö h hau cã thó mçi lç hë îc gi trþ µy hoæc gi trþ h c hoµ toµ h«g biõt tríc îc. Ngêi ta chia ¹i lîg géu hiª thµh hai d¹g lµ ¹i lîg géu hiª rêi r¹c vµ ¹i lîg géu hiª liª tôc. ¹i lîg géu hiª rêi r¹c lµ ¹i lîg géu hiª mµ mäi gi trþ cã thó cña ã cã thó liöt ª ra îc, tøc lµ cã thó h sè thø tù b»g tëp sè tù hiª. Ngîc l¹i, ¹i lîg géu hiª liª tôc lµ ¹i lîg géu hiª mµ mäi gi trþ cã thó cña ã phñ Çy mét o¹ cña trôc sè, vµ do ã h«g thó h sè îc. VÝ dô vò ¹i lîg géu hiª rêi r¹c lµ sè ióm hi gieo co óc ¾c. ¹i lîg géu hiª µy víi mçi lç thý ghiöm cã thó hë mét trog s u gi trþ:,, 3, 4, 5 hoæc 6. ¹i lîg géu hiª sï îc em lµ rêi r¹c Õu ã chø cã thó hë hoæc gi trþ guyª, hoæc gi trþ h u tû. Khi ã tëp c c gi trþ cã thó cña ¹i lîg géu hiª lµ v«h¹. ¹i lîg géu hiª liª tôc lµ ¹i lîg géu hiª mµ trog Õt qu thý ghiöm cã thó hë bêt ú gi trþ sè thùc µo trª mét ho g hoæc mét vµi ho g µo ã. VÝ dô hiöt é h«g hý, p

suêt h«g hý hoæc é löch cña chóg so víi trug b h chuè hiòu m, c c thµh phç cña vect vë tèc giã cã thó coi lµ ¹i lîg géu hiª liª tôc. Sai sè cña c c dôg cô o cã thó em lµ ¹i lîg géu hiª. Th«g thêg, c c sai sè µy sï lµ ¹i lîg géu hiª d¹g liª tôc. Ta qui íc ý hiöu c c ¹i lîg géu hiª b»g c c ch hoa: A, B, C, X, Y... cß c c gi trþ cã thó cña chóg lµ c c ch i thêg t g øg: a, b, c,, y... Gi sö ¹i lîg géu hiª rêi r¹c X cã thó hë c c gi trþ,,..., víi c suêt p, p,..., p. Khi liöt ª îc mäi gi trþ mµ ¹i lîg géu hiª cã thó cã vµ cho tríc c suêt mµ mçi gi trþ cña ã hë, ta hoµ toµ c Þh îc ¹i lîg géu hiª ã. HÖ thøc c lëp mèi liª hö gi a c c gi trþ cã thó cña ¹i lîg géu hiª vµ c suêt t g øg cña chóg gäi lµ luët ph bè cña ¹i lîg géu hiª. èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c, luët ph bè cã thó cho díi d¹g b g mµ mét hµg lµ c c gi trþ cã thó cã cña ¹i lîg géu hiª i, vµ mét hµg h c lµ c suêt t g øg p i. 8 3 p p p 3 p Khi ã sè lîg c c gi trþ cã thó cña ¹i lîg géu hiª cã thó lµ h u h¹ hoæc v«h¹, cß tæg c c c suêt ë hµg thø hai cña b g, gièg h tæg c c c suêt cña hãm Çy ñ c c sù iö ug h¾c, b»g. p i. èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc h«g thó lëp b g t g tù h vëy, v h«g thó liöt ª îc c c gi trþ cña ã. Ngoµi ra, h chóg ta cã thó thêy sau µy, c suêt Ó cho ¹i lîg géu hiª liª tôc hë mét gi trþ cô thó b»g h«g, mæc dï hi ã c suêt mµ ã hë mét gi trþ bêt ú trog ho g v«cïg bð ug quah gi trþ ã h c h«g. Ó Æc trg Çy ñ cho ¹i lîg géu hiª, c lo¹i rêi r¹c lé lo¹i liª tôc, gêi ta sö dôg luët ph bè tých ph, còg cß gäi lµ hµm ph bè.

LuËt ph bè tých ph F() cña ¹i lîg géu hiª X îc Þh ghüa lµ c suêt Ó cho ¹i lîg géu hiª X hë gi trþ há h mét sè µo ã: F P X <, (..) ( ) ( ) ë y P(X < ) lµ ý hiöu c suêt cña sù iö X<. NÕu em ¹i lîg géu hiª X h lµ vþ trý cña ióm trª trôc sè, th gi trþ cña hµm F() cã ghüa lµ c suêt Ó ióm µy»m bª tr i ióm. Sù lý gi i h h häc h vëy lµm râ c c týh chêt sau y cña hµm ph bè: ) F() lµ hµm h«g gi m theo èi sè, ghüa lµ víi > th F( ) F( ); ) F() lµ c suêt cña sù iö bêt h ; 3) F(+) lµ c suêt cña sù iö têt yõu. èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c, gi trþ hµm ph bè F() lµ tæg c suêt p i cña mäi gi trþ cã thó i há h, tøc lµ: F ( ) P( X ) (..) i < Tõ ã thêy r»g, å thþ hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª rêi r¹c lµ êg bëc thag cã c c ióm gi o¹ t¹i i, vµ gi trþ ét biõ ë c c ióm ã b»g p i P(X i ). Trª h h. bióu diô å thþ hµm ph bè ¹i lîg géu hiª lµ sè ióm uêt hiö hi gieo co óc ¾c. Trog trêg hîp µy mçi mét gi trþ trog sè c c gi trþ tõ Õ 6 t g øg víi cïg c suêt p/6. å thþ hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª liª tôc mµ c c gi trþ cã thó cña ã lêp Çy mét ho g [a,b] µo ã thêg lµ mét êg cog liª tôc t g tõ Õ (h h.). i H h. H h. Tuy hiª, cã thó a ra h g vý dô vò ¹i lîg géu hiª mµ gi trþ cã thó cña ã lêp Çy hoµ toµ mét ho g µo ã, hg 9

å thþ hµm ph bè l¹i cã ióm gi o¹. ¹i lîg géu hiª h vëy gäi lµ ¹i lîg géu hiª d¹g hç hîp. ¹i lîg géu hiª d¹g hç hîp trª thùc tõ hiõm hi gæp. Sau µy ta sï gäi ¹i lîg géu hiª mµ hµm ph bè cña ã liª tôc vµ h vi lµ ¹i lîg géu hiª liª tôc. Khi biõt hµm ph bè cã thó c Þh îc c suêt Ó ¹i lîg géu hiª hë gi trþ trog ho g cho tríc. Ta h y c Þh c suêt P(a X<b) lµ c suêt mµ ¹i lîg géu hiª X hë gi trþ lí h hoæc b»g a vµ há h b. X c suêt P(X<b) Ó cho ¹i lîg géu hiª hë gi trþ há h b cã thó coi h tæg c suêt cña hai sù iö ug h¾c P(X < b) P(X < a) + P(a X < b ). (..3) Tõ ã: P(a X b ) P( X < b) - P( X < a) F(b) F( a) (..4) Nh vëy, c suêt mµ ¹i lîg géu hiª hë gi trþ trog ho g cho tríc, hoæc h gêi ta thêg ãi lµ c suêt mµ ¹i lîg géu hiª r i vµo ho g cho tríc, b»g sè gia cña hµm ph bè trª ho g ã. B y giê ta Ðt ¹i lîg géu hiª liª tôc X vµ thu hñp ho g, cho b tiõ Õ a. Khi ã, do týh liª tôc cña hµm ph bè, F(b) sï tiõ Õ F(a). Nh vëy, hi lêy giíi h¹ ¼g thøc (..4), võ tr i cho c suêt ¹i lîg géu hiª X hë gi trþ a, cß võ ph i dç Õ. Râ rµg, èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc, c suêt hë mét gi trþ cô thó bêt ú µo ã b»g. èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc cã thó viõt c«g thøc (..4) Ó týh c suêt r i vµo mét ho g cña ¹i lîg géu hiª díi d¹g P(a < X < b) F(a) F(b). (..5) èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc, hµm ph bè cña ã liª tôc vµ h vi ª cã thó sö dôg ¹o hµm cña hµm ph bè víi t c ch lµ luët ph bè, îc ý hiöu b»g f() F( + ) F( ) f ( ) F' ( ) lim (..6) vµ gäi îc lµ luët ph bè vi ph hay mët é ph bè. MËt é ph bè lµ ¹o hµm cña hµm h«g gi m cña F() ª ã lµ hµm h«g m, tøc lµ f() víi mäi.

