ÙÒ Ò ÞÙÖ Ì½ ÃÐ Å Ò ÈÖÓ º Öº Â Ò ÚÓÒ Ð Ø Ì Ö Ò ØÖº º ¾¼ Öº Î Ø ÐÝ Æº ÓÐÓÚ Ú Ø Ðݺ ÓÐÓÚ Ô Ý ºÐÑÙº Ð ØØ À Ù Ù Ò ½ º ÂÙÒ ½ ½ µ ½º Ä Ö Ò ¹ к ¾º ÖØ Ö ÞÛ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð È Ò Ð Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò Û Ò Ò ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ñ Ø Ñ Ø È Ò Ð ÈÙÒ Ø¹ Ñ m ÄÒ l Ù Ò ÔÙÒ Ø Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ (x, y, z) = (0, 0, 0) Ë Û Ö¹ Ö Ø Ò Ò Ø Ú z¹ê ØÙÒ ÙÒ Û Ð Ò x ÙÒ y Ð Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò ¹ Ø Òº µ Ò Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ L(x, y, ẋ, ẏ) Òº µ ØÖ Ø Ò Ë Ò Ä Ñ Ð Ò Ö Ë Û Ò ÙÒ Ò º º x, y l ÙÒ ẋ, ẏ gl ÙÒ ÒØÛ ÐÒ Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÕÙ Ö Ø Ò ÇÖ ¹ ÒÙÒ Ò x ẋ, y, ẏº Ò Ë Ò ÓÒ Ö ÐÐ ÚÓÒ ż 2 Ø ÑÑ Ò Ì ÖÑ Ú ÖÒ Ð Ø Û Ö Ò ÒÒ Òº À ÒÛ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ö Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÖÑÓÒ Ò Ç Þ ÐÐ ØÓÖ µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ ¾º ÖØ Ù ÙÒ Ò Ë ÐÐ Ñ Ò ÓÖÑ Ö Ä ÙÒ Òº µ Ï ÒÒ ÈÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò (ρ, ϕ) Ú ÖÛ Ò Ø Û Ö Ò Ø ρ 2 ϕ = const. Ö Ñ¹ ÔÙÐ Ö ÐØÙÒ µº Ò Ë Ò µ Ò Ò Ä ÙÒ Ò¹ Ø Ù Û Øº ÍÒØ Ö Û Ð Ò ÍÑ ØÒ Ò Ø ϕ = 0 À ÒÛ Ò Ë ÞÙÒ Ø Ù Ö Ò Ø ÓÒ ÚÓÒ ϕ ÐÐ Ñ Ò ρ 2 ϕ = (xẏ yẋ) ÓÐ Ø ÙÒ ÒÙØÞ Ò Ë ÓÖÑ ÙÑ ϕ ÞÙ Ö Ò Òº ¾º ÓÙ ÙÐØ È Ò Ð ÞÙÑ Û Ø Òµ Ë Ù Ù ¾ ÚÓÒ Ð ØØ µ Ò Ñ Ø Ñ Ø È Ò Ð Å m ÄÒ l Ù Ö Ö Ò Ò Ö ÌÙÖÑ Ô Ø¹ Þ Ñ Ø ÃÓÓÖ Ò Ø ÒÚ ØÓÖ R = Rê r Ò ÃÙ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò r θ ÙÒ ϕ Þ Ð Ö Ñ ØØ ÐÔÙÒ Ø µ Ù Ò Øº Ö Ð Ò Ë Û Ò ÙÒ Ò Ñ Ë Û Ö Ð Ö Ö Ù º ÁÒ Ò Ñ Ö ÙÑ Ø Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ O Ñ Ø ÍÖ ÔÖÙÒ Ñ Ö Ñ ØØ ÐÔÙÒ Ø ÙÒ ÖØ Ò º º Þ ØÙÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ê i Ö È Ò ÐÑ Ò¹ ÔÙÒ Ø ÙÖ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø ÒÚ ØÓÖ r (t) = 3 i=1 x i(t)ê i Ö Òº Ë Ò Ò Ø ÙÒ ÔÓØ ÒÞ ÐÐ Ò Ö Ò T = 1m ( ) r 2 ( ) 2 ÙÒ U = mmg r º Ö ÖÓØ Ö Ñ Ø Ï Ò Ð Û Ò Ø ω = ωê 3º ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÐÐ È Ò Ð Û ÙÒ Ù Ë Ø Ò Ñ Ø Ö Ö Ñ ØÖÓØ Ö Ò Ò ÞÙ Ý Ø Ñ O Ñ Ø ÍÖ ÔÖÙÒ Ò Ö ÌÙÖÑ Ô ØÞ ÙÒ Þ Ø Ò Ò Ú ¹ ØÓÖ Ò ê 1 = ê θ ê 2 = ê ϕ ÙÒ ê 3 = ê r ØÖ Ø Ø Û Ö Òº ÞÙ Ö Ò Û Ö È Ò ÐÔÓ Ø ÓÒ ÙÖ r(t) = 3 i=1 x i (t)ê i (t) Ñ Ø r = r R ÙÒ r = l ÙÒ Û Ð Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x 1 ÙÒ x 2 Ð Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Òº ËÓÑÑ Ö Ñ Ø Ö ¾¼¼ ½ ÄÅÍ Å Ò Ò
