Microsoft Word - Bia.doc

Häc viö kü thuët qu sù Bé m«to kho c«g ghö th«g ti NguyÔ u viª Bµi tëp gi i tých to häc I Dïg cho sih viª c c trêg ¹i häc kü thuët Hµ éi 5

Môc lôc Môc lôc... K ý hiöu...9 Lêi ãi Çu... PhÇ. Bµi tëp gi i tých to häc... Ch g I. Vi ph hµm sè mét biõ sè.... Sè thùc... I. Tãm t¾t lý thuyõt.... TËp Õm îc, tëp t g g... b. Nguyª lý quy ¹p to häc... c. Þh lý chi Euclid... d. Sè h u tû vµ sè thùc... e. Sup, if. Þh lý Bolzo... f. TrÞ tuyöt èi cñ sè thùc...5 II. Bµi tëp...5. Giíi h¹ d y sè...6 I. Tãm t¾t lý thuyõt...6. D y sè...6 b. Tiªu chuè Cuchy vò héi tô d y sè...7 c. Héi tô iöu...7 d. D y riªg, giíi h¹ riªg...7 II. Bµi tëp...8. Giíi h¹ hµm sè, hµm liª tôc... I. Tãm t¾t lý thuyõt.... Giíi h¹ hµm sè theo ε δ vµ d y... b. Giíi h¹ mét phý... c. C c týh chêt sè häc cñ giíi h¹ hµm sè... d. Mét sè giíi h¹ qu träg... e. Hµm liª tôc... f. VCB, VCL... II. Bµi tëp...5

. ¹o hµm vµ vi ph... I. Tãm t¾t lý thuyõt.... Kh i iöm ¹o hµm, ¹o hµm tr i, ¹o hµm ph i... b. C c quy t¾c týh ¹o hµm... c. B g ¹o hµm c c hµm c b... d. ¹o hµm hµm hîp, hµm gîc vµ hµm È... e. Vi ph cêp mét vµ vi ph cêp co... f. C c Þh lý trug b h...6 II. Bµi tëp...6 5. C c øg dôg cñ ¹o hµm... I. Tãm t¾t lý thuyõt.... C«g thøc Tylor... b. C c quy t¾c L Hospitl khö d¹g bêt Þh... c. øg dôg ¹o hµm, kh o s t hµm sè...5 c.. Cùc trþ...5 c.. Låi, lâm, ióm uè...6 c.. TiÖm cë...6 c.. TiÕp tuyõ, tiõp óc...7 II. Bµi tëp...7 Ch g II. TÝch ph hµm sè mét biõ sè...55 6. TÝch ph bêt Þh...55 I. Tãm t¾t lý thuyõt...55. Nguyª hµm vµ tých ph bêt Þh...55 b. B g c c tých ph c b...56 c. C c ph g ph p c b týh tých ph...57 c.. TÝch ph b»g ph g ph p thõ ( æi biõ)...57 c.. Ph g ph p tých ph tõg phç...57 d. TÝch ph c c hµm h u tû...59 e. TÝch ph c c hµm v«tû...6 f. TÝch ph c c hµm siªu viöt...6 II. Bµi tëp...66. Nguyª hµm vµ tých ph bêt Þh...66 b. C c ph g ph p c b týh tých ph...67

c. TÝch ph c c hµm h u tû...7 d. TÝch ph c c hµm v«tû...7 e. TÝch ph c c hµm siªu viöt...75 7. TÝch ph c Þh vµ øg dôg...77 I. Tãm t¾t lý thuyõt...77. TÝch ph c Þh, iòu kiö kh tých...77 b. TÝh chêt tých ph...79 c. C«g thøc Newto-Leibiz...8 d. C c ph g ph p týh tých ph c Þh...8 d.. Ph g ph p æi biõ...8 d.. Ph g ph p tých ph tõg phç...8 e. C c øg dôg cñ tých ph c Þh...8 e.. DiÖ tých b ph¼g...8 e.. é dµi êg cog...87 e.. ThÓ tých cñ vët vµ diö tých mæt cog...88 II. Bµi tëp...9. TÝch ph c Þh, c«g thøc Newto-Leibiz...9 b. C c ph g ph p týh tých ph c Þh...96 c. C c øg dôg cñ tých ph c Þh... 8. TÝch ph suy rég... II. Tãm t¾t lý thuyõt.... TÝch ph suy rég cë h u h¹, v«h¹... b. C c tiªu chuè héi tô...8 b.. Tiªu chuè so s h bêt ¼g thøc...8 b.. Tiªu chuè so s h giíi h¹...8 b.. C c tiªu chuè Dirichle vµ Abel...8 II. Bµi tëp... Ch g III. Chuçi sè vµ chuçi hµm...9 9. Chuçi sè...9 I. Tãm t¾t lý thuyõt...9. Tæg riªg vµ tæg cñ chuçi sè...9 b. iòu kiö cç héi tô cñ chuçi... c. Tiªu chuè Cuchy... 5

d. C c dêu hiöu héi tô chuçi sè d g... d.. DÊu hiöu so s h bêt ¼g thøc... d.. DÊu hiöu so s h giíi h¹... d.. DÊu hiöu tých ph... d.. Ph g ph p t ch phç chýh... d.5. C c dêu hiöu D lembert vµ Cuchy...5 d.6. Héi tô tuyöt èi vµ b héi tô...7 II. Bµi tëp.... Tæg riªg vµ tæg cñ chuçi sè, iòu kiö cç héi tô, tiªu chuè Cuchy... b. C c dêu hiöu héi tô chuçi sè d g... c. Héi tô tuyöt èi vµ b héi tô...9. Chuçi hµm, d y hµm...5 I. Tãm t¾t lý thuyõt...5. Héi tô Òu cñ d y hµm...5 b. Héi tô Òu cñ chuçi hµm...5 b.. Héi tô cñ chuçi hµm...5 b.. Héi tô Òu cñ chuçi hµm...5 b.. DÊu hiöu Dirichle vµ Abel...55 c. Vi tých ph chuçi hµm...57 c.. Liª tôc cñ chuçi hµm...57 c.. TÝch ph chuçi hµm...58 c.. Vi ph chuçi hµm...59 d. Chuçi luü thõ...6 d.. B kýh héi tô...6 d.. C c Þh lý Abel...6 e. Chuçi Tylor...6 II. Bµi tëp...6. Héi tô Òu cñ d y hµm...6 b. Héi tô Òu cñ chuçi hµm...66 c. Vi, tých ph chuçi hµm...69 d. Chuçi luü thõ...7 e. Chuçi Tylor...7 6

. Chuçi Fourier...75 I. Tãm t¾t lý thuyõt...75. Þh lý Dirichle...75 b. Þh lý Dii...76 II. Bµi tëp...78 PhÇ. Bµi gi i vµ p sè...8. Sè thùc...8. Giíi h¹ d y sè...8. Giíi h¹ hµm sè, hµm liª tôc...85. ¹o hµm vµ vi ph...89 5. C c øg dôg cñ ¹o hµm...9 6. TÝch ph bêt Þh... 7. TÝch ph c Þh vµ øg dôg... 8. TÝch ph suy rég... 9. Chuçi sè...6. Chuçi hµm, d y hµm.... Chuçi Fourier...6 Tµi liöu thm kh o...9 7

8

C c Ký hiöu chug N N : tëp sè tù hiª, {,,,Κ } {} N N \ Q : tëp sè h u tû R: tëp sè thùc : tëp sè tù hiª thiõu sè R [] deg P( ) : bëc cñ thøc P ( ) : tëp c c thøc hö sè thùc : kõt thóc mét vý dô, gi i bµi tëp 9

Lêi ãi Çu Cuè gi o tr h Bµi tëp gi i tých µy îc biª so¹ theo Ò c g Çy ñ cñ Bé Gi o dôc vµ µo t¹o vò m«to co cêp dµh cho c c trêg ¹i häc Kü thuët häc To theo ch g tr h, cã thêi lîg tõ 6 Õ 75 tiõt ë häc kú Çu cñ m thø hêt Gi o tr h gåm ch g: Ch g I: Vi ph hµm sè mét biõ sè Ch g II: TÝch ph hµm sè mét biõ sè Ch g III: Chuçi sè vµ chuçi hµm Víi h bµi tëp îc ph tû mû theo tõg phç cñ kiõ thøc chug. Tríc mçi phç bµi tëp Òu cã tãm t¾t lý thuyõt Çy ñ, cã hiòu vý dô mih ho¹ d¹g. PhÇ p sè, híg dé, tr lêi cã tr h bµy lêi gi i mét sè bµi tëp mg týh kh i qu t co h. Hy väg gi o tr h bµi tëp µy sï gióp Ých îc hiòu cho c c b¹ sih viª têt c mäi lo¹i h h µo t¹o, gióp cho c c thçy c«gi o cã thªm mét sè t liöu t g èi Çy ñ Ó chuè bþ bµi gi g. V kiõ thøc th qu bo l mµ kh g b th l¹i cã h¹ ª kh«g thó tr h khái c c thiõu sãt. RÊt mog hë îc sù ãg gãp ý kiõ tõ c c éc gi Ó cuè s ch gµy cµg hoµ chøh h, p øg îc yªu cçu g co chêt lîg d¹y vµ häc m«to ë c c trêg ¹i häc. Hµ éi, th g 9 m 5 NguyÔ Xu Viª

PhÇ. Bµi tëp gi i tých to häc Ch g I Vi ph hµm sè mét biõ sè. Sè thùc I. Tãm t¾t lý thuyõt. TËp Õm îc, tëp t g g Hi tëp A, B gäi lµ t g g Õu tå t¹i sog h f : A B. Khi A vµ B t g g gêi t ãi A vµ B cã cïg lùc lîg vµ viõt A B hy A ~ B. TËp A gäi lµ tëp Õm îc (hy tëp cã lùc lîg ω ) Õu A ~ kh«g t g g víi tëp sè tù hiª îc gäi lµ tëp kh«g Õm îc. b. Nguyª lý quy ¹p to häc Õu: Trª tëp sè tù hiª cã guyª lý quy ¹p to häc su y: N. TËp Kh¼g Þh f ( ) phô thuéc vµo sè tù hiª sï óg cho mäi sè tù hiª i. f ( ) óg ii. Víi mäi k f k óg c. Þh lý chi Euclid Víi mäi sè guyª m,, tå t¹i duy hêt c c sè guyª q, r so cho k, tõ f ( ) óg suy r ( ) qm r, r < m. T ãi chi hõt cho m hy m chi hõt (m lµ thõ sè cñ ) vµ viõt m/ Õu tå t¹i sè guyª q so cho mq. Khi m lµ thõ sè cñ th t ãi m lµ íc cñ. d îc gäi lµ íc sè chug lí hêt cñ m vµ vµ viõt d USCLN( m, ) hy «i khi, Õu kh«g cã sù hçm lé gêi t cß viõt gi d ( m, ) Õu: i. d/m, d/ ii. Õu p/m, p/ th p/d

