ØÚ ÔÐ ËÑÒ ¼»¼»¾¼½½ ½½»¼»¾¼½½ Æ Ø ÙÒ ÔÖ ÒØÖÑÓ ÙÑ ØÔÓ ÖÒ ÒØÖ ÒØÖÒ Ó Ñ Ó ÕÙÐ ÙØÐÞÖÑÓ ÔÒ ÔÖÓÔÓ Ó ½ Ò ÍÒ ½½º ½ ÉÙÖÐ ØÖÓ Ò ÖØÚ ÖÙÒ ÖØÚ ÓÒØÖÖÑÒØ Ó ØÖÒÙÐÓ ÒÑ ØÓÓ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÓÒÚÜÓµ ÑØ ÙÑ ÖÙÐÓ Ô ÒÓ ÔÓÖ Ù ÚÖØ º ÈÖ ÚÖ Ó Ø ØÓÑÖ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÓ ÔÖØÒÒØ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ ÙÖ ½µº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÞÑÓ ÕÙ ÙÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ Ò ÖØÚÐ Ü ØÖ ÙÑ ÖÙÐÓ Ô ÒÓ ÔÓÖ Ù ÚÖØ º ÑØÓ ÔÖØÖ ÙÒ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÕÙ ÙÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÓÖ Ò ÖØÚÐ ÒØÓ Ó ÖÙÐÓ ÕÙ Ô ÔÓÖ Ù ÚÖØ ÒÓ Ö ÓÖÚÒØ ÒÓÑÒÓ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓº ÈÓÑÓ ÑÓ ØÖÖ º ÔÖÓÐÑ Ô Ò µ ÕÙ ÙÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ Ò ¹ ½
¾ ÙÖ ½ ÙÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÒÓ¹Ò ÖØÚк ÖØÚÐ ÑØÖÞ Ù ÐÓ ÒØÖ ØÖÑ Ñ ÙÑ ÒÓ ÔÓÒØÓ Ó ÖÙÒÒØÖÓ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓº ÈÓÖÑ Ò ÔÐ ÕÙ ØÑÓ Ñ ÑÒØ ÖØÖÞÓ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ Ò ÖØÚ ÙÖ ÑÓ ØÖ¹ Ñ ÖÐ Ñ ØÐ ÈÖÓÔÓ Ó ½º ÍÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÓÒÚÜÓ ÐÓ Ò ÖØÚÐ ÙÑ ÕÙÐÕÙÖ ÓÒ ÙÖ ÓÖ Ø Ø (a)  +Ĉ = 180 º (b)  = º ÈÖÓÚº ËÙÔÓÒÑÓ ÒÐÑÒØ ÕÙ Ò ÖØÚÐ ÙÖ ¾µº Ò¹ ØÓ ÔÐÓ ØÓÖÑ Ó ÒÙÐÓ Ò ÖØÓ ØÑÓ Â =  +Ĉ = 1 2 + 1 = 180. 2 ÊÔÖÓÑÒØ ÙÖ µ ÙÔÓÒÑÓ ÔÖÑÖÓ ÕÙ Â = º ÓÑÓ ÓÒÚÜÓ Ó ÚÖØ ØÓ ÒÓÑÓ ÓÒ Ùع ÚÑÒØ Ù ÕÙ ØÑ ØÙÓ ÙÑ Ñ ÑÓ ÐÓ ÖØ º ËÒÓ θ Ó ÚÐÓÖ ÓÑÙÑ Ó ÒÙÐÓ Â ØÑÓ ÕÙ ØÓ ÑÓ ÓÖ Ó ÖÓ ÔÞ θ ÓÖ º ÄÓÓ Ó ÖÙÐÓ ÖÓ ÔÞ ÖÙÒ ÖØÓ º
