IFT6150_A06_Final_correction.dvi

ÁÊÇ Á Ì ½ ¼ Å Æ ÌÀ ÇÊÁÉÍ Å Ü Å ÒÓØØ ÁÊÇ Ô ÖØ Ñ ÒØ ³ÁÒ ÓÖÑ Ø ÕÙ Ø Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ ØØÔ»»ÛÛÛº ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº» Ñ ÒÓØØ» Ø ½ ¼ ¹Ñ Ð Ñ ÒÓØØ ÖÓºÙÑÓÒØÖ Ðº Ø ¼»½¾»¾¼¼ Á º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÎ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö 28 ÔØ µ ËÔ ØÖ ÓÙÖ Ö 28 ÔØ µ ÐØÖ 26 ÔØ µ ÅÓÖÔ ÓÐÓ Å Ø Ñ Ø ÕÙ 24 ÔØ µ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ 10 ÔØ µ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ð ÔÓ 7 ÔØ µ 123 ÔÓ ÒØ ÌÓÙ ÓÙÑ ÒØ ÐÙÐ ØÖ Ø ÐÙÐ Ø ÙÖ Ô Ö ÓÒÒ Ð ÙØÓÖ

Áº ÌÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö 28 ÔØ µ ½º µ Ò ³ ÒØ Ð Ö Ú Ù ÔÖÓ Ù Ø f(x)δ(x) Ø Ð Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ f(x)δ (x)º ÔØ µ ÍØ Ð Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÔÖ ÑÑ ÒØ ÔÓÙÖ ÐÙÐ Ö xδ (x) exp(x)δ (x) Ø sin(x)δ (x) ÔØ µ ÍØ Ð Ö ØØ Ö Ð Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ f(x)δ (x)dx = f (0) < 4 pts > ¾º µ Ò ÔÓ ÒØ F(ν) = F[f(x)] ÑÓÒØÖ Ö Ô Ö Ð Ñ Ø Ó ÚÓØÖ Ó Ü ÕÙ F[xf (x)] = νf (ν) F(ν) < 4 pts > µ ËÓ Ø f(x) Ð ÓÒØ ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ù Ú ÒØ f(x) + f (x) + xf (x) = 0 ½µ ÉÙ Ú ÒØ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ½µ ÓÒ ÐÙ ÔÔÐ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö F Ò Ù Ö F(ν) ÓÐÙØ ÓÒ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð ÔÙ f(x)º º µ È Ö Ð Ñ Ø Ó ÚÓØÖ Ó Ü ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ ÓÙ Ò Ð ÕÙ ÐÐ Ò Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ exp( πx 2 ) exp( πx 2 ) º µ È Ö Ð Ñ Ø Ó ÚÓØÖ Ó Ü ØÖÓÙÚ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø Ð³ ÒØ Ö Ð Ù Ú ÒØ I(x) = exp( πt 2 )exp[ π(x t) 2 ] dt ½º µ Ä ÓÖÑÙÐ Ö Ú Ù ÔÖÓ Ù Ø ÙÜ ÓÒØ ÓÒ Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù ÔÖÓ Ù Ø Ù Ö Ú ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÒÓÙ Ô ÖÑ Ø ³ Ö Ö d ( ) f(x)δ(x) dx d ( ) f(0)δ(x) dx = f (x)δ(x) + f(x)δ (x) = f (0)δ(x) + f(x)δ (x) Ø ÓÒ f(x)δ (x) = f(0) d dx δ(x) f (0)δ(x) º º f(x)δ (x) = f(0)δ (x) f (0)δ(x) < 3 pts >

½º µ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ ÔÖ ÑÑ ÒØ ÓÒ ØÖÓÙÚ xδ (x) = 0 δ (x) 1 δ(x) = δ(x) < 1 pt > exp(x)δ (x) = exp(0)δ (x) exp(0)δ(x) = δ (x) δ(x) < 1 pt > sin(x)δ (x) = δ(x) < 1 pt > ½º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÖÓÙÚ Ò ½º µ Ø Ð Ø ÕÙ Ô Ö Ò Ø ÓÒ δ(x)dx = 1 ÓÒ f(x)δ (x)dx = f(0) δ (x)dx f (0) = f(0) [ δ(x) ] + f (0) = f (0) < 4 pts > δ(x) dx ¾º µ ÇÒ F[f (x)] = 2πjνF(ν) Ø ÓÒ Ô Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ð