È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÁÏ ÆÆÁÆÏÆ ¹ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ¹ ÌÇÅ Ë Â ÏÊÀÌÁÃÀË ÍËÁÃÀË Å ÂÀÅ ÃÄ ËÁÃÀ ÅÀÉ ÆÁÃÀ ÁÁ ÌÅÀÅ ÊÌÁÏƵ Á ËÃÏÆ Òº Ã Ø Áº ÊÁ ÇË Â Å Ì Ì Ë ÏÆ È ÊÁÇ ÇÍ ÁÇÍÆÁÇÍ ¾¼¼  Š½ ¾º ÑÓÒ µ iµ ÌÓ Ø Ñ Õ Ò Ñ Ð Ù Ö º ÓÒØ Ø ÛÒ θ ÔÛ ØÓ Õ Ñ Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò Ø ÓÑ Ò ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ö ÓÙÑ Ø Ô Ñ ÙÒ ØÓÙ Ð Ø ÖÓÙ Ò x = l1 cos θ)º Å ØÖôÒØ Ô Ø ÓÖÖÓÔ ØÓÙ Ð Ø ÖÓÙ Ø m 1 Ò x,0) Òô Ø m Ò l,y) = l,l sinθ)º ÔÓÑ ÒÛ k ` m ` µ g v 1 = ẋ = l sin θ θ v = ẏ = l cos θ θ m 1 Ò Ø Ò Ö Ò Ø Ô T = 1 m 1 v 1 + 1 m v = 1 l msin θ + cos θ) θ = 1 l m1 + sin θ) θ ½µ À ÙÒ Ñ Ò Ö ÛÖôÒØ ØÓ Ñ Ò ØÓ ÔÔ Ó ØÓÙ Ð Ø ÖÓÙ Ò V = 1 k x + m g l sin θ = 1 k l 1 cos θ) + m g l sin θ ¾µ ÙÒ ÖØ Lagrange Ö Ø L = T V = 1 l m[1 + sin θ)] θ m g l sin θ 1 k l 1 cos θ) µ iiµ ³ ÕÓÙÑ ÙÒ Ôô Ü Û Ò Ò L θ = l m[1 + sin θ)] θ ) d L θ = l m[1 + sin θ)] θ + l m sinθ) cos θ θ L θ = l m sinθ) cos θ θ m g l cos θ k l 1 cos θ) sin θ d L L θ θ = 0 l m[1 + sin θ)] θ 1 l m sinθ) θ + m g l cos θ + k l 1 cos θ) sin θ = 0 [1 + sin θ)] θ sinθ) θ + g l cos θ + k 1 cos θ) sin θ = 0 m iiiµ Ñ Ö Ø Ð ÒØô ØÓÙ Ð Ø ÖÓÙ Ñ Ø ÓÑ Ò ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÕÓÙÑ θ 1 ÙÒ Ôô Ü Û Ò ÔÖôØ Ø Ü ØÓ θ Ö Ø 4 θ + g l = 0 θ = g l t + θ 0 θ = g l t + θ 0 t + θ 0
 Š¾ ¾º ÑÓÒ µ Ç ÙÒØ Ø Ñ Ò ØÛÒ ØÖ ôò Ñ ÞôÒ ØÓ Ë Ñ ÖÕ ØÓ m 1 ØÓÒ Ò ÜÓÒ Ò Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ñ Ø Ò ÔÐ ÙÖ 4a Ò ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ó ÐÓ Ò l + l = 4a) l = 8aµ r 1 = 0,0), r = 4a,0), r 3 = a, ) 8a) a) = a,a) m 1 m 3 a a a a m P ÙÒ Ôô r cm = 3 1 m i r i 3 1 m i = 1 4am + a)m),a)m)) = a,a) 4m ËØÓ Ë ØÓÙ ÃÅ ÕÓÙÑ r 1 = a, a), r = +a, a), r 3 = 0,+a) ËØÓ Ó Ë Ó ÙÒ Øô ØÓÙ Ø ÒÙ Ø ÖÓÔ Ö Ò ÒÓÒØ Ô 3 ) I ij = m a r a δ ij r ai) r aj), i,j = 1,,3 ½¼µ ÔÓÑ ÒÛ 3 ) I 11 = m a y a = m a + m a + m a = 4ma 3 ) I = m a x a = m 4a + m 4a = 8ma I 33 = I 11 + I = 1ma 3 I 1 = m a x a y a = m a) a) + m a)+a) = 0 I 13 = I 3 = 0 ½½µ I = 4ma 0 0 0 8ma 0 0 0 1ma ½¾µ ii)³ ØÛ v Ñ Ø ÓÖ Ø Õ Ø Ø ØÓÙ ÃÅ Ñ Ø Ø Ò ÖÓ ω = ω 1,ω,ω 3 ) ÛÒ Ø Õ Ø Ø Ø ÔÐ Ø ÖÑ Û ÔÖÓ ÜÓÒ ÔÓÙ Ô ÖÒ Ô ØÓ Ãź À ÖÕ ÓÖÑ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ñ ÛÒ Ñ Ø ÓÑ Ò Ò P i = P ê z Ø Ð ÓÖÑ P f = m + m + m) v = 4m vº Ô Ø Ø Ö Ø ÓÖÑ Ô ÖÒÓÙÑ P i = P f v = P 4m êz = P 4m 0,0,1) ½ µ À ÖÕ ØÖÓ ÓÖÑ Ò L i = r P = ê x ê y ê z a a 0 0 0 P = P a ê y + ê x ) = P a 1,,0)