ýö ÙÖ ÈÐÒ ÙÖ ¾ Ò ÖØÚÐ Â +Ĉ = 180  = º ÙÖ Â = Ò ÖØÚк ËÙÔÓÒÑÓ ÓÖ ÕÙ Â + Ĉ = 180 ÙÖ µ ÓÒ Ö Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ º Ë ØÚÖ ÒÓ ÒØÖÓÖ Ó Ñ ÑÓ α = {E}º ÈÐÓ ØÑ (a) ØÑÓ Â +Ê = 180 =  +Ĉ, Ê = Ĉ ÙÑ ÓÒØÖÓ Ó ØÓÖÑ Ó ÒÙÐÓ ÜØÖÒÓº Ë ÓÖ ÜØÖÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÑÓ ÙÑ ÓÒØÖÓ Ò ÐÓº ÆÓ ÕÙ Ù ÔÖ ÒØÑÓ Ù ÔÐ ÑÔÓÖØÒØ ÔÖÓÔÓ Ó Ñº ÈÖ ÔÖÑÖ Ð ÔÖ ÑÓ ÙÒØ ÒÓÑÒÐØÙÖ Ó ØÖ¹ ÒÙÐÓ ÖØÓ ÙÖ µ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÒÓ¹ÖØÒÙÐÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÓÖÑÓ ÔÐÓ Ô ÐØÙÖ º ÈÖÓÔÓ Ó ¾º Ñ ØÓÓ ØÖÒÙÐÓ ÙØÒÙÐÓ Ó ÓÖØÓÒØÖÓ ÓÒ ÓÑ Ó ÒÒØÖÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÖØÓº
E ÙÖ Â + = 180 Ò ÖØÚк H c H b H H a ÙÖ Ó ØÖÒÙÐÓ ÖØÓ H a H b H c º ÈÖÓÚº ÎÑÓ ÒÓ ÖÖÖ ÙÖ º ÓÑÓ HĤa +HĤc = 90 +90 = 180 Ù ÔÖÓÔÓ Ó ½ ÕÙ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ HH a H c Ò ÖØÚк ÈÓÖ¹ ØÒØÓ ÒÓÚÑÒØ ÔÓÖ ÕÙÐ ÔÖÓÔÓ Ó ØÑÓ HĤaH c = H H c = H b = 90 Â. ÈÓÖ ÓÙØÖÓ ÐÓ ÕÙ HĤa +HĤb = 180 ØÑÓ HH a H b ØÑÑ Ò ÖØÚк ÈÓÖØÒØÓ ØÑÓ ØÑÑ HĤaH b = HĈH b = H c Ĉ = 90 Â. ÈÖÓÚÑÓ ÒØÓ ÕÙ HĤaH c = HĤaH b ºº Ó ÑÒØÓ HH a ØÖÞ Ó ÒÙÐÓ H c H a H b Ó ØÖÒÙÐÓ ÖØÓº ÒÐÓÑÒØ HH b HH c Ó ØÖÞ Ó ÓÙØÖÓ Ó ÒÙÐÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÖØÓ ÑÒÖ ÕÙ Ù ÔÓÒØÓ ÒØÖ Ó H Ó ÓÖØÓÒØÖÓ µ Ó ÒÒØÖÓ H a H b H c º
ýö ÙÖ ÈÐÒ ÆÓ ÙÒ ÔÐÓ Þ Ö ÔØÓ ÙÒØ ØÙÓ Ó ÒÓ ÔÐÒÓ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÙÑ ÔÓÒØÓP ÒÓ ØÙÓ ÓÖ ÕÙÐÕÙÖ ÖØ ÙÔÓÖ¹ Ø Ó ÐÓ ÑÖÑÓ Ó ÔÓÒØÓ E F Ô ÔÖÔÒÙÐÖ Ü P Ö ÔØÚÑÒØ Ó ÐÓ º Ç ØÖÒÙÐÓ EF Ñ ÓØÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÔÐ P Ñ ÖÐÓ º ÈÓÖ ÜÑÔÐÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÖØÓ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÙÖ µ Ó ØÖÒÙÐÓ ÔÐ Ó ÓÖØÓÒØÖÓ Ó ØÖÒÙÐÓº Ç Ö ÙÐØÓ ÙÖ ÓÒÓ ÓÑÓ Ó ØÓÖÑ ËÑ ÓÒ¹ÏÐÐ ÜÔÐ ÕÙÒÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÔÐ ÙÑ ÔÓÒØÓ ÒÖÓ ºº ØÐ ÕÙ E F Ó ÓÐÒÖ µº ÈÖÓÔÓ Ó ËÑ ÓÒ¹ÏÐеº Ó ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÙÑ ÔÓÒØÓ P ÒÓ ØÙÓ ÓÖ ÖØ ÙÔÓÖØ Ù ÐÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÔÐ P Ñ ÖÐÓ ÒÖÓ P ØÚÖ ÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ º ÈÖÓÚº Ñ ÕÙ P Ø ØÙÓ ÓÖ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Ò ÔÓ Ð ÕÙ P Ø ØÙÓ Ñ ÙÑ Ö ÒÙÐÖ ÓÙ Ñ ÜØÖÓÖ Ó ØÖÒÙÐÓ º ÒÐÓ¹ ÑÒØ Ñ ÕÙ Ó ØÖÒÙÐÓ ÔÐ P Ñ ÖÐÓ ÔÓ Ö ÒÖÓ P Ú Ö ÜØÖÓÖ Ó ØÖÒÙÐÓ ØÖ ØÙÓ Ñ ÙÑ Ø Ö ÒÙÐÖ º ÈÓÖØÒØÓ ÔÓÑÓ Ñ ÔÖ ÒÖÐ ÙÔÓÖ ÕÙ P ÜØÖÓÖ Ó ØÖÒÙÐÓ Ø ØÙÓ Ò ÖÓ ÒÙÐÖ ÙÖ µº ËÑ Ö ÔØÚÑÒØ E F Ó Ô ÔÖÔÒÙÐÖ Ü P ÖØ ÙÔÓÖØ Ó ÐÓ º ÈÓÑÓ ØÑÑ ÙÔÓÖ Ñ ÔÖ ÒÖÐ ÕÙ E ØÓ ÓÖ Ó ÐÓ Ö ¹ ÔØÚÑÒØ Ñ ÕÙ F Ø ÓÖ Ó ÔÖÓÐÓÒÑÒØÓ Ó ÐÓ º ÓÑÓ P F = PÊ = 90 Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ PFE Ò ÖØÚк ÒÐÓÑÒØ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ PE ØÑÑ Ò ÖØÚк ËÙ ÕÙ P PF = P F P = Ê FÊ,
F P E ÙÖ ÖØ ËÑ ÓÒ¹ÏÐк ºº P = PF Ê = FÊ,E F Ó ÓÐÒÖ. ÈÓÖ Ñ ÒÓØ ÕÙ PF = 180 ÑÓÓ ÕÙ P = PF P + = 180 P Ò ÖØÚÐ. Æ ÒÓØ Ù Ó Ñ ÕÙÒÓ P ØÚÖ ÓÖ Ó ÖÙÐÓ Ö¹ ÙÒ ÖØÓ ÖÑÓ ÕÙ ÖØ ÕÙ Ô ÔÐÓ ÔÓÒØÓ E F ÖØ ËÑ ÓÒ¹ÏÐÐ P ÖÐØÚ º ÎÓÐØÒÓ Ù Ó Ó ÔÖ ÖÓ ÒÐ Ø Ó Ó ÖÚÑÓ ÓÖ ÕÙ ÒÑ ØÓÓ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÓÒÚÜÓ ÔÓ Ù ÙÑ ÖÙÐÓ ØÒÒØ ØÓÓ Ó Ù ÐÓ Ó ÐØÓÖ ÔÓ ÓÒ ØÖÙÖ ÙÑ ÜÑÔÐÓ ÐÑÒصº ÉÙÒÓ ØÐ ÓÓÖÖÖ ÖÑÓ ÕÙ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ ÖÙÒ ÖØÚÐ ÕÙ Ó ÖÙÐÓ ØÒÒØ Ù ÐÓ Ó ÖÙÐÓ Ò ÖØÓ ÒÓ ÕÙÖÐ ØÖÓº Ç ØÓÖÑ ÙÖ ÓÒÓ ÓÑÓ Ó ØÓÖÑ ÈØÓØ ½ ÙÑ ÖØÖÞÓ ØÐ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ ½ Ô ÀÒÖ ÈØÓØ ÒÒÖÓ ÖÒ Ó ÙÐÓ ÎÁÁº
ýö ÙÖ ÈÐÒ Ò ÖØÚ º ÌÓÖÑ ÈØÓصº ÍÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ ÓÒÚÜÓ ÐÓ ÖÙÒ ÖØÚÐ + = +. ÈÖÓÚº ËÙÔÓÒ ÔÖÑÖÓ ÕÙ ÖÙÒ ÖØÚÐ ÑM,N,P,Q Ö ÔØÚÑÒØ Ó ÔÓÒØÓ ØÒÒ ÓÑ Ó ÖÙÐÓ Ò ÖØÓ Ñ º M Q P N ÙÖ ÓÑ Ù Ó ÐÓ ÓÔÓ ØÓ ÖÙÒ ÖØÚк + = (M + M)+(P + P) = Q+ N + N + Q = (Q+ Q)+(N + N) = +. ÊÔÖÓÑÒØ ÙÔÓÒÑÓ ÕÙ + = + º Ë ÒÓ ÓÖ ÖÙÒ ÖØÚÐ Ó ÖÙÐÓ Γ ØÒÒØ Ó ÐÓ ÒÓ ØÒÒ Ó ÐÓ º Ë E Ó ÔÓÒØÓ ÓÖ ÑÖÖØ ØÐ ÕÙ E ØÒÒ Ó ÖÙÐÓ Ò ÖØÓ Γ Ò ÙÖ ØÑÓ ÓÒ ÖÒÓ Ó Ó Ñ ÕÙ E Ø ØÙÓ ÒØÖ Ó ÓÙØÖÓ Ó ØÓØÐÑÒØ Ò ÐÓÓµº ÈÐÓ ÕÙ ÞÑÓ Ñ Ù ÕÙ + E = E + º ÓÑÓ + = + Ù ÕÙ E = E = E,
