SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS Further Civil Engineering Mathematics and Computing Autumn Semester 2011 12 2 hours Ò Û Ö ÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ º ÓÙ Ö Ú ÒÓØ ØÓ Ò Û Ö ÑÓÖ Ø Ò ÓÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÝÓÙ Ó ÓÒÐÝ ÝÓÙÖ Ø ÓÙÖ Û ÐÐ ÓÙÒØ º ½ µ Í Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ Ø ÒØ ØÝ L L cos mπx L cos nπx L dx = 0, m n L, m = n ¼º 2L, m = n = 0º ½¾ Ñ Ö µ Á Ö Ö Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø ÕÙ Ö Ó Ø Ò Ø ÒØ Ò ÓÙ Ú ÐÓ ØÝ Ø Ò Ø Ú ÐÓ ØÝv(t) Ó Ñ m ÖÓÔÔ ÖÓÑ Ú Ò Ø Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ m dv dt = mg kv2 Û Ö g = 9.8 Ñ» 2 Ø Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ð Ð Ö Ø ÓÒ Ò k = 0.125»Ñ Ø Ö Ö Ø Ò Ó Òغ Ä Ø v(0) = 0 Ò m = 0.5 º Í Ø ÓÙÖØ ¹ ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Û Ø h = 0.1 ØÓ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ø Ú ÐÓ ØÝv(0.2)º ÏÓÖ ÓÖÖ Ø ØÓ ÓÙÖ Ñ Ð ÔÐ º ½ Ñ Ö µ 1 Turn Over
¾ µ Ì ÔÓÛ Ö Ó Ò Ò Ò Ô Ò ÓÒ ØÛÓ Ô Ö Ñ Ø Ö x Ò y Ø ÖÓÙ Ø ÓÖÑÙÐ x P = 3 y. ÍÒ Ö Ð ÛÓÖ Ò ÓÒ Ø ÓÒ x = 28 Ò y = 10 Ò Ö ØÖ ÖÝ ÙÒ Ø µº Ì ÕÙ ÒØ ØÝ x Ù Ø ØÓ Ò ÒÖ Ó 10 ±º Í Ø Ñ ÐÐ ÖÖÓÖ ÓÖÑÙÐ ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ô Ö ÒØ Ò Ò Ò y ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÔÓÛ Ö Ó Ø Ò Ò Ó ÒÓØ Ò º ½¼ Ñ Ö µ µ Ì Ø ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÔÔÐ ØÓ Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ Ø Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒØ ÓÒ y(x) Ø x = 1 Û Ø ØÛÓ Ö ÒØ Ø Ô¹Ð Ò Ø h ¼º½ ¼º¾ y(1) ¼º ½½ ¼ ¼º ½½¾ Í Ø Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ú ÐÙ ÓÖ h Ø Ø Û ÐÐ Ò ÙÖ Ò ÙÖ Ý Ó Ñ Ð ÔÐ Ò Ø Ú ÐÙ Ó y(1) ÐÙÐ Ø Ý Ø Ø ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó º ÜÔÐ Ò Û Ý Ø ÕÙ Ø ÓÒ 3x cosx 1 = 0 ÖÓÓØ Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð (0.55;0.75)º È Ö ÓÖÑ ÓÙÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ¹ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø ÖÓÓغ ÏÓÖ ÓÖÖ Ø ØÓ Ø Ö Ñ Ð ÔÐ º 2 Continued
µ Á w = 1/r Ò r = x 2 +y 2 +z 2 Ù Ø Ò ÖÙÐ ØÓ ÐÙÐ Ø x w x +y w y +z w z. µ Ò Ø Ö Ø Ø Ö ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÖÑ Ó Ø Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ y 4x x 2 +1 y + 6 y = 0, y = y(x), x 2 +1 Ù Ø ØÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ y(1) = 1 Ò y (1) = 0º ½¼ Ñ Ö µ Ì Ò Ø Ö Ò ÓÖÑ Ó Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ú Ø Ú Ó ÙÒ¹ Ø ÓÒ U(x,t) Ò ÛÖ ØØ Ò ( ) U = U ( ) i,j+1 U i,j 2 U, = U i 1,j 2U i,j +U i+1,j, t k x 2 h 2 i,j i,j Û Ö U i,j = U(ih,jk)º µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÜÔÐ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ U t = 2 U 5U, U = U(x,t), x ½µ 2 Ú Ò Ò Ø Ù Ù