mod15.dvi

ÏÓÐ Ò Ãº Ë Ð Ö Ì Ðº 2515 ¾¼½ ½ º Þ Ñ Ö ¾¼½ Modulklausur Algebra Lassen Sie bitte die obere Hälfte der Seite mit dem Aufkleber frei! Schreiben Sie bitte auf jedes Blatt Ihren Namen! Die Aufgaben müssen nicht in der angegebenen Reihenfolge bearbeitet werden; konzentrieren sie sich zunächst auf das, womit sie schnell Punkte holen können! Aufgabe 1: (½¾ ÈÙÒ Ø µ ĐÙÖ Ò ÖÙÔÔ G Þ Ò Ø Ñ Ò Z(G) = {x G gx = xg g G} Ð ÒØÖÙÑ ÚÓÒ Gº Ò Ë µ Z(G) Ø Ò ÍÒØ Ö ÖÙÔÔ ÚÓÒ Gº Lösung: Æ ØĐÙÖÐ Ð Ø Æ ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ò Z(G) ÒÒ g 1 = 1 g = gº ĐÙÖ x,y Z(G) ÙÒ g G Ø g(xy) = (gx)y = (xg)y = x(gy) = x(yg) = (xy)g Ó Ù xy Ñ ÒØÖÙÑ Ð Øº Ë Ð Ð ÓÐ Ø Ù gx = xg x 1 g 1 = g 1 x 1 Ø Ñ Ø g Ù g 1 Đ ÑØÐ Ò Ð Ñ ÒØ ÚÓÒ G ÙÖ ÐĐ Ù Ø Ð Ø Ð Ó Ñ Ø x Ù x 1 Ò Z(G)º µ ĐÙÖ Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ ϕ G G Ø ϕ ( Z(G) ) = Z(G)º Lösung: Ë x Z(G) ÙÒ g G Ð º Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ Ø Ú Ø Ø Ò h G Ó ϕ(h) = g Ø ÙÒ Û Ò x Z(G) Ø hx = xhº Ñ Ø Ø Ù gϕ(x) = ϕ(h)ϕ(x) = ϕ(hx) = ϕ(xh) = ϕ(x)ϕ(h) = ϕ(x)g º º ϕ(x) Ð Ø Ò Z(G) ÙÒ Ñ Ø Ø ϕ ( Z(G) ) Z(G)º Ñ Ø ϕ Ù ϕ 1 Ò Ù¹ ØÓÑÓÖÔ ÑÙ Ø ÑÙ Ù ϕ 1( Z(G) ) Z(G) Ò Ð Ó Z(G) ϕ ( Z(G) ) º ËÓÑ Ø Ø ϕ ( Z(G) ) = Z(G)º µ Z(G) Ø Å Ò ÐÐ Ö x G ÙÒØ Ö Ö ÃÓÒ Ù Ø ÓÒ x x g = g 1 xg Ñ Ø Ñ Ð Ñ ÒØ g G Ù Ð Ø Ð Ø Û Ö Òº Lösung: x Ð Ø Ò Ù ÒÒ Ò Z(G) Û ÒÒ gx = xg Ø ĐÙÖ ÐÐ g Gº Ð ÙÒ Ø Đ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ x = g 1 xg = x g º º x Ð Ø Ò Ù ÒÒ Ò Z(G) Û ÒÒ x g = x Ø ĐÙÖ ÐÐ g Gº µ Z(G) Ø Ò ÆÓÖÑ ÐØ Ð Ö ÚÓÒ Gº Lösung: Æ µ ÐĐ Ø ÃÓÒ Ù Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ñ Ð Ò Ð Ñ ÒØ ÒØÖÙÑ Ó Ö ÔÙÒ ØÛ Ø Ð Ó Ö Ø Ö Ø Ð ÒÞ º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÃÓÒ Ù Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ñ Ð Ñ ÒØ g G Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ ÚÓÒ G Ø ÓÐ Ø Ù Ù µº

µ ĐÙÖ Ò Ð x G C x = {x g g G} Å Ò ÐÐ Ö ÃÓÒ Ù ÖØ Ò ÚÓÒ x ÙÒ ËØ (x) = {g G x g = x} Ö ËØ Ð ØÓÖ ÚÓÒ x ÙÒØ Ö Ö ÃÓÒ Ù Ø ÓÒº Ò Ë Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Ð Ò ÖÙÔÔ G ÐØ C x ËØ (x) = G ÛÓ M ĐÙÖ Ò Ð Å Ò M Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÒÞ Ð Þ Ò Ø Lösung: ÖÙÔÔ G ÓÔ Ö ÖØ ÙÖ ÃÓÒ Ù Ø ÓÒ Ù Ð Ø Ú { G G G (g,x) x g Ò Ò Ð Ñ ÒØ x Ø Å Ò C x ÐÐ Ö Ò Ö ÃÓÒ Ù ÖØ Ò Ö ËØ Ð ØÓÖ Ø ËØ (x)º ËÓÑ Ø Ø ÙÔØÙÒ Đ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙÖ Ò Ð ÒÞ Ð ÙÒ ĐÙÖ ÇÔ Ö Ø ¹ ÓÒº µ ÆÙÒ G Ò ÖÙÔÔ ĐÙÖ G = p n 1 ÈÓØ ÒÞ Ò Ö ÈÖ ÑÞ Ð Øº ÓÐ ÖÒ Ë Ù µ Z(G) > 1 Ø Lösung: Ï Ò µ ÓÔ Ö Ö G Ù Ð Ø ÙÖ ÃÓÒ Ù Ø ÓÒº ĐÙÖ Ð Ñ ÒØ ÒØÖÙÑ Ø Ö ËØ Ð ØÓÖ Ò µ Ð Ö ÒÞ Ò ÖÙÔÔ Ò Ö Ò Ð ¹ Ñ ÒØ º Ø Ñ Ò Ø Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÒØÖÙÑ ÒĐ ÑÐ Æ ÙØÖ Ð Ð Ñ Òغ ĐÙÖ ÖÙÔÔ Ò Ð Ñ ÒØ Ò Ø Ñ ÒØÖÙÑ Ð Ø Ø Ö ËØ Ð ØÓÖ Ò Ø ÍÒØ Ö¹ ÖÙÔÔ ÚÓÒ G Ö Ò ÇÖ ÒÙÒ Ò Ä Ö Ò Ò p¹èóø ÒÞ Ò ÑÙ Ò Ö Ò¹ Ð ÒÞ Ð ÙÒ Ø ÄĐ Ò Ö Ò Ö Ò ÚÓÒ Ö Ò Ú Ö Ò Ò p¹èóø ÒÞº G Ø ÙÒ Ø Î Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ú Ð Ö Ò Ò ØĐÙÒ ÒØÖÙÑ ÒÙÖ Ù Ö Ò Đ ØØ Ò Ù Ò Ö Ò Ò ÄĐ Ò Ò ÐÐ Ò Ö Ò ÄĐ Ò Ò ÛĐ Ö Ò Ø p¹èóø ÒÞ Òº ËÙÑÑ ÐÐ Ö ÄĐ Ò Ò Ð Ö ÖÙÔÔ ÒÓÖ ÒÙÒ p n Ò ÑÙ Ø Ò Ø ÑĐÓ Ð Z(G) Ø Ð Ó Ò ÍÒØ Ö ÖÙÔÔ Ò Ø ÒÙÖ Ù Ö Ò Ø Øº Aufgabe 2: ( ÈÙÒ Ø µ Ù Ò Ö ÃÓÒ Ö ÒÞ Ò ÞÛ ÙÒ ÖØ Å Ø Ñ Ø Ö Ò Ñ Ð Ø ÐÐ Ö Ò Ò Ø ÐÐ ÓÑÑ Òº ÖĐÙ ÙÒ ÞÙ Ö ÐÐ Ì ÐÒ Ñ Ö Ö Ò Ò Ò Ø Ò Ò Ñ Ë Ð Ø ØØ Ò Ñ Ò Ö Ê Ø ÈÐĐ ØÞ Ò º Ò Ö Ò ÔÖ Ø Ö Ä Ø Ö Ö ÃÓÒ¹ Ö ÒÞ ÞÛ Ö ÒØ Ò ÒÓ Ò Ê Ò Ö Ò Ö ÐÐ Ö ÚÓÖ Ö Ò Ê Ò ÚÓÐÐ ØÞØ Ò º Æ Ö ÖĐÙ ÙÒ Ò ÐÐ Ì ÐÒ Ñ Ö Ñ Ø Ù Ò Ñ Ì ÙÒ Ð Ø Ö ÙÒ Ò Ö Ò ËØ ÐÐÚ ÖØÖ Ø Ö ÞÙÑ Ò Ò Ò Ò Ò ËÔ Ð Ñ Ø ÖÙÒ Ò Ì Ò Ò Ò