C:/Documents and Settings/Compaq_Propriétaire/Bureau/__NDF_ /_T_ES/_suites_TES/_TES_cours_suites.dvi

Ì Ë ËÔ Å Ø ½» Ù Ø ½µ Ò Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø Ð Ù Ø Ò Ø ÓÒ ÍÒ Ù Ø Ø ÙÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò N Ú Ö Rº ÍÒ Ù Ø ÒÓÑÑ ÔÖ Ö Ò u ÓÙ v ÓÙ w ÔÐÙØØ ÕÙ f ÓÙ gº Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø u Ò Ô Ö u(n) = n 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N ÔÖ Ò ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ u(0) = 0 2 = 0 u() = 2 = u(2) = 2 2 = 4 u(3) = 3 2 = 9 u(4) = 4 2 = 6ººº ÆÓØ Ø ÓÒ ÇÒ ÒÓØ ÔÐÙØØ ÕÙ u(n) г Ñ n Ô Ö Ð Ù Ø uº Ø ÔÐÙØØ ÕÙ Ô ÖÐ Ö ÓÑÑ Ð³ Ñ n ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ð Ø ÖÑ ³ Ò n Ð Ù Ø uº ÇÒ ÒÓØ u ÓÙ ( ) ÓÙ ( ) n N Ð Ù Ø ³ Ø Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ u ÓÙ ÒÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ò Ô Ö N ØÓÙØ Ð Ñ º ØØ ÒØ ÓÒ Ò Ô ÓÒ ÓÒ Ö Ð Ù Ø ( ) Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÙÐ Ø ÖÑ Ð Ù Ø ÐÓÖ ÕÙ ( ) Ò Ð³ Ò Ñ Ð ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø º ÈÓÙÖ ÙÒ Ù Ø ( ) n N Ò Ô ÖØ Ö u 0 Ø Ð Ø ÖÑ ³ Ò n Ð Ù Ø ( ) ÓÒ Ø Ô Ö Ó Ù Ô Ö Ù Ð Ò µ ÕÙ Ð n Ñ Ø ÖÑ Ð Ù Ø Ø ÐÓÖ Ð 0 Ñ ÓÖÖ ÔÓÒ u 0 Ñ Ñ ØØ ÔÔ ÐÐ Ø ÓÒ Ø ÕÙ ÐÕÙ Ô Ù ÒÓÒ ÖÙ µº ÍÒ Ù Ø Ô Ùع ØÖ Ò ÙÖ ÙÒ ÓÙ Ô ÖØ N Ô Ö Ü ÑÔÐ Ô ÖØ Ö u ÙÕÙ Ð ÓÒ Ö Ø u = ( ) n N ÓÙ u = ( ) n º ¾µ Î Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø Ò Ø ÓÒ Ë ( ) Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒÒ ÐÓÖ Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ù Ø ( ) Ø Ø ÖÓ ÒØ + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø Ø ÓÒ Ø ÒØ + = ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø Ø ÖÓ ÒØ + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÇÒ Ô ÖÐ Ù Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ µ ÐÓÖ ÕÙ + > ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ + < ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nµº ÍÒ Ù Ø ÖÓ ÒØ ÓÙ ÖÓ ÒØ Ø ÙÒ Ù Ø Ø ÑÓÒÓØÓÒ º ØÙ Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ ³ Ø Ö Ð Ù Ø Ø ÖÓ ÒØ ÖÓ ÒØ ÓÒ Ø ÒØ ÓÙ ÒÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ º Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø ( ) Ò Ô Ö = n 2 Ø ÖÓ ÒØ Ö ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ò ØÙÖ Ð n ÓÒ n + n 0 Ø ³ ÔÖ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ð ÖÖ ÙÜ ÒÓÑ Ö ÔÓ Ø ÓÒØ Ö Ò Ò Ð Ñ Ñ ÓÖ Ö ÕÙ ÒÓÑ Ö ÓÒ (n + ) 2 n 2 ³ Ø Ö + º Ò Ð Ù Ø ( ) Ú Ö + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N ÓÒ ( ) Ø ÖÓ ÒØ º Ä Ù Ø Ò Ô Ö u 0 = u = 2 Ø u 2 = 0 Ò³ Ø Ô ÑÓÒÓØÓÒ Ö u 0 < u Ñ u > u 2 º ÈÖÓÔÖ Ø Ë ( ) Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒÒ ÐÓÖ Ð Ù Ø ( ) Ø ÖÓ ÒØ + 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø ÓÒ Ø ÒØ + = 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø ÖÓ ÒØ + 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÈÖÓÔÖ Ø Ë ( ) Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒÒ Ú Ð ÙÖ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ÐÓÖ Ð Ù Ø ( ) Ø ÖÓ ÒØ + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø ÓÒ Ø ÒØ + = ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ð Ù Ø ( ) Ø ÖÓ ÒØ + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ½»