Víi mäi sè guyª m, tå t¹i duy hêt USCLN ( m, ). NÕu (, ) m th ãi m, guyª tè cïg hu. d. Sè h u tû vµ sè thùc XuÊt ph t tõ hu cçu thùc tiô còg h kho häc, gêi t ph i më rég tëp sè guyª Z thµh tëp sè h u tû Q Ó Q cã thó chø têt c c c ghiöm cñ ph g tr h bëc hêt hö sè guyª: b. Nh vëy Q m r m Z, N vµ Z Q. * Kh c víi tëp sè guyª Z mµ trog ã kh«g cã phðp chi th trog Q cã ñ phðp to : cég, trõ, h, chi (chi cho sè guyª kh c ). Khi Ðt Õ ph g tr h gi hö sè h u tû, thëm chý hö sè guyª th dô dµg thêy ph g tr h µy kh«g cã ghiöm h u tû. Mét lç Æt r hu cçu më rég tëp sè h u tû Q thµh tëp sè thùc R: Q Sè thùc gåm cã hi lo¹i: sè h u tû vµ sè v«tû. TËp sè thùc R lêp Çy trôc sè. Gièg h Q, tëp c c sè thùc R t¹o thµh mét trêg. e. Sup, if. Þh lý Bolzo Gi sö E R. Sè α R îc gäi lµ cë trª cñ tëp E Õu E α. TËp E mµ cã cë trª îc gäi lµ tëp bþ chæ trª. T g tù h thõ, β lµ sè mµ E β îc gäi lµ cë díi cñ E. TËp cã cë díi îc gäi lµ tëp bþ chæ díi. TËp bþ chæ trª, chæ díi îc gäi lµ tëp giíi éi. CË trª há hêt α cñ tëp E îc gäi lµ cë trª óg cñ tëp E vµ viõt α sup E. Nh vëy α sup E Õu tho m iòu kiö su: i. E α : α lµ cë trª cñ E ii. ε > E α ε < α : α lµ cë trª há hêt T g tù h thõ, Þh ghü cë díi óg ife lµ cë díi lí hêt cñ tëp E. T cã Þh lý Bolzo su: Mäi tëp sè thùc bþ chæ trª Òu cã cë trª óg, bþ chæ díi Òu cã cë díi óg. R

f. TrÞ tuyöt èi cñ sè thùc TrÞ tuyöt èi cñ sè thùc α lµ α tho m iòu kiö: α α Õu α, α α Õu α <. èi víi sè thùc α, β R t lu«cã α β α β. II. Bµi tëp B»g ph g ph p quy ¹p to häc h y chøg mih c c hö thøc su óg cho mäi N *(.-.7) ( ).. Κ ( )( ).. Κ 6.. Κ ( Κ ).. 5 chi hõt cho 9.5. rctg rctg Κ rctg rctg 8.6... Κ. <.7. Chøg mih bêt ¼g thøc Beculi: ( )( ) ( ) Κ víi,, Κ cïg dêu, lí h -. Κ.8. CMR, víi mäi > > DÊu y r khi vµ chø khi..9. CMR, Õu USCLN ( m, ) d th tå t¹i c c sè guyª u, v Z so cho um v d. t cã: ( ) ( ).. CMR, Õu P ( ), Q( ) lµ c c thùc hö sè thùc, P( ) Q( ) R[] d ( ) USCLN( P( ), Q( ) ) th tå t¹i c c thøc u( ) v( ) R[] d ( ) u( ) P( ) v( ) Q( ).. CMR, Õu, b lµ c c sè thùc th :.. CM c c bêt ¼g thøc su: b b b, vµ, so cho: 5

. b b c. b b. ( b ) b d... Ký hiöu A B { b A b B},. Chøg mih c c ¼g thøc su:. if ( A B) if A if B b. sup ( A B) sup A sup B.. Ký hiöu AB { b A, b B}. Gi sö A { }, B { b b } mih c c ¼g thøc su:. if ( AB) if Aif B b. sup ( AB) sup Asup B.5. CM Þh lý vò sù tå t¹i duy hêt c bëc cñ sè thùc su: α R Gäi A R, A { t R, t > t < α} Gi sö, α >.. A φ, A bþ chæ trª. CMR:. Chøg b. Tå t¹i sup A β vµ β α Sè β h vëy tå t¹i duy hêt vµ gäi lµ c bëc cñ α vµ ký hiöu lµ β α (c sè häc).. Giíi h¹ d y sè I. Tãm t¾t lý thuyõt. D y sè h ¹ 6 f : N R cã h ( ),,, Κ D y sè îc ký hiöu lµ ( ) hy ( ) hy { } tæg qu t cñ d y sè ( ). T ãi d y ( ) thó viõt f R îc gäi lµ d y sè.. lµ sè h¹g Çu, lµ sè h¹g cã giíi h¹ khi tiõ r vµ viõt lim (hy cã lim Õu kh«g cã sù hióu lçm trog ký hiöu chø sè ) Õu víi mäi ε > tuú ý tå t¹i sè tù hiª N Ó víi mäi sè tù hiª, khi N th < ε. Hy viõt díi d¹g vþ tõ (Logic möh Ò) lµ:

( N ) lim ε > N < ε Ngêi t ãi d y ( ) lµ d y c b (hy d y Cuchy Õu N m ( m N N m ) ε > < ε ). T cã bæ Ò Bolzo-Weierstrss: Tõ d y giíi éi bêt kú lu«trých r d y co héi tô. b. Tiªu chuè Cuchy vò héi tô d y sè Ó d y sè ( ) cã giíi h¹, iòu kiö cç vµ ñ: ( ) lµ d y Cuchy. V lý do trog R mäi d y Cosi Òu héi tô ª gêi t ãi tëp sè thùc R cã týh Çy ñ. TËp sè h u tû kh«g Çy ñ, ch¼g h¹ h d y Cosi kh«g héi tô trog Q v lim e Q. VÝ dô: Chøg mih d y Κ kh«g cã giíi h¹. Gi i: Ó chøg mih d y µy kh«g cã giíi h¹ t chø cç chø r mét sè ε so cho víi mäi N tå t¹i m,, mæc dï m N, N hg t l¹i cã m ε. ThËt vëy, víi ε ; m t cã: m m Κ m m m m c. Héi tô iöu iòu kiö héi tô d y iöu D y ( ) iöu t g cã giíi h¹ khi vµ chø khi ã bþ chæ trª, khi ã sup{ } lim. D y ( ) iöu gi m cã giíi h¹ khi vµ chø khi ã bþ chæ díi, khi ã if{ } lim. d. D y riªg, giíi h¹ riªg D y ( ), < <, NÕu tå t¹i, k * Κ k k N îc gäi lµ d y co cñ d y ( ) α th gêi t ãi α lµ giíi h¹ riªg cñ d y ( ) lim k k. 7

hy hiöu 8 Giíi h¹ riªg lí hêt cñ ( ) lim sup. îc gäi lµ giíi h¹ trª vµ ký hiöu lim Giíi h¹ riªg há hêt cñ ( ) îc gäi lµ giíi h¹ díi cñ ( ) lim hy if lim. DÔ dµg thêy Õu { } lim. NÕu { } bþ chæ trª th sup{ } iòu kiö cç vµ ñ lµ lim lim ( lim ). II. Bµi tëp.. B»g Þh ghü h y chøg mih c c giíi h¹ su:. lim c. lim si b. lim d. lim.. T m c c giíi h¹ lim Õu: vµ ký kh«g bþ chæ trª th lim. Ó tå t¹i giíi h¹ lim ( ). Κ lç b., Κ. Tõ ã h y t m c«g thøc æi sè thëp ph v«h¹ tuç lç hoµ, ( b) thµh ph sè. Tæg qu t ho kõt qu cho sè thëp ph v«h¹ tuç hoµ ( b Κ ).. Chøg mih d y ( ) víi.. T m giíi h¹ d y ( ) víi:.5. Cho b > ; > b CMR, Κ m b. Κ kh«g cã giíi h¹. l l l Κ,. C c d y ( ) ( ) v u, c Þh h su: u, v b u v u v uv

. D y ( u ) iöu gi m, cß ( ) b. lim u lim v.6. Cho d y ( u ) c Þh bëi hö thøc: CMR ( ) ( u ) v iöu t g u u u u u k, k lµ c c d y kò hu (tøc lµ mét d y iöu t g, mét d y iöu gi m vµ cã cïg giíi h¹)..7. Gi sö f ( ) : ( ; b) (, b). D y ( ) u c Þh theo c«g thøc: ( b) ( u ) u α ; u f H y ghiª cøu héi tô cñ d y ( u ) trog trêg hîp:. f ( ) iöu t g b. f ( ) iöu gi m.8. T m lim u biõt: u. u u u b. u u T m c c giíi h¹ c c d y su (.9.9).9. lim Κ.... lim ( )( ) ( ) Κ lim ( ).. lim si!.. lim 9

...5..6..7..8. lim lim 5 Κ lim lim. lim.5 Κ k.9. lim k ( )(. ) Chøg mih c c giíi h¹ qu träg su (..5).. lim!.. lim!.. lim ( > ).. lim.. lim ( > ).5. lim! k.6. Chøg mih r»g lim limy lim( y ) lim limy.7. CMR, Õu d y ( ) m m m,,,κ th tå t¹i tho m iòu kiö víi mäi lim..8. Chøg mih c c d y su héi tô vµ t m giíi h¹:

. ( k ) k k c. c si b. ( k ) b k k k R.9. Chøg mih r»g, Õu vµ lim th lim... Cho ( ) ( ) v u, lµ hi d y mµ u, v u u u lim l R. CMR lim l. v v v.. Cho ( u ) m, um. Chøg mih r»g lim u. m.. Cho d y ( u ) c Þh: < u < u u u CMR. u < b. lim u, v iöu gi m thùc sù vµ T m c c giíi h¹ cñ c c d y su.. lim si.. lim si.5. Gi sö d y ( ) tho m iòu kiö i. N * ii. m, *. N m Chøg mih r»g d y ( b ) víi m b l cã giíi h¹.

