Microsoft Word - VaiDieuThuViVeMotLoaiTamGiacDacBiet

Kích thước: px

Bắt đầu hiển thị từ trang:

Download "Microsoft Word - VaiDieuThuViVeMotLoaiTamGiacDacBiet"

Hồ Phong
4 năm trước
Lượt xem:

1 VÀ ĐỀU THÚ VỊ VỀ MỘT LOẠ TM GÁ ĐẶ ỆT Ta quy ước gọi một tam giác có độ dài các cạnh là các ố tự nhiên liên tiếp là tam giác đẹp và nếu cạnh nhỏ nhất của tam giác là n,n N thì đó là tam giác đẹp thứ n. Ta ẽ tìm hiểu một ố tính chất của tam giác loại này. ) ác tính chất cơ bản Dưới đây ta xét tam giác là tam giác đẹp thứ n có < <. Ta thấy nếu n = thì độ dài các cạnh không thỏa bất đẳng thức tam giác nên chỉ xét n >. ) Tính chất : - Với n =, ta có tam giác tù và đây là tam giác đẹp tù duy nhất. n+ - Với n =, ta có tam giác vuông và đây là tam giác đẹp vuông duy nhất. - Với n >, ta có tam giác nhọn. n+ * hứng minh: Ta thấy trong tam giác, là góc lớn nhất. Ta có các kết quả quen thuộc au: Với là góc lớn nhất, ta đặt : n t n n n n n n = + = + ( + ) ( + ) = = ( ) thì : - Tam giác tù tại khi t< 0 ( n ) < n < n< n= - Nếu thì tam giác vuông tại khi t= 0 ( n ) = n= - Nếu thì là tam giác nhọn khi t> 0 ( n ) > n > n>. ) Tính chất : Trong tam giác đẹp phân giác D chia đoạn thành hai đoạn có độ dài bằng nửa các cạnh,. * hứng minh: Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: D D = = D D+ D + D D = = D= + n+ n+ Tương tự, ta cũng có: D =. Đây chính là đpcm. D

2 ) Tính chất : Trong tam giác đẹp, đoạn thẳng nối trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp ong ong với. * hứng minh: Gọi H, E lần lượt là hình chiếu của và lên đoạn, rõ ràng E chính là bán kính đường tròn nội tiếp. Ta thấy: S = H. = E( + + ) H.( n+ ) = E( n+ n+ + n+ ) G E n+ = = H n+ H E Suy ra khoảng cách từ đến bằng H. Mặt khác: vì G là trọng tâm tam giác nên: SG SG = SG = SG = ; S do đó, G cũng cách một khoảng bằng H. Từ hai điều này, ta được G//. ) Tính chất : Đoạn G có độ dài không đổi. D G M * hứng minh: Theo tính chất thì: D = n, mà = n+ n+ n M nên: DM = =. Theo tính chất, đoạn G ong ong với DM nên theo định lí Thale: G G = = G= DM =. =, tức là G DM M có độ dài không đổi. Đây chính là đpcm. 5) Tính chất 5: Nếu H là chân đường cao kẻ từ xuống thì H H không đổi. *hứng minh: Do các tam giác H và H đều vuông ở H nên theo định lí Pythagore, ta có: = H + H, = H + H. Suy ra:

3 H = H H = H H + = + ( n ) n ( H H)( H H) n + n+ n = ( H H) ( n+ ) = ( n+ )( H H) H H= Ta có đpcm. 6) Tính chất 6: Gọi H, D, M là chân đường cao, phân giác, trung tuyến ứng với đỉnh của tam giác và E là tiếp điểm đường tròn nội tiếp lên cạnh. hứng minh khoảng cách giữa các điểm này không đổi. * hứng minh: Do E tiếp điểm đường tròn nội tiếp lên cạnh nên: + n+ E = =. Từ tính chất 5, ta tính được: 5 = [( ) + ( + )] = n+ n+ H H H H H, mà D= = nên ta tính đượ;c HE= H E=, HM = H M=, HD= H E=, tức là khoảng cách giữa các điểm H, D, M, E không đổi (đpcm). 7) Tính chất 7: Gọi O, lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. hứng minh tam giác O vuông tại. * hứng minh: Gọi H, D, M lần lượt là chân đường cao, phân giác và trung tuyến ứng với đỉnh của tam giác. E là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp lên. Giả ử D cắt OM tại K. Ta thấy: 0 H= O = 90, mà là phân O giác = nên: H = O. Mặt khác: H//OK nên: H = KO, do đó: O = KO hay tam giác OK cân tại O. H E D M Ta dễ dàng tính được: DE = DM = nên: D = DK hay K = D. Đồng thời, theo định lí Thale: K