BiÓu diô hµm ph bè F() qua mët é ph bè f() råi lêy tých ph ¼g thøc (..6) trog ho g tõ Õ, ta hë îc V F(), ª: f ( )d ( ) F() F (..7) f F ( ) ( )d (..8) Tõ c c c«g thøc (..6) vµ (..8) ta thêy r»g hµm ph bè vµ mët é ph bè bióu diô îc qua hau vµ do ã èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc chø cç mét trog hai hµm ph bè hoæc hµm mët é lµ ñ Ó Æc trg cho ã. Ta h y bióu diô c suêt r i vµo ho g cho tríc (a,b) cña ¹i lîg géu hiª qua mët é ph bè. Sö dôg (..5) vµ (..8), ta îc: b a b f ( )d f ( )d P ( a < X < b ) F( b ) F( a ) f ( )d (..9) Tõ ã thêy r»g, c suêt r i trog ho g (a,b) cho tríc cña ¹i lîg géu hiª b»g diö tých h h thag cog giíi h¹ bëi å thþ hµm f() ( îc gäi lµ êg cog ph bè), trôc vµ c c êg th¼g a, b (h h.3). Gi sö trog (..9) Æt a vµ b +, ta hë îc: f P( < X < + ) ( ) d (..) tøc lµ tæg diö tých»m díi êg cog ph bè b»g. Ó tých ph c Þh trog (..) héi tô, iòu iö cç lµ lim f vµ lim f ( ), cã ghüa lµ trog trêg hîp ¹i lîg ( ) + géu hiª X cã thó hë c c gi trþ trog ho g v«h¹ th trôc ph i lµ tiöm cë cña êg cog ph bè vò c hai híg. Ta lêy mét ióm tuú ý vµ mét o¹ phç tö d Õ cë ã (em h h.3). ¹i lîg f()d gäi lµ c suêt phç tö, víi é chýh c Õ v«cïg bð bëc cao h, ã c Þh c suêt r i cña ¹i lîg géu hiª trª o¹ phç tö ã. a

.. C c Æc trg sè cña ¹i lîg géu hiª LuËt ph bè cña ¹i lîg géu hiª lµ Æc trg Çy ñ hêt cña ã. Tuy hiª, h«g ph i lóc µo còg cã thó c Þh îc luët ph bè, th«g thêg gêi ta chø sö dôg mét sè Æc trg sè bióu thþ h g Ðt c b cña êg cog ph bè cña ¹i lîg géu hiª. ã lµ c c m«me ph bè víi bëc h c hau. M«me gèc bëc cña ¹i lîg géu hiª rêi r¹c X lµ m [X] cã d¹g tæg: m [ X ] i pi (..) víi i lµ c c gi trþ cã thó cña ¹i lîg géu hiª, cß p i lµ c suêt t g øg cña chóg. èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc, phðp lêy tæg theo c c gi trþ rêi r¹c i îc thay b»g phðp lêy tých ph theo toµ bé c c gi trþ cña èi sè liª tôc. Khi ã c suêt p i îc thay b»g c suêt phç tö f()d. Nh vëy, èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: m [ X ] f ( ) d i (..) M«me gèc bëc hêt m [ X ] lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª X vµ îc ý hiöu lµ M [ X] hoæc m. èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c: M [ X ] i p i èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: M (..3) [ X ] f ( ) d i (..4) M«me gèc bëc lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª luü thõa, tøc lµ: [ X ] M [ X ] m (..5) é löch cña ¹i lîg géu hiª X hái ú väg to häc cña ã îc gäi lµ ¹i lîg géu hiª qui t m vµ ý hiöu bëi o X

o X X m (..6) M«me trug t m bëc cña ¹i lîg géu hiª X lµ µ [X], lµ m«me gèc bëc cña ¹i lîg géu hiª qui t m: [ ] o o µ [ X ] m X M X M ( X m ) (..7) M«me trug t m bëc lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª qui t m luü thõa. èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c: M [ X ] ( i m ) pi èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: (..8) i [ X ] ( m ) f ( ) d µ (..9) M«me trug t m bëc hêt lu«lu«b»g h«g. ThËt vëy, èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: [ X ] M [ X m ] ( m )f ( )d µ f ( )d m f ( )d m èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c: µ X ( i m )pi i pi m p m [ ] m m i i i i C c m«me gèc lµ c c m«me cña êg cog ph bè so víi trôc tug. M«me trug t m lµ m«me cña êg cog ph bè so víi trôc i qua träg t m cña êg cog ã. M«me trug t m bëc hai îc gäi lµ ph g sai cña ¹i lîg géu hiª vµ ý hiöu lµ D[X] hay D. D [ ] [ X ] M ( X m ) µ (..) Ph g sai lµ ú väg to häc cña b h ph g é löch cña ¹i lîg géu hiª hái ú väg to häc cña ã. èi víi ¹i lîg géu hiª rêi r¹c: 3

4 [ ] ( i m ) pi D X èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: D (..) i [ X ] ( m ) f ( ) d (..) Ph g sai cña ¹i lîg géu hiª Æc trg cho sù ph t, t m¹ cña ¹i lîg géu hiª ug quah ú väg to häc. Ph g sai cã thø guyª lµ b h ph g thø guyª cña ¹i lîg géu hiª. Ó cã îc Æc trg ph t cïg thø guyª víi ¹i lîg géu hiª gêi ta sö dôg é löch b h ph g trug b h, b»g c bëc hai cña ph g sai vµ îc ý hiöu lµ σ [ X ] hoæc σ σ D M«me trug t m bëc ba dïg Ó Æc trg cho týh bêt èi øg cña ph bè. NÕu êg cog ph bè lµ èi øg èi víi ú väg to häc th mäi m«me trug t m bëc lî b»g h«g. Thùc vëy, vý dô èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc, tõ (..9) ta cã: + + [ X ] ( m ) f ( ) d. µ Thay biõ y m trog tých ph, hi ã: [ X ] yf ( y + m ) µ + dy yf ( y + m )dy + yf ( y + m ) dy Trog tých ph Çu tiª, hi thay y z, ta îc: µ + [ X ] zf ( m z )dz + yf ( y + m ) dy f ( m )d + f v hµm f() èi øg èi víi m : f ( + m ( m ) f ( m ) + )d Ó Æc trg cho týh bêt èi øg, gêi ta chä mét m«me Çu tiª trog sè h g m«me trug t m bëc lî h c h«g, tøc lµ.

µ 3. Ngoµi ra, Ó cã mét ¹i lîg v«thø guyª Æc trg cho týh bêt èi øg cña ph bè, gêi ta dïg ¹i lîg: µ 3 S, (..3) 3 σ gäi lµ hö sè bêt èi øg. M«me trug t m bëc bè Æc trg cho sù hä cña Øh, sù dèc øg cña êg cog ph bè, Æc trg ã gäi lµ é hä vµ îc c Þh theo c«g thøc: µ E 4 3. (..4) 4 σ èi víi lo¹i ph bè thêg gæp lµ ph bè chuè, h sï thêy trog môc.5, µ 4 /σ 4 3, cã ghüa lµ E. èi víi c c êg cog ph bè hä h êg cog ph bè chuè th E>; cß tï h th E< (h h.4). H h.3 H h.4 Gi a m«me gèc vµ m«me trug t m cã qua hö sau: m m µ, 3 m 3 mm + 3 µ 3 m, 4 m4 m3m + 6mm 3 µ 4 m. (..5) BiÓu thøc thø hêt thuë tiö cho viöc týh ph g sai, c c bióu thøc thø hai vµ ba thuë tiö hi týh é bêt èi øg vµ é hä cña ph bè. Ch¼g h¹, ta sï chøg mih ¼g thøc thø hêt trog (..5) èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: + ( m ) f ( )d f ( )d m µ f ( ) d + 4 5