. Giíi h¹ hµm sè, hµm liª tôc I. Tãm t¾t lý thuyõt. Giíi h¹ hµm sè theo ε δ vµ d y Ngêi t sö dôg ký hiöu f ( ) trþ y f ( ) Y y Ó chø mét hµm sè cã èi sè X, gi. C c ký hiöu thêg dïg kh c hu Ó chø hµm sè µy lµ: f α f ( ), α y, Κ T ãi hµm sè y f ( ) c Þh trog l cë cñ ióm Õu δ > Ó hµm sè c Þh víi mäi ( δ ; δ ). Giíi h¹ hµm sè: Ngêi t ãi, hµm sè f ( ) c Þh trog l cë (cã r) cã giíi h¹ A vµ viõt f ( ) A thó trõ lim Õu: ( < δ f ( ) A ε ) ε > δ > < y chýh lµ Þh ghü giíi h¹ hµm sè theo g«g Tiªu chuè giíi h¹ theo d y: Hµm sè ( ) ε δ. f cã giíi h¹ A khi khi vµ chø khi víi mäi d y, d y gi trþ hµm sè t g øg f ( ) A. Tiªu chuè giíi h¹ theo d y µy «i khi gêi t lêy lµm Þh ghü giíi h¹ hµm sè. b. Giíi h¹ mét phý NÕu f ( ) c Þh phý bª tr i cñ ióm th lµ ký hiöu qu tr h, <. T g tù h vëy Nh vëy f ( ) lim f ( ) (hy ) (hy ) chýh lµ, >. <

f ( ) lim f ( ) VÝ dô: XÐt hµm sè f ( ) T cã lim f ( ) lim f ( ) > rctg lim rctg, cß < lim rctg > cho ª f ( ), f ( ) c. C c týh chêt sè häc cñ giíi h¹ hµm sè NÕu tå t¹i c c giíi h¹ h u h¹ f ( ) A, lim f ( ) B lim th : i. lim [ f ( ) f ( ) ] A B ii. lim [ f ( ) f ( ) ] AB lim f f ( ) iii. lim ( ) f lim f d. Mét sè giíi h¹ qu träg si i. lim e. Hµm liª tôc lim f ( ) ( ) A B ii. lim lim ( ) e α α α ( B ) Hµm f ( ) c Þh trog l cë îc gäi lµ liª tôc t¹i Õu ( ) f ( ). ióm thuéc tëp c Þh hy ióm giíi h¹ cñ tëp c Þh cñ hµm f ( ) îc gäi lµ ióm gi o¹ cñ hµm ( ) kiö liª tôc cñ hµm sè. f Õu t¹i ã kh«g tho m iòu

ióm gi o¹ cñ hµm ( ) f ( ), f ( ) (hoæc f ( ) hy ( ) m f ( ) f ( ) f ( ). f îc gäi lµ gi o¹ lo¹i Õu f Õu lµ ióm biª cñ X) hg kh«g tho îc gäi lµ ióm gi o¹ lo¹i Õu ã lµ ióm gi o¹ kh«g ph i lo¹i. îc gäi lµ ióm gi o¹ kh¾c phôc îc Õu ( ) f ( ) f, hg chóg kh«g b»g hu (tå t¹i mét trog hi Õu lµ ióm biª cñ X). f. VCB, VCL i. Hµm f ( ) liª tôc trª [ ; b] th bþ chæ trª [ ; b]. ii. Hµm f ( ) liª tôc trª [ b] trª[ ; b], tøc lµ tå t¹i, [, b] f ( ) mi f ( ), f ( ) f ( ). m [, b] [, b] ; th hë c c gi trþ lí hêt, bð hêt so cho iii. Hµm f ( ) liª tôc trª [ ; b] cã f ( ) A f ( b) B C ( A; B) tå t¹i c ( ; b) Ó f ( c) C. iv. Hµm f ( ) liª tôc trª [ ; b] th liª tôc Òu trª [ ; b], tøc lµ: ε > [ ; b] [ ; b] δ > ( < δ f ( ) f ( ) < ε ) T ãi hµm sè ( ) v«cïg bð (VCB) trog qu tr h Nãi ( ), th víi mäi α c Þh trog l cë (cã thó trõ r) lµ mét vµ viõt α ( ) ( ) Õu lim ( ) α. β c Þh trog l cë (cã thó trõ r) lµ mét v«cïg lí (VCL) trog qu tr h Ó ( ) lim β. Õu ( ) hy ± α lµ VCB trog qu tr h, iòu kiö cç vµ ñ lµ α VCL trog qu tr h. T ãi β ( ) cã bëc co h so víi VCB ( ) β viõt β ( ) ( α( ) ) ( ) Õu lim. α( ) ( ) lµ α trog qu tr h vµ

NÕu c c VCB α ( ), ( ) β ( ) K, K α( ) th gêi t ãi α ( ), ( ) ( ) Ο( β ( ) ). lim α β trog qu tr h tho m iòu kiö β lµ c c VCB cïg bëc vµ viõt lµ c c VCB t g g (trog qu tr h Khi K th ãi α ( ), β ( ) ) vµ viõt α ( ) ~ β ( ). f ( ) Ó lim A, iòu kiö cç vµ ñ lµ f ( ) ( A α( ) ) g( ) g( ) ( ) ( ) α. II. Bµi tëp T m tëp c Þh cñ c c hµm sè su (.-.5):.. y si cos ; trog ã...... y rccos y rccos y rctg rctg.5. y rcsi rcsi.6..7..8..9..... T m tëp gi trþ ( X ) f cñ hµm sè f : X Y (.6-.) y si cos y víi X ; si e y e y si cos y y si cos 5

.. y rcsi.. y rctg T m giíi h¹ su (.-.5)...5..6..7. lim lim lim ( ) lim.8. lim.9. ( ) lim m lim.. ( m, Z )...... lim ( ) ( ) Κ ( ) 5 5 lim lim...5. lim 7 lim 6

.6. T m gi trþ cñ c c giíi h¹ qu träg su: lim ( ) µ.7. lim ( α ).8. lim ( > ).9........... T m c c giíi h¹ su b»g ph g ph p thy t g g (.9.5) si( h) si( h) si lim h h tg lim si lim si ; m, m ( si ) rcsi lim ( cos ) lim tg si si lim.5. lim tg.6..7..8. rccos lim cos cos lim b e e lim Z 7

.9..... 5 6 lim 8 7 e lim si lim.. lim ( ) si.. lim ( cos )...5. lim lim l ( ) l ( tg ).6. lim ( ).7. lim e.8. lim cos.9. lim rctg.5. l lim rctg( ) rctg( ).5. Chøg mih hµm sè y liª tôc víi mäi..5. Chøg mih hµm sè y liª tôc víi mäi..5. Hµm sè cho b»g c«g thøc: víi f ( ) A víi 8

Ph i chä gi trþ cñ A b»g bo hiªu Ó hµm sè µy liª tôc t¹i mäi R. X y dùg å thþ cñ hµm sè trog trêg hîp µy..5. H y bæ sug gi trþ cñ hµm f ( ) trª toµ bé R..55. X c Þh gi trþ f ( ) cñ hµm sè Ó ( ). f ( ) b. f ( ) c. f ( ) d. f ( ) ( ) Z l( ) l( ) e e si e. f ( ) cotg ( ) si t¹i Ó hµm sè liª tôc f liª tôc t¹i..56..57..58..59. Nghiª cøu c c lo¹i ióm gi o¹ cñ c c hµm sè su (.56-.6): y y y y si.6. y l tg.6. y ( ) rctg.6. Chøg mih hµm Dirichle: Õu v«tû Õu hu ~ tû χ ( ) lµ hµm gi o¹ t¹i mäi R. 9

.6. Kh o s t týh liª tôc vµ vï å thþ hµm sè: y lim ( ).6. Nghiª cøu týh liª tôc vµ vï å thþ hµm sè: y lim ( rctg).65. Chøg mih r»g ph g tr h cã ghiöm trog kho g ( ;). H y týh gç óg ghiöm cñ ph g tr h..66. Chøg mih r»g mäi thøc P ( ) cã bëc lî Òu cã Ýt hêt mét ghiöm thùc..67. Cho, b, c R tho m iòu kiö: b c m m m Chøg mih r»g ph g tr h b c cã Ýt hêt mét ghiöm trog kho g ( ;)..68. Chøg mih r»g Õu, b, c R tho m iòu kiö b c th cã ghiöm trog kho g ( ;). ph g tr h b c.69. Chøg mih hµm sè f ( ) lµ hµm liª tôc trª ( ;) tôc Òu trª kho g ã..7. Chøg mih r»g hµm sè ( ) si kh«g liª tôc Òu..7. CMR hµm sè ( ) lim f ( ) th ( ) hg kh«g liª f liª tôc vµ bþ chæ trª R hg f c Þh vµ liª tôc trª [ ; ) X vµ tå t¹i f liª tôc Òu trª X. Kh o s t týh liª tôc Òu trog c c miò X t g øg (.7-.75):.7. f ( ), X [ ; ] si.7. f ( ), X ( ; )

.7. f ( ) e cos, X ( ; ).75. f ( ) cos, X R.76. Chøg mih r»g hµm liª tôc duy hêt f ( ) c Þh trª R, tho m iòu kiö f ( y) f ( ) f ( y) lµ hµm tuyõ týh thuç hêt f ( ), trog ã f () h»g sè tuú ý. iòu kiö liª tôc îc thy b»g iòu kiö iöu th kh¼g Þh cß óg kh«g?.77. Chøg mih r»g hµm sè f ( ) liª tôc, kh«g åg hêt b»g kh«g vµ tho m iòu kiö f ( y) f ( ) f ( y) tå t¹i duy hêt ã lµ hµm mò f ( ), trog ã f ( ) lµ h»g sè d g tuú ý..78. T m têt c c c hµm sè f : R R so cho f ( ) f ( )..79. T m têt c c c hµm sè f : R R so cho f ( y ) f ( ) f ( y)..8. T m têt c c c hµm sè f : R R liª tôc so cho f ( y) f ( ) f ( y)..8. Cho f ( ), g( ) liª tôc trª [ b] [ ; b], < g( ) < f ( ) λ > [ ; b] ( λ) g( ) f ( ). ;. Chøg mih. ¹o hµm vµ vi ph I. Tãm t¾t lý thuyõt. Kh i iöm ¹o hµm, ¹o hµm tr i, ¹o hµm ph i Gi sö hµm sè y f ( ) c Þh t¹i vµ l cë cñ cñ f ( ) t¹i, ( ) y f ( ) f ( ). ¹o hµm f ( ) f lµ giíi h¹ cñ tû sè sè gi hµm sè vµ sè gi èi sè Þh ghü: f y lim lim ( ) khi. Nh vëy theo f ( ) f ( ) ¹o hµm cñ hµm sè y f ( ) t¹i cã c c ký hiöu lµ y,, f ( ), ( ) dy df. d d Hµm sè f ( ) cã ¹o hµm t¹i îc gäi lµ hµm kh vi t¹i. Gièg h giíi

h¹ mét phý, t còg cã c c ¹o hµm mét phý f ( ), f ( ) y f ( ) cã ¹o hµm t¹i, iòu kiö cç vµ ñ lµ f ( ) f ( ) y f ( ) c Þh trª [ ; b] th f ( ) îc hióu lµ f ( ), ( b) f ( b ). b. C c quy t¾c týh ¹o hµm NÕu c lµ h»g sè, u ϕ ( ) v ψ ( ) i. ( cu ) cu ii. ( u v) u v iii. ( uv ) u v uv u u v uv iv. ( v ) v v c. B g ¹o hµm c c hµm c b i. ( ) ( ) > ii. ( si ) cos iii. ( cos ) si iv. ( tg) v. ( cotg) cos si vi. ( rcsi ) ( < ). Ó hµm sè. Khi hµm sè f îc hióu lµ, lµ c c hµm sè cã ¹o hµm t¹i th : vii. ( rccos ) ( < ) viii. ( rctg) i. ( rccotg)

