A. DẠNG CƠ BẢN: A. Dạng: A B B A B B Dạng: A B A B. 4 PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ. 4 B. MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ: I. LŨY THỪA VẾ CỦA PHƢƠNG TRÌNH: A B A B AB, n n A B A B Lƣu ý: n n A B C A B A B A B C (Phép thế chỉ là phép biến đổi hệ. quả). và ta sử dụng phép thế : A B C ta được phương trình : A B A. B. C C Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D, ta thường bình phương vế, điều đó đôi khi lại gặp khó khăn. Lúc đó ta có thể sử dụng phép biến đổi hệ quả sao cho khi bình phương vế triệt tiêu được biến số ở ngoài dấu căn thức. Ví dụ : Giải các phương trình sau:. 4 6. Đk Bình phương vế không âm của phương trình ta được: giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút. Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 4, để Bình phương hai vế ta có : Thử lại = thỏa 6 8 4 GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
Nhận ét : Nếu phương trình : f g h k Mà có : f h g k, thì ta biến đổi phương trình về dạng : f h k g sau đó bình phương,giải phương trình hệ quả. II. PHÂN TÍCH ĐƢA PHƢƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH: C A B A. C B. C C( A B ) A B. Phƣơng trình biến đổi về dạng tích: Sử dụng đẳng thức: u v uv u v au bv ab vu u bv a A B Tìm mối liên hệ giữa các biểu thức của hai vế phương trình.. pt +, không phải là nghiệm, ta chia hai vế cho : + 0. dk : 4 pt 4. Đk: 4 4 Chia cả hai vế cho :. 4 4 4 4 Dùng hằng đẳng thức GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
Biến đổi phương trình về dạng : A k B k. Đk: 0 khi đó pt đ cho tương đương : 0 0 9 4 Đk: phương trình tương đương : 9 97 8 9. pttt Trục căn thức tìm nhân tử chung đánh giá: Phƣơng pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0 như vậy phương trình luôn đưa về A ta có thể giải phương trình A hoặc chứng minh được dạng tích A vô nghiệm 0 0 A vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía 4. Ta nhận thấy : v 4 Ta có thể trục căn thức vế : 4 6 4 Dể dàng nhận thấy = là nghiệm duy nhất của phương trình. Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : = là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng A, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau : GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
4 4 4 6 4 4 Dễ dàng chứng minh được :, 4. HD :Đk Nhận thấy = là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình 4 9 Ta chứng minh : 4 Vậy pt có nghiệm duy nhất = Bài tập làm thêm: Giải các phương trình sau : ) 9 ) 4 0 ) 0 4) ) 4 6) 7) 8) 4 4 6 8 4 9) 8 II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ:. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn: Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t f và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 4
thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ em như hoàn toàn.nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f thường là những pt tương đối dễ... Điều kiện: 4 6 8 4 4 Nhận ét.. Đặt t thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được t t t 4. Điều kiện: Chia cả hai vế cho ta nhận được: Đặt t, ta giải được.. 4 không phải là nghiệm, Chia cả hai vế cho ta được: Đặt t=, Ta có : t t t Bài tập làm thêm: Giải các phƣơng trình sau a. b. c. d. e. 6 4 4 0 ( R) (ĐH. B. 0) ( )( ) ( )( ) 7 7 9 f. 4 9 GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
g. h. i. n n n ( ) ( ) (004 )( ) j. ( )( 9 8) 68 k. Nhận ét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: a. Đặt ẩn phụ đƣa về dạng tích: Đặt ẩn phụ y u() đưa phương trình về dạng g(, y). Chọn hoặc y làm ẩn đưa về phương trình bậc hai. Từ đó vận dụng định lý để đưa pt về dạng tích. Định lý: Nếu phương trình bậc hai a b c có hai nghiệm p.b và thì: a b c a( )( ) t. t t, ta có : t t 0 Đặt : t, t Khi đó phương trình trở thnh : t t Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc theo t có chẵn : t t t t t. 4 Nhận ét : đặt t, pttt: 4 t t () Ta rt t thay vo thì được pt: t t 4 Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t 48 không có dạng bình phương. GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 6