F 1 [F (ν)] = 2πjxf(x) Ø ÓÒ º Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÔÙ ÕÙ xf (x) = (xf(x)) f(x) xf (x) F[xf(x)] = 1 2πj F (ν) F F 2πjν F[xf(x)] F(ν) = vf (ν) F(ν) vf (ν) F(ν) ÇÙ ÒÓÖ Ò ÙØ Ð ÒØ δ (x) f(x) = f (x) Ø F[ x] ÚÙ Ò Ü Ö xf (x) F F[x] (2πjν F(ν)) = 1 2πj δ (ν) (2πjν F(ν)) = d dν ( νf(ν)) = vf (ν) F(ν) ¾º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ì ÙÖ Ð Ö Ú Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ f(x) + f (x) + xf (x) = 0 F F(ν) + (2πjν) 2 F(ν) vf (ν) F(ν) = 0 4π 2 ν 2 F(ν) νf (ν) = 0 < 2 pts > Ø Ò Ö ÓÐÚ ÒØ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÐÐ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ v F (ν) = 4π 2 ν 2 F(ν) F (ν) = 4π 2 ν F(ν) ln F(ν) = 2π 2 ν 2 + K 1 F(ν) = C1 st. exp( 2π 2 ν 2 ) < 2 pts >. Ë ÒØ ÕÙ exp( πx 2 ) F exp( πν 2 ) Ø Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð Ø Ø ÓÒ»ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ ØÖÓÙÚ Ò Ð Ñ ÒØ f(x) = C2 st. exp( x2 /2) Ó C2 st Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ º º µ

exp( πx 2 ) exp( πx 2 ) F exp( πν 2 )exp( πν 2 ) = exp( 2πν 2 ) ÓÒ exp( πx 2 ) exp( πx 2 ) F 1 [exp( 2πν 2 )] = 1 2 exp( π 2 x2 )º º µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð Ö ÙÐØ Ø Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ I(x) = exp( πt 2 )exp[ π(x t) 2 ] dt = exp( πx 2 ) exp( πx 2 ) = 1 exp( π 2 2 x2 ) ÁÁº ËÔ ØÖ ÓÙÖ Ö ¾ ÔØ µ ½º Ä Ñ 1 4 Ð º ½ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ ÓÙÖ Ö Ö ÒØ Ñ (a) (d)º ÁÒ ÕÙ Ö ÔÓÙÖ ÙÒ Ô ØÖ ÕÙ ÐÐ Ñ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ º ÂÙ Ø Ö ÕÙ Ö ÔÓÒ Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ø ÕÙ ÔÖ ÒØ Ò Ð³ Ñ º µ µ µ µ ½µ ¾µ µ µ º ½ ÁÑ Ø Ð ÙÖ ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ ÓÙÖ Ö Ò ÓÖ Ö Ð ØÓ Ö º ¾º ÉÙ ÐÐ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ð Ô ØÖ Ô ÓÙ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö º ÉÙ ÐÐ ÓÖØ ³ Ñ Ó Ø Ò Ö Ø ÓÒ ÔÖ ÐÙÐ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ØØ Ñ ÓÒ ÒÚ Ö Ø º º ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 1µ ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ó Ø ÒÙ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö Ò Ð Ò Ð ÒØ Ð Ô ÖØ Ö ÐÐ Ò Ò µ ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Öº º ËÓ Ø ÙÒ ÕÙ Ò ³ Ñ Õ٠гÓÒ ÑÓ Ð Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f(x, y, t) x Ø y Ø ÒØ Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ù Ô Ü Ð Ø t ÔÖ Ò ÒØ Ú Ð ÙÖ ÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ð³ Ñ Ò Ð ÕÙ Ò º

