ÈÖÓÚ Ö Ø ¹ ÈÖÓ Ó Ë Ð Ø ÚÓ ¾¼½»½ ¹ Å ØÖ Ó ÔÖÓÚ ÓÒ Ø Ö µ ÕÙ Ø ÕÙ Ó ÐÙÒÓ Ú Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ ØÖÓµ Ò Ó Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Ó Ö ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÑ ÕÙ ØÓ Ö ÓÐ Ö Ñ ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ ØÖ Ö µº ÕÙ ØÓ Ú Ð Ö ¾ ÔÓÒØÓ Ó Ö ½¼ Ô Ö Ö Ð Ó Ô Ö Ò Ö Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ó ÐÙÒÓ Ú Ö ØÓØ Ð Þ Ö ¼ Ó Ö ½¼ ÓÑÓ ÒÓØ Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ô Ö ÔÖÓÚ Ö Ø ÕÙ Ø Ñ Ö Ø Ö Ð Ñ Ò Ø Ö Óº ÕÙ Ø Ú Ñ Ö Ø ÙÑ ÔÓÖ ÓÐ ÓÑ ÒÓÑ Ó Ò ØÓ Ô Ò Ó Ö ÕÙ ØÓ ÓÐ º ÉÙ Ø Ò Ð Ò Ê Ø ½º µ ÒÙÒ Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ô Ö ÒØ Ö º µ Ë g(t) ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,b] G(x) x g(t)dt < x < bº ÅÓ ØÖ ÕÙ G (x) g(x)º x t µ Ò f(x) +etdt ÑÓ ØÖ ÕÙ f(x) Ñ Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ñ x º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ f(x) º lim x ¾º µ Ò ÓÒÚ Ö Ò ÔÓÒØÙ Ð ÙÑ ÕÙ Ò ÙÒ Ö {f n (x)}º È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ò µ µ Ò f n (x) (n+)(n+)x n ( x) n,,3,...º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ lim f n(x) Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö x [,] n + µ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ f n (x) ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,] ÑÓ ØÖ ÕÙ lim sup f n (x) +. x [,]
ÉÙ Ø ýð Ö Ä Ò Ö ½º Ë, : R n R n R Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ Ù Ù Ðº µ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð {v,v,...,v p } ÙÑ Ù Ô Ó W R n º Ç ÕÙ Ò ÙÑ ÓÖØÓ¹ ÒÓÖÑ Ð {v,v,...,v p } W µ ÅÓ ØÖ ÕÙ {v,...,v p } ÓÖ ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð W R n v W ÒØÓ v i v i ÓÒ i v,v i v i,v i i,,...,p µ ÒÓÒØÖ ÙÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ô ÐÓ Ú ØÓÖ u (,,, ) u (,,,) u 3 (,,,)º ¾º Ê ÔÓÒ Ó Ù ÒØ Ø Ò µ ÙÑ Ñ ØÖ Þ A R n n Ò ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙØÓÚ ØÓÖ Aº È Ö Ö ÔÓÒ Ö Ó ÔÖ Ü ÑÓ Ø Ò ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ó T : R 3 R 3 Ó Ö X n (x n,y n,z n ) Ò ÔÓÖ x n+ x n y n +z n y n+ x n +y n +z n z n+ z n µ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ô Ó R 3 Ó X Ø ÕÙ X n (,,) Ô Ö ØÓ Ó n µ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ô Ó R 3 Ó X Ø ÕÙ X n Ð Ñ Ø Ó ÕÙ Ò Ó n º
