euler52.dvi

Bản ghi

1 ÇËÊÎÌÁÇÆË ËÍÊ Ä ÇÅÈÊÁËÇÆ Ë ÊË ÇÍÊË ÆÇÆ ÊÌÁÁÄË ½ ÄÓÒÖ ÙÐÖ ËÓÑÑÖ ØØ ØÙ Ò ÕÙ Ð ÔÖÒØ ¾ ÔÖÓÚÒÒÒØ Ð ÑÑ ÓÙÖº Ò Ø Ð³ÙÒ Ø Ð³ÙØÖ ÖÔÓ ÒØ ÙÖ ÙÒ ÑØÓ ÓÒ ØÒØ ÓÑÔÖÖ ÒØÖ ÐÐ Ø ÐÖÕÙÑÒØ ÓÖÑÙÐ ÒØÖÐ ÕÙ Ò ÔÙÚÒØ ØÖ ÖÔÖ¹ ÒØ Ò ÐÖÕÙÑÒØ Ò ÔÖ ÒÐ ÓÙ ÐÓÖØÑ º ÇÖ ØØ ÑØÓ ÔÖ ÑÒØ Ö ÕÙ ØÓÙØ ØØ ØÙ Ø ÑÒ Ø ¹ ÕÙ Ò ÓÒØÓÒ ØÐÐ ÕÙ³ÐÐ Ò³ Ô Ø ÓØÒÙ ÙØ ÙÒ ØÖÚÐ ÓÒ ØÖÙØ Ñ ÔÐÙØØ Ø ÓÙÚÖØ Ò ÕÙÐÕÙ ÓÖØ ÔÖ Ö ÔÖØÖ ÕÙÓ ÓÑÑ ÓÒ Ð³ ØÒÙ ³ÙØÖ ÖÖ ØÖ ØÖØ ÐÐ Ô¹ ÔÖØ ÑÖØÖ ³ØÖ ÓÒ ÖÐÑÒØ ÔÖØÓÒÒ Ú ÖÒ ØØÒØÓÒº ÖØ Ò Ð³ØÙ ÔÖÒØ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ö ÕÙй ÓÒÕÙ ÓÙÖ Ö ÕÙ ÓÒØ ÖÔÖ ÒØ ÔÖ Ð ÒØÖÐ ÒÒ adt ÔÙÚÒØ ØÖ ÓÑÔÖ ÒØÖ ÙÜ Ø ÐÓÖ ÕÙ³ÙÒ Ö Ø A+Bz+C 2 +Dz 3 +Ez4 ÓÒÒ Ò Ò³ÑÔÓÖØ ÕÙÐ ÐÙ ³ÙØÖ Ö ÐÙ ÔÖ ÒØÒØ ÙÒ Ö ÓÒ ÓÒÒ ÔÙÚÒØ ÐÙ ØÖ Ò ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÜØÑÒØ Ð ÑÑ ÓÒ ÕÙ³ÓÒ Ð³ØÙ ÓÑÔÖÖ ÒØÖ ÙÜ Ö Öк ÇÖ Ð ÓÙÖ ÕÙ³ÓÒ Ð³ØÙ ³ÔÔÐÖ ÐÑÒ Ø ÓÙØ ³ÙÒ ØÐÐ ÔÖÓÔÖØ Ø ÓÒ Ö Ø ÖÔÖ ÒØ ÔÖ Ð³ÒØÖÐ ÒÒ dz Ð ÓÑÔÖ ÓÒ Ö 1 z 4 Ö ÜÔÐÕÙ ÓÒÑÑÒØ Ò ØØ ØÙº Ò ÓÙØÖ ÐÖ ÙØÙÖ ØÒØ ÖÖ ÙÜ Ö ÐÐÔØÕÙ Ø ÝÔÖÓÐÕÙ Ó Ð³ÓÒ ÔÔÖ¹ Ð ØÓÙØ ÒÓÙÚÐÐ ÔÙ Ò ØØ ÑØÓ ÔÙ ÕÙ Ð ÖØØÓÒ Ð³ÐÐÙÔ Ø Ð³ÝÔÖÓÐ Ò ÔÙØ ØÓÙØ ÓÒ ØÖ ÖÑÒ ÓÖ¹ ÑÙÐ ÒØÖÐ ÔÖÑÑÒØ ÚÓÕÙ º ÇÒ Ò ÔÙØ Ô ÒÓÒ ÔÐÙ Ò ÓÙÖ ÓÑÔÖÖ ÐÙÖ Ö ÓÑÑ ÓÒ Ð Ø Ú Ð ÖÐ Ñ ÐÓÖ Õ٠гÓÔÖØÓÒ ÙØ ØÙ Ð Ý ÙÒ ÖØÒ ØÑÔ Ò Ð Ö ÔÖÓÐ ½ Ç ÖÚØÓÒ ÓÑÔÖØÓÒ ÖÙÙÑ ÙÖÚÖÙÑ ÖÖØÐÙÑ ÓÑÑÒØØÓÒ ÒÐÝØ ØÓÖÑ ÒØÖÐÙÑ ÐÐÔØÓÖÙÑ ÔÖØÒÒØ ÄÓÒÖ ÙÐÖ ÇÔÖ ÇÑÒ ËÖ ÔÖÑ ÓÔÖ ÑØÑØ ÚÓк ¾¼ ÔÖÙ Ôº ¼¹½¼º ijÜØÖØ ÔÖÓÔÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÜ Ô ¼¹º ¾ ÒØÖØÓÒ ÕÙØÓÒ ÖÒØÐ mdx 1 x = mdy Ñ Ôº ¹ 1 y 4 4 ½

2 ÐÐ ÒÓÙ Ø ÓÖØ Ö ØØ ÒÓÙÚÐÐ ÑØÓ Ò Ð Ö ³ÐÐÔ Ø ³ÝÔÖÓк Ò ØÒØ ÓÒÒ ÙÒ Ö ÕÙÐÓÒÕÙ ÔÖ ÙÖ Ð³ÙÒ Ó٠гÙØÖ ÓÙÖ Ð Ø ØÓÙÓÙÖ ÔÓ Ð ³ÒØÖÔØÖ ÙÖ Ð ÑÑ ÓÙÖ ÙÒ ÙØÖ Ö ÓÑÑÒÒØ Ò ÙÒ ÔÓÒØ ÓÒÒ ÓÒØ Ð ÖÒ Ù ÔÖÑÖ ÔÙØ ØÖ ØÒÙ ÔÓÙÖ ÓÑØÖÕÙº Ò Ø ÒÖÓØ ÓÒ ÔÙØ ÓÑÔÐØÖ Ð³ØÙ ÓÖØ ÕÙ Ð ÖÒ ÒÓÒ Ö ÙܹÑÑ Ñ ÑÙÐØÔÐ ÕÙÐÓÒÕÙ ÖÒÖ ÓÒØ ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÒÐ Ø ÕÙ Ð³Ö Ö ÓÑÑÒ Ò ÙÒ ÔÓÒØ ÓÒÒº Ë ³ÙØÖ ÔÖØ ÓÒ Ð Ø ØØ ÖÒÖ ÓÒØÓÒ ÓÖØ ÕÙ Ð³Ö Ö ÖÙØ ÙÒ ÔÓÒØ ÓÒÒ ÓÒ ÔÙØ ÓÒÐÙÖ ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ ÕÙ Ð ÖÒ Ö ÙܹÑÑ ÓÙ Ò ÑÙÐØÔÐ ÕÙй ÓÒÕÙ ÖÒÖ ³ÒÒÙÐÒØ Ø ÕÙ³Ò Ð Ö ÕÙ ÔÖ ÒØÒØ ÒØÖ ÙÜ ÙÒ Ö ÓÒ ÔÖØÑÒØ Ü ÔÙÚÒØ ØÖ Ò º Ø ÓÖÑ ÔÖÓÐÑ ÕÙ ÑÖØ ³ØÖ ÓÒ Ò Ø Ò ÐÕÙÐ ÓÒ ÑÒ ÔÖØÖ ÙÒ Ö ÓÒÒ ÕÙÐÓÒÕÙ ÓØ ÐÐÔØÕÙ ÓÙ ÓØ ÝÔÖÓÐÕÙ ÓÖØ ÕÙ Ð ÖÒ ÐÙÖ ÔÖØ ÚÒÒÒØ ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÒÐ ÔÙØ ØÖ Ö ÓÐÙº ijÙØÙÖ ÖÑÖÕÙ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ ÕÙ Ù ØÒØÐ ÖÓ ¹ ÑÒØ Ò Ð³ÒÐÝ ÒÒ ÔÙÚÒØ ØÖ ØØÒÙ ÔÙ ÕÙ ØØ ÓÒ ÒØÖÐ ³ÕÙØÓÒ ÖÒØÐÐ Ö ØÒØ ØÓÙØ ÙØÖ Ñ¹ ØÓ ÔÙÚÒØ ØÖ ÑÒØÒÒØ Ò ÐÖÕÙÑÒغ Ù