µ ÇÒ Ö Ö Ø ÐÙÐ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ø ÚÓÐÙÑ ÓÒÒ º Ö ÓÑÑ ÒØ Ð ÔÓÙÖÖ Ø ØÖ Ø Ô ÖØ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ¾ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø ½ µ ËÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ Ò ÕÙ Ò ³ Ñ f(x, y, t) ÙÒ Ö ÓÒ Ó٠г Ñ ÒØ Ö µ Ù Ø ÙÒ ØÖ Ò ¹ Ð Ø ÓÒ ÔÙÖ Ú Ø ÓÙ Ú ÐÓ Ø µ (v x, v y ) ÒÓÙ ÚÓÒ ÕÙ Ð Ö Ð Ø ÓÒ Õ٠Рг Ñ f(x, y, t) Ø ØØ Ú ÐÓ Ø Ø ÜÔÖ Ñ Ô Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ v x x f(x, y, t) + v y y f(x, y, t) + f(x, y, t) = 0 t ¾µ Ò ÔÓ ÒØ F(f(x, y, t)) = F(ν x, ν y, ν t ) ÕÙ Ú ÒØ ØØ ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº µ Ò Ù Ö ÓÑÑ ÒØ ÓÒ Ô ÙØ Ø Ñ Ö Ð ÓÙÔÐ (v x, v y ) ÓÒÒ ÒØ Ð Ú Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº ½º ¹ г Ñ Ø Ò Ö Ø ÝÒØ Ø ÕÙ Ø Ø ÓÒ ÔÔ Ö ØÖ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÙ ÓÒØ ÒÙ Ø Ô Ø Ð ØÖ Ò ØØ ÕÙ ÚÓÒØ Ñ Ø Ö Ð Ö Ò ÓÒ Ô ØÖ ³ ÑÔÐ ØÙ Ô Ö Ö ÕÙ Ò Ô Ø Ð Ð Ú Ø ÓÖØ Ó ÒØ ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓÙØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ò ¹ÒÓ Ö Ú Ð Ò Ð³ Ñ º ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ò Ñ Ù Ø Ð³ Ñ 4º ¹¾ г Ñ ÔÖ ÒØ ÓÖÑ ÔÖ ÒØ ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÒØ ÑÔÓÖØ Ò Ø ÓÖÑ Ö ÒØ ÕÙ ÚÓÒØ ØÖ Ù Ö Ô ØÖ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ Ú Ö Ø Ö ÕÙ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº ÁÐ ³ Ø ÓÒ Ð³ Ñ 2º ¹ ÍÒ ØÝÔ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ü Ø Ò Ð³ Ñ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ð Ö Ñ ÒØ ÓÒ Ð µ ÜÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ð Ò ÔÖ ÕÙ Ú ÖØ Ð ÓÖØ Ó ÒØ Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ð³ Ñ º ÔÐÙ ÙÒ ÑÓØ Ö Ô Ø 4 Ó µ Ù Ú ÒØ Ð³ Ü y Ø ÙÒ Ö Ø ÓÒ 4 ÓÙ 5 Ô Ü Ð Ù Ú ÒØ Ð³ Ü Ö ÕÙ Ò Ò y Ô ÙØ ØÖ ÚÙ ÙÖ Ð³ Ñ 3º ¹½ ÙÜ ØÝÔ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ø ÓÒ Ð ÖÓ Ø µ Ü Ø ÒØ Ò Ð³ Ñ Ø ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ ÙÜ ØÝÔ ÓÖØ Ó ÒØ Ô ØÖ ÙÜ ÙÖ ÙÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ÙÜ ÙÜ ÔÖ ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ º ¾º Ä Ô ØÖ Ô ÓÙ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ³ÙÒ Ò Ð Ô Ö Ø ÒÙÐÐ º º ijÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö 1.0 ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ ÓÙÖ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÔÖ Ò Ð ÓÒ Ù Ù Ù Ô ØÖ ÓÑÔÐ Ü º º гÓÔ Ö Ø ÓÒ F(u, ν) F (u, ν)º ÇÖ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù Ú ÒØ F f( x, y) F (u, ν)