+ m f ( )d m m + m m m Ta h y Ðt c c luët ph bè vµ c c Æc trg sè cña chóg thêg gæp hêt trog thùc tõ...3. LuËt ph bè Poat«g Mét trog h g luët ph bè phæ biõ hêt cña ¹i lîg géu hiª rêi r¹c lµ luët ph bè Poat«g. VÒ ph g diö to häc, luët Poat«g îc bióu diô bëi: m a a P( X m ) e, (.3.) m! ë y P(Xm) lµ c suêt mµ ¹i lîg géu hiª X hë gi trþ b»g sè guyª m. Cã thó diô gi i vò ¹i lîg géu hiª X tu theo luët ph bè Poat«g h sau: Gi sö theo thêi gia, mét sù iö A µo ã y ra hiòu lç. Ta sï em sè lç uêt hiö sù iö µy trog suèt ho g thêi gia cho tríc [t, t +T] h lµ mét ¹i lîg géu hiª. ¹i lîg géu hiª µy sï tu theo luët ph bè Poat«g hi c c iòu iö sau y îc thùc hiö:. X c suêt r i cña sè sù iö cho tríc vµo ho g thêi gia ag Ðt phô thuéc vµo sè sù iö vµ é dµi cña ho g thêi gia T, hg h«g phô thuéc vµo ióm Çu t o cña ã. iòu ã cã ghüa lµ c c sù iö ph bè theo thêi gia víi mët é trug b h h hau, tøc lµ ú väg to häc cña sè sù iö trog mét vþ thêi gia b»g h»g sè.. X c suêt cña sè lç uêt hiö sù iö cho trog ho g [t o, t o +T] h«g phô thuéc vµo sè lç vµ thêi ióm uêt hiö sù iö tríc thêi ióm t o, iòu ã cã ghüa lµ cã sù éc lëp t g hç gi a sè lç uêt hiö sù iö trog c c ho g thêi gia h«g giao hau. 3. X c suêt uêt hiö hai hay hiòu sù iö trog ho g thêi gia yõu tè [t, t+ t] rêt bð so víi c suêt uêt hiö mét sù iö trog ã. Ta c Þh ú väg to häc vµ ph g sai ¹i lîg géu hiª X ph bè theo luët Poat«g. Theo (..3) ú väg to häc îc c Þh díi d¹g: 6

m m a a a a mpm me ae m m m! m ( m m (.3.) )! Chuçi sè trog (.3.) lµ chuçi Maclore èi víi hµm e a, do ã: a a m ae e a. (.3.3) Nh vëy, tham sè a trog c«g thøc (.3.) lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª tu theo luët Poat«g. Theo (..5), ph g sai cña ¹i lîg géu hiª X îc c Þh díi d¹g: D m m p m a m a a a ae m a ae ( m )! m a e m a a m! m m a m m ( m )! [( m ) + ] a m m a a a ae ( m ) + ( m )! ( m )! a (.3.4) m m Mçi thµh phç trog tæg v«h¹ (.3.4) lµ chuçi Maclore èi a víi hµm e a, ã cã thó îc viõt díi d¹g, tõ ã (.3.4) trë! thµh: a a ( ae + e ) a a a D ae. (.3.5) Do ã, ph g sai cña ¹i lîg géu hiª ph bè theo luët Poat«g b»g chýh ú väg to häc cña ã..4. LuËt ph bè Òu ¹i lîg géu hiª liª tôc îc gäi lµ cã ph bè Òu Õu mäi gi trþ cã thó cña ã»m trog mét ho g µo ã vµ mët é ph bè trª ho g Êy h«g æi. MËt é ph bè Òu îc cho bëi c«g thøc: f ( ) b a hi a < < b hi < a hoæc > b êg cog ph bè cã d¹g h trª h h.5. (.4.) 7

Hµm f() cã c c týh chêt cña mët é ph bè. ThËt vëy, f() víi mäi, vµ: 8 Ta c Þh hµm ph bè F(): F( ) b d f ( )d. b a f ( )d a a b a hi < a hi a < < b hi > b (.4.) å thþ hµm ph bè îc bióu diô trª h h.6. Ta c Þh c c Æc trg sè cña ph bè Òu. Kú väg to häc b»g m f ( )d b a b a a + b d. (.4.3) M«me trug t m bëc b»g: b a + b µ ( ) d b a. (.4.4) Thay biõ a a + b t trog tých ph (.4.4) ta hë îc: µ b a ba t ba dt (.4.5) Tõ ã hë thêy r»g, têt c c c m«me trug t m bëc lî b»g h«g: µ l-, l,,... gièg h tých ph cña hµm lî trog ho g èi øg. M«me trug t m bëc ch½ b»g: ba l ( b a ) µ l t dt, l,,... b a (.4.6) l ( l ) Víi l ta hë îc gi trþ cña ph g sai: ( b a ) D µ. (.4.7) l

H h.5 H h.6 Tõ ã é löch b h ph g trug b h lµ: b a σ D (.4.8) 3 é bêt èi øg cña ph bè S, v µ 3. é hä cña ph bè b»g 4 µ 4 ( b a ). 44 E 3 3, (.4.9) 4 4 σ 8( b a ).5. LuËt ph bè chuè Trª thùc tõ thêg gæp hêt lµ c c ¹i lîg géu hiª mµ mët é ph bè cña chóg cã d¹g: ( a ) σ f ( ) e. (.5.) σ π LuËt ph bè Æc trg bëi (.5.) rêt phæ biõ, ª îc gäi lµ luët ph bè chuè, cß ¹i lîg géu hiª cã mët é ph bè ã îc gäi lµ ¹i lîg géu hiª ph bè chuè. Trog hiòu hiö tîg tù hiª vµ ü thuët, mét qu tr h ag Ðt lµ Õt qu t c ég tæg hîp cña hµg lo¹t c c h tè géu hiª. Khi ã, ¹i lîg géu hiª Æc trg b»g sè cña qu tr h ag Ðt lµ tæg cña mét chuçi c c ¹i lîg géu hiª mµ mçi ¹i lîg géu hiª trog chuçi tu theo mét luët ph bè µo ã. NÕu ¹i lîg géu hiª lµ tæg cña mét sè lí c c ¹i lîg géu hiª éc lëp hoæc phô thuéc yõu, vµ mçi ¹i lîg géu hiª thµh phç ãg gãp mét tû träg h«g lí l¾m so víi tæg chug, th luët ph 9

bè cña ¹i lîg géu hiª tæg lµ chuè hoæc gç chuè, h«g phô thuéc vµo ph bè cña c c ¹i lîg géu hiª thµh phç. iòu µy rót ra tõ Þh lý æi tiõg cña Liapuov: Õu ¹i lîg géu hiª X lµ tæg cña c c ¹i lîg géu hiª éc lëp X, X,..., X, X X i i vµ tho m iòu iö: [ X ] µ 3 i lim, (.5.) 3 σ i [ X ] th hi, luët ph bè cña ¹i lîg géu hiª X tiõ Õ luët chuè. iòu iö (.5.) ph h sù tiõ dç Õ h«g cña tû sè gi a tæg c c m«me trug t m tuyöt èi bëc ba µ 3[ X i ] cña c c ¹i lîg géu hiª X i vµ lëp ph g é löch b h ph g trug b h cña ¹i lîg géu hiª tæg cég X hi t g dç sè c c sè h¹g, vµ Æc trg cho sù há t g èi cña tõg sè h¹g géu hiª trog tæg chug. êg cog ph bè cña luët ph bè chuè trª h h.7 cã tª lµ l t c¾t le, hay êg cog Gau. êg cog ph bè µy èi øg qua êg th¼g a vµ cã cùc ¹i b»g t¹i ióm a. σ π Ó c Þh ý ghüa cña c c tham sè a vµ σ, ta týh ú väg to häc vµ ph g sai cña ¹i lîg géu hiª X cã ph bè chuè: m + ( a) e σ d σ π æi biõ trog tých ph (.5.3): a t σ ta îc: m + t σ t a ( σt + a )e dt te dt + e π π + + t dt (.5.3) (.5.4) (.5.5) TÝch ph thø hêt trog (.5.5) b»g h«g v ã lµ tých ph cña hµm lî trª miò giíi h¹ èi øg, tých ph thø hai lµ tých

ph Poat«g biõt, b»g π. Tõ ã m a, tøc lµ tham sè a trog hµm (.5.) lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª. TiÕp theo: D + ( a) ( a) e σ d σ π, (.5.6) Sö dôg phðp æi biõ (.5.4) trog tých ph (.5.6) ta îc: D + LÊy tých ph tõg phç (.5.7) ta îc: σ t t e dt. (.5.7) π D σ (.5.8) Do ã, tham sè σ lµ é löch b h ph g trug b h cña ¹i lîg géu hiª. Tham sè a chø vþ trý t m èi øg cña êg cog ph bè, thay æi a cã ghüa lµ dþch chuyó t m µy däc theo trôc. Tham sè σ c Þh tug é Øh êg cog ph bè, b»g. TrÞ sè σ σ π cµg há th Øh cµg cao, tøc lµ êg cog ph bè cµg hä. Nh vëy, mët é c suêt cña luët ph bè chuè îc c Þh bëi hai tham sè lµ ú väg to häc cña ¹i lîg géu hiª vµ é löch b h ph g trug b h hoæc ph g sai cña ã. Ta týh m«me trug t m cña ph bè chuè: + ( a) µ ( a) e σ d σ π, (.5.9) Sö dôg phðp æi biõ (.5.4) vµo tých ph ta hë îc: ( σ) LÊy tých ph tõg phç ta cã: + t µ t e dt, (.5.) π ( )( σ ) ( σ ) V : + t µ t e dt, (.5.) π + t µ t e dt, (.5.) π