Ì Ë ËÔ Å Ø ¾» Ù Ø Å Ø Ó Ò ÔÓÙÖ ØÙ Ö Ð Ú Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø ( ) ÓÒ Ø Ñ Ò ØÙ Ö Ð Ò Ð Ö Ò ÙÜ Ø ÖÑ Ù Ð Ò + º ij ØÙ Ù Ò Ø ÔÐÙ Ò Ò Ö Ðº Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø ( ) n N Ò Ô Ö u(n) = n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N ÔÖ Ò ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ u = u 2 = 2 u 3 = 3 u 4 = 4 ººº ØØ Ù Ø Ñ Ð ÖÓ ÒØ Ö u > u 2 > u 3 > u 4 º ØÙ ÓÒ Ð Ò + + = n + n = n n(n + ) n + n (n + ) = = n(n + ) n(n + ) Ò Ø n N ÓÒ n > 0 Ø n + > 0 ÓÒ n(n + ) > 0 ÔÙ n(n+) < 0º n(n + ) < 0 ÓÒÐÙ ÓÒ ØØ Ù Ø Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÙ ÕÙ³ ÐÐ Ú Ö + < ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N º Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø ( ) n N Ò Ô Ö u(n) = n 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N ÔÖ Ò ÔÓÙÖ Ú Ð ÙÖ u = u 2 = 2 2 = 4 u 3 = 3 2 = 9 u 4 = 4 2 = 6 ººº ØØ Ù Ø Ñ Ð ÖÓ ÒØ Ö u < u 2 < u 3 < u 4 º ØÙ ÓÒ Ð Ò + + = (n + ) 2 n 2 = (n 2 + 2n + ) n 2 = 2n + > 0 Ò Ø n N ÓÒ n 0 Ø ÓÒ 2n 0 ÔÙ 2n + > 0º ÓÒÐÙ ÓÒ ØØ Ù Ø Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ ÔÙ ÕÙ³ ÐÐ Ú Ö + > ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N º µ ÅÓ Ò Ö Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø ÈÖÓÔÖ Ø Ë ( ) Ø ÙÒ Ù Ø ÓÒÒ ÐÓÖ Ø Ð Ø ÖÑ ³ Ò n Ð Ù Ø ( )º Ä Ø ÖÑ ÔÖ ÒØ Ø ³ Ø Ð Ø ÖÑ ³ Ò (n ) Ø Ð Ù Ú ÒØ + ³ Ø Ð Ø ÖÑ ³ Ò (n + )º ÈÖÓÔÖ Ø ÍÒ Ù Ø Ô Ùع ØÖ Ò ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ô Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÓÒÒ ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ n ÓÙ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò º Ò Ø ÓÒ ÍÒ Ù Ø ( ) Ø Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÓÒ ÓÒÒ Ø Ð Ø ÖÑ Ò Ø Ð u 0 Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÒØ ÙÒ Ø ÖÑ + ٠ܵ Ø ÖÑ µ ÕÙ Ð ÔÖ Òصº Ü ÑÔÐ ( ) Ø Ð Ù Ø Ò Ô Ö u 0 = 3 Ø + = 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÐÓÖ u 0 = 3 Ø u = 2u 0 = 6 ÔÙ u 2 = 2u = 2 ÔÙ u 3 = 24ººº ( ) Ø Ð Ù Ø Ò Ô Ö u 0 = 2 Ø + = 3 + ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ÐÓÖ u 0 = 2 Ø u = 3 + u 0 = 5 ÔÙ u 2 = 3 + u = 8 ÔÙ u 3 = ººº Ä³Ó Ø Ø ÓÙÚ ÒØ Ô Ö ³ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ö ÙÖÖ Ò ÙÒ ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ø ÓÒÒ ÒØ Ö Ø Ñ ÒØ Ò ÓÒØ ÓÒ nº È Ö Ü ÑÔÐ Ð Ù Ø Ò Ô Ö u 0 = 0 Ø + = + 2 Ñ Ø ÔÓÙÖ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ u = Ø u 2 = Ø u 3 = ÓÒ Ð Ñ Ð ÕÙ³ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ò Ö Ð = º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÙÒ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ ÓÒ ÙØ Ð ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò º µ ËÙ Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ù Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ò Ø ÓÒ ÍÒ Ù Ø ( ) Ø Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ô Ö ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ + = + r Ó r Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÔ Ð Ö ÓÒ Ð Ù Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø ÔÓÙÖ Ô Ö ³ÙÒ Ø ÖÑ Ù Ù Ú ÒØ + ÓÒ ÓÙØ ØÓÙ ÓÙÖ Ð Ñ Ñ ÓÒ Ø ÒØ rº ÈÖÓÔÖ Ø Ë ÙÒ Ù Ø ( ) Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÐÓÖ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ³ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ = u 0 + nr ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº ¾»