ÓÒ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÒÚ Ö ÓÒ Ú Ö Ð Ö Ô Ø Ð Ñ ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ f( x, y) ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÙ Õ٠г Ñ Ø Ô Ö Ó Õ٠г Ò Ò Ò Ð Ò Ø Ò ÓÐÓÒÒ Ö ÓÒ ÙØ Ð Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ö Ø µ ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ½ ¼ Ö Ð³ Ñ º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ö ÓÒÒ Ö Ù Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö 1.0 ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ô Ù Ò Ð Ô Ö ¹½ Ø Ð Ö Ò Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ù Ò Ðº ij Ñ Ö Ð Ñ Ñ Ñ ÓÒ Ô ³ÙÒ Ò Ð π ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ Ñ ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ³ Ò Ð π Ö Ò ÓÙ ³ Ò Ð ½ ¼ Ö º Ð ÚÓ Ø Ù Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÒ Ù Ú ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö 1.0 ØÓÙ Ð Ó ÒØ Ð Ô ÖØ Ñ Ò Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ô Ù Ò Ð Ô Ö ¹½ Ø Ð Ö Ò Ò Ð ÑÓ ÙÐ Ù Ô ØÖ Ù Ò Ð Ø Ð Ò Ð f(x) Ö ÓÒ ØÖÙ Ø Ô Ö f(x) = ν F(u)exp(2πjνx N ) ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ Ñ ÙÒ Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ú ÙÒ ÖÓØ Ø ÓÒ ³ Ò Ð ½ ¼ Ö º º µ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ö Ð Ø Ð ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ Ö ÓÒ ÚÖ Ø ³ ÓÖ ÐÙÐ Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ú Ð ÙÖ t ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ¾ Ø Ò Ö Ð Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ f(x, y, t) F F(ν x, ν y, t) ÔÙ Ò Ù Ø ÙÖ ØÓÙØ Ð Ð Ò Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÔÓÙÖ ÕÙ (ν x, ν y ) ÙØ Ð Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÙÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ½ º º µ v x x f(x, y, t) + v y y f(x, y, t) + ) t f(x, y, t) = 0 F 2πj F(νx, ν y, ν t ) (v x ν x + v y ν y + ν t = 0 г ÕÙ Ø ÓÒ ¾µ Ú ÒØ ÓÒ v x ν x + v y ν y + ν t = 0 ÕÙ Ø Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ³ÙÒ ÔÐ Ò Ò Ð ÓÑ Ò Ô ØÖ Ðº º µ Ä ÔÐ Ò Ñ Ü ÑÙÑ ³ Ò Ö Ô ØÖ Ð Ö Ð ÔÐ Ò ³ ÕÙ Ø ÓÒ v x ν x + v y ν y + ν t = 0º ÌÖÓÙÚ Ö ÔÐ Ò ³ Ø ØÖÓÙÚ Ö v x Ø v y º ÁÁÁº ÐØÖ ¾ ÔØ µ ½º Ò Ñ Ö Ñ Ð ÐÓÖ ÕÙ³ÓÒ Ú ÙØ Ö Ø Ö Ö ÙÒ ÓÙ Ù Ò º º ÙÒ ÓÙ Ò Ò Ö Ô Ö ÙÒ ÈË Ù ÒÒ µ ÓÒ ÙØ Ð ÒÓÒ Ô Ð Ú Ö Ò Ð Ù ÒÒ ÓÙ ÓÒ ÖØ ØÝÔ ÓÑÑ Ð Ø ØÙ ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ò ØÖ Ø Ñ ÒØ Ù Ò Ðµ Ñ ÓÒ ÏÀÅ º º ÓÒ ÙÐÐ Û Ø Ø Ð Ñ Ü ÑÙÑ ÓÙ ÔÖ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ö ÙÖ Ñ ¹ ÙØ ÙÖº µ ÌÖÓÙÚ Ö σ = f( Û Ñ) º º Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÒØ Ð³ ÖØ ØÝÔ ³ÙÒ Ù ÒÒ Ò ÓÒØ ÓÒ ÓÒ Û Ñ Ð Ö ÙÖ Ñ ÙØ ÙÖº µ Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖ ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð Ñ Ò Ô Ü Ðµ Ù ÐØÖ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù ÒÒ Ù Ú ÒØ ½ ¾ ½ º ¾º µ ÌÖÓÙÚ Ö Ð Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ÓÙ Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒº

µ Ø ÙÒ Ñ ÕÙ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù Ò ÂÙ Ø Ö ÚÓØÖ Ö ÔÓÒ º º µ ÜÔÐ ÕÙ Ö ÔÓÙÖÕÙÓ Ð ÐØÖ Ô ÙØ Ò³ ÑÔÐ Ô Ö ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÖÙ Ø Ð Ò Ñ ÔÐÙØØ Ø ÔÐÙ ÔÖ Ñ ÒØ Ñ ÒÙ Ð Ê ÔÔÓÖØ Ë Ò Ð ÙÖ ÖÙ Ø Ù Ò Ðº ½º µ ij ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ù ÒÒ Ø 1 2πσ exp( x 2 /2σ 2 )º Ä ÙØ ÙÖ Ñ Ü Ñ Ð Ð Ù ÒÒ Ò x = 0µ Ø 1 2πσ Ø Ð Ñ ÙØ ÙÖ Ð Ù ÒÒ ØÖÓÙÚ ÓÒ Ò x = 1 2 ÏÀÅ Ø Ð ÕÙ exp( x2 /2σ 2 ) = 1 2 º º Ò σ = ÏÀÅ 2 2 ln2 ½º µ Ä Ð Ö ÙÖ Ñ ÙØ ÙÖ ÐØÖ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ù ÒÒ Ø 2 Ô Ü Ð Ø ÓÒ 2 = ÏÀÅ Ø ÓÒ 2 ÕÙ Ú Ð ÒØ σ = 2 = 1 2 ln2 2ln 2 0.85º ¾º µ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ = ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ = ½ ½ ¾º µ Ä ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ ÙÜ Ù ÒÒ Ö Ø ÙÒ Ù ÒÒ º ÜÓº Áº º µµº Ô Ò ÒØ Ð ÐØÖ Ó Ø ÒÙ Ò ÓÒ ÖÚ Ô Ð ÑÓÝ ÒÒ Ð³ Ñ ÓÒØÖ Ö Ñ ÒØ Ù ÐØÖ Ù Òº ÁÐ Ö Ø ÓÒ Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ò ÓÒ ÓÙØ Ø Ð Ø ÙÖ 1/16 Ú Òغ ÁÐ Ú Ò Ö Ø Ù ÙÒ ÐØÖ ÒÓÑ Ðº º Ä ÐØÖ Ô ÙØ ÒÐ Ú Ö Ð ÓÒÒ Ñ ÓÖ Ø Ù Ô ØÖ Ð³ Ñ ÕÙ ÓÒ ÒØÖ ÙÖØÓÙØ Ú Ö Ð Ø ÑÓÝ ÒÒ Ö ÕÙ Ò Ø ÒÐ Ú Ö ÙÒ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÖÙ Ø ÕÙ Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒÒ ÐÐ Ð Ô ÖØ Ô ÒØ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ò ÖØ Ö Ð ÖÙ Ø Ð Ò Ö Ô ÖØ Ô ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÒ ÓÖÑ Ñ Òص Ø Ð ÐØÖ Ö Ù Ö Ð Ö ÔÔÓÖØ Ò Ð ÙÖ ÖÙ Ø ³ÙÒ Ò Ðº Áκ ÅÓÖÔ ÓÐÓ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ¾ ÔØ µ ½º ÓÑÑ ÒØ ÔÓÙÖÖ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÒÐ Ú Ö Ð Ö ÓÙ Ó ÖÖ Ú ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÙØ Ð Ð ÑÓÖÔ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ

¾º ÉÙ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÙØ Ð Ð ÑÓÖÔ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÚ Ö º º Ð Ñ Ò Ö Ð Ó ÖÖ Ø Ö Ö Ð Ö º ÓÑÑ ÒØ ÔÓÙÖÖ Ø¹ÓÒ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔØ Ö Ð ÒÓÑ Ö Ô Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ø ÒØ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÖ Ø ÐÐ Ú ÙÒ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÙØ Ð Ð ÑÓÖÔ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÆÓØ ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ô Ø ÐÐ ÓÒØ ÖÓÒ ºµ º ÉÙ Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÙØ Ð ÒØ Ð ÓÙØ Ð Ð ÑÓÖÔ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ø Ð Ø Ø ÓÒ Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ ÙÖ ÙÒ Ò Ó Ö Ô Ú ÙÜ Ò Ù Ò Ð³Ó Ðº Ä Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ ÓÒØ Ð Ø Ð Ö Ù ÒØÖ Ò Ð Ô ÖØ ÓÒ Ð³ Ñ º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ö Ñ ÖÕÙ Ö Ð Ó Ù Ú ÒØ Ùܹ ÓÒØ ÓÑÔ Ø Ø ØÖÓÙÚ ÒØ Ò ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú ÙÜ Ò Ù Ò ÓÒØ ÐÓÒ Ò ÙÒ ÙÖ Ð Ö º ½º È Ö Ü ÑÔÐ ÇÙÚ ÖØÙÖ Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ Ð Ò ÕÙ Ø Ú ÖØ Ð Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ Ð Ò Ú ÖØ Ð Ð Ö ÙÖ ½ Ô Ü Ð Ø ÐÓÒ Ù ÙÖ ÙÔ Ö ÙÖ Ð³ Ô ÙÖ Ò Ô Ü Ð µ Ñ Ü Ñ Ð Ö º ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓÙÖÖ Ø Ö ÙÖ Ð³ Ñ Ò Ö ÓÙ Ò Ò Ú Ù Ö º ÓÒ ÔÖ ÕÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ù ÕÙ Ð ØØ Ö Ð³ Ñ º Ä ØÖ Ø Ñ ÒØ ÕÙ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ù Ø Ö ÙÒ ÐØÖ Ñ Ò ÙÖ ÙÒ ÚÓ Ò ½ Ð Ò Ø Ò ÓÐÓÒÒ Ò ÑÔ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ØÖÓ µ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ÙÔÔÖ Ñ Ö Ð Ö º ¾º È Ö Ü ÑÔÐ ÇÙÚ ÖØÙÖ Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ Ð Ò ÕÙ Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ô Ö Ü ÑÔÐ ÙÒ Ð Ò ÓÖ ÞÓÒØ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ½ Ô Ü Ð Ø Ð Ö ÙÖ ÙÔ Ö ÙÖ Ð³ Ô ÙÖ Ò Ô Ü Ð µ Ñ Ü Ñ Ð ÖÖ Ó º ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓÙÖÖ Ø Ö ÙÖ Ð³ Ñ Ò Ö ÓÙ Ò Ò Ú Ù Ö º Ë ÓÒ Ø Ð ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ Ð Ù Ö Ø Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖ Ð³ Ñ ÓÖ Ò Ð Ø Ð³ Ñ Ó Ø ÒÙ Ò ½º º

º ÍÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ³Ó Ø Ò Ö Ð Ô Ø ÐÐ Ð Ò ÙÖ ÓÒ ÒÓ Öº ÍÒ Ø Ò ÕÙ ÙØ Ð ÒØ ÙÒ ÖÓ ÓÒ Ú ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ ÖÙÐ Ö ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ö Ò Ô ÖÑ ØØÖ Ø ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØ Ò Ø ÐРг Ð Ñ ÒØ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ ÙÔÔÖ Ñ Ö ØÓÙØ Ð Ö ÓÒ Ð Ò Ð³ Ñ Ò Ö Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ó Ð Ø ÐÐ Ð Ô Ø ÐÐ º º Ð Ø ÐРг Ð Ñ ÒØ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ ÖÙÐ Ö ÙØ Ð µ Ø Ð ÒÓÑ Ö Ô Ø ÐÐ º º Ð ÒÓÑ Ö Ô Ü Ð Ð Ò Ð Ñ Ò Ô Ö ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ú Ô Ö Ð Ø ÐРг Ð Ñ ÒØ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ ÖÙÐ Ö ÙØ Ð º ÍÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ô ÖÑ ØØÖ Ø ³Ó Ø Ò