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách theo, Cụ thể như sau : Bài 4. Giải phương trình: Giải. thay vào pt () ta được: 4 4 9 6 4 4 6 4 6 9 6 Bình phương vế phương trình: Ta đặt : t 4. Ta được: 9 4 9 8 Ta phải tách 9 6t 8 làm sao cho t có dạng chình phương. Nhận ét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích b. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ: Cho phương trình: f() = 0. Đặt y = u(). Tìm mối liên hệ giữa và y ta sẽ có hệ phương trình theo và y. Dạng : Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thông thƣờng Đặt u, v và tìm mối quan hệ giữa và Ví dụ: Giải các phương trình sau. 6 Điều kiện: từ đó tìm được hệ theo u,v. Đặt a, b ( a, b ) thì ta đưa về hệ phương trình sau: a b b Vậy Đặt ( a b)( a b ) a b a b a 7 0 y y y( y) 0 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:, giải hệ này ta tìm được y ( y ; ) (;) (;). Tức là nghiệm của phương trình là {;} GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 7
. 6 6 8 Điều kiện: Đặt u, v y 0 u, v 0. Khi đó ta được hệ phương trình: u v 0 ( u v) 0 uv 4 4 8 4 ( u z) ( u v) u v uv 4.. 6 8 (ĐH. A. 009) Dạng : Xây dựng phƣơng trình vô tỉ từ hệ đối ứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối ứng loại II Ta ét một hệ phương trình đối ứng loại II sau : đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y y y () việc giải hệ này thì () y f sao cho () luôn đúng, ( ), khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ ay b Bằng cách tương tự ét hệ tổng quát dạng bậc :, ta sẽ ây dựng được y a b phương trình dạng sau : đặt y a b, khi đó ta có phương trình : a a b b a a b b Tương tự cho bậc cao hơn : n n Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khia triển ta phải viết về dạng : n n p a' b' n v đặt y a b để đưa về hệ, chú ý về dấu của??? Việc chọn ; chọn được. n thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : p a' b'. n là GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 8
Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: ( ) Đặt y thì ta đưa về hệ sau: y y y ( ) ( ) Trừ hai vế của phương trình ta được ( y)( y) Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Điều kiện 6 4 4 Ta biến đổi phương trình như sau: 4 4 ( ) 4 ( ) 4y Đặt y 4 ta được hệ phương trình sau: ( y)( y ) (y ) 4 Với y 4 Với y y Kết luận: Nghiệm của phương trình là { ; } c. Đặt ẩn phụ đƣa pt về dạng thuần nhất bậc đối với biến: Chúng ta đã biết cách giải phương trình: Xét v phương trình trở thành : v thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được () a. A bb c A. B u v mu nv u uv v () bằng cách u u v v Chúng ta hãy thay các biểu thức A(), B() bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này. Dạng : a. A bb c A. B Như vậy phương trình Q P P A. B Q aa bb Xuất phát từ đẳng thức : có thể giải bằng phương pháp trên nếu GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 9
4 4 4 4 4 4 Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 4 Để có một phương trình đẹp, chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at bt c giải nghiệm đẹp. Đặt u v, phương trình trở thnh : Tìm được:. Đk: 7 u v u v uv u v 4 7 Nhận t : Ta viết 7 Đồng nhất thứ ta được 7 Đặt u, v, ta được: Ta được : 4 6 v 9u u v 7 uv v u 4 6 4. Nhận ét : Đặt y ta hy biến pt trn về phương trình thuần nhất bậc đối với và y : y y 6 y y y GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 0