E ÙÖ ÖÙÒ ÖØÚÐ ÓÑ Ù Ó ÐÓ ÓÔÓ ØÓ º ÓÙ Ò ÕÙ = E+ E ÓÒØÖÞÒÓ ÙÐ ØÖÒÙÐÖ ÒÓ ØÖÒÙÐÓ Eº ÈÖÓÐÑ ½º Ë ÙÑ ÕÙÖÐ ØÖÓ Ò ÖØÚÐ E Ó ÔÓÒØÓ ÒÓÒØÖÓ Ù ÓÒ º ËÑ Ò M,N,P,Q Ö ÔØÚÑÒØ Ó Ô ÔÖÔÒÙÐÖ Ü E Ó ÐÓ,,,º ÈÖÓÚ ÕÙ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ MNPQ ÖÙÒ ÖØÚÐ Ù ØÓ Ù Ó ØÓ Ó ÕÙÖÐ ØÖÓ EPN PEQ ÖÑ Ò ÖØÚ ÔÖ ÑÓ ØÖÖ ÕÙ N PE = Q PE ÖÙÑÒØ ÒÐÓÑÒØ ÔÖ Ó Ñ ÚÖØ MNPQ Ù Ñ Ù Ó Ö ÙÐØÓ Ó ÔÖÓÐÑ ÒØÖÓÖµº ¾º ËÓÖ ÐÓ Ó ØÖÒÙÐÓ ÙØÒÙÐÓ ÓÒ ØÖÙÑÓ ÙÑ ÖÙÐÓ ØÒÓ Ó ÐÓ ÔÓÖ ÑØÖÓº ÈÖÓÚ ÕÙ ØÖ ÖÙÐÓ ØÑ ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ ÓÑÙѺ º Ë ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÙØÒÙÐÓ ÖÙÒÒØÖÓ O Ñ H b H c Ó Ô ÐØÙÖ Ö ÔØÚÑÒØ ÖÐØÚ Ó ÐÓ º ÈÖÓÚ ÕÙ µ ĤbH c = ĤcH b = Ĉº µ O H b H c º
ýö ÙÖ ÈÐÒ º ÓÒ Ö ÒÓ ÔÐÒÓ ÕÙØÖÓ ÖØ ÕÙ ÒØÖ ØÑ Ù Ù Ø ÕÙ ÒÓ ØÖ Ô ÒÓ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓº ÈÖÓÚ ÕÙ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Ó ÕÙØÖÓ ØÖÒÙÐÓ ÕÙ Ø ÖØ ØÖÑÒÑ Ô Ñ ØÓÓ ÔÓÖ ÙÑ Ñ ÑÓ ÔÓÒØÓº º Ó ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÓÑ ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Γ Ñ P ÙÑ ÔÓÒØÓ ØÙÓ ÓÖ Ó ÖÓ Γ ÕÙ ÒÓ ÓÒØÑ Ó ÚÖØ Ó Ô ÔÖÔÒÙÐÖ Ü P ÖØ ÙÔÓÖØ Ó ÐÓ º Ë Q P Ó ÓÙØÖÓ ÔÓÒØÓ ÒØÖ Ó ÖØ P ÓÑ Ó ÖÙÐÓ Γ r ÒÓØ ÖØ ËÑ ÓÒ¹ÏÐÐ P Ñ ÖÐÓ ÔÖÓÚ ÕÙ r Q Ù ØÓ ÓÑ Ó ÖÚÒÓ ÕÙ P Q = PĈµº º ËÑ ÙÑ ØÖÒÙÐÓ ÓÑ ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Γ P P ÔÓÒØÓ ØÙÓ ÓÖ Ó ÖÓ Γ ÕÙ ÒÓ ÓÒØÑ Ó ÔÓÒØÓ º Ë r r ÒÓØÑ Ö ÔØÚÑÒØ ÖØ ËÑ ÓÒ¹ÏÐÐ P P Ñ ÖÐÓ ÔÖÓÚ ÕÙ Ó ÒÙÐÓ ÒØÖ r r ÙÐ ÑØ Ñ Ó ÖÓ PP Γ ÕÙ ÒÓ ÓÒØÑ Ó ÚÖØ Ù ØÓ Ù Ó Ö ÙÐØÓ Ó ÔÖÓÐÑ ÒØÖÓÖµº º ÍÑ ÔÓÐÓÒÓ ÓÒÚÜÓ Ò ÖØÚÐ Ü ØÖ ÙÑ ÖÙÐÓ Ô ÒÓ ÔÓÖ Ù ÚÖØ ØÓ Ó ÖÙÐÓ ÖÙÒ ÖØÓ Ó ÔÓÐÓÒÓº ÈÖÓÚ ÕÙ ÙÑ ÔÓÐÓÒÓ ÓÒÚÜÓ Ò ÖØÚÐ ÑØÖÞ Ù ÐÓ ÓÒÓÖÖÑ Ñ ÙÑ ÒÓ ÔÓÒØÓº