ª ta hë îc c«g thøc truy håi: ( ) σ µ µ, (.5.3) V µ o vµ µ èi víi bêt ú ¹i lîg géu hiª µo, ª têt c c c m«me trug t m bëc lî cña ph bè chuè b»g h«g. èi víi c c m«me trug t m bëc ch½ ta cã: µ l ( l )! 4 σ ; µ 4 σ ;... µ l! 3 σ Tõ ã thêy r»g, èi víi ph bè chuè, é bêt èi øg vµ é hä b»g h«g: µ S 3 µ, E 4 3, 3 4 σ σ Ta h y týh c suêt r i vµo ho g (α,β) cña ¹i lîg géu hiª ph bè chuè. Theo (..5) ta cã P ( α < X < β) Thay (.5.4) vµo ta îc: Hµm σ π β α σ e βa αa σ ( a) σ d (.5.4) t P ( α < X < β) e dt (.5.5) π Φ π ( ) e t d (.5.6) îc gäi lµ hµm Laplas. Tõ ¼g thøc (.5.5) cã thó bióu diô c suêt r i vµo ho g (α;β) qua hµm Laplas: P π βa σ t t ( α < X < β) e dt e dt π αa β a α Φ Φ a σ σ Hµm Laplas cã c c týh chêt sau: σ (.5.7)

. Φ ( ) ; dt. Φ( ) π 3. Φ ( ) Φ( ). Thùc vëy: Thay t u ta cã: e t ; Φ ( ) Φ π t e dt u ( ) e du Φ( ) π NÕu týh c suêt r i trog ho g èi øg qua ú väg to häc (a-h, a+h), th P a + h a a h a σ σ ( a h < X < a + h) Φ Φ h Φ Φ h h Φ (.5.8) σ σ σ Hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª X ph bè chuè îc c Þh díi d¹g: F ( ) σ π a σ e ( a) σ t t a e dt + e dt + Φ (.5.9) π π σ å thþ cña F() îc bióu diô trª h h.8. ióm α t g øg víi F() /. d.6. LuËt ph bè R le vµ M coe ¹i lîg géu hiª X îc gäi lµ tu theo luët ph bè R le Õu hµm mët é ph bè cã d¹g: 3

4 f ( ) e σ σ hi hi < (.6.) Trog môc. sï chø ra r»g modul cña vect géu hiª ph bè chuè hai chiòu cã c c é löch b h ph g trug b h cña c c thµh phç b»g hau vµ c c ú väg b»g h«g lµ ¹i lîg géu hiª cã luët ph bè R le. å thþ hµm (.6.) cã d¹g h trª h h.9. Theo (..8), hµm ph bè (h h.) b»g: F ( ) e σ hi hi < Ta h y c Þh Æc trg sè cña ph bè R le: σ (.6.) m e d (.6.3) σ Sau hi lêy tých ph tõg phç ta hë îc: σ σ m e + e d (.6.4) Sè h¹g thø hêt trog (.6.4) b»g, sè h¹g thø hai sau hi thay biõ σt sï dé Õ tých ph Poat«g. Tõ ã: π m σ e t dt σ (.6.5) Theo (..), ph g sai b»g: π π σ e σ d D σ (.6.6) σ T g tù, Õu sö dôg c c ¼g thøc thø hai vµ thø ba trog (..5) vµ sau hi týh c c tých ph t g øg ta hë îc gi trþ cña m«me trug t m bëc ba vµ bëc bè cña ph bè: π 3 µ 3 ( π 3) σ (.6.7)

3 π 4 µ 4 8 σ (.6.8) 4 Tõ (..3) vµ (..4) ta hë îc gi trþ cña é bêt èi øg vµ é hä èi víi ph bè R le: π 3 ( π 3) σ π 3 π S, 63 (.6.9) 3 4 π 4 π π 3 σ ( 3 3π ) ( 4 π ) 4 σ E 3, 3 (.6.) 4 σ H h.7 H h.8 H h.9 H h. Tõ y thêy r»g êg cog ph bè R le h«g èi øg qua ú väg to häc. ióm cùc ¹i gäi lµ mode cña ph bè,»m phýa tr i ú väg to häc. Gi trþ m cña é hä chø ra r»g êg cog ph bè R le cã Øh b»g ph¼g h so víi ph bè chuè t g øg (hi cïg gi trþ σ). NÕu vect géu hiª ba chiòu tu theo luët ph bè chuè cã c c é löch b h ph g trug b h cña c c thµh phç b»g hau cß ú väg to häc b»g h«g, th cã thó chø ra r»g modul cña vect Êy lµ mét ¹i lîg géu hiª cã mët é ph bè b»g: 5

f ( ) σ σ e π hi hi < (.6.) Hµm f() h trª îc gäi lµ luët ph bè M coe. VÝ dô, ph bè cña vë tèc c c ph tö hý tu theo luët M coe. å thþ hµm (.6.) îc bióu diô trª h h.. Gièg h ph bè R le, ph bè M coe còg îc c Þh bëi mét tham sè σ. T g tù h lµm èi víi ph bè R le, cã thó hë c c bióu thøc sau èi víi hµm ph bè vµ Æc trg sè cña ph bè M coe: F ( ) Φ e σ σ σ hi hi < (.6.) m σ (.6.3) π 8 D 3 σ (.6.4) π.7. HÖ c c ¹i lîg géu hiª vµ luët ph bè cña chóg Khi gi i quyõt hiòu bµi to gêi ta thêg gæp t h huèg lµ Õt qu thý ghiöm îc m«t h«g ph i chø bëi mét, mµ lµ mét sè ¹i lîg géu hiª. VÝ dô, h h thõ syop phô thuéc vµo hiòu ¹i lîg géu hiª h hiöt é h«g hý, p suêt, é Èm... Trog c c trêg hîp µy ta sï ãi r»g cã mét hö c c ¹i lîg géu hiª. C c týh chêt cña hö ¹i lîg géu hiª h«g îc m«t hõt bëi h g týh chêt cña c c ¹i lîg géu hiª riªg rï, chóg cß bao hµm c h g mèi qua hö t g hç gi a c c ¹i lîg géu hiª cña hö. Chóg ta sï em hö hai ¹i lîg géu hiª h lµ c c täa é cña ióm géu hiª trª mæt ph¼g, cß hö ba ¹i lîg géu hiª 6

h lµ täa é cña ióm géu hiª trog h«g gia ba chiòu. Mét c ch t g tù, hö ¹i lîg géu hiª sï îc em h täa é cña ióm géu hiª trog h«g gia chiòu. Còg cã thó Ðt hö ¹i lîg géu hiª h c c thµh phç cña vect géu hiª trª mæt ph¼g, trog h«g gia ba chiòu hoæc chiòu. T g øg víi iòu µy, c c gi trþ géu hiª i, y i cña hö c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y sï îc bióu diô hoæc díi d¹g c c ióm N i,j cã c c to¹ é ( i, y i ), hoæc díi d¹g b Ýh vðct r i,j cña c c ióm ã (h h.). Ta Ðt c c luët ph bè cña hö hai ¹i lîg géu hiª. Hµm ph bè cña hö hai ¹i lîg géu hiª X vµ Y lµ c suêt thùc hiö åg thêi c c bêt ¼g thøc X<, Y<y F, y P X <,Y < y (.7.) ( ) ( ) VÒ mæt h h häc, F(,y) lµ c suêt r i cña ióm géu hiª (X,Y) vµo mét h h vu«g h«g giíi h¹»m ë gãc tr i bª díi cã Øh lµ ióm (,y) (h h.3). Hµm ph bè cã c c týh chêt sau y:. F(,y) lµ hµm h«g gi m, ghüa lµ Õu > th F(, y) F(, y), cß Õu y > y th F(, y ) F(, y ). H h. H h. Thùc vëy, ch¼g h¹ hi dþch chuyó biª ph i cña h h vu«g (t g ) ta h«g thó gi m c suêt r i vµo ã.. V c c sù iö X< vµ Y< lµ h g sù iö bêt h, ª F, y F, F,. ( ) ( ) ( ) 3. V c c sù iö X<+, Y<+ lµ h g sù iö ch¾c ch¾, ª, + P X <,Y < + P X < F, ( ) ( ) ( ) ( ) F víi F () lµ hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª X. 7

Mét c ch t g tù: (, y) F ( y) F +, víi F (y) hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª Y. F +, +. 4. ( ) Ta h y c Þh c suêt r i cña ióm géu hiª vµo mét h h ch hët cã c c c¹h sog sog víi c c trôc to¹ é. H h.3 H h.4 XÐt h h ch hët R giíi h¹ bëi c c êg th¼g α, β, yγ, yδ. C c biª tr i vµ biª díi thuéc h h ch hët, cß c c biª ph i vµ biª trª th h«g. Sù iö ióm géu hiª N(X,Y) r i vµo trog h h ch hët R, tøc N R, t g g víi viöc c c sù iö α X β, γ Y δ åg thêi y ra. X c suêt r i vµo trog h h ch hët R b»g c suêt r i vµo trog h h vu«g cã Øh (β, δ) trõ i c suêt r i vµo h h vu«g cã Øh (α,δ), trõ i c suêt r i vµo h h vu«g Øh (β, γ), cég víi c suêt r i vµo h h vu«g Øh (α, γ), ghüa lµ P N R F β, δ F α, δ F β, γ + F α, γ (.7.) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sau y, ta a vµo h i iöm mët é ph bè cña hö hai ¹i lîg géu hiª. Gi sö cã hö hai ¹i lîg géu hiª liª tôc X vµ Y. LÊy trª mæt ph¼g ióm (,y) vµ mét h h ch hët há R Ò s t ã cã c c c¹h lµ vµ y. X c suêt r i cña ióm géu hiª N(X,Y) vµo trog h h vu«g R theo (.7.) b»g: P N R F +, y + y F, y + y F +, y + F, y (.7.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chia c suêt µy cho diö tých h h ch hët. y vµ lêy giíi h¹ hi vµ y, ta hë îc mët é c suêt t¹i ióm (,y).