µ Ò Ò Ë x 3 Ð ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ x 1 ÙÒ x 2 º µ Ò Ë ÙÒØ Ö Î ÖÒ Ð ÙÒ ÚÓÒ Ì ÖÑ Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ÞÙ ω 2 Û ÖÙÑ Ø ÞÙÐ µ Ò Ø Ò Ö È Ò Ð Û ÓÐ Ø ¹ Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ T = 1 2 m [ r 2 + 2 ( R + r ) ( r ω ) ]. µ ØÖ Ø Ò Ë Ð Ò Ë Û Ò ÙÒ Ò º º x 1, x 2 l ÙÒ ẋ 1, ẋ 2 glº Ò Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÒØÛ ÐØ ÞÙÖ ÞÛ Ø Ò ÇÖ ÒÙÒ Ò Ò Ð Ò Ò Ö Òµ ÓÐ Ò ÓÖÑ Ø L(x 1, x 2, ẋ 1, ẋ 2 ) = m 2 [ẋ2 1 + ẋ 2 2 + 2ω cosθ(x 1ẋ 2 x 2 ẋ 1 ) + 2ω sin θẋ 2 (R l) (g/l)(x 2 + y 2 ) ]. ½µ µ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë Ò Ì ÖÑ 2ω sin θẋ 2 (R l) Ô Ý Ð º µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ä Ö Ò Ð ÙÒ Ò ¾º ÖØ Ö ẍ 1 ÙÒ ẍ 2 Ù º Ò Ë Ñ ØØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ò Ò ØÞ ξ = x 1 +ix 2 ÞÙ Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÓÖÑ ξ + i2γ ξ + Ω 2 ξ = 0 ÞÙ ÑÑ Ò Ø Û Ö Ò ÒÒ Ò ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë γ ÙÒ Ωº µ Ä Ò Ë Ð ÙÒ Ö ξ ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÞÙÖ Ö Ó Ö Ô Ö ÐÐ Ð µ Ò ÙÖÚ r (t) = (x 1 (t), x 2 (t)) Ö È Ò ÐÑ Ñ ÞÙ Ý Ø Ñ O Ö Ò ÐÐ Ö Ò Ë Û Ò Û ÙÒ ÚÓÑ ÈÙÒ Ø (x 1, x 2 ) = (x 10, 0) Ñ Ø Ò Ò Û Ò Ø (ẋ 1, ẋ 2 ) = (0, 0) ÒÒغ µ Ë ÞÞ Ö Ò ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë ÚÓÒ O Ò Ò ÙÖÚ r (t)º ¾
µ Ö Ò Ë Ð ÐØ ÖÒ Ø Ú ÞÙÑ Ä ÙÒ Û Ö Ë Ö ØØ µ µ Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ L = L( r, r ) ÙÖ ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò Î ØÓÖ Ò r (t) = 2i=1 x i (t)ê i (t) ÙÒ r Ù º Ë Ö Ò Ë Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò ¾º ÖØ Ð Î ØÓÖ Ð ÙÒ Ö r º Ò Ë Ð ÙÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙ Ò Ò µ Ö ÐØ Ò Ò Ð ÙÒ Ò Øº º Å Ò Ñ Ð Ð ÞÛ Ò ÞÛ ÃÖ Ò Ò Ë Ò ÙØ Ø ÞÛ Ò ÞÛ ÃÖ Ò Ò Ô ÒÒØ Ð ÙÒ µº Ï Ò Ö Ç Ö Ò Ô ÒÒÙÒ Ø Ù ÒÙÒ Ö À ÙØ Ö Ò Ø Ñ Ð º Ï Ø Ë Ò ÙØ Ù º º Û Ö Ò ÓÖÑ Ø y(x) y y(x) ds = dx 2 + dy 2 dx x µ Ø ÑÑ Ò Ë Ð S ÞÛ Ò Ò ÃÖ Ò Ö Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ y(x) ÙÒ Ò Ë ÙÒ Ø ÓÒ Ð S[y(x)] Òº À ÒÛ ds = 2πyds ÛÓ ds = dx 2 + dy 2 º µ ËØ ÐÐ Ò Ë ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ö S[y(x)] Ù º µ Ä Ò Ë ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë y(x) Ö Ê Ò Ò ÙÒ Ò y( L/2) = R ÙÒ y(l/2) = Rº Ö Ø Ò ØÖ Ò Þ Ò¹ ÒØ Ð ÙÒ Ö ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ ÞÙ ÓÑÑ Òº À ÒÛ ÆÙØÞ Ò Ë Ò Ò Ù ÍÒ ÒÒØ h = dx dy ÙÑ 2. ÇÖ ¹ ÒÙÒ ÞÙ Ò 1. ÇÖ ÒÙÒ ÞÙ Ö ÙÞ Ö Òº ÒÒ Ú ÖÛ Ò Ò Ë ËÙ Ø ØÙØ ÓÒ g = h 2 ÙÒ Ë Ö ÐØ Ò Ð ÙÒ dg 1 dy 1 + g = 2 y.
Ò ÒØ Ö Ö Ò Ë Ð ÙÒ ØÞ Ò Ë g h 2 ÙÒ Ë Ö ÐØ Ò Ë ØÞ Ò Ë h dy dx h = A 2 y 2 1. ÙÒ ÒØ Ö Ö Ò Ë Ð ÙÒ ÙÒØ Ö Ò ØÞÙÒ ÚÓÒ dx = acrcosh(x) + const. x2 1 Ð ØØ Ô Ð Ù Ò ½ º Ä Ö Ò ¹ к ¾º ÖØ Ö Ò È Ò Ð Ï Ö ØÖ Ø Ò Ò Ò Ö x¹z¹ Ò Û Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø È Ò Ð ÈÙÒ Ø¹ Ñ m ÄÒ l Ù Ò ÔÙÒ Ø Ñ ÍÖ ÔÖÙÒ (x, z) = (0, 0), Ë Û Ö Ö Ø Ò Ò Ø Ú z¹ê ØÙÒ ÙÒ Û Ð Ò x Ð Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø º µ Ò Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ L(x, ẋ) Òº µ ØÖ Ø Ò Ë Ò Ä Ñ Ð Ò Ö Ë Û Ò ÙÒ Ò º º x l ÙÒ ẋ gl ÙÒ ÒØÛ ÐÒ Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÕÙ Ö Ø Ò ÇÖ ÒÙÒ Ò x ÙÒ ẋ º º Ú ÖÒ Ð Ò Ë Ì ÖÑ Ö ÇÖ ÒÙÒ x 3, x 2 ẋ, xẋ 2, x 3 µº Ò Ë Ò ÓÒ Ö ÐÐ ÚÓÒ ż 2 Ø ÑÑ Ò Ì ÖÑ Ú ÖÒ Ð Ø Û Ö Ò ÒÒ Òº À ÒÛ Ö Ò Ø ÓÖÑ Ö Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ½¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ò ÖÑÓÒ Ò Ç Þ ÐÐ ØÓÖ µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ ¾º ÖØ Ù ÙÒ Ò Ë ÐÐ Ñ Ò ÓÖÑ Ö Ä ÙÒ Òº ¾ º Å Ø Ñ Ø Ò Ö ÙÒ r Ò Ë ÜÔÐ Þ Ø ÓÐ Ò Á ÒØ ØØ Ò ÐØ Ò ÚÓÒ Ë Ð Ö¹ ÙÒ ËÔ ØÔÖÓ Ù Ø r ( r A) = A, [ ] ( r A) B [ ] = ( A B) r = A B. r r
º ÊÙ Ò Ì Ð Ò ØÖ Ø Ø Ù ÖÓØ Ö Ò Ñ ÞÙ Ý Ø Ñ ÁÒ Ò Ñ Ö ÙÑ Ø Ò ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ O Ñ Ø ÖØ Ò º º Þ ØÙÒ Ò Ò Ú ØÓÖ Ò ê i Ò Ö Ö Å ÒÔÙÒ Ø Å mµ ÙÖ Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø ÒÚ ØÓÖ r (t) = 3 i=1 x i (t)ê i Ö Òº ÒØ ÔÖ Ò Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÙØ Ø L ( r ) = 1 2 m ( r ) 2 º ÎÓÒ Ò Ñ Ñ Ø Ï Ò Ð Û Ò Ø ω ÙÑ Ò ÍÖ ÔÖÙÒ ÚÓÒ O ÖÓØ Ö Ò Ò ÞÙ Þ Ø Ñ O Ñ Ø Þ Ø Ò Ò Ú ¹ ØÓÖ Ò ê i (t) ÙÒ d dtêi = ω ê i Ù ØÖ Ø Ø Ò ÈÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ò ÃÓ¹ ÓÖ Ò Ø ÒÚ ØÓÖ r(t) = 3 i=1 x i (t)ê i (t) Ö Òº Ï Ð Ò Ë Ñ ÓÐ Ò Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò x i Ð Ú Ö ÐÐ Ñ Ò ÖØ ÃÓÓÖ Ò Ø Òº µ Ò Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Å ÒÔÙÒ Ø Ñ ÖÓØ Ö Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Ý Ø Ñ ÓÐ Ò ÓÖÑ Ø L( r, r) = 1 2 m [ r 2 + 2 r ( r ω ) + ( r ω) ( r ω) ]. ¾µ µ Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò ¾º ÖØ Ò Ò Î ØÓÖÒÓØ Ø ÓÒ ÙÖ d L = L dt r r Òº Ä Ø Ò Ë Ö Ù Ò Î ØÓÖ Ð ÙÒ Ö r ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ò Ë Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÃÖ Ø º À ÒÛ ÆÙØÞ Ò Ë Ù ¾µ³ µ Ï Ö ØÖ Ø Ò ÚÓÖØ Ò Ù Ð Ð Ò ÊÓØ Ø ÓÒ Ñ Ø ÓÒ Ø ÒØ Ö Ï Ò Ð¹ Û Ò Ø ÙÑ ê 3 ¹ º º ω = ωê 3 Û Ð Ò ÝÐ Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø Ò (ρ, ϕ, z) Ñ Ø ϕ = ωt ÙÒ ÒÙØÞ Ò ê 1 = ê ρ ê 2 = ê ϕ ÙÒ ê 3 = ê z Ð Ú ¹ ØÓÖ Ò Þ Ø Ò Û Ð ϕ = ωt µ Ö ÖÓØ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Oº Ò Ë Ä Ö Ò ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÓÒ Ðº ¾µ Û ÓÐ Ø Ö Ò Û Ö Ò ÒÒ L = 1 2 m [ ẋ 2 1 + ẋ2 2 + ẋ2 3 + 2ω (x 1ẋ 2 x 2 ẋ 1 ) + ω 2 ( x 2 1 + x2 2)]. µ µ Ò Ë Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú À ÖÐ ØÙÒ ÚÓÒ Ðº µ Ù Ò ÚÓÒ L ( r ) = 1 m ( r ) 2 2 Ò Ñ Ë ÞÙÒ Ø Ö ÙÑ Ø Ò ÖØ Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x i (t) Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ñ ØÖÓØ Ö Ò Ò ÃÓÓÖ Ò Ø Ò x i (t) Ù Ö Ò ÙÒ ÒÒ ÖØ Ò Û Ò Ø Ò ẋ i Ö Ò Òº µ ËØ ÐÐ Ò Ë Ù Ò ÚÓÒ Ðº µ Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò ¾º ÖØ Ö ẍ 1 ẍ 2 ÙÒ ẍ 3 º Ù º Ò Ë ÕÙ Ú Ð ÒØ ÞÙÑ Ö Ò ÚÓÒ µ Ò º µ Ä Ò Ë Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò ÚÓÒ µ ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë r(t) Ö Ò ÐÐ Ö Å ÒÔÙÒ Ø Ñ ÁÒ ÖØ Ð Ý Ø Ñ O Ñ ÈÙÒ Ø (x 1, x 2, x 3 ) = (x 10, 0, 0) Ö٠غ Ë ÞÞ Ö Ò Ë ÚÓÒ O Ò Ò ÙÖÚ r(t)º À ÒÛ
Ò Ë ÞÙÒ Ø Ä Ö Ò ¹ Ð ÙÒ Ò Ö ẍ 1 ÙÒ ẍ 2 Ñ ØØ Ð ÓÑÔÐ Ü Ò Ò ØÞ ξ = x 1 +ix 2 Ð Ò ÒÞ ÓÑÔÐ Ü Ð ÙÒ Ö ÓÖÑ ξ + i2ω ξ ω 2 ξ = 0 Ö Ò Ð Ò Ð Ò Ë Ñ Ø Ñ Ò ØÞ ξ(t) = ξ 0 e iλt ÙÒ Ø ÑÑ Ò Ë ξ 0 ÙÖ Ö Ø ÙÒ Ö Ò Ò ¹ Ò ÙÒ Òº Ù Ø Ò ÙÖÚ ÒÒ ÒÒ Ñ ØØ Ð x 1 = Re [ξ] ÙÒ x 2 = Im [ξ] ÙÒ Ò Û Ö Òº