ÉÙ Ø Å ØÓ Ó Å Ø Ñ Ø ÔÐ ½º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ÙÒÓ f(t) Ô Ð ÒØ Ö Ð ÕÙ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ô Ö L{f(t)} F(s) L{e t } s f(t)e st dt, s > L{H(t )} e s s, s >. ÕÙ H(t ) ÙÒÓ À Ú ÓÙ ÙÒÓ Ô Óµ ÔÓÖ {, t < H(t ), t > µ Ó ÕÙ L{f(t)} F(s) ÑÓ ØÖ ÕÙ L{H(t )f(t )} e s F(s) º µ Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ y (t)+y(t) H(t ) y() Ð Ñ Ö ¹ ÔÖÓÔÖ L{f (t)} sf(s) f() ¾º ÐÙÐ Ù Ø ÒØ Ö ÓÑÔÐ Ü µ zdz, µ ÓÒ Ó Ñ Ò Ó Ó ÓÑ Ò Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ (,) Ô ÖÓÖÖ Ò Ó ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó ¾ ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó Ø Ó ÔÓÒØÓ (,) ÚÓÐØ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð (,) Ô ÐÓ ÜÓ Ö Ðº e z z(z ) dz, ÓÒ Ó ÖÙÐÓ ÙÒ Ø Ö Ó ÓÖ ÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Óº
ÆÓÑ ÉÙ ØÓ Æ Ñ ÖÓ ýö ¹
ÈÖÓÚ Ö Ø ¹ ÈÖÓ Ó Ë Ð Ø ÚÓ ¾¼½»½ ¹ Å ØÖ Ó ÔÖÓÚ ÓÒ Ø Ö µ ÕÙ Ø ÕÙ Ó ÐÙÒÓ Ú Ö Ö ÓÐÚ Ö ÕÙ ØÖÓµ Ò Ó Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ö Ó Ö ØÓÖ Ñ ÒØ ÙÑ ÕÙ ØÓ Ö ÓÐ Ö Ñ ÙÑ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ ØÖ Ö µº ÕÙ ØÓ Ú Ð Ö ¾ ÔÓÒØÓ Ó Ö ½¼ Ô Ö Ö Ð Ó Ô Ö Ò Ö Ó ÒÓ Å ØÖ Ó Ó ÐÙÒÓ Ú Ö ØÓØ Ð Þ Ö ¼ Ó Ö ½¼ ÓÑÓ ÒÓØ Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ô Ö ÔÖÓÚ Ö Ø ÕÙ Ø Ñ Ö Ø Ö Ð Ñ Ò Ø Ö Óº ÕÙ Ø Ú Ñ Ö Ø ÙÑ ÔÓÖ ÓÐ ÓÑ ÒÓÑ Ó Ò ØÓ Ô Ò Ó Ö ÕÙ ØÓ ÓÐ º ÉÙ Ø Ò Ð Ò Ê Ø ½º µ ÒÙÒ Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ô Ö ÒØ Ö º µ Ë g(t) ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,b] G(x) x g(t)dt < x < bº ÅÓ ØÖ ÕÙ G (x) g(x)º x t µ Ò f(x) +etdt ÑÓ ØÖ ÕÙ f(x) Ñ Ø ÙÑ ÔÓÒØÓ Ñ Ò ÑÓ ÐÓ Ð Ñ x º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ f(x) º lim x ËÓÐÙÓ µ Ë g : [,b] R ÙÑ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÒØÓ Ü Ø c (,b) Ø Ð ÕÙ b g(x)dx g(c)(b ). ËÓÐÙÓ µë x Ø Ð ÕÙ (x+ x) (,b)º ÒØÓ G(x+ x) G(x) x+ x x+ x x+ x x g(t)dt g(t)dt + g(t)dt ÓÒ Ù ÑÓ Ó Ø ÓÖ Ñ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ô Ö ÒØ Ö º ÄÓ Ó G(x+ x) G(x) x x x g(t)dt g(t)dt xg(c), c (x,x+ x) f(c), c (x,x+ x) Þ Ò Ó x Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º ËÓÐÙÓ µ f (x) x +e x ÑÔÐ Ñ x º Ì Ñ Ñ f (x) < x < f (x) > x > º ËÓÐÙÓ µ lim f(x) x lim t x x +e tdt È Ö t < +e t < Ó ÕÙ ÑÔÐ Ñ ÓÙ ÄÓ Ó ÓÑÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º x +e t > t +e t > t > t +e tdt > t x dt lim x [ t 4 ( ) x, 4 ] x x 4.
¾º µ Ò ÓÒÚ Ö Ò ÔÓÒØÙ Ð ÙÑ ÕÙ Ò ÙÒ Ö {f n (x)}º È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ó Ø Ò µ µ Ò f n (x) (n+)(n+)x n ( x) n,,3,...º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ lim f n(x) Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö x [,] n + µ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ f n (x) ÒÓ ÒØ ÖÚ ÐÓ [,] ÑÓ ØÖ ÕÙ lim sup f n (x) +. x [,] ËÓÐÙÓ µ Ë D R f n : D R ÙÑ ÕÙ Ò ÙÒ º ÔÓÒØÙ ÐÑ ÒØ Ô Ö ÙÑ ÙÒÓ f : D R Þ¹ ÕÙ f n (x) ÓÒÚ Ö lim f n(x) f(x), Ô Ö x Dº ËÓÐÙÓ µ È Ö x ÓÙ x Ø ÑÓ f n (x) º È Ö x < < Ø ÑÓ lim f (n+)(n+) n() ( ) lim n (n+)(n+) ( ) lim ( ) ln() ËÓÐÙÓ µ Ê ÓÐÚ ÑÓ ÕÙ Ó f n (x) lim n+3 n n ( ) (ln()) lim n f n(x) (n+)(n+)( x n +nx n ( x)) (n+)(n+)x n (n (+n)x). Ì ÑÓ Ù ÓÐÙÓ Ö x ÓÙ x n n+ Ò Ó Ó ÙÒ Ó Ó ÔÓÒØÓ Ñ Ü ÑÓº Ì Ñ Ñ Ø ÑÓ ( ) n lim sup f n (x) lim f n x [,] n+ ( ) n ( ( )) n n lim (n+)(n+) n+ n+ ( lim (n+)(n+) ) n ( ) n+ n+ ( lim (n+) ) n+ ( ) (n+)(n+) lim n n+ ( n+ n+ ) n+
ÉÙ Ø ýð Ö Ä Ò Ö ½º Ë, : R n R n R Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÒØ ÖÒÓ Ù Ù Ðº µ Ò ÓÖØÓ ÓÒ Ð {v,v,...,v p } ÙÑ Ù Ô Ó W R n º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ {v,...,v p } ÓÖ ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð W R n v W ÒØÓ v i v i ÓÒ i v,v i v i,v i i,,...,p µ ÒÓÒØÖ ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ô ÐÓ Ú ØÓÖ u (,,, ) u (,,,) u 3 (,,,) º ËÓÐÙÓ µ ÍÑ Ù Ô Ó W R n ÔÓ Ù ÙÑ {v,v,...,v p } ØÓ Ó Ð Ñ ÒØÓ v W ÔÓ Ö Ö ØÓ v i v i º ÓÖØÓ ÓÒ Ð v i,v j i jº ÍÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Ô Ö ÙÑ Ù Ô Ó W ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÕÙ Ø Þ ÓÒ ÐÑ ÒØ v i,v i i,,...,pº µ Ë W R n {v,v,...,v p } ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð W º Ë v W º ÈÓÖÕÙ {v,v,...,v p } ÙÑ W Ü Ø Ñ Ð Ö i Ø ÕÙ v i v i º È Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö j Ø Þ Ò Ó j n Ø ÑÓ v,v j i v i,v j i v i,v j v,v j j v j,v j Ô Ð Ô Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð º Ë Ù ÕÙ j v,v j v j,v j º µ ÓÒ ØÖÙ Ö ÑÓ ÙÑ ÓÖØÓ ÓÒ Ð {v,v,v 3 } Ô ÐÓ Ñ ØÓ Ó Ö Ñ¹Ë Ñ Øº Ò ÑÓ v u (,,,)º Ò ÑÓ v u u,v v,v v Ñ v 3 u 3 u 3,v v,v v u 3,v v (,,,) ++ (,,,) 3 3 (4, 5,,) v,v v (,,,) + (4+)/3 (,,,) 3 (9+6+)/9 (,,,) (,,,) 7 (4, 5,,) 7 ( 4,, 7,6) 3 (4, 5,,)