ÔÓÒØ ÚÙ ÐÙÖ ÙØÐØ Ä ÖÖ ÑØÑØÕÙ ÑÐÒØ ÚÓÖ ÖÙÖ ÙÜ Ð Ò Ð ÔÖÑÖ ØÖÓÙÚÒØ ÐÐ ÕÙ ÔÔÓÖØÒØ ÕÙÐÕÙ ÔÖÓØ ÔÖØÙÐÖ Ð Ú ÓÑÑÙÒ Ø ÙÜ ÙØÖ ¹ ÔÐÒ Ø ÕÙ ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ ÓÒ Ð³ØÙ ³ØØÖÙÖ ÙÒ ÚÐÙÖ ÓÒÓÖÑ Ù ÔÖÓØ ÓØÒÙº ÉÙÒØ Ð³ÙØÖ Ð ÐÐ ÓÑÔÖÒ Ö¹ Ö ÐÓÖ ÑÑ ÕÙ³ÐÐ Ò ÓÒØ ³ÙÙÒ ÔÖÓØ ÔÖØÙÐÖ ÕÙ ÔÒ¹ ÒØ ÒÓÙ ÓÖÒØ Ð³Ó ÓÒ ÖÔÓÙ Ö Ð ÖÓÒØÖ Ð³ÒÐÝ Ø ØÑÙÐÖ Ð ÓÖ ÒÓØÖ ÒØÐÐÒº ÈÙ ÕÙ ÒÓÙ ÓÑÑ ÓÒØÖÒØ ³ÒÓÒÒÖ ØÖ ÒÓÑÖÙ ÖÖ ÓÒØ ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ØØÒÖ ÙÒ ØÖ ÖÒ Ò ÔÖ ÙØ Ð ÙÐ ÑÔÖØÓÒ Ð³ÒÐÝ Ð Ô¹ ÖØ ÔÖÓÔÓ ØÒÖ ÓÑÔØ Ð³ÑÔÓÖØÒ ØÖÚÙÜ ÕÙ ÔÖÓÑØØÒØ ÖÓ ÑÒØ ÒÓÒ ÒÐРгÒÐÝ º ÇÖ Ò ÚÙ ÙØ Ó ÖÚØÓÒ ÔÕÙ ÔÖØÙÐÖÑÒØ ÔÔÖÓÔÖ ÑÐÒØ Ü ØÖ Ñ ÓÑÑ ÐÐ ÓÒØ Ø Ø Ò ÕÙÐÕÙ ÓÖØ ÔÖ ÒØ ØÓÙÓÙÖ ÔÓ Ø¹ ÖÓÖ Ð ÑÓÝÒ ÔÖÚÒÖ ÐÐ ¹Ð ÑÑ ÔÖÓÖ Ø ÔÖ ÙÒ ÚÓ ÖØ Ø ÔÙ ÚÓÖ ÙÙÒÑÒØ ÜÑÒº Ë Ò Ø ØØ ÖÐØ ØØ ÓÖÑ ÓÒÒÙ ÓÒ ÔÓÙÖÖØ ÖÖÖ ÔÐÙ ÐÑÒØ ÔÖÑ ÑØÓ ÐÐ ÕÙ ÓÒÙÖÒØ ÖØÑÒØ Ð ÚÖØ Ø Ð Ò Ø ÙÙÒ ÓÙØ ÕÙ Ö Ð ÖÖ ÒÓÙÚÐÐ ÑØÓ Ð ÐÑØ Ð³ÒÐÝ ÖÙÐÖÓÒØ ÓÒ ÔÔÖк ÇÖ ³ ØÖÓÙÚ ÕÙÐÕÙ Ó ÖÚØÓÒ ØØ ÒØÙÖ Ø Ò ÙÙÒ ÑØÓ ÚÖ Ò Ö ÓÒ ÔÔÖÒØ Ò Ð ÐÚÖ ÓÙÚÖ Ð³ÁÐÐÙ ØÖ ÓÑØ ÒÒÓ ÕÙ ÓÒØ Ø ÔÙÐ ÖÑÑÒØ ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ Ó Ö¹ ¾