. ( ) l ( e ) e l i. ( log ) ( >, > ) l ( ) ii. ( sh ) ch iii. ( ch ) sh iv. ( th) ch v. ( coth ) sh d. ¹o hµm hµm hîp, hµm gîc vµ hµm È d.. ¹o hµm hµm hîp: NÕu y f ( ) ϕ( t) hµm y f [ ϕ() t ] (lµ hµm hîp cñ hi hµm f ( ) vµ ϕ ( t) vµ: y t y t dy dy d. dt d dt hy viõt c ch kh c: α VÝ dô : Tõ ( ), lµ c c hµm sè cã ¹o hµm th α [ f ] α f ( ) f ( ) ( ) ( ) f vµ [ l f ( ) ], p dôg t cã: f l ( l ) l l l l ) còg cã ¹o hµm d.. ¹o hµm hµm gîc: NÕu hµm sè y f ( ) cã f ( ) gîc f ( y) VÝ dô : cã y y y rcch cã ¹o hµm: y th hµm

d.. HÖ y ( ) y chy shy ch y ϕ() t ( α < t < β ) y ψ () t trog ã ϕ () t vµ ψ () t lµ c c hµm kh vi vµ ϕ ( t) [ ] ( < ) mét l cë µo ã h hµm cñ : y ψ ϕ ( ) cã ¹o hµm y ( ) R cost VÝ dô : y R si t víi t k, R si t, y R cost cho t: t t y y t cotgt t, c Þh hµm y trog yt. t d.. ¹o hµm hµm sè cho díi d¹g hµm È F (, y) Ph g tr h F (, y) c Þh mét hµm (hµm È) y y( ) hµm y t lêy ¹o hµm hi võ ph g tr h, em y h hµm cñ : d d VÝ dô : T m y Õu y y Gi i: ¹o hµm hi võ: F (, y) y y y y cho t e. Vi ph cêp mét vµ vi ph cêp co y y y e.. Gi sö hµm sè y f ( ) kh vi t¹i. BiÓu thøc df ( ) f ( )d d îc gäi lµ vi ph (cêp mét) cñ hµm f ( ) (t¹i ). Vi ph cêp mét cã týh bêt biõ, tøc lµ bióu thøc df ( ) f ( )d. Ó t m ¹o trog ã kh«g phô thuéc vµo lµ biõ éc lëp hy biõ hµm. Gi sö u ϕ ( ), v ψ ( ) lµ c c hµm kh vi t¹i. T cã c c quy t¾c týh vi ph cêp mét su: i. d ( u ± v) du ± dv ii. d ( uv) vdu udv

u v vdu udv v iii. d ( v ) e.. ¹o hµm cêp hi y cñ hµm f ( ) y ( y ) d y d dy, tøc lµ. d d d ¹o hµm cêp îc ký hiöu y lµ ¹o hµm cñ ¹o hµm cêp mét, ( y ) hy d y d. Theo Þh ghü: ( ) ( ) ( ) d y d y y y hy d d d d ¹o hµm tõ cêp hi trë lª îc gäi lµ ¹o hµm cêp co. T g tù ¹o hµm cêp co, gêi t Þh ghü vi ph cêp co. Vi ph cêp îc c Þh theo c«g thøc: ( d y) d y d Kh c víi vi ph cêp mét, vi ph cêp co cñ hµm sè f ( ) d¹g tuú theo lµ biõ éc lëp hoæc biõ hµm ϕ( t). VÝ dô 5: Víi Víi lµ biõ éc lëp th y si, t cã dy cos d. d y si d Cß khi lµ biõ hµm, vý dô t, t sï cã: d y d VÝ dô 6: Trë l¹i vý dô, t cã d y t y d t d d dt ( cotgt) cotgt d dt d si t d R si dt y bþ biõ æi ( cos d) si d cos d si d cost dt e.. TÝh gç óg gi trþ hµm sè b»g vi ph Khi y f f dy f cã trþ tuyöt èi há th ( ) ( ) ( )d ª t cã: f ( ) f ( ) f ( ), hy viõt f ( ) f ( ) f ( )( ) VÝ dô 7: TÝh gç óg b»g vi ph gi trþ o si. t, cho 5

Gi i: o si si. Cho 8, t cã: 8 o si si 8 8 so s h víi týh óg si o, 75 f. C c Þh lý trug b h ( ) cos( ), 75 Þh lý Rolle: NÕu f ( ) lµ hµm liª tôc trª [ ; b], kh vi trog ( b) cã f ( ) f ( b) th tå t¹i ξ ( ;b) so cho f ( ξ ). Þh lý Lgrge: NÕu f ( ) lµ hµm liª tôc trª [ ; b], kh vi trog ( b) khi ã tå t¹i ξ ( ;b) Ó f ( b) f ( ) ( b ) f ( ξ ). Þh lý Cuchy: NÕu f ( ) vµ g ( ) lµ c c hµm liª tôc trª [ b] trog ( ; b), ( f ( ) ) ( g ( ) ) víi mäi ( ; b), ( b) g( ) f ξ ( ;b) ( b) f ( ) f ( ξ ) Ó. g( b) g( ) g ( ξ ) II. Bµi tëp.. T m sè gi hµm sè y vµ tû sè y t¹i víi, ( ).. y lg t¹i víi 9 y cñ c c hµm sè (.-.): ;, ;, ;, kh vi g, th tå t¹i T m sè gi hµm sè y vµ tû sè cñ èi sè Õ.. y...5..6. y y y (.-.6): y cñ hµm sè t g øg víi sù thy æi B»g Þh ghü h y týh ¹o hµm cñ c c hµm sè (.7-.9): 6

.7. y si.8. y tg.9. y.. T m f () 8 biõt f ( ).. T m hö sè gãc c c tiõp tuyõ cñ c c êg cog y y vµ t¹i ióm gio hu cñ chóg, tõ ã h y týh gãc gi hi êg cog t¹i ióm µy (gãc gi hi tiõp tuyõ)... Chøg tá r»g c c hµm sè su y kh«g cã ¹o hµm h u h¹ t¹i c c ióm t g øg:. y t¹i ióm b. y 5 t¹i ióm c. y si t¹i ióm k.. Cho f, g kh vi t¹i. T m ( ) g( ) f ( ) g( ) f lim. TÝh ¹o hµm c c hµm sè su (kh«g dïg quy t¾c ¹o hµm hµm hîp) (.-.6):.. y l.5. 5 y.6..7..8. y b y si cos y si cos.9. y rcsi rctg ( ).. y.. y e rcsi 7

.. y l lg l log.. y l.. y sh.5..6. y ch coth y l TÝh ¹o hµm c c hµm sè su, sö dôg quy t¾c týh ¹o hµm hµm hîp (.7-.):.7. y ( si ) 5.8. y rctg ( rcsi ).9... 8 y rccotg y rccos e.. y rctg( l ) l( rctg)...... y rcsi y y rcsi b b ( α si β β cos β) α β α e.5. y l( ).6. y tg l tg rctg 6.7. y l( ) ( ).8. y l sh

.9. y Archl.. y ( ) Arth.. T m y, Õu. y b. y.. T m f ( ) Õu.. T m ( ), f ( ) f. ( ) si( ) f Õu b. f ( ) rcsi c. f ( ) e f ( ) Õu Õu.. Chøg mih r»g, hµm sè y ( )y. e Õu Õu > y e tho m ph g tr h vi ph : p dôg c«g thøc u.5. y ( si ).6..7..8. si y y y.9. y ( rctg) si.5. y ( cos ).5. T m ¹o hµm y Õu v vlu e týh ¹o hµm c c hµm sè su (.5-.5): 9

. y b. y si c. y e TÝh ¹o hµm cñ c c hµm sè cho díi d¹g ph g tr h thm sè (.5-.55): t.5. y t.5..5..55. y rccos y rcsi ( cost t si t) ( si t t cost) t t t l tg cost si t y ( si t cost).56. T m dy khi t e cost t d, Õu t y e si t.57. T m dy t l t khi t, Õu l t d y t dy TÝh ¹o hµm y cñ c c hµm sè cho díi d¹g ph g tr h È d (.58-.6):.58. y.59. y y

.6..6. y y y y c rctg.6. T m y t¹i ióm M ( ;) Õu y y T m ¹o hµm cêp hi cñ c c hµm sè su (.6-.65):.6. y l.6. y ( )rctg.65. y ch T m ¹o hµm cêp cñ c c hµm sè su (.66-.69):.66. y si.67. y cos.68. y l ( ).69. y øg dôg c«g thøc Leibiz: ( ) ( ) k ( k ) ( k uv C u v ) cñ c c hµm sè su (.7-.7):.7. y e.7. y l.7..7. T m y.7. TÝh ( ) ( ) Õu f ( ) f d y rctgt Õu d y l l ( t ) k, týh ¹o hµm ( y )

.75. TÝh d y cos t Õu d y si t T m y cñ c c hµm sè f ( ) (.76-.78):.76. y p y.77. b.78. y rctgy.79. Tõ ph g tr h y l y h y t m y cho díi d¹g ph g tr h È d y d, dy d T m vi ph cñ c c hµm sè su t¹i bêt kú èi víi sè gi (.8-.8):.8. y.8..8. y rcsi y l.8. T m dy Õu y y.8. T m dy t¹i ióm ( ;) Õu y y 6 d tuú ý.85. Thy sè gi hµm sè b»g vi ph, h y týh gç óg ( ch sè thëp ph ): o. cos 6 o b. tg c., e d. rctg, 5.86. H y dé r c«g thøc gç óg su:

øg dôg týh gç óg, 7,..87. Cho y, h y týh d y..88. Cho y rccos, t m d y..89. Cho si( 5) y, t m d y. cosα.9. Cho y e si( siα ), t m d y..9. Chøg tá r»g hµm sè f ( ) tho m iòu kiö cñ Þh lý Rolle trª c c o¹ th¼g vµ. T m c c gi trþ ξ t g øg..9. Hµm sè f ( ) tg cã tho m iòu kiö cñ Þh lý Rolle trª o¹ [ ; ] hy kh«g?.9. Hµm sè e cã ghiöm. CMR hµm sè µy kh«g cã ghiöm µo kh c..9. KiÓm tr iòu kiö cñ Þh lý Lgrge èi víi hµm sè f ( ) trª o¹ [ ;]. T m gi trþ ξ t g øg..95. Sö dôg Þh lý Lgrge, h y chøg mih c«g thøc:.96. si ( h) si h cosξ víi < ξ < h. èi víi c c hµm sè f ( ) g( ) kiö cñ Þh lý Cuchy trª o¹ [ ;] vµ t m ξ. b. T g tù cho hµm f ( ) si, g( ) cos trª ; vµ h y kióm tr iòu 5. C c øg dôg cñ ¹o hµm I. Tãm t¾t lý thuyõt. C«g thøc Tylor NÕu f ( ) lµ hµm sè liª tôc vµ cã c c ¹o hµm liª tôc Õ cêp trª o¹ b (hy b ), goµi r trog kho g më ( ; b) cã c c ¹o hµm h u h¹ cêp ( ), th trª [ ; b] t cã c«g thøc Tylor:

( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) Κ! trog ã θ ( ) < θ < ξ vµ. Khi, t cã (c«g thøc Mclor): f Κ! < ξ < ξ θ < θ < ( ) ( f ) ( )!! ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f ) ( ) víi ( ) ( ) ( ) ( ) f! f! ( ξ ) ( ) ( ξ ) hy. C c c«g thøc Tylor trª lµ c c c«g thøc Tylor víi phç d Lgrge. Thy c c sè h¹g cuèi cïg bëi ( ) hy ( ) c c c«g thøc Tylor víi phç d Peo. b. C c quy t¾c L Hospitl khö d¹g bêt Þh b.. Khö d¹g bêt Þh vµ t g øg t sï îc Gi sö f ( ), g( ) lµ c c hµm kh vi trog l cë cñ ióm, g ( ) trog l cë ã. NÕu c hi hµm µy Òu lµ c c VCB hy c hi lµ c c VCL f trog qu tr h. Ngoµi r tå t¹i h u h¹ c c giíi h¹ lim A th g ( ) ( ) f lim A. g C c quy t¾c L Hospitl µy cã thó p dôg cho c c trêg hîp (hoæc hy ). b.. C c d¹g bêt Þh kh c D¹g bêt Þh. f ( ) f ( ) ( ) f cã d¹g f hy f f ( ) ( ) ( ) cã d¹g ( ) ( )

cã d¹g D¹g bêt Þh f ( ) f ( ),, f f( ) f( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) D¹g bêt Þh îc viõt h su, vý dô h cho d¹g ( ) v( ) v( ) l u e u( ), ë sè mò giíi h¹ cã d¹g. îc Ðt ë trª. l( ) VÝ dô : TÝh giíi h¹ lim (d¹g ) tg Gi i: p dôg quy t¾c L Hospitl t îc: l( ) l( ) lim lim lim tg si VÝ dô : TÝh giíi h¹ A lim (d¹g ) si Gi i: T cã: si A lim (d¹g ) si Thy si ~ vµ p dôg c«g thøc L Hospitl, t îc: si cos si A lim lim p dôg quy t¾c L Hospitl lç thø hi, t îc: cos A lim 6 cos lim VÝ dô : TÝh giíi h¹ A lim ( cos ) Gi i: T cã: ( ) l cos cos e vµ 6 si lim (d¹g ) l cos si lim (d¹g ) lim ª A e. c. øg dôg ¹o hµm, kh o s t hµm sè 5

Theo Þh lý Fecmt, Õu f ( ) ¹t cùc trþ t¹i ( ; b) mµ t¹i ã cã f ( ) th f ( ) c.. Þh lý ( iòu kiö ñ thø hêt cñ cùc trþ): Õu hµm f ( ) liª tôc trª [ δ ; δ ] cã ¹o hµm trª ( δ ; ) ( ; δ ) (cã thó trõ r), vµ Õu f ( ) trª ( δ ; ), f ( ) trª ( ; δ ) th lµ ióm cùc ¹i. T g tù h thõ khi ¹o hµm f ( ) æi dêu tõ trõ sg cég qu th lµ ióm cùc tióu cñ hµm sè. Þh lý ( iòu kiö ñ thø hi cñ cùc trþ): NÕu lµ ióm dõg ( f ( ) ) vµ tå t¹i ¹o hµm f ( ) trog l cë cñ, tå t¹i f ( ) i. Khi f ( ) <, lµ ióm cùc ¹i ii. Khi f ( ) >, lµ ióm cùc tióu th Tæg qu t ho Þh lý hi t îc iòu kiö ñ thø b cñ cùc trþ su Þh lý : NÕu víi, lµ sè lî so cho tå t¹i c c ¹o hµm cêp trog ( l cë, tå t¹i ¹o hµm cêp t¹i vµ f ( ) f ( ) f ) ( ) ( ) ( ) f hµm sè sï cã cùc trþ t¹i, trog ã Κ th khi i. Khi ( ) ( ) > f, lµ ióm cùc tióu ii. Khi ( f ) ( ) <, lµ ióm cùc ¹i VÝ dô: y t¹i y cã ( ) y ( ) y ( ) c.. Låi, lâm, ióm uè ( iv ) ( ) > y ª lµ ióm cùc tióu Þh lý : Gi sö hµm sè f ( ) liª tôc trª [ b] f ( ) trog ( ; b). Ó êg cog cñ å thþ y f ( ) lâm trª [ b] cç vµ ñ lµ f ( ) ; Låi trª [ ; b] iòu kiö cç vµ ñ lµ f ( ). ; vµ cã ¹o hµm cêp hi ; iòu kiö 6

ióm uè cñ å thþ lµ ióm mµ khi i qu ã êg cog thy æi týh låi lâm (hy êg cog i qu ióm uè ã sï i tõ mét phý cñ tiõp tuyõ t¹i ióm uè sg phý ki) f ; b, Þh lý 5: Gi sö y ( ) cã ¹o hµm cêp hi f ( ) trog ( ) ( b). Ó å thþ hµm sè cã ióm uè t¹i iòu kiö cç vµ ñ lµ f ( ) ; vµ æi dêu qu. c.. TiÖm cë T ãi êg th¼g Õu lim ( f ( ) ( b) ). y b lµ tiöm cë iª cñ å thþ hµm sè y f ( ) iòu µy t g g víi sù tå t¹i h u h¹ cñ hi giíi h¹ êg th¼g lim b lim ( ) f ( f ( ) ( ) ) lµ tiöm cë øg cñ å thþ Õu lim f ( ) c.. TiÕp tuyõ, tiõp óc T ãi c c êg cog y f ( ), y ϕ( ) tiõp óc víi hu Õu chóg c¾t hu vµ t¹i gio ióm c c tiõp tuyõ cñ chóg trïg hu. Ó c c êg cog y f ( ), y ϕ( ) tiõp óc víi hu iòu kiö cç vµ ñ lµ hö f ( ) ϕ( ) f ( ) ϕ ( ) cã ghiöm. NghiÖm cñ hö chýh lµ hoµh é tiõp ióm. P Trêg hîp Æc biöt khi f ( ) lµ mét ph thøc (P(), Q() lµ c c Q thøc hö sè thùc) th êg th¼g y b y f ( ) ( ) ( ) ( ) tiõp óc víi å thþ hµm sè ( ) P khi vµ chø khi ph g tr h b cã ghiöm béi, ghiöm béi cñ ph g Q tr h chýh lµ hoµh é cñ tiõp ióm. II. Bµi tëp 5.. Ph tých hµm sè f ( ) e thµh thøc cñ ( ) 7

. Õ sè h¹g víi ( ). b. Õ sè h¹g cã ( ). 5.. Ph tých hµm sè f ( ) l thµh thøc cñ ( ) ( ) 5.. Chøg tá r»g ( h) si kh c biöt si h cos kh«g qu Õ sè h¹g cã h. 5.. Cho si si si T m VCB t g g víi ã 6 6 khi. 5.5. Cho f ( ) l( si ). T m VCB t g g víi ( ) b. T m khi trió Tylor Õ bëc 8 cñ f ( ) t¹i. 5.6. h gi si sè cñ c«g thøc f trog qu tr h. e.!!! 5.7. CMR, víi << ( ñ há) t cã c«g thøc gç óg é chýh c Õ. e víi 5.8. 5.9. 5.. 5.. 5.. 8 H y t m c c giíi h¹ su (5.8-5.9): cos si lim lim si lim ch cos sec tg lim cos tg si lim si

5.. l lim 5.. ( cos ) cotg lim 5.5. lim rcsicotg lim l l 5.6. lim si ( > ) 5.7. ( ) 5.8. lim cotg cos 5.9. lim 5.. lim ( ) 5.. 5.. cotg l tg lim tg ( l ch l cos ) lim ch cos 5.. lim si l cos 5.. cotg si lim 5.5. lim rctg 5.6. lim [( rctg) l ] 5.7. lim cos l l 5.8. ( lim e ) ( ) 9

5.9. ( ) l lim si 5.. Chøg tá r»g giíi h¹ lim si îc c«g thøc L Hospitl. tå t¹i hg kh«g thó p dôg T m c c kho g åg biõ, ghþch biõ cñ c c hµm sè su (5.-5.9): 5.. y ( ) 5.. y ( ) 5.. 5.. y y ( ) 5.5. y 5.6. y si 5.7. y l 5.8. 5.9. y e e y 5.. y 5 T m cùc trþ c c hµm sè (5.-5.5): ( )( 8 ) 6 5.. y ( ) 5.. y 8 5.. y 5.. y ( )

5.5. y si si 5.6. y l ( ) 5.7. y l 5.8. 5.9. y e e y 5.5. y Chøg mih c c bêt ¼g thøc su (5.5-5.5): 5.5. < si < víi > 6 5.5. cos > víi 5.5. < l( ) < víi > 5.5. T m tm gi c vu«g víi chu vi p cã diö tých lí hêt. 5.55. Trog c c h h trô cã cïg thó tých, t m h h trô cã diö tých toµ phç bð hêt. 5.56. T m h h ã cã thó tých lí hêt éi tiõp h h cçu b kýh R. 5.57. T m h h ã øg cã diö tých ug quh lí hêt éi tiõp h h cçu b kýh R. T m c c miò låi, lâm, ióm uè (5.58-5.6): 6 5.58. y 5.59. y 5.6. y 5.6. y si 5.6. y l 5.6. y rctg 5.6. y ( ) e 5

5.65. 5.66. 5.67. 5.68. 5.69. 5.7. T m c c tiöm cë cñ c c êg cog (5.65-5.76): y ( ) y y y y y 5.7. y e 5.7. y e 5.7. 5.7. 5.75. 5.76. y e si y t y t rctgt r ϕ 9 Kh o s t vµ vï å thþ c c hµm sè cho díi d¹g ph g tr h hiö (5.77-5.9): 5.77. y 5.78. 5 y

5.79. 5.8. 5.8. 8 y y y 5.8. y 5.8. 5.8. y ( ) 5.85. y ( ) 5.86. y ( ) 5.87. y ( ) 5.88. 5.89. y y si cos 5.9. y rcsi 5.9. y rctg 5.9. y l tg 5.9. y l si 5.9. y Kh o s t vµ vï å thþ c c hµm sè cho díi d¹g ph g tr h thm sè (5.95-5.): 5

5.95. 5.96. 5.97. t t y t t cos t y si t t te t y te ( > ) 5.98. 5.99. 5.. 5.. t t e t y te y ( sht t) ( cht ) t y t 6rctgt t e t t te y t ( > ) Kh o s t vµ vï å thþ hµm sè cho díi d¹g ph g tr h to¹ é cùc (5.-5.6): 5.. r si ϕ 5.. r tgϕ 5.. r ( cosϕ) 5.5. r ( b cosϕ ) ( >, b > ) 5.6. r t ϕ rcsi t t Kh o s t vµ vï å thþ hµm sè, b»g c ch vò ph g tr h to¹ é cùc (5.7-5.): 5.7. ( y ) y 5