¾º µ ÙÑ Ñ ØÖ Þ A R n n Ò ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙØÓÚ ØÓÖ Aº Ë ØÖ Ò ÓÖÑ Ó T : R 3 R 3 Ó Ö X n (x n,y n,z n ) Ò ÔÓÖ x n+ x n y n +z n y n+ x n +y n +z n z n+ z n ËÓÐÙÓ µ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ô Ó R 3 Ó X Ø ÕÙ X n (,,) Ô Ö ØÓ Ó n µ Ø ÖÑ Ò Ó Ù Ô Ó R 3 Ó X Ø ÕÙ X n Ð Ñ Ø Ó ÕÙ Ò Ó n º µ ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙÑ Ñ ØÖ Þ A Ó Ð Ö λ ÕÙ Ø Þ Ñ Ax λx Ô Ö Ð ÙÑ Ú ØÓÖ x ÒÓ¹ÒÙÐÓ Ñ Ó ÙØÓÚ ØÓÖ Ó Ó λº Ì ÑÓ X n+ T(X n ) AX n ÓÒ A º Ç ÙØÓÚ ÐÓÖ λ Ñ ØÖ Þ Ø Þ Ñ [( )( ) λ λ ] ( λ) λ ÇÍ 4 4 λ+λ 4 Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ Ó λ λ λ 3 º µ Ê ÔÓ Ø µ E ÙØÓ Ô Ó Ó Ó λ x y z z, x y x y x µ Ê ÔÓ Ø µ E ÓÑ Ó ÙØÓ Ô Ó Ó Ó λ λ ÙØÓ Ô Ó λ α α α Rº x y x y z z z, x y x y x z z β Rº Ñ E α β α+β,α,β R { ÔÐ ÒÓ z }º µ Ê ÔÓ Ø ÐØ ÖÒ Ø Ú µ E Ô Ó ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ó ÙØÓ Ô Ó Ó Ó λ 3 ÙØÓ Ô Ó λ 3 x y x y x y,z Ð ÚÖ x 3 z z Ñ E α β,α,β R { ÔÐ ÒÓ z }º γ γ Rº β β
ÉÙ Ø Å ØÓ Ó Å Ø Ñ Ø ÔÐ ½º ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÙÑ ÙÒÓ f(t) Ô Ð ÒØ Ö Ð ÕÙ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö º µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ô Ö L{f(t)} F(s) L{e t } s f(t)e st dt, s > L{H(t )} e s s, s >. ÕÙ H(t ) ÙÒÓ À Ú ÓÙ ÙÒÓ Ô Óµ ÔÓÖ {, t < H(t ), t > µ Ó ÕÙ L{f(t)} F(s) ÑÓ ØÖ ÕÙ L{H(t )f(t )} e s F(s) º µ Ê ÓÐÚ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Ð Ù Ò Ó Ó Ñ ØÓ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ y (t)+y(t) H(t ) y() Ð Ñ Ö ¹ ÔÖÓÔÖ L{f (t)} sf(s) f() ËÓÐÙÓ µ L{e t } [ e t( s) ( s) s, e t e st dt e t( s) dt ] s > ËÓÐÙÓ µ È Ð Ò Ó Ø ÑÓ L{H(t )} [ e st s e st dt ] e s s, s > L{H(t )f(t )} H(t )f(t )e st dt f(t )e st dt Í ÑÓ ÑÙ Ò Ú Ö Ú Ð u t Ó Ø ÑÓ L{H(t )f(t )} f(u)e s(u+) du e s f(u)e su du e s F(s).
ËÓÐÙÓ µ ÔÐ ÑÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ä ÔÐ ÒÓ ÈÎÁ Ô Ö Ó Ø Ö ÓÙ sy(s)+y(s) e s s ( Y(s) e s s(s+) e s s ), s+ ÓÒ Ù ÑÓ Ö Ô Ö Ò ÐØ Ñ Ô Ñº Ç Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ò µ µ ÒÓ Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÚ Ö ( y(t) H(t ) e (t )). ¾º ÐÙÐ Ù ÒØ ÒØ Ö ÓÑÔÐ Ü µ µ ËÓÐÙÓ µ zdz, ÓÒ Ó Ñ Ò Ó Ó ÓÑ Ò Ó ÒÓ ÔÓÒØÓ (,) Ô ÖÓÖÖ Ò Ó ÖÙÒ Ö Ò Ö Ó ¾ ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Ó Ø Ó ÔÓÒØÓ (,) ÚÓÐØ Ò Ó Ó ÔÓÒØÓ Ò Ð (,) Ô ÐÓ ÜÓ Ö Ðº e z z(z ) dz, ÓÒ Ó ÖÙÐÓ ÙÒ Ø Ö Ó ÓÖ ÒØ Ó ÒÓ ÒØ Ó ÒØ ¹ ÓÖ Ö Óº zdz zdz + zdz, ÓÒ : z e iθ, θ π : z t, t º ÒØÓ ËÓÐÙÓ µ zdz π ÓÒ Ó Ö ÙÓ ÙÒÓ ÓÖ Ñ ( ) e z Ê z(z ), e iθ ie iθ dθ + tdt 4iπ. e z ( ) e z dz πiê z(z ) z(z ), lim z e z (z ). ÄÓ Ó e z dz πi z(z )