Ò Ò È Ö ÓÒ Ò ÈÐ ØÞ Òº Ð Ö Ò Ö Ö ÔÖ ÙÒ Ò ÐÐ Ò Ò ËÔ Ð ÓÑÑ Ò Ò ÞÛ Ö ÒÓ Ö Ì Ø Ö ÐÐ ĐÙ Ö Ò Ì ÚÓÐÐ ØÞØ Ò º Ñ ÒĐ Ø Ò ÅÓÖ Ò Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ë ØÞÙÒ Ò ÚÓÒ ĐÙÒ Ë Ø ÓÒ Ò Ø ØØ Ö Ì ÐÒ Ñ Ö Ø ÞÙ Ö Ò Ñ Ñ Ø Ò ÒØ Ö Öغ Ï Ö Ù Ø ÐÐØ Ò ÐÐ Ë Ø ÓÒ Ò Ð Ú Ð Ì ÐÒ Ñ Öº Ï Ú Ð Å Ø Ñ Ø Ö Ò Ñ Ò Ò Ö ÃÓÒ Ö ÒÞ Ø Ð À ÒÛ Ï ÒÒ Ë Û Ò Û Ö Ö Ø Ì ĐÙ Ö Ì ÐÒ Ñ ÖÞ Ð Ù Ø ĐÓÒÒ Ò Ë Þ ÑÐ Ò ÐÐ Ö Ø Ò Û Ú Ð Ì Ð¹ Ò Ñ Ö ÃÓÒ Ö ÒÞ ØØ ºµ Lösung: Ù Ø Ø Ò Ð 0 < x < 200 Ò Ò ÙÒ Ò x 1 ÑÓ 8, x ÑÓ 7 ÙÒ x 0 ÑÓ 5 ÒĐ٠غ ÒÒ Ò Û Ö Ñ Ø Ò Ö Ø Ò Ò Ð ÙÒ Òº 8 7 = 1 Ø ÓÐ Ø { { 0 8 ÑÓ 8 1 ÙÒ 7 ÑÓ 8 1 ÑÓ 7 0 ÑÓ 7 ÓÑ Ø Ø 7+8 = 17 Ò ÄĐÓ ÙÒ Ö Ö Ø Ò Ò ÃÓÒ ÖÙ ÒÞ Òº 7 ÙÒ 8 Ø Ð Ö Ö Ñ Ò ÙÒ 7 8 = 56 Ò Đ ÑØÐ Ò ÄĐÓ ÙÒ Ò Ò N Ð Ò 17 + 56r Ñ Ø r N 0 º ÅÓ ÙÐÓ ĐÙÒ Ø 17 + 56r 2 + r Ð Ó Ø Ö ØÑ Ð ĐÙÖ r = ÙÖ ĐÙÒ Ø Ð Ö ÙÒ x = 17 + 56 = 185 Ø Ð Ò Ø ÄĐÓ ÙÒ º ÄĐÓ ÙÒ ÑÓ ÙÐÓ 5 7 8 = 280 Ò ÙØ Ø Ø Ò Û Ø Ö ÄĐÓ ÙÒ ÞÛ Ò ÆÙÐÐ ÙÒ ÞÛ ÙÒ ÖØ Ð Ó Ò Ñ Ò ½ Å Ø Ñ Ø Ö Ø Ðº

Aufgabe : ( ÈÙÒ Ø µ µ Ò Ñ ÊË ¹ËÝ Ø Ñ Û Ö ÒØ Ò Ö ÑÔ ÐÙÒ Ò Ö ÙÒ Ò ØÞ ÒØÙÖµ Ö ĐÓ«ÒØÐ ÜÔÓÒ ÒØ e = ÒÙØÞØ Ö ÅÓ ÙÐ N = pq Ñ Ø p,q > º Ò Ë ÒÒ Ø p q 2 ÑÓ ÙÒ d = 1 + 2ϕ(N) Ø Ò Ò ØĐÙÖÐ Ð Ð ÔÖ Ú Ø Ö ÜÔÓÒ ÒØ ÒÙØÞØ Û Ö Ò ÒÒº Lösung: e = Ø Ð Ö Ö Ñ ÞÙ ϕ(n) = (p 1)(q 1) Ò ÑÙ ÒÒ Û Ö p 1 ÒÓ q 1 ÙÖ Ö Ø Ð Ö Òº Ù p ÙÒ q ĐÓÒÒ Ò Ð ÈÖ ÑÞ Ð Ò ÖĐÓ Ö Ö Ò Ø ÙÖ Ö Ø Ð Ö Òº Ñ Ø Ð Ø ĐÙÖ ÒÙÖ ÒÓ ÅĐÓ Ð Ø Ö ÖÖ Ø ÞÛ Òº ÒÒ Ø ϕ(n) = (p 1)(q 1) 2 2 1 ÑÓ Ð Ó Ø 1 + 2ϕ(N) ÙÖ Ö Ø Ð Ö ÙÒ d Nº ed = d = 1 + 2ϕ(N) 1 ÑÓ ϕ(n) ÙÒ Ò Ù Ò ÙÒ Ø ÐÐØ Ö (a e ) d a ÑÓ N ĐÙÖ ÐÐ a Zº µ Ò Ñ ÓÒ Ö Ø Ò ËÔ ÐÞ Ù ¹µËÝ Ø Ñ N = 9100000080000001 = (1 10 7 + 1)(7 10 8 + 1) Ñ Ø ÈÖ ÑÞ Ð Ò Ð ØÓÖ Òµ ÙÒ e = º Ø ÑÑ Ò Ë Ò ÔÖ Ú Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò d Lösung: ϕ(n) = (p 1)(q 1) = 1 10 7 7 10 8 = 91 10 15 ÙÒ Ò µ ĐÓÒÒ Ò