55 5.8. ( ) y y 5.9. ( ) y y 5.. ( )( ) y y y

Ch g II tých ph hµm sè mét biõ sè 6. TÝch ph bêt Þh I. Tãm t¾t lý thuyõt. Nguyª hµm vµ tých ph bêt Þh Nguyª hµm: Hµm F ( ) îc gäi lµ guyª hµm cñ hµm f ( ) trª mét kho g I µo ã Õu F ( ) liª tôc trª I, kh vi t¹i mäi ióm trog cñ I so cho F ( ) f ( ). NÕu F ( ) lµ mét guyª hµm cñ f ( ) th tëp { F ( ) C, C R}, tøc lµ tëp têt c c c guyª hµm cñ hµm f ( ), îc gäi lµ tých ph bêt Þh cñ f ( ) vµ ký hiöu: f ( ) d Nh vëy f ( ) d { F( ) C}. Ngêi t quy íc viõt bióu thøc trª y bá qu c c dêu goæc, tøc lµ: f ( ) d F( ) C (6.) TÝh chêt cñ tých ph bêt Þh: i. NÕu hµm sè f ( ) cã guyª hµm th : ( f ( ) d) f ( ), tøc lµ d ( f ( ) d) f ( )d ii. NÕu f ( ) kh vi th f ( ) d f ( ) C, tøc lµ df ( ) f ( ) C iii. NÕu f ( ) cã guyª hµm vµ R th ( ) f ( ) d f ( ) d iv. NÕu f ( ) f( ) ã th f ( ) f( ) ( f ( ) f( ) ) d f( ) d f( ) d f còg cã guyª hµm vµ: vµ lµ c c hµm sè cã guyª hµm trª mét kho g µo còg cã guyª hµm trª kho g ã vµ: 55

b. B g c c tých ph c b α α d ii. l C l e d e C α i. d C ( α ) iii. d C ( >, ) iv. v. cos d si C si d cos C d vi. tg C cos d vii. cotg C si viii. shd ch C i. chd sh C d. th C ch d i. coth C sh d ii. rctg C rccotg C, d iii. l C, d iv. rcsi C rccos C, d v. l C, d vi. l C, 56

c. C c ph g ph p c b týh tých ph c.. TÝch ph b»g ph g ph p thõ ( æi biõ) Gi sö trª mét kho g µo ã c Þh hµm hîp f ( ϕ ( t) ) vµ hµm ϕ( t) liª tôc trª kho g µy, kh vi t¹i mäi ióm trog cñ kho g. Khi ã Õu tých ph f ( ) d tå t¹i th tých ph f ( ϕ ( t) ) ϕ ( t) dt còg tå t¹i vµ ( ) d f ( ( t) ) ϕ ( t) f ϕ dt (6.) C«g thøc (6.) îc gäi lµ c«g thøc tých ph b»g phðp thõ. si d cos C cos cos VÝ dô : tgd d l cos Gi i: ë y sö dôg phðp thõ thy t cos. VÝ dô : TÝh Gi i: d si C ch : dt t cos Ó cã l t C vµ su ã t d d dtg d l tg C si si cos tg cos tg d si d cos d cos cos C ch : d l C si si cos cos cos c.. Ph g ph p tých ph tõg phç NÕu c c hµm sè u u( ), v v( ) lµ c c hµm liª tôc trª mét kho g I µo ã vµ kh vi t¹i mäi ióm trog cñ I; khi ã Õu tå t¹i tých ph v u d th tå t¹i tých ph u v d vµ u v d uv vu d hy udv uv vdu (6.) C«g thøc (6.) îc gäi lµ c«g thøc tých ph tõg phç. VÝ dô : TÝh tých ph l d Gi i: Æt u l, dv d, v, t cã: C l d l d l 57

VÝ dô : TÝh tých ph si d Gi i: Æt u, si d dv Khi ã du d, v si d cos vµ theo (6.) t cã si d cos cos d cos si C VÝ dô 5: TÝh tých ph J d, Gi i: Æt u, dv d d Khi ã du, v vµ d ( ) J d d J d cho t J hy cho t hy J rcsi C (6.) VÝ dô 6: T m c«g thøc truy håi týh tých ph : d J, N, ( ) Gi i: TÝch ph tõg phç Khi ã du J d v, ( ) J, u, dv d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J J J ( ) d 58

t t m îc Tõ ã t hë îc c«g thøc truy håi týh J su: J ( ) J ( ) (6.5) d Tõ (6.5), cho vµ chó ý J rctg C J rctg C BiÕt J, theo (6.5) cã thó t m îc J, Κ d. TÝch ph c c hµm h u tû Mçi ph thøc h u tû (hµm h u tû) trª mçi kho g trog tëp c Þh cñ chóg cã thó bióu diô thµh tæg cñ thøc vµ c c ph sè h u tû c b : A, M N ( ) ( p q), p q < V thõ viöc lêy tých ph c c hµm h u tû vò lêy c c tých ph cñ c c ph sè h u tû c b ªu trª: Ad i. Al C ii. Ad A ( ) ( )( ) C, M N M p Mp p q p q iii. d d N iv. M N M l Mp N d p q ( p q) rctg C M p q d d N p Mp q ( ) ( ) p q p q ( p q) M ( p q) Mp d N, > p p q p p d 59

p Trog tých ph cuèi cïg víi phðp thõ t t vò tých ph J trog vý dô 6. Nh vëy lµ tých ph cñ ph thøc h u tû trog miò c Þh cñ ã lµ mét hµm sè s cêp bióu diô th«g qu c c phðp to ¹i sè, hîp hµm cñ c c hµm h u tû, Logrit vµ rctg. 6 VÝ dô 7: TÝh 8 ( ) ( ) d 8 A B C D E F Gi i: BiÓu diô ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) So s h c c hö sè cñ cïg luü thõ cñ hi võ t îc hö 6 ph g tr h tuyõ týh 6 È, cho t A, B, C, D, E, F vµ 8 ( ) ( ) d l l l Theo vý dô 6, cuèi cïg t hë îc: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) rctg 8 d l rctg C d d ( ) Khi c c méu sè trog c c ph thøc h u tû cã c c ghiöm béi bëc co hy c c ghiöm phøc béi co th viöc tých ph vò d¹g tæg c c tých ph c c ph sè h u tû s cêp sï gæp rêt hiòu trë g¹i v týh to rêt cåg kòh. Trêg hîp µy gêi t p dôg ph g ph p Ostrogrdsky, éi dug h su: d¹g: BiÓu diô tých ph cñ ph thøc óg trog ã ( ) P( ) P ( ) d ( ) ( ) Q Q ( ) ( ) P Q ( ) ( ) ( P( ) degq( ) ) P d (6.6) Q Q lµ thøc chø têt c c c ghiöm h cñ ( ) Q ghiöm. Cß ( ) ( ) Q. Q ( ) deg < díi Q hg Òu lµ

¹o hµm hi võ cñ (6.6), åg hêt hö sè c c thøc hi võ t sï t m îc c c hö sè cñ ( ) P ( ) P,. Còg vý dô 7, theo ph g ph p Ostrogrdsky, t cã: 8 A B C d ( ) ( ) ( )( ) D E F d Su khi lêy ¹o hµm hi võ, quy åg méu sè, t hë îc 8 A B D ( A B C ) ( C A) B C ( )( ) ( E F )( ) ( ) 5 So s h c c hö sè cñ,,,,, hi võ t îc hö 6 ph g tr h tuyõ týh 6 È, cho t A, B, C, D, E, F vµ hë îc: 8 l l d ( ) ( ) ( )( ) ( ) rctg C e. TÝch ph c c hµm v«tû p p e.. TÝch ph d¹g b b R ; ; Κ ; d (6.7) c d c d trog ã N p, p, Κ p Q,, b, c, d R, d bc, b m t, m méu sè chug cñ c c sè h u tû c d B»g phðp thõ p, p, Κ p, sï (6.7) vò tých ph hµm h u tû (hy cß ãi h u tû ho tých ph (6.7)). VÝ dô 8: TÝh d ( ) Æt Gi i: Hµm trog dêu tých ph lµ hµm h u tû èi víi c c biõ vµ. t t dt t t, t t m îc, d, t ( t ) t t ( t ) ( t ) t Cho ª d dt dt C ( ) t 8 6 6

e.. TÝch ph d¹g ( ; b c) R d,, b c (6.8) TÝch ph còg îc h u tû ho b»g c c phðp thõ Euler: b c ± ± t, Õu > b c ± t ± c, Õu c > b c ± ( ) t, b c ± ( ), t trog ã vµ lµ c c ghiöm thùc cñ tm thøc bëc hi b c (c c dêu ë võ ph i c c ¼g thøc cã thó lêy phèi hîp tuú ý). VÝ dô 9: TÝh I d Gi i: Æt t Khi ã t t, hy TiÕp theo, t t m îc t t t, d dt t t t t t ( t ) T cã t ª t I dt l t ( t ) C l C Ph g ph p Euler týh c c tých ph v«tû cã chø b c hiòu khi dé Õ c c týh to rêt cåg kòh. Trog hiòu trêg hîp cã thó sö dôg c c phðp thõ lîg gi c, Hypebol lîg gi c hy c c phðp thõ kh c Ó gi ho c c phðp thõ Euler. VÝ dô h èi víi tých ph R t; p t dt cã thó sö dôg c c phðp thõ: t p si u, t p cosu, t pthu 6

èi víi tých ph R t; t p dt cã thó sö dôg c c phðp thõ: p t, t pchu cosu èi víi tých ph R t; t p dt cã thó sö dôg c c phðp thõ: t ptgu, t pshu d VÝ dô : TÝh I 5 ( ) Gi i: T cã ( ) 5 ( ) ( ) Æt t, su ã t shu, t hë îc: dt du sh u I coth u C C t t 8 sh u 8 8shu t C 8t m e.. C c tých ph d¹g ( b) ( ) 5 C 8 p d (6.9) trog ã, b R, m,, p Q, víi, b,, p îc gäi lµ c c tých ph hþ thøc. C c lo¹i tých ph µy h u tû ho îc trog trêg hîp su: ) p sè guyª m ) sè guyª m ) p sè guyª N Trog trêg hîp thø hêt p dôg phðp thõ t, trog ã N - méu sè chug cñ m vµ ; trog c c trêg hîp thø hi vµ thø b p dôg c c phðp thõ s t g øg: b t vµ b t, trog ã s - méu sè cñ p. NÕu kh«g cã trêg hîp µo trog b trêg hîp trª tho m th tých ph (6.8) kh«g thó bióu diô qu c c hµm sè s cêp ( Þh lý Trebsep). d VÝ dô : TÝh I s 6

