ÔØÓÐÓ ½ ÁÒØÖÓÙÞÓÒ {0, 1} ÄÖ Ð ÔÒ ÊÞÞÒ ÓÖØÓÒµ ÔØÓÐÓ ½º ÆÓ ÞÓÒ ½¼º ÖÓÑÒØ ÑÔÓ ÒÖÒÞ ÔÖØØÚ Ù ÚÐÓÖ ÒÔÒÒÞ Ó ÔÒÒÞ ØÓÖÑ Ý Ð ÑÐ ØÓ ÖÔÔÖ ÒØÞÓÒ ÔÖ Úºº ¼¹½ Ð ÖÒ ÒÙÑÖµ Ð ØÖÙÞÓÒ ÔÖØØÚ Ð³ÓÖÒÑÒØÓ ÐÐ ÔÖÓÖ ÓÑ ÓÖÒÑÒØÓ ÐÐ ÓÔ¹ ÒÓÒ Ð ÖÔÔÓÖØÓ Ö ÖÕÙÒÞ ØÖÙÞÓÒ ÔÖØØÚ Ê ÙÒØÓº ÍÒ Ù ÓÒ Úºº ÚÐÓÖ Ò {0, 1} N (ξ 1,...,ξ N ÑÐ P {ξ 1 = x 1,...,ξ N = x N } = P {ξ σ(1 = x 1,...,ξ σ(n = x N } ÔÖ ÓÒ (x 1,...,x N {0, 1} N ÔÖ ÓÒ ÔÖÑÙØÞÓÒ σ {1,...,N}º ÈÖ ÓÒ n S n = n i=1 ξ iº µ ÈÖ n N (x 1,...,x n {0, 1} n ØÐ n x i = k, i=1 ½
ÐÐÓÖ P {ξ 1 = x 1,...,ξ n = x n } = P {S n = k} ( n k P {ξ 1 = x 1,..., ξ n = x n } = p n,k ÓÒ ÁÒ ÔÖØÓÐÖ p n,k = P {ξ 1 = 1,...,ξ k = 1, ξ k+1 = 0,...,ξ n = 0}. P {S n = k} = p n,k ( n k. µ ÈÖ n N k K N n N K N (n k P {S n = k S N = K} = P {S ( n N n n = k, S N = K} = k( K k ( P {S N = K} N. K Ë ÒÓØ ( n ( N n k K k ( N K = ( K N K k( n k ( N =: H(k, n, K, N. n ÁÒØÖÔÖØÞÓÒ ÓÒ ÖÓ ÙÒ³ÙÖÒ ÓÒØÒÒØ N ÔÐÐ ÒÙÑÖØ 1 N ÐÐÓÖ H(k, n, K, N Ð ÔÖÓÐØ Ù n ØÞÓÒ ØØÙØ ÒÞ ÖÑÑ ÓÒµ ØÖÓÚ k ÒÙÑÖ ÑÓÖ ÙÙÐ Kº µ Ò Ó H N (k, n, K/N := 0 K < k H(k, n, K, N k K N (n k 0 K > N (n k. ÁÒÓÐØÖ ÔÖ θ Ò [0, 1] ÔÓÒÓ B n (k, θ = ( n θ k (1 θ n k. k ÁÒÒ Ò Ó H N (k, n, K/N θ = 0, 1/N, 2/N,..., 1 H N (k, n, θ := B n (k, θ ÐØÖÑÒغ ÐÐÓÖ P {S n = k} = N (n k K=k P {S n = k S N = K}P {S N = K} = K 0H N (k, n, K/N. ¾
Ç ÓÒ P {S n = k} = H N (k, n, θdf N (θ F n (θ = P {S N /N θ}. Ë Ú ÌÑ º½ ÔÔÙÒØ ÊÞÞÒº µ ÍÒ Ù ÓÒ (ξ n n 1 ÚÐÓÖ Ò {0, 1} ÒØ Ù ÙÒÓ ÔÞÓ ÔÖÓÐØ (Ω, F, P ØØ ÑÐ (ξ 1,..., ξ N ÑÐ ÔÖ ÓÒ Nº Ä ÙÒÞÓÒ f : {0, 1} N R ØÐ f(x 1,..., x N, x N+1,... = f(x σ(1,..., x σ(n, x N+1,... ÔÖ ÓÒ ÔÖÑÙØÞÓÒ σ {1,..., N} ÓÒ ØØ N¹ ÑÑØÖº