Û Ö Ð ÔÖ Ú Ø Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ñ Òº d = 1 + 2ϕ(N) = 182 1015 + 1 Ð Ó Ø d = 60666666666666 667º 182000000000000 001 = 60666666666666 667 µ Ö ØÞ Ö Ë ÐĐÙ Ð Û ÐÐ Æ Ö Ø ½¾ ¼ ÙÒØ Ö Ö Òº Ï Ð Ð ÑÙ Ö Ö Ò Ò Ë ÓÐÐ Ò Ö ÒÙÒ Ò Ø ĐÙÖ Ò Ù ĐÙ Ö Ò ÓÒ ÖÒ ÒÙÖ Ò Ò Û Ð Ò Ù ÖÙ Ö Ö Ò Ò ÑÙ ºµ Lösung: Ö ÑÙ u = 124567890 d ÑÓ N Ö Ò Òº µ Ö ÒÙÒ Ö ÍÒØ Ö Ö Ø ĐÙ Ö Ù Ö Ò u Nº Ï ÑÙ Ò Î Ö¹ ØÖ Ô ÖØÒ Ö Ò ØÙÒ ÙÑ Ê Ø Ø Ö ÍÒØ Ö Ö Ø ÞÙ ĐÙ ÖÔÖĐÙ Ò Lösung: Ë ĐÙ ÖÔÖĐÙ Ø Ó u 124567890 ÑÓ N غ Aufgabe 4: (½¼ ÈÙÒ Ø µ µ Ò Ë À Ø Ù ÈÓÐÝÒÓÑ f = X + ax 2 + bx + c Z[X] Ò ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ó Ò ÐÐ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ f ÒÞÞ Ð º Lösung: ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ø Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ö Ð ØÙÒ f Ò Ù ÈÓÐÝÒÓÑ Ò Ø Ñ Ö Ð Ò ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÒÒ Ø Ö Ì ÚÓÒ f ÙÒ f ÓÑ Ø Ò Ð Ò Ö ÈÓÐÝÒÓѺ Ï Ò Ö ØÓÖ Ð ØĐ Ø ÚÓÒ Z[X] Ð Ø Ò Z[X] ÙÒ Ð Ì Ð Ö ÚÓÒ f ÑÙ ĐÓ Ø Ò ÃÓ ÆÞ ÒØ Ò Ò Ó Ö ¹½µ Òº Ö Ø Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÒÞ Ð zº z Ò ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÚÓÒ f Ø Ø f Ò Z[X] ÙÖ (X z) 2 = X 2 2zX+z 2 Ø Ð Ö ÙÒ Ö ÉÙÓØ ÒØ Ø ĐÓ Ø Ò ÃÓ ÆÞ ÒØ Ò Ò º Ð Ó Ø Ù Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÒÞº

µ ÈÓÐÝÒÓÑ f = 10X 120X 2 +450X 540 Z[X] Ø Ò ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ º Ø ÑÑ Ò Ë Lösung: Ï Ö ĐÓÒÒ Ò ÙÒ Ù Ò Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ò ÒØ Ð f = X 12X 2 + 45X 54 ÖĐ Ò Ò Ö Ø Ð ØÙÒ X 2 24X + 45º ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÚÓÒ f Ø ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÚÓÒ Ð Ó Ù ÚÓÒ X 2 8X + 15º Ò ÄĐÓ ÙÒ Ò Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ð ÙÒ Ò ËÙÑÑ Ø ÙÒ ÈÖÓ Ù Ø ĐÙÒ Þ Ò Ò Ð Ó Ö ÙÒ ĐÙÒ º f () = 27 12 9 + 45 54 = 27 (1 4 + 5 2) = 0 Ú Ö Û Ò Ø Ø z = ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ º µ ÖÐ Ò Ë f Ò Z[X] Ò Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò ØÓÖ Ò Lösung: ËÙÑÑ ÐÐ Ö Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ÚÓÒ f Ø Ò Î Ø Ð 12 Ö Ò ÓÔÔ ÐØ ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ø ÑÙ ÒÓ Ð Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò º º f = (X ) 2 (X 6)º Ñ Ø Ø f = 2 5 (X ) 2 (X 6) ÖÐ ÙÒ ÚÓÒ f Ò Z[X]º µ ÖÐ Ò Ë f Ò Q[X] Ò Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò ØÓÖ Ò Lösung: ÁÒ Q[X] Ò ÞÛ ÙÒ ĐÙÒ Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò Ð Ñ ÒØ Ñ Ö ÓÒ ÖÒ Ò Ø Òº Ö Ø ÓÖØ f = 10 (X ) 2 (X 6) = (X ) 2 (10X 60) º µ ÖÐ Ò Ë g = 20X 2 20X + 5 Z[X] Ò Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò ØÓÖ Ò Lösung: g = 5 (4X 2 4X + 1) = 5 ((2X) 2 2 (2X)+1 ) = 5 ((2X) 1 ) 2 = 5 (2X 1) 2 Aufgabe 5: (½¾ ÈÙÒ Ø µ µ Ò Ë Q( 21, 27) Q(, 7) ÙÒ Q( 7 ) Ö Ð Ì Ð ĐÓÖÔ Ö K ÚÓÒ C Ò Lösung: 21 = 7 ÙÒ 27 = Ð Ò 21 ÙÒ 27 Ò Q(, 7) Ò Ù Ó Ð Ø Ù = 1 27 Ò Q( 21, 27) ÙÒ Ñ Ø Ù Ö ÉÙÓØ ÒØ 21/ = 7º ËÓÑ Ø Ø Q(, 7) = Q( 21, 27)º k = Q( 7 ) Ð Ø Ò ØĐÙÖÐ Ò Q(, 7)º Ð ÃĐÓÖÔ Ö ÒØ Đ ÐØ k Ù ÉÙ Ö Ø ( 7 ) 2 = 10 2 21 Ð Ó Ù 21 ÙÒ 21( 7 ) = (7 7)º Ñ Ø Ð Ø Ù (7 7) + ( 7 ) = 4 Ò k Ð Ó Ù ÙÒ 7 = 21/ º Ð Ó Ø k = Q(, 7)º µ Ï Ð Ò Ö Ø ÃĐÓÖÔ Ö ÖÛ Ø ÖÙÒ K/Q Ò Ë Ò ÑĐÓ Ð Ø Ò ÚÓÒ K/Q Ò Lösung: K = Q(, 7) ÒØ Đ ÐØ Ò ÃĐÓÖÔ Ö Q( ) Ð Î ØÓÖÖ ÙÑ ĐÙ Ö Q( ) Ø K = Q( ) Q( ) 7º Q( ) = Q Q Ø ÓÐ Ø K = Q Q Q 7 Q 21º Ñ Ø Ø [K Q] = 4º µ Ï Ø ÙØ(K/Q) Lösung: Ò ÙØÓÑÓÖÔ ÑÙ ϕ ÙØ(K/Q) ÑÙ Q ØÐ Ò Ø Ð Ó Ò ÙØ ¹ Ø ÑÑØ ÙÖ Ð Ö Ö Ð Ñ ÒØ º Æ ØĐÙÖÐ ÑÙ ϕ(1) = 