Gi thiõt r»g hµm F(,y) h vi hai lç, hi ã: F( +, y + y ) F(, y + y ) F( +, y ) + F(, y ) lim y y F( +, y + y ) F(, y + y ) F( +, y ) F(, y ) lim lim y y F(, y + y ) F(, y ) F(, y ) lim (.7.4) y y y Hµm F(, y ) f (, y) (.7.5) y îc gäi lµ mët é ph bè cña hö. VÒ mæt h h häc, cã thó bióu diô hµm hai biõ f(, y) µy h lµ mét mæt trog h«g gia vµ îc gäi lµ mæt ph bè. Hµm f(, y) h«g m v ã lµ giíi h¹ cña tû sè gi a hai ¹i lîg h«g m lµ c suêt r i vµo h h ch hët vµ diö tých h h ch hët. BiÓu thøc f(, y)ddy îc gäi lµ yõu tè c suêt cña hö hai ¹i lîg géu hiª. YÕu tè c suêt lµ c suêt r i vµo trog h h ch hët yõu tè R tiõp gi p ióm (,y). X c suêt r i cña ióm N(X,Y) vµo mét miò D bêt ú îc c Þh díi d¹g tých ph hai líp: P N D f (, y )ddy (.7.6) ( ) ( D ) Trog trêg hîp Õu miò D lµ h h ch hët R, th : β δ ( N R) P f (, y ) ddy (.7.7) α γ Khi sö dôg c«g thøc (.7.7), ta cã thó bióu diô hµm ph bè F(,y) qua mët é ph bè f(,y) (, y) y F f (, y )ddy (.7.8) V c suêt r i trª toµ mæt b»g, ª: + + f (, y )ddy (.7.9) 9

VÒ mæt h h häc, c suêt r i vµo trog miò D lµ thó tých h h l g trô îc giíi h¹ bëi miò D ë phýa díi, cß phýa trª lµ mæt ph bè (h h.5) 3 + + Ó tých ph c Þh f (, y )ddy héi tô, th iòu iö cç lµ mæt ph bè ph i tiöm cë tíi mæt y theo mäi híg. Khi biõt hµm ph bè cña hö hai ¹i lîg géu hiª, cã thó c Þh hµm ph bè cña mçi ¹i lîg géu hiª trog ã: F () F(,+ ) (.7.) ( y) F( +, y ) F (.7.) Ta h y bióu diô mët é ph bè cña tõg ¹i lîg géu hiª qua mët é ph bè cña hö: + F () F(, + ) f (, y )ddy (.7.) Nhg mët é ph bè lµ ¹o hµm cña hµm ph bè, hi ã + f (, y ) dy (.7.3) ( ) F ( ) f + f (, y ) d (.7.4) ( y) F ( y ) f LuËt ph bè cña mét ¹i lîg géu hiª cña hö víi iòu iö ¹i lîg géu hiª thø hai hë mét gi trþ c Þh gäi lµ luët ph bè cã iòu iö. LuËt ph bè cã iòu iö sï îc ý hiöu díi d¹g: f(/y) luët ph bè ¹i lîg géu hiª X víi iòu iö Yy f(y/) luët ph bè ¹i lîg géu hiª Y víi iòu iö X. X c suêt r i trog h h ch hët yõu tè R, b»g f(, y)ddy, cã thó bióu diô h lµ tých c suêt r i vµo d i I, b»g f ()d vµ c suêt r i vµo d i II, b»g f(/y)dy, víi iòu iö y ra sù iö r i vµo d i I (h h.6). Tõ ã: f(, y)ddy f()d f(y/)dy (.7.5) Gi íc cho ddy, ta cã:

f(, y) f()f(y/) (.7.6) T g tù cã thó thu îc ¼g thøc: f(, y) f(y)f(/y) (.7.7) H h.5 H h.6 Tõ ã cã thó bióu diô luët ph bè cã iòu iö qua mët é ph bè cña hö díi d¹g: f f ( / y) ( y / ) f (, y ) f ( y ) f (, y ) f ( ) + + f f f f (, y ) (, y )d (, y ) (, y )dy (.7.8) (.7.9) C c ¹i lîg géu hiª X vµ Y îc gäi lµ éc lëp Õu luët ph bè cña mét trog chóg h«g phô thuéc vµo viöc ¹i lîg géu hiª ia hë gi trþ µo. èi víi c c ¹i lîg géu hiª éc lëp: f(/y) f() (.7.) f(y/) f(y) (.7.) NÕu X h«g phô thuéc Y, th Y còg h«g phô thuéc X. ThËt vëy, tõ c c ¼g thøc (.7.6) vµ (.7.7) ta thêy r»g Õu f(/y) f() th f(y/) f(y). Ta cã Þh lý sau: Ó c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y éc lëp, iòu iö cç vµ ñ lµ ¼g thøc sau îc thùc hiö: f(, y) f() f(y), (.7.) tøc lµ mët é ph bè cña hö b»g tých mët é ph bè cña c c ¹i lîg géu hiª thµh phç cña hö. 3

Mét c ch t g tù, cã thó c Þh îc luët ph bè cña hö ¹i lîg géu hiª. Hµm ph bè cña hö ¹i lîg géu hiª X, X,..., X lµ c suêt Ó thùc hiö åg thêi bêt ¼g thøc X i < i, i,,...,. F(,,..., ) P(X <, X <,..., X ) (.7.3) 3 < NÕu tå t¹i ¹o hµm riªg hç hîp cña hµm F(,,..., ) îc lêy lç lît theo tõg èi sè: f (,,..., ) F(,,..., ) (.7.4)... th ã îc gäi lµ mët é ph bè cña hö c c ¹i lîg géu hiª liª tôc (X, X,..., X ). Ta sï hë îc hµm ph bè cña mçi ¹i lîg géu hiª cña hö, Õu trog hµm ph bè cña hö ta Æt têt c c c biõ cß l¹i b»g +. F ( ) F(, +,..., +) (.7.5) Hµm ph bè cña hö co (X, X,...,X ) hë îc tõ hö cã d¹g: F,,.., (,,..., ) F(,,...,, +,..., +) (.7.6) MËt é ph bè cña mçi ¹i lîg cña hö hë îc b»g c ch tých ph mët é cña hö trog ho g v«h¹ theo c c biõ cß l¹i. + + f ( )... f (,,..., )d... d (.7.7) MËt é ph bè cña hö co (X, X,...,X ) îc c Þh díi d¹g: + + f,,..., (,,..., )... f (,,..., )d +... d (.7.8) LuËt ph bè cã iòu iö cña hö co (X, X,...,X ) lµ luët ph bè îc týh víi iòu iö c c ¹i lîg cß l¹i (X +,..., X ) hë c c gi trþ c Þh +,..., : f (,,..., f (,,..., ) / +,..., ) (.7.9) f (,..., ) +,..., C c ¹i lîg géu hiª X, X,...,X îc gäi lµ éc lëp Õu luët ph bè cña mçi hö co h«g phô thuéc vµo viöc c c ¹i lîg géu hiª cß l¹i hë gi trþ µo. èi víi c c ¹i lîg géu hiª éc lëp: f (,,..., ) f( ) f( )...f( ) (.7.3) +

Hµm ph bè cña hö îc bióu diô qua mët é ph bè díi d¹g: (,,..., )... F f (,,..., )d d...d (.7.3) X c suêt r i cña ióm géu hiª N(X, X,...,X ) trog giíi h¹ miò D chiòu îc c Þh díi d¹g: ( N D)... P f (,,..., )dd...d (.7.3) ( D ).8. C c Æc trg sè cña hö c c ¹i lîg géu hiª M«me gèc m bëc +s cña hö hai ¹i lîg géu hiª (X,Y) lµ, s ú väg to häc cña tých o X. Y M«me trug t m o s s X vµ Y :,s [ s X Y ] m M (.8.) µ, s, bëc +s lµ ú väg to häc cña tých. ë y X o vµ Y o lµ c c ¹i lîg géu hiª qui t m. o o s µ,s M X. Y (.8.) èi víi c c ¹i lîg géu hiª rêi r¹c ta cã:,s i j i s j m y p (.8.3) i, j µ,s ( i m ) ( y j my ) i j trog ã p P( X,Y ). i, j i y j èi víi c c ¹i lîg géu hiª liª tôc: s p (.8.4) + + s i, j m,s y f (, y ) ddy (.8.5) + + ( ) m ( y m ) y µ,s f (, y ) ddy (.8.6) s 33