Ì Ë ËÔ Å Ø» Ù Ø Ë Ð Ù Ø Ò ÓÑÑ Ò ÕÙ³ Ô ÖØ Ö u ÓÒ = u +(n )r ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÓÙ = u 2 +(n 2)r ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÓÒ Ô ÖÐ Ð º ÈÖÓÔÖ Ø ÍÒ Ù Ø ( ) Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ³ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ = a + nb º Ä ÒÓÑ Ö b Ø ÐÓÖ Ö ÓÒº Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø ( ) n N Ò Ô Ö = 3 + 5n Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ö ÓÒ r = 5º ËÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ø u = 3 + 5 = 8º Å Ø Ó ÈÓÙÖ ØÙ Ö ÙÒ Ù Ø ( ) Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ò ÑÓÒØÖ Ö Ð Ö Ò ÒØÖ ÙÜ Ø ÖÑ Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ ³ Ø ÐÓÖ Ð Ö ÓÒ r Ð Ù Ø º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ÐÙÐ + ÓÙ º Ò Ø ÓÒ ÍÒ Ù Ø ( ) Ø Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÐÐ Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ô Ö ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ð ÓÖÑ + = q Ó q Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÔÔ Ð Ö ÓÒ Ð Ù Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø ÔÓÙÖ Ô Ö ³ÙÒ Ø ÖÑ Ù Ù Ú ÒØ + ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ô Ö Ð Ñ Ñ ÓÒ Ø ÒØ qº ÈÖÓÔÖ Ø Ë ÙÒ Ù Ø ( ) Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÐÓÖ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ³ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ = u 0 q n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº Ë Ð Ù Ø Ò ÓÑÑ Ò ÕÙ³ Ô ÖØ Ö u ÓÒ = u q n ÔÓÙÖ ØÓÙØ n ÓÙ = u 2 q n 2 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n 2 ÓÒ Ô ÖÐ Ð º ÈÖÓÔÖ Ø ÍÒ Ù Ø ( ) Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ³ Ö Ø ÓÙ Ð ÓÖÑ = a b n º Ä ÒÓÑ Ö b Ø ÐÓÖ Ö ÓÒº Ü ÑÔÐ Ä Ù Ø ( ) n N Ò Ô Ö = 5 2 n Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ö ÓÒ q = 2º ËÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ø u 0 = 5 2 0 = 5 = 5º Å Ø Ó ÈÓÙÖ ØÙ Ö ÙÒ Ù Ø ( ) Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ ÓÒ Ø Ñ Ò ÑÓÒØÖ Ö Ð ÕÙÓØ ÒØ ÙÜ Ø ÖÑ Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ ³ Ø ÐÓÖ Ð Ö ÓÒ q Ð Ù Ø º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ÐÙÐ + ÓÙ º µ Ü ÑÔÐ Ù Ø Ü ÑÔÐ ½ ÍÒ ÔÐ ÒØ ÖÓ Ø 5 cm Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ÔÙ 0 cm ØÓÙ Ð Ò º ÉÙ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ù ÓÙØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ù ÓÙØ Ð ÙÜ Ñ ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ù ÓÙØ Ð ØÖÓ Ñ ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ù ÓÙØ Ð n Ñ ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ò ØÙÖ Ð Ù Ø ( ) n N ÉÙ ÐÐ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ n Ü ÑÔÐ ¾ ÍÒ ÐÐ Ö ÓÒ Ø Ú ÙÒ ÑÓÖØ Ñ ÒØ Ø ÐÐ ÓÖØ ÕÙ Ð ÙØ ÙÖ ØØ ÒØ Ô Ö Ð ÐÐ ÔÖ ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ð