Ð ÒÓØ Ø ÓÒ U i,j+1 = ru i 1,j +(1 2r 5k)U i,j +ru i+1,j, µ Û Ö r = k/h 2 Ò k Ò h ÒÓØ Ø Ø Ñ Ò Ô Ø Ð Ø Ô Ö Ô Ø Ú Ðݺ Á Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ø Û Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Ö U(x,0) = 1+x(1 x), 0 x 1, U(0,t) = U(1,t) = 0, t 0, Ù Ø ÜÔÐ Ø Ñ Û Ø h = 0.2 Ò k = 0.002 ØÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ó U(x,t) Ø t = 0.002 ÛÓÖ Ò ÓÖÖ Ø ØÓ Ø Ö Ñ Ð ÔÐ º µ Ò Ø ÓÙÖ Ö Ö ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó f(x) = x 3 Ò Ø ÒØ ÖÚ Ð ( π,π)º ½ Ñ Ö µ Í Ø ÓÚ Ö Ø x = π/2 ØÓ ÓÛ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ π 3 16 = [ ] 6 (2k +1) π2. 3 2k +1 k=0 ½¼ Ñ Ö µ 3 Turn Over
µ Í Ø Ñ Ø Ó Ó Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ò Ó ÐÐ Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ 2 Φ Φ = Φ+ x2 y. Ë ÓÛ Ø Ø Ø Ò Ö Ð ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Φ(0,y) = Φ(π,y) = 0 Ñ Ý ÛÖ ØØ Ò Φ(x,y) = B n e (1+n2 )y sinnx, Û Ö B n Ö ÓÒ Ø ÒØ º Ò Ð Ó Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Û Ø Ý Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Φ(x,0) = x 2, 0 x π. ¾¼ Ñ Ö µ Ë ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ ] G(x,y) = 2y 2 exp [ x2 +y 2, 2 ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ y G x x G y + 2x y G = 0. End of Question Paper 4 Continued
ÓÖÑÙÐ Ø Ì ÓÙÖØ ¹ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó ÓÖ Ö Ø ÓÖ Ö Ò Ø Ð Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ y (x) = f(x,y), y(x 0 ) = y 0 Û Ú Û Ø n = 0,1,2,... k 1 = hf(x n,y n ) k 2 = hf(x n +h/2,y n +k 1 /2) k 3 = hf(x n +h/2,y n +k 2 /2) k 4 = hf(x n +h,y n +k 3 ) y n+1 = y n + k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 6 Ì ÐÓ Ð ØÖÙÒ Ø ÓÒ ÖÖÓÖ Ò Ø Ó Ø Ø ÓÖ Ö ÊÙÒ ¹ÃÙØØ Ñ Ø Ó Ú Ò Ý Y(x) y(x) = Ch 4 Û Ö Üµ Ø Ø Ñ Ø Ú ÐÙ Ý Üµ Ø Ü Ø Ú ÐÙ C ÓÒ Ø ÒØ Ò h Ø Ø Ô Þ Ù Ò Ø ÒÙÑ Ö Ð Ñ º Ò ÖÙÐ Á z = f(x,y) Û Ö x Ò y Ö ÓØ ÙÒØ ÓÒ Ó t Ó Ø Ø x = x(t) Ò y = y(t) Û Ú dz dt = z dx x dt + z dy y dt Á z = f(x,y) Ò ÓØ x Ò y Ö ÙÒØ ÓÒ Ó u Ò v Ó Ø Ø x = x(u,v) Ò y = y(u,v) Ø Ò Û Ú z u = z x x u + z y y u z v = z x x v + z y y v ÓÙÖ Ö Ö Á Ø ÙÒØ ÓÒ f(x) Ò ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð l x l Ø Ò Ø ÓÙÖ Ö Ö Ó f(x) f(x) = a 0 2 + ( a n cos nπx +b n sin nπx ) l l 5 Turn Over
Û Ö a n = 1 l b n = 1 l l l l f(x)cos nπx l l f(x)sin nπx l dx, (n = 0,1,2,...) dx (n = 1,2,3,...) Á Ø ÙÒØ ÓÒ f(x) Ò ÓÚ Ö Ø ÒØ ÖÚ Ð 0 x l Ø Ò Ø ÓÙÖ Ö Ó Ò Ö Ó f(x) f(x) = a 0 2 + a n cos nπx, a n = 2 l l l 0 f(x)cos nπx l dx, (n = 0,1,2,...) Û Ð Ø Ò Ö Ó f(x) f(x) = b n sin nπx, b n = 2 l f(x)sin nπx l l 0 l dx (n = 1,2,3,...) ËÓÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø cos(α±β) = cosαcosβ sinαsinβ cos2α = cos 2 α sin 2 α = 2cos 2 α 1, sin2α = 2sinαcosα 6