ËÙÔÔÓÒÑÓ (ξ n n 1 ÑÐ G N Ð Ô ÔÓÐ σðö ÖÒ Ñ ÙÖÐ f(ξ 1,...,ξ n,... ÔÖ ØÙØØ Ð ÙÒÞÓÒ N ÑÑØÖ fº ÖÑÒØ G N+1 G N ÒØØ ÓÒ ÙÒÞÓÒ N + 1 ÑÑØÖ Ò N ÑÑØÖ ÒÓÐØÖ ÔÓ N i=1 x i ÖÑÒØ ÙÒ ÙÒÞÓÒ N¹ ÑÑØÖ 1 N S N = E[ 1 N S N G N ] = 1 N N E[ ξ i G N ] = E[ξ 1 G N ]. i=1 ÓÚ Ð³ÙÐØÑ ÙÙÐÒÞ Ò Ð ØØÓ Ð ξ i ÓÒÓ Ñк ÉÙÒ ÔÖ ÙÒ ØÓÖÑ ÄÚÝ Ø ÙÒ Úºº θ ØÐ SN /N ÓÒÚÖ Õºº Ò L 1 θ ÚÖ ÔÔÒµº ÁÒ ÔÖØÓÐÖ S N /N ÓÒÚÖ ÓÐÑÒØ θº ÁÒÑÓ Ò ÙØÓ Ð ÙÞÓÒ ÖÔÖØÞÓÒ θ ÓÒ F º µ ³ ÑÑØÓ Ù Ö Ð ÒÞÓÒ H N (k, n, K/Nµ ÚÖÖ K/N θ 0 ÔÖ N + ÐÐÓÖ H N (k, n, K/N B n (k, θ 0 º ÁÒ ØØ ÑÓ ØÖÖÑÓ lim sup N + θ B n (k, θ H N (k, n, θ = 0. ½º½µ ÁÒ ÐØÖÒØÚ Ð ÔÙÒØÓ µ ÚÒÓ Ð ÞÓÒ ÒÐ ÔÔÙÒØ ÊÞÞÒº ÇÖ Ð ÔÙÒØÓ µ F N ÓÒÚÖ ÓÐÑÒØ F ÕÙÒ ÔÖ ÓÒ ÙÒÞÓÒ ÓÒØÒÙ ÐÑØØ g Ù [0, 1] g(θdf N (θ g(θdf(θ (N +.
ÁÒ ÔÖØÓÐÖ B n (k, θdf N (θ B n (k, θdf(θ (N +. ½º¾µ ÁÒÓÐØÖ ÖÑÒØ Ñ P {S n = k} = H N (k, n, θdf N (θ = lim P {S n = k} = lim H N (k, n, θdf N (θ, N + N + B n (k, θdf N (θ + [H N (k, n, θ B n (k, θ]df N (θ. ÇÖ [H N (k, n, θ B n (k, θ]df N (θ sup B n (k, θ H N (k, n, θ df N (θ θ = sup B n (k, θ H N (k, n, θ. θ ÓÑÒÒÓ Õ٠سÙÐØÑ ÙÙÐÒÞ ÓÒ ½º½µ ½º¾µ ÓØØÒ P {S n = k} = ÕÙÒ ÓØØÒÑÓ Ð ÑÓ Ó ØÓÖÑ ÒØغ B n (k, θdf(θ ÍÒ Ù ÓÒ ÒÒص (ξ n n 1 ÚÖÐ ÐØÓÖ ÚÐÓÖ Ò {0, 1} ÑÐ ÓÐÓ Ø ÙÒ ÙÒÞÓÒ ÖÔÖØÞÓÒ F ØÐ ÔÖ ÓÒ n 1 ÔÖ ÓÒ (x 1,..., x n Ò {0, 1} n P {ξ 1 = x 1,...,ξ n = x n } = θ P n i=1 xi (1 θ n P n i=1 xi df(θ. Ë Ú ÌÑ º½ ÔÔÙÒØ ÊÞÞÒº ØØÒÞÓÒ Ð ØÓÖÑ ÒÓÒ ÚÐ ÔÖ ÙÒ ÚØØÓÖ ÒØÓµ ÑÐ ÒÓÒ ÒÒØÑÒ¹ Ø ÔÖÓ Ùк Ç ÒÓÒ Ð ÔÖÑ ÔÖØ ÙÒ Ù ÓÒ ÒÒغ ÈÒ Ö ÐÐ ØÖÞÓÒ ÙÒ³ÙÖÒ ÒÞ ÖÑÑ ÓÒº µ ÑÓ ØÖÞÓÒ ½º½µº Ë E = {1,...,N} n Ð³Ò Ñ ÐÐ nùôð ÒÙÑÖ Ö 1 N Q Ð ÓØØÓÒ Ñ ÐÐ nùôð ÒÞ ÖÔØÞÓÒº ÖÑÒØ E = N n Q = N n = N(N 1...(N n + 1.