3 ÚØÓÒ ÓÚÒØ ÑÖØÖ ØÓÙØ ÒÓØÖ ØØÒØÓÒ Ø Ð³ØÙ ÕÙ Ò Ø ÚÐÓÔÔ Ò Ð ÙØ Ò ÓØ Ô ØÖ ÓÒ Ö ÓÑÑ ÒÙØк Ù ¹Ø¹ÓÒ ÚÓ¹ ÕÙ Ò ÐÚÖ ÖØÒ ÔÖÓÔÖØ ÒÙÐÖ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ð ÐÐÔ ÀÝÔÖÓÐ Ø ÐÑÒ Ø ÚÓÖ ÕÙ Ö ÖÒØ ÓÙÖ ÓÑÔÖÒØ ÒØÖ ÙÜ ÓÖ ÓÑÑ Ð Ö ÓÒ ÔÖÓÔÖØ ÑÐ ØÖ ÑÝ ØÖÙ ÔÒ Ò Ô ØÖ ÓÖ ÙØ Ð ÜÑÒ Ú ÓÒ Ð Ñ ÖÚÒØ ÐÑÒØ ³ÚÓÕÙÖ ÓÙÖ ÙÒ ÔÙÐØÓÒº ÁÐ Ø ÓÒÒÙ ÕÙ Ð ÖØØÓÒ ÓÒÖÒ Ù ÔÖÑÖ ÐÙ ÓÙÖ Ø ÕÙ³ÐÐ ØÖÒ Ò ØÓÙØ Ð ÓÖ Ð³ÒÐÝ Ù ÔÓÒØ ÕÙ ÐÙÖ Ö ÒÓÒ ÙÐÑÒØ Ò ÔÙÚÒØ ³ÜÔÖÑÖ ÐÖÕÙÑÒØ Ñ Ò ÔÙÚÒØ ÒÓÒ ÔÐÙ ÖÙÖÒØ Ð ÕÙÖØÙÖ Ù ÖÐ Ó٠гÝÔÖÓк ³ Ø ÔÓÙÖÕÙÓ Ø ÔÐÙ ÓÖØ Ö ÓÒ ÑÐ ØÓÒÒÒØ Õ٠гÐÐÙ ØÖ ÓÑØ ÒÒÓ ØÖÓÙÚ ÚÓÖ ÕÙ Ò Ð³ÐÐÔ Ø Ð³ÀÝÔÖÓÐ ÙÜ Ö ÔÙ ØÖ ØÖÑÒ ³ÙÒ ÒÒØ ÑÒÖ ÓÖØ ÕÙ ÐÙÖ ÖÒ ÔÙ ØÖ ÖÔÖ ÒØ ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÕÙ Ò Ð ÄÑÒ Ø ÙÜ Ö ÔÙ ÒØ ØÖ ÓÒÒ ³ÙÒ ÒÒØ ÑÒÖ ÓÖØ ÕٳРÓÒØ ÓÙ Ò ÙÜ ÒØÖ ÙÜ ÓÙ Ò Ð³ÙÒ Ð³ÙØÖ Ò ÙÒ ÖÔÔÓÖØ ÓÙÐ ÔÖØÖ ÕÙÓ Ð ÙØ Ò ÙØ Ð ÓÒ ³ ÒÖ ÙÖ ØØ ÑÑ ÓÙÖ Ö ÕÙ ÔÖ ÒØÒØ ÒØÖ ÙÜ ÙÒ ÙØÖ Ö ÓÒº Ò ÚÖØ Ð Ñ³ Ø ÑÔÓ Ð ØÖÓÙÚÖ ÕÙÓ ÕÙ ÓØ ÔÐÙ ÙÖ Ð³ÐÐÔ Ø Ð³ÀÝÔÖÓÐ ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ Ñ ÓÒØÒØÖ ÓÙÖÒÖ ÙÒ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ÔÐÙ Ð Ö ÓÒØ ÓÒ ÔÙØ ÖÔÖ ÒØÖ ÓÑØÖÕÙ¹ ÑÒØ Ð ÖÒº ÉÙÒØ Ð ÓÙÖ ÄÑÒ Ø ÑÖÒØ ÙÖ Ð ÑÑ ØÖ ³ ÚÓÕÙ Ð ØÖ ÒÓÑÖÙ Ø ÕÙ ÔÐÙ Ø ÒÒ ÓÖÑÙÐ ÓÒØ ÔÖ ÚÙÖ ÒÓÒ ÙÐÑÒØ ÔÙÜ ØÖÑÒÖ ³ÙÒ ÒÒØ ÑÒÖ ÙÜ Ö ØÐÐ ÓÖØ ÕٳРÓÒØ ÙÜ ÒØÖ ÙÜ ÓÙ Ò Ò ÙÒ ÖÔ¹ ÔÓÖØ ÓÙÐ Ñ Ù ÕٳРÓÒØ ÒØÖ ÙÜ Ò ÙÒ ÖÔÔÓÖØ ÕÙÐÓÒÕÙ ÒÓÑÖ ÒÓÑÖº Áº ÄÄÁÈË ÇÒ ÔÓ ÔÓÙÖ ÖÖ ½¹ Ò ÓÖØ ÕÙ Ð³Ö dx BM = 1 xx ½º ËÓØ ÙÒ ÕÙÖØ ³ÐÐÔ ½µ ÒØÖ ÓÒØ ÓÒ ÙÔÔÓ Õ٠Рѹ Ü ÓÒØ ½ Ø ÝÒØ ÔÖ ÙÒ ÕÙÐÓÒÕÙ È Ü Ð³ÓÖÓÒ¹ Ò ÕÙ ÐÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö PM = y = c 1 xx ÇÖ ÓÑÑ ÖÒØÐÐ Ø dy = cxdx 1 xx ÓÒ ÙÖ Ð³Ö ÐÐÔØÕÙ ÓÖ¹ Ö ÔÓÒÒØ Ð³ È Üº dx 1 (1 cc)xx BM = 1 xx

4 Ë ÓÒ ÔÖÒ ÙÒ ÙØÖ ÕÙÐÓÒÕÙ É Ù ÓÒ ÙÖ Ð ÑÑ ÑÒÖ ÔÓÙÖ Ð³Ö ÓÖÖ ÔÓÒÒØ BM = dx 1 nuu 1 uu ÔÖÑ ÔÓ ÕÙÐÐ ÖÐØÓÒ ÓØ¹Ð Ý ÚÓÖ ÒØÖ ÙÜ Ü Ø Ù ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÑÑ Ö BM + BN = dx dx 1 nuu + 1 xx 1 uu ÚÒÒ ÒØÖÐ ÓÙ ÔÙ ØÖ ÖÒÙ ÓÑØÖÕÙº ¾º Ä ÕÙ ØÓÒ ÖÑÒ Ðй ØÖÑÒÖ ÙÒ ÓÒØÓÒ Ü ÕÙ ÓØ ØÖ Ù ØØÙ Ù ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖÑÙÐ ÖÒØÐÐ dx 1 xx + du 1 nuu 1 uu ÓØ ÒØÖк ÇÖ ÓÒ ÖÓÒÒØ ÐÑÒØ ÓÒ ÓÒ Ö ØØ ÕÙ ØÓÒ Ò Ð³ Ô ÕÙ ÓÐÙØÓÒ ÔÒ ÔÓÙÖ Ð³ÒØÖØÓÒ ÙÜ ÓÖÑÙÐ Ø ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ Ü ÙØÒØ Ð ÐÑØ Ð³ÒÐÝ ÕÙ³ÐÐ ÖÔÓ ÔÖ¹ ÑÒØ ÙÖ Ð ÖØØÓÒ Ð³ÐÐÔ º ÓÒ ÔÙ ÕÙ³ÓÒ Ò ÔÙØ ÔÖÖ Ò ÙÙÒ ÓÒ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÒÖÐ ÓÒ ÚÖ ÖÖ ÓÐÙØÓÒ ÔÖع ÙÐÖ ÕÙ ÑÑ ÕÙ³Ð Ò³Ý ÙÙÒ Ö ÓÒ ÚÖ ÔÓÙÖ Ð ØÖÓÙÚÖ Ò Ð³ ÒØÐ ØØ ØÚØ ÚÖ ÓÑÔØÖ ÙÖ Ð Ö Ø Ð ÓÒØÙÖº ÔÖØÖ ÕÙÓ Ð ÖÐ ÓÒÑÒØ ÓÐÙØÓÒ ÐÓÖ ÑÑ ÕÙÐÐ ÓÒØ ÔÖ ÑÒØ ÖÓÒÒÙ Ò ÔÓÙÖÖ ÕÙ³ØÖ ÕÙ Ú ÔÒº º ÖØ ÓÒ ÔÖÓØ ÑÑØÑÒØ Ð Ù ¹Ü Ó ÒÓØÖ ÓÖÑÙÐ ÖÒ¹ ØÐÐ ÖÙØ ÞÖÓ Ñ ÔÙ ÕÙ ÙÜ Ö ³ÐÐÔ ÙÜ Ø ÑÐÐ ÔÖÓÚÒÒÒØ ÚÐÙÖ Ø ØÖÓÔ ÚÒØ ÔÓÙÖ Õ٠гÓÒ ÓÚ ØÑÖ ÕÙ³Ð Ò Ø Ö Ò ÖÒ Ð ÕÙ ØÓÒ ÔÓ º ÓÒ ÔÙ ÕÙ ØÓÙØ ÕÙ ØÓÒ ÓÚÒØ ØÖ Ö ÓÐÙ ÔÖ Ð ÖÖ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ ÙÔÔÓ ÓÒ 1 xx = αu Ø α Ø ÓÒÒ ØÐ Õ٠гÓÒ Ø ÖÔÖÓÕÙÑÒØ 1 nuu 1 uu = αx

5 ÇÒ ÙÖ ÐÓÖ BM + BN = α udx + α xdu = αxu + Const ØÓÙØ Ø ÓÑÑ ÓÒ Ð³ ÑÒº ÈÓÙÖ Ð ÚÐÙÖ ÔÖ ÑÒØ α ÒÓÙ ÚÓÒ ÓØ ααuu + ααuuxx = 0 ÓØ 1 nuu ααxx + ααxxuu = 0 ÔÖØÖ ÕÙÓ Ð Ø ÐÖ Õ٠гÓÒ ÓØ ÚÓÖ αα = n ÓÙ α = n ÓÖØ ÕÙ º u = n nxx et BM + BN = xu n + Const º Ò ÕٳРÑÐ ÕÙ ÒÓÙ ÒÓÙ ÓÝÓÒ ÕÙØØ Ð ÕÙ ØÓÒ ØØ ÑÒÖ ÔÒÒØ ØÖÑÒØÓÒ Ò ÔÙÚÒØ ÚÓÖ ÐÙ Ò Ð³ÐÐÔ º Ò Ø ÓÑÑ n < 1 ÔÙ ÕÙ n = 1 cc ÓÒ ÙÖ n nxx < 1 nxx Ø ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ u > 1 ÓÒ Ð³ É Ö ÔÐÙ ÖÒ ÕÙ Ð Ñ¹Ü Ø ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒÖ ÙÒ Ö ÑÒÖ ÓÖØ ÕÙ ØØ ÝÔÓØ Ò ÓÙÖÒÖ ÙÙÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò º º ÆÓÙ ÖÓÒ ÓÒ ³ÙØÖ ÓÖÑÙÐ ÓÒØ 1 xx = α u ou 1 nuu 1 uu = α x ³Ó Ð ÚÒØ αα ααxx uu + nxxuu = 0 et αα ααuu xx + nuuxx = 0 ÆÓÙ Ò ÓÒÐÙÓÒ ÕÙ α = 1 ÓÖØ ÕÙ 1 xx 1 uu xx + nxxuu = 0 et donc u = n nxx ÔÖÓÙ ÒØ ÐÓÖ BM + BN = dx u + du x = xdx + uddu xu Ñ Ð³ÕÙØÓÒ uu + xx = 1 + nxxuu ÖÒØ ÓÒÒ xdx + udu = nxu(xdu + udx) ou xdx + udu = n(xdu + udx) xu ³Ó ÒÓÙ ÓÒÐÙÓÒ BM + BN = n (xdu + udx) = nxu + Const.

6 º ØØ ÓÐÙØÓÒ Ò ÓÙÖ ³ÙÙÒ ÙÐØ ÔÙ ÕÙ³Ò Ø ÔÓÙÖ n < 1 ÓÒ ÙÖ > 1 xx Ø ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ u < 1 ÓÑÑ Ð ÑÒ Ð ÒØÙÖ Ð ÖÐØÓÒ ÒØÖ Ù Ø Úº ÈÖ ÓÒ ÕÙÒØ ÝÒØ Ó ÙÒ ÕÙÐÓÒÕÙ CP = x ÔÖÒÓÒ Ð³ÙØÖ 1 xx CQ = u = ÐÓÖ ÓÒ ÙÖ ÔÓÙÖ Ð ÓÑÑ Ö BM + BN = nxu + Const; Ò ÐÙÐÖ ØØ ÓÒ ØÒØ ÓÒ x = 0 ÓÖØ ÕÙ BM = 0 ÓÒ ÙÖ ÐÓÖ u = 1 Ø Ð³Ö BN ³ØÒ ÙÖ ØÓÙØ Ð³Ö BMNA ÔÖØÖ ÕÙÓ ÓÒ 0 + BMNA = 0 + Const. Ò ØØ ÓÒ ØÒØ Ø = BMNAº ÊÑÔÐÒØ Ð ÓÒ ØÒØ ÔÖ ØØ ÚÐÙÖ ÒÓÙ ÓØÒÓÒ BM + BN = nxu = (1 cc)xu = BN AM º Ë ÓÒ ÓÒÒ ÙÖ ÙÒ ÕÙÖØ ³ÐÐÔ ÙÒ ÔÓÒØ ÕÙÐÓÒÕÙ Å Ð Ø ÔÓ Ð ³ØÖ ÙÒ ÙØÖ ÔÓÒØ Æ ØÐ ÕÙ Ð ÖÒ Ö BM AN ÓÙ Ò ÐÐ ÕÙ ÐÙ Ø Ð BN AM ³ÜÔÖÑ ÐÖÕÙÑÒغ Ò Ö ÚÓÖ ÔÐÙ ÐÑÒØ ÑÒÓÒ Ù ÔÓÒØ Å Ð ÒÓÖÑÐ MS гÐÐÔ ÓÒ ÙÖ Ð ÓÙ ¹ÒÓÖÑÐ PS = ccx Ø Ù PM = c 1 xx Ð ÒÓÖÑÐ MS = c 1 xx + ccxx = c Ø ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ Ð³ гÙØÖ ÔÓÒØ Æ Ö CQ = u = PM MS CAº ÇÙ Ò Õ٠гÓÒ Ù ÔÓÒØ Ð ÔÖÔÒÙÐÖ Ê Ð ÒÓÖÑÐ ÅË ÔÖÓÐÓÒ Ø ÕÙ³ÐÐ ÓØ ÔÖÓÐÓÒ Ù ÕÙ³Ò Î ÓÖØ ÕÙ CV = V A = 1 Ø Ù CR CS = PM CR MS ÓÒ ÙÖ CQ = CS CV º ³ Ø ÔÓÙÖÕÙÓ ÝÒØ ÑÒ Ù ÔÓÒØ Î Ð ÔÖÔÒÙÐÖ ÎÉ Ð³Ü ÐÐ ØÖÑÒÖ Ð ÔÓÒØ É Ø ÔÖÓÐÓÒ ÔÖ ÑÒØ Ð ÔÓÒØ Æº º ÈÙ ÕÙ PS = ccx ÓÒ ÙÖ CS = x ccx = nx Ø ÔÓÙÖ ØØ Ö ÓÒ CR = CQ.CS CV = u.nx 1 = nux ÓÒ ØØ ÑÑ ÔÖÔÒÙÐÖ CR ÒÓÙ Ö ÓÒÒØÖ Ð ÖÒ Ö BM AN ÓÙ Ò BN AMº Ò ØØ ÓÒ Ð ÖÒ Ö ÒÓÑÑ Ö = nx 1 xx 1 nxx ÕÙ ³ÒÒÙÐ ÐÓÖ ÕÙ x = 0 Ø x = 1 Ó