Ø Ö Ð ÙØ ÙÖ ÔÖ ÒØ Ö ÓÒ º ÇÒ Ð Ð ÐÐ ³ÙÒ ÙØ ÙÖ 2 Ñ ØÖ º ÐÙÐ Ö Ð ÙØ ÙÖ Ð ÐÐ Ù ÔÖ Ñ Ö Ö ÓÒ º ÐÙÐ Ö Ð ÙØ ÙÖ Ð ÐÐ Ù ÓÒ Ö ÓÒ º ÐÙÐ Ö Ð ÙØ ÙÖ Ð ÐÐ Ù n Ñ Ö ÓÒ º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ò ØÙÖ Ð Ù Ø ( ) n N ÉÙ ÐÐ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ n Ü ÑÔÐ ÍÒ ÖÓÐ ³ Ù Ø Ñ Ù Öº ÐÐ ÓÒØ ÒØ Ð ØÖ ³ Ùº ü Ô ÖØ Ö Ð³ ÙÐÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ñ ÒÙØ ÓÒØ 5 cl ³ Ù ÕÙ ³ Ú ÔÓÖ Òغ ÉÙ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ³ Ù Ö Ø ¹Ø³ Ð ÔÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒÙØ ³ ÙÐÐ Ø ÓÒ ÉÙ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ³ Ù Ö Ø ¹Ø³ Ð ÔÖ Ð ÙÜ Ñ Ñ ÒÙØ ³ ÙÐÐ Ø ÓÒ»

Ì Ë ËÔ Å Ø» Ù Ø ÉÙ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ³ Ù Ö Ø ¹Ø³ Ð ÔÖ Ð n Ñ Ñ ÒÙØ ³ ÙÐÐ Ø ÓÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ò ØÙÖ Ð Ù Ø ( ) n N ÉÙ ÐÐ Ø Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ n Ü ÑÔÐ ÍÒ Ö Ö Ö Ò Ø 4 Ñ ØÖ Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ÔÙ ØÓÙ Ð Ò Ð Ö Ò Ø Ð ÑÓ Ø Ð Ø ÐÐ ÕÙ³ Ð Ú Ø ÕÙ Ð Ò Ð³ ÒÒ ÔÖ ÒØ º ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐРг Ö Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐРг Ö Ö Ð ÓÒ ÒÒ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ø ÐРг Ö Ö Ð ØÖÓ Ñ ÒÒ Ë n Ø ÙÒ ÒØ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÓÙ Ð ÓÒ ÒÓØ Ð Ø ÐРг Ö Ö Ð n Ñ ÒÒ º ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ u ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ u 2 ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ ÉÙ Ö ÔÖ ÒØ + ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ + = 3 2 º Ò Ù Ö Ð Ò ØÙÖ Ð Ù Ø ( ) n N º È٠г ÜÔÖ ÓÒ Ò ÓÒØ ÓÒ nº µ ÈÖÓÔÖ Ø ÐÓ Ð ³ÙÒ Ù Ø ÅÓÒÓØÓÒ ÍÒ Ù Ø Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÐÓÖ ÕÙ³ ÐÐ Ø ÖÓ ÒØ ÓÙ ÖÓ ÒØ º ÍÒ Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ Ø Ð Ó ÖÓ ÒØ Ø ÖÓ ÒØ º Å Ø Ó ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ø ÖÓ ÒØ Ð ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N + º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ò³ Ø Ô ÖÓ ÒØ Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k N Ø Ð ÕÙ u k+ < u k º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ø ÖÓ ÒØ Ð ÙØ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n N + º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ò³ Ø Ô ÖÓ ÒØ Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k N Ø Ð ÕÙ u k+ > u k º ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ò³ Ø Ò ÖÓ ÒØ Ò ÖÓ ÒØ Ð Ù Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö k N Ø Ð ÕÙ u k+ < u k Ø ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö l N Ø Ð ÕÙ u l+ > u l º Ò Ö Ñ ÒØ Ø ÖÑ ³ÙÒ Ù Ø ÍÒ Ù Ø Ø Ñ ÓÖ ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð M ÙÔ Ö ÙÖ ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø ³ Ø Ö ÙÒ Ö Ð M Ø Ð ÕÙ M ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö nº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÙØ Ù Ø ÖÓ ÒØ Ø Ñ ÓÖ Ô Ö ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ º ÍÒ Ù Ø Ø Ñ ÒÓÖ ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð m Ò Ö ÙÖ ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø ³ Ø Ö ÙÒ Ö Ð m Ø Ð ÕÙ m ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö nº Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ØÓÙØ Ù Ø ÖÓ ÒØ Ø Ñ ÒÓÖ Ô Ö ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ º ÍÒ Ù Ø Ø ÓÖÒ ÐÐ Ø Ð Ó Ñ ÓÖ Ø Ñ ÒÓÖ º ³ Ø Ö ³ Ð Ü Ø ÙÜ Ö Ð m Ø M Ø Ð ÕÙ m M ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö nº Å Ø Ó ÈÓÙÖ ØÙ Ö ÙÒ Ù Ø Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖ ÓÙ ÓÖÒ Ð ÙØ ÐÙÐ Ö ÔÐÙ ÙÖ Ø ÖÑ Ð Ù Ø Ø ÓÒ ØÙÖ Ö Ð Ñ ÓÖ Ø ÓÒ Ñ ÒÓÖ Ø ÓÒ ÓÙ Ò Ö Ñ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Òغ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ù Ø Ø Ñ ÓÖ Ñ ÒÓÖ ÓÙ ÓÖÒ Ð ÙØ Ö ÓÒÒ Ö Ö Ø Ñ ÒØ ÙÖ Ð³ Ò Ð Ø M ÓÙ m ÓÙ m Mµ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ØØ Ò Ð Ø Ø ÚÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n Ó Ø Ò Ö Ñ Ò ÒØ ÙÒ ØÙ Ò M 0 ÓÙ m 0 Ó Ø Ò ÒØ ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò º ÍÒ Ù Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò³ Ø Ñ ÓÖÒ Ù Ð ØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö ÓÒ ÒÙÐÐ µº ÍÒ Ù Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÓÖÒ Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ö ÓÒ Ø Ò Ö ÙÖ ½º ÙÕÙ Ð ÓÒ u 0 ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Nº»

Ì Ë ËÔ Å Ø» Ù Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÖÑ ³ÙÒ Ù Ø ÇÒ Ø ÕÙ Ð Ù Ø ( ) ÓÒÚ Ö Ú Ö ÙÒ Ö Ð l ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø ÓÒØ Ù ÔÖ l Õ٠гÓÒ Ú ÙØ Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò º ÉÙ Ò Ð Ù Ø Ñ Ø ÙÒ Ð Ñ Ø Ò ÓÒ Ø ÕÙ³ ÐÐ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ º Ò ØÓÙ Ð ÙØÖ ÓÒ Ø ÕÙ³ ÐÐ Ø Ú Ö ÒØ º ÍÒ Ù Ø ( ) Ø Ò Ú Ö + ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø Ô ÒØ ØÓÙØ Ö Ð A > 0 Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò º Ñ Ñ ÙÒ Ù Ø (v n ) Ø Ò Ú Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð Ù Ø ÓÒØ Ò Ö ÙÖ ØÓÙØ Ö Ð B < 0 Ô ÖØ Ö ³ÙÒ ÖØ Ò Ö Ò º ØØ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ù Ø ÕÙ Ø Ò Ú Ö + Ò³ Ø Ô ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÐ Ñ Ø ÙÒ Ð Ñ Ø Ñ ÙÒ Ð Ñ Ø Ò Ò º ÐÐ Ò Ô ÙØ ÓÒ ØÖ ÕÙ Ð ÓÒÚ Ö ÒØ º ÐÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ º ØØ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ù Ø Ú Ö ÒØ Ò Ø Ò Ô ÓÖ Ñ ÒØ Ú Ö Ð³ Ò Ò º È Ö Ü ÑÔÐ ( ) Ò Ô Ö = ( ) n Ò ÓÒÚ Ö Ô ÐÐ Ø ÓÒ Ú Ö ÒØ º ÐÐ Ø ÓÖÒ ÓÑÔÖ ÒØÖ Ø µ Ø Ò Ø Ò ÓÒ Ô Ú Ö Ð³ Ò Ò º ÈÖÓÔÖ Ø ÇÒ Ö Ø Ò Ö Ð Ð Ñ Ø ØÖ ÒØÙ Ø Ú µ Ù Ø Ö Ö Ò n = n = n2 = n 2 = n3 = n 3 = ln(n) = ln(n) = en = e n = e n = ÍÒ Ù Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò³ Ø Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ð ØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð Ù Ø ÓÒ Ø ÒØ ÐÓÖ ÕÙ r = 0º ÍÒ Ù Ø Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ò Ú Ö + r > 0 Ø ÐÐ Ø Ò Ú Ö r < 0º ÍÒ Ù Ø ÓÑ ØÖ ÕÙ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ú Ð ÙÖ ÓÐÙ Ö ÓÒ Ø ØÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ö ÙÖ ½ q < Ø Ò ÐÐ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø 0º ÍÒ Ù Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ø ÓÖÒ Ð Ö ÔÖÓÕÙ Ø Ù º»