Pt có nghiệm :, Dạng : u v mu nv Phương trình cho ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.. 4 u Ta đặt : v khi đó phương trình trở thành : u v u v Đk 4. Bình phương vế ta có : Ta có thể đặt : v u khi đó ta có hệ : uv u v u v u v uv. u v Do, 0 III. PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : A B, ta ây dựng phương trình dạng A Từ phương trình 4 4 9 Dùng bất đẳng thức: B 9 ta khai triển ra có phương trình: A m Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: B m () cùng dạt được tại 0 thì 0 là nghiệm của phương trình A B nếu dấu bằng ỏ () và GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và, dấu bằng khi và chỉ khi =0. Vậy ta có phương trình: 008 008 A f Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : B f ( ) A f khi đó : AB B f Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được. Đk 9 9 Ta có : Dấu bằng 7 4 4 9 6 Đk: 9 6 Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki:.... 7 406 0 0 6 0 64 6 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng 0 6 0. ` 4 8 40 8 4 4 4 Ta chứng minh : 8 4 4 và 8 40 GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
Bài tập làm thêm: Giải các phương trình sau ) 8 ) 4 4 4 ) 4) 4 4 4 8 4 4 4 4 6 6 4 4 ) ` 4 8 40 8 4 4 IV. PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ.Xây dựng phƣơng trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu: Dựa vào kết quả : Nếu y dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : f t là hàm đơn điệu thì f f t t ta có thể ây y f mọi ta ây dựng phương trình : f f ( ), Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình f f thì bài toán sẽ khó hơn 7 4 Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : 7 4 y Đặt y khi đó ta có hệ : y = y y. 4 4 4 9 cộng hai phương trình ta được: f f Xét hàm số f t t t, là hàm đồng biến trên R, ta có 4 6 7 9 4 Đặt 7 9 4, ta có hệ : y y y 4 6 y 7 9 4 y GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP
Xét hàm số : f t t t, là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình f y f y 7 9 4. 6 8 4 V. PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HÓA. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với t ; y ; sao cho cos y Nếu 0 thì có một số t với t 0; y 0; sao cho cos y Với mỗi số thực có t ; sao cho : tan t Nếu :, y là hai số thực thỏa: sin t, y cost Từ đó chúng ta có phƣơng pháp giải toán : sao cho : sin t và một số y với sao cho : sin t và một số y với y, thì có một số t với 0t, sao cho Nếu : thì đặt sin t với t ; hoặc cos y Nếu 0 thì đặt sin t, với t 0; Nếu :, y là hai số thực thỏa: Nếu a, ta có thể đặt : X là số thực bất kỳ thi đặt : tan t, t ; Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện với y 0; hoặc cos y, với y 0; y, thì đặt sin t, y cost với 0t a, với t ; sint, tương tự cho trường hợp khác f t thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một t, và điều kiện trên để đảm bào điều này. (em lại vòng tròn lƣợng giác ) vô tỉ Xây dựng phƣơng trình vô tỉ bằng phƣơng pháp lƣợng giác: Từ công phương trình lượng giác đơn giản: cost sin t, ta có thể tạo ra được phương trình Chú ý : cos 4cos cos t t t ta có phương trình vô tỉ: 4 () Nếu thay bằng ta lại có phương trình : 4 () GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP 4
Nếu thay trong phương trình () bởi : (-) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: 4 9 () Tương tự như vậy từ công thức sin, sin 4,.hãy ây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác.. Điều kiện : : thì Với [ ;0] (ptvn) [0;] ta đặt : cos t, t 0;. Khi đó phương trình trở thành: 6 cos sint sint cost vậy phương trình có nghiệm : 6 đk:, ta có thể đặt Khi đó ptt: t, t ; sint cost cot t sin sin Phương trình có nghiệm :. đk 0, Ta có thể đặt : tan t, t ; Khi đó pttt. t t t t t t sin cos cos 0 sin sin sin 6 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm HẾT Chúc các em ôn tập thật tốt và đạt được kết quả cao trong kỳ thi sắp tới! GV biên soạn: Nguyễn Tiến Định THPT Thanh Hòa Bù Đốp - BP