Ch ng 3. Tr¹ng th i øng sêt - c c thõt bòn I. Kh i niö vò tr¹ng th i øng sêt Tr¹ng th i øng sêt t¹i ét ió cña vët thó μn håi chþ lùc lμ tëp hîp têt c c c øng sêt t c dông trªn têt c c c Æt v«cïng bð i qa ió ã, Æc tr ng bëi ten èi øng cêp cã 6 thμnh phçn øng sêt éc lëp (h nh 3.): z z (3.) z z z nh bió thþ trªn c c Æt cña ph n tè to¹ é Cdddz. Qa ió ta l«n t ba Æt v«ng gãc víi nha cã H nh 3. øng sêt tiõp b»ng, c c Æt ã lμ Æt chýnh, ph p tõn Æt chýnh gäi lμ ph ng chýnh, øng sêt ph p trªn c c Æt chýnh gäi lμ øng sêt chýnh, vμ 3 : > > 3 (3.) C n cø vμo c c øng sêt chýnh ta ph n lo¹i tr¹ng th i øng sêt nh sa: Tr¹ng th i øng sêt khèi (h nh 3.a), tr¹ng th i øng sêt ph¼ng (h nh 3.b), tr¹ng th i øng sêt n (h nh 3.c). H nh 3. 74
II. Tr¹ng th i øng sêt ph¼ng. øng sêt trªn Æt nghiªng bêt k T ch ét ph n tè t¹i ió K khái vët thó μn håi chþ lùc (h nh 3.3a). Gi thiõt Æt v«ng gãc víi trôc z lμ Æt chýnh ( z = z = z = ), c c Æt cßn l¹i cã c øng sêt ph p vμ øng sêt tiõp. d dz d H nh 3.3 XÐt sù c n b»ng cña ph n tè h nh l ng trô lμ ta gi c, Æt bªn nghiªng. Ph ng tr nh tæng «en c c lùc víi O: d d MO =ddz dzd = = (3.3) LËt èi øng cña øng sêt tiõp, ph t bió nh sa: NÕ trªn Æt c¾t nμo ã cã øng sêt tiõp th trªn Æt c¾t v«ng gãc víi nã còng ph i cã øng sêt tiõp cã cïng trþ sè nh ng èi chiò. Gäi diön tých Æt AB lμ df, khi ã diön tých Æt AC lμ dfcosα vμ diön tých Æt BC lμ dfsinα. LËp c c ph ng tr nh h nh chiõ sa cña ph n tè ABC lªn c c trôc vμ v ta cã: U =df ( df cos α)cos α+ ( dfcos α)sin α - ( df sin α)sin α+ ( df sin α)cosα = V =vdf ( df cos α)sin α ( dfcos α)cosα+ +( df sin α)cos α+ ( df sin α)sin α = Sa khi rót gän, sö dông Þnh lët èi øng øng sêt tiõp ta îc gi trþ cña vμ v : + = + cosα sin α (3.4) v = sin α+ cosα (3.5) 75
Râ rμng lμ khi α = (hoæc π/) th vμ v cã gi trþ b»ng, (hoæc, ).. øng sêt chýnh vμ ph ng chýnh MÆt chýnh îc c Þnh th«ng qa gãc nghiªng α, sao cho øng sêt tiõp trªn ã b»ng : sin α + cosα = tg α = (= tg β) (3.6) β π α = + k. Ta thê α cã hai nghiö lμ α vμ α (øng víi k = vμ k = ) löch nha 9 ta l«n cã hai ph ng chýnh v«ng gãc víi nha. Tha α vμ α vμo (3.4) ta sï îc c c øng sêt chýnh cçn t, ã lμ nh ng øng sêt ph p cùc trþ, v d = sin α cos α = v = dα + Tha α vμo (3.6) ta cã : a = ± + in (3.7) øng sêt tiõp cùc trþ c Þnh b»ng d v /dα = : d v = cosα sinα = tgα = dα So s nh víi (3.7), ta îc: π tgα= = cot gα α=α + k. tgα 4 (3.8) KÕt lën: nh ng Æt cã øng sêt tiõp cùc trþ t¹o víi Æt chýnh ét gãc 45. Tha (3.8) vμo (3.5) víi cosα=±, ta îc: + tg α a = ± ( ) + 4 in (3.9) a in TÝnh theo øng sêt chýnh ta cã: a = ± (3.) in 76