Sè +s îc gäi lµ bëc cña m«me. Còg gièg h èi víi mét ¹i lîg géu hiª, c c m«me cña hö ¹i lîg géu hiª h«g ph i lµ h g Æc trg bao qu t Çy ñ, tuy hiª chóg c Þh mét lo¹t c c týh chêt qua träg cña hö. C c m«me bëc hêt m, vµ m, lµ ú väg to häc cña c c ¹i lîg géu hiª thµh phç cña hö. 34 o [ XY ] M [ X ] o [ X Y ] M [ Y ] y m, M m (.8.7) m, M m (.8.8) VÒ mæt h h häc, y lµ c c to¹ é cña ióm trug b h mµ c c ióm géu hiª N(X,Y) ph t ug quah ã. Ta h y Ðt c c m«me trug t m bëc hai cña hö: o o o o µ, M X Y M X D[ X ] (.8.9) o o o o µ, M X Y M Y D[ Y ] (.8.) y lµ ph g sai cña c c ¹i lîg géu hiª, chóg Æc trg cho sù ph t cña c c ióm géu hiª theo híg c c trôc to¹ é. M«me trug t m hç hîp bëc hai îc gäi lµ m«me t g qua hay m«me liª hö cña c c ¹i lîg géu hiª vµ b»g: o o µ, M X Y M [( X m )( Y my )] Ry (.8.) èi víi c c ¹i lîg géu hiª rêi r¹c: R m y m p (.8.) y i j ( ) ( ) èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc: + + i ( m )( y m ) y j Ry f (, y ) ddy (.8.3) y i, j èi víi c c ¹i lîg géu hiª éc lëp th R, y. Thùc vëy, tõ (.7.): R ( m )( y m y y ) f ( ) f ( y )ddy

( m ) f ( )d ( y my ) f( y )dy µ [ X ] µ [ Y ] Tõ ã thêy r»g, Õu R, y, th X vµ Y lµ h g ¹i lîg phô thuéc. ¹i lîg: Ry ry σ σ (.8.4) îc gäi lµ hö sè t g qua cña c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y. èi víi c c ¹i lîg géu hiª éc lëp th r y. iòu gîc l¹i sï h«g óg, tøc lµ r y lµ iòu iö cç Ó X vµ Y éc lëp, hg cha ph i lµ iòu iö ñ. C c ¹i lîg géu hiª X vµ Y cã r y îc gäi lµ c c ¹i lîg géu hiª h«g t g qua víi hau. Tõ týh éc lëp cña ¹i lîg géu hiª suy ra týh h«g t g qua cña chóg. Víi t c ch lµ c c Æc trg sè cña hö, tõ ¹i lîg géu hiª X, X,..., X ta hë îc ú väg to häc m i, i,,..., cña c c ¹i lîg géu hiª ba Çu, ph g sai D i cña chóg vµ () m«me t g qua R i j : R i j y [( X i m )( X j m )] M (.8.5) Ph g sai D cã thó îc em h m«me t g qua cña ¹i i lîg géu hiª X i víi chýh ã, cã ghüa lµ: D i i i i [( X ) ] i m i j R M (.8.6) Ó thuë tiö ta s¾p Õp c c m«me t g qua díi d¹g ma trë vu«g vµ gäi lµ ma trë t g qua cña hö c c ¹i lîg géu hiª (X, X,..., X ). R R... R R R R............... R R... R Tõ Þh ghüa m«me t g qua ta thêy r»g: R ij (.8.7) 35

o o o o Rij R M X i X j M X j X i R R i j j i ji (.8.8) V vëy cã thó chø cç iò mét öa trª cña ma trë t g qua týh tõ êg chðo chýh. R ij R R R......... R R... R (.8.9) Trog trêg hîp hi c c ¹i lîg géu hiª X, X,..., X h«g t g qua, ma trë t g qua cã d¹g: R ij R R............ R (.8.) Ma trë h vëy gäi lµ ma trë êg chðo. Thay cho c c m«me t g qua gêi ta thêg sö dôg c c hö sè t g qua r ij Ri j ri (.8.) j σ σ vµ chóg lëp thµh ma trë t g qua chuè ho mµ c c phç tö trª êg chðo chýh cña ã b»g vþ, r i j i j r... r... r rij...... (.8.).9. C c Þh lý vò Æc trg sè èi víi c c Æc trg sè cña ¹i lîg géu hiª, h g Þh lý sau y lµ óg:. Kú väg to häc cña ¹i lîg h«g géu hiª b»g chýh ã. 36

¹i lîg h«g géu hiª c cã thó îc coi h mét ¹i lîg géu hiª cã mét gi trþ cã thó c, mµ ¹i lîg géu hiª hë ã víi c suêt b»g. Tõ ã: [ c] c. c M (.9.). Ph g sai cña ¹i lîg h«g géu hiª b»g h«g. [ ] M[ ( c - c) ] [] c M ( c - m ) D c (.9.) 3. NÕu c lµ ¹i lîg h«g géu hiª, th : M cx cm X, (.9.3) [ ] [ ] [ ] c D[ X ] D cx, (.9.4) tøc lµ cã thó a ¹i lîg h«g géu hiª ra goµi dêu ú väg to häc vµ cã thó a ¹i lîg h«g géu hiª ra goµi dêu ph g sai hg sau ã lêy b h ph g cña ã. Ta tiõ hµh phðp chøg mih èi víi ¹i lîg géu hiª liª tôc. D + + [ cx ] cf ( )d c f ( )d cm [ X ], M [ cx mc ] M ( cx cm ) [ cx ] M ( ) [ ] c M [( X m ) ] c D[ X ] LÊy c bëc hai c hai võ (.9.4), èi víi é löch b h ph g trug b h ta hë îc: σ cx cσ X (.9.5) [ ] [ ] tøc lµ cã thó a ¹i lîg h«g géu hiª ra goµi dêu é löch b h ph g trug b h. 4. Kú väg to häc cña tæg mét sè c c ¹i lîg géu hiª b»g tæg c c ú väg to häc cña chóg. Þh lý µy îc gäi lµ Þh lý cég cña ú väg to häc. Ta sï chøg mih ã cho trêg hîp hai ¹i lîg géu hiª liª tôc: M + + [ X + Y ] ( + y ) f (, y )ddy + + (, y )ddy + + f + yf (, y ) ddy 37

38 + + f (, y )ddy y + + + + f (, y ) ddy + f ( )d + yf( y )dy M [ X ] + M [ Y ] (.9.6) 5. Ph g sai cña tæg hai ¹i lîg géu hiª b»g tæg c c ph g sai cña chóg cég víi hai lç m«me t g qua. D X + Y D X + D Y + R (.9.7) hi ã: Ta ý hiöu: [ ] [ ] [ ] y o o o X + Y Z,Z X + Y ( X m ) + (Y m ), (.9.8) D [ X + Y ] M Z M X + Y o o o o o o o M X + M Y + M X Y D X Còg cã thó chøg mih c«g thøc: [ X Y ] D[ X ] + D[ Y ] Ry [ ] + D[ Y ] + Ry D (.9.9) T g tù, hi sö dôg c«g thøc èi víi b h ph g cña tæg hiòu sè h¹g, ta hë îc c«g thøc týh ph g sai cña tæg ¹i lîg géu hiª. D X i D i i [ X i ] + i< j R i j V D [ X ] R i i ª cã thó viõt c«g thøc µy díi d¹g: i y (.9.) D X i Rij i i j (.9.) èi víi c c ¹i lîg géu hiª h«g t g qua, R hi i j ª c«g thøc îc viõt l¹i h sau: D i X i i D [ X ] i i j, (.9.)

tøc lµ ph g sai cña tæg c c ¹i lîg géu hiª h«g t g qua b»g tæg c c ph g sai cña chóg. Þh lý µy îc gäi lµ Þh lý cég ph g sai. 6. èi víi ú väg to häc cña tých c c ¹i lîg géu hiª, c«g thøc sau lµ óg: M XY M X.M Y + R. (.9.3) [ ] [ ] [ ] y M«me t g qua cã thó îc bióu diô díi d¹g: Ry M[ ( X - m )( Y my )] M XY m M Y m M X + m m [ ] [ ] y [ ] M [ XY ] M [ X ].M [ Y ] y (.9.4) tõ ã suy ra c«g thøc (.9.3). èi víi c c ¹i lîg géu hiª h«g t g qua th R y, do ã, tõ (.9.3) ta hë îc Þh lý tých ú väg to häc [ XY ] M [ X ].M [ Y ] M. (.9.5) Tæg qu t ho Þh lý µy cho ¹i lîg géu hiª chø óg hi chóg lµ c c ¹i lîg géu hiª éc lëp... LuËt ph bè chuè cña hö c c ¹i lîg géu hiª XÐt hö hai ¹i lîg géu hiª vect géu hiª hai chiòu (X,Y). Ngêi ta ãi r»g hö µy cã luët ph bè chuè Õu mët é ph bè cã d¹g: f (, y) πσ σ y r ep (..) y ( ) ( ) ( ) m r( m )( y my ) y m y + σ σ σ r y σ V cã thó em (X,Y) h lµ mét ióm géu hiª trª mæt ph¼g, ª luët µy îc gäi lµ luët ph bè chuè trª mæt ph¼g. Hµm (..) phô thuéc vµo 5 tham sè: m, m y, σ, σ y, r. 39

Ta h y lµm s g tá ý ghüa cña c c tham sè ã. Ta sï chø ra r»g m vµ m y lµ c c ú väg to häc M[ X] vµ M[ Y ] cña c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y, σ vµ σ y lµ é löch b h ph g trug b h cña chóg, cß r lµ hö sè t g qua cña c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y, tøc lµ r r y. Muè vëy, ta t m mët é ph bè cña tõg ¹i lîg géu hiª cña hö. f ( ) + + f (, y )dy ep πσ σ r ( r ) y ( m ) r( m )( y my ) ( y my ) σ Thùc hiö phðp æi biõ sau cho tých ph (..): m y my u, v σ σ ta hë îc: + πσ r r f σ σ y y + σ y dy ( ) ep ( u ruv + v ) dv Sau hi a vµo c c ý hiöu: (..) (..3) (..4) ru u A,B,C r r r (..5) ta a tých ph (..4) vò tých ph biõt: + ACB ( Av BvC ) π A e dv e (..6) A KÕt qu hë îc lµ: f ( ) ( m ) σ e (..7) πσ Tõ (..7) ta thêy r»g ¹i lîg géu hiª X tu theo luët ph bè chuè, h a: [ X ], σ D[ X ] m M (..8) 4

T g tù èi víi f (y) ta cã: f ( y) TÝh m«me t g qua R y : πσ σ R y y + + ( ym y ) σ y e (..9) πσ y ( m )( y m ) f (, y ) ddy r + + y y ( m )( y m )ep ( r ) ( m ) r( m )( y my ) ( y my ) σ LÊy tých ph bióu thøc (..) ta hë îc: R σ y σ y y + σ y ddy (..) rσ σ (..) Tõ ã thêy r»g r chýh lµ hö sè t g qua r y. Nh vëy, mët é ph bè chuè cña hö hai ¹i l g géu hiª X vµ Y hoµ toµ îc c Þh bëi c c ú väg to häc m vµ m y cña c c ¹i lîg géu hiª cho vµ ma trë t g qua D Ry R ij (..) Dy Nh vëy, èi víi ph bè chuè, c c Æc trg sè ú väg to häc vµ ma trë t g qua lµ c c Æc trg Çy ñ cña hö. NÕu c c ¹i lîg géu hiª cña hö cã ph bè chuè (X,Y) h«g t g qua víi hau, tøc lµ r r y, th f (, y) πσ σ y e ( m ) ( ymy ) σ + σ y f ( ). f ( y) (..3) vµ y lµ iòu iö éc lëp cña hö. Nh vëy, tõ týh h«g t g qua cña c c ¹i lîg géu hiª cña hö cã ph bè chuè ta suy ra týh éc lëp cña chóg. èi víi c c ¹i lîg géu hiª cã ph bè chuè, iòu iö h«g t g qua vµ iòu iö éc lëp lµ t g g hau. 4

4 Ta Ðt mæt îc c Þh bëi mët é ph bè chuè: (, y) + σ σ y ( m ) ( ymy ) f e, (..4) πσ σ y cho trêg hîp c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y éc lëp. MÆt µy cã d¹g åi mµ Øh»m t¹i ióm (m,m y ) (h h.7). C¾t mæt ph bè µy bëi c c mæt ph¼g sog sog víi mæt y, ta hë îc c c elip. Thùc vëy, hi cho f (, y) λ cost, ta cã: ( m ) ( y my ) σ + σ y λ (..5) Ph g tr h (..5) lµ ph g tr h h h chiõu cña elip trª mæt y. ã lµ hä c c elip åg d¹g cã t m t¹i ióm (m, m y ), cã c c trôc èi øg lµ c c êg th¼g sog sog víi c c trôc vµ y. T¹i mäi ióm cña mçi elip h vëy, mët é ph bè h«g æi, ª chóg îc gäi lµ c c elip mët é ph bè Òu hay lµ elip ph t. Cã thó chø ra r»g, sï hë îc mét bøc trah t g tù gay c èi víi ph bè chuè trog trêg hîp tæg qu t, hi mµ r, hg trog trêg hîp µy c c trôc èi øg cña elip h«g sog sog víi c c trôc to¹ é. C c trôc èi øg µy îc gäi lµ c c trôc ph t chýh. B»g c ch chuyó gèc to¹ é tíi ióm (m, m y ) vµ quay c c trôc to¹ é cho Õ hi trïg víi c c trôc ph t chýh cã thó dé luët ph bè chuè víi r vò d¹g chýh t¾c. ξ η + σ σ ( ) ξ η ξ, η e f, (..6) πσ σ ξ trog ã σ ξ, σ η îc gäi lµ é löch b h ph g trug b h chýh. Nh vëy, chóg ta thay thõ vect géu hiª ph bè chuè cã c c thµh phç (X,Y) phô thuéc lé hau bëi vect ph bè chuè h c (ξ,η) mµ c c thµh phç cña ã éc lëp víi hau. Th«g thêg, hi Ðt luët ph bè chuè trª mæt ph¼g, ta cè g¾g chä tríc c c trôc to¹ é vµ y sao cho chóg trïg víi c c trôc ph t chýh. η

43 Khi ã, c suêt r i vµo h h ch hët R (h h.4) cã c c c¹h sog sog víi trôc ph t chýh îc c Þh theo c«g thøc (.7.6) vµ sï b»g: ( ) ( ) ( ) β α δ γ σ + σ σ πσ ddy e R N P y y m y m y ( ) ( ) β α δ γ σ σ πσ πσ dy e d e y y m y y m σ γ Φ σ δ Φ σ α Φ σ β Φ y y y y m m. m m 4 (..7) B y giê ta Ðt hö ¹i lîg géu hiª (X, X,... X ). HÖ µy îc gäi lµ cã ph bè chuè Õu h mët é ph bè cña ã cã d¹g: ( ) σ σ π σ σ σ i i i i i m. m D D e D... ),...,, ( f (..8) trog ã D lµ Þh thøc cña ma trë t g qua chuè ho :...... r... r... r r i (..9) i D lµ phç phô ¹i sè cña phç tö i r trog Þh thøc D. Tõ (..8) thêy r»g, mët é ph bè chiòu èi víi luët chuè phô thuéc vµo ú väg to häc, é löch b h ph g trug b h (ph g sai) vµ ) ( hö sè t g qua. NÕu c c ¹i lîg géu hiª X, X,..., X éc lëp th mët é ph bè b»g: ) ( )...f ( ) f ( f ),...,, ( f ( ) σ σ σ σ π i i i m i / e... (..)