4 D H = = = = D. D E D Do đó: = K hay là trung điểm của đoạn K, uy ra: O là trung tuyến của tam giác cân OK O cũng là đường cao của tam giác OK. Vậy tam giác O vuông tại (đpcm). ) Vấn đề diện tích nguyên của tam giác đẹp Trước hết, ta ẽ tính diện tích của tam giác theo n. Từ tính chất, ta có thể tính n+ 5 H= ( H H) + ( H+ H) = (+ n+ ) =. Từ đó, ta có: được : [ ] n+ 5 H = H = ( n+ ) = ( n+ ) H= ( n+ ) Do đó, diện tích của tam giác là: S = H. = ( n+ ) ( n+ ). Để diện tích này là ố nguyên, trước hết ta ẽ tìm các giá trị n ao cho vì biểu thức ( n+ ) nhận giá trị nguyên (vì biểu thức này không thể nhận giá trị hữu tỉ được). Đặt m n m n = ( + ) = ( + ), uy ra: m, đặt m= k, k Z. Ta được: 9k ( n ) k ( n ) = + = +. Suy ra: k và n+ có cùng tính chẵn lẻ; nhưng chúng không thể cùng lẻ vì khi đó: ( ) ( ) S = n+ n+ Z. Do đó, k và n+ cùng chẵn, đặt n+ = x, k = y; x, y Z, x, thay vào đẳng thức trên, ta được: ( x) = ( y) x y = (*). Rõ ràng, ( x; y ) = (,) là nghiệm dương nhỏ nhất của (*). Giả ử (x; y) là một nghiệm của (*), khi đó: (x+ y) ( x+ y) = (x + xy+ 9 y ) ( x + xy+ y ) = x y = nên (x + y; x + y) là nghiệm của (*); khi đó, các nghiệm của (*) ẽ lập thành một dãy như au: (;), (7; ), (6; 5), Ta ẽ chứng minh rằng ngoài các nghiệm này, (*) không còn nghiệm nào khác. Thật vậy: giả ử tồn tại một nghiệm (x ; y ) của (*) không thuộc dãy trên. Khi đó:

5 ( x ' y ') ( x ' y ') ( x ' x ' y ' 9 y ' ) ( x ' x ' y ' y ' ) x ' y ' = + + = = nên ( x ' ; y ' ) = ( x ' y '; x ' y ') cũng là nghiệm của (*). Dễ thấy: x < y nên x ' < x '; y ' < y '. Tiếp tục quá trình này, đến một lúc nào đó ẽ có cặp ( x ' ; y ' ) là nghiệm của (*) mà y ' < hay y ' =, nghĩa là các nghiệm này trùng với các nghiệm đã nêu. Mâu thuẫn này uy ra đpcm. Vậy S nguyên khi và chỉ khi n thỏa mãn: n= x với x được xác định như trên. ác giá trị của n để diện tích tam giác nguyên lần lượt là:,, 5, ứng với diện tích các tam giác là 6, 8, 70, ) ác bài tập liên quan ) ho tam giác có =, =, =. Trên đoạn thẳng lấy điểm D ao cho D =. a/ hứng minh rằng: tam giác đồng dạng với D. b/ hứng minh rằng: = +. ) ho tam giác có đoạn thẳng nối trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp ong ong với một cạnh của tam giác. hứng minh rằng là tam giác đẹp. ) ho là tam giác đẹp có diện tích bằng S là một ố nguyên. hứng minh: S là ố chẵn. ) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đẹp thứ n và chứng minh rằng không tồn tại tam giác đẹp có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ố nguyên. 5) ho tam giác là tam giác đẹp có < <. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của, và D là phân giác của tam giác. Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. hứng minh rằng: a/ DM, DN. b/ Đường tròn đường kính D cắt các đoạn DM, DN tại trung điểm của chúng. c/ Giả ử cắt DN tại E, cắt DM tại F. hứng minh bốn điểm,, E, F cùng thuộc một đường tròn. 5

Tài liệu tương tự

Microsoft Word - bai tap ve tiep tuyen 1.doc

Microsoft Word - bai tap ve tiep tuyen 1.doc ài 1: ho tam giác nhọn ( < ). Vẽ đường tròn (;R) đường kính cắt, lần lượt tại và F. Vẽ đường cao cắt F tại. a) hứng minh,, thẳng hàng. b) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác F. hứng minh: F là tiếp