III. Vßng trßn Mo (Mohr) øng sêt. C së cña ph ng ph p vμ c ch vï vßng trßn MO øng sêt XÐt ét ph n tè víi c c øng sêt,, cho nh h nh 3.4a. LËp hö to¹ é O (h nh 3.4b) theo tû lö nhêt Þnh. Trªn trôc hoμnh Æt c c o¹n O = vμ OF =. Tõ dùng o¹n D = v«ng gãc víi O. VÏ vßng trßn cã t C lμ trng ió cña o¹n F + OC = vßng trßn Mo øng sêt (Mohr). vμ b n kýnh CD (CD = R = + ), gäi lμ H nh 3.4 Ó c Þnh c c øng sêt vμ v trªn Æt iªn cã ph ng lμ víi trôc ét gãc α cho tr íc (h nh 3.4a) h lê trªn vßng trßn võa vï ét ió P (th êng gäi lμ ió cùc) cã hoμnh é vμ tng é (h nh 3.4b), råi tõ P vï tia song song víi ph ng cho c¾t vßng trßn t¹i ió M. To¹ é cña M chýnh lμ c c øng sêt vμ v cçn t. 77
. X c Þnh øng sêt chýnh vμ ph ng chýnh C c giao ió A vμ B cña vßng trßn Mo víi trôc hoμnh O lμ nh ng ió cã hoμnh é lín nhêt vμ nhá nhêt, tng é b»ng : + a = ± + in (3.) Ph ng cña c c tia PA vμ PB lμ c c ph ng chýnh cçn t cña ph n tè (h nh 3.4a). Theo h nh 3.4b dô thê l«n l«n cã: a + in = OC = + z = h»ng (3.) Tæng øng sêt ph p trªn hai Æt v«ng gãc víi nha lμ h»ng sè. Gäi α vμ α lμ gãc cña ph ng chýnh thø nhêt vμ ph ng chýnh thø hai èi víi trôc. Theo h nh 3.4b, cã: tgα = FP FA = a ; tgα = FP FB = in (3.3) Tr êng hîp kðo (nðn) óng t øng sêt tiõp lín nhêt: a = in = z (3.4) ã lμ hai Æt v«ng gãc víi nha, lçn l ît lμ víi trôc z ét gãc 45 o vμ 35 o. 3. Hai tr êng hîp Æc biöt Tr¹ng th i tr ît thçn tý: ph n tè μ trªn c c Æt chø cã øng sêt tiõp (h nh 3.5a). Lóc nμ vßng trßn Mo cã t trïng víi gèc to¹ é (h nh 3.5b). C c øng sêt chýnh (øng sêt ph p cùc trþ) kh c dê nha vμ cã gi trþ b»ng gi trþ cña øng sêt tiõp: = 3 =, = (3.5) C c ph ng chýnh iªn gãc 45 so víi øng sêt tiõp (h nh 3.5a). H nh 3.5 H nh 3.6 Tr¹ng th i øng sêt ph¼ng Æc biöt lμ tr¹ng th i cã ét thμnh 78
phçn øng sêt ph p, vý dô =, = (h nh 3.6a). Vßng Mo cña TT S nμ vï trªn h nh 3.6b. TrÞ sè øng sêt chýnh (øng sêt ph p cùc trþ) lμ,, 3 = + + = = + IV. Liªn hö gi a øng sêt - biõn d¹ng. BiÕn d¹ng dμi ( Þnh lët Hóc tæng q t) (3.6) XÐt ph n tè chýnh nh h nh 3.7, h t biõn d¹ng dμi t ng èi ε theo ph ng I cña ph n tè. BiÕn d¹ng do sinh ra: BiÕn d¹ng do sinh ra: ε = ε = μ μ BiÕn d¹ng do 3 sinh ra: ε 3 = 3 BiÕn d¹ng dμi (t ng èi) theo ph ng I do c c ba øng sêt, vμ 3 sinh ra: ε = ε + ε + ε 3. Lμ t ng tù ta îc biõn d¹ng (t ng èi) theo ph ng II vμ ph ng III cña ph n tè: ε = μ( + ) ε 3 ( ) = μ +z ε = μ( 3 +) ε ( ) = μ z + hoæc (3.6) ε = μ( + ) 3 3 ε = μ( + ) z z : «n μn håi cña vët liö, [lùc/(chiò dμi) ]. μ: hö sè Po t-«ng cña vët liö, cã gi trþ,5. C c hö thøc bëc nhêt (3.6) trªn gi a biõn d¹ng dμi vμ øng sêt ph p lμ néi dng cña Þnh lët Hóc tæng q t èi víi vët r¾n μn håi tõn týnh.. BiÕn d¹ng gãc ( Þnh lët Hóc vò tr ît) H nh 3.7 XÐt biõn d¹ng cña ph n tè. D íi t c dông cña øng sêt tiõp ph n tè bþ biõn æi h nh d ng vμ trë thμnh h nh b nh hμnh (h nh 3-8). Theo Þnh lët Hóc, gi a øng sêt tiõp vμ gãc tr ît γ cã 79