Ë P N,n Ò Ð ÔÖÓÐØ ÒÓØØ n ØÖÞÓÒ ÇÆ ÖÑÑ ÓÒ ÙÒ³ÙÖÒ ÓÒØÒÒØ ÒÙÑÖ 1 Ò N Q N,n Ð ÔÖÓÐØ ÒÓØØ n ØÖÞÓÒ ËÆ ÖÑÑ ÓÒ ÖÑÒØ ÔÖ ÓÒ x Ò Q P N,n (x = 1 N n 1 N n = Q N,n (x ½º µ ÅÒØÖ ÔÖ x Ò E \ Q ÇÖ ÖÓÖ Ø Ù ÑººÔº P Q TV (P, Q := sup A ÉÙÒ Ù ÒÓ Ò ½º µ¹ ½ºµ ÓÑÔÐØÖ ØØкµ P N,n (x = 1 N n Q N,n (x = 0. ½ºµ P(A Q(A = sup(p(a Q(A. A TV (P N,n, Q N,n = 1 N n N n. Ë ÓÖ E (N,n K,k := {x E : {i : x i K} = k} E ÐÐÓÖ P N,n (E (N,n K,k = B n(k, K/N Q N,n (E (N,n K,k = H N(k, n, K/N. ÉÙÒ sup B n (k, θ H N (k, n, θ = max B n(k, K/N H N (k, n, K/N θ K=0,1,...,N µ ØÖÙÞÓÒ ÓÒÙÒØ ÔÓ ØÖÓÖº ÑÐ θ = lim n + S n /n ÐÐÓÖ P {ξ(n = x(n, θ B} = ÑÓ ØÖÖÐÓµ TV (P N,n, Q N,n = 1 N n N n. ÖÞ Ð ØÓÖÑ Ý ÓØØÒÑÓ ÕÙÒ P { θ B ξ(n = x(n} = B Ë (ξ n n 1 ÙÒ Ù ÓÒ ÒÒص θ P n i=1 xi (1 θ n P n i=1 xi df(θ. B θp n i=1 xi (1 θ n P n i=1 xi df(θ θp n i=1 x i(1 θ n P n i=1 x idf(θ.
ÉÙ Ø Ð Ó ØØ ØÖÙÞÓÒ ÔÓ ØÖÓÖº µ ØÖÙÞÓÒ ÔÖØØÚº ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ ÑÑØÓ ÚÖÖ P {ξ n+1 = 1 ξ(n = x(n} = θ1+p n i=1 xi (1 θ n P n i=1 xi df(θ θp n i=1 xi (1 θ n P n i=1 xi df(θ. µ ÎÓÐÑÓ ÓÖ Ù ØÖ Ð Ó ØØÙÞÓÒ ÐÐ ÔÖØØÚ ÓÒ Ð Ñ ÑÔÖº Ë Ú ËÞÓÒ ½½ ÐÐ ÔÒ ÊÞÞÒº ÈÓÒÑÓ h n = P {ξ n+1 = 1 ξ(n} = E[I{ξ n+1 = 1} ξ(n] = E[I{ξ n+k = 1} ξ(n]. Ë ÚÖ ÑÑØÑÒØ (h n n 1 ÙÒ ÑÖØÒÐ ÒØØ E[h n+k ξ(n] = E[E[I{ξ n+k+1 = 1} ξ(n + k] ξ(n] = E[I{ξ n+k+1 = 1} ξ(n] = h n. (h n n 1 ÓÚÚÑÒØ Ò ÙÒÓÖÑÑÒØ ÐÑØØ ÐÐÓÖ Ù ÙÒ ØÓÖÑ ÙÐÐ ÑÖ¹ ØÒÐ Ú ÌÓÖÑ ºº½µ Ø ÙÒ ÚÖÐ ÐØÓÖ h σ(ξ 1,..., ξ n,... Ñ ÙÖÐ ØÐ h n = E[h ξ(n] h ÕÙ ÖØÑÒØ Ò L 1 º ÇÖ ÑÓ ØÖÑÓ h = θº Ë B Ò σ(x(nº E[I B h ] = E[I B E[h ξ(n]] = E[I B h n ] E[I B E[I{ξ n+1 = 1} ξ(n]] = E[E[I B I{ξ n+1 = 1} ξ(n]] = E[I B I{ξ n+1 = 1}] = 1 N N k=1 E[I B I{ξ n+k = 1}] = E[I B 1 N N ξ n+k ]. ÈÓ S N /N ÓÒÚÖ Õºº Ò L 1 θ Ò Ù Ò 1 N N k=1 ξ n+k ÓÒÚÖ Õºº θº ÁÐ ØÓÖÑ ÓÒÚÖÒÞ ÓÑÒØ ÑÔÐ ÐÐÓÖ E[I B h ] = lim E[I 1 N B ξ n+k ] = E[I B θ]. N + N Ø Ð³ÖØÖÖØ n ÓØØÒ ÔÖ ÓÒ B Ò σ(ξ 1,..., ξ n,... k=1 k=1 E[I B h ] = E[I B θ]. ÈÓ θ = lim N S N /N ÖÑÒØ σ(ξ 1,...,ξ n,...ñ ÙÖÐ Ò Ù h = θ Õººµº ÉÙÒ Ö Ø ÑÓ ØÖØÓ 1 n n ξ i P {ξ n+1 = 1 ξ(n} i=1 ÓÒÚÖ ÞÖÓ Õºº Ò L 1 º ÁÒ ÐØÖ ØÖÑÒ ÒÐ Ó Ù ÓÒ ÑÐ ÒÒØ ÚÖÐ 0 1 Ð Ñ ÑÔÖ Ð ØÖÙÞÓÒ ÔÖØØÚ ÓÒÓ ÒØÓØÑÒØ ÕÙÚÐÒغ