1 Òº ( ) 2 = Ø ÑÙ Ù ϕ( ) 2 = ϕ() = Ò º º ϕ( ) = ± º Ò Ò ÐÓ Ö ÙÑ ÒØ Þ Ø ϕ( 7) = ± 7 Ò ÑÙ º ÒÓ Ð Ò Ð ϕ( 21) = ϕ( ) ϕ( 7) Ø ÙÖ Ð Ö ÚÓÒ ÙÒ 7 Ø Ð Øº Ð Ó Ò Û Ö Ú Ö ÙØÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ò ÚÓÒ Ö Á ÒØ ØĐ Ø Ò Ð ÙÒ Ò ρ,σ,τ Ñ Ø ρ( ) = ÙÒ ρ( 7) = 7 σ( ) = ÙÒ σ( 7) = 7 τ( ) = ÙÒ τ( 7) = 7º

µ Ø ÑÑ Ò Ë ÐÐ ÃĐÓÖÔ Ö L Ñ Ø Q < L < K Lösung: ÖÛ Ø ÖÙÒ K/Q Ø ÐÓ ÒÒ Ø x = a + b + c 7 + d 21 Ò Ð Ñ ÒØ Ü ĐÓÖÔ Ö ÚÓÒ ÙØ(K/Q) Ø ρ(x) = a b + c 7 d 21 = x Ð Ó Ø Û Ò Ö Ò ÙØ Ø Ö Ö Ø ÐÐÙÒ b = d = 0º Ò Ù Ó ÓÐ Ø Ù σ(x) = x c = 0 Ò ÑÙ º Ö Ø x = a Q Ö Ü ĐÓÖÔ Ö Ø Ð Ó Qº ÐÓ ¹ ÖÙÔÔ Ø Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ù Ö Ö Á ÒØ ØĐ Ø ÖÞ Ù Ø Ò ÍÒØ Ö ÖÙÔÔ Ö ÇÖ ÒÙÒ ÞÛ º Û Ò ĐÓÖÔ Ö Ò Ö K <ρ> = Q( 7), K <σ> = Q( ) ÙÒ K <τ> = Q( 21) ÛÓ < g > Û Ð ÚÓÒ Ò Ñ Ð Ñ ÒØ g ÖÞ Ù Ø ÞÝ Ð ÍÒØ Ö ÖÙÔÔ Þ Ò Øº µ Ò Ò Ë Ò ÖÖ ÙÞ Ð ÈÓÐÝÒÓÑ f Ö ÖØ k = Q[X]/(f) Ø Lösung: Ï Ö Û Ò Ù µ ( 7 ) 2 = 10 2 21 غ ĐÙÖ x = 7 Ø Ð Ó (x 2 10) 2 = 4 21 = 84 º º f = X 4 20X 2 + 16 Ø 7 Ð ÆÙÐÐ Ø ÐÐ º Q(x)/Q Ò ÖÛ Ø ÖÙÒ ÚÓÑ Ö Ú Ö Ø ÓÐ Ø K = Q[X]/(f)º µ ÖÐ Ò Ë f ĐÙ Ö Ñ ÃĐÓÖÔ Ö Q( 7) Ò Ò ÖÖ ÙÞ Ð Ò ØÓÖ Ò Lösung: Ï Ò ( 7 + ) 2 = 10 + 2 21 Ø Ù y = 7 + Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ ÚÓÒ f Ò f ÒÙÖ Ö ÈÓØ ÒÞ Ò ÚÓÖ ÓÑÑ Ò Ò Ù Ö Ñ ÒÓ x ÙÒ y ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Òº ÁÒ K Ø f Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ± ± 7 Ø f = (X + + 7)(X + 7)(X + 7)(X 7) = ( (X + 7) 2 )( (X 7) 2 ) = (X 2 + 2 7 X + 4)(X 2 2 7X + 4) º Ò ØÓÖ Ò X 2 ± 2 7X + 4 Ð Ò Ò Q( 7)[X] ÙÒ Ò ÓÖØ ÖÖ ÙÞ Ð ÒÒ Ò Ö ÙÞ Ð ÕÙ Ö Ø ÈÓÐÝÒÓÑ ÑĐÙ Ø Ò ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò Q( 7) Ò Ö Ò Ö ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ± 7 ± ÚÓÒ f Ð Ø Ò Q( 7)º