liªn hö sa: ij = Gγ ij ( i, j =,, 3) (3.8) trong ã G lμ hö sè tû lö gäi lμ «n μn håi khi tr ît [lùc/chiò dμi ij ], ã lμ h»ng sè vët liö, îc c Þnh tõ thý nghiö. M«n G liªn hö víi vμ μ nh sa: ij γ ij G = ( +μ ) γ ij ij XÐt ph n tè víi hö trôc täa é,, vμ z. ij Qan hö øng sêt vμ biõn d¹ng gãc lμ: H nh3.8 z z γ = ; γ z = ; γ z = (3.9) G G G Qan hö gi a øng sêt vμ biõn d¹ng (3.6), (3.7) hoæc (3.8) bió diôn b»ng Þnh lët Hóc tæng q t. 3. BiÕn d¹ng thó tých tû èi ( Þnh lët Hóc khèi) Gäi d, d vμ dz lμ c c c¹nh cña ph n tè vμ V lμ thó tých ban Ç cña ph n tè, ta cã: V = dddz Sa khi biõn d¹ng, chiò dμi c c c¹nh tha æi sï lμ (d + Δd), (d + Δd) vμ (dz + Δdz). ThÓ tých sa khi biõn d¹ng: V = V + ΔV = (d + Δd).(d + Δd).(dz + Δdz)= Δd Δd Δdz = dddz + + + = dddz( + ε )( +ε )( +εz) d d dz V biõn d¹ng lμ bð nªn cã thó bá qa c c ¹i l îng v«cïng bð bëc trë lªn. Cèi cïng ta îc: V = V ( + ε + ε Y + ε z ) Gäi θ lμ biõn d¹ng thó tých t ng èi cña ph n tè, ta cã: V V θ= μ μ V = ε + ε Y + ε z = ( + + z) = Σ Tæng øng sêt ph p lμ: Σ = μ θ (3.) C«ng thøc trªn bió diôn liªn hö bëc nhêt gi a biõn d¹ng thó tých t ng èi vμ tæng c c øng sêt ph p, gäi lμ Þnh lët Hóc khèi. 8
V. VÝ dô p dông VÝ dô 3.. øng sêt toμn phçn trªn Æt c¾t -n i qa ét ió cña ét vët thó trong tr¹ng th i øng sêt ph¼ng p = 3 N/c cã ph ng t¹o thμnh ét gãc 6 víi Æt c¾t. Trªn Æt v«ng gãc víi Æt c¾t nμ chø cã øng sêt tiõp (h nh 3.9). TÝnh øng sêt ph p vμ øng sêt tiõp trªn Æt c¾t t¹o thμnh gãc 45 víi Æt c¾t -n. TÝnh øng sêt ph p lín nhêt t¹i ió ã. Gi i Ta thiõt lëp hö trôc trªn Æt c¾t -n vμ hö trôc v trªn Æt c¾t nghiªng nh h nh 3.9. Khi ã c c thμnh phçn øng sêt trªn c c Æt cña ph n tè ë tr¹ng th i øng sêt ph¼ng: = p sin 6 = 3.,86 =,6kN / c = pcos6 = 5.,5 =,5kN / c = H nh 3.9 p dông c«ng thøc týnh øng sêt trªn Æt c¾t nghiªng víi α = -35, ta cã: + = + cosα sin α,8kn / c v = sinα + cosα,3 kn/c øng sêt ph p lín nhêt t¹i ió ã lμ: v 45 n 6 p a = + + + 3,8 kn/c VÝ dô 3.. T¹i ét ió trªn Æt ét vët thó chþ lùc ng êi ta o îc biõn d¹ng tû èi theo c c ph ng o, on, o nh sa: ε =,8. -4 ; ε n = -,8. -4 ; ε =,65. -4 X c Þnh ph ng chýnh vμ øng sêt chýnh t¹i ió Ê. Cho biõt μ =,3; =. 4 kn/c. n 45 45 O H nh 3. 8
Gi i: øng sêt ph p ph ng, n: 4 ε = ( μ n) = (,3 n) =,8. 4. 4 ε n = ( n μ ) = ( n,3 ) =,8. 4. = 4,3 kn/c ; n = 4,3 kn/c BiÕn d¹ng theo ph ng : ε = μ( +n ) =,3( 4,3 4,3 ) 4. 4 Theo Ç bμi ta cã ε =,65. =,5 kn/c øng sêt tiõp n týnh tõ c«ng thøc: +n n = + cosα n sin α 4,3 4,3 4,3 + 4,3,5 = + cos.45 n sin.45 n =,5 kn/c Gi trþ øng sêt chýnh t¹i ió cho tr íc: +n a = ± ( n ) + 4 n = in a = 5kN / c 4,3 4,3 = ± ( 4,3 4,3) + 4.,5 in = 5kN / c n.,5 α Ph ng chýnh: tgα= = n 4,3 + 4,3 3 = 5 α = 5 VI. C c thõt bòn. ThÕt bòn øng sêt tiõp lín nhêt ( STLN) Thết bền ƯSTLN do Clông (Colob) đưa ra nă 773. Thết nà cho rằng: vật liệ bị phá hoại là do ứng sất tiếp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng sất phức tạp đạt đến ứng sất tiếp ng hiể của phân tố ở trạng thái ứng sất đơn. Hai trạng thái ứng sất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nế ứng sất tiếp lớn nhất của chúng bằng nha. iò kiön bòn lμ: a [ n ] (a) 8
3 a Ta biõt a = (ch ng 3), =, [ ] = n n (ch ng ) Do ã iò kiön bòn theo gi thõt øng sêt tiõp lín nhêt: t = 3 [] (3.) Trong tr êng hîp øng sêt ph¼ng Æc biöt (h nh 4.), ta cã: = a = + + 4 ; 3 = in = + 4 (3.) iò kiön bòn theo gi thõt øng sêt tiõp lín nhêt: [ ] t = + 4 (3.3) Thết bền ƯSTLN rất phù hợp với vật liệ dẻo nhưng lại không thích hợp đối với vật liệ giòn. Thiế sót của thết nà là không kể đến ứng sất chính. H nh 4. Thết ƯSTLN cho phép giải thích vì sao vật liệ bị nén đề theo tất cả các phương có thể chị được những áp sất rất cao, vì trong trường hợp nà thì = 3 =-p dù áp sất p có lớn tới đâ tđ cũng lôn lôn bằng không.. ThÕt bòn thõ n ng biõn æi h nh d ng (TNB HD) Thết bền TNBĐHD do Hbe đưa ra nă 94. Thết nà cho rằng: vật liệ bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng của phân tố ở trạng thái ứng sất phức tạp đạt đến TNBĐHD ở trạng thái ứng sất ng hiể của phân tố ở trạng thái ứng sất đơn. Hai trạng thái ứng sất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nế thế năng riêng biến đổi hình dạng của chúng bằng nha. +μ 3 Trạng thái ứng sất khối: hd = ( + +3 3 3 ) Trạng thái ứng sất đơn: iò kiön bòn cã d¹ng: +μ = 3 hd t [ ] = + + [ ] t 3 3 3 k (3.4) Trong tr êng hîp tr¹ng th i øng sêt ph¼ng Æc biöt: t = + 3 [ ] (3.5) 83
Thết bền TNBĐHD phù hợp đối với vật liệ dẻo, nhưng đối với vật liệ giòn thì cũng không thích hợp. Mặt khác thết nà vẫn chưa giải thích được sự phá hoại của vật liệ khi bị kéo đề theo 3 phương. VII. p dông c c thõt bòn Trong thực tế tính toán, việc chọn thết bền nào là phụ thộc vào loại vật liệ sử dụng và trạng thái ứng sất của điể kiể tra. Nế là vật liệ dẻo ta dùng thết thứ ba hoặc thứ tư, vật liệ giòn ta nên dùng thết bền Mo. Gần đâ ất hiện nhiề thết ới liên qan chủ ế đến các loại vật liệ ới như chất dẻo, sợi thỷ tinh, chất dẻo nhiề lớp, Các nghiên cứ thực nghiệ và lý thết cho thấ rằng cấ trúc của tinh thể vật rắn biến dạng có ảnh hưởng lớn đến biến dạng và phá hỏng của vật liệ đó. Nế bỏ qa ảnh hưởng đó thì kết qả tính toán theo các thết bền sẽ bị sai lệch. Do đó người ta đang tiếp tục nghiên cứ về vấn đề nà. VÝ dô. KiÓ tra bòn cña ph n tè vët thó chþ c c øng sêt: = -4kN/c, = -6 kn/c, z = 3 kn/c, = = kn/c, z = z = z = z =. Cho biõt [] = kn/c. Gi i: NÕ coi z = 3 kn/c lμ ét øng sêt chýnh cña ph n tè th hai øng sêt chýnh cßn l¹i: + 4 6 4+ 6 a = ± + = ± + in a = -,764 kn/c ; in = -7,36 kn/c Nh vë: = 3 kn/c ; = -,764 kn/c ; 3 = -7,36 kn/c Theo thõt bòn STLN: t = 3 = 3 (- 7,36) =,36 [] Theo thõt bòn TNB HD: = + + = t 3 3 3 8,888 Nh vë ph n tè ñ bòn theo c hai thõt bòn. [ ] 84