îc: Gi i: I lµ tých ph d¹g (6.8) víi m V p b, m,, p ª, p dôg æi biõ ( ), ( ) t t ( ) t d t ( t ) 5, dt t t t Tõ ã t cã: t dt dt t I dt l rtgt C t t t t l f. TÝch ph c c hµm siªu viöt TÝch ph d¹g R( ; cos ) trog ã ( u v) rctg C si d (6.) t t m R ; - hµm h u tû èi víi c c biõ u vµ v, bo giê còg h u tû ho îc hê phðp thõ: t tg, ( ; ) (6.) PhÐp thõ µy tých ph (6.) vò d¹g: t t dt R ; t t t PhÐp thõ (6.) thêg hy vò tých ph hµm h u tû víi c c bióu thøc rêt cåg kòh. Ngêi t chø dïg phðp thõ (6.) khi mµ kh«g thêy îc c c co êg kh c Ó týh tých ph (6.). Trog mét sè trêg hîp su y cã thó dïg c c phðp thõ kh c gi m bít îc c c týh to cåg kòh cñ phðp thõ (6.): ) R dïg ( si ;cos ) R( si ;cos ), t cos, ; ( si ; cos ) R( si ;cos ), dïg t si, ( ; ) ) R 6

) R T g tù h tých ph c c hµm lîg gi c (6.), tých ph ( si ; cos ) R( si ;cos ), dïg t tg, ; ( sh ch) R ; d (6.) c c hµm Hypebol lîg gi c còg h u tû ho îc bëi phðp thõ tæg qu t: Khi ã t sh t VÝ dô : TÝh t th (6.) I t, ch t dt, d t d si cos 5 Gi i: Æt t tg, < < t Khi ã si t vµ t hë îc:, cos t dt, d t t dt I t 6t 9 t tg si cos VÝ dô : TÝh I d si cos 9cos ( t ) dt C C Gi i: ë y R( si ; cos ) R( si ; cos ) Æt t tg VÝ dô : TÝh < < ( t 9) tg t t I dtg dt l rctg C tg 9 t 9 l tg ( tg 9) rctg C 8 I ch sh d Gi i: BiÓu thøc díi dêu tých ph tho m R ( sh; ch) R( sh; ch) Æt t sh t hë îc 65

9 8 8 t t 9 ( sh ) sh dsh ( t ) t dt C sh sh C I 9 9 VÝ dô 5: TÝh I d si cos Gi i: èi víi tých ph µy, mét mæt t cã thó dïg phðp thõ ( tg ) dtg dtg tg I l tg C tg cos tg mæt kh c t l¹i cã thó týh h su: d d I si cos cos d tg C l si cos cos si cos II. Bµi tëp. Nguyª hµm vµ tých ph bêt Þh (6.- 6.): tg t, viõt: T m guyª hµm F ( ) so cho å thþ cñ ã i qu ióm ( ) 6.. f ( ) si( ), ( ; ), ( ;), R, ; 6.. f ( ), ( ; ), ( ;) 6.. f ( ) ( ) ; y TÝh c c tých ph su (6.-6.5): d 6.. ( )( ) d 6.5. ( ) 8 6.6. d 6.7. d d 6.8. 5 6.9. d 66

5 6.. d 6.. e d 6.. 6 d 6.. cotg d 6.. th d 6.5. coth d 6.6. Gi sö hµm F ( ) lµ guyª hµm cñ ( ) óg hy si:. NÕu f ( ) - hµm tuç hoµ, th ( ). NÕu f ( ) - hµm lî, th ( ). NÕu f ( ) - hµm ch½, th ( ) f trª R. C c kh¼g Þh su lµ F - hµm tuç hoµ. F - hµm ch½. F - hµm lî. 6.7. CMR, hµm f ( ) Sig kh«g cã mét guyª hµm µo trª R. T m têt c c c guyª hµm cñ c c hµm sè su (6.8-6.): 6.8. f ( ), R 6.9. f ( ), R 6.. f ( ) e, R 6.. f ( ) m( ; ), R b. C c ph g ph p c b týh tých ph TÝh c c tých ph 6.-6.6 b»g ph g ph p æi biõ: d 6.. si ( b) 6.. cos ( b) cos( b) d 6.. si s i( b)d α d 6.5. ( b) 67

d 6.6. 5 7 d 6.7. 5 9 6.8. 6.9. d d 6 7 6.. d 7 6.. 5 6.. 6.. d 6 d 5 d 6.. 5d 6.5. d 6.6. d 6.7. d d 6.8. d 6.9. 6.. 6.. d d 6.. sh ( ) d 68

d 6.. ch shch 6.. d ch 6.5. si 6 cos d si d 6.6. cos 6.7. d cos si 6.8. d d 6.9., < cos si si 6.5. d cos 6.5. 6.5. si d cos si d cos cos l 6.5. d l tg 6.5. d si e 6.55. tg cotg d cos 6.56. 6.57. cos d si e rcsi d rctg 6.58. d 69

6.59. rctg ( ) d rctge 6.6. d ch 6.6. 7 TÝh c c tých ph 6.6-6.96 b»g ph g ph p tých ph tõg phç: d ( ) 6.6. cos ( 5 7 ) d 6.6. si d 6.6. d cos si 6.65. cos 6.66. rctgd 6.67. rctgd d 6.68. si l tgd 6.69. rcsi d 6.7. ( ) 6.7. ( ) chd cos d 6.7. l d l 6.7. d 6.7. d 6.75. e si bd, b 6.76. e cosbd, b 6.77. e si d

6.78. si l d 6.79. cos l d rccos 6.8. e d 6.8. 8 e d 6.8. l d 6.8. 6 d 9 5 6.8. cos d 6 6.85. si d 6.86. 6.87. d 5 si e d 6.88. e d 6.89. e d 6.9. l d 6.9. si d 6.9. cos d 6.9. cos l( si ) d 6.9. rctg d rctg 6.95. d 6.96. rcsi d 6.97. T m hµm sè ( ), ( ; ) f. f tho m iòu kiö ( ), > 7

6.98. T m c c hµm f ( ), ( ; ) vµ g ( ), R, víi > iòu kiö f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( ) f g ( ) 6.99. T m c c hµm f ( ), ( ; ) vµ g ( ), R, víi > iòu kiö f f f ( ) g( ) 6 si ( ) g ( ) ( ) g ( ) 6.. T m hµm f ( ), ( ; ) vµ ( ), f f g, R tho m iòu kiö ( ) g ( ) ( ) g( ) cos si, tho m, tho m c. TÝch ph c c hµm h u tû TÝh c c tých ph hµm h u tû su (6.-6.6): d 6.. ( )( ) d 6.. 5 8 6.. d d 6.. 6 6.5. 6.6. d ( )( )( ) 5 ( )( ) d 7

d 6.7. 6 7 6 9 6.8. d 5 5 6.9. d 6.. d 6 5 5 d 6.. 6.. d 6.. 6.. 6.5. 6.6. 5 d ( )( ) d ( ) ( ) d 8 6 d ( ) d. TÝch ph c c hµm v«tû TÝh c c tých ph hµm v«tû su (6.7-6.): d 6.7. 6.8. 6.9. 6.. d d d 7

6.. d 6.. 6.. d 5 d d 6.. 6.5. d 6.6. d 6.7. d 6.8. 6.9. 6.. d ( ) d, 6 6.. ( ) d d d 6.. 6 6 6.. 6.. d d > 7

e. TÝch ph c c hµm siªu viöt TÝh c c tých ph hµm siªu viöt su (6.5-6.6): 6.5. si si d 6.6. si cos d 6.7. si ( ) cos( ) d 6.8. cos cos d 6.9. shsh7 d d 6.. sh ch si 6.. d cos si 6.. d cos cos 6.. d 5 si cos 6.. d si 6.5. cos d 6.6. si cos d 5 6.7. cos si d 6.8. cos si d 6.9. ch shd 6.5. sh chd 6 6.5. si cos d 6.5. d cos d 6.5. si cos 7 75

d 6.5. shch d 6.55. 5 ch 6.56. 6.57. si d ( cos ) d si ( cos ) cos si 6.58. d cos si si 6.59. d si d 6.6. cos 6.6. d cos d 6.6. cos si d 6.6. 7 cos si 8 d 6.6. ch sh 6.65. T m A, B, C tho m ¼g thøc: cos b si c cos bsi c d A B l cos bsi c C TÝh c c tých ph hµm siªu viöt su (6.66-6.67): si cos 6.66. d si cos si 6.67. cos si d d, cos bsi c b 76

7. TÝch ph c Þh vµ øg dôg I. Tãm t¾t lý thuyõt. TÝch ph c Þh, iòu kiö kh tých k Gi sö f ( ) lµ hµm sè c Þh trª o¹ [ b], τ { } τ ; k k < k < Κ < k b τ ho¹ch cñ o¹ ký [ b], ( < < < Κ ) [ i, i ] cñ ph ho¹ch lêy i [ i, i ] lµ mét ph ;. Trª mçi o¹ στ στ ξ vµ thµh lëp tæg tých ph (Riem): kτ ( f ; ξ, Κ ξ ) f ( ξ ), kτ i i i trog ã i i i. Gäi τ m lµ é b m cñ ph ho¹ch. NÕu tå t¹i h u h¹ giíi h¹ i kτ σ I τ τ i lim th gêi t ãi f ( ) lµ hµm kh tých trª [ b] Giíi h¹ I b f ( ) d ; vµ viõt: lim σ I τ τ îc hióu h su: víi mäi ε >, tå t¹i sè δ > k τ k k cñ [ ; b] cã é b m τ < δ, vµ víi c c so cho víi mäi ph ho¹ch { } τ ióm tuú ý [, ] ξ t Òu cã σ τ I < ε, tøc lµ: i i i k { } τ ξ ( ξ [ ] τ < σ σ < ε ) ε > δ > τ k k i i i, i τ I Theo Þh ghü, t Æt f ( ) d, f ( ) d f ( ) Þh lý ( iòu kiö cç kh tých): NÕu hµm sè kh tých trª o¹ µo ã th ã bþ chæ trª o¹ µy. k èi víi mçi ph ho¹ch τ { } τ cñ o¹ [ b] mét hµm sè bþ chæ f ( ), t Æt: b k k b d ; mµ trª ã c Þh 77

C c tæg cñ hµm f. Mi sup f i i kτ Sτ Sτ i S τ ( ), m if f ( ), i i ( f ) M, s s ( f ) sτ i i i τ τ i,, Κ, kτ, kτ mi i i vµ t g øg îc gäi lµ tæg trª vµ tæg díi Drbou Þh lý ( iòu kiö kh tých): Ó hµm giíi éi f ( ) kh tých trª [ ; b] iòu kiö cç vµ ñ lµ lim ( s ) S τ τ. τ VÝ dô : Chøg mih hµm f ( ) liª tôc trª [ ; b] th kh tých trª [ b] Gi i: Hµm f ( ) liª tôc trª [ ; b] th liª tôc Òu trª [ b] mäi ε >, tå t¹i > δ so cho víi mäi ióm [ ; b] [ ; b] ε < δ th f ( ) f ( ) <. b k τ k k V thõ Õu ph ho¹ch { } τ cñ [ b] sup f [ i; i ] [ i; ] i ( ) f ( ) ε, vµ v thõ mµ t cã: b k τ ε τ Sτ sτ i i i i b ( M m ) < ε i VÝ dô : TÝh tých ph k i d b»g tæg tých ph. ;. ;, tøc lµ víi vµ, khi tho m ; cã é b m τ < δ th Gi i: V hµm f ( ) liª tôc trª [ ; ] cho ª ã kh tých trª [; ] T cã thó chä c ch chi [ ; ] thµh phç Òu hu vµ chä c c ióm i ióm mót bª ph i cñ mçi o¹ chi [, ] ( ) f lµ: σ i i. ξ lµ, t cã tæg tých ph cñ hµm ( ) i i i i i i i i i ( ) ( )( ) 6 78