Ö Ð Ô Ø ÐÐ Ð Ò ÙÖ ÓÒ ÒÓ Öº ÍÒ ÕÙ Ð ØØ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø¹ ØÖ Ø Ò Ò Ð ³ ÚÓ Ö ÙØ ÒØ ÔÓ ÒØ Ð Ò ÕÙ Ô Ø ÐÐ º º ÇÒ ÔÓÙÖÖ Ø Ñ ÒØ Ö Ò ÙÜ Ð Ð³ Ñ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ Ò Ö µ ÙØ Ð Ö ÙÒ ÓÙÚ ÖØÙÖ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ ÔÓÙÖ ÒÐ Ú Ö Ð Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ñ µ ÔÙ Ö (a) (b) º ÁÐ Ø ÔÓ Ð ³Ó Ø Ò Ö Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÙÒ Ñ Ò Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ Ô Ö ÙÒ Ù ÓÒ ³ÓÙÚ ÖØÙÖ ÑÓÖÔ ÓÐÓ ÕÙ Ú Ô Ø Ø Ð Ò Ö ÒØ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ º ÁÐ Ù Ø Ò Ù Ø ÓÙ ØÖ Ö ØØ Ñ Ò Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ Ð³ Ñ Ô ÖØ ÔÓÙÖ Ó Ø Ò Ö Ð Ñ ÖÓ¹ Ò ÚÖ Ñ º ÍÒ ÑÔÐ Ù Ð Ô ÖÑ ØØÖ Ø ³Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÙÐØ Øº κ Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ ½¼ ÔØ µ ½º ÜÔÐ ÕÙ Ö ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ñ ÒØ ÕÙÓ ÖØ Ð Ø ÙÖ ÖÓ Ò Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð Ö Ù Ø ÑÙÐ ÕÙÓ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ù Ø ÑÙÐ ÐÓÖ ÕÙ Ø ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ø Ò Ú Ö Þ ÖÓº ¾º ÜÔÐ ÕÙ Ö ÕÙ Ð ÓÒØ Ð ÙÜ ÒØ Ö Ø Ñ ÙÖ ÔÖ Ò Ö ØØÖ ÙØ ÔÓÙÖ Ö Ø Ö Ö ÙÒ Ø ÜØÙÖ ÔÐÙØØ ÕÙ ÔÖ Ò Ö ÓÑÑ ØØÖ ÙØ Ð³ Ò Ñ Ð Ò Ú ÙÜ Ö ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÒ Ô Ø Ø Ò ØÖ ½º Ä Ø ÙÖ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ÖÓ ÒØ Ô ÖÑ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ Ö Ù Ø ÑÙÐ ÓÖØ Ö Ñ Ò Ñ ÐÓ ÙÜ Ð ÓÒØ ÓÒ ³ Ò Ö Ø Ò Ø Ø Ö Ö ÒØ ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ù Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ó Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÓÔØ Ñ Ð µº ÍÒ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ ØÖ Ö Ò ÒÓÙ ÓÒÒ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ú ÜÔÐÓÖ Ö ÓÒ ØÖ Ð ØÓ Ö ÔÙ Ò Ö ÖÓ ÒØ Ò Ö Ô Ö Ú Ò Ö ÔÐÙ Ò ÔÐÙ Ø ÖÑ Ò Ø ÔØ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ T 0 Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ Ö ÒØ Ô Ü ÔÙÖ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ Ù Á ź ¾º ÈÓÙÖ ÙÜ Ö ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð ½º ÈÓÙÖ Ñ ÒÙ Ö Ð Ñ Ò ÓÒÒ Ð Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ º ¾º ÔØ ¾º ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚ Ö Ö Ø Ö Ø ÕÙ ØØÖ ÙØ ÕÙ Ó ÒØ Ð ÔÐÙ ÒÚ Ö ÒØ ÔÓ Ð Ù Ø ÙÖ ³ ÐÐ ÖÓ¹ Ø Ø ÓÒ ÐÐÙÑ Ò Ø ÓÒ Û ÖÔ Ò ÖÙ Ø ÐÙÑ ÒÓ Ø ØÓÖ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú Ö Øº ¾º ÔØ