C«g thøc µy hë îc tõ c«g thøc tæg qu t (..8) hi r i trog trêg hîp i vµ r i víi i. Khi ã D, D i hi i, D i hi i. Trêg hîp riªg, hi 3 ta hë îc luët ph bè chuè trog h«g gia. Trog trêg hîp µy ma trë t g qua cã d¹g: r i r r 3 r (..) 3 MËt é ph bè chuè ba chiòu phô thuéc vµo 9 tham sè m, m, m 3, σ, σ, σ 3, r,r, r 3. èi víi ph bè chuè 3 chiòu, thay cho 3 elýp ph t lµ elip«it ph t. Khi híg c c trôc to¹ é theo c c trôc chýh cña elip«it ph t ta hë îc hö thèg c c ph bè cña ba ¹i lîg géu hiª éc lëp (ξ,η,ζ). Trog trêg hîp µy mët é ph bè sï cã d¹g: f ( ξ, η, ζ ) ( π) 3 / σ ξ σ η σ ζ e ξ η ζ + + σ σ σ ξ η ζ trog ã σ ξ, σ η, σ ζ lµ c c é löch b h ph g trug b h chýh. (..).. LuËt ph bè cña hµm c c èi sè géu hiª ) LuËt ph bè cña hµm mét èi sè géu hiª Gi sö cã ¹i lîg géu hiª liª tôc X cã mët é ph bè f() vµ mét ¹i lîg géu hiª h c Y, liª hö víi ã bëi sù phô thuéc hµm Y ϕ X, (..) 44 ( ) víi ϕ lµ hµm liª tôc, h vi. Yªu cçu t m mët é ph bè cña ¹i lîg géu hiª Y. Tríc hõt, ta gi thiõt r»g hµm y ϕ( ) hµm gîc duy hêt: ψ( y) iöu, hi ã ã cã. Thªm vµo ã, tõ iòu iö: X + d. o < o ch¾c ch¾ suy ra r»g y <Y y +dy vµ gîc l¹i. ë y y ϕ( )

H h.7 H h.8 Do ã c suêt cña c c bêt ¼g thøc b»g hau: P < X + d P y < Y y dy (..) ( ) ( ) o o o o + Gi sö mët é ph bè cña ¹i lîg Y lµ g(y), hi ã tõ c c å thþ f() vµ g(y) (h h.8 a vµ b) ta hë thêy r»g c suêt ( o X o + d) S P < (..3) b»g diö tých phýa díi êg cog y f(), cß c suêt ( yo Y yo + dy) S y lµ diö tých phýa díi êg cog g(y) hi ã Víi d, dy ñ há ta cã: vµ do vëy: g P < (..4) ( ) d,s g( y)dy S f y, (..5) f()d g(y)dy (..6) dy / d ( y) f ( ) f [ ψ( y) ]. ψ' ( y) (..7) V f(), g(y), ª trog c«g thøc µy cç lêy gi trþ tuyöt èi ψ ( y ) ( y) f [ ψ( y) ] ( y ) NÕu hµm y ϕ( ) h«g iöu th hµm gîc ψ( y) a trþ, tøc lµ cã mét vµi h h: ψ ( y), ψ ( y),..., ( y) Khi ã tõ sù iö: g ψ. (..8) y cã thó ψ. < Y y dy, (..9) o o + dé Õ mét trog c c h g ug h¾c t g hç: hoæc o o o o < X < + d hoæc X < + d o o <... < X < + d (..) 45

P 46 Khi ã theo Þh lý cég c suêt ta cã: o o o o ( yo < Y yo + dy) P( < X < + d ) + P( < X < + d ) +... + o o P ( X < + d ) < (..) hoæc ( ) ( ) ( ) Trog trêg hîp hi ψ( y) thøc èi víi g(y): tøc lµ: g g(y)dy f d + f d +... + f d (..) g ( y) lµ hµm a trþ, ta hë îc c«g d d d f ( ) + f ( ) +... + f ( ), (..3) dy dy dy ' ' ( y) f [ ψ ( y) ]. ψ ( y) + f [ ψ ( y) ]. ψ ( y) +... + f [ ψ ( y) ]. ψ ( y) ' (..4) C c vý dô:. Gi sö X vµ Y cã qua hö phô thuéc tuyõ týh: Y ax + b (..5) Trog trêg hîp µy hµm gîc lµ trþ X ψ( Y ) ( Y b) (..6) a ¹o hµm hµm gîc b»g: ψ ' ( y) (..7) a Tõ ã, thõ (..6) vµ (..7) vµo c«g thøc (..8) èi víi g(y) ta hë îc g a y b a ( y) f (..8) Nh vëy, hi biõ æi tuyõ týh ¹i lîg géu hiª, êg cog ph bè cña ã dþch chuyó mét lîg b vµ thay æi tû lö däc theo trôc to¹ é lµ a lç. Khi ã, ta hë îc quy luët ph bè cña hµm tuyõ týh cña èi sè tu theo ph bè chuè (.5.) díi d¹g g ( y) yb m a σ a σ [ y( am + b )] e e (..9) a πσ π a σ

y lµ quy luët ph bè chuè víi c c tham sè σ y a σ, m am b y +. Gi sö c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y liª hö víi hau bëi sù phô thuéc bëc hai Y X. Trog trêg hîp µy mçi mét gi trþ cña Y (Y lu«d g) t g øg víi hai gi trþ cña ¹i lîg géu hiª X: V : ª ( Y ) Y, X ψ ( Y ) Y X ψ Hµm gîc lµ hµm hai trþ, cho ª theo (..4) ta cã: g( y) f ( ) ψ ( y ) + f ( ) ψ ( y ) (..) ψ ( y ), ψ ( y ) (..) y y [ f ( y ) + f ( y )] hi y > g ( y) y (..) hi y < Æc biöt, hi èi sè X tu theo luët ph bè chuè (.5.) th mët é ph bè cña ¹i lîg géu hiª Y sï cã d¹g: g ( y) ( y m ) ( y m ) σ σ e + e hi y > πyσ (..3) hi y < NÕu ú väg to häc b»g h«g, m th : g ( y) πyσ y σ e hi y hi y > < (..4) ) LuËt ph bè cña hµm hai èi sè géu hiª Gi sö cã hö hai ¹i lîg géu hiª liª tôc (X,Y) cã mët é ph bè f(,y). Vµ gi sö ¹i lîg géu hiª Z, liª hö víi X vµ Y bëi mèi phô thuéc hµm 47

( X,Y ) Z ϕ. Yªu cçu t m quy luët ph bè cña ¹i lîg géu hiª Z. Ta y dùg å thþ hµm z ϕ(, y). y lµ mét mæt µo ã trog h«g gia (h h.9). Ta c Þh hµm ph bè cña ¹i lîg Z G z P Z < z P ϕ X,Y < z. (..5) ( ) ( ) [ ( ) ] BÊt ¼g thøc ϕ(x,y) < z sï îc tho m víi mäi ióm cña mæt z ϕ(,y)»m díi mæt ph¼g Q sog sog víi mæt y, vµ c ch ã mét ho g b»g z. MÆt ph¼g µy c¾t mæt z ϕ(,y) theo mét êg cog L µo ã. ChiÕu êg cog L µy lª mæt ph¼g y, ã giíi h¹ mét miò D µo ã. H h.9 X c suêt Ó cho ϕ(x,y) < z b»g c suêt r i cña ióm (X,Y) vµo trog miò D trª mæt ph¼g y îc c Þh bëi bêt ¼g thøc ϕ(,y) < z. X c suêt µy îc bióu diô bëi tých ph hai líp theo miò D. 48 ( D ) f (, y )ddy Nh vëy, hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª Z cã d¹g: ( z) G f (, y )ddy (..6) ( ϕ(,y ) < z ) Ó hë îc mët é ph bè g(z) cç t m ¹o hµm cña hµm (..6) theo z g z G z (..7) ( ) ( ) Râ rµg, miò ph tých [ϕ(,y)<z] cã thó lµ miò a liª thuéc mæt ph¼g y, trog ã bêt ¼g thøc ϕ(,y)<z îc thùc hiö. VÝ dô: XÐt hµm ph bè cña modul vect ph bè chuè hai chiòu mµ h h chiõu cña ã lª c c trôc to¹ é X vµ Y lµ c c ¹i lîg

géu hiª éc lëp cã ú väg to häc b»g m vµ m y, vµ ph g sai Òu b»g σ. ¹i lîg géu hiª cç t m Z sï liª hö víi c c ¹i lîg géu hiª X vµ Y bëi mèi phô thuéc hµm: Z X + Y (..8) ¹i lîg géu hiª Z h«g m, v vëy mët é ph bè cña ã sï b»g h«g hi z<. V X vµ Y lµ c c ¹i lîg géu hiª éc lëp cã ph bè chuè ª mët é ph bè chug f(,y) cã d¹g (..4). Theo (..6) ta hë îc hµm ph bè cña ¹i lîg géu hiª Z díi d¹g: G ( z) ( + y < z ) πσ e σ [( ) m + ( ym ) ] y ddy (..9) MiÒ tých ph lµ miò trog h h trß t m ë gèc to¹ é vµ b Ýh b»g z. Ta chuyó tých ph hai líp vò to¹ é cùc b»g c ch sö dôg c c c«g thøc ρcos ϕ, y ρ siϕ,ddy ρdρdϕ (..3) Khi ã ta hë îc: G ( z) πσ πz e σ [ ( z cos ϕm ) + ( z si ϕm ) ] y ρdρdϕ (..3) LÊy vi ph bióu thøc µy theo z ta hë îc mët é ph bè cña ¹i lîg géu hiª Z. g ( z) π e πσ σ [( ) ϕ + ( ϕ ) z cos m z si m y ] dϕ Ta h y biõ æi hµm díi dêu tých ph : ( z cos ϕ m ) + ( z si ϕ m y ) z( m cos ϕ + m si ϕ) + m m y y hi z > hi z < (..3) z + (..33) 49