Ø Ð ØÖÓ ÓÖÑ Ò Ø Ô L = I Ω L f = 4ma ω 1,ω,3ω 3 ) ÔÓÑ ÒÛ Ô Ø Ø Ö Ø ØÖÓ ÓÖÑ L i = L f P a 1,,0) = 4ma ω 1,ω,3ω 3 ) ω 1,ω,3ω 3 ) = P 1,,0) ω = P 4ma iii) À Ø Õ Ø Ø Ø Ñ Þ m 1 Ñ Û Ñ Ø Ø ÖÓÙ v 1 = v + ω r 1 = P 4m 0,0,1) + P ê x ê y ê z 4ma 1 1 0 a a 0 = P 4m 0,0,1) + P 4m 0,0,1) = 0  Š¾º ÑÓÒ µ 4ma 1,1,0) i) ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÒ Ø ÔÓ º ³ ÕÓÙÑ F ext = kr l) R = 0 d ω = 0º À Ò Ñ Coriolis ω r Ò Ø ØÓ ÖÑ ÔÛ Ò Ø ØÓ Õ Ñ Ø Ò Ô Ö Þ Ø Ò Ò º À ÙÒ ÓÖ Ø Ù ÒØÖÓÙ ω ω r) Ò Ø ØÓ Õ Ñ Ñ ØÖÓ Ø Ò m ω r sin θ ÙÒ Øô Ø Ø Ñ Ó ØÓÙ ÖÑ ØÓ Õ Ñ ØÖÓ m ω r sin θ ÓÖ ÔÖÓ Ø ÜÛº ÔÓÑ ÒÛ Ü Û Ò ØÓ Ë ØÓÙ ÖÑ ØÓ Ò ) k m r = kr l) + m ω r sin θ r = m ω r + k l! x! r µ m k r -! x[! x r] ii) Ü Ø ÓÙÑ Ô Ö ÔØô µ k m ω < 0 Ω = ω k m Ü Û Ò Ö Ø r = Ω r + k l Ñ Ò Ð Ð ÓÑÓ ÒÓ ÙÒ Ñ Ñ Ö Ð µ rt) = A cos Ωt + φ) + k l Ω ÓÔÓ r0) = l,ṙ0) = 0 Ò φ = 0,A = l k l Ω Ø Ð rt) = l k l ) Ω cos Ω t) + k l Ω ¾¼µ ØÓ ôñ Ð Ø Ð ÖÑÓÒ Ø Ð ÒØÛ ÙÕÒ Ø Ø Ωº µ k m ω > 0 Ω = k m ω > Ü Û Ò Ö Ø r = Ω r + k l ¾½µ Ñ Ò Ð rt) = A cosh Ωt + φ) + k l Ω ÓÔÓ r0) = l,ṙ0) = 0 Ò φ = 0,A = l k l Ω Ø Ð rt) = l k l ) Ω cosh Ω t) + k l Ω ¾¾µ ¾ µ
µ k m ω = 0 Ü Û Ò Ö Ø Ñ Ò Ð r0) = l,ṙ0) = 0µ r = +k l ṙ = +k lt r = l + k l t  Š¾º ÑÓÒ µ iµ³ ÕÓÙÑ p = L ẋ = m ẋ + λx ẋ = p λx m ÔÓÑ ÒÛ H = ẋp L = ẋm ẋ + λx) 1 m ẋ λẋx + k x = 1 m ẋ + k x p λx) = + k x = p m m λ ) λ m p x + m + k x iiµç Ü ô Ò Ò iiiµ ṗ = H x = λ λ ) m p m + k x ẋ = H p = p m λ m x [ẋ,ṗ] = ẋ ṗ p x ṗ p ẋ x = 1 ) λ m m + k λ m = k m
ÌÖ ÛÒÓÑ ØÖ ÙÒ ÖØ sinθ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ ¼µ cosθ + φ) = cos θ cos φ sinθ sin φ ½µ π π sin = cos = 3) 6) π π sin = cos 6) 3) π π sin = cos = 4) 4) 3 = 1 sinθ) = sin θ cos θ ¾µ µ cosθ) = cos θ sin θ ÇÐÓ Ð ÖôÑ Ø dx x + bx + c = = ln b + x + ) x + bx + c ÌÍÈÇÄÇ ÁÇ Ü ô Euler Lagrange ) d L L = 0, i = 1,...,N ¾µ q i q i ËÙÒ ÖØ Hamilton H = N q i p i L i=1 q i = H p i, ṗ i = H q i µ Ì ÒÙ Ø ÖÓÔ Ö Ò I ij = dm r ) δ ij r i r j, i,j = 1,,3 Ü ô Euler I 1 ω 1 + I 3 I ) ω 3 ω = τ 1 I ω + I 1 I 3 ) ω 1 ω 3 = τ I 3 ω 3 + I I 1 ) ω ω 1 = τ 3 Ò ÔØÙ Ñ Ø Ö cos x = 1 1 x + 1 4 x4 +... sin x = x 1 6 x3 + 1 10 x5 +... ÈÓÐ ÙÒØ Ø Ñ Ò Ì Õ Ø Ø ¾Ó Æ ÑÓ ØÓÙ Æ ØÛÒ Ñ Ö Ò Ø Ñ Ò ÓÖ m d r = F ext m d R m ω v m d ω r m ω ω r) v = ṙ ê r + r θ ê θ v = ṙ ê r + r θ ê θ ÊÓÔ Ö Ò Ó Û ÔÖÓ ÒØÖÓµ I = 1 4 M L Ê Ó Û ÔÖÓ ÒØÖÓµ I = 1 1 M L Ê Ó Û ÔÖÓ ÖÓµ I = 1 3 M L È Ö ÐÐ ÐÓ ÜÓÒ I = I CM + M R ¼µ ½µ Ð Poisson [f,g] = N i=1 f g g ) f p i q i p i q i df = [H,f] + f t