ÎÁº ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ð ÔÓ ½¼ ÔØ µ ½º Ê Ô ÖØÓÖ Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ ³ Ò Ö ÔÖ ÓÖ ÚÙ Ò ÓÙÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ö Ò Ö Ò ÔÓ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ñ Ð ÔÓ Ø Ö ÙÑ Ö Ò ÕÙ ÐÕÙ ÑÓØ Ð ÙÖ Ò Ø ÓÒ º º Ö ÕÙ Ð ØÝÔ ÓÐÙØ ÓÒ ÚÓÖ ÒØ ÓÙ Ô Ò Ð ÒØ Ø¹ Ð µº ¾º Ý Ö ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ø ÖÑ ³ Ò Ö ÔÖ ÓÖ ÒÓÒ ÚÙ Ò ÓÙÖ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ÓÒØÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ñ Ð ÔÓ ÚÓØÖ Ó Ü Ø ÜÔÖ Ñ Ö Ò ÕÙ ÐÕÙ ÑÓØ ÓÙ Ú ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ø ÔÓÙÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÚÓÙ Ú Þ ÓÒ Ö º ÔØ ½º Ì ÖÑ P n /P I Ù ÐØÖ Ï Ò Ö ÔÖ Ò Ò ÓÑÔØ Ð Ö ÔÔÓÖØ Ë Ò Ð ÙÖ ÖÙ Ø Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô ÖÑ Ø Ò Ô Ú Ö Ô Ö 0º Ê ØÓÖ Ø ÓÒ Ì ÓÒÓÚ Å ÐÐ Ö Ú Ò Ö ÔÖ ÓÖ c ˆf ÓÙ Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÙÖ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ø c Ø Ð Ð ÔÐ Ò Ô Ò Ð ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ü ÒØ ÙØ Ö ÕÙ Ò º Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Å Ö ÓÚ ÒÒ Ú Ò Ö ÔÖ ÓÖ c C β(1 δ(x s, x t ) Ô Ò Ð ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ó¹ ÑÓ Ò º Ë Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ô Ö Ò Ú Ò Ö ÔÖ ÓÖ Ñ ÙÖ ÒØ Ð³ Ò Ð ÒØÖ ØÖÓ ÒÓ Ù ÓÒ ÙØ Ô Ò Ð ÒØ Ð ÓÒØÓÙÖ ÒÓÒ Ð º ¾º ÁÐ Ü Ø Ò Ð Ö Ð Ö Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ö ÒØ ÑÓ Ð ÔÖ ÓÖ Ð³ÙÒ ÔÐÙ ÑÔÐ Ô Ò Ð Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ý ÒØ Ò Ú ÙÜ Ö Ò¹ ÓÑÓ Ò Ú ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÕÙ Ö Ø ÕÙ ÓÙ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ º ÁÐ Ü Ø Ù ÐÙ Ù ÓÙ ÖÓ ÕÙ Ø Õ٠г Ñ ÔÓ ÙØÓ¹ Ñ Ð Ö Ø Ô Ø Ð ÙÒ Ñ Ø ÙØ Ñ ÒØ Ö ÓÒ ÒØ µº ÁÐ Ü Ø ÐÙ ÖÒ Ð Ý ÕÙ Ø Õ٠г Ñ ÔÓ ÙØÓ¹ Ñ Ð Ö Ø Ô Ø Ð Ö ÒØ ÐÐ ÑÓ Ð Ö Ø Ðµº ÁÐ Ü Ø ÙÓÙÔ ÑÓ Ð ³ Ñ ÑÓ Ð ÒØ Ð Ø Õ٠г Ñ Ø ÙÒ Ò Ð Ö ÓÒ ØÖÙ ÒØ Ú ÙÒ ÒÓÑ Ö Ð Ñ Ø ÓÑÔÓ ÒØ ÑÓ Ð Ô Ò Ð ÒØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ù Ò Ð Ñ ÔÔ Ð Ù Ô Ö ØÝ Ô Ù Ó ÒØ Ô ØÖ Ð Ö ÒØ Þ ÖÓ µµº ÒÓØ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ÙÒ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑÑ ÐÐ ÙØ Ð Ò ØÖÓÒÓÑ Ù Ð ØÓ Ð Ø Ò ÕÙ Ô Ö ÙÒ ØÙ ÒØ Ð Ý Ð³ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ù ÑÓ Ð ³ Ñ ÔÖ ÒØ Ñ Ò Ð ÓÑ Ò Ô Ø Ðº ÍÒ ÓÖØ Ô Ö ØÝ Ô Ø Ð ÓÒØÖ Ò ÒØ Ð³ Ñ Ö Ø ÙÖ ØÖÓÒÓÑ ÕÙ ÑÓÒØÖ ÒØ ØÓ Ð µ ÚÓ Ö Ô Ù Ô Ü Ð Ö ÒØ Þ ÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÓÙ ØØ Ñ ÔÙ ÕÙ³ÙÒ ØÓ Ð Ò ÓÙ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÔÓ ÒØ ÔÓÒØÙ Ð ÙÒ ÙÐ Ô Ü Ð ³ ÒØ Ò Ø ¾ µº ÔØ