V vëy lim σ lim ( ) b. TÝh chêt tých ph TÝch ph c Þh ( ) b i. d b ( )( ) 6 b f d cã c c týh chêt su: ii. NÕu f ( ) kh tých trª [ ; b] th ã kh tých trª mäi o¹ [ *; b* ] [ ; b]. iii. TÝh cég týh cñ tých ph : NÕu hµm f ( ) kh tých trª c c o¹ [ ; c] ; [ c; b] th ã kh tých trª [ ; b] vµ: b c ( ) d f ( ) d f ( ) d c b f, iv. TÝh tuyõ týh cñ tých ph : NÕu hµm f ( ) kh tých trª [ b] èi víi mäi trª [ ; b] vµ: k, k,, Κ, b c λ R, hµm sè f ( ) b k λ f k k k k ( ) d λ f ( ) k v. TÝch c c hµm kh tých trª [ ; b] lµ hµm kh tých trª [ b] vi. NÕu f ( ) kh tých trª [ b] ; vµ b k k 7 ; th λ còg kh tých d if f ( ) > th hµm [ ; b] ;. f còg kh ( ) tých trª [ ; b]. vii. NÕu f ( ), g( ) lµ c c hµm kh tých trª [ ; b] vµ víi mäi [ ; b] cã f ( ) g( ) th : b f b ( ) d g( ) Trêg hîp Æc biöt, Õu f ( ) trª [ ; b] d th : Òu 79

8 b f ( ) d viii. NÕu f ( ) trª [ ; b], kh tých trª [ ; b] vµ tå t¹i [ ; b] t¹i ã f ( ) liª tôc vµ f ( ) > th b f ( ) d > i. NÕu f ( ) kh tých trª [ ; b] th f ( ) còg kh tých trª [ b] b ( ) d f ( ) d b f,. NÕu f ( ) kh tých trª [ b] hµm F( ) f ( t) dt vµ G( ) f ( t) dt liª tôc trª [ b] Õu f ( ) liª tôc t¹i [ ; b] F ( ) f ( ) G ( ) f ( ) vµ,. b b mµ ; vµ: ; th c c ;. Thªm vµo ã, th c c hµm còg kh vi t¹i VÝ dô : H y lµm râ tých ph µo trog sè c c tých ph su lí h : Gi i: C c hµm sè I si d, I si 5 si > si víi mäi ; cho ª I > I c. C«g thøc Newto-Leibiz 5 d 5 si vµ si Òu lµ c c hµm liª tôc trª ;, Þh lý. NÕu f ( ) lµ hµm kh tých trª [ ; b] vµ ( ) hµm µo ã cñ f trª [ ; b] th b f ( ) d F( b) F( ) F lµ mét guyª C«g thøc µy îc gäi lµ c«g thøc Newto-Leibiz. Ngêi t cß viõt ã díi d¹g:

vµ cã: b ( ) d F( ) b f vµ ãi F VÝ dô : TÝh tých ph b ( ) F( b) F( ) lµ phðp thõ Newto. I sh sh d Gi i: Theo b g guyª hµm, c«g thøc Newto-Leibiz, t cã: I l sh sh sh l sh VÝ dô 5: Chøg mih bêt ¼g thøc: Gi i: DÔ dµg thêy, víi mäi [ ;] sh sh sh ch l l e sh ch < d < t Òu cã: 9 9 9 MÆt kh c, c c hµm sè trog bêt ¼g thøc trª Òu liª tôc trª ( ;) 9 9 9 < < cho ª theo týh chêt bêt ¼g thøc cñ tých ph th : 9 d < d < VÝ dô 6: T m giíi h¹ Gi i: V tæg o¹ [ ;] cho ª: S α k S k 9 α 9 9 d Κ lim cñ d y S, α > α α lµ tæg tých ph cñ hµm ( α ) α α lim S d α α α f trª 8

d. C c ph g ph p týh tých ph c Þh d.. Ph g ph p æi biõ: Gi sö hµm sè ( ) cïg víi ¹o hµm () t f liª tôc trª [ ; b], hµm sè ( t) ϕ trª [ α; β ] so cho ( α ) ϕ( β ) b vµ liª tôc trª o¹ [ α; β ]. Khi ã, t cã: b β ( ) d f [ ϕ( t) ] ϕ () t f VÝ dô 7: TÝh I d ( > ) α ϕ - c Þh vµ liª tôc ϕ, vµ f ϕ () t c Þh dt [ ] Gi i: Æt si t, d costdt Khi ã t rcsi vµ do ã α rcsi, β rcsi, t : VËy lµ: I si t si si t cos tdt t costdt si tdt ( cos t) dt t si t 8 8 d.. Ph g ph p tých ph tõg phç: u u v v 6 NÕu ( ), ( ) lµ c c hµm liª tôc cïg c c ¹o hµm u ( ) v ( ) o¹ [ ; b] th : phç. b b b udv uv vdu, trª C«g thøc týh tých ph µy îc mg tª lµ c«g thøc tých ph tõg VÝ dô 8: TÝh tých ph I l d 8

vµ cã Gi i: I l d l d l VÝ dô 9: TÝh J ch cos d, N Gi i: TÝch ph tõg phç hi lç, t cã: J ch cos d sh cos shd cos chsi chd si sh ( ) J Tõ ph g tr h hë îc cñ J, t cã: VÝ dô : TÝh J J ( ) sh α α, α, l d, > Gi i: Hµm sè díi dêu tých ph f ( ) l ( ) lim f α ch cos d N si shd liª tôc trª kho g ( ;] T c Þh thªm f ( ) sï hë îc f ( ) liª tôc trª o¹ [ ;] dôg c«g thøc tých ph tõg phç, t cã: J α α α, l d l α α α Tõ c«g thøc truy håi võ hë îc, suy r: α l d J α,!!! ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) α α J d α α α J ( α ). p α, 8

e. C c øg dôg cñ tých ph c Þh e.. DiÖ tých b ph¼g B ph¼g D c Þh bëi: D { b, y y( ) } (h h 7.) cã diö tých: b ( ) S y d (7.) NÕu hµm sè y( ) thm sè ( t), y y( t), α t β, ( α ) ( β ) y () t th : bëi: β () t () t y cho díi d¹g ph g tr h (, b), S y dt (7.) α cã diö tých: bëi: Mét c ch tæg qu t, D lµ miò ph¼g c Þh D { b, y ( ) y y ( ) } (h h 7.) b ( y ( ) y ( ) ) S d (7.) NÕu miò ph¼g D cã h h qu¹t cog c Þh D { α ϕ β, r ( ϕ) r r ( ϕ) } trog ã, r r ( ) r ( ϕ) ϕ vµ r lµ c c ph g tr h thm sè cñ mðp qu¹t cog (h h 7.) cã diö tých: S β α ( r ( ϕ ) r ( ϕ )) dϕ (7.) O O y yy() D H h 7.. O y y y D b b ( ) ( ) y y H h 7.. y β D α H h 7.. VÝ dô : TÝh diö tých h h ph¼g Φ giíi h¹ bëi prbol y 6 7 vµ êg th¼g y (h h 7.). 8 Gi i: C c gio ióm: A( ; ), B( ;)

Theo c«g thøc (7.), t cã: S ( 7) ( ) ) 6 d ( 5 ) 5 d 9 O - y A B VÝ dô : KÎ tiõp tuyõ Õ Elip y t¹i 9 ióm C ;. TÝh diö tých tm gi c cog ABC (h h 7.5). H h 7. Gi i: Cug AC cã ph g tr h: y ( y) o¹ th¼g BC cã ph g tr h: y y ( y), Cho ª theo c«g thøc t g tù h (7.), æi vi trß, y, t cã: - y C O A - H h 7.5. B S ( ( y) ( y) ) dy t cã: Víi tých ph ( y) J t cã thó týh trùc tiõp: dy J y dy 5 y Cß èi víi tých ph J dy, su æi biõ y si t, t, 85

J 6 cos tdt ( cos t) dt Cuèi cïg t hë îc S J J VÝ dô : ióm M (, y )»m trª Hypebol tm gi c cog OAM (h h 7.6). Gi i: Ph g tr h to¹ é cùc cñ Hypebol hë îc khi thy r cosϕ, y r siϕ, t cã: r cos ϕ Gäi α lµ gãc AOM, tgα y p dôg c«g thøc (7.), t cã α α y dϕ tgϕ y S r d l l ϕ cos ϕ tgϕ. T m diö tých VÝ dô : TÝh diö tých h h ph¼g giíi h¹ bëi Atroit y Gi i: Do Atroit (h h 7.7) hë c c trôc to¹ é lµm trôc èi øg ª t chø cç týh phç diö tých S cñ miò ph¼g D»m trog phç t thø hêt, t sï cã: S S Ph g tr h thm sè cñ Atroit: si t y cos t, t Theo c«g thøc (7.) t cã: S () t () t y Do týh èi øg cñ ph g tr h () t, t còg cã: y y() t dt y O y A H h 7.6. A O y H h 7.7. M B 86

h, ã lµ cho ª S S Vµ h vëy y 8 () t () t dt ( y() t () t () t y () t ) ( cos t si t si t cos t) si si S 8 t cos tdt tdt 6 NÕu chóg t chø týh y() t () t S cos t si t dt. dt ( cos t) dt dt S dt t sï ph i týh tých ph cåg kòh e.. é dµi êg cog èi víi êg cog kh«g gi, víi ph g tr h thm sè: () t, y y() t, z z() t, t [ α; β ], trog ã ( t) y( t), z( t) trª [ α; β ], t cã c«g thøc týh é dµi: cã: β S y z α dt, lµ c c hµm kh vi liª tôc (7.5) èi víi êg cog ph¼g víi ph g tr h thm sè () t y y() t,, t 87

88 β S y α b dt (7.6) hy S y d (7.7) trog trêg hîp êg cog ph¼g cho díi d¹g ph g tr h hiö y y( ), b ; trog ã y ( ) lµ hµm kh vi liª tôc trª [ b] ;. Trêg hîp êg cog cho díi d¹g ph g tr h to¹ é cùc ( ϕ) α ϕ β r r, th sè β S r r dϕ α (7.8) VÝ dô 5: TÝh é dµi cñ Atroit y trog phç t thø hêt. Gi i: T îc tiõp óc víi Atroit trog vý dô víi ph g tr h thm si t, theo c«g thøc (7.6): y cos t, t S 9 si t cos si t costdt cos t t 9 e.. ThÓ tých cñ vët vµ diö tých mæt cog ThÓ tých vët cos si t dt t si t dt ThÓ tých V cñ vët trß oy do b ph¼g D c Þh bëi ( ) b. y y quy ug quh O: b ( ) V y d (7.9)