7 Ð ÔÓÒØ Å Ø Æ ÓÒÒØ Ö ÔØÚÑÒØ ÚÜ Ð ÔÓÒØ Ø º ØØ ÖÒ ÚÒØ ÑÜÑÐ nx 4 2xx + 1 = 0 ³ ع¹Ö x = 1 1+c ÙÕÙÐ ÓÒ x = u Ø Ð ÙÜ ÔÓÒØ ÓÒÒØ Ò ÙÒ ÔÓÒØ ÙÒÕÙ Ç ÓÖÖ ÔÓÒ Ð ÖÒ Ö BO AO = nxx = 1 c Ø ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ Ö Ð Ð ÖÒ Ñ¹Ü CA CB ÓÖØ ÕÙ CA + AO = CB + BOº º Ë Ð ÔÓÒØ Å Ø ÔÐ Ù ÔÓÒØ Ç ÓÖØ ÕÙ CP = x = c ÓÒ ÙÖ PM = c c Ø PS = c cc 1 + c 1 + c Ø Ð MS = c c ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ Ð ÔÐ Ù ÔÓÒØ Ç ÔÓÙÖÖ ØÖ ØÖ¹ ÑÒ ÖÒØ ÓÒ º ÇÖ ÔÙ Õ٠гÓÒ CM = CO = 1 + c c = 1 c + cc = 1 + cc 2c cos 60 ÇÒ Ò ÙÖ ÔÖ ÓÒ ÕÙÒØ ÙÒ ÓÒ ØÖÙØÓÒ Ð ÓÒ Ð ÔÖØ ÔÖÓÔÓ ÔÖÓÔÓ Ö Ð ØÓÖÑ ÙÚÒØ ÓÒØ Ð ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÔÖØÖ ÕÙ Ø ÜÔÓ Ø ÐÖº ÌÀÇÊÅ ½ ½¼º Ë ÙÖ ÙÒ ÕÙÖØ ³ÐÐÔ ÓÒ ÑÒ ³ÙÒ ÔÓÒØ ÕÙÐÓÒÕÙ Ð ØÒÒØ ÀÅà ÕÙ ÓÙÔ Ð³Ü Ò À Ø ÕÙ³ÓÒ Ð ÔÖÒÒ Ò ÐÓÒÙÙÖ Ð Ð³ÙØÖ Ü ØÐ ÕÙ Àà ÕÙ³Ò ÙØ ÓÒ ÑÒ ÔÖ Ð ÔÓÒØ Ã Ð ÔÖÐÐÐ Ð³Ü ÓÙÔÒØ Ð³ÐÐÔ Ò Æ Ð ÖÒ Ö Å Ø Æ ³ Ø Ö Å ¹ Æ ÔÓÙÖÖ ØÖ ÓÑØÖÕÙÑÒØ ÓÒ ØÖÙغ Ò Ø ÝÒØ Ù ÒØÖ Ð ÔÖÔÒÙÐÖ Ì Ð ØÒÒØ Ð ÖÒ Ö Å Æ Å̺ Ð ÑÜÑÙÑ ÒÜÙ Ø ÓØÒÙ ÔÓÙÖ ÙÜ Ð³ÕÙØÓÒ Ù º ÓÒÒ ÔÖ ÑÒØ ÕÙ³ÓÒ Ö ÕÙ Ò ÑÐ Ô Ð Ö ÓÒÒÑÒØ ³ÙÐÖ ÓÙ ³ ÑÐ ÓÑÔÖ Ð ØÓÙØ

8 Ä ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ø ÚÒØ ÔÖØÖ Ð ÙÖ ÔÙ ÕÙ Ð ØÒÒØ ÀÅÃ Ø Ô¹ ÖÐÐÐ Ð ÖÓØ ÊÎ º ½ Ôº µ Ø Ð Ò ÙØ Ð Ø ÐÖ ÕÙ ÅÌ Êº ÌÀÇÊÅ ¾ ½½º Ë ÙÖ ÙÒ ÕÙÖØ ³ÐÐÔ º µ ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ ÙÖ Ð Ñ¹Ü Ð ØÖÒÐ ÕÙÐØÖ Ø ÕÙ ÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÔÖÒÒ Ð ÑÒØ Ø ÔÖ ÚÓÖ ÓÒØ ÓÒ ØÖ Ð³ÐÐÔ Ð ÖÓØ Ç ÕÙ ÐÙ Ø Ð Ð ÔÓÒØ Ç ÙÖ Ð ÔÖÓÔÖØ ÙÚÒØ º CA + arc AO = CB + arc BO Ä ÑÓÒ ØÖØÓÒ Ø ÚÒØ ÔÖØÖ Ù ï º Ò Ø ÓÒ ½ Ø Ð³ÒÐ 60 ÓÒ ÓÒ ÙÖ CF = 1 + cc 2e cos 60 = CO ÌÖÙØÓÒ ÂÒ¹ÐÙ ÈÒÒ