Ü Ö ½ ÉÙ Ø ÓÒ ÓÙÖ ÒÓÒ Ü Ù Ø Ú µ Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÓÒØ Ò Ô Ò ÒØ º ½º ÓÒÒ Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð Ø Ù ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ Ö Ô Ö ÙÒ Ö ÔÓÒØÙ ÐÐ qº Ò Ö Ð ÕÙ ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ø Ð Ð Ò ÑÔ Ò Ð ÙÜ q < 0 Ø q > 0º ¾º Ø Ö Ð ÔÓ ØÙÐ Ø Ð³ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ ÕÙ Ø ÓÒ ÐÓ Ð µº Ò ÓÒÒ Ö Ð Ú Ö ÓÒ ÒØ Ö Ð Ø Ø Ö Ð ÙÖ ÒÓÑ» ÓÒ ÕÙ Ò Ô Ý ÕÙ º º ÓÒÒ Ö ÙÒ ÙØÖ Ö ØÙÖ E = grad(v) ÔÙ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ B A Edl = VA V B º º ÓÒÒ Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ð³ Ò Ö ÔÓØ ÒØ ÐÐ ³ÙÒ Ö q ÔÐÓÒ Ò ÙÒ ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ º º Ò Ö ÙÒ ÔÐ Ò ÝÑ ØÖ Ø ³ ÒØ ÝÑ ØÖ ÔÓÙÖ ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö º ÉÙ ÐÐ ÓÒØ Ð ÓÒ ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ð ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ º Ø Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ ³ Ò ÐÝ Ö ÙÒ ÖØ ÑÔº º Ò Ö Ð³ ÐÐÙÖ ÕÙ ÔÓØ ÒØ ÐÐ Ø Ð Ò ÑÔ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÐ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ º º ÉÙ ÐÐ ÓÒØ Ð ÙÜ ÕÙ Ú Ð Ò ÕÙ³ Ð ÙØ Ù Ñ Ò ÑÙÑ ÓÒÒ ØÖ ÔÓÙÖ ÔÓÙÚÓ Ö Ø Ð Ö Ñ Ò Ö Ü Ù Ø Ú Ð³ Ò ÐÓ ÒØÖ ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ Ø ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒ º ÉÙ³ ع ÕÙ³ÙÒ ÔÐ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ ÉÙ ÐÐ Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ù ÑÓÑ ÒØ ÔÓÐ Ö Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ò ÕÙÓ ÓÒ Ø Ð³ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÔÓÐ Ö Ü Ö ¾ µ Ò Ö ³ÙÒ ÒÓÝ Ù ³ ØÓÑ Ò Ð ÑÓ Ð Ì ÓÑ ÓÒ Ð ÒÓÝ Ù ³ÙÒ ØÓÑ ÒÙÑ ÖÓ ØÓÑ ÕÙ Z Ø Ñ Ð ÙÒ ÓÙÐ Ô Ö ÕÙ Ö ÝÓÒ R Ö Ze Ø Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÕÙ ÙÒ ÓÖÑ ρ = Ze 4 3 πr3 ÇÒ ÓÒ Ø ØÙ ÒÓÝ Ù Ò Ö Ñ Ð ÒØ ÙØÓÙÖ ³ÙÒ ÔÓ ÒØ O г Ô Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ö Ö Ò Ò Ø Ñ Ð Ú Ò ÒØ Ð³ Ò Ò º ½º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ Ð ÒÓÝ Ù Ò ÓÙÖ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÓ ÙÒ Ö ÝÓÒ r < Rº ÉÙ ÐÐ Ø Ö q(r) ¾º ÇÒ ÒÓØ E(r) ÓÒ Ò Ö Ð ØÖ ÕÙ º ÇÒ Ø Ù Ñ ÒØ Ö ÓÒ Ö ÝÓÒ dr Ò ÔÔÓÖØ ÒØ ÙÒ Ö dq г Ò Ò Ð ÙÖ Ô Ö ÕÙ Ù ÒÓÝ Ù Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓÒº Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ù Ñ ÒØ Ø ÓÒ ³ Ò Ö de Ò ÓÒØ ÓÒ r dr R e Z Ø ǫ 0 º º Ò Ù Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ð³ Ò Ö E Ù ÒÓÝ Ù Ò ÓÒØ ÓÒ R e Z Ø ǫ 0 º ÌÓÔÓ Ö Ô ÑÔ Ü Ö Ä Ò ÑÔ Ø ÕÙ ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ØÖ ÙØ ÓÒ ÒÕ Ö ÔÓÒØÙ ÐÐ Ö Ô Ö Ô Ö ÔÓ ÒØ µº ½º Ä ÙÖ a b Ø c ¹ ÓÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Òع ÐÐ Ð Ò ÑÔ ÓÙ ÕÙ ÔÓØ ÒØ ÐÐ ¾º Ó Ö Ò Ð Ù Ø ÒØ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ð Ò ÑÔ ÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ³ ÕÙ ÔÓ¹ Ø ÒØ ÐÐ º º Ê Ô Ö Ö ÙÖ ÕÙ ØÖ ÙØ ÓÒ Ð Ò ÓÔÔÓ ÓÙ ÙÜ Ö º ½
Ü Ö ÑÔ ÖÙÔØ ÍÒ ÐÓ Ð ÑÙÐ Ø ÓÒ Ô ÖÑ Ø ØÖ Ö Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ò ÕÙ ÔÓØ ÒØ ÐÐ ÙØÓÙÖ ÙÜ Ð ØÖÓ ÔÓÖØ ÙÜ ÔÓØ ÒØ Ð Ö Ô Ø 1 Î Ø +1 Úº ÐÓ Ð ÓÒÒ Ù Ð Ö Ô Ú Ö Ø ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð V Ò ÓÒØ ÓÒ z ÙÖ Ð³ Ü ¾
½º Ç Ð ÑÔ Ð ØÖ Õ٠ع Ð Ñ Ü Ñ Ð ¾º Ä ÑÔ ÖÙÔØ Ø ÐÙ ÔÓÙÖ Ð ÕÙ Ð ÓÒ Ó ÖÚ ÙÒ Ø Ò ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð³ ÓÒ Ø ÓÒ Ð³ Öº ÐÙ ¹ Ú ÙØ E r = 3,6.10 6 V.m 1 º ÉÙ ÐÐ Ø Ò ÓÒ Ó Ø¹ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÜ ÓÖÒ Ù ÔÓ Ø ÔÓÙÖ ØØ Ò Ö ÑÔ Ù ÒØÖ O Ù ÔÓ Ø Ü Ö µ Ä Ò ÑÔ Ä ÙÖ ¹ ÓÙ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ò ÙÒ ÔÐ Ò z = cte ÕÙ ÐÕÙ ÖØ ÑÔ Ñ Ò ÓÒÒ Ð Ð ÓÖÑ E(x,y) = E x (x,y) u x +E y (x,y) u y º ÈÖ Ö Ò ÕÙ ³ Ð Ô ÙØ ³ Ö ³ÙÒ ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ Ø ÓÙ Ö ÓÒØ ÔÖ ÒØ Ò Ð Ö ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ º ÐÙÐ ÑÔ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ù Ø ÓÖ Ñ Ù Ü Ö ÑÔ Ö Ô Ö ÙÒ ÓÙÐ Ö ÍÒ ÓÙÐ ÒØÖ O Ø Ö ÝÓÒ R Ø Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ò ÚÓÐÙÑ Ú Ð Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÕÙ ρº ÇÒ ÒÓØ r = OMº
½º Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ E Ö Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ M г Ô Ý ÓÑÔÖ Ò Ð ÓÙÐ µ Ô Ö ØØ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö º ¾º Ò Ù Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð V Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ð³ Ô º ÇÒ ÔÖ Ò Ö Ð ÔÓØ ÒØ Ð ÒÙРг Ò Ò Ø ÓÒ Ñ Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ò r = Rº º ÌÖ Ö Ð ÓÙÖ ÓÒÒ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ V Ø E Ò ÓÒØ ÓÒ rº Ü Ö ÑÔ Ö Ô Ö ÙÒ Ô Ö Ö ÍÒ Ô Ö ÒØÖ O Ø Ö ÝÓÒ R Ø Ö ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ò ÙÖ Ú Ð Ò Ø ÙÖ ÕÙ σº ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ Ò ØÓÙØ Ð³ Ô º Ü Ö ÝÐ Ò Ö Ò Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö ÍÒ ÝÐ Ò Ö ³ Ü Oz Ø Ö ÝÓÒ R Ø ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ú ÙÒ Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÕÙ ρº ½º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ð ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ ³ Ö Ø E(M) = { ρr 2ǫ ur 0 ρr 2 2ǫ 0 r r < R u r r > R. ¾º Ò Ù Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ù ÔÓØ ÒØ Ð V Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ð³ Ô º Ü Ö Ô Ø Ð Ò ÕÙ ³ÙÒ Ð Ó Ü Ð ÇÒ ÑÓ Ð ÙÒ Ð Ó Ü Ð Ô Ö ÙÜ ÝÐ Ò Ö ÓÒ ÙØ ÙÖ Ô Ö Ø Ò Ò Ñ ÒØ ÐÓÒ Ñ Ñ Ü (Oz) Ø ÓÒ ÖÙÐ Ö º Ä ÔÖ Ñ Ö Ö ÝÓÒ R 1 Ø ÔÔ Ð Ñ Ø Ø ÔÓÖØ Ù ÔÓØ ÒØ Ð V 1 > 0 Ø Ð ÓÒ Ö ÝÓÒ ÒØ Ö ÙÖ R 2 Ú R 2 > R 1 µ Ø Ð Ò ÔÓÖØ Ù ÔÓØ ÒØ Ð V 2 < V 1 º ij Ô ÒØÖ Ð³Ñ Ø Ð Ò Ø Ö ÑÔÐ ³ÙÒ Ð ØÖ ÕÙ Ô ÖÑ ØØ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑÑ Ð ÐÐ Ù Ú º ÍÒ ÔÓÖØ ÓÒ Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ h ÓÖÑ Ò ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÙÖ ÓÒØ Ð ÖÑ ØÙÖ ÓÒØ ÓÒ Ø ØÙ ÙÖ ÓÒ ÙØÖ Ò Ö Ö º ÇÒ Ò Ð Ð Ø ÓÖ ³ ع¹ Ö Õ٠гÓÒ ÓÒ Ö ÕÙ Ð ÑÔ ÒØÖ Ð ÖÑ ØÙÖ Ø Ð Ñ Ñ ÕÙ Ð ÙØ ÙÖ h Ø Ø Ò Ò º ÇÒ Ö Ò Ø Ü Ö ÜÔÖ Ñ Ö Ð Ô Ø Ù Ð º ÇÒ Ò Ô Ö σ 1 Ð Ò Ø ÙÖ ÕÙ Ö ÙÔÔÓ ÙÒ ÓÖÑ Ð ÙÖ Ð³Ñ Ø Ô Ö σ 2 ÐÐ ÕÙ ÔÓÖØ Ð ÙÖ ÒØ Ö ÙÖ Ð Ò º ij ÕÙ Ð Ö Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð ÓÒ Ñ Ø ÕÙ Ò Ð ÓÒ ÙØ ÙÖ ÓÖÑ Ò Ð³Ñ Ø Ð Ò Ð ÑÔ Ø ÒÙÐ Ò ÕÙ Ð Ò Ø ÚÓÐÙÑ ÕÙ Ö º Ä ÙÖ ÙÜ ÓÒ ÙØ ÙÖ Ò Ö Ö ÓÒØ ÔÓÖØ Ù Ö Ð Ò ÒÓÖÑ Ø Ò ÓÔÔÓ º ÇÒ ÔÓ Ö e = R 2 R 1 г Ô Ñ ÒØ ÒØÖ Ð ÖÑ ØÙÖ º ÇÒ ÔÐ Ò ÓÓÖ ÓÒÒ ÝÐ Ò Ö ÕÙ ³ Ü (Oz)º ½º Ò ÕÙ ÐÐ Ñ ÙÖ Ð Ø ÓÖ ÓÒع Ð Ö ÓÒÒ Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ð ÓÒÒ Ö Ò Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ü Ø ÒØÖ R 1 R 2 σ 1 Ø σ 2 º
¾º µ Ò Ö ÓÒÒ ÒØ ÙÖ Ð Ð ÙÔÔÓ Ò Ò ØÙ Ö Ð ÝÑ ØÖ Ø Ð ÒÚ Ö Ò Ð ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ Ö º ÉÙ ÐÐ ÓÒØ Ð ÓÒ ÕÙ Ò ÔÓÙÖ Ð ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ E(M) Ø Ð ÔÓØ ÒØ Ð V(M) Ò ÙÒ ÔÓ ÒØ M Ò Ð³ Ô ÒØÖ Ð ÖÑ ØÙÖ µ Ò ÔÔÐ ÕÙ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ÜÔÖ Ñ Ö Ð ÑÔ Ð ØÖÓ Ø Ø ÕÙ ÕÙ Ö Ò Ò Ð Ð ØÖ ÕÙ ÒØÖ Ð ÙÜ ÝÐ Ò Ö º Ò Ù Ö Ð Ö Ò ÔÓØ ÒØ Ð U ÒØÖ Ð³Ñ Ø Ð Ò º µ Ê ÔÔ Ð Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ð Ô Ø ³ÙÒ ÓÒ Ò Ø ÙÖ C Ò ÓÒØ ÓÒ U Ø Ð Ö Q ÔÓÖØ Ô Ö ÓÒ ÖÑ ØÙÖ ÔÓ Ø Ú º Ò Ù Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ Ð Ô Ø Ð Ò ÕÙ Ù Ð ÒÓØ C l Ò ÓÒØ ÓÒ ǫ 0 R 1 Ø R 2 º ÔÔÐ Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö C l ÔÓÙÖ R 1 = 1,0 ÑÑ Ø R 2 = 2,5 ÑѺ ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ ǫ 0 = 1 36π.10 9 F.m 1 º Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ü Ö ½¼ ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒ ³ÙÒ ØÖ Ô Ö ÕÙ ÇÒ ÓÒ Ö ÙÒ ØÖ ÝÑ ØÖ Ô Ö ÕÙ º ü г Ù Ø ÓÖ Ñ Ù ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ò ÓÖ Ð³ ØÖ Ð ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÙ ³ÙÒ Ñ ÔÓÒØÙ ÐÐ º Ü Ö ½½ ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒ Ø ÖÖ ØÖ Ä Ì ÖÖ Ø Ñ Ð ÙÒ ÓÙÐ ÒØÖ O Ö ÝÓÒ R T = 6,38.10 3 Ñ Ñ M T = 5,98.10 24 ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ Ò ØÓÙØ Ð ÚÓÐÙÑ º ½º µ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒÒ Ð G T Ò ØÓÙØ ÔÓ ÒØ Ð³ Ô º µ ÌÖ Ö G T = G T Ò ÓÒØ ÓÒ rº µ ÐÙÐ Ö Ð ÒÓÖÑ G 0 G T Ð ÙÖ Ð Ì ÖÖ º ¾º µ ij ØÙ ÓÒ Ñ ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÑÓ Ð ³ÙÒ Ñ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ö Ô ÖØ Ò³ Ø Ô Ö Ð Ø º Ä ÑÓ Ð Ö Ø Ô Ö Ð ÓÙÖ ¹ ÓÙ Ø ÔÐÙ ÓÒ ÓÖÑ ÙÜ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ú R 1 = 3,50.10 3 Ñ µ ÌÖ Ö ÙÖ Ð Ñ Ñ Ö Ô Ð ÓÙÖ Ó Ø ÒÙ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ò ÓÒ ÙÔÔÓ Ø ÙÒ Ñ ÚÓÐÙÑ ÕÙ ÙÒ ÓÖÑ Ò ÔÖ ÒØ Ó Ò Ù Ñ ÒØ Ð Ö ÓÒÒ Ñ Òغ µ ÐÙÐ Ö Ð Ñ ÚÓÐÙÑ ÕÙ ÑÓÝ ÒÒ Ù ÒÓÝ Ù Ø ÖÖ ØÖ 0 < r < R 1 µº µ ÌÖ Ö Ð³ ÐÐÙÖ Ð Ñ ÚÓÐÙÑ ÕÙ ρ(r) Ð Ì ÖÖ º ÈÖ Ö Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö ρ(r) Ø ÖÓ ÒØ ÓÙ ÖÓ ÒØ Ò Ð Ñ ÒØ Ù Ø ÖÖ ØÖ R 1 < r < R T µº ÈÖÓ Ð Ñ Ò ½ µ ÐÙØÙ Ø ÓÒ Ù ÑÔ Ö Ú Ø Ø ÓÒ È ÙعÓÒ Ø Ø Ö ÙÒ Ò ÔÔ Ô ØÖÓÐ Ú ÙÒ Ô Ò ÙÐ ÑÔÐ ÈÓÙÖ Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ ÔÓÙÖÖ ³ Ö Ð Ú Ó Ù Ú ÒØ Ð Ò ÓÙØÙ ¹Ð ÖÒ Ò Ô Ý ÕÙ Ø Ô ÔÓÙÖ ÓÖ Ö ÙÒ